行列式与矩阵

矩阵与行列式的计算与性质矩阵与行列式是线性代数中重要的数学概念，对于许多数学和工程问题的建模与求解都非常关键。

本文将介绍矩阵与行列式的基本概念，以及它们的计算方法和一些常见的性质。

一、矩阵的定义与基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一种按照行和列排列的数表。

一个m行n列的矩阵常记作A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的分类根据矩阵的特点，可以将其分为以下几种类型：1）零矩阵：所有元素都为0的矩阵。

2）对角矩阵：只有主对角线上的元素不为零，其余元素都为零的矩阵。

3）上三角矩阵：主对角线以下的元素都为零的矩阵。

4）下三角矩阵：主对角线以上的元素都为零的矩阵。

5）方阵：行数等于列数的矩阵。

6）转置矩阵：将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。

二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和（差）矩阵记作C=A±B，即C=[c_ij]，其中c_ij=a_ij±b_ij。

2.2 矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘记作B=kA，即矩阵B 的每个元素等于k乘以矩阵A对应元素。

2.3 矩阵的乘法给定一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积矩阵C=A*B是一个m行p列的矩阵。

矩阵C的第i行第j列的元素c_ij等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应乘积的和。

三、行列式的定义与性质3.1 行列式的定义对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其中a_ij是方阵A中第i行第j列的元素，方阵A的行列式记作det(A)或|A|，计算方法如下：1）当n=1时，det(A)=a_11；2）当n>1时，det(A)=a_11*A_11+a_12*A_12+...+a_1n*A_1n，其中A_11、A_12、...、A_1n是n-1阶子矩阵的行列式。

3.2 行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1）行列式与转置：det(A)=det(A^T)，其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。

