高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第一节直线与方程模拟创新题文新人教A版

高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第一节直线与方程模拟创新题文1一、选择题1.(2016·辽宁师大附中期中)已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于( ) A.1或－3 B.－1或3 C.1和3D.－1或－3解析 由题意知两条直线的斜率均存在，因为两直线互相平行，所以所以a ＝1或－3. 答案 A2.(2015·滨州模拟)当0＜k ＜时，直线l1：kx －y ＝k －1与直线l2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 l1和l2的交点坐标为，∵0＜k ＜，∴＜0，＞0，故l1和l2交点在第二象限. 答案 B3.(2016·河南南阳一模)已知a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－12解析 由a ＋2b ＝1得a ＝1－2b ，代入直线方程得(2x －1)b ＝x ＋3y ，此式对任意b 恒成立，故有解得即直线必过定点. 答案 C 二、填空题4.(2014·厦门质检)直线xcos α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________.解析 直线xcos α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－cos α∈，设倾斜角为θ，则θ∈[0，π)， k ＝tan θ∈，所以θ∈∪.答案 ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 创新导向题直线方程与位置关系问题5.“a ＝2”是“直线ax ＋2y －1＝0与x ＋(a －1)y ＋1＝0互相平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由两直线平行得＝≠，解得a ＝2，所以“a＝2”是“直线ax ＋2y －1＝0与x ＋(a －1)y ＋1＝0互相平行的充要条件”. 答案 C利用直线位置关系求参数的值6.已知M ＝ax ＋2y ＋a ＝0}且M ∩N ＝∅，则a ＝( ) A.－6或－2 B.－6 C.2或－6D.－2解析注意到可将式子＝3变形为3x－y－3＝0，由M∩N＝∅意味着直线3x－y－3＝0(去掉点(2，3))与直线ax＋2y＋a＝0无公共点.若两直线平行，则＝≠，即a＝－6；若直线ax＋2y＋a＝0恰过点(2，3)，则a＝－2.答案A专项提升测试模拟精选题一、选择题7.(2016·广东珠海综合测试)“a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直的充要条件是4a2＋a－3＝0，解得a＝－1或a＝，所以“a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A.答案A8.(2015·山东烟台二模)设曲线y＝在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a＝( )A.2B.－2C. D.－12解析函数y＝的导函数为y′＝，所以曲线在(3，2)处的切线的斜率为－，又直线ax＋y＋3＝0的斜率为－a，所以－a·＝－1，解得a＝－2，选B.答案B9.(2014·黑龙江佳木斯第三次调研)与直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为( )A.2x＋y＋1＝0B.2x－y－1＝0C.2x＋y－1＝0D.x－2y＋1＝0解析设A(x，y)为所求直线上的任意一点，则A′(x，－y)在直线2x－y＋1＝0上，所以2x＋y＋1＝0，此方程为所求方程，选A.答案A二、填空题10.(2015·苏州模拟)已知直线l过点M(1，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程为________.解析设l的方程为y－1＝k(x－1)，因此A，B(0，1－k)，|MA|2＋|MB|2＝2＋k2＋≥2＋2＝4，当且仅当k2＝时取“＝”，得k＝－1.答案x＋y－2＝0创新导向题直线围成图形的面积问题11.在直角坐标系xOy中，设P是曲线C：xy＝1(x>0)上任意一点，l 是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则以下结论正确的是( )A.△OAB的面积为定值2B.△OAB的面积有最小值3C.△OAB 的面积有最大值4D.△OAB 的面积的取值范围是[3，4]解析 设P(x0，y0)为曲线C ：y ＝(x>0)上任意一点，则y0＝.因为y′＝－，所以过点P 的切线斜率k ＝－)，所以切线l 的方程为y －y0＝－)(x －x0).当x ＝0时，y ＝；当y ＝0时，x ＝2x0，所以S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·＝2，故选A. 答案 A直线方程与基本不等式的综合问题12.若直线l ：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________.解析 由直线l ：＋＝1(a>0，b>0)可知直线在x 轴上的截距为a ，直线在y 轴上的截距为 b.求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值.由直线经过点(1，2)， ∴＋＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋＋≥3＋2b a ×2a b＝3＋2，故a ＋b 的最小值为3＋2.答案 3＋22。

