等腰三角形的性质和判定习题

第01讲等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识点01等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则知识点02等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)题型01根据等腰三角形腰相等求第三边或周长【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm 和4cm ，则第三边的长为cm ．【答案】8【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．【详解】解：①若一腰长为8cm ，则底边为4cm ，则第三边的长为8cm ，488+>，故能组成三角形；②若一腰长为4cm ，则底边为8cm ，则第三边的长为4cm ，448+=，故不能组成三角形．故答案为：8．【变式训练】1．（2023上·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）一个等腰三角形有两边分别为3cm 和8cm ，则周长是cm ．【答案】19【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．等腰三角形两边的长为3cm 和8cm ，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3cm ，底边是8cm 时：338+<，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3cm ，腰长是8cm 时，388+>，能构成三角形，则其周长()38819cm =++=．故答案为：19．2．（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）若()2450a b -+-=，则以a ，b 为边长的等腰三角形的周长为．【答案】13或14【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，注意利用分类讨论思想解题．根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a ，b 的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案．【详解】解：∵()2450a b -+-=，且()240a -≥，50b -≥，∴40a -=，50b -=，解得：4a =，5b =，当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为44513++=，当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为55414++=，故答案为：13或14．题型02根据等腰三角形等边对等角求角的度数题型03根据等腰三角形三线合一进行求解【答案】25【详解】解：如图，作BE ∵AB BC =，∴AE CE =，∵AC CD ⊥，90BAD ∠=︒∴EBA BAE BAE ∠+∠=∠+EBA CAD BAE ∠=∠∠=，【答案】10【详解】解：AB 5BD CD ∴==，210BC BD ∴==，故答案为：10．2．两个同样大小的含(1)求AF 的长．(2)求CD 的长．【详解】（1）解：连接AF ，如下图，根据题意，90BAC ∠=︒，AB ∴222(2)BC AB AC =+=∴190452B ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∵F 为BC 中点，题型04根据等腰三角形三线合一进行证明(1)若106BAC DAE ∠∠=︒，(2)求证：BD EC =．【详解】（1）解：∵AB AC =(1180ADE AED ∠=∠=︒∵,AB AC AD AE ==，∴,BF CF DF EF ==，∴BD CE =.【变式训练】1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知AB AE ABC AED BC ED =∠=∠=，，，点F 是CD 的中点，连接AF ，请判断AF 与CD 的位置关系．【答案】垂直【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接AC AD ，，证明ABC AED ≌△△，得到AC AD =，根据等腰三角形三线合一的性质得到AF CD ⊥，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】答：AF CD⊥连接AC AD，∵AB AE ABC AED BC ED=∠=∠=，，∴ABC AED≌△△∴AC AD=又∵点F 是CD 的中点∴AF CD ⊥．2．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【详解】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，如图所示：=，AD∵AB AC=，∴BD CD∴AD为BC的垂直平分线，∵点E在AD上，=，∴BE CE又∵线段AC的垂直平分线交题型05根据等角对等边证明等腰三角形∠，【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点E在BA的延长线上，已知AD平分CAE ∥．求证：ABCAD BC是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，再由角平分线的定义和等量代换得到B C ∠=∠，即可证明ABC 是等腰三角形．【详解】证明：∵AD BC ∥，∴EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，∵AD 平分CAE ∠，∴EAD CAD ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形．【变式训练】【答案】ABC 是等腰三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设4ACD x ∠=，3ECD x =∠，由角平分线的定义得到13BEC x ABC =-∠∠，A =∠【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明题型06等腰三角形的性质和判定综合应用【例题】如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，连接AD ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ．(1)若40C ∠=︒，求BAD ∠的度数；(2)过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，求证：BEF △是等腰三角形．(3)若BE 平分ABC 的周长，AEF △的周长为15，求ABC 的周长．【详解】（1）解：AB AC = ，C ABC ∴∠=∠，∵40C ∠=︒，∴40ABC ∠=︒，AB AC = ，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，90BDA ∴∠=︒，∴90904050BAD ABC ︒︒︒︒∠=-∠=-=；（2）证明：BE 平分ABC ∠，ABE EBC ∴∠=∠，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠，∴EBF FEB ∠=∠，BF EF ∴=，BEF ∴ 是等腰三角形；（3）解：AEF 的周长为15，15AE AF EF ∴++=，BF EF = ，15AE AF BF ∴++=，即15AE AB +=，BE 平分ABC 的周长，=15AE AB BC CE ∴++=，ABC ∴ 的周长+1515=30AE AB BC CE ++=+．【变式训练】1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥于点E ，交AB 于点F ．(1)求证：ADF △是等腰三角形(2)若6,3,4AD BE EF ===，求线段AB 的长．(1)试判断折叠后重叠部分△的面积．(2)求重叠部分AFC△【详解】（1）解：AFC∵四边形ABCD是长方形，∥，∴AD BC一、单选题1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为80︒，则这个等腰三角形的顶角为（）．A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．20︒或100︒【答案】A【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为80︒，∴等腰三角形的顶角为180808020︒-︒-︒=︒．故选：A2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在ABC 中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，30B ∠=︒，则CAD ∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】B【解析】略3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定ABC 是等腰三角形的是（）A ．40B ∠=︒，80C ∠=︒B ．123A BC ∠∠∠=::::C ．2A B C∠=∠+∠D ．三个角的度数之比是2:2:1【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利用三角形内角和定理，等腰三角形的判定，进行计算并逐一判断即可解答．【详解】解：A ．∵40B ∠=︒，80C ∠=︒，A ．16【答案】A 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．先得出ABD ACF ∠=∠，进而得到AF 长，求出AB 出即可．【详解】CE BD ⊥ ，90BEF ∴∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90CAF ∴∠=︒，90FAC BAD ∴∠=∠=︒ABD ACF ∴∠=∠．在ABD △和ACF △中【答案】10︒，80︒，140︒或20︒【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：AP AB =时；当AP AB =时；当BA BP =解：∵130ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，+∵BAC ∠是ABP 的一个外角，∴20BAC APB ABP ∠=∠+∠=︒，∵AB AP =，∵AB AP=，20BAP∠=︒，∴180802BAPABP APB︒-∠∠=∠==︒；当BA BP=时，如图：∵BA BP=，∴20BAP BPA∠=∠=︒，∴180140ABP BAP BPA∠=︒-∠-∠=︒；当PA PB=时，如图：∵PA PB=，∴20BAP ABP∠=∠=︒；综上所述：当ABP是等腰三角形时，故答案为：10︒，80︒，140︒或20︒．11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为5cm的等腰三角形吗?如果能，请求出另两边长．【答案】(1)三角形的三边分别为3cm9cm9cm、、(2)能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．（1）设底边长为x cm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；(1)求BD的长．(2)求BE的长．【答案】(1)4 (2)5，AE CD ⊥Q ，AD AC =，AE ∴平分CAD ∠，CAE DAE ∴∠=∠，在CAE V 和DAE 中，AC AD CAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAE DAE ∴ ≌，CE DE ∴=，90ADE ACE ∠=∠=︒，设BE x =，则8CE DE x ==-，由勾股定理可得：222DE BD BE +=，()22284x x ∴-+=，解得：5x =，5BE ∴=．14．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB AC =，ED AB ∥，分别交BC 、AC 于点D 、E ，点F 在BC 的延长线上，且CF DE =，(1)求证：CEF △是等腰三角形；(2)连接AD ，当AD BC ⊥，8BC =，CEF △的周长为16时，求DEF 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)20【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键．（1）利用等腰三角形的性质得到B ACB ∠=∠，然后推出EDC ECD ∠=∠，DE EC =，结合已知条件，得到结论．当AD BC ⊥时，AB AC =，∴142BD CD BC ===， DEF 的周长DE DF EF =++，∴DEF 的周长CE EF CD =+++15．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）的平分线，DF AB 交AE 的延长线于(1)若120BAC ∠=︒，求BAD ∠(2)求证：ADF △是等腰三角形．【答案】(1)60度(2)见解析(1)求证：BD CE =；(2)若BD AD =，B DAE ∠=∠，求【答案】(1)见解析(2)108BAC ∠=︒【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到B C ∠=∠，即可得出结果；（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到A ABC CB =∠∠，进而得到AB AC =即可；（3）同法（2）可得：BD DE =，利用AB AD BD =+，求解即可；（5）同法（2）得到,PD BD PE CE ==，推出PDE △的周长等于BC 的长即可．掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．【详解】解：（1）∵AE BC ∥，∴,DAE B CAE C ∠=∠∠=∠，∵AE 平分DAC ∠，∴DAE CAE ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形；故答案为：等腰；（2）∵BC 平分ABD ∠，AC BD ∥，∴,ABC DBC ACB DBC ∠=∠∠=∠，∴A ABC CB =∠∠，∴3AB AC ==；故答案为：3；（3）同法（2）可得：7BD DE ==，∴5712AB AD BD =+=+=；故答案为：12；（4）同法（2）可得：,FD BD CE EF ==，∴ADE V 的周长30AD AE DE AD AE DF EF AD AE BD CE AB AC =++=+++=+++=+=；故答案为：30；（5）同法（2）可得：,PD BD PE CE ==，∴PDE △的周长5cm PD PE DE BD CE DE BC =++=++==；故答案为：5cm ．18．（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．（3）当ACD 是等腰三角形，DA DC =时，如图，则50ACD A ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒∴100ACB ACD BCD ∠=∠+=︒∠；当ACD 是等腰三角形，DA AC =时，如图，则65ACD ADC ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒，∴5065115ACB ∠=︒+︒=︒；当ACD 是等腰三角形，CD AC =的情况不存在；当BCD △是等腰三角形，DC BD =时，如图，则1803ACD BCD B ︒-∠=∠=∠=∴2603ACB ACD BCD ∠=+=∠∠当BCD △是等腰三角形，DB =则BDC BCD ∠=∠，设BDC BCD x ∠=∠=，则B ∠=则1802ACD B x ∠=∠=︒-，由题意得，180250x x ︒-+︒=，解得，2303x ︒=，∴8018023ACD x ︒∠=︒-=，∴3103ACB ︒∠=，综上所述：ACB ∠的度数为100。

等腰三角形性质与判定练习题一、选择题1、等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和12两部分，则腰长为（）A、6B、8C、10D、6或82、等腰三角形的周长为19cm，其中一边长为5cm,则该等腰三角形的底边边长为（）A、9cmB、5cmC、9cm或5cmD、10cm3、等腰三角形的腰长等于2m，面积等于1m2，则它的顶角等于（）A、150°B、30°C、150°或30°D、60°4、若等腰三角形的周长为10，一边长为4,则此等腰三角形的腰长为（）A、2B、3C、4D、3或45、下列说法中正确的是（）A、等腰三角形的两个底角的角平分线所夹的角是这个等腰三角形顶角的两倍B、在等腰三角形中“三线合一”是指等腰三角形的中线、高线、角平分线重合C、等边对等角D、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形6、等腰三角形有两条边长为3和5,则它的周长可以是（）A、12B、11C、10D、11或137、等腰三角形的对称轴有( ）A、一条B、二条C、三条D、一条或三条8、等腰三角形周长为36cm,两边长之比为4：1,则底边长为（）A、16cmB、4cmC、20cmD、16cm或4cm9、等腰三角形的周长是18cm,其中一边长为4cm，其它两边长分别为（）A、4cm，10cmB、7cm,7cmC、4cm，10cm或7cm，7cmD、无法确定10、一个等腰而非等边的三角形,它的所有的内角平分线、中线和高的条数为（)A、9B、6C、7D、311、已知等腰三角形的两边长分别为8与16,则其周长为（)A、32B、40C、32或40D、8或1612、一个等腰三角形的周长是16,其中一边长是6，另两边长分别是（）A、6和10B、6和4C、5和5D、5和5或4和613、等腰三角形ABC，其中AB=8cm，周长为20cm，则这个等腰三角形的腰长是( ）A、8cmB、4cmC、6cmD、6cm或8cm14、等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（)A、4cm或10cmB、4cm或7cmC、4cmD、7cm15、如右图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，则∠A是( ）A、30°B、45°C、60°D、20°16、有下列命题说法:①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个17、等腰三角形中一个角是40°,则另外两个角的度数分别是（)A、70°，70°B、40°,100°C、40°，40°D、70°，70°或40°，100°18、如右图，一钢架中,∠A=15°,焊上等长的钢条来加固钢架．若A P1=P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（)条．A、4B、5C、6D、719、若△ABC的三边a，b,c满足(a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是( ）A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、锐角三角形20、如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高,那么这个三角形一定是( ）A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形二、填空题1、一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为_______2、等腰三角形的两边长分别为4和9,则第三边长为_________ ．3、等腰三角形的对称轴最多有_________ 条．4、一个等腰三角形周长为5，它的三边长都是整数，则底边长为_________ ．5、若等腰三角形的三条边长分别为a2+1，a+1，4a﹣3,则a可以取的值为_________ ．6、等腰三角形一个底角为36°，则此等腰三角形顶角为_________ 度．7、等腰三角形的两边长为5cm,10cm，则它的周长等于_________ cm．8、一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，则它的各个内角的度数是_________ ．9、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为_________ ．10、如图，B在AC上，D在CE上,AD=BD=BC，∠ACE=25°,∠ADE=_______度．10题图 11题图 13题图 15题图11、如图,在△ABC中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为D,且AB+BD=CD，则∠BAC的度数是_______ 度．12、一个三角形有两条边相等，周长为18cm，三角形的一边长为4cm，则其他两边长分别为_________ cm．13、如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC,DE∥BC，则图中等腰三角形有______个．14、在△ABC中，AD⊥BC于D，且BD=CD，若AB=3，则AC= _________ ．15、如图，在△ABC中,BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_________ cm．16、如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有_________个.17、如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（填序号）______三、解答题1、如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．试判断△OBC的形状，并证明2、已知:如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠1=∠2．求证:OA平分∠BAC．3、已知:点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F,且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．4、如图,在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上,BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．5、已知，如图△ABC中，AB=AC，D点在BC上，且BD=AD，DC=AC．求∠B的度数．6、如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC 的长为5cm，求△ABC的周长．7、△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，E在BC的延长线上，且CE=CD。

等腰三角形性质及判定等腰三角形的性质知识点一：等腰三角形的定义1.等腰三角形的两边的长为3和5，则其周长为_____________2.等腰三角形的两边的长分别为2和4，则取周长为__________3.等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为________4.等腰三角形的一个角为40°，则其余角度为_____________5.等腰三角形的一个角为120°，则其余角为____________知识点二等边对等角6.△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是___________7.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=80°，则∠B的度数为_________。

第7题第8题第9题8.如图，在△ABC中，AB=AC,AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC=___________9.如图，△ABC中，AB=AC,∠B=40°，CD=AC,则∠DAC=_________，∠DAB=__________-10.如图，△ABC中，AB=AC,AE平分△ABC的外角∠DAC,求证：AE∥BC。

