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图 5－ 16－ 2
第 16 讲 │ 要点热点探究
(方法二)如图，以点 C 为坐标原点， 以 CB，CF 和 CD 分别为作 x 轴，y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 C－xyz. 设 AB＝a，BE＝b，CF＝c，(b<c) 则 C(0,0,0)，A( 3，0，a)，B( 3， 0,0)，E( 3，b,0)，F(0，c,0)，D(0,0，a)． → ＝( 3，0,0)，CB → ＝( 3，0,0)， (1)DA → ＝( 3，b－c,0)， FE → |＝2，得 3＋(b－c)2＝4，∴b 由|FE －c＝－1.
→＝ (3)设 Q 为侧棱 PC 上一点，PQ →， λPC 试确定 λ 的值， 使得二面角 Q－ BD － P 为 45° .
点P的位置
坐标形式
(x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
例1 : 在长方体OABC DABC中， OA 3， OC 4， OD 2, 写出所有点的坐标 .
z
2 D ' (0, 0, 2)
C '0,4,2
B '(3, 4, 2)
4
3,0,2 A '
O 0,0,0
第 16 讲 │ 要点热点探究
如图 5－ 16－ 2，矩形 ABCD 和直角梯形 BEFC 所在 平面互相垂直，∠ BCF＝ 90° ， BE∥ CF， CE⊥ EF， AD＝ 3 ， EF＝ 2. (1)求异面直线 AD 与 EF 所成的角； (2) 当 二 面 角 D— EF— B 的 大 小 为 45° 时，求二面角 A— EC— F 的大小．
第 16 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点二 空间距离的有关问题
例 2 如图 5－ 16－ 3， 四面体 ABCD 中， O 是 BD 的中点， △ ABD 和△ BCD 均为等边三角形， AB＝ 2， AC＝ 6. (1)求证：AO⊥平面 BCD； (2)求二面角 A－ BC－ D 的余弦值； (3)求点 O 到平面 ACD 的距离．
►
图 5－15－5
第 15 讲 │ 要点热点探究
解法二：如图建立空间直角坐标 系，设 AC＝2，则可得 点 A(0,2,0)， A1(0,2,2)， B(2,0,0)， D(1,1,0)， → ＝(0,2,0)，CA →1＝ (0,2,2)，CD → ∴ CA ＝(1,1,0)．设 n⊥面 A1DC，且 n＝(x， y， z )， → 1 ＝ 2 y＋ 2z＝ 0， CA n· ∴ → ＝ x＋ y＝ 0， CD n· 可取 n＝(1，－1,1)，
1、空间直角坐标系的 建立;
3、空间点的坐标;
数轴上的点
B
-2 -1 A
1
2
3
x
数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示
平面坐标系中的点
y
y
P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x，y) 来表示点
O
x
x
在教室里同学们头顶的位置坐 标 z
y O
x
一、空间直角坐标系：
以单位正方体 OABC DABC 的 A' 顶点O为原点,分别以射线OA， OC， OD 的方向为正方向,以 线段OA,OC, OD的长为单位 x 长度,建立三条数轴:x轴,y轴,
图 5－ 16－ 3
第 16 讲 │ 要点热点探究
法二： (1)同解法一： (2)以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系， 则 O(0,0,0)， A(0,0， 3)， B(0，－ 1,0)， C( 3， 0,0)， D(0， 1,0)． ∵ AO⊥平面 BCD， → ＝ (0,0， 3)． ∴平面 BCD 的法向量 OA 设平面 ABC 的法向量 n＝ (x， y， z)， → ＝ (0，－ 1，－ 3)， BC → ＝ ( 3， 1,0), AB
在四棱锥 P－ ABCD 中，侧面 PCD⊥底面 ABCD ， PD⊥ CD， E 为 PC 中点，G 为 DC 中点，底面 ABCD 是直 角梯形， AB∥ CD，∠ ADC＝ 90° ， AB＝ AD＝ PD＝ 1 ， CD ＝ 2. (1)求证：平面 BEG∥平面 PAD； (2)求证：BC⊥平面 PBD；
P(1,1,1)
y
x
P 3 (1,1, 1)
z P ( 1, 1,1) 3
P(1,1,1)
o
y
x
P2 (1,1, 1)
P 1 (1, 1, 1)
探究点四 线线、线面的平行与垂直 例 4 如图 5－ 15－ 5 所示，三棱柱 A1B1C1－ ABC 中，侧 棱 AA1 垂直于底面 ABC，底面 ABC 是直角三角形， D 是斜 边 AB 的中点． (1)给出以下两个命题： ① BC1∥平面 A1DC；② BC1⊥ A1C. 判断这两个命题的真假，选择其中一个证明你的结论； (2)当 AC＝ BC＝ AA1 时， 求直线 AC 与平面 A1DC 所成角 的正弦值．
z
R
M
其中x叫做点M的横坐标，
y叫做点M的纵坐标，
Q
P
O
y z叫做点M的竖坐标．
M’
x
四、特殊位置的点的坐标：
z
•
F
C
•
x
1
O
•
1
E
•
•
D
B y
• A1
•
点P的位置 坐标形式
原点
O D
X轴上
A E
Y轴上
B F
Z轴上
C
(0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
X Y面内 Y Z面内 Z X面内
z
D` A` B` C`
Q
O
A x
Q`
B
C
y
想一想： 在空间直角坐标下，如何 找到给定坐标的空间位置？ D（1，3，4）
在空间直角坐标系中标出D点： D(1,3,4)
z
4
1
O
D`
3
y
x
在空间直角坐标系中标出D点： D(1,3,4)
z D 4
1
O
D`
3
y
x
z
P 1 (1, 1,1)
o
P2 (1,1,1)
A
z
D'
C'
B'
O
B
C
y
z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 Oxyz。 点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别 称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面．
二、空间直角坐标系的划分：
Ⅲ
z
yz 面
Ⅳ
zx 面
Ⅱ Ⅰ
xy 面
Ⅶ Ⅷ
•
O
y
Ⅵ
x
Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
3
y
C (0, 4, 0)
B (3, 4, 0)
x A (3, 0, 0)
练习
1、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中， |OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于 点P.分别写出点C，B`，P的坐标.
z D` 3 A`
P
C` B`
A
3
O
P`
B
C
4
y
x
练习
2、如图，棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中，对 角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA， OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.
空间直角坐标系中任意 一点的位置如何表示？
三、空间点的坐标：
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴 和z 轴于点P、Q和R．
z
R
M
P
O
Q M’
y
x
三、空间点的坐标：
设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别 是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实 数组(x，y，z)来表示, (x，y，z)叫做点M 在此 空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．