高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第1节直线与方程课时训练理w第九篇平面解析几何(必修2、选修21)第1节直线与方程【选题明细表】知识点、方法直线的倾斜角和斜率直线的方程直线的位置关系直线的交点和距离问题直线方程的综合应用基础对点练(时间:30分钟)1.直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( A )题号 1,4,12 8,10,14 2,3,13 9 5,6,7,11,15,16 (A) (B) (C)- (D)-解析:设直线l的斜率为k,则k=-2=.2.直线x+ay+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点,则a的值为( C ) (A)3或-1 (B)0或3 (C)0或-1 (D)-1或0或3解析:两直线无公共点,即两直线平行,所以解得a=0或a=-1.故选C.3.(2021新泰模拟)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0.若l1⊥l2,则实数a的值是( C ) (A)0 (B)2或-1 (C)0或-3 (D)-3解析:因为l1⊥l2,所以a+a(a+2)=0,则a=0或a=-3,故选C.4.(2021枣庄模拟)将直线l沿y轴的负方向平移a(a>0)个单位,再沿x轴正方向平移a+1个单位得直线l′,此时直线l′与l重合,则直线l′的斜率为( B )(A) (B)-(C) (D)-解析:设直线l:y=kx+b,l沿y轴负方向平移a个单位得l1:y=kx+b-a,再沿x轴正方向平移a+1个单位得l′:y=k(x-a-1)+b-a,即y=kx+b-ka-k-a,由l′与l重合得-a-ka-k=0,k=-.5.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点( B ) (A)(0,4)(B)(0,2) (C)(-2,4) (D)(4,-2)解析:直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线l1与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2经过定点(0,2). 故选B.6.不论m为何值时,直线l:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点( D ) (A) (1,- ) (B)(-2,0) (C)(2,3) (D)(9,-4) 解析:直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5, 化为(mx+2my-m)+(-x-y+5)=0,即直线l过x+2y-1=0与-x-y+5=0的交点, 解方程组得7.(2021合肥一模)已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( B )(A)x-2y+1=0 (B)x-2y-1=0 (C)x+y-1=0 (D)x+2y-1=0 解析:因为l1与l2关于l对称,所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上, 故l与l1的交点(1,0)在l2上. 又易知(0,-2)为l1上一点, 设它关于l的对称点为(x,y),则解得即(1,0),(-1,-1)为l2上两点, 可得l2的方程为x-2y-1=0.8.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方程为( B ) (A)x+2y-6=0 (B)2x+y-6=0 (C)x-2y+7=0 (D)x-2y-7=0解析:直线过P(1,4),代入后舍去选项A,D;又在两坐标轴上的截距均为正值,舍去选项C.故选B. 9.已知平面内两点A(1,2),B(3,1)到直线l的距离分别是为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4,-,则满足条件的直线l的条数解析:由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条;又因为|AB|=AB上的一点且与AB垂直的直线,故共3条.故选C.,所以还有1条为过线段10.(2021哈尔滨模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为.解析:设所求直线方程为+=1,由已知得解得或所以2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求. 答案:2x+y+2=0或x+2y-2=011.已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值. (1)l1⊥l2,且直线l1过点(-3,-1);(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解:(1)因为l1⊥l2,所以a(a-1)-b=0.又因为直线l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0. 故a=2,b=2.(2)因为直线l2的斜率存在,l1∥l2, 所以直线l1的斜率存在,k1=k2, 即=1-a.又因为坐标原点到这两条直线的距离相等, 所以l1、l2在y轴上的截距互为相反数,即=b. 故a=2,b=-2或a=,b=2.能力提升练(时间:15分钟)12.(2021哈尔滨模拟)函数y=asin x-bcos x的一条对称轴为x=,则直线l:ax-by+c=0的倾斜角为( D )(A)45° (B)60° (C)120° (D)135°解析:由函数y=f(x)=asin x-bcos x的一条对称轴为x=知, f(0)=f(),即-b=a,所以直线l的斜率为-1, 所以倾斜角为135°.13.若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么+的最小值等于. 