知识点三：等腰三角形的“三线合一”11.在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长为_________-12.在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，若∠BAD=20°，则∠C=_________13.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证：DE=DF14.如图，已知AB=AC=AD,且AD∥BC，求证：∠C=2∠D15.在△ABC中，AC=AB,点D在AB上，BC=BD,∠ACD=15°，求∠B的度数。

16.如图，AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数。

17.如图1.在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.(1)若∠A=50°，则∠DBC=__________,∠A= ,则∠DBC=____________(2)如图2，若∠BAC为钝角，猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并给予证明。

等腰三角形的性质与判定 题型等腰三角形的性质性质1.等腰三角形的两底角相等，两腰相等；性质2.等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）等腰三角形的判定判定1.两边相等的三角形是等腰三角形判定2.两角相等的三角形是等腰三角形题型一：等腰三角形的角度问题例1. 若等腰三角形中的一个角等于50°，则另外两个角的度数分别是（ ）A. 65°，65°B. 50°，80°C. 50°，50°D. 65°，65°或50°，80°例2. 若等腰三角形中的其中一角为120°，则它的三个角的度数分别是 。

例3. 已知一个等腰三角形的一个外角是135°，则它的底角为 。

例4. 已知一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的7倍，则它的三个角度数分别是 。

例5. 已知一个等腰三角形的两个角分别是（2x-2）°，（3x-5）°，求这个等腰三角形各角的度数。

题型二：等腰三角形的边长问题例1. 一个三角形的三边分别为4，x ，7，那么x 的取值范围是（ ）A. 3<x<11B. 4<x<7C. x>3D. -3<x<7例2. 等腰三角形有两边长是3cm 和4cm ，则这个等腰三角形的周长为 。

例3. 等腰三角形有两边长是4cm 和9cm ，则这个三角形的周长是（ ）A. 17cmB. 22cmC. 18cmD. 17cm 或22cm例4. 已知三角形的三边长分别为7，x ，13，若x 为整数，那么这样的等腰三角 形的周长为 。

例5. 已知一个等腰三角形的三边长分别为x ，2x ，5x-3，求这个三角形的周长例6. 已知等腰三角形的底边BC=6，且3=-BC AC ,那个腰AC 的长为（ ）A. 9B. 6C. 3D. 9或者3题型三：无图需分情况讨论例1. 等腰三角形的一个角是70°，则一腰上的高与另一腰的顶角为（ ）A. 20°B. 20°或50°C. 50°D. 70°例2. 若等腰三角形的底边长15，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差是 8，则腰长是（ ）A. 7B. 23C. 7或者23D. 以上都不对例3. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°则该等腰三角形底角的度数是（ ）题型四：性质判定的综合应用（期中试卷21，22,23讲解）。

等腰三角形的性质及判定一．选择题（共30小题）1．如图，已知AB＝AC＝BD，那么（）A．∠1＝∠2B．2∠1+∠2＝180°C．∠1+3∠2＝180°D．3∠1﹣∠2＝180°2．如图，△ABC中，CA＝CB，∠A＝20°，则三角形的外角∠BCD的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．140°3．若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个4．如果某等腰三角形的两条边长分别为4和8，那么它的周长为（）A．16B．20C．20或16D．不确定5．△ABC中，AB＝AC，顶角是120°，则一个底角等于（）A．120°B．90°C．60°D．30°6．已知等腰三角形ABC的两边满足+|6﹣BC|＝0，则此三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（不含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．3个C．2个D．1个8．已知等腰三角形的两边长分别为6和1，则这个等腰三角形的周长为（）A．13B．8C．10D．8或139．若等腰三角形的周长为26cm，底边为11cm，则腰长为（）A．11cm B．11cm或7.5cmC．7.5cm D．以上都不对10．若实数m、n满足|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12B．15C．12或15D．911．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．在射线BC上取一点D，使得△ABD 为等腰三角形，这样的等腰三角形有几个？（）A．2个B．3个C．4个D．5个12．若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（）A．15或17B．16C．14D．14或1613．若等腰三角形的顶角为70°，则它的一个底角度数为（）A．70°或55°B．55°C．70°D．65°14．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．等腰三角形的一个角是30°，则这个等腰三角形的底角为（）A．75°B．30°C．75°或30°D．不能确定16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于E，CD平分∠ACB 交BE于D，图中等腰三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个17．如图，直线l1，l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1，l2上找一点C，使△ABC 为一个等腰三角形，满足条件的点C有（）A．2个B．4个C．6个D．8个18．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（）A．54°B．60°C．72°D．76°19．如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（）A．AB＝AC B．AD⊥BCC．∠BAD＝∠CAD D．△ABC是等边三角形20．等腰三角形的边长为2和3，那么它的周长为（）A．8B．7C．8或7D．以上都不对21．等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（）A．55°B．70°C．40°或70°D．55°或70°22．如图所示，在三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在BC上分别取点D，E使∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，则图中的等腰三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个23．三角形三个内角的比是∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．不能确定24．小方画了一个有两边长为3和5的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为（）A．11B．13C．8D．11或1325．如图钢架中，∠A＝a，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．若P1A ＝P1P2，且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是（）A．15°≤a＜18°B．15°＜a≤18°C．18°≤a＜22.5°D．18°＜a≤22.5°26．已知等腰△ABC中，∠A＝120°，则底角的大小为（）A．60°B．30°或120°C．120°D．30°27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，该三角形的面积为65，点D是边BC上任意一点，则点D分别到边AB，AC的距离之和等于（）A．5B．6.5C．9D．1028．如图，直线L1∥L2，点A、B在L1上，点C在L2上，若AB＝AC、∠ABC＝70°，则∠1的大小为（）A．20°B．40°C．35°D．70°29．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°30．等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则另两条边的长是（）A．5、5B．2、8C．5、5或2、8D．以上结果都不对二．填空题（共15小题）31．等腰三角形的一个内角为30°，那么其它两个角的度数为______．32．已知AD是△ABC的高，若AB＝AC，BC＝4，则CD＝______，33．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在y轴上找一点P，使△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点共有______个．34．如图，直线a、b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有______．35．若等腰三角形的两边的长分别为3和10，则它的周长为______．36．如果等腰三角形的两边长分别是6、8，那么它的周长是______．37．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AE＝AO，BF＝BO，则∠EOF的度数是______．38．等腰△ABC的边长分别为6和8，则△ABC的周长为______．39．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是______．40．已知等腰三角形的周长为20，底长为x，则x的取值范围是______．41．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为______cm．42．如图，△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上两点，AD＝AE，BE＝6，DE＝4，则EC ＝______．43．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C═30°，DA⊥BA于点A，BC＝16cm，则AD＝______．44．如图，AB＝AC＝CD，∠BAC＝56°，则∠B＝______，∠D＝______．45．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有______个．三．解答题（共5小题）46．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．47．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，①求证：△APF是等腰三角形；②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．48．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．49．已知等腰三角形的周长为24cm，其中两边之差为6cm，求这个等腰三角形的腰长．50．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE平分∠ACB，EC＝EA．（1）求∠A的度数；（2）若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数．等腰三角形的性质及判定参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．解：∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠1，∵∠1＝∠C+∠2，∴∠BAD＝∠1＝∠C+∠2，∵∠B+∠1+∠BAD＝180°，∴∠C+2∠1＝180°，∵∠C＝∠1﹣∠2，∴∠1﹣∠2+2∠1＝180°，即3∠1﹣∠2＝180°．故选：D．2．解：∵CA＝CB，∠A＝20°，∴∠B＝∠A＝20°，∴∠BCD＝∠A+∠B＝40°，故选：B．3．解：如图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有2个．故选：C．4．解：若4为腰，8为底边，此时4+4＝8，不能构成三角形，故4不能为腰；若4为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为4，8，8，周长为4+8+8＝20，综上三角形的周长为20．故选：B．5．解：∵△ABC中，AB＝AC，顶角是120°，∴∠B＝∠C，∠A＝120°∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝＝30°，故选：D．6．解：∵+|6﹣BC|＝0，∴AB﹣3＝0，6﹣BC＝0，解得AB＝3，BC＝6，（1）若AB是腰长，BC为底，则三角形的三边长为：3、3、6，不能能组成三角形，（2）若AB是底边长，BC为腰，则三角形的三边长为：3、6、6，能组成角形，周长为3+6+6＝15．故此三角形的周长为15．故选：B．7．解：过A作AE⊥BC，∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，∴AE＝＝3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD＝3或4，∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4，3，4，∴点D的个数共有3个，故选：B．8．解：当等腰三角形的腰为1时，三边为1，1，6，1+1＝2＜6，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为6时，三边为1，6，6，三边关系成立，周长为1+6+6＝13．故选：A．9．解：∵11cm是底边，∴腰长＝（26﹣11）＝7.5cm，故选：C．10．解：|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，∴m﹣3＝0，n﹣6＝0，解得m＝3，n＝6，当m＝3作腰时，三边为3，3，6，不符合三边关系定理；当n＝6作腰时，三边为3，6，6，符合三边关系定理，周长为：3+6+6＝15．故选：B．11．解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，①如图1，当AB＝AD＝10时，CD＝CB＝6时，CD＝CB＝6，得△ABD的等腰三角形．②如图2，当AB＝BD＝10时，△ABD是等腰三角形；③如图3，当AB为底时，AD＝BD时，△ABD是等腰三角形．故选：B．12．解：当4为底边时，腰长为6，则这个等腰三角形的周长＝4+6+6＝16；当6为底边时，腰长为4，则这个等腰三角形的周长＝4+4+6＝14；故选：D．13．解：∵等腰三角形的顶角为70°，∴它的一个底角度数为（180°﹣70°）＝55°，故选：B．14．解：如图所示：由勾股定理得：AB＝＝，①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点；②若AB＝AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；若AC＝BC，则不存在这样格点．∴这样的C点有5个．故选：D．15．解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣30°）÷2＝75°；②当这个角是底角时，底角＝30°；故选：C．16．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴△ABC是等腰三角形．∴∠C＝∠ABC＝72°．∵BD平分∠ABC交AC于E，∴∠ABE＝∠EBC＝36°，∵∠A＝∠ABE＝36°，∴△ABE是等腰三角形．∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，∴△BEC是等腰三角形．∵∠DBC＝∠DCB＝36°，∴△BCD是等腰三角形，∵∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝72°＝∠DEC，∴△CDE是等腰三角形，∴共有5个等腰三角形．故选：C．17．解：以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点；以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点，再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点，共有8个点，故选：D．18．解：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝36°，∵BC∥AO，∴∠BCA＝∠A＝36°，∴∠BCO＝72°，∵OB＝OC，∴∠B＝72°．故选：C．19．解：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴选项A不符合题意；∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴选项B、选项C不符合题意；当△ABC中有一个角为60°时，△ABC是等边三角形，∴选项D符合题意；故选：D．20．解：分两种情况讨论：当这个三角形的底边是2时，三角形的三边分别是2、3、3，能够组成三角形，则三角形的周长是8；当这个三角形的底边是3时，三角形的三边分别是2、2、3，能够组成三角形，则三角形的周长是7．故等腰三角形的周长为8或7．故选：C．21．解：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为＝70°．故选：B．22．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，∵∠BAD＝∠B＝36°，∴△ABD是等腰三角形，∵∠CAE＝∠C＝36°，∴△AEC是等腰三角形，∴∠ADC＝∠DAC＝72°，∴△ADC是等腰三角形，同理，△ABE是等腰三角形，∴∠ADE＝∠AED＝72°，∴△ADE是等腰三角形，故选：D．23．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°．则该三角形的等腰直角三角形．故选：B．24．解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3时，能构成三角形，周长＝2×3+5＝11；（2）当腰长为5时，能构成三角形，周长＝2×5+3＝13．故选：D．25．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A＝4α°，∵要使得这样的钢条只能焊上4根，∴∠P5P4B＝5α°，由题意，∴18°≤α＜22.5°．故选：C．26．解：∵在等腰△ABC中，∵∠A＝120°，∴∠A为等腰三角形的顶角，∴∠B＝∠C，∵∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°；故选：D．27．解：连接AD，∵在△ABC中，AB＝AC＝13，该三角形的面积为65，∴三角形ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积＝AB•DN+AC•DM＝AB•（DN+DM）＝×13×（DN+DM）＝65，解得：DN+DM＝10．故选：D．28．解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∵直线l1∥l2，∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．29．解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝＝70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选：D．30．解：当腰长为8时，底长为：18﹣8×2＝2；2+8＞8，能构成三角形；当底长为8时，腰长为：（18﹣8）÷2＝5；5+5＞8，能构成三角形．故另两条边的长是5、5或2、8．故选：C．二．填空题（共15小题）31．解：①30°是顶角，则底角＝（180°﹣30°）＝75°；②30°是底角，则顶角＝180°﹣30°×2＝120°．∴另两个角的度数分别是75°、75°或30°、120°．故答案为75°、75°或30°、120°．32．解：∵AD是△ABC的高，AB＝AC，∴CD＝BD＝BC＝4＝2，故答案为：2．33．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P．③当AP＝BP时，在y轴上有一点满足条件的点P．综上所述：符合条件的点P共有4个．故答案为：434．解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，1+1+2＝4，故答案为：435．解：（1）若3为腰长，10为底边长，由于3+3＜10，则三角形不存在；（2）若10为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为10+10+3＝23．故答案为：23．36．解：当6是腰长时，周长＝6+6+8＝20；当8是腰长时，周长＝6+8+8＝22．故周长是20或22．故答案为：20或22．37．解：∵Rt△ABC中，AC⊥BC，∴∠A+∠B＝90°，∵AE＝AO，BF＝BO，∴∠AOE＝∠AEO＝，∠BOF＝∠BFO＝，∴∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF＝180°﹣（+）＝（∠A+∠B）＝45°，故答案为45°．38．解：当6为底时，三角形的三边为6，8、8可以构成三角形，周长为6+8+8＝22；当8为底时，三角形的三边为8，6、6可以构成三角形，周长为8+6+6＝20．则△ABC的周长为22或20．故答案为：22或20．39．解：设底角为x°，则顶角为3x°，根据题意得：x+x+3x＝180解得：x＝36；故答案为：36°．40．解：根据三角形的三边关系，x＜（20﹣x），解得x＜10，∴x的取值范围是0＜x＜10．故答案为：0＜x＜10．41．解：设较短的边长为xcm，则较长的边长为2xcm，①若较短的边为底边，较长的边为腰，则x+2x+2x＝20，解得x＝4，此时三角形三边长分别为4cm，8cm，8cm，能组成三角形；②若较短的边为腰，较长的边为底边，则x+x+2x＝20，解得x＝5，此时三角形三边长分别为5cm，5cm，10cm，∵5+5＝10，∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能围成三角形；综上所述，等腰三角形的腰长8cm，故答案为8．42．证明：∵BE＝6，DE＝4，∴BD＝BE﹣DE＝2，过A作AP⊥BC于P，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝CP，同理有DP＝EP，∴CE＝BD＝2，故答案为：2．43．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣2×30°＝120°，∵DA⊥BA，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，∴BC＝BD+CD＝2AD+AD＝3AD，∵BC＝16cm，∴AD＝cm，故答案为：cm．44．解：∵AB＝AC，∠BAC＝56°∴∠B＝∠ACB＝＝62°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∴∠D＝∠ACB＝31°，故答案为：62°，31°．45．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故答案为：8．三．解答题（共5小题）46．解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°．则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．47．①证明：∵EF∥AD，∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠P，∴AF＝AP，即△APF是等腰三角形；②AB＝PC．理由如下：证明：∵CH∥AB，∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，∵EF∥AD，∴∠1＝∠3，∴∠H＝∠3，在△BEF和△CDH中，∵，∴△BEF≌△CDH（AAS），∴BF＝CH，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠H，∴AC＝CH，∴AC＝BF，∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，∴AB＝PC．48．解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，（2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，∴∠DAC＝45°，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝15°，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°；（3）∠DAE＝∠BAC，理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x ∴∠DAE＝∠BAC．49．解：设三角形的腰为x，底为y，根据题意得或，解得或，又知6+6＜12，不能构成三角形，即等腰三角形的腰长为：10cm．50．解：（1）∵EA＝EC，∴设∠A＝∠2＝x，∵EC平分∠ACB，∴∠ACB＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2x，在△ABC中，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°；（2）∵∠A＝∠2，∴∠2＝36°，∵BD⊥AC，∴∠DFC＝90°﹣36°＝54°，∴∠1＝∠DFC＝54°．第1页（共1页）。