线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。

若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。

于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。

所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。

第9章 行列式与矩阵学习目标了解n 阶行列式定义,理解行列式性质. 掌握二阶、三阶、四阶行列式的计算.理解矩阵的概念、逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件，了解矩阵秩的概念.掌握几种特殊矩阵，掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律、矩阵的初等行变换和用初等行变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.在科学研究和实际生产中，碰到的许多问题都可以直接或近似地表示成一些变量之间的线性关系，因此，线性关系的研究就显得是非常重要了. 行列式与矩阵是研究线性关系的重要工具.本章将介绍行列式与矩阵的一些基本概念、性质和运算.§9.1 行列式的概念与计算9.1.1二阶、三阶行列式用消元法解二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （9.1）当021122211≠-a a a a 时，得 211222*********a a a a a b a b x --=，211222111212112a a a a b a b a x --=为了便于记忆，我们引进二阶行列式的概念.1．二阶行列式的定义定义9.1 用22个数组成的记号22211211a a a a ，表示数值21122211a a a a -，称为二阶行列式，22211211,,,a a a a 称为行列式的元素，横排称行，竖排称列.利用二阶行列式的概念，当二元线性方程组（9.1）的系数组成的行列式0≠D 时，它的解可以用行列式表示为11211122221212121112111221222122,b a a b b a a b D D x x a a a a D D a a a a ====其中1D 和2D 是以21,b b 分别替换系数行列式D 中第一列、第二列的元素所得到的两个二阶行列式.例9.1.1 用行列式解线性方程组 ⎩⎨⎧=+=-153322121x x x x .解 因为135312=-=D ， 1651131=-=D ，713322-==D .所以 1212167,1313D D x x D D ====-. 类似地，用23个数组成的记号 333231232221131211a a a a a a a a a ，表示数值 ++312312332211a a a a a a322311332112312213322113a a a a a a a a a a a a ---称为三阶行列式，即333231232221131211a a a a a a a a a =322113312312332211a a a a a a a a a ++ 322311332112312213a a a a a a a a a ---.它是由3行3列共9个元素构成，是6项代数和.这9个元素排成3行3列，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.上式也可以用对角线法则记忆，如图9.1所示.实线上三个元素的乘积取正号，虚线上三个元素的乘积取负号.例9.1.2 计算三阶行列式312203154--.解 原式＝-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯+-⨯-⨯+⨯⨯421)1(02252)1()3(1403 604580203035)3(=+--++=⨯⨯-.333231232221131211aa a aa a aa a 取+号 取-号 图9.1例9.1.3 解不等式 0114011>x x .解 因为11140112-=x x x ，原不等式化为012>-x . 故不等式的解集为{11}x x x ><-或.9.1.2阶行列式1．n 阶行列式的定义定义9.２ 由2n 个数组成的一个算式nnn n nna a a a a a a a a D212222111211=，称为n 阶行列式，其中ij a 称为D 的第i 行第j 列的元素),,2,1,(n j i =.当1=n 时，规定1111a a D ==.n 阶行列式简记为ij a .定义９.３ 在n 阶行列式ij a D =中去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的1-n 阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M .将ij ji M +-)1(叫做元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即有ij j i ij M A +-=)1(.设1-n 阶行列式已定义，则n 阶行列式∑==+++=nj j j n n A a A a A a A a D 1111112121111 . （9.2）例如，当3=n 时，333231232221131211a a a a a a a a a 131312121111A a A a A a ++=. 例9.1.4 写出四阶行列式25171496381291312411---的元素32a 的余子式和代数余子式.解 1141361471232-=M ，11413614712)1(322332--=-=+M A .形如下列形式的行列式分别称为n 阶对角行列式和n 阶下三角行列式，由（9.2）式可知，它们的值都是主对角线上元素的乘积.nn nn a a a a a a 22112211000000=，nn nnn n a a a a a a a a a2211212221110=.２. 行列式的性质根据n 阶行列式的定义直接计算行列式，当行列式的阶数n 较大时，一般是很麻烦的，为了简化n 阶行列式的计算，我们有必要讨论n 阶行列式的性质.如果把n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=中的行与列按顺序互换，得到一个新的行列式nnn nn n T a a a a a a a a a D 212221212111=，T D 称为行列式D 的转置行列式.显然，D 也是T D 的转置行列式.性质9.1.1 行列式D 与它的转置行列式T D 的值相等.即TD D =.例如，二阶行列式 2112221122211211a a a a a a a a D -==，2112221122122111a a a a a a a a D T-==.显然，TD D =.对于n 阶行列式，可以用数学归纳法加以证明，这里略去.性质9.1.1说明，行列式中“行”与“列”的地位是相同的，所以凡是对行成立的性质，对列也同样成立.由性质9.1.1和n 阶下三角行列式的结论，可以得到n 阶上三角行列式的值等于它的主对角线上元素的乘积，即nn nnnna a a a a a a a a221122211211=.性质9.1.2 n 阶行列式ij a D =等于它的任意一行（或列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和，即11221(1,2,3,)ni i i i in in ik ik k D a A a A a A a A i n ==+++==∑，或 11221(1,2,3,)nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A j n ==+++==∑. （9.3）例9.1.5 设三阶行列式152235313-=D ，按第二行展开，并求其值.解 因为 14)151(1531)1(211221=--=-=-=+M A ， 31233)1(222222-==-=+M A ,135213)1(233223-=-=-=+M A ,所以 232322222121A a A a A a D ++=105)13(2)3(3145-=-⨯+-⨯+⨯-=.性质9.1.3 互换行列式的其中两行（或列）位置，行列式值改变符号. 例如，二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a D -==，交换两行后得到的行列式D a a a a a a a a -=-=1122122112112221.推论 如果行列式其中有两行（或列）完全相同，那么行列式的值为零. 事实上．交换相同的两行，由性质2得，D D -=，于是0=D .性质9.1.4 行列式某一行（或列）的公因子可以提到行列式记号的外面，即nnn n in i i nnn n n in i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212111************λλλλ=. 推论1 如果行列式中有一行（或列）的元素全为零，那么此行列式的值为零.推论2 如果行列式其中有两行（或列）元素对应成比例，那么行列式等于零. 推论3 行列式中任意一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.例如，对于行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =， 有0231322122111=++A a A a A a ,,0133312321131=++A a A a A a性质9.1.5 如果行列式的某一行（或列）元素可以写成两数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和，即nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a 21211121121221111211=+++nnn n in i i na a a c c c a a a 212111211+.例如，二阶行列式2221121122211211222121121111a b a b a a a a a b a a b a +=++.性质9.1.6 把行列式某一行（或列）的元素同乘以数k ，加到另一行（或列）对应的元素上去，行列式的值不变，即.212122111121121212111211nnn n jn j j nj in j i j i nnn n n jn j j in i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a+++=证 设原行列式为D ，变形后得到的行列式为1D ，由性质9.1.5和性质9.1.4的推论３得，nn n n jn j j in i i n a a a a a a a a a a a a D212121112111=D D a a a a a a ka ka ka a a a nnn n jn j j jn j j n=+=+021*******11. 为了便于书写，在行列式计算过程中约定采用下列标记法：（1） 用r 代表行，c 代表列.（2） 第i 行和第j 行互换，记为j i r r ↔，第i 列和第j 列互换，记为j i c c ↔.（3） 把第j 行（或第j 列）的元素同乘以数k ，加到第i 行（或第i 列）对应的元素上去，记为i j r kr +（或i j c kc +）.（4） 行列式的第i 行（或第i 列）中所有元素都乘以k ，记为i kr （或i kc ）. 行列式的基本计算方法之一是根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为上（或下）三角行列式，由前面的结论可知，这时行列式的值就是主对角线上元素的乘积.这种行列式的计算方法称为“化三角形法”.例9.1.6 计算2011513415333112D ---=---.解 132111021513431541533351331121132D c c ------=↔-------41213133r r r r r r ++-+-1210111105500151------232410210111150060500162r r r r ---+----+ 34102110111151000121100812r r ---- 3410120111110001120018c c ---↔-341012011111010(4)4000112004r r ----+-=-⨯-=-.计算行列式的另一种基本方法是选择零元素最多的行（或列）展开；也可以先利用性质把某一行（或列）的元素化为仅有一个非零元素，再按这一行（或列）展开.这种方法称为降阶法.例9.1.7 计算224152105146112------=D解 2241502105146112------=D 7261001205744132524121-----+-+c c c c31314(1)(1)7520627+-=-⨯----726008413521-----+-r r7241)1()8(12----⨯--=+120=例9.1.8 证明.0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a证 设此行列式为D ，将D 化简, 把第一列乘以（－１）分别加到以后各列，有2223224221446922144692144693214469a a a a c c b b b b D c c c c c c d d d d +++-++++=+++-++++062126212621262122222=++++d d c c b b a a . 例9.1.9 计算n 阶行列式ab b b a b b b a D=解 从行列式D 的元素排列特点看，每一列n 个元素的和都相等，把第2，3，…，n 行同时加到第1行，提出公因子b n a )1(-+，然后各行减去第一行的b 倍，有ab bb a b bn a b n a b n a D)1()1()1(-+-+-+=ba b a b n a ab b b a b b n a ---+=-+=00111])1([111])1([1)]()1([---+=n b a b n a .例9.1.10 解方程0113211232113221132111321=-+-+-+-+-------xa a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n.（)01≠a解 把方程左边的行列式，第一行乘以（－１）加到其余各行上，得)())((0000000000000121112211321x a x a x a a xa x a x a x a a a a a a n n n n n ---=--------.原方程化为0)())((1211=----x a x a x a a n ． 故方程有1-n 个解112211,,--===n n a x a x a x .注 计算行列式有下列方法：(1) 二阶、三阶行列式利用定义计算；(2) 利用展开式(9.3)式计算，选择0元素较多的行（或列）进行展开； (3) 利用行列式的性质，化为三角行列式进行计算； （4）先利用行列式的性质把某行（或列）化为只有一个元素不为零，再利用展开式（9.3）式；交替使用性质、定理来计算.习题9.11.计算下列行列式：（1）3725 （2）abb a a 2（3）1100 （4）612153231--- （5）34010020********--- （6）3111131111311113（7）.3351110243152113------ （8）ba a c cb cba+++111（9）.aaaaa d a a a a a c a a a a a ba +++ （10）xyy x y x y x 00000002.写出三阶行列式4830111752---=D 中元素3222,a a 的代数余子式，并求其值. 3.已知四阶行列式D 中，第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为5，3，-7，4，求D .4.