解析:设点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(x0,y0),则有解得x0=1-n,y0=1+m,又点(x0,y0)在直线x-y+2=0上, 所以1-n-1-m+2=0, 所以m+n=2,所以+=(+) (m+n)=++≥.答案:14.(2021淮安一调)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.解析:设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b), 则反射光线所在直线过点M′,解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为=,即6x-y-6=0. 答案:6x-y-6=015.已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,求: (1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程;22(2)当|MA|+|MB|取得最小值时,直线l的方程. 解:(1)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0). 则直线l的方程为+=1, 则+=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b) (+)=2++≥2+2=4,当且仅当“a=b=2”时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0. (2)设直线l的斜率为k,则k<0, 直线l的方程为y-1=k(x-1), 则A(1-,0),B(0,1-k),所以|MA|+|MB|=(1-1+)+1+1+(1-1+k)=2+k+≥2+222222222=4,则当且仅当k=,即k=-1时等号成立, 则直线l的方程为y=-x+2.16. (2021东营模拟)设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R). (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若a>-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN面积取最小值时,直线l的方程.解:(1)当直线l经过坐标原点时,设直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a+2=0,解得a=-2, 此时直线l的方程为-x+y=0,即x-y=0;当直线l不经过坐标原点,即a≠-2且a≠-1时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0. 所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.=2+a,(2)由直线方程可得M(因为a>-1,,0),N(0,2+a),所以S△OMN=××(2+a)=×=[(a+1)++2]≥×[2+2]=2,当且仅当a+1=,即a=0时等号成立,此时直线l的方程为x+y-2=0.精彩5分钟1.(2021高考四川卷)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|・|PB|的最大值是.解题关键:两直线过定点,且两直线互相垂直.解析:易求定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,不难验证PA⊥PB,所以|PA|+|PB|=|AB|=10,所以|PA|・|PB|≤222=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|・|PB|=0,故|PA|・|PB|的最大值是5. 答案:52.(2021黄山一模)已知点A在直线x+2y-1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0>x0+2,则的取值范围为.解题关键:利用点到直线的距离,确定x0,y0的关系,求的范围转化为关于x0的函数,求其范围. 解析:因为直线x+2y-1=0与直线x+2y+3=0平行,所以可得x0+2y0+1=0,=,因为y0>x0+2,所以-(1+x0)>x0+2, 解得x0所以k=因为x0=--,所以0所以-<感谢您的阅读，祝您生活愉快。

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第一节 直线与方程AB 卷 文 新人教A 版1. (2016·北京，7)已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A.－1 B.3 C.7D.8解析 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)，2≤x ≤4.即2x ＋y －9＝0，2≤x ≤4，因为P (x ，y )在线段AB 上， 所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9.又2≤x ≤4，则－1≤4x －9≤7，故2x －y 最大值为7. 答案 C2.(2015·安徽，8)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12D.2或12解析 圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |32＋42＝1.解得b ＝2或b ＝12，故选D. 答案 D3.(2014·福建，6)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝0解析 依题意，得直线l 过点(0，3)，斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －0，即x －y ＋3＝0.故选D. 答案 D4.