等腰三角形性质：1、若等腰三角形的底角等于︒15，则顶角等于2、若等腰三角形的一个角为︒50，则其他两个角的度数为 ； 若一个角为︒100，则其他两个角为3、若等腰三角形的顶角为︒n ，则底角为4、如图，在ABC ∆中，AC AB =，点D 在AC 上，且AD BC BD ==，则A ∠的度数为5、如图，BC AD //，AC AB =，︒=∠80BAC ，则=∠B ，=∠DAC6、如图，在ABC ∆中，C B ∠=∠，BC FD ⊥，AB DE ⊥，︒=∠158AFD ，则=∠EDF7、如图，ABC ∆中，AC AB =，E 为BC 中点，AC BD ⊥于D ，若︒=∠20EAC ，则=∠DBC ，=∠ABD 8、如图，等边ABC ∆中，CE BD =，AD 、BE 相交于P ，则=∠APE9、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为︒30，它的腰长为a ，则底边上的高为10、如上图，在ABC ∆中，D 、E 是BC 上两点，并且BD AB =，EC AC =，若︒=∠100BAC ，则=∠DAE11、若等腰三角形的两边a 、b ，满足0)1132(22=-+++-b a b a ，则此等腰三角形的周长为12、等腰三角形的一个底角的补角（ ）A.可以是钝角B. 可以是锐角C. 可以是直角D. 只能是钝角13、等腰三角形的一个底角的余角（ ）A.顶角B. 顶角的一半C. 顶角的两倍D. 一腰上的高与另一腰的夹角14、下列命题为假命题的是（ ）A.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行B.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C.有一角为︒150且有一腰相等的两个三角形全等D.等腰三角形的底边不可以是腰的二倍15、如图，在ABC ∆中AC AB =，BD BC =， EB DE AD ==，=∠A16、等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长为17、如图，ABC ∆中，BC AC =，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的平分线，︒=∠48EAD ，则为=∠ACD18、如图，ABC ∆中，AC AB =，AD 和BE 是高，它们相交于点H ，且BE AE =，求证：BD AH 2=19、在等边ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、BC 上的点，且BE AD =，AE 、CD 相交于点F ，CD AG ⊥于G ，求证：FG AF 2=20、在ABC ∆中，BAC ∠的平分线与BC 边的垂直平分线相交于点P ，过点P 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：CN BM =21、在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AC DE //交AB 于E ，EF 平分AED ∠交BC 延长线于F ，求证：B CAF ∠=∠22、在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，CB CA =，AB CD ⊥于D ，CE 平分BCD ∠交AB 于E ，AF 平分CAD ∠交CD 于F ，求证：BC EF //23、已知：AD AB =，CE AE ⊥于点E ，AE 平分BAC ∠，求证：AC AB AE +=2等腰三角形性质答案：1、︒1502、︒50和︒80，︒65和︒65；︒40和︒403、2180︒-︒n 4、︒36 5、︒50，︒506、︒687、︒20，︒50 8、︒60 9、a 21（钝角三角形）或a 23（等边三角形）10、︒40 11、7 12、D 13、B 14、B 15、︒4516、22 17、︒56 第19题：易证CAE ∆≌BCD ∆，BCD CAE ∠=∠∴，由等边三角形知， CAE ACD DCB ACD ACB ∠+∠=∠+∠=︒=∠60，∴︒=∠60AFG ， ︒=∠30FAG ，ΘCD AG ⊥，在∆Rt 中，︒30角所对的边是斜边的一半 ∴FG AF 2=第20题：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；角平分线上的点到角的两边距离相等，连结PB 、PC ，易得PC PB =，PN PM =，由HL 定理 得CN BM =第21题：AD Θ平分BAC ∠，CAD EAD ∠=∠∴AC DE //Θ，EDA CAD ∠=∠∴，EDA EAD ∠=∠∴，EA ED =∴ ΘEF 平分AED ∠，由三线合一知，EF 垂直平分AD ，FA FD =∴ADF FAD ∠=∠∴，CAD FAC FAD ∠+∠=∠，BAD B ADF ∠+∠=∠ 而BDA CAD ∠=∠，∴B CAF ∠=∠第22题：Θ︒=∠90ACB ，CB CA =，∴︒=∠=∠45B CAB ΘAB CD ⊥于D ，∴DB CD =，︒=∠=∠45B DCB ΘCE 平分BCD ∠，∴︒=∠=∠5.22ECB DCE ΘAF 平分CAD ∠，∴︒=∠5.22CAF ，易证CAF ∆≌BCE ∆，∴EB CF = ∴DE FD =，∴︒=∠=∠45B FED ，∴BC EF //第23题：延长AB 至F ，使AC BF =；延长AE 至M ，使AE AM 2=；连结CM ，易证CM AC =，CME CAE ∠=∠；AE Θ平分BAC ∠ ∴BAD CAE ∠=∠，BAD CAM ∠=∠∴，CM AF //∴，又CM AC BF ==Θ，∴四边形BFMC 为平行四边形，FM BC //∴， AD AB =Θ， ADB ABD ∠=∠∴，FM BC //Θ， AMF F ∠=∠∴ AM AF =∴，∴AC AB AE +=2。

专题：等腰三角形的性质与判定※题型讲练考点一等腰三角形的性质定理1：“等边对等角”1．等腰三角形的性质定理：(1)性质定理1：等腰三角形的两个相等(该定理可以简写成“”)．注意：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高) ．【例1】(1)已知等腰三角形的一个外角是100°，则其底角的度数是50°或80°．(2)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝___18°_____．(3)如图，在△ABC中，D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，则∠BAC的度数是108°．(4)如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：∠BAF＝∠ACF．变式训练1：1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角为60°或120°．2．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数度数是50°．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA到点E，使AE=AD，求证：ED⊥BC．考点二等腰三角形的性质定理2：“三线合一”(2)性质定理2：等腰三角形的的角平分线、底边上的、底边上的互相重合，简写成“”．【例2】(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD ＝35°，则∠C的度数为___55°_____．(2)如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，则AD的长为____8___．(3)如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，S△ABC＝48cm2，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，则DE等于___4.8____．变式训练2：1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD=20°，则∠ACE的度数是___35°___．2．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，作∠EAB ＝∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连接CF．试证明：BE＝CF．考点三等腰三角形的判定定理：“等角对等边”1．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“”)．【例2】(1)如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为( D )A．3个B．4个C．5个D．6个(2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．(3)如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F．求证：AF＝FB．变式训练3：1．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是____30____．2．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD．考点四等腰三角形的综合问题【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB 、BC 、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．※课后练习1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( D )A．过顶点的直线B．腰上的高所在的直线C．顶角的角平分线D．底边的垂直平分线2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC 的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝(B) A．30°B．45°C．60°D．90°3．如图所示，已知AB＝AC＝BD，那么∠1和∠2之间的关系是(D)A．∠1＝2∠2 B．2∠1－∠2＝180°C．∠1＋3∠2＝180°D．3∠1－∠2＝180°4．已知等腰三角形中有一个内角为70°，则该等腰三角形的顶角度数为70°或40°．5．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于____4 cm ___．6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F．若AF=3，BF=5，则CE的长度为11．7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(2，4)，在坐标轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有8 个．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB．则∠A的度数为45°．9．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE 交AD于F，交AC于E．(1)若BE平分∠ABC，试判断△AEF的形状，并说明理由；(2)若AE＝AF，请证明BE平分∠ABC．10．如图，AD是∠BAC的平分线，AB=AC+DC．求证：∠C=2∠B．证明：在AB上截取AE=AC，连接DE．∵AB=AC+DC，AE=AC，∴BE=DC．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∴△AED≌△ACD( SAS )．∴DE=DC=BE，∠AED=∠C，∴∠B=∠EDB．∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠AED=2∠B，∴∠C=2∠B．11．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过点D 分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．(1)当点D在BC的什么位置时，DE=DF?请给出证明．(2)过点C作AB边上的高CG，请问DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系?并加以证明．解：(1)当D为BC的中点时，DE=DF．∵D为BC的中点，∴BD=CD．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，∴△BED≌△CFD( AAS )，∴DE=DF．(2)CG=DE+DF．连接AD，∵S△ABC=S△ADB+S△ADC，AB×CG=AB×DE+AC×DF，又∵AB=AC，∴CG=DE+DF．12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于点D，E，图1，图2，图3是旋转得到的三种图形．(1)以图2为例证明：PD=PE；(2)△PBE能否构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．。

等腰三角形的性质和判定一、单选题1．以下判断中错误的是（ ）A ．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B ．有一内角为60︒的等腰三角形是等边三角形C ．等腰三角形一定是锐角三角形D ．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合2．如图，在ABC 中，AB AC =，65C ︒∠=，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作//DF AB 交AC 于点E ，则FEC ∠的度数是（ ）．A ．120︒B ．130︒C ．145︒D ．150︒3．如图，直线a ，b 相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O ，点A 在直线a 上，直线b 上存在点B ，使以点O ，A ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或150︒D ．60︒或120︒5．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则△E ＝（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°二、填空题6．已知△ABC 是等腰三角形．若△A =40°，则△ABC 的顶角度数是____．7．如图，AB AC =，若AD 平分BAC ∠，则AD 与BC 的位置关系是_______．8．已知：如图，ABC 中，,BO CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，过O 点的直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，且//DE BC ．若6cm,8cm AB AC ==，则ADE 的周长为______．9．如图，在ABC 中，AB AC =，点E 在CA 延长线上，EP BC ⊥于点P ，交AB 于点F ，若10CE =，3AF =，则BF 的长度为______．三、解答题10．等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长.11．如图，BD 是ABC 的角平分线，DE BC ∥，交AB 于点E ．(1)求证：EBD EDB ∠=∠．(2)当AB AC =时，请判断CD 与ED 的大小关系，并说明理由．12．如图，已知点D 、E 在ABC 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE ∠的度数．13．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分△ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF △BC 交AB 于点F ．（1）若△C ＝36°，求△BAD 的度数．（2）求证：FB ＝FE ．。

22.等腰三角形➢知识过关1.等腰三角形的定义、性质和判定(1)等腰三角形的定义：有____相等的三角形是等腰三角形；(2)等腰三角形的性质①等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)①等腰三角形的顶角平分线、_________底边上的中线互相重合(简称“三线合一”)(3)等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)2.等边三角形的定义、性质和判定(1)等边三角形的的定义：三条边_____的三角形是等边三角形.(2)等边三角形的性质：等边三角形的_____都相等，并且每个角都等于_____(3)等边三角形的判定：有一个角等于_____的等腰三角形是等边三角形.3垂直平分线的性质定理和逆定理线段垂直平分线上的点到线段____的距离相等；到一条线段两端点的_____相等的点在线段的垂直平分线上.➢考点分类考点1等腰三角形的性质与判定例1如图所示，①ABC中，AB=AC，E为AB边上一点，D为①ABC外一点，DE=DC，(1)若AD||BC，求证：①EDC=①BAC；(2)若①EDC=①BAC，求证：AD||BC.考点2等边三角形的性质与判定例2 在等边①ABC中，(1)如图1，P、Q是BC边上的两点，AP=AQ，①BAP=20°，求①AQB的度数；(2)如图2，P、Q是BC边上的两个动点(不与点B、C重合)，点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM、PM，求证：PA=PM考点3 线段垂直平分线的性质例3(1)如图所示，底边BC为23,顶角A为120°的等腰ABC中，DE垂直平分AB于D，则①ACE的周长为( )A.2+23B.2+3C.4D.3(2)如图所示，在①ABC中，AB=BC，①ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则①ABD=________➢真题演练1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，BE平分∠ABC交AC于点E．交AD于点F．则∠EFD的度数为（）A．80°B．100°C．110°D．120°3．在△ABC中，∠A＝80°，若△ABC为等腰三角形，则∠B的度数为（）A．80°或50°B．80°或20°C．50°或20°D．80°或50°或20°4．如图所示，在△ABC中，AC＝BC，边AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，∠A ＝50°，则∠BCD＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H．①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝FB；③∠F AG＝2∠ACF．以上说法正确的是（）A．①③B．①②C．②③D．①②③6．如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC m2．7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，E是BC上一点，且BE＝AB，连结DE，若∠A＝80°，∠CDE＝50°，∠C的度数为．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠CDE＝度．9．等腰△ABC中，AB＝AC，点E为底边BC上一点，以点E为圆心，EA长为半径画弧，交AB于点D，测得∠CAE＝80°，∠EAD＝54°，则∠DEB＝°．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，下面说法正确的有（填写序号）．①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠F AG＝2∠ACF；④AF＝FB．11．在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C ＝70°．（1）求∠BOE的大小；（2）求证：DE＝DC．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，BC ＝DC ，点E 在边AB 上，∠EBC ＝∠EDC ．（1）求证：EB ＝ED ．（2）当∠A ＝90°，求证：∠BED ＝2∠BDA ．13．如图，在△ABC 中，∠BAC 是钝角，∠B ＝2∠ACB ．延长BA 至D ，使得AD ＝BA ．过D 作DE ⊥BC 于E ，连结AC 交DE 于F ，连结AE ，CD ．（1）求证：△EAC 为等腰三角形．（2）若：S △BAE =56S △DCE ，求BE AE 的值．14．如图，△ABC 的两条外角平分线CD 、BD 相交于点D ，MN 过点D ，且MN ∥BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ．（1）求证：MN ＝CN +BM ；（2）若C △AMN +BC ＝2C △ABC ，求C △ABC MN 的值．➢课后练习1．用一条长为18cm的细绳围成一个腰与底边不等的等腰三角形，各边的长可能是（）A．4，4，10B．3.6，7.2，7.2C．4，6，8D．6，6，62．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，过P作BC的平行线，分别交AB，AC于点M，N，则图中等腰三角形的总个数是（）A．2B．3C．4D．53．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠DAB的平分线交BC于点E，DE⊥AE，若AD ＝12，BC＝8，则四边形ABCD的周长为（）A．32B．20C．16D．284．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分线相交于点D．对于以下结论：①AD∥BC；②AD＝AC；③∠ADC＝∠ACB；④∠ADB与∠ADC互余．其中正确结论的个数为（）A．4B．3C．2D．15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E，F分别是AC，BD的中点，连接EF．（1）求证：EF⊥BD；（2）若EF＝3，BD＝8，求AC的长．（简述过程）6．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB．（1）求证：∠B＝2∠C；（2）若AC＝10，AD＝6，求△ABC的周长．7．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE=12（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD ＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．➢冲击A+综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE ⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；【思考尝试】（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP ＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB ＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．。

