八年级数学,第十七章17.1第一课时,二次根式,精品系列

17、1勾股定理（第1课时）二、分析探究活动1:用心观察2500多年前的古希腊数学家毕达哥拉斯是位有心人.有一次,他去朋友家做客时, 发现朋友家地面图案是由金等的等腰直角三角形组成，这引起了他的数学思考：以图案中一个等腰直角三角形三边为边向三角形外部作三个正方形，三个正方形面积间有何关系？等腰直角三角形三边间有何关系？等腰三角形具有上述性质，其他的直角三角形也具有这个性质吗？类比活动 1 中方法在网格上探索两条宜角边不相等的直角三角形三边的数量关系.大胆猜想：根据以上探索，将结论由等腰育角三角形、边长为整数的肓角三角7、、/A/S31、M b1、、/ c a BS2||显•示S3内部分割1|显示S3外部添补|出示几何画板课件并动态演示从左图中分离汕右图，让学生看图思考.学生观察图片，交流讨论，明确等腰直角三角形三边间关系.问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望.教师参与小组活动，指导、倾听学生交流，引导学生采用内部分割或者外部添补的方法求出S3的大小.由S|+S2二S3得出三边间关系：在边长为整数的直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.进一步推广，让学生在在相互欣赏、争辩、互助中明确结论.体现学生的主体地位，发挥教师的主导作用，培养学生的类比迁移能力，让学牛在动手操作中体验到数形结合思想、由特殊到一般的思想.活动2：动手探究形推广到任意直角三角形，你能能否用一 句话概括出这一结论呢？板书：命题1:如果直角三角形的两条三国时期数学家赵爽通过对正方a 2 +b 2 =c 2.三、拼图验证过渡：命题1的真假还需要进行严格 证明•到目前为止，对这个命题的证明方法 已有五百种之多.下面，我们就来看一看 我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的.活动3：赵爽证法1、分割正方形师利用几何画板将抽象的图形切割、拼接讲得育观 化、形象化，通过切 割、拼接，体 会数形结合 思想，激发学 牛探索精神. 师牛互动明确:(1)所拼图形 面积能用直角三角 形的边长表示；(2) 所拼图形面枳能用 两种不同方法表 示.直角边长分别为a, b,。

沪科版八年级数学下册目录
数学教材是八年级数学学习的重要组成部分，其中课本目录收录了哪些知识呢?小编整理了关于沪科版八年级数学下册的目录，希望对大家有帮助!
沪科版八年级数学下册课本目录
第16章二次根式
16.1 二次根式
16.2二次根式的运算
第17章一元二次方程
17.1 一元二次方程
17.2一元二次方程的解法
17.3一元二次方程的根的判别式
17.4一元二次方程的根与系数的关系
17.5 一元二次方程的应用
第18章勾股定理
18.1 勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理
第19章四边形
19.1 多边形内角和
19.2平行四边形
19.3 矩形菱形正方形
19.4 中心对称图形
19.5梯形
第20章数据的初步分析
20.1数据的频数分布
20.2数据的集中趋势与离散程度
20.3综合与实践体重指数
泸科版八年级数学下册知识点：二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。