(2013·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在.设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上. 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.5.(2014·四川，9)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |＋|PB |的取值范围是( ) A.[5，25] B.[10，25] C.[10，45]D.[25，45]解析 易知直线x ＋my ＝0过定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1，3)，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故|PA |＋|PB |＝|AB |cos∠PAB ＋|AB |sin ∠PAB ＝10·2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠PAB ＋π4∈[10，25]，故选B.答案 B6.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________. 解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 答案227.(2013·四川，15)在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.解析 由题意可知，若P 为平面直角坐标系内任意一点，则|PA |＋|PC |≥|AC |，等号成立的条件是点P 在线段AC 上；|PB |＋|PD |≥|BD |，等号成立的条件是点P 在线段BD 上.所以到A ，B ，C ，D 四点的距离之和最小的点为AC 与BD 的交点.直线AC 方程为2x －y ＝0，直线BD 方程为x ＋y －6＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. 即所求点的坐标为(2，4). 答案 (2，4)。

2019高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线方程分层演练文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线方程分层演练文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线方程分层演练文的全部内容。

第1讲直线的倾斜角、斜率与直线方程一、选择题1．已知直线l过点（1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为( )A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0解析：选D．由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α,2α，因为直线l:x－2y－2＝0的斜率为错误!,则tan α＝错误!，所以直线l的斜率k＝tan 02α＝错误!＝错误!＝错误!．所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝错误!(x－1），即4x－3y－4＝0．2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限,则a，b,c应满足（)A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0C．ab<0,bc〉0 D．ab〈0,bc<0解析：选A．由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－错误!x－错误!．易知－错误!〈0且－错误!〉0,故ab>0，bc〈0．3．两直线错误!－错误!＝a与错误!－错误!＝a（其中a为不为零的常数）的图象可能是( )解析：选B．直线方程错误!－错误!＝a可化为y＝错误!x－na，直线错误!－错误!＝a可化为y＝错误!x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．4．已知直线x＋a2y－a＝0(a〉0，a是常数），当此直线在x，y轴上的截距之和最小时，a的值是( ）A．1 B．2 C．错误!D．0解析：选A．直线方程可化为xa＋错误!＝1,因为a>0，所以截距之和t＝a＋错误!≥2,当且仅当a＝错误!，即a＝1时取等号．5．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（)A．[－2，2]B．（－∞,－2］∪[2，＋∞）C．［－2，0)∪(0，2］D．(－∞,＋∞)解析：选C．令x＝0，得y＝错误!，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为错误!错误!｜－b｜＝错误!b2，且b≠0，错误!b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0）∪(0,2］．6．若直线错误!＋错误!＝1（a＞0，b＞0）过点(1,1），则a＋b的最小值等于( ）A．2 B．3C．4 D．5解析:选C．将（1，1)代入直线错误!＋错误!＝1，得错误!＋错误!＝1，a ＞0，b＞0，故a＋b＝（a＋b)（错误!＋错误!）＝2＋错误!＋错误!≥2＋2＝4,等号当且仅当a＝b时取到，故选C．二、填空题7．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B （1,4），D（5，0),则直线l的方程为________．解析:直线l平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3，2),则直线l：y＝23 x．