（苏科版）八年级上册数学《第2章 轴对称图形》2.4 等腰三角形的轴对称性第1课时 等腰三角形的性质和判定◆1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．◆2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”).★用符号语言表示为：在△ABC 中，∵ AB =AC （已知），∴ ∠B ＝∠C （等边对等角）.◆3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.★用符号语言表示为：在△ABC 中，（1）∵AB =AC , ∠1=∠2(已知)，∴BD =CD , AD ⊥BC （等腰三角形三线合一）.（2）∵AB =AC , BD =CD (已知)，∴∠1=∠2 , AD ⊥BC （等腰三角形三线合一）.（3）∵AB =AC , AD ⊥BC (已知)，∴BD =CD , ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.等腰三角形的判定方法：◆1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形.◆2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)．几何语言：在△ABC中，∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.◆3、等腰三角形的判定与性质的区别条件结论作用性质(等边对等角)在同一个三角形中，两边相等.这两边所对的角也相等.证明角相等.判定(等角对等边)在同一个三角形中，两个角相等.这两个角所对的边也相等.证明线段相等.【例题1】（2022•梅江区校级开学）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°．BD 平分∠ABC ，则∠BDC 是（ ）A ．36°B ．60°C ．72°D ．80°【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠ABC 的度数，再根据角平分线的定义可得∠ABD 的度数，然后根据三角形的外角性质解答即可．【解答】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC =180°36°2=72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝72°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；【变式1-1】（2022春•藁城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝DC，AE⊥BD，若∠DAE＝28°，则∠BAE＝ °．【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AE⊥BD，∴∠ARD＝90°，∵∠DAE＝28°，∴∠ADB＝62°，∵∠ABC＝90°，AD＝DC，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠ABD=12×（180°﹣62°）＝59°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝31°，故答案为：31．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式1-2】（2022春•三原县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D．若∠ADE＝40°，则∠CBD＝ ．【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，又由∠ADE ＝40°，即可求得∠ABD的度数，又由AB＝AC，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，∵∠ADE＝40°，∴∠A＝∠ABD＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【变式1-3】（2022春•碑林区校级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（ ）A．30°B．32°C．34°D．36°【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC的度数，根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，可得∠DBA 的度数，进一步即可求出∠DBC的度数．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝70°，∵AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴DA ＝DB ，∴∠DBA ＝∠A ＝40°，∴∠DBC ＝30°，故选：A ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．【变式1-4】（2022春•铁西区期末）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使得CD ＝CA ，连接AD ，若∠D ＝25°，求∠BAC 的度数．【分析】两次利用等边对等角求得∠B ＝∠BCA ＝50°，然后利用三角形的内角和求得答案即可．【解答】解：∵CD ＝CA ，∠D ＝25°，∴∠BCA ＝2∠D ＝50°，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ＝50°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝80°．【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”，难度不大．【例题2】（2022秋•云梦县期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DB ，DE ⊥AB 于点E ，若BC ＝3，且△BDC 的周长为8，则AE的长为（ ）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】根据已知可得BD+CD＝5，从而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．【解答】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8，∴BD+CD＝8﹣3＝5，∵AD＝BD，∴AD+DC＝5，∴AC＝5，∵AB＝AC，∴AB＝5，∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE=12AB＝2.5，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，则AB的长是（ ）A ．17cmB ．12cmC ．14cmD ．34cm【分析】根据垂直平分线的性质可得：AN=BN ，根据△BNC 的周长和BC 的长度得出AC=14cm,再利用AB=AC ，则AB=AC=14cm ．【解答】解：∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AN ＝BN ，∵△BNC 的周长是24cm ，BC ＝10cm ，∴BN +NC +BC ＝AN +NC +BC ＝AC +BC ＝24（cm ），∴AC ＝14cm ，∵AB ＝AC ，∴AB ＝14cm ，故选：C ．【点评】本题考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，求出AC=14cm ．【变式2-2】（2023春•西安月考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE ＝5cm ，则BF ＝（ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm【分析】先得出AD 是△ABC 的中线，得出S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12AB •DE ＝AB •DE ＝5AB ，又S △ABC =12AC •BF ，将AC ＝AB 代入即可求出BF ．【解答】解：∵△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 是△ABC 的中线，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12AB •DE ＝AB •DE ＝5AB ，∵S △ABC =12AC •BF ，∴12AC •BF ＝5AB ，∵AC ＝AB ，∴12BF ＝5，∴BF ＝10（cm ），故选：B ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．【例题3】（2022秋•栖霞区校级月考）如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ．则下列结论：①∠C ＝2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③BC ＝AD ；④OD ＝2CD ．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，根据线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，可求得∠ABD ＝∠DBC ＝∠A ＝36°，∠ABC ＝∠BDC ＝∠C ＝72°，继而求得：①∠C ＝2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③BC ＝AD ．【解答】解：∵AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠C＝2∠A，故①正确；∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，∴∠ABD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC，故②正确；∴∠BDC＝∠C＝72°，∴BC＝BD＝AD，故③正确；由条件不能得出OD＝2CD，故④错误．故选：C．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式3-1】在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°；②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（ ）A．①③④B．①④⑤C．①②⑤D．②④⑤【分析】根据题意画出图形，再根据在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°求出∠C的度数；由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，故可得出∠DBC的度数，进而得出BD是∠ABC的平分线；由三角形内角和定理可求出∠BDC的度数；由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C=180°∠A2=72°，故①正确；∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∴BD是∠ABC的平分线，故②错误；∵在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°．故③错误；∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD∴△ABD是等腰三角形；故④正确；∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴∠CBD＝36°，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，故⑤正确．故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．【变式3-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD＝CD，∠BED＝∠DFC＝90°∴DE＝DF∴AD垂直平分EF∴（4）错误；又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，∴（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF．故选：C．【点评】有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）．【变式3-3】如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【解答】解：∵DE∥AC，∴∠DMA＝∠MAC，∠EMC＝∠MCA，∵△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，∴∠DAM＝∠MAC，∠ECM＝∠MCA，∴∠DAM＝∠DMA，∠EMC＝∠ECM，∴DA＝DM，ME＝EC，即△ADM和△CEM都是等腰三角形；故①正确；∴DE＝DM+EM＝AD+CE，∵AC＞DE，∴AD+CE＜AC，故④错误；∴△BDE的周长为：BD+DE+BE＝DB+DM+ME+BE＝AB+BC；故②正确；根据已知条件无法证明AM＝2CM，故③错误．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．【变式3-4】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC 与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据角平分线的性质即可得到结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：①∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG＝∠CAP，∴∠APG＝∠BAP，∴GA＝GP，故①正确；②∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，∴点P也位于∠BCD的平分线上，∴∠DCP＝∠BCP，故②正确；③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；故选：D．【点评】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．【例题4】（2022春•巴中期末）在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是（ ）A．50°、80°B．50°、80°或65°、65°C．65°、65°D．无法确定【分析】根据等腰三角形的性质分∠B为顶角或底角两种情况求解即可．【解答】解：当∠B＝50°为顶角时，此时∠A＝∠C=180°50°2=65°；当∠B＝50°为底角时，此时另一底角为50°，顶角为80°，故另外两个角分别是50°，80°或65°，65°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意此题有两种情况．【变式4-1】（2022•上杭县校级开学）如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（ ）A．30°B．75°C．30°或75°D．60°【分析】根据等腰三角形的一个外角等于150°，进行讨论可能是底角的外角是150°，也有可能顶角的外角是150°，从而求出答案．【解答】解：①当150°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣150°＝30°；②当150°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣150°＝30°，则底角为：（180°﹣30°）×12=75°，∴底角为30°或75°．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，非常容易忽略一种情况．【变式4-2】（2022秋•南岗区校级月考）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则周长是（ ）A．13B．17C．18D．19【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，舍去；当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．【变式4-3】（2022春•榆次区期中）一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（ ）A．3cm，5cm B．4cm，4cmC．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【解答】解：当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4（cm），能够组成三角形．故另两边长分别为3cm，5cm或4cm，4cm．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．【变式4-4】（2022春•文登区期末）若实数m，n=0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长是（ ）A．6B．8C．10D．8或10【分析】利用非负数的性质求出m，n的值，再分两种情形讨论即可．【解答】解：=0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，解得：m＝2，n＝4，当2是等腰三角形的底时，4，4，2能构成三角形，周长为10，当4是底时，2，2，4不能构成三角形．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．【变式4-5】（2022秋•长汀县校级月考）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）A．15°或75°B．30°C．150°D．150°或30°【分析】方法1：首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．方法2：读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．【解答】解：方法1：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC，如图（1），∠ABD＝60°，则∠A＝30°；如图（2），∠ABD＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°．故这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．方法2：①当为锐角三角形时可以画图，高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°，②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°．故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．【例题5】已知：如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上两点，且AB=AC ，AP=AQ ．求证：BP=CQ ．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO=CO ，PO=QO ，根据等式的性质，可得答案．【解答】证明：过点A 作AO ⊥BC 于O ．∵AB=AC ，AO ⊥BC ，∴BO=CO ， ∵AP=AQ ，AO ⊥BC ，∴PO=QO , ∴BO -PO=CO -QO∴BP=CQ ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质是解题关键．【变式5-1】已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC的角平分线．求证：BD ＝CE ．【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠ECB，而BC＝CB，利用ASA可证△EBC≌△DBC，再利用全等三角形的性质可证BD＝CE．【解答】证明：如图所示，∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，又∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB（ASA），∴BD＝CE．【点评】本题利用等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质．【变式5-2】如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线与BC交于E，求证：AE⊥BC．【分析】由AB＝AC，BD＝CD，AD是公共边，即可证得△ABD≌△ACD（SSS），则可得∠BAD＝∠CAD，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得AE⊥BC．【解答】解：在△ABD和△ACD中，AB=ACAD=AD，BD=CD∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴AE⊥BC．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．【变式5-3】（2023•成武县校级三模）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．【分析】首先连接AD，由AB＝AC，D是BC的中点，根据三线合一的性质，可得∠EAD＝∠FAD，又由SAS，可判定△AED≌△AFD，继而证得DE＝DF．【解答】证明：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD，在△AED和△AFD中，AE=AF∠EAD=∠FAD，AD=AD∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式5-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠CBE＝∠BAD；（2）若CE＝EF，求证：AF＝2BD．【分析】（1）根据∠CBE +∠C ＝90°，∠CAD +∠C ＝90°，得出∠CBE ＝∠CAD ，再根据等腰三角形的性质得出∠CAD ＝∠BAD 即可得证结论；（2）根据AAS 证△BCE ≌△AFE ，得出AF ＝BC ，根据BC ＝2BD ，即可得证结论．【解答】证明：（1）∵∠CBE +∠C ＝90°，∠CAD +∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠CAD ，∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CBE ＝∠BAD ；（2）由（1）知∠CBE ＝∠CAD ，在△BCE 和△AFE 中，∠CBE =∠AFE ∠BEC =∠FEA =90°CE =EF，∴△BCE ≌△AFE （AAS ），∴AF ＝BC ，∵BC ＝2BD ，∴AF ＝2BD ．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．【例题6】（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据“两圆一线”画图找点即可．【解答】解：如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，故选：C．【点评】本题考查“两圆一线”构造等腰三角形的方法，熟练使用两圆一线的方法是解题关键．【变式6-1】如图所示，共有等腰三角形（ ）A．4个B．5个C．3个D．2个【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数．【解答】解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO＝∠DCO＝36°，根据三角形的外角的性质，得∠AOB＝∠COD＝72°．再根据等角对等边，得等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．故选：B．【点评】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定方法．得到各角的度数是正确解答本题的关键．【变式6-2】（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（ ）个．A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】先求出各个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，∴∠A＝54°，∵BC＝BD，∴∠CDB＝∠DCB＝72°，∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°，∴CE＝BE，AE＝CE，∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础题型．【变式6-3】如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于F，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形高线的性质及直角三角形的性质推出∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，从而利用等腰三角形的判定定理得到△ADC是等腰三角形，再根据角平分线的性质得到∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，从而由∠ABF＝∠BAD推出△ABF是等腰三角形，而∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，进而求解．【解答】解：∵AD是边BC上的高线，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，∴△ADC是等腰三角形，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，∴∠ABF＝∠BAD，∴△ABF是等腰三角形，则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，故△ABE为等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定及直角三角形的性质，应充分运用数形结合的思想方法，结合图形从中寻找角之间的关系，结合相关定理及性质进行求解．【变式6-4】（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】分别画出以A点和B点为顶点的等腰三角形，再画出C为顶点的等腰三角形即可．【解答】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：所以符合条件的点C的个数为3个，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．【变式6-5】（2022秋•镇江月考）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．9【分析】分三种情况：当BA ＝BC 时，当AB ＝AC 时，当CA ＝CB 时，然后进行分析即可解答．【解答】解：如图：分三种情况：当BA ＝BC 时，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆，点C 1，C 2，C 3即为所求；当AB ＝AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作圆，点C 4，C 5，C 6，C 7，C 8即为所求；当CA ＝CB 时，作AB 的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，综上所述：满足条件的格点C 的个数是8，故选：C ．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．【例题7】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CDDE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C；∴AB=AC∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE＝DF 是解题的关键．【变式7-1】已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠BAD，等量代换得到∠ADE＝∠CAD于是得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠CAD∴AE＝ED，∴△AED是等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．【变式7-2】如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD ＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形．【解答】证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°．∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠D．∵∠BED＝∠CEF，∴∠D＝∠CEF．∴∠A＝∠C．∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键．【变式7-3】已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形外角的性质，易证得∠B＝∠C，然后由等角对等边，证得：△ABC 是等腰三角形．【解答】证明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【变式7-4】已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC 是等腰三角形．【分析】过点D作DG∥AE于点G，利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF，进而利用ASA得出△GDF ≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，∵DG∥AC∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），在△GDF和△CEF中，∠GDF=∠CEFDF=EF，∠DFG=∠CFE∴△GDF≌△CEF（ASA），∴DG＝CE又∵BD＝CE，∴BD＝DG，∴∠DBG＝∠DGB，∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．【例题8】（2022秋•通州区校级月考）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB＝15，则AC为（ ）A．15B．18C．20D．23【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根据线段的和差关系可得，△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵△AMN的周长为33，AB＝15，∴AM+MN+AN＝33，∴AM+OM+ON+AN＝33，∴AM+MB+CN+AN＝33，∴AB+AC＝33，∴AC＝18，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．【变式8-1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC的长为（ ）A．12B．16C．20D．8【分析】根据角平分线的性质，平行线的性质，可以求得∠B的度数，再根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵CM平分∠ACB交AB于点M，∴∠NCM＝∠BCM，∵MN∥BC∴∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∵MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°；∵AN＝2，∠AMN＝∠B＝30°，∴MN＝2AN＝4，∴NM＝NC＝4，∴AC＝AN+NC＝6，∴BC＝2AC＝12，故选：A．【点评】本题考查含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式8-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（ ）A．10B．11C．13D．15【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM＝5，BM＝2BE＝6，再利用∠4是△BCM的外角，利用等腰三角形判定得到CM＝BM，利用等量代换即可求证．【解答】解：延长BE交AC于M，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM＝5，∵BE⊥AE，∴BM＝2BE＝6，∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5+∠C，∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM＝6，∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，准确添加辅助线构建等腰三角形是解题关键．【变式8-3】（2022春•神木市期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BP、CQ是△ABC两腰上的高，BP与CQ交于点O．求证：△BCO是等腰三角形．【分析】由题意可求得∠ABC＝∠ACB，再由高得∠BQC＝∠CPB＝90°，从而可求得∠OBC＝∠OCB，即有OB＝OC，从而得证△BCO是等腰三角形．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BP、CQ是△ABC两腰上的高，∴∠BQC＝∠CPB＝90°，∵∠OBC＝90°﹣∠ACB，∠OCB＝90°﹣∠ABC，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴△BCO为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．【变式8-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE＝FE，进而可得到△DEF 是等腰三角形；（2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC＝∠BDE，∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B 即可得出结论；（3）由（2）知∠DEF＝∠B，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，BD=CE ∠B=∠C BE=CF，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；。