第十七章勾股定理17.1勾股定理第1课时【教学目标】知识与技能:1.掌握勾股定理的证明.2.会用勾股定理进行简单的计算.过程与方法:经历探究勾股定理的过程,在探索勾股定理的过程中,发展合情推理能力,体会数形结合思想,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果,体验数学思维的严谨性.情感态度与价值观:(1)通过对勾股定理历史的了解,感受数学的文化,激发学习热情.(2)在探究活动中,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果;学生通过适当训练,养成数学说理的习惯,培养学生参与的积极性,逐步体验数学说理的重要性;在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探究精神.【重点难点】重点:掌握勾股定理的证明,会用勾股定理进行简单的计算.难点:勾股定理的证明.【教学过程】一、创设情境,导入新课:一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4,你知道它的斜边长是多少吗?已知直角三角形的两条边长,你能求出它的第三边长吗?实际上,利用勾股定理我们可以很容易地解决这些问题.勾股定理是一个古老的定理,人类很早就发现了这个定理.2002年世界数学家大会在我国北京召开,投影显示本届世界数学家大会的会标:会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定理.二、探究归纳活动1:探索勾股定理1.填空:(1)借助方格纸画一个直角三角形,使其两直角边分别是3 cm,4 cm,则量取其斜边为________ cm.(2)如图,四边形均是正方形,S A=16、S B=9、S C=25则它们的面积之间满足:______.2.思考:(1)问题1中的直角三角形三边的平方,满足什么关系?(2)问题2中由正方形A、B、C的面积关系,可以得到直角三角形的三边的平方有什么关系?3.归纳:勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么______.活动2:利用拼图证明勾股定理1.方法1:(1)引导学生从面积角度观察图形:问:你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?(2)观察下面两幅图:2.归纳:探索图形A、B、C面积的关系,引导学生得出勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.方法2:1.如图,将4个非等腰直角三角形,拼为一个大的正方形.(1)拼得大正方形的边长为________,则它的面积是________;大正方形的面积还可以表示为______+4×ab.(2)由它们的面积关系可得____ = ____+4×ab,整理得__________.2.归纳:勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.活动3:应用举例【例1】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.已知BC=8,AC=6,求线段CD的长.分析:先由勾股定理求出AB的长,再根据三角形面积公式求出CD的长解:∵∠ACB=90°,BC=8,AC=6,∴AB=10.∵CD⊥AB,∴AB·CD=AC·BC,即×10×CD=×8×6,∴CD=.总结:运用勾股定理求解线段长度问题的方法1.找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形;2.找出所求线段与直角三角形的关系;3.根据勾股定理计算相关线段的平方,然后确定线段长度.【例2】如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是__________.分析:根据正方形的面积公式,结合勾股定理,能够推导出正方形A,B,C,D的面积和即为最大正方形E的面积.解:根据勾股定理的几何意义,可得A、B的面积和为S1,C、D的面积和为S2,S1+S2=S3,于是S3=S1+S2,即S3=2+5+1+2=10.答案:10总结:本题考查了勾股定理的应用.能够发现正方形A,B,C,D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边,根据勾股定理最终能够证明正方形A,B,C,D的面积和即是最大正方形的面积.【例3】一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理:a2+b2=c2.分析:四边形BCC′D′的面积从大的一方面来说属于直角梯形,可利用直角梯形的面积公式进行表示.从组成来看,由三个直角三角形组成,可利用三角形的面积公式来进行表示.证明:四边形BCC′D′为直角梯形.∴S梯形BCC′D′=(BC+C′D′)·BD′=.又∵∠AB′C′=90°,Rt△ABC≌Rt△AB′C′,∴∠BAC=∠B′AC′,∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°;∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=ab+c2+ab=;∴=;∴a2+b2=c2.点拨:勾股定理的证明证明勾股定理的方法很多,通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明.三、交流反思这一节课我们探索了勾股定理,并进行简单应用的学习.勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.四、检测反馈1.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为()A.5B.6C.8D.102.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,已知BC=8,AC=6,则斜边AB上的高是 ()A.10B.5C.D.3.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是()A.13B.26C.47D.944.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是()5.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为()A.5B.C.D.5或6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为________.7.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别为a、b,那么(a+b)2的值是______.8.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,AB⊥AC,∠B=60°,CD=1 cm,求BC的长.9.如图,用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个,图①中两直角边长分别为a和b,斜边长为c;图②中两直角边长为c.请你动脑,将它们拼成一个能够证明勾股定理的图形.(1)请你画出一种图形,并验证勾股定理.(2)你非常聪明,能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的图形(无需证明).五、布置作业教科书第28页习题17.1第1,7,8题六、板书设计第十七章勾股定理17.1勾股定理第1课时一、勾股定理的证明二、应用勾股定理进行简单计算三、勾股定理与图形面积四、例题讲解五、板演练习七、教学反思新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是:体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单的问题.勾股定理是中学数学几个重要定理之一,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,既是直角三角形性质的拓展,也是后续学习“解直角三角形”的基础.它紧密联系了数学中两个最基本的量——数与形,能够把形的特征(三角形中一个角是直角)转化成数量关系(三边之间满足a2+b2=c2),堪称数形结合的典范,在理论上占有重要地位.另外八年级学生已具备一定的分析与归纳能力,初步掌握了探索图形性质的基本方法.但是学生在用割补方法和用面积计算方法证明几何命题的意识和能力方面存在障碍,对于如何将图形与数有机结合起来还很陌生.基于以上三点的原因,本节课教学应把学生的探索活动放在首位,一方面要求学生在教师引导下自主探索,合作交流;另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,从而教给学生探求知识的方法,教会学生获取知识的本领.本节课精心设计,激情上课,充分调动学生积极性,提高课堂效率,分层作业,新颖灵活,让学生轻松学习,快乐减负.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

教学设计内容及流程教师与学生活动备注实施目标二、自主预习梳理新知阅读教材，梳理知识点，并标注在教材中。

（1）勾股定理的内容（2）勾股定理的证明三、合作探究生成能力目标导学一：勾股定理例1：探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝21c2＋21(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；方法2：此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点E顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即21b2＋21ab＝21c2＋21a(b －a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．内容及流程教师与学生活动备注实施目标目标导学二：勾股定理与图形例2：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝＝12cm；(2)S△ABC＝21CB·AC＝21×5×12＝30(cm2)；方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．例3：如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．四、课堂总结勾股定理，在生活中的应用是非常广泛的，大家还需要熟记一些常见的勾股数。