设行列式51214132014221---=D ，分别按D 的第二行和第四列展开，并计算其值.5.解下列方程：（1）0913151313221642222=-----x x （2）0011101101110=x x x x6.计算n 阶行列式xa a a a x a a a a x aaa a x D=.7.计算1n +阶行列式nn n n n b a a a a b a a a a b a a a a D +++= 21221211211111.9.2 矩阵及其初等变换矩阵是一个重要的数学工具，是进行网络设计、电路分析等强有力的数学工具，也是利用计算机进行数据处理和分析的数学基础.它不仅在经济模型中有着很实际的应用，而且目前国际认可的最优化的科技应用软件----MATLAB 就是以矩阵作为基本的数据结构，从矩阵的数据分析、处理发展起来的被广泛应用的软件包. 本节主要介绍矩阵的概念、运算及应用广泛的初等变换.9.2.1矩阵的概念在许多问题中，我们会遇到一些变量要用另外一些变量线性表示. 设变量m y y y ,,21能用变量n x x x ,,21线性表示，即nmn m m m nn n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++= 22112222121212121111 （9.4） 其中ij a 为常数（1,2,,,1,2,,i m j n ==），这种从变量n x x x ,,21到变量m y y y ,,21的变换叫做线性变换.这种变换取决于变量n x x x ,,21的系数，这些系数按它们在变换中原 来的顺序构成一个矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211.又如，在物资调运中，某物资有两个产地上海、南京，三个销售地广州、深圳、厦门，调运方案见下表.⎪⎪⎭⎫⎝⎛233226202517. 下面给出矩阵的定义定义9.4 由n m ⨯个数ij a （n j m i ,2,1,2,1==）排成一个m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a212222111211或⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为m 行n 列矩阵，简称为n m ⨯矩阵，其中ij a 叫做矩阵的第i 行第j 列的元素.i 称为元素ij a 的行标，j 称为元素ij a 的列标.通常用大写字母 ,,,C B A 或 )(ij a 表示矩阵，例如上述矩阵可以记作A 或n m ⨯A ，有时也记做n m ij a ⨯=)(A .几种特殊的矩阵：①方阵：矩阵A 的行数与列数相等，即n m =时，矩阵A 称为n 阶方阵，记作n A ,左上角到右下角的连线称为主对角线，主对角线上的元素nn a a a ,,,2211 称为主对角线元素.②行矩阵：只有一行的矩阵()n a a a 11211=A 称为行矩阵.③列矩阵：只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111m a a a A 称为列矩阵.④零矩阵：所以元素全为零的矩阵称为零矩阵.记作n m ⨯O 或O .⑤对角矩阵：除主对角线外，其他元素全为零的方阵称为对角矩阵.为了方便，采用如下记号 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a2211A . ⑥单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵，记作n E 或E . ⑦三角矩阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a 22211211A 为上三角矩阵. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a21222111A 为下三角矩阵.⑧对称矩阵： 满足条件ji ij a a =),,2,1,(n j i =的方阵n n ij a ⨯)(称为对称矩阵. ⑨数量矩阵： 主对角线上元素都是非零常数a ，其余元素全都是零的n 阶矩阵，称为n阶数量矩阵.⑩负矩阵： 在矩阵()ij m n a ⨯=A 中的各个元素的前面都添加上符号（即取相反数）得到的矩阵，称为A 的负矩阵，记为-A ,即()ij m n a ⨯-=-A .注 矩阵与行列式是有本质区别的.行列式是一个算式，而矩阵是一个数表，它的行数和列数可以不同.对于n 阶方阵A ，有时也要计算它的行列式（记为det A 或A ）,但方阵A 和方阵行列式A 是不同的概念.9.2.2矩阵的运算1.矩阵的相等 如果两个矩阵B A ,行数和列数分别相同，且它们对应位置上的元素也相等，即ij ij b a =，m i ,,2,1( = ；),,2,1n j =，则称矩阵ΒA ,相等，记作B A =.2.矩阵的加（减）法 设n m ij n m ij b a ⨯⨯==)(,)(B A 是两个n m ⨯矩阵，规定：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=+=+⨯mn mn m m m m n n n n nm ij ij b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111)(B A 称矩阵B A +为A 与B 的和.如果n m ij n m ij b a ⨯⨯==)(,)(B A ，由矩阵加法运算和负矩阵的概念，我们规定： n m ij ij n m ij n m ij b a b a ⨯⨯⨯-=-+=-+=-)()()()(B A B A ，称矩阵B A -为A 与B 的差.3.矩阵的数乘 设k 是任意一个实数，A 是一个n m ⨯矩阵，k 与A 的乘积为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯mn m m n n nm ij ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka k 212222111211)(A .矩阵的加（减）法与矩阵的数乘叫做矩阵的线性运算.设O C B A ,,,都是n m ⨯矩阵，不难验证，矩阵的线性运算满足下列运算规律： 交换律 A B B A +=+；结合律 C B A C B A ++=++)()(； 分配律 B A B A k k k +=+)(；A A A l k l k +=+)( ),(R l k ∈；数乘矩阵的结合律 A A )()(kl l k =.例9.2.1 设251320⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，342025-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求B A 32-.解 B A 32-=2251320⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3432025-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭41091213226604640615215--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例9.2.2 设矩阵X ，满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102421=+X 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5212133，求X . 解 由题可得 =X 23123125-⎛⎫⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛-102421， 即有 =X 28521614-⎛⎫⎪⎝⎭，所以 54121372⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭X . 例9.2.3 已知网络双端口参数矩阵B A ,满足⎩⎨⎧=-=+DB A CB A 2222，其中71021510-⎛⎫= ⎪--⎝⎭C ，52651514--⎛⎫= ⎪---⎝⎭D .求参数矩阵B A ,.解 由⎩⎨⎧=-=+DB AC B A 2222可得D)(C 41B D),(C 41A -=+=.所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+=651223141556251051210741D)(C 41A .⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=125231321141556251051210741D)(C 41B . 4.矩阵的乘法例9.2.4 设有两家连锁超市出售三种奶粉，某日销售量（单位：包）见下表9-2-1，每种奶粉的单价和利润见下表9-2-2.求各超市出售奶粉的总收入和总利润. 表9-2-1解 各个超市奶粉的总收入=奶粉Ⅰ数量×单价+奶粉Ⅱ数量×单价+奶粉Ⅲ数量×单价. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420212315,6571085B A ，C 为各超市出售奶粉的总收入和总利润，则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=552857137146253720612515741028352010128155C .矩阵C 中第一行第一列的元素等于矩阵A 第一行元素与矩阵B 的第一列对应元素乘积之和.同样，矩阵C 中第i 行第j 列的元素等于矩阵A 第i 行元素与矩阵B 的第j 列对应元素乘积之和.定义9.5 设A 是一个s m ⨯矩阵，B 是一个n s ⨯矩阵，则由元素sj is j i j i ij b a b a b a c +++= 2211 m i ,,2,1( =；),,2,1n j =构成的n m ⨯矩阵()nm ijc ⨯=C ，称为矩阵A 与矩阵B 的乘积，记作AB C =.例9.2.5 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=530412A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10789B ，求AB . 解 AB =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--530412⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10789⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+-⨯-⨯+⨯⨯+-⨯--⨯+⨯-⨯-+-⨯-⨯-+⨯=105)8(3)7(593100)8(4)7(09410)1()8(2)7()1(92 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=26832362625 例9.2.6 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1236A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3162B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1151C ,求AB 和AC .解 =AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1236⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3162⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=93279 =BA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3162⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1236⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000 =AC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1236⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1151⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=93279注 ① 矩阵乘法一般不满足交换律，因此，矩阵相乘时必须注意顺序，AB 叫做（用）A .左乘B ，BA 叫做（用）A 右乘B ，一般AB ≠BA .② 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.③ 矩阵乘法不满足消去律.即当乘积矩阵AC AB =且O A ≠时，不能消去矩阵A ，得到C B =.④ 同阶方阵A 与B 的乘积的行列式，等于矩阵A 的行列式与矩阵B 的行列式的乘积.即B A AB ⋅=.（方阵A 的行列式记作A ）⑤ 若A 是一个n 阶方阵，则Am m个A AA A=称为A 的m 次幂. 不难验证，矩阵乘法满足下列运算规律：结合律 A(BC)(AB)C =；分配律 AC AB C)A(B +=+，BC AC B)C (A +=+；数乘矩阵的结合律 (AB)B)A(A)B (k k k ==.５.矩阵的转置定义9.６ 将n m ⨯型矩阵n m ij a ⨯=)(A 的行与列互换得到的m n ⨯型矩阵，称为矩阵A 的转置矩阵，记为T A .即如果⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211A ， 则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n nm m a a a a a a a a a 212221212111TA容易验证，转置矩阵具有下列性质： （1）A )(A TT =；（2）k k =TT(A)A ；（3）TTTB A B)(A +=+； （4）T T TA B (AB)=.例9.2.7 若113201-⎛⎫= ⎪⎝⎭A， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=201231C求AC 、CA 以及TA 、TC .解 利用矩阵乘法，有131132120102-⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭AC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯+-⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯-+-⨯=2110320120)1(2231)1(31032)1()1(1 .8283⎪⎪⎭⎫⎝⎛--= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+-⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=123002)1(022********)1(22112133)1(03)1()1(231)1(102311201231CA⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=204724015.由转置矩阵的定义，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=130121T A ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=213021TC .9.2.3矩阵的初等变换在解线性方程组时，经常对方程实施下列三种变换：(1)交换方程组中某两个方程的位置； (2)用一个非零常数k 乘以某一个方程；（3）将某一个方程的k 倍（0≠k ）加到另一个方程上去. 