等腰三角形的性质与判定（人教版）试卷简介:本套试卷主要考查等腰三角形的判定及性质，等边对等角、等角对等边；三线合一等，以此为载体考查同学们几何学习的有序操作能力.一、单选题(共10道，每道10分)1.已知等腰三角形的一个内角为70°,则另两个内角的度数是( )A.55°,55°B.70°,40°C.55°,55°或70°,40°D.以上都不对答案：C解题思路：此题仅告诉我们等腰三角形的一个内角为70°，并没有确定是顶角还是底角，所以需分两种情况考虑.①当70°为顶角时，另外两个角是底角，度数相等，为（180°-70°）÷2=55°，②当70°为底角时，另外一个底角也是70°，顶角是180°-140°=40°．综上，另两个内角度数为55°，55°或70°，40°.故选C．试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质2.一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为( )A.7B.9C.12D.9或12答案：C解题思路：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长，题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还需应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．①若2为腰长，5为底边长，由于2+2<5，则三角形不存在；②若5为腰长，2为底边长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2=12．故选C试题难度：三颗星知识点：三角形的三边关系3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有( )A.5个B.4个C.3个D.2个答案：A解题思路：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°.∵BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，∴，，∴∠DBC=∠BCE，∠CED=∠DBC+∠BCE=36°+36°=72°，∠A=∠ABD，∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=180°-72°-36°=72°，∴△EBC，△ABD是等腰三角形；∵∠BDC=∠BCD，∠CED=∠CDE，∴△BCD，△CDE是等腰三角形，∴图中的等腰三角形有5个．故选A试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的判定及性质4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则下列五个结论:①AD上任意一点到AB,AC两边的距离相等;②AD上任意一点到B,C两点的距离相等;③AD⊥BC,且BD=CD;④∠BDE=∠CDF;⑤AE=AF.其中正确的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案：D解题思路：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）；故AD所在直线可以看成△ABC的对称轴，再根据角平分线的性质、垂直平分线的性质可得①②③④⑤都正确.故选D试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质5.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分∠DAB,且AB=AC=AD,有如下四个结论:①AC⊥BD;②BC=DE;③;④△ABD一定是正三角形.请写出正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.①②③答案：B解题思路：①∵AB=AC=AD，AC平分∠DAB∴AC垂直平分BD，①正确；②由①可知DC=CB，DE=BE，∠DEC=90°，∴DC＞DE∴BC＞DE，②错误；③在Rt△BCE中，∠DBC=90°-∠ACB，在等腰△ABC中，∠BAC=180°-2∠ACB，即∠DAC=180°-2∠ACB，∴，③正确；④△ABD是等腰三角形，但不一定是等边三角形，而且根据题中条件也推导不出△ABD是等边三角形，④错误.正确的为①③，故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的判定与性质6.如图,在△ABC中,BC=9cm,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是( )A.6cmB.9cmC.10cmD.12cm答案：B解题思路：∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE.∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，∴BD=PD，CE=PE，∴PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=9，即△PDE的周长为9cm.故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的判定及性质7.如图,AD⊥BC于点D,D为BC的中点,连接AB,∠ABC的平分线交AD于点O,连接OC,若∠AOC=125°,则∠ABC的度数为( )A.60°B.65°C.70°D.75°答案：C解题思路：∵AD⊥BC，∠AOC=125°，∴∠C=∠AOC-∠ADC=125°-90°=35°，∵D为BC的中点，AD⊥BC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠C=35°，∵BO平分∠ABC，∴∠ABC=2∠OBC=2×35°=70°．故选C试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质8.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=8,,点D为底边BC上一动点(不与点B,C重合),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF的长为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：连接AD，∵AB=AC=8，∴DE+DF=4.故选C试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质9.如图,在3×3的网格中,每个网格线的交点称为格点.已知图中A,B两个格点,请在图中再寻找另一个格点C,使△ABC成为等腰三角形,则满足条件的点C有( )A.4个B.6个C.8个D.10个答案：C解题思路：已知A，B两个定点，再寻找点C使得△ABC为等腰三角形，可知需要利用“两圆一线”解题，即：分别以A，B为圆心，以AB的长为半径画圆；作线段AB的垂直平分线.再来判断点C 的个数.如图所示，图中的10个格点均在圆或垂直平分线上，但是点M，N与A，B在同一直线上，构不成等腰三角形，故舍去，所以有8个点.故选C试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性10.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,已知A(2,-1),P是x轴上的一个动点,如果以点P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P的个数为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：已知O，A两个定点，再寻找点P使得△OAP为等腰三角形，可知需要利用“两圆一线”解题，即：分别以O，A为圆心，以OA的长为半径画圆；作线段OA的垂直平分线，与x轴的交点即为所求.如图所示，图中，，，即为所求．故选C．试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性。

1．如图1，在ABC ∆中，点M ，N 为AC 边上的两点，AM NM =，BM AC ⊥，ND BC ⊥于点D ，且NM ND =，若70A ∠=︒，则(C ∠=)A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒2．等腰ABC ∆的周长为m ，一腰上的中线将周长分成3:5两部分，则这个等腰三角形底边长为()A ．6m B ．2m C ．6m 或2m D ．35m3.如图2，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若8AC =，4BC =．则BD 的长为()A ．1B ．32C ．2D ．524.如图3，在ABC ∆中，AB AC =，点M 在CA 的延长线上，MN BC ⊥于点N ，交AB 于点O ，若3AO =，4BO =，则MC 的长度为()A ．12B ．9C ．10D ．115.如图4，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG CE ⊥于点G ，CD AE =．若8BD =，5CD =，则DCG ∆的面积是()A ．52B ．54C ．154D ．1526.如图5，ABC ∠的平分线BD 与ACB ∠邻补角的平分线CD 相交于点D ，CE 平分ACB ∠于点E ，//CD BA ，5DE =，3CE =，则AB 的长度为()．A ．2825B ．5625C ．125D ．527.如图6，在ABC ∆中，//ED BC ，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G ，F ．若2FG =，4ED =，则EB DC +的值为．8.如图7，在ABC ∆中，AD ，BD 分别是BAC ∠，ABC ∠的平分线，过点D 作//EF AB ，分别交AC ，BC 于点E ，F ．若4AE =，6BF =，则EF 的长为．9.如图8，在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，且BD 平分ABC ∠，过A 作AE BD ⊥于点E ．若64ABC ∠=︒，29C ∠=︒，4AB =，10BC =，则AE =．10.如图9，ABC ∆中，D 为AC 中点，E 为BC 上一点，连接DE ，且2ABC DEC ∠=∠，若7AB =，12CE =，则BC 的长度为．11.如图10，直线44y x =+与坐标轴交于A 、B 两点，点C 为x 轴负半轴上一点，45CAB ∠=︒．则点C 的坐标是．12.如图11，等腰ABC ∆中，AB AC =，CD AB ⊥于D ，点E 在AC 上，连接BE 交CD 于F ，2ABE DCB ∠=∠，10BF CE +=，22CD =，则ABE ∆的面积为．13.如图，在锐角ABC ∆中，点E 是AB 边上一点，BE CE =，AD BC ⊥于点D ，AD 与EC 交于点G ．（1）求证：EA EG =；（2）若10BE =，3CD =，G 为CE 中点，求AG 的长．14.如图，已知ABC ∆中，BE 平分ABC ∠，且BE BA =，点F 是BE 延长线上一点，且BF BC =，过点F 作FD BC ⊥于点D ．（1）求证：BEC BAF ∠=∠；（2）判断AFC ∆的形状并说明理由．（3）若2CD =，求EF 的长．15.如图，在等边三角形ABC 中，D 是AB 上的一点，E 是CB 延长线上一点，连接CD 、DE ，已知EDB ACD ∠=∠．（1）求证：DEC ∆是等腰三角形．（2）当5BDC EDB ∠=∠，8EC =时，求EDC ∆的面积．16.如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，AC AD =，BAC BDC α∠=∠=，CAD β∠=．（1）求证：ABD ADC ∠=∠；（2）当65AED ∠=︒时，求2βα-的度数；（3）2180αβ+=︒时，求证：BD CD =．17.经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．（1）如图1，ABC ∆中，AB AC =，36A ∠=︒，CD 平分ACB ∠，请说明ABC ∆是“钻石三角形”．（2）如图2，已知Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，60C ∠=︒，则Rt ABC ∆“钻石三角形”（填“是”或者“不是”)；若是，其“钻石分割线”必过顶点（填A 或B 或)C ．若不是，请说明理由．（3）在ABC ∆中，20BAC ∠=︒，若存在过点C 的“钻石分割线”，使ABC ∆是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的B ∠的度数．。