第17章 二次根式17.2二次根式的运算（5）＿＿＿年级＿＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿＿学习目标：熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。

学习重点：二次根式加减乘除混合运算学习难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

一． 学前准备1．填空（1）整式混合运算的顺序是： 。

（2）二次根式的乘除法法则是： 。

（3）二次根式的加减法法则是： 。

（4）写出已经学过的乘法公式：① ②二．探究活动（一）独立思考·解决问题请计算下列各题： +- (1)1);(2)2)232(-（二）师生探究·合作交流同学们通过自己计算可以发现，二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或者先去掉括号）；对于二次根式的混合运算，原来学过的所有运算律，运算法则及乘法公式仍然适用，整式和分式的运算法则仍然适用。

例：计算：（1）)32)(532(+- （2）2)3223(+练一练：22;(2)2)(3(1)+ -+-+三． 自我测试计算：（1） 507218+- （2） +--（3） 63145520•-+ （4） 2(2-+(5)2163)1526(-⨯- (6) 2163)1526(-⨯-；四． 应用与拓展4．计算：（1）)123)(123(+--+ （2）20092009(3(3-+5．教师节到了，为了表达对教师的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给教师，其中一个面积为8cm 2,另一个为18cm 2，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为50cm 的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？五．数学日记日期：_____年_____月____日心情：_______本节课你有哪些收获？感受最深的是什么？预习时的疑难解决了吗？老师我想对你说：。

新人教版八年级数学下册课本目录第十六章二次根式16.1 二次根式16.2 二次根式的乘除16.3 二次根式的加减数学活动小结复习题16第十七章勾股定理17.1 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理数学活动小结复习题17第十八章平行四边形18.1 平行四边形18.2 特殊的平行四边形数学活动小结复习题18第十九章一次函数19.1 函数19.2 一次函数14.3 课题学习选择方案数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20.1 数据的集中趋势20.2 数据的波动程度20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20部分中英文词汇索引人教版八年级数学下册知识归纳：四边形有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的性质：平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等。

平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形的判定：1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;2.对角线互相平分的四边形是平行四边形;3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

矩形的性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。

矩形判定定理：1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.对角线相等的平行四边形是矩形。

3.有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形的性质：菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

菱形的判定定理：1.一组邻边相等的平行四边形是菱形(rhombus)。

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.四条边相等的四边形是菱形。

S菱形=1/2×ab(a、b为两条对角线)正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。

正方形既是矩形，又是菱形。

正方形判定定理：1.邻边相等的矩形是正方形。

2.有一个角是直角的菱形是正方形。

一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形(trapezium)。

利用勾股定理解决平面几何问题---折叠问题的教学设计一、教材内容分析:勾股定理是第十七章的内容,它指出了直角三角形三边的数量关系,这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁,从而发挥重要作用. 勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一,也被认为是数学中最重要的定理之一.2011年版课程标准指出,要培养学生的空间观念,关键是要让学生会描绘图形的运动和变化. 图形的运动有平移,旋转和折叠.其中图形的翻折问题是指将一几何图形沿着某条直线对折后得到新的几何图形,然后求解新图形中几何元素之间的数量关系问题.折叠问题的实质是图形的轴对称变换.在初中数学中,折叠问题主要是求几何图中的角度;图形中的线段的长度;图形的面积;图形中的坐标.基于以上分析,本节的教学重点是利用勾股定理解决折叠问题中线段的长度.二、教学目标:破口；能正确运用勾股定理解决折叠问题，进行直角三角形有关的计算;探索运用勾股定理解决折叠问题的方法2.情感态度与价值观：在与同学的讨论中，学会倾听、思考，大胆发表自己的看法，并体验学习的快乐，养成严谨认真的解题习惯；通过图形的折叠，渗透全等、对称图形的意识。

教学重点;探究折叠前后图形的变化特点和规律；利用勾股定理解决折叠问题教学难点：折叠前后图形元素的对应关系；熟练的运用勾股定理建立方程模型；引导学生进行问题的探讨，启发学生归纳综合运用三、教学过程设计：1.引入课题：温故知新：已知，如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的长.提示：作辅助线DE⊥AB，利用平分线的性质和勾股定理。

追问：(1)图中有全等三角形出现吗?(2)相等的线段有哪几组,根据是什么?(3)图中有几个直角三角形?这些直角三角形中，哪个直角三角形的三边可以最先得出？如何去解决题目中求线段AC的问题?分析：（1）通过添加辅助线找到全等三角形，相等的线段，相等的角，找出直角三角形（2）标已知，标问题，设适当的未知数x;将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中，明确目标在哪个直角三角形中。