显然，这三类变换并不会改变方程组的解，我们称这三种方程的运算为方程组的初等变换.把这三类初等变换转移到矩阵上，就是矩阵的初等变换.定义9.7 对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等行变换： （1）对换矩阵两行的位置；（2）用一个非零的数k 遍乘矩阵的某一行元素； （3）将矩阵某一行的k 倍数加到另一行上.并称（1）为对换变换，称（2）为倍乘变换，称（3）为倍加变换.在定义中，若把对矩阵施行的三种“行”变换，改为“列”变换，我们就能得到对矩阵的三种列变换，并将其称为矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.为了方便，引入记号：行初等变换表示为：①j i r r ↔ ②(0)i kr k ≠ ③j i r kr +. 列初等变换表示为：①j i c c ↔ ②(0)i kc k ≠ ③j i c kc +.定义9.8 如果矩阵A 经过若干次初等变换后变为B ，则称A 与B 是等价的，记作B A ≅. 显然，等价是同型矩阵间的一种关系，具有反身性、对称性、传递性.定理9.1 任意矩阵n m ij a ⨯=)(A 都可通过初等变换化为等价标准形，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=≅O O K E D A r .例9.2.8 将矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101211015321A 化为等价标准形.解 11232123512351011024621010369r r r r +-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A23212312123123510110123012301230000r r r r r r +-+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.定义9.9 对单位矩阵E 进行一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.初等矩阵有三种：（1）对矩阵E 交换两行（或列）所得的初等矩阵；j i ij ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101101)( E（2）对矩阵E 的第i 行（或列）乘以常数k ，得到的初等矩阵；i kk i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11))(( E （3）对矩阵E 的第j 行（或列）乘以常数l 加到第i 行（或列）上，得到的初等矩阵；j i l l ij ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11011))(( E容易验证：对于矩阵E ，左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵E 作一次初等变换.定理9.2 对n m ⨯矩阵A 的行（或列）作一次初等变换所得到的矩阵B ，等于用一个相应的m 阶（或n 阶）初等矩阵左（或右）乘A .例9.2.9 以矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110211103A 为例验证定理9.2解 （1）交换矩阵A 的第二、三行，得到的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111101031A .初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010100001)23(E 左乘矩阵A ，得到的矩阵为=2A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001301112011⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-211110103.显然，有21A E (23)A A ==.（2）将矩阵A 的第2行乘以常数3加到第一行上，得到的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110211736B ；初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010031E(12(3))左乘矩阵A ，得到的矩阵为=C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010031⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅110211103⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110211736.显然有C E(12(3))A B ==.（3）由读者验证，将矩阵A 的第2行乘以常数3 等于初等矩阵左乘))3(2(E 矩阵A .习题 9.21.一空调商店销售三种功率的空调：1P 、1.5P 、2P.商店有两个分店，六月份第一分店售出以上型号的空调数量分别为48台、56台和20台；六月份第二分店售出了以上型号的空调数量分别为32台、38台和14台.（1）用一个矩阵A 表示这一信息；（2）若在五月份，第一分店售出了以上型号的空调数量分别为42台、46台和15台；第二分店出售了以上型号的空调数量分别为34台、40台和12台.用与A 相同类型的矩阵M 表示这一信息.（3）求M A +,并说明其实际意义. 2.计算（1）()43214321-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- (2) ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--43214321（3）2sin cos cos sin ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθθθ (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111073251110 (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---311423035410312 (6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---105024603530304012 3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211201A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=131021B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=240101C ，求TB)C A (+2.4.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A E )2(T-．5.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3011A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201B ，验证 ：TT T A B AB =)(.6.如果两个矩阵A 与B ，满足BA AB =，则称矩阵A 与B 可交换.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ，求所有与矩阵A 可交换的矩阵.7.如果方阵A ，满足A A =T，则称矩阵A 是对称矩阵.求证：TAA 及A A T都是对称矩阵.8.将下列矩阵化成其等价标准形：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----422133211 （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4123241123009.3 矩阵的秩与逆矩阵9.3.1矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念,它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系,而且在讨论线性方程组解的情况中也有重要应用.１.矩阵的k 阶子式定义9.10 设A 是n m ⨯矩阵,在A 中位于任意选定的k 行k 列交点上的2k 个元素,按原来次序组成的k 阶行列式,称为矩阵A 的一个k 阶子式,其中{}n m k ,m in ≤.例如，矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100142321A ,取A 的第一、二行，第一、三列的相交元素，排成行列式1231为A 的一个二阶子式.由子式的定义知:子式的行、列是以原行列式的行、列中任取的，所以可以组成92323=C C 个二阶子式.对一般情况，共有k C C kn k m 个阶子式.注 k 阶子式是行列式.非零子式就是行列式的值不等于零的子式.２.矩阵的秩定义9.11 如果矩阵A 中存在一个r 阶非零子式,而任一r +1阶子式（如果存在的话）的值全为零,即矩阵A 的非零子式的最高阶数是r ，则称r 为A 的秩，记作)(A r =r .例9.3.1 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=81131433111221A 的秩.解 因为A 的一个二阶子式053121≠-=-所以 A 的非零子式的最高阶数至少是2,即()2≥A r .A 的所有三阶子式：个43433=C C.0811143311220,81314311121,081314311121,0113331221=---=--=--=-- 即所有的三阶子式均为零,故()2=A r不难得到，矩阵的秩具有下列性质 （1）)()(Tr r A A =； （2）},min{)(0n m r ≤≤Α.若},min{)(n m r =A ，则称矩阵A 为满秩矩阵.并规定零矩阵O 的秩为零,即0)(=O r .若矩阵A 为n 阶方阵，当0≠A 时，有n r =)(A ，称A 为满秩矩阵.用定义求矩阵的秩，必须从一阶子式开始计算，直到某阶子式都为零时才能确定，显然非常麻烦，为此我们来研究阶梯形矩阵.3. 阶梯形矩阵定义9.12 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵. （1）矩阵若有零行（元素全部为零的行），零行全部在下方；（2）各非零行的第一个不为零的元素(称为首非零元)的列标随着行标的递增而严格增大.由定义可知,如果阶梯形矩阵A 有r 个非零行,且第一行的第一个不为零的元素是11j a ,第二行的第一个不为零的元素是22j a ,…,第r 行的一个不为零的元素是r rj a ,则有11r j j n ≤≤≤≤,其中n 是阶梯形矩阵A 的列数.其一般形式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯000000000000002221112121 rn rj n r j n r j nm a a a a a a a a a rA , 其中，()r i a r ij ,,2,1,0 =≠， 而下方r m -行的元素全为0.注 (1)阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数r .(2)任意矩阵通过初等变换都能化为阶梯形矩阵. （3如果阶梯形矩阵的非零行的首非零元素都是1，且所有首非零元素所在的列的其余元素都是零，则称此矩阵为行简化阶梯形矩阵.由秩的定义可以证明以下重要结论，（本书略去证明）. 定理9.3 初等变换不改变矩阵的秩.由此得到求矩阵秩的有效方法：通过初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵,其非零行的行数就是矩阵的秩.例9.3.2 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=211121112A 的秩.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=++-↔3303301212111121212111211122131212r r r r r r A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−+00033012132r r .所以 矩阵A 的秩为2,即2)(=A r .9.3.2逆矩阵1. 逆矩阵的概念代数方程b ax =，当0≠a 时，有解b a a b x 1-=÷=（其中111==--aa a a ）.类似地，对于矩阵方程B AX =，它的解X 是否也能表示为B A 1-？若能,这里的1-A 是矩阵吗？如何来求得1-A ？定义9.13 设A 是n 阶方阵，如果存在一个n 阶方阵B ，使E BA AB == （9.5）则称矩阵A 是可逆矩阵,简称A 可逆,并把方阵B 称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即1-=A B .例如，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121011322A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=461351341B因为 =AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461351341⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001，=BA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461351341⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001，即A ,B 满足E BA AB ==,所以矩阵A 可逆，其逆矩阵B A=-1.在公式（9.5）中A 与B 的地位是平等的,因此也可以称B 为可逆矩阵，称A 为B 的逆矩阵，即A B=-1.注 （1）单位矩阵E 的逆矩阵就是它本身，因为E E E =.（2）任何n 阶零矩阵都不可逆.因为对任何与n 阶零矩阵同阶的方阵B ，都有O OB BO ==.（3）如果方阵A 是可逆的，那么A 的逆矩阵是唯一的.2.逆矩阵的求法对矩阵A ，何时可逆？若A 可逆，又如何求1-A 呢？ （1）利用伴随矩阵求逆矩阵定义9.14 设n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nn n a a a a a a a a a 212221212111A ，将行列式A的2n 个代数余子式ij A 排成下列n 阶矩阵，并记为*A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A 212221212111*A则矩阵*A 叫做矩阵A 的伴随矩阵.定理9.4 （求1-A 的一种方法---伴随矩阵法）n 阶方阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，且当A 可逆时，*-=A AA11. 证 必要性.因为A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1，故1||||||||11===--E A A AA ，所以0||≠A . 充分性.