答案：y＝错误!x8．过点M（－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．解析：(1）当直线过原点时,直线方程为y＝－错误!x;(2）当直线不过原点时,设直线方程为错误!＋错误!＝1，即x－y＝a．代入点(－3，5），得a＝－8．即直线方程为x－y＋8＝0．答案：y＝－53x或x－y＋8＝09．直线l:(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．解析:直线l的方程变形为a（x＋y）－2x＋y＋6＝0，由｛x＋y＝0，，－2x＋y＋6＝0解得x＝2，y＝－2，所以直线l恒过定点（2，－2）．答案：（2，－2)10．已知直线l：x－my＋错误!m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0),B(1,0)连线的斜率k MA与k MB之积为3，则实数m的取值范围是____________．解析：设M（x，y)，由k MA·k MB＝3，得错误!·错误!＝3，即y2＝3x2－3．联立错误!得错误!x2＋错误!x＋6＝0．要使直线l：x－my＋错误!m＝0上存在点M满足与两点A（－1，0)，B(1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为3，则Δ＝错误!错误!－24错误!≥0，即m2≥错误!．所以实数m的取值范围是错误!∪错误!．答案:错误!∪错误!三、解答题11．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3，4)；(2)斜率为错误!．解：（1）设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4,它在x轴，y轴上的截距分别是－错误!－3，3k＋4，由已知,得（3k＋4)×错误!＝±6，解得k1＝－错误!或k2＝－错误!．故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0．（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝16x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b｜＝6，所以b＝±1．所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．12．如图,射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1，0）作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝错误!x 上时，求直线AB的方程．解：由题意可得k OA＝tan 45°＝1，k OB＝tan（180°－30°）＝－错误!，所以直线l OA:y＝x，l OB：y＝－错误!x．设A(m，m)，B（－3n，n)，所以AB的中点C错误!,由点C在直线y＝错误!x上，且A，P，B三点共线得错误!解得m＝3,所以A（错误!，错误!）．又P（1，0）,所以k AB＝k AP＝错误!＝错误!，所以l AB:y＝错误!(x－1），即直线AB的方程为(3＋错误!)x－2y－3－错误!＝0．1．直线l过点P（1，4），分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B 两点,O为坐标原点,当｜OA｜＋｜OB|最小时,求l的方程．解：依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1）（k <0）．令y ＝0,可得A 错误!；令x ＝0，可得B (0，4－k ）．|OA ｜＋|OB |＝（）1－4k ＋（4－k )＝5－错误!＝5＋错误!≥5＋4＝9．所以当且仅当－k ＝错误!且k 〈0，即k ＝－2时，|OA ｜＋|OB |取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0．2．如图,在矩形ABCD 中，AB ＝6,AD ＝4,矩形内的点M 到AB 与AD 的距离分别为1和错误!,过M 的直线交AB 、AD 分别为P 、Q ,求错误!·错误!的最大值及取最大值时P 、Q 的位置．解：分别以AB 和AD 所在的直线为x 轴与y 轴,建立直角坐标系xAy ．则M 错误!，C (6，4)．设P (a ，0），Q (0，b ）（a 〉0，b 〉0），则直线PQ 的方程为错误!＋错误!＝1,所以错误!＋错误!＝1，错误!·错误!＝（a －6，－4)·(－6，b －4）＝－(6a ＋4b ）＋52． 又错误!（6a ＋4b ）＝13＋6错误!≥13＋6×2错误!＝25．所以6a ＋4b ≥25,当且仅当a ＝b 且错误!＋错误!＝1，即a ＝b ＝错误!时，6a ＋4b 取得最小值25．所以错误!·错误!≤－25＋52＝27．所以，当AP ＝AQ ＝错误!时，错误!·错误!的最大值为27．。

基础知识整合１．直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或关于y）的一元二次方程．如联立后得到以下方程：Ax２＋Bx＋C＝0（A≠0），Δ＝B２—４AC.若Δ<0，则直线与圆锥曲线错误!没有公共点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线错误!有且只有一个公共点；若Δ>0，则直线与圆锥曲线错误!有两个不同的公共点．２．弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 后得到关于x的一元二次方程．当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A（x１，y１），B（x２，y ２），直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!·错误!.