等腰三角形的性质一.判断题 (本大题共 40 分)1. 等腰三角形内一点到底边两端点距离相等, 则这点和这个等腰三角形的顶点及底边 中点在同一直线上. ( )2. 已知如图AB ＝AC, OB ＝OC, 则∠ABO ＝∠ACO()3. 如图已知△ABC 中AB ＝AC, AD 平分△ABC 的外角∠EAC, 则AD ∥BC. ()4.()5. 等腰三角形的底角一定是锐角．( )6. 已知如图, △ABC 是等边三角形, D 是BC 中点 DE ⊥AC 于E, 则 EC ＝AC( )7. 等腰三角形的底角不一定是锐角. ( )8. 如图△ABC 中AB ＝AC, D 、E 分别为AC 、BC 上的点, 则DB ＞DE ()9. 等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等 ( ) 10. 等腰三角形两腰上中线的交点到底边的两端点距离相等.( ) 11. 如图, D 是等腰三角形底边BC 上一点. 则 ∠ADC ＞∠C. ( )12. 等腰三角形一腰上中线把它周长分为15cm 和6cm 两部分,则这个三角形三边长为10cm 、10cm 、1cm( )13. 等腰三角形中, 两个角的比为1:4, 则顶角的度数为20°. ( )14. 等边三角形的边长为a, 则高为 a. ( ) 15. 等腰三角形的顶角可以是直角、锐角或钝角. ( )16. 如图, 已知: △ABC 的AB ＝AC, D 是AB 上一点, DE ⊥BC, E 是垂足, ED 的延长线交CA 的 延长线于F, 则AD ＝AF. ( )17. 如图B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠1＝∠2, 则 ∠3＝∠4. ()18. 等边三角形ABC 中, D 是AC 中点, E 为BC 延长线上一点, 且 DB ＝DE. 则 CE ＝CD()19. 已知, △ABC 中, AB ＝AC, ∠B ＝75°, CD ⊥AB 于D, 则CD ＝AB( )20. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.( )21. 如图, B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠3＝∠4, 则∠1＝∠2.()22. 因为等腰三角形的底角一定是锐角, 所以等腰三角形是锐角三角形. ( ) 23. 如图, △ABC 和△CDE 都是等边三角形, 则 AD ＝BE. ()24. 如图, 已知: 四边形ABCD 中, ∠ABC ＝∠ADC, AB ＝AD, 则 CB ＝CD. ()25. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 这个三角形不一定是直角三角形. ( ) 26. 等腰三角形角平分线、高线、中线在同一条直线上 ( ) 27. 已知如图, △ABC 中, ∠B ＞∠C, 点D 是AC 上的一点, 且AD ＝AB, 则∠DBC ＝(∠ABC-∠C)( )28. 如果等腰三角形的顶角为50°, 那么一腰上的高与底边的夹角是40°.( )29. 已知△ABC 中, AB ＝AC, D 在AB 上且∠DCB ＝∠A, 则 CD ⊥AB ( )30. 等腰三角形两腰上的中线相等. ( )31. 已知△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则 ∠DCB ＝∠A( )32. 如图, AB ＝AE, ∠B ＝∠E, CB ＝ED. F 是CD 的中点, 则AF ⊥CD. ()33. 等腰三角形顶角的顶点到两腰中线的距离相等. ( )34. 已知: 如图在△ABC 中, AB ＝AC, D 是BC 延长线上一点, E 是AB 上一点, DE 交AC 于点F , 则 AE ＜AF ()35. 在△ABC 中, AB ≤AC, 延长CB 到D, 使BD ＝BA, 连结AD, 则 AD ＜AC.()36. 已知: 如图, D 为等腰直角△ABC 的直角边BC 延长线上一点, 且CD ＝CE, BE 延长线交AD 于F, 则BF ⊥AD()37. 在△ABC 中, ∠A ＝2∠B, 则BC ＜2AC. ()38. 已知, 如图 AD ＝DC, DE 平分∠ADB, F 是AC 中点, 则DE ⊥DF. ()39. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( )40. 如图, 已知: △ABC 中, ∠ABC ＝2∠C, AH ⊥BC, 垂足为H 延长AB 至D, 使 BD ＝BH,DH 的延长线交AC 于点M, 则MA ＝MC( )二.单选题 (本大题共 60 分)1. 在△ABC 中, AB=AC, ∠A=40°, 点O 在三角形内且∠OBC=∠OCA, 则 ∠BOC 的度数是 [ ]A.110°B.35°C.140°D.55°2. 如图在△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝40°, P 为△ABC 内的一点, 且∠PBC ＝∠PCA,则∠BPC 的度数是[ ]A.115°B.110°C.120°D.130°3. 等腰三角形一边长5cm, 另一边长是3cm, 它的周长是 [ ] A.11cm B.13cm C.11cm 或13cm D.以上都不对4. 等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于 [ ] A.20°、140° B.20°、140°或80°、80° C.80°、80° D.20°、80°5. 已知等腰三角形的一边长为4, 另一边长为9, 则它的周长为[ ]A.17B.17或22C.22D.136. 一个等腰三角形的一个内角为70°, 则它一腰上的高与底边所夹的角的度数为[ ]A.55°B.55°或70°C.20°D.20°或35°7. 等腰三角形顶角的度数是底角度数的4倍, 那么,它的底角的度数是[ ]A.120°B.30°C.60°D.90°8. 有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为 [ ] A.80° B.50° C.80°或50° D.65.5°9. 等腰三角形周长12厘米，其中一边长2厘米，其他两边分别长 [ ] A ．2厘米，8厘米 B ．5厘米，5厘米 C ．5厘米，5厘米或2厘米，8厘米 D ．无法确定10. 等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米, 则它的第三边长为 [ ]A.35cmB.22cmC.35cm 或22cmD.15cm 11. 已知等腰三角形的两个角之比为1∶2, 则顶角的度数是 [ ]A.90°B.36°C.36°或90°D.120° 12. 等腰三角形两边长是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]A.24cmB.33cmC.39cmD.33cm 或39cm13. 等边三角形ABC 中, CD 是∠ACB 的平分线, 过D 作BC 的平行线交AC 于E, 若△ABC 的边长 是a, 则△ADE 的周长是 [ ]A.2aB. aC. aD. a14. 如果等腰三角形的周长为21, 其中一边长为5, 那么此等腰三角形底边长是 [ ] A.11 B.5 C.5或11 D.815. 已知等腰三角形中一个角为50°, 则这个三角形腰上的高和底边夹角的度数为 [ ] A.25° B.40° C.25°或40° D.以上答案都不对16. 在等腰△ABC 中, AB 的长是AC 的二倍, 三角形的周长是40, 则AB 的长等于. [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.1017. 等腰三角形的底边为a, 顶角是底角的4倍. 则腰上的高为 [ ] A.a B. C. a D.2a 18. 已知等腰三角形的一边长为5, 另一边长为6, 则它的周长为 [ ]A.16B.16或17C.17D.1119. 等腰三角形底边长为5厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长之差为3厘米，则 它的腰长为[ ]A ．8厘米B ．5厘米C ．2厘米或8厘米D ．2厘米20. 等腰三角形有一个角是45°, 那么这个三角形是 [ ] A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不唯一确定21. 如图△ABC 中, AB ＝AC, 且EB ＝BD ＝DC ＝CF, ∠A ＝40°, 则∠EDF 的度数为 [ ]A.70°B.110°C.55°D.60°22. 已知等腰三角形的一个角为20°, 则它的另外两个角分别为[ ]A.20°,140°B.80°,80°C.20°,140°或80°,80°D.20°,80°23. 如果一个等腰三角形的一腰是顶角平分线的2倍, 那么这个三角形必有一个内角等于[ ]A.45°B.60°C.90°D.120°24. 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C=90°, ∠DBC=26°,且AD=DB,则∠A=[ ]A.26°B.32 °C.64°D.52° 25. 一个等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数最多有 [ ]A ．3条B ．5条C ．7条D ．9条26. 至少有两边相等的三角形是 [ ] A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形27. 已知：等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.无法确定 28. 如图, AB ＝AC, FD ⊥BC 于D, DE ⊥AB 于E, 若∠AFD ＝155°, 那么∠EDF 的度数是[ ]A.45°B.55°C.65°D.75°29. 一条等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ] A.小于60° B.等于60° C.等于90° D.大于90°30. 等边三角形的高、中线、角平分线共有________条．[ ]A.9B.7C.6D.3 31. 等腰三角形有一个角是，则它顶角的大小为 [ ] A ． B ．C ．D ．32. 等腰三角形的两边长为25cm 和12cm, 那么它的第三条边长为[ ]A.25cmB.12cmC.25cm 或12cmD.37cm 33. 在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，并交AC 于D ．如果∠CDB ＝，那么∠A 等于[ ]A ．B ．C ．D ．34. 若一个等腰三角形的两边分别是3cm 和6cm, 则它的周长为 [ ]A.15cmB.12cmC.12cm 或15cmD.18cm35. 如果一个三角形的三条高线的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么此三角形 [ ] A ．是锐角三角形 B ．是钝角三角形 C ．是直角三角形D ．形状不确定36. 等腰三角形两边是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]A.24cmB.33cmC.39cmD.33cm 或39cm37. 等腰Rt △ABC 中, ∠C ＝90° D 是BC 上一点, 且AD ＝2CD 则 ∠ADB 的度数为 [ ] A.30° B.60° C.120° D.150°38. 已知等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.无法确定39. 已知：如图, △ABD 和△ACE 均为等边三角形, 那么△ADC ≌△AEB 的根据是 []A.边,边,边B.边,角,边C.角,边,角D.角,角,边40. 一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ]A.小于60°B.等于60°C.等于90°D.大于90° 41. 在△ABC 中, AB ＝AC, ∠A+ ∠B ＝130°, 则∠A 、∠B 、∠C 的度数是 [ ]A.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝80°B.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝50°C.∠A ＝50°、∠B ＝50°、∠C ＝80°D.∠A ＝80°、∠B ＝50°、∠C ＝50°42. 等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成角的度数是 [ ] A.42° B.6° C.36° D.46°43. 如图: AB ＝AC, ∠BAD ＝30°AD ⊥BC 且AD ＝AE, 则∠EDC ＝[ ]A.10°B.12.5°C.15°D.20° 44. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 [ ] A.顶角 B.顶角的 C.顶角的2倍 D.底角的45. 等腰三角形边长分别是3和6，这个三角形的周长是[ ] A ．9 B ．12 C ．15D ．12或1546. 用一条长为12cm 的铁丝做等腰三角形, 底和腰的长必须是正整数, 若底的长为xcm, 则腰的长y 可为 [ ]A.5cmB.5cm 或4cmC.4cmD.-5cm47. 一个等腰三角形底边为8cm, 从底边上一个端点引腰的中线, 分三角形周长为两部 分, 其中一部分比另一部分长2cm, 则腰长为 [ ]A.6cmB.10cmC.6cm 或10cmD.以上都不对48. 一个等腰但非等边三角形, 它的角平分线, 中线和高线的条数共为 [ ] A.6 B.7 C.8 D.949. 已知：如图在△ABC 中, AB=AC, CD 为∠ACB 平分线,DE ∥BC,∠A=40°, 则∠EDC 的度数是[ ]A.30°B.36°C.35°D.54°50. 等腰三角形两个角的比为4∶1, 则顶角为 [ ]A.120°B.20°C.120°或20°D.150°51. 如图已知: AB ＝AC ＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足[ ]A.∠1＝2∠2B.2∠1+∠2＝180°C.∠1+3∠2＝180°D.3∠1-∠2＝180°52. 若等腰三角形的两边a 、b 满足，则此等腰三角形的周长为[ ]A ．7B ．5C ．8D ．7或553. 等腰△ABC 中，两腰上的中线BE 、CD 交于O ，则下列判断中错误的是[ ]A ．△ADC ≌△AEB B ．△DBC ≌△ECB C ．△ABE ≌△BCDD ． △BOD ≌△COE54. 从等腰三角形底边上任一点，分别作两腰的平行线所成的四边形的周长等于此等腰三角形的[ ]A ．周长B ．周长一半C ．一腰长D ．两腰长的和 55. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 [ ]A ．顶角B ．顶角的一半C ．顶角的2倍D ．底角的一半56. 如下图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且DE=BE ，DF=DC ，若∠A=，则∠EDF=[ ]A ．B ．C ．D ．57.等腰三角形底边长为5厘米, 一腰上的中线把三角形分成两部分, 其周长之差为3厘米, 则它的腰长为 [ ]A.2厘米B.8厘米C.2厘米或8厘米D.9厘米58.如图△ABC中, AB＝AC, ∠A＝50°, P是△ABC内的一点, 且∠PBC＝∠PCA, 则∠BPC的度数为[ ] A.115° B.100° C.130° D.140°59.如图, △ABC中, AB＝AC, CD⊥AB, 则关于∠A正确的等式是[ ] A.∠A＝∠B B.∠A＝∠ACB C.∠A＝2∠ACB D.∠A＝2∠DCB60.如图在△ABC中, AB＝AC, BC＝BD, AD＝DE＝EB, 则∠A的度数是[ ]A.30°B.36°C.45°D.54°三.填空题 (本大题共 30 分)1.周长为20cm的等腰三角形中, 底边长为acm, 则一腰长为________cm．2.如图△ABC中, AB＝AC, ∠A＝40°, ∠AED＝∠F, 则∠F＝___________度.3.已知等腰三角形有两条边的长分别是3cm和7cm, 那么这个三角形的周长等于__________cm4.已知如图, A、D、C在一条直线上AB＝BD＝CD, ∠C＝40°, 则∠ABD＝______度.5.等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________, 底边长为________．6.等腰三角形的底边为12cm,且腰是底的, 则三角形的周长是_______cm7.已知等腰三角形的一个底角等于顶角的4倍, 则这个等腰三角形的顶角为_______度.8.等腰三角形底边中线与________和________重合．9.已知: 如图: △ABC中, AB＝BC, ∠B＝90°, AD∥BC, ∠D＝70°, 则∠EFA＝____度10.已知：等腰三角形的一个角为100°, 则另两个角的度数为________．11.△ABC中，如果AB=AC，点M是BC边中点，那么M到______两边的距离相等，AM上的点到_____ _两点的距离相等。

ED CA F研习课：等腰三角形的性质和判定 同步练习班级 姓名__________一、选择题1．等腰三角形的对称轴是（ ）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm 3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80°5．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°EDCABHFG二、填空题6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度．7．等腰三角形“三线合一”是 ． 8．等腰三角形的顶角是n°，则两个底角的角平分线所夹的钝角是____________． 9．如图，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF 的度数是_________． 10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；_______⊥________； （3）∵AD ⊥BC ， ∴∠_________=∠________；_______=_________．三、解答题11．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，求证：∠ABC=∠ADC.DCAB四、探究题12．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形．BE 交AC 于F ， AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH 的形状并说明理由．EDCAHF13．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）EDA参考答案:1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．607．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合8．（90+ 12n）°9．70°10．略11．略12．①证明：∵△ABC和△CDE均为等边三角形∴AC=BC，EC=DC，∠ACB﹦∠ECD=60°∴∠ACD﹦∠ECB∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；②证明：由①知△ACD≌△BCE∴∠CBF﹦∠CAH∵∠ACB﹦∠ECD=60°，点B、C、D在同一条直线上∴∠ACB﹦∠ECD=∠ACH=60°又∵AC=BC∴△ACH≌△BCF（ASA），∴CF=CH；③答：△CFH是等边三角形，理由如下：由②知CF=CH，又∵∠ACH=60°∴△CFH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；13．解：连接CE，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，在△BCE与△ACE中，AC＝BC，AE＝BE，CE＝CE∴△BCE≌△ACE（SSS）；∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，在△BDE与△BCE中，BD＝BC，∠DBE＝∠CBE，BE＝BE∴△BDE≌△BCE（SAS），∴∠BDE=∠BCE=30°．ED ABHF。