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211A ，且0≠A . 由矩阵乘法和行列式的性质，有=*AA ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn 2n 1nn22212n12111A A A A A A A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=||000||000||A A AE A ||=因为0||≠A ，所以E AA A =)(||1*. 于是，得 E A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛*||1. 同理可证 E A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛*||1. 所以有 *1||1A A A =-. 定理得证. 例9.3.3 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012411210A 的逆矩阵.解 因为02≠=A ，所以矩阵A 可逆.24121)1(;20121)1(;40141)1(133112211111=-=-=--==--=+++A A A ；24120)1(;40220)1(;80241)1(233222222112=-=-=-==-=+++A A A ；11110)1(;2121)1(;31211)1(333332233113-=-==--=-=--=+++A A A .所以==-*1||1A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2112312411212324822421.（2）利用初等行变换求逆矩阵可以证明：由方阵A 作矩阵（E A ），用矩阵的初等行变换将（E A ）化为（C E ），C 即为A 的逆阵1-A .例9.3.4 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121112211A 的逆矩阵.解)(E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→+-+-10113001251000121110012101011200121131212 r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−+-+-1351400012510011301101130012510001211123232 r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−++-1411431451001451411430101431451410011411431451000125100113011323351413r r r r r 所以 =-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--141143145145141143143145141. 3.逆矩阵的运算性质（1）若E AB =（或E BA =），则1-=A B ，1-=B A .事实上，由E AB =，得1||===E ||B ||A ||AB ，故0||≠A ，于是A 可逆，在等式E AB =两边同时左乘1-A ，即得1-=A B ，同理易得1-=B A .这一结论说明，如果要验证B 是A 的逆矩阵，只要验证一个等式E AB =或E BA =即可，不必再按定义验证两个等式.（2）A A =--11)(.（3）若A 可逆，则TA 也可逆，且T T)()(11--=A A .事实上，由于A 可逆，则E AA=-1，所以E E AA ==-T T )(1，即E A A =-T T )(1，由逆矩阵的运算性质（1），得TT )()(11--=A A .（4）若B A,均可逆，则AB 也可逆，且111)(---=A B AB .例9.3.5 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012411210A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3512B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130231C 求满足AXB =C 的矩阵X .解 若1-A ，1-B 存在，则在C AXB =的两边同时左称乘1-A ，右乘1-B ，得1111----=CB A AXBB A ，即11--=CB A X .由例9.3.3知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-211231241121A ，又求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-25131B .从而11--=CB A X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=21123124112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛130231⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2513⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5113373⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2513.92223561126⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---= 例9.3.6 已知321,,x x x 到321,,y y y 的线性变换为⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=2133212321242xx y x x x y x x y 试求以321,,y y y 到321,,x x x 的线性变换.解 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012411210A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321y y y Y ，则所给线性变换的矩阵形式为AX Y =.若1-A 存在，则两边左乘1-A ，得到Y A X 1-=， 由例9.3.3可知1-A 存在，于是Y A X 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21123124112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-+-=3213213212123242y y y y y y y y y从而，得到从321,,y y y 到321,,x x x 的线性变换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=+-=+-=3213321232112123242yy y x y y y x yy y x习题 9.31.根据矩阵秩的定义求下列矩阵的秩.(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡343322321 (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---135243121 2.求下列矩阵的秩.(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121123322111 (2)⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----121023*********1 (3)⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11011111100222021110 (4) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------342432226λλλ3．求下列方阵的逆矩阵：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110210321 （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111103231 4．设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=022011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=210321B ，计算1)(-BA ． 5．解下列矩阵方程（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11220110X )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1030121213X6．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011213112A ，设2()2f E λλλ=--，求)(A f .7．试证：设A 是n 阶矩阵，若O A =3，则21)(A A E A E ++=--．本章小结本章主要介绍了n 阶行列式的概念、性质和计算方法，矩阵的概念、特殊矩阵、矩阵的运算、可逆矩阵的概念和逆矩阵的判别和求法、矩阵的秩.1.计算行列式的值.n 阶行列式是一个数，通过计算可以求出最终的数值.ij a 的代数余子式ij A 只与ij a 所在的位置有关，而与ij a 本身大小无关.定理9.1说明，行列式可以按任意一行（或列）展开，可以将一个较高阶的行列式化简为一些低阶的行列式的和，简化行列式计算.计算行列式方法有：（1）二阶、三阶行列式利用定义计算；（2）利用展开式（9.3）式计算，选择0元素较多的行（列）进行展开； （3）利用行列式的性质转化为三角行列式进行计算； （4）先利用行列式的性质把某行（或列）化为只有一个元素不为零，再利用展开式（9.3）式，交替使用性质、定理来计算.在行列式的计算中，首先要观察分析行列式各行（或列）元素的构造特点，然后利用行列式的性质化简行列式，同时要注意尽量避免分数运算，避免计算错误.２. 矩阵的运算.矩阵的运算主要包括：矩阵加法、矩阵的数乘、矩阵乘法、矩阵转置和矩阵的初等行变换，要求掌握这些运算方法和运算规则，记住矩阵运算必须满足的一定条件，注意矩阵运算与数的运算的不同之处.矩阵乘法的条件是：左矩阵A 的列数=右矩阵B 的行数.一般情况下，矩阵乘法不满足交换律和消去律.即=AB BA ；且当=AB AC 时，即使有≠A O 也不能得出B =C 的结论.只有当A 是可逆矩阵（即||0≠A ）时，由=⇒=AB AC B C .当矩阵,A B 满足=AB BA 时，称矩阵A B 与是可交换的.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.矩阵经过初等行变换后，对应元素一般不相等，因此矩阵之间不能用等号连接，而是用“→”连接，表示两个矩阵之间存在某种关系.３．可逆矩阵的判别和求逆矩阵.只有方阵才有可逆矩阵的概念，只有非奇异矩阵（即矩阵的行列式不等于零）才存在逆矩阵.n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件为||0≠A ，或者()r n =A .设A B 和都是n 阶矩阵，如果=AB E 成立，则B A 和都是可逆的. 求逆矩阵的方法：（1）利用伴随矩阵：1||*-=A A A .注意，伴随矩阵*A 中元素的排列顺序与一般矩阵中元素的排列顺序不同.（2）利用初等行变换：1()()-−−−−→A E E A 初等行变换用初等行变换法求逆矩阵时，不能用列变换.４.求矩阵的秩.矩阵的秩是一个非常有用的概念，它不仅与可逆矩阵的讨论有密切关系，而且在下一章线性方程组解的情况讨论中也有重要应用.求矩阵秩的方法： 用初等行变换将矩阵A 化为阶梯矩阵，则秩()A 等于阶梯形矩阵中非零行的行数.要记住矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.综合习题9一.填空题1.一阶行列式2-的值等于_________.2.行列式344103112--中元素（4-）的代数余子式的值为___________. 3.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=161223235401A ，则A 中元素_____23=a . 4.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=413121,112101B A ，则()__________,]T T T ==+AB B [A .5.设B A,为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是 .6.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020001A ，则____1=-A .7.设矩阵[]021-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100112B ，则AB ＝ ． 8.设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--913210063，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=801962B , 则矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行 第1列的元素的值是 ．9. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有 关系式 .10.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131A ，则A E 2-= .11.当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a 131A 可逆. 12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1320201b a A ，当a = ，b = 时，A 是对称矩阵. 13.当λ= 时，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----λ42045114321的秩最小. 二.单项选择题14．四阶行列式=44332211000000a b a b b a b a （ ）A.a b b b b a a a a 3214321-B. a b b b b a a a a 3214321+C.))((43432121b b a a b b a a --D.))((41413232b b a a b b a a --15.设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，若矩阵TACB 有意义，则矩阵C 为( )型 A. 54⨯ B. 24⨯ C. 53⨯ D. 23⨯16．设C B,A,均为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，则下列结论或等式成立的是（ ） A. 2222)(B AB ΑB A ++=+ B. 若AC AB =且O A ≠则C B =C. []A B A B A(A T2T)-=- D. 若O B O,A ≠≠，则O AB ≠17. 设B A,均为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 （ ）．。