再利用根与系数的关系得出x１＋x２，x１x２的值，代入上式计算即可．３．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．（１）利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．（２）点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x１，y１），B（x２，y ２），代入曲线方程，通过作差，构造出x１＋x２，y１＋y２，x１—x２，y１—y２，从而建立中点坐标和斜率的关系．解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法（１）解决焦点弦（过圆锥曲线焦点的弦）的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义．（２）已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．（３）圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解．１．直线y＝kx—k＋１与椭圆错误!＋错误!＝１的位置关系为（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不确定答案A解析直线y＝kx—k＋１＝k（x—１）＋１恒过定点（１,１），又点（１,１）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．２．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）与直线y＝２x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（１，错误!]Ｃ．（错误!，＋∞）Ｄ．[错误!，＋∞）答案C解析因为双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，则由题意得错误!>２，所以e＝错误!＝错误!>错误!＝错误!.３．过抛物线y２＝２x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于２，则这样的直线（）Ａ．有且只有一条Ｂ．有且只有两条Ｃ．有且只有三条Ｄ．有且只有四条答案B解析若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为１，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB 的斜率为k，则直线AB为y＝k错误!，代入抛物线y２＝２x，得k２x２—（k２＋２）x＋错误!k２＝0，因为A，B两点的横坐标之和为２．所以k＝±错误!.所以这样的直线有两条．４．（２0１8·全国卷Ⅰ）设抛物线C：y２＝４x的焦点为F，过点（—２,0）且斜率为错误!的直线与C交于M，N两点，则错误!·错误!＝（）Ａ．５Ｂ．6 C．7 Ｄ．8答案D解析根据题意，过点（—２,0）且斜率为错误!的直线方程为y＝错误!（x＋２），与抛物线方程联立错误!消去x并整理，得y２—6y＋8＝0，解得M（１,２），N（４,４），又F（１,0），所以错误!＝（0,２），错误!＝（３,４），从而可以求得错误!·错误!＝0×３＋２×４＝8，故选Ｄ．５．（２0１8·山西阳泉质检）椭圆mx２＋ny２＝１与直线x＋y—１＝0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为错误!，则错误!的值为________．答案错误!解析解法一：设A（x１，y１），B（x２，y２），M（x0，y0），所以kOM＝错误!＝错误!，kAB＝错误!＝—１，由AB的中点为M可得x１＋x２＝２x0，y１＋y２＝２y0．由A，B在椭圆上，可得错误!两式相减可得m（x１—x２）（x１＋x２）＋n（y１—y２）（y１＋y２）＝0，则m（x１—x２）·２x0—n（x １—x２）·２y0＝0，整理可得错误!＝错误!.解法二：设A（x１，y１），B（x２，y２），M（x0，y0），联立方程错误!可得（m＋n）x２—２nx＋n—１＝0，所以x１＋x２＝错误!，y１＋y２＝２—（x１＋x２）＝错误!.由中点坐标公式可得，x0＝错误!＝错误!，y0＝错误!＝错误!.因为M与坐标原点的直线的斜率为错误!，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!.6．（２0１8·太原模拟）已知抛物线y２＝４x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O 为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为________．答案错误!解析因为抛物线y２＝４x的焦点F的坐标为（１,0），当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝４，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k（x—１），与y２＝４x联立，消去x得ky２—４y—４k＝0．设A（x １，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，所以|y１—y２|＝错误!，因为|AB|＝错误! |y１—y２|＝6，所以４错误!＝6，解和k＝±错误!，所以|y１—y２|＝错误!＝２错误!，所以△AOB的面积为错误!×１×２错误!＝错误!.核心考向突破考向一直线与圆锥曲线的位置关系例１已知直线l：y＝２x＋m，椭圆C：错误!＋错误!＝１．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：（１）有两个不重合的公共点；（２）有且只有一个公共点；（３）没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组错误!