2020—2021八年级下学期专项冲刺卷（北师大版）专项1.1等腰三角形的性质与判定姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟满分：120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45，那么这个等腰三角形的底角为（）A．22.5B．67.5C．6750 D．22.5或67.5【答案】D解：有两种情况：（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°，已知∠ABD=45°，∴∠A=90°-45°=45°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=12×（180°-45°）=67.5°，（2）如图当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°，已知∠HFE=45°，∴∠HEF=90°-45°=45°，∴∠FEG=180°-45°=135°，∵EF=EG，∴∠EFG=∠G=12×（180°-135°）=22.5°．故选：D．2．如图，纸片△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将纸片对折，使点A与点B重合，折痕为DE，连结BE．则∠EBC 的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．80°【答案】A由题可得，∠ABC=(180°-40°)÷2=70°，由翻折的性质可得：∠A=∠DBE=40°，∴∠EBC=∠ABC-∠DBE=70°-40°=30°，故选：A．3．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC=12，BC=16，则AE的长为（）A．6B．8C．10D．12【答案】C解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理知：20AB==，∵AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．∴1102AE BE AB===，故选：C．4．如图，AD是等边ABC∆的中线，E是AC边的中点，F是AD边上的动点，当EF+CF 取得最小值时，则ECF∠的度数为（）．A．20︒B．30︒C．45︒D．50︒【答案】B解：如图：∵AD是等边ABC∆的中线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴BF=CF，∴CF+EF=BF+EF，∴当B、F、E位于同一直线，且BE⊥AC是，EF+CF最小．过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，∴AE ＝EC ，AF ＝FC ，∴∠F AC ＝∠FCA ，∵AD 是等边△ABC 的BC 边上的中线，∴∠BAD ＝∠CAD ＝30°，∴∠ECF ＝30°．故选：B ．5．等腰三角形的一个内角为120°，则底角的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．60°D ．120° 【答案】A解：∵等腰三角形中，一个内角为120°，而三内角的和为180°，∴该内角为顶角，设顶角为∠A ，底角为∠B、∠C，则有∠B=∠C ，∵∠A=120°，∴∠B=∠C=()1180-1202︒︒=30°， 故选：A ．6．在△ABC 中，A x ∠=︒，B y ∠=︒，60C ∠≠︒．若1902y x =-，则下列结论正确的是( )A ．AB BC =B ．AB AC = C ．AC BC =D ．AB ，AC ，BC 中任意两边都不相等【答案】B【分析】由三角形内角和定理和已知条件得出∠B=∠C ，证出AC=AB ．【详解】∵180A B C ∠+∠+∠=︒，A x ∠=︒，B y ∠=︒，∴180C x y ∠=︒-︒-︒， ∵1902y x =-， ∴∠C=11180(90)(90)22x x x y ︒-︒--︒=-︒=︒， ∴∠B=∠C ，∴AC=AB ，故选：B ．7．如图，△ABC 是等边三角形，AQ = PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR =PS ，则四个结论：①点P 在∠A 的平分线上；②AS=AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△QSP ，正确的结论是（ ）．A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．③④【答案】A 解：∵△ABC 是等边三角形，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，且PR=PS ，∴P 在∠A 的平分线上，∴①正确；由①可知，PB=PC ，∠B=∠C ，PS=PR ，∴△BPR ≌△CPS ，∴CS=BR∴AS=AR ，②正确；∵AQ=PQ ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC ， ∴PQ ∥AR ，③正确；由③得，△PQC 是等边三角形，∴△PQS ≌△PCS ，又由②可知，④△BRP ≌△QSP ，④也正确∵①②③④都正确，故选：A ．8．等边三角形的周长为18，则边长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】D解：因为等边三角形的三条边都是相等，所以边长为：18÷3=6 故选：D ．9．如图，在ABC 中，AB AC =，D 、E 是ABC 内两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=︒，若7BE =，3DE =，则BC 的长度是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】C 解：延长DE 交BC 于M,延长AD 交BC 于N,∵AB=AC,AD 平分∠BAC, ∴AN ⊥BC, ∠EBC=∠E=60°，∴△BED 为等边三角形，∴BE=EM∵BE=7,DE=3,∴DM=EM-DE=7-3=4∵△BEM 为等边三角形,∴∠EMB=60°∵AN ⊥BC∴∠DNM=90°∴∠NDM=30°∴NM=2∴BN=5∴BC=2BN=10故答案为：C ．．10．如图，已知△ABC 三个内角的平分线交于点O ，点D 在CA 的延长线上，且DC ＝BC ，AD ＝AO ，若∠BAC ＝80°，则∠BCA 的度数为（ ）A ．80°B ．60°C ．40°D ．30°【答案】B 解：∵△ABC 三个内角的平分线交于点O ，∴∠ACO ＝∠BCO ，在△COD 和△COB 中，CD CB OCD OCB CO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△COB ，∴∠D ＝∠CBO ，∵∠BAC ＝80°，∴∠BAD ＝100°，∴∠BAO ＝40°，∴∠DAO ＝140°，∵AD ＝AO ，∴∠D ＝20°，∴∠CBO ＝20°，∴∠ABC ＝40°，∴∠BCA ＝60°，故选B ．11．如图，分别以ABC ∆的边AB ，AC 所在直线为对称轴作ABC 的对称图形ABD △和ACE △，150BAC ∠=︒，线段BD 与CE 相交于点O ，连接BE 、ED 、DC 、OA ．有如下结论：①90EAD ∠=︒；②60BOE ∠=︒；③OA 平分BOC ∠；④BP EQ =．其中正确的结论个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ∵ABD ∆和ACE ∆是ABC ∆的轴对称图形，∴BAD CAE BAC ∠=∠=∠，AB AE =，AC=AD ，∴3360315036090EAD BAC ∠=∠-︒=⨯︒-︒=︒，故①正确． ∴1(36090150)602BAE CAD ∠=∠=︒-︒-︒=︒， 由翻折的性质得，AEC ABD ABC ∠=∠=∠，∵EPO BPA ∠=∠，∴60BOE BAE ∠=∠=︒，故②正确．∵ACE ADB ∆≅∆，∴ACE ADB S S ∆∆=，BD CE =，∴BD 边上的高与CE 边上的高相等，即点A 到BOC ∠两边的距离相等，∴OA 平分BOC ∠，故③正确．∵∠EAQ=90°，∴AE ＜EQ∵AB AE =，∠BAE=60°，∴△ABE 是等边三角形，∴BP ＜AB ，∴BP ＜EQ ，故④错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：C ．12．在ABC 中，90BAC ∠=︒，6AB AC cm ==，D 为BC 中点，E ，F 分别是AB ，AC 两边上的动点，且90EDF ∠=︒，下列结论：①BE AF =；②EF 的长度不变；③BED CFD ∠+∠的度数不变；④四边形AEDF 的面积为29cm .其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 解：∵AB=AC ，∠BAC=90°，BD=CD ，∴AD ⊥BC ，AD=BD=DC ，∵∠BDA=∠EDF=90°，∴∠BDE=∠ADF ，∵∠B=∠DAF=45°，∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴BE=AF ，DE=DF ，故①正确，∵DE=DF ，∠EDF=90°，∴△DEF 是等腰直角三角形，∵DE 的长度是变化的，∴EF 的长度是变化的．故②不正确．∵△BDE ≌△ADF ，∴∠BED=∠AFD ，∴∠BED+∠CFD=∠AFD+∠CFD=180°，故③正确；∵△BDE ≌△ADF ，∴BDE ADF SS =， ∴21)11669(222ADE ADF ADE BDE ADB ABC S S S S S S cm +=+===⨯⨯⨯=． 故④正确．故选：C ．二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．若BC =28，则BD 的长为____．【答案】14∵AB=AC ，∴△ABC 为等腰三角形，∵AD ⊥BC ，∴根据“三线合一”知，BD=12BC=14， 故答案为：14．14．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，CM 平分∠ACB 交AB 于点M ，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，且MN 平分∠AMC ，若AN ＝1，则BC 的长为_____．【答案】6.解：3090B A ∠=︒∠=︒，，60ACB ∴∠=︒，∵CM 平分∠ACB ，30ACM BCM ∴∠=∠=︒，//MN BC ，∴3030AMN B NMC BCM ∠=∠=︒∠=∠=︒，，30NCM NMC ∴∠=∠=︒，,NM NC ∴=∵130AN AMN =∠=︒，， ∴2MN =，2NC ∴=，∴3AC AN NC =+=，∴ 6.BC =故答案为：6．15．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1BB 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，……按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=___________．【答案】512α． 解：∵B 1A 2＝B 1B 2，∠A 1B 1O ＝α，∴∠A 2B 2O 12=α， 同理∠A 3B 3O 12=∠A 2B 2O 212=α， ∠A 4B 4O 312=α， ∴∠A n B n O 112n -=α， ∴∠A 10B 10O 95221αα==． 故答案为：512α． 16．如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC ，DE 分别垂直于横梁AC ，若DE ＝1.8m ，∠A ＝30°，则斜梁AB 的长为_____m ．【答案】7.2由题意，DE ⊥AC ，BC ⊥AC ，∠A=30°，∴在Rt △ADE 中，AD=2DE=3.6m ，∵D 为AB 的中点，∴AB=2AD=7.2m ，故答案为：7.2．17．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，BE 平分∠ABC ，AD 为BC 边上的高，且AD ＝BD ．则∠3＝______°．【答案】22.5∵AD 为BC 边上的高，且AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAD ＝45°，∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝()1180ABC 2-∠＝67.5°， ∴∠3＝∠BAC －∠BAD ＝67.5°－45°＝22.5°，故填：22.5°．18．如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=24，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若NM=6，则OM=______________．【答案】9解：过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D ，∵∠AOB=60°，∴∠OPD=30°，∴OD =12OP=12． ∵PM =PN ，PD ⊥MN ，∴MD =ND =12MN =3， ∴OM =OD ﹣MD =12﹣3=9．故答案为：9．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．如图，在等边三角形ABC 中，D 是AB 上的一点，E 是CB 延长线上一点，连接,CD DE 、已知,6EDB ACD BC ∠=∠=，（1）求证：DEC ∆是等腰三角形（2）当5,8,2BDC EDB EC AD ∠=∠==时，求EDC ∆的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）16（1）证明：ABC ∆是等边三角形60ABC ACB ∴∠=∠=，E EDB ACD BCD ∠+∠=∠+∠∴，EDB ACD ∠=∠，E BCD ∴∠=∠，DE DC ∴=，DEC ∴∆是等腰三角形；（2）设EDB ACD x ∠=∠=，则5BDC x ∠=，60ACB ∠=60BCD x ∠=∴-，60E x ∠=∴-，在DEC ∆中，180E EDC DCE ∠+∠+∠=︒，60560180x x x x ∴+︒-++︒-=，解得15x =，690EDC x ∴∠==，DEC ∴∆是等腰直角三角形，过点D 作DF EC ⊥于点F ，如图所示，DF EC ⊥，,DFE DFC ∆∆∴都是等腰直角三角形，12DF EC ∴= 8EC =，∴DF=4，EDC ∴∆的面积为：11841622EC DF ⋅⋅=⨯⨯=20．在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，若∠B=90°，则线段AB = ，D C= ；（2）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°．试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．（3）如图2，若将（2）中的条件“∠B=90°”去掉，（2）中的结论是否成立？请说明理由．【答案】（1）AD，B C；（2）AC=AD+AB，理由见解析；（3）AB+ AD = A C，成立；理由见解析．解：（1）∵∠B=90°，∠B+∠D=180°，∴∠D=90°=∠B，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴AB = AD，DC= BC；（2）AC=AD+AB，证明：∵对角线AC平分∠BAD．∠DAB=120°，∴∠CAD=∠CAB=60°又∵∠B+∠D=180°，∠B=90°∴∠D=90°，∴∠ACD=∠ACB=30°∴AD=12AC，AB=12AC，∴AC=AD+AB；（3）成立证明：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°∠ACE的另一边交AB延长线于点E∵∠CAB=60°，∴△ACE为等边三角形∴EC= AC ，∠E=60°又∵∠B+∠D=180°，∠DAB=120°，∴∠B CD=60°．∴∠ACD=∠ECB=60°—∠B CA．又∵∠CAD=∠E=60°∴△ACD≌△ECB∴AD=BE∴AB+ AD =AB+BE= AE又∵△ACE为等边三角形∴AE= AC∴AB+ AD = AC．21．已知长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．（1）△BEF是等腰三角形吗？若是，请说明理由；（2）若AB =4，AD =8，求BE 的长．【答案】（1）BEF 是等腰三角形，理由见解析；（2）5．（1）BEF 是等腰三角形，理由如下：四边形ABCD 是长方形，//AD BC ∴，DEF BFE ∴∠=∠，由折叠的性质得：DEF BEF ∠=∠，BFE BEF ∴∠=∠，BEF ∴是等腰三角形；（2）四边形ABCD 是长方形，90A ∴∠=︒，由折叠的性质得：BE DE =，设BE DE x ==，则8AE AD DE x =-=-，在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2224(8)x x +-=，解得5x =，即BE 的长为5．22．图①、图②均是6×6的正方形网格，小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中，画一个以AB 为底边的等腰三角形ABC ，点C 在格点上；（2）在图②中，画一个以AB 为腰的等腰三角形ABD ，点D 在格点上．【答案】（1）见解析图；（2）见解析图（1）如图所示，存在C1，C2，C3，三种情况，画出其中一个即可；（2）如图所示，存在D1，D2，两种情况，画出其中一个即可．23．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN//BC交AB于M，交AC于N，（1）请判断△BME与△ECN的形状，并说明理由？（2）若BM＋CN＝9，求线段MN的长．【答案】（1）△BME与△ECN都是等腰三角形；理由见解析；（2）9（1）△BME 与△ECN 都是等腰三角形；理由如下：∵∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点E ，∴∠MBE ＝∠EBC ，∠ECN ＝∠ECB ，∵MN ∥BC ，∴∠EBC ＝∠MEB ，∠NEC ＝∠ECB ，∴∠MBE ＝∠MEB ，∠NEC ＝∠ECN ，∴BM ＝ME ，EN ＝CN ，∴△BME 与△ECN 都是等腰三角形；（2）解：∵MN ＝ME +EN ，BM ＝ME ，EN ＝CN ，∴MN ＝BM +CN ．∵BM +CN ＝9，∴MN ＝9．24．如图，已知ABC 中，BE 平分∠ABC ，且BE ＝BA ，点F 是BE 延长线上一点，且BF ＝BC ，过点F 作FD ⊥BC 于点D ．（1）求证：∠BEC ＝∠BAF ；（2）判断AFC △的形状并说明理由．（3）若CD ＝2，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AFC 是等腰三角形，理由见解析；（3）4 解：（1）∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC ＝∠ABF ，在△BEC 和△BAF 中，BE BA EBC ABF BC BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∠BEC ＝∠BAF ；（2）△AFC 是等腰三角形．证明：过F 作FG ⊥BA ，与BA 的延长线交于点G ，如图，∵BA ＝BE ，BC ＝BF ，∠ABF ＝∠CBF ，∴∠AEB ＝∠BCF ，∵∠BEC ＝∠BAF ，∴∠GAF ＝∠AEB ＝∠BCF ，∵BF 平分∠ABC ，FD ⊥BC ，FG ⊥BA ，∴FD ＝FG ，在△CDF 和△AGF 中，90DCF GAF CDF AGF FD FG ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△CDF ≌△AGF （AAS ），∴FC ＝FA ，∴△ACF 是等腰三角形；（3）设AB ＝BE ＝x ，∵△CDF ≌△AGF ，CD ＝2，∴CD ＝AG ＝2，∴BG ＝BA+AG ＝x+2，在Rt △BFD 和Rt △BFG 中，FD FG BF BF =⎧⎨=⎩，∴BD＝BG＝x+2，∴BF＝BC＝BD+CD＝x+4，∴EF＝BF﹣BE＝x+4﹣x＝4．。