矩阵与行列式的基本运算与性质矩阵和行列式是线性代数中重要的数学工具，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将探讨矩阵与行列式的基本运算和性质，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、矩阵的定义与基本运算矩阵是由m行n列元素组成的矩形数组，通常用大写字母表示。

矩阵中的元素可以是实数或复数。

一个m×n的矩阵可以表示为：A = [aij]m×n其中，aij表示第i行第j列的元素。

矩阵的基本运算包括加法、减法和数乘。

对于两个相同维度的矩阵A和B，它们的加法和减法定义如下：A +B = [aij + bij]m×nA -B = [aij - bij]m×n对于一个矩阵A和一个实数k，数乘定义如下：kA = [kaij]m×n二、矩阵的乘法与转置矩阵的乘法是一种比较复杂的运算，需要符合一定的规则。

对于一个m×n的矩阵A和一个n×k的矩阵B，它们的乘积AB定义如下：AB = [cij]m×k其中，cij = a1j*b1i + a2j*b2i + ... + anj*bni。

需要注意的是，矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。

矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。

一个m×n的矩阵A 的转置记为AT，其定义如下：(A^T)ij = Aji转置操作可以改变矩阵的维度，即如果A是一个m×n的矩阵，则AT是一个n×m的矩阵。

三、行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的数值。

对于一个n阶方阵A，其行列式记为|A|或det(A)，它的定义如下：|A| = a11a22...ann + a12a23...a(n-1)n + ... + (－1)^(n+1)an1a2...a(n-1)行列式有一些基本的性质，包括以下几点：性质1：如果矩阵的某一行或某一列都是0，则其行列式的值为0。

性质2：如果矩阵的两行或两列相等，则其行列式的值为0。

第一章 矩阵与行列式释疑解惑 1． 关于矩阵的概念：最难理解的是：矩阵它是一个“数表”，应当整体地去看它，不要与行列式实际上仅是一个用特殊形式定义的数的概念相混淆；只有这样，才不会把用中括号或小括号所表示的矩阵如a c b d ⎛⎫ ⎪⎝⎭写成两边各划一竖线的行列式如a c b d ，或把行列式写成矩阵等。

