弹塑性力学-第二章 应力分析

引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）
——内力，为了描述物体内任意点P的内力可
采取如下方法：过P点设一个截面S将V分为 两部分：（相互有作用力与反作用力）
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§2-2 应力矢量和应力张量
2.1 应力矢量 n
F-
V- S-
S
V+ P
F
n+ n-
V+
F+
S+
一部分：V+、S+、外法线n、合力F；
力中的体力和面力的范围。
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§2-1 内力和外力 1.外部体力：作用在物体单位体积（质量）
上的力,如重力（或惯性力）
量纲：力/（长度）3。
x3
F
求 V 中任意点P上承受体力
P
V
采用极限方法：
x2
lim F x1
V 0 V f fie i fx i fy j fz k X i Y j Z k
沿三个坐标面的应力矢量由九个 元素(分量)表示,
这九个分量组成一个二阶张量：
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z
31 32 33 zx zy zz zx zy z
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§2-2 应力矢量和应力张量
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z
31 32 33 zx zy zz zx zy z
这九个分量的两个下标：第一个表示应力 矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力 矢量的分量的方向。
其中 Fx , Fy , Fz为沿三个坐标轴分量。
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§1-1 内力和外力
1.2 内力： 物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。
在材力和结力中以N、M、Q形式出现，
但在弹力中常以应力来描述。
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§2-2 应力和应力张量
2.1 应力矢量 当变形体受外力作用时，要发生变形，同时
或
r
r
t(n) niti
P A
-t(1) n
t(n)
x2 B
-t(3)
展开为
r r rx1 r t(n ) t1 n 1 t2 n 2 t3 n 3
或
r rr r t(n)txltym tzn
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§2-2 应力矢量和应力张量
2.2 应力张量
x3(z)
每个坐标面上的应
x2(y)
力矢量又可以沿三个坐
根据微元体的平衡，得
C
-tLeabharlann Baidu2)
t(n) St(i) Sif V0
P
而
r rr t(i) t(i)ti
A x1
代入上式r，并忽略r高阶微量 t(n) Stini S0
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
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§2-2 应力矢量和应力张量 x3 f
rr
C
t(n) Stini S0 -t(2)
n 定理： r过P点以 单位外法线截面上的应
力矢量
t ( n )
是作用在通过P点坐标平面的应力矢
量t(1) t(x)、t(2) t(y) 、t(3) t(z)
x3
f
的线性函数、其系 数是 n的方向余弦，
C
-t(2)
-t(1) n
t(n)
n1 nx l n2 ny m
P
x2
B
n3 nz n
A
-t(3)
第二章 应力分析
§2-1 内力和外力 §2-2 应力矢量和应力张量 §2-3 应力分量转换公式 §2-4 主应力和应力主方向、应力张量
的不变量 §2-5 最大正应力和剪应力 §2-6 应力张量的分解
§2-7 平衡微分方程、力的边界条件
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§2-1 内力和外力
1.1 外力：
物体承受外因而导致变形，外因可以是热力 作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作 用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积 力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械
rr r t(x)lt(y)m t(z)n
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x3
§2-2 应力矢量和应力张量 C
证：
-t(2)
设 ABCS,
P
则 PBCn1S,
A x1
PACn2S, PABn3S,
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
可得
Si niS
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§2-2 应力矢量和应力张量 x3
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§2-2 应力矢量和应力张量
当截面不变时，应力矢量具有一个方向性。
量纲为力/（长度）2。
r
r
lim lim 取V- ：tr( n) S 0 F S S 0 F S tr(n) 作用在V-上。
当P点的截面与坐标面平行时，
(nei)
t(n) ti
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§2-2 应力矢量和应力张量
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§2-1 内力和外力
其中 fx, fy, fz 为沿三个坐标轴分量。 2.外部面力：作用在物体外部表面力
如静水压力、土压力等。 量纲：力/（长度）2。 求物体表面上任意一点P上
x3
F
P
S
受面力仍采用极限方法：
x2
x1
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§2-1 内力和外力
lim P S 0 F S F ie i F x i F y j F z k X i Y j Z k
x1
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x3
§2-2 应力矢量和应力张量 C
f -t(1)
n
n1 nx l n2 ny m -t(2)
t(n)
n3 nz n 即 ：
P A
x2 B
-t(3)
r r r r x1 r t ( n ) t ( i) n i t ( 1 ) n 1 t ( 2 ) n 2 t ( 3 ) n 3
13 12
t1
标面分解三个分量，比
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如坐标面法线为x1
x1(x)
t r 1 t r x 1 1 x e r x 1 e r x 1 2 e r x 2 y e ry 1 3 e r 3 x ze rz1 j e r j
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§2-2 应力矢量和应力张量
r ti
ijerj
另一部分：V-、S-、外法线 n、合力F；
截面上的合力：F F 或
FF0
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§2-2 应力矢量和应力张量
2.1 应力矢量
n
截面上P点上的内力情况，
S V+ P
F
在V+上S面围绕P点取S，
S上合力为F。
lim
F
应力矢量（作用在V+）： t(n)
S0
S
应力矢量与P点位置有关，与截面方向 n （ 方向）有关。