考点07 等腰三角形的性质和判定一．选择题（共10小题）1．（2020·吉林长春外国语学校月考）如图，在△ABC中，BF、CF分别平分△ABC和△ACB，过点F作EG△BC分别交于点AB、AC于点E、G．若AB=9，BC=10，AC=11，则△AEG的周长为（）A．15B．20C．21D．19【答案】B【解析】解：△EG△BC，△△EFB＝△FBC，△GFC＝△FCB，△BF、CF分别平分△ABC和△ACB，△△EBF＝△FBC，△GCF＝△FCB，△△EBF＝△EFB，△GFC＝△GCF，△EF＝EB，FG＝GC，△△AEG的周长＝AE+EF+FG+AG＝AE+EB+AG+GC＝AB+AC＝9+11=20故选：B．2．（2020·黄石经济技术开发区教研室月考）在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．7或11C ．11D ．7或10 【答案】B【解析】解：设这个等腰三角形的腰长为a ，底边长为b.△D 为AC 的中点，△AD ＝DC ＝12AC ＝12a. 根据题意得31521122a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或31221152a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得107a b =⎧⎨=⎩或811a b =⎧⎨=⎩ 又△三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形．△这个等腰三角形的底边长为7或11.3．（2020·淮阳第一高级中学期末）在Rt ABC 中，45A ∠=︒，90C ∠=︒，点D 在BC 边上(不与点C ，B 重合)，点P 、点Q 分别是AC ，AB 边上的动点，当DPQ 的周长最小时，PDQ ∠的度数是( )A．70°B．90°C．100°D．120°【答案】B【解析】作D关于AC的对称点E，作D关于AB的对称点F，连接EF交AC于P，交AB于Q，则此时△DPQ的周长最小，△△AGD=△ACD=90°，△A=45°，△△EDF=135°，△△E+△F=45°，△PE=PD，DQ=FQ，△△EDP=△E，△QDF=△F，△△CDP+△QDG=△E+△F=45°，△△PDQ=135°-45°=90°，故选：B．4．（2020·陕西渭滨二模）如图，D为△ABC内一点，CD平分△ACB，BD△CD，△A=△ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（）A．1B．1.5C．2D．4【解析】延长BD与AC交于点E，△△A=△ABD，△BE=AE，△BD△CD，△BE△CD，△CD平分△ACB，△△BCD=△ECD，△△EBC=△BEC，△△BEC为等腰三角形，△BC=CE，△BE△CD，△2BD=BE，△AC=5，BC=3，△CE=3，△AE=AC-EC=5-3=2，△BE=2，△BD=1．5．（2020·黑龙江甘南期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】解：连接AD，△△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，△AD△BC，△S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝16，解得AD＝8，△EF是线段AC的垂直平分线，△点C关于直线EF的对称点为点A，△AD的长为CM+MD的最小值，△△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝8+2＝10．故选：C．6．（2020·全国）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE＝3，AB＝4，BE ＝5，则重叠部分的面积为()A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】解：△长方形纸片ABCD按图中那样折叠，△△1=△2，而△1=△3，△△2=△3，△ED=EB=5，△矩形ABCD中，△A=90°△重叠部分△BDE的面积=12DE×AB=12×5×4=10．故选：C.．7．（2020·辽宁文圣期末）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB=AE，BC=EF，△B =△E ，AB 交EF 于点D ．下列结论：△△EAB =△F AC ；△AF =AC ；△F A 平分△EFC ；△△BFE =△F AC 中，正确的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】 解:在△AEF 和△ABC 中，AB AE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AEF △△ABC (SAS)，△△EAF =△BAC ，AF =AC ，△C =△EF A ，△△EAB =△F AC ，△AFC =△C ，△△EF A =△AFC ，即F A 平分△EFC ．又△△AFB =△C +△F AC =△AFE +△BFE ，△△BFE =△F AC ．故△△△△正确．故选：D ．8．（2020·河南洛宁期中）如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=BE ，则△A的度数为（）A．30°B．45°C．22.5°D．60°【答案】B【解析】△DE＝BE，△△EBD＝△EDB，设△EBD＝△EDB＝α，△△AED＝△EBD＋△EDB＝2α，△AD＝DE，△△A＝△AED＝2α，△△BDC＝△A＋△ABD＝3α，△BD＝BC，AB＝AB，△△ABC＝△C＝△BDC＝3α，△3α＋3α＋2α＝180°，△α＝22.5°，△△A＝45°．故选：B．9．（2020·山东沂水期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，30A ∠=︒，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则CBD ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．50︒C ．60︒D ．75︒【答案】A【解析】 解：△AB=AC ，△A=30°，△△ABC=△ACB=75°，△AB 的垂直平分线交AC 于D ，△AD=BD ，△△A=△ABD=30°，△△BDC=60°，△△CBD=180°-75°-60°=45°．故选：A ．10．（2020·山东鄄城期末）如图，在等腰直角△ABC 中，△ACB=90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且△DOE=90°，DE 交OC 于点P ，则下列结论：△图中全等的三角形只有两对；△△ABC 的面积等于四边形CDOE 面积的2倍；△OD=OE ；△CE+CD=BC ，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】 解：结论△错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC△△BOC ，△AOD△△COE ，△COD△△BOE ． 由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB ，易得△AOC△△BOC ．△OC△AB ，OD△OE ，△△AOD=△COE ．在△AOD 与△COE 中，AD OCE 45OA OCAOD COE O ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△AOD△△COE （ASA ）．同理可证：△COD△△BOE ．结论△正确．理由如下：△△AOD△△COE ，△S △AOD =S △COE ，△S 四边形CDOE =S △COD +S △COE =S △COD +S △AOD =S △AOC =S △ABC ，即△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍．结论△正确，理由如下：△△AOD△△COE ，△OD=OE ；结论△正确，理由如下：△△AOD△△COE ，△CE=AD ，△AB=AC ，△CD=EB ，△CD+CE=EB+CE=BC ．综上所述，正确的结论有3个．故选C ．二．填空题（共5小题）11．（2020·四川甘孜期末）如图，DE 是ABC ∆的AB 边的垂直平分线，分别交AB 、BC 于D 、E ，AE 平分BAC ∠．若32B =︒∠，则C ∠＝__________．【答案】84°【解析】解：△DE 是AB 边的垂直平分线，△EA=EB ，△△ABE=△BAE ，△△B=32°，△△BAE=32°．又AE 平分△BAC ，△△BAC=2△BAE =64°．△△C=180°-△BAC -△B=84°，故答案为： 84°．12．（2020·上海市松江区九亭中学期中）如图，在ABC ∆中，高AD 与高BE 相交于点H ，且BH AC =，那么ABC ∠=________度【答案】45．【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥，CAD ACD DBH ACD ∴∠+∠=∠+∠CAD DBH ∴∠=∠90BH AC ADC BDH =∠=∠=︒，BDH ADC ∴∆∆≌AD BD ∴=，又△ADC=90°△△ABD 为等腰直角三角形45ABC ∴∠=︒．故答案为：45．13．（2020·山西左权期末）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，BD AD AC ==，E 为CD 的中点，若18,CAE ∠=︒则B 为______________________．【答案】36°．【解析】△AD=AC，点E是CD中点，△AE△CD，△△AEC=90°，△△C=90°−△CAE=72°，△AD=AC，△△ADC=△C=72°，△AD=BD，△△B=△BAD=12△ADC=36°，△△B=36°，故答案为：36°．14．（2020·江苏南通田家炳中学月考）已知如图，在∆ABC中，∠BAE=∠CAE,BE⊥AE 于点E，若∠ABC=3∠ACB,则AB,AC,BE之间的数量关系____________．【答案】1()2BE AC AB=-【解析】如图，延长BE交AC于点F，△AE△BE，△△AEB=△AEF=90△，在△AEB中，△△ABE+△BAE+△AEB=180△，△△ABE=90△-△BAE，同理，△AFE=90△-△FAE，△△BAE=△FAE，△△ABE=△AFE，△AB=AF，△AE△BE，△BF=2BE，△AC-AB=AC-AF=CF，△△AFB是△BCF的外角，△△AFB=△FBC+△C△△ABC=3△C△△ABC=△ABF+△CBF=△AFB+△CBF，△3△C=△AFB+△CBF=2△CBF+△C△△CBF=△C△BF=CF△AC-AB=BF=2BE，即1()2BE AC AB=-故答案为：1()2BE AC AB=-．15．（2020·陕西咸阳·天王学校）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC 为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中△ABM=△NBC ＝90°，连接MN，则BD与MN的数量关系是_____．【答案】2BD=MN【解析】解：2BD=MN ，理由是：如图，延长BD 到E ，使DE=BD ，连接CE ，△点D 是BC 中点，△AD=CD ，又DE=BD ，△ADB=△CDE ，△△ABD△△CED ，△△ABD=△E ，AB=CE ，△△ABM=△NBC=90°，△△ABC+△MBN=180°，即△ABD+△CBD+△MBN=180°，△△E+△CBD+△BCE=180°，△△BCE=△MBN ，△△ABM 和△BCN 是等腰直角三角形，△AB=MB ，BC=BN ，△CE=MB ，在△BCE 和△NBM 中，CE BM BCE MBN BC NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BCE△△NBM （SAS ），△BE=MN ，△2BD=MN ．故答案为：2BD=MN ．三．解析题（共5小题）16．（2020·浙江青田期末）如图，在ABC ∆中，,=⊥AB AC AD BC 于D（1）若52C BAC ∠=∠，求BAD ∠的度数（2）若点E 在AB 上，EF//AC 交AD 的延长线于点F求证：AE=FE【答案】（1）50°；（2）见解析【解析】解：（1）△AB=AC ，AD△BC 于点D ，△△BAD=△CAD ，△ADC=△ADB=90°，△52C BAC ∠=∠，设△C=2x ，△BAC=5x ，则△B=2x ，则2x+2x+5x=180，解得：x=20，△△BAC=100°，△△BAD=50°；（2）△AB=AC ，AD△BC 于点D ，△△BAD=△CAD ，△EF△AC ，△△F=△CAD ，△△BAD=△F ，△AE=FE ．17．（2020·黑龙江哈尔滨一模）如图1，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC CB =，点D 在BC 边上，过点C 作AD 的垂线与过B 点垂直BC 的直线交于点E ．（1）求证：CD BE =；（2）如图2，若点D 为线段BC 的中点，连接DE 交AB 于F ，请直接写出图中所有的等腰直角三角形．【答案】（1）详见解析；（2）（2）ACB ∆，BDE ∆，BDF ∆，BEF ∆【解析】（1）△AC BC =，BC BE ⊥△90CBE ∠=︒，△90ECB E ∠+∠=︒，且90ECB ADC ∠+∠=︒△ADC E ∠=∠，且AC=BCACB CBE ∠=∠，△ADC EBC ∆∆≌(AAS)△CD=BE（2）△点D 为线段BC 的中点△CD=BD=BE ，且△DBE=90︒△△DBE 是等腰直角三角形，△△BDE=△BED=45︒△△ACB=90︒，AC=CB△△ABC 是等腰直角三角形，△ABC=45︒△△BDE=△BED=45︒=△ABC=△EBF△DF=BF=EF ，BF△DE△△DBF ，△BFE 是等腰直角三角形．故ACB ∆，BDE ∆，BDF ∆，BEF ∆是等腰直角三角形故答案为：ACB ∆，BDE ∆，BDF ∆，BEF ∆18．（2020·吉林市舒兰市）如图，已知60BAC ∠=︒，80B ∠=︒，DE 垂直平分AC 交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ．（1）求BAD ∠的度数；（2）若10AB =，12BC =，求ABD ∆的周长．【答案】（1）20︒；（2）22．【解析】（1）△180BAC B C ︒∠+∠+∠=，△180C BAC B ︒∠=-∠-∠=1806080︒︒︒--=40︒，△DE 垂直平分AC ，△DA=DC ，△40DAC C ︒∠=∠=，△BAD BAC DAC ∠=∠-∠=604020︒︒︒-=；（2）由（1）知：DA=DC ，△ABD∆的周长为：AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=10+12=22，△ABD∆的周长为22．19．（2020·上海市静安区实验中学）如图：已知∠BAC=30°，AT平分∠BAC，TE△AC．△是等腰三角形；（1）求证：AET⊥，垂足为点D，AE=4cm，求TD的长．（2）若TD AC【答案】（1）见解析；（2）2cm【解析】解：（1）△AT平分∠BAC．△△EAT=△TAD．△TE△AC．△△TAD=△ETA．△△EAT=△ETA．△AET△是等腰三角形．（2）过点T作TF⊥AB，垂足点F,⊥．△AT平分∠BAC，TF⊥AB，TD AC△据角平分线定理可得DT=TF．△在RT△TFE中，ET=4cm，△FET=30°，则TF=2cm,△TD=2cm．20．（2020·辽宁文圣期末）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，BD=CD，CE平分△ACB．（1）如图1，试说明BE12=CF．（2）如图2，若点M在边BC上(不与点B重合)，MN△AB于点N，交BD于点G，△BMN1 2 =△ACB，请直接写出BN与MG的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．【答案】（1）证明见解析；（2）BN12=MG，答案见解析．【解析】（1）△BD△AC，CE△AB，△△ADB=△BDC=△AEC=90°，△△A+△ABD=90°，△A+△ACE=90°，△△ABD=△ACE．在△ABD和△FCD中，ADB FDC BD CDABD FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ABD △△FCD (ASA)，△AB =CF ．△CE 平分△ACB ，△△ACE =△BCE ．在△ACE 和△BCE 中，ACE BCE CE CEAEC BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ACE △△BCE (ASA)△AE =BE ，△BE 12=AB 12=CF ； （2）BN 12=MG ， 理由如下：如图，过点M 作MH △AC ，交AB 于H ，交BD 于P ，△BD =CD ，BD △CD ，△△DBC =△DCB =45°．△MH △AC ，△△PMB =△DCB =△PBM =45°，△BPM =△BDC =90°， △BP =PM ．△△BHP +△HBP =90°，△BHP +△HMN =90°， △△HBP =△HMN ．在△BHP 和△MGP 中， 90HBP GMP BP PMBPH GPM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， △△BPH △△MPG (ASA)， △GM =BH ．△△BMN 12=△ACB =22.5°， △△BMN =△HMN =22.5°． 在△BMN 和△HMN 中， BMN HMN MN MNBNM HNM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△BMN △△HMN (ASA)， △BN =NH ，△BN 12=BH 12=MG ．。

初三数学等腰三角形的性质和判定试题1.等腰三角形的底边长为6，它的周长不大于20，则腰长x的取值范围是_______。

【答案】【解析】根据等腰三角形的性质结合周长不大于20即可列不等式求解.由题意得，.【考点】等腰三角形的性质点评：不等式的应用在初中数学中极为广泛，与各个知识点的结合极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.2.如图，在⊿ABC中,AB=AC,过∠ABC和∠ACB的平分线的交点O作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,则图中的等腰三角形有___________个，它们分别是____________。

【答案】5，△ABC，△ADE，△DBO，△ECO，△BCO【解析】由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再根据角平分线的性质结合平行线的性质即可判断.∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB∵DE∥BC∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB∴∠DOB=∠ABO=∠EOC=∠ACO∴BD=OD，CE=OE，OB=OC∵DE∥BC∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB∴∠ADE=∠AED∴AD=AE∴等腰三角形有△ABC，△ADE，△DBO，△ECO，△BCO共5个.【考点】角平分线的性质，平行线的性质点评：角平分线的性质与平行线的性质在初中数学中极为广泛，与各个知识点的结合极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.3.如图，在⊿ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,BD=6cm,DC=3cm,则D到AB的距离为______。

【答案】3cm【解析】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DC=3cm∴D到AB的距离为3cm.【考点】角平分线的性质点评：角平分线的性质在初中数学中极为广泛，与各个知识点的结合极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.4.将两块直角三角板的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD=127°,则∠BOC=________。