还要注意，矩阵可有(1)m ≥行和(1)n ≥列，不一定m n =；但行列式只有n 行n 列。

n 阶行列式是2n 个数（元素）按特定法则对应的一个值，它可看成n 阶方阵 111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 的所有元素保持原位置而将两边的括号换成两竖线时由行列式定义确定的一个新的对象：特定的一个数值，记作det A 、A 或n D ，即111det nij k k k A A a a A ====∑（如二阶方阵a d A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭所对应的行列式是这样一个新的对象：a d ac bd b c =-）。

也正因为于此，必须注意二者的本质区别，如当A 为n 阶方阵时，不可把A λ与A λ等同起来，而是n A A λλ=，等等。

2． 关于矩阵的运算：矩阵的加（减）法只对同形矩阵有意义；数λ乘矩阵m n A ⨯是用数λ乘矩阵m n A ⨯中每一个元素得到的新的m n ⨯矩阵；二矩阵相乘与前述这两种线性运算有着实质上的不同，它不仅要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，而且积的元素有其特定的算法（即所谓行乘列），乘法的性质与前者的性质更有质的不同（如交换律与消去律不成立），对此要特别加以注意，也不要与数的乘法的性质相混淆。

3． 关于逆阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由AB E =来定义（A 与B 互为逆阵），这是应用的基础。

要记住方阵可逆的充要条件为0A ≠以及关系式*AA A E =，二者有着重要与广泛的应用。

要弄清A 的伴随方阵是矩阵()ij A a =的各元素代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。

矩阵与行列式的基本概念及应用知识点总结矩阵(Matrix)是现代数学的重要概念之一，它是由m行n列的数（或变量）按一定规律排列成的矩形阵列。

行列式(Determinant)是矩阵的一个重要性质，用于线性代数中求解方程组、矩阵求逆以及计算特征值等问题。

一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数（或变量）按一定规律排列成的矩形阵列。

一般用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。

矩阵的元素用小写字母表示，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘和乘法。

矩阵的加法和减法要求矩阵的行数和列数相等，对应位置上的元素进行相加或相减。

数乘指的是矩阵中的每个元素都乘以一个常数。

矩阵的乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，乘法结果的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

1.3 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

转置后的矩阵记作A^T，即A的转置。

转置后，原矩阵的行向量变成了新矩阵的列向量，原矩阵的列向量变成了新矩阵的行向量。

二、行列式的基本概念2.1 行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数学运算。

对于一个n阶方阵A，其行列式定义为一个数D，记作|A|或det(A)。

行列式的计算方法有代数余子式法、行列式按行（列）展开法等。

2.2 行列式的性质行列式具有很多重要的性质。

其中包括行列式的可加性、行列式的数乘性、行列式的转置性质等。

这些性质在行列式的计算和应用中起到了重要的作用。

三、矩阵与行列式的应用3.1 解线性方程组矩阵与行列式在解线性方程组中有着广泛的应用。

通过行列式的性质和高斯消元法，可以快速求解线性方程组的解。

3.2 求矩阵的逆行列式的概念在求矩阵的逆中起到了关键的作用。

如果一个n阶矩阵A的行列式不等于零，那么A是可逆的，可以通过行列式的计算求解矩阵的逆。

矩阵的逆在许多应用中都有着重要的地位。

3.3 计算特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的一个重要概念。

矩阵与行列式的应用知识点总结矩阵与行列式作为线性代数中的两个重要概念，在数学以及实际应用中有着广泛的应用。

本文将对矩阵与行列式的相关知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、矩阵的基本概念和运算法则1.1 矩阵的定义与表示方法矩阵是由 m 行 n 列的数按一定顺序排列成的矩形阵列。

在数学中，常用大写字母表示矩阵，例如A、B、C，其中A 是一个m×n 的矩阵，即包含 m 行 n 列。

矩阵可以用方括号表示，如 A = [a_ij]，其中 a_ij 表示矩阵 A 中第 i行第 j 列的元素。

1.2 矩阵的运算法则矩阵的加法：矩阵 A 和矩阵 B 的和记作 A + B，要求 A 和 B 的行数与列数相等，即同型矩阵，其和的计算是按照对应元素相加的规则进行的。

矩阵的减法：矩阵 A 和矩阵 B 的差记作 A - B，要求 A 和 B 的行数与列数相等，即同型矩阵，其差的计算是按照对应元素相减的规则进行的。

矩阵的数乘：矩阵 A 与一个标量 k 的乘积记作 kA，其计算是将 A的每个元素乘以 k。

矩阵的乘法：矩阵 A 和矩阵 B 的乘积记作 AB，要求 A 的列数等于B 的行数，其计算是按照矩阵乘法的规则进行的。

即 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素分别相乘，并求和。

二、行列式的基本概念和性质2.1 行列式的定义与表示方法行列式是由 n×n 的矩阵所构成的特殊数，一般用竖线或两条竖线扩起来表示，如 |A| 或 det(A)，其中 A 表示一个 n×n 的矩阵。

2.2 行列式的计算方法二阶行列式：对于二阶行列式 A = |a_ij|，其计算公式为 |A| =a_11a_22 - a_12a_21。

三阶行列式：对于三阶行列式 A = |a_ij|，其计算公式为|A| = a_11a_22a_33 + a_12a_23a_31 + a_13a_21a_32 - a_13a_22a_31 - a_11a_23a_32 - a_12a_21a_33。

行列式与矩阵
行列式和矩阵是线性代数中非常重要的概念。

行列式是一个标量，描述的是一个方阵的性质。

对于一个 n 阶方阵 A，它的行列式通常记作 det(A) 或 |A|。

行列式的值可以用来判断这个方阵是不是可逆矩阵，即是否存在它的逆矩阵。

当行列式的值为零时，这个方阵是不可逆的。

矩阵是一个二维数组，由数个数排列成的矩形阵列所组成。

矩阵中的元素通常用 aij 或 A(i,j) 表示，其中 i 和 j 分别表示行和列的下标。

在线性代数中，矩阵通常用来表示线性变换，矩阵的乘法和加法也是非常重要的概念。

行列式和矩阵之间有密切的关系。

矩阵的行列式可以通过矩阵中的元素来计算，而矩阵的逆矩阵也可以通过行列式和伴随矩阵来计算。

此外，矩阵和行列式还可以用来解线性方程组，求解特征值和特征向量等。

因此，在学习线性代数时，熟练掌握行列式和矩阵的性质和使用方法是非常重要的。

探索行列式与矩阵运算的关系行列式与矩阵运算的关系一直是线性代数中的重要内容之一。

在本文中，我们将探索行列式与矩阵运算之间的密切联系，从而更深入地理解它们之间的关系。

不局限于一般的解释，我们将通过具体的例子和证明来说明这种联系。

1. 行列式的定义与性质行列式是一个数，它是由矩阵中元素所构成的代数式。

举个例子，对于一个 2x2 的矩阵 A = [a11 a12; a21 a22]，其行列式记作 |A| 或det(A)，可以通过以下公式计算：|A| = a11 * a22 - a21 * a12行列式有很多独特的性质，例如行列式与矩阵的转置、求逆、相乘等操作有关联。

在计算行列式时，我们可以利用这些性质来简化运算，提高效率。

2. 矩阵的运算及其关系矩阵是由一系列数按照规则排列形成的数学结构。

矩阵的运算包括加法、减法、乘法等操作。

现在我们来看看矩阵与行列式运算之间的关系。

2.1 矩阵乘法与行列式对于两个矩阵 A 和 B，它们的乘积 AB 可以按照以下公式计算： AB = [c11 c12; c21 c22]其中 c11 = a11 * b11 + a12 * b21，c12 = a11 * b12 + a12 * b22，c21 = a21 * b11 + a22 * b21，c22 = a21 * b12 + a22 * b22。

这与行列式的计算公式非常相似，可以观察到矩阵乘法中的每个元素与行列式中的每一项对应。

2.2 矩阵转置与行列式矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。

行列式在转置后的矩阵中保持不变。

换句话说，如果 A 是一个矩阵，那么 |A| =|A^T|。

2.3 矩阵求逆与行列式对于一个可逆矩阵 A，它的逆矩阵记作 A^(-1)，满足 A * A^(-1) = I，其中 I 是单位矩阵。

矩阵的逆与行列式之间存在下列关系：如果|A| ≠ 0，则 A 是可逆矩阵；反过来，如果 A 是可逆矩阵，则|A| ≠ 0。

矩阵a和行列式a的关系矩阵a和行列式a（记作|a|）是线性代数中的两个重要概念，二者之间存在一定的关系。

本文将从矩阵和行列式的定义、性质以及它们之间的联系三个方面展开论述。

我们来看一下矩阵和行列式的定义。

矩阵是一个按照矩形排列的数表，由m行n列的元素组成。

一般地，用大写字母表示矩阵，例如矩阵A。

行列式是一个由n个数按照一定规律排列成的一个数，表示为|A|或det(A)，其中A是一个n阶方阵。

行列式的值是一个标量，可以用来衡量矩阵的某些性质。

接下来，我们来探讨一下矩阵和行列式的性质。

矩阵有加法、减法和数乘运算，可以进行矩阵的转置、相等判断以及相乘等操作。

行列式也有一系列的性质，包括行列式的展开定理、行列式的性质和行列式的计算方法等。

这些性质为我们研究矩阵和行列式的关系提供了基础。

我们来看一下矩阵和行列式之间的联系。

矩阵的行列式可以通过矩阵的元素计算得到。

具体而言，对于一个2阶矩阵A，其行列式可以表示为|A| = a11*a22 - a12*a21。

对于一个3阶矩阵A，其行列式可以表示为|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a12*a21*a33 - a11*a23*a32。

我们可以看到，行列式的计算涉及到矩阵的各个元素。

这说明了矩阵和行列式之间的密切联系。

除了矩阵的行列式，行列式还有其他的一些应用。

行列式可以用来求解线性方程组的解，判断矩阵的可逆性，计算矩阵的逆等。

行列式还有一些重要的性质，例如行列式的行（列）互换、行列式的倍加、行列式的倍乘等。

这些性质在矩阵的运算中起到了重要的作用。

矩阵和行列式是线性代数中的两个重要概念，二者之间存在密切的联系。

矩阵可以用来表示多个向量的集合，而行列式可以用来计算矩阵的某些性质。

矩阵和行列式的性质为我们研究它们之间的关系提供了基础。

行列式的计算涉及到矩阵的各个元素，说明了矩阵和行列式之间的密切联系。

行列式和矩阵的区别二者的不同是什么
矩阵是一个数表;行列式是一个n阶的方阵;矩阵不能从整体上被看成一个数;行列式最终可以算出来变成一个数;矩阵的行数和列数可以不同;行列式行数和列数必须相同。

行列式和矩阵的区别
1行列式和矩阵的不同
1、运算结果上不同
矩阵是一个表格，行数和列数可以不一样；而行列式是一个数，且行数必须等于列数。

只有方阵才可以定义它的行列式，而对于长方阵不能定义它的行列式。

两个矩阵相等是指对应元素都相等；两个行列式相等不要求对应元素都相等，甚至阶数也可以不一样，只要运算代数和的结果一样就行了。

2、运算方式不同
两矩阵相加是将各对应元素相加；两行列式相加，是将运算
结果相加，在特殊情况下(比如有行或列相同)，只能将一行(或列)的元素相加，其余元素照写。

3、性质不同
数乘矩阵是指该数乘以矩阵的每一个元素；而数乘行列式，只能用此数乘行列式的某一行或列，提公因数也如此。

4、变换后的结果不同
矩阵经初等变换，其秩不变；行列式经初等变换，其值可能改变：换法变换要变号，倍法变换差倍数；消法变换不改变。

2行列式是什么意思
若干数字组成的一个方阵，它的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。

行列式和矩阵的区别矩阵就是线性空间中的元素。

行列式就是矩阵的一个性质。

现代数学中的行列式的概念已经被边缘化了，行列式可以说在实际应用中只是一个矩阵的算出来的，很有些用处的值。

行列式和矩阵的区别1行列式和矩阵的区别矩阵相当于向量，行列式相当于向量的模。

一般教学上都先介绍行列式，再进行对矩阵的介绍，我觉得这样是不好的。

应该先了解矩阵。

一开始，在实际应用的时候，会出现很多很多的未知数，为了通过公式解出这些未知数，就进行联立方程组进行求解。

比如要知道x1,x2的值，就联立方程{a*x1+b*x2=ic*x1+d*x2=j}，这样子来求解。

可是啊，现实生活中，特别遇到一些复杂的工艺的时候，就会出现超级多的未知数，所以就会有超级多的方程需要联立求解，像上面的那个2阶方程还好，遇到20多阶的方程，这打死都不想算下去，太心累。

可是不算也不行啊，那怎么办呢？仔细观察，x1，x2的值其实是由a/b/c/d/i/j等这些数决定的，也就是说，我们要找求的未知数，取决于它们的常数项。

那咱就对这些常数项进行研究呗。

首先把这些常数项都列出来，这就形成了矩阵。

现在，我们就是要对这个所谓的矩阵进行研究，找找它的特点。

对数据找特点嘛，就对这些数字随便加减乘除咯，摸索着摸索着，突然有人发现，如果对矩阵用一种特殊的算法，来作为其中之一的特征，好像比较有用。

于是，这个算法就是对矩阵进行行列式计算。

相当于行列式就是这个矩阵的一个特征值或者说属性值。

就像向量中的向量的模一样。

运用这些特征，大伙发现，这个行列式还挺有用，可以验证这个方程组有没有解。

这就是行列式和矩阵的区别。

2行列式的性质1、行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

2、行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

3、若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。