将１代入２，整理得9x２＋8mx＋２m２—４＝0．３方程３根的判别式Δ＝（8m）２—４×9×（２m２—４）＝—8m２＋１４４．（１）当Δ>0，即—３错误!<m<３错误!时，方程３有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．（２）当Δ＝0，即m＝±３错误!时，方程３有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．（３）当Δ<0，即m<—３错误!或m>３错误!时，方程３没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．触类旁通１判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.２依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.即时训练１．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左焦点为F１（—１,0），且点P（0,１）在C１上．（１）求椭圆C１的方程；（２）设直线l同时与椭圆C１和抛物线C２：y２＝４x相切，求直线l的方程．解（１）因为椭圆C１的左焦点为F１（—１,0），所以c＝１．将点P（0,１）代入椭圆方程错误!＋错误!＝１，得错误!＝１，即b＝１，所以a２＝b２＋c２＝２．所以椭圆C１的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由错误!消去y并整理得（１＋２k２）x２＋４kmx＋２m２—２＝0．因为直线l与椭圆C１相切，所以Δ１＝１6k２m２—４（１＋２k２）（２m２—２）＝0．整理得２k２—m２＋１＝0．１由错误!消去y并整理得k２x２＋（２km—４）x＋m２＝0．因为直线l与抛物线C２相切，所以Δ２＝（２km—４）２—４k２m２＝0，整理得km＝１．２综合１２，解得错误!或错误!所以直线l的方程为y＝错误!x＋错误!或y＝—错误!x—错误!.考向二弦长问题例２（２0１8·北京高考）已知椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，焦距为２错误!.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，Ｂ．（１）求椭圆M的方程；（２）若k＝１，求|AB|的最大值．解（１）由题意得２c＝２错误!，所以c＝错误!，又e＝错误!＝错误!，所以a＝错误!，所以b２＝a２—c２＝１，所以椭圆M的标准方程为错误!＋y２＝１．（２）设直线AB的方程为y＝x＋m，由错误!消去y，可得４x２＋6mx＋３m２—３＝0，则Δ＝３6m２—４×４（３m２—３）＝４8—１２m２>0，即m２<４，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，则|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!·错误!＝错误!，易得当m２＝0时，|AB|max＝错误!，故|AB|的最大值为错误!.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后整体代入弦长公式求解．注意：两种特殊情况：１直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；２直线过圆锥曲线的焦点.即时训练２．（２0１9·新疆乌鲁木齐联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的焦距为２，且过点错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）过点M（２,0）的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足错误!＋错误!＝t错误!，其中t∈错误!，求|AB|的取值范围．解（１）依题意得错误!解得错误!∴椭圆C的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k（x—２）．由错误!得（１＋２k２）x２—8k２x＋8k２—２＝0，∴Δ＝8（１—２k２）>0，解得k２<错误!.设A（x１，y１），B（x２，y２），P（x，y），则错误!由错误!＋错误!＝t错误!得P错误!，代入椭圆C的方程得t２＝错误!，由错误!<t<２得错误!<k２<错误!，∴|AB|＝错误!·错误!令u＝错误!，则u∈错误!，∴|AB|＝２错误!，令y＝２u２＋u—１，其对称轴为u＝—错误!，∴y＝２u２＋u—１在错误!上单调递增，∴0<y<错误!，∴0<|AB|<错误!，故|AB|的取值范围为错误!.考向三中点弦问题例３（２0１9·陕西模拟）已知抛物线C：y２＝２px（p>0），过点M（５，—２）的直线交抛物线C 于A，B两点．（１）若p＝错误!，且点M恰好是线段AB的中点，求直线AB的方程；（２）问在抛物线C上是否存在定点N（x0，y0），使得NA⊥NB总成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解（１）当p＝错误!时，抛物线C的方程为y２＝x，由题意，设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!两式相减得（y１—y２）（y１＋y２）＝x１—x２．（*）因为点M（５，—２）恰好是线段AB的中点，所以y１＋y２＝—４，显然直线AB不与x轴垂直，故设直线AB的斜率为k，由（*）式得k＝错误!＝错误!＝—错误!，所以直线AB的方程是y＋２＝—错误!（x—５），即x＋４y＋３＝0．（２）假设在抛物线C上存在定点N（x0，y0）满足题意，设A错误!，B错误!，直线AB的方程为x＝my＋b，联立方程得错误!可得y２—２mpy—２pb＝0，故y３＋y４＝２mp，y３y４＝—２pＢ．由题意知，直线NA与NB的斜率都存在且不为0，由于NA⊥NB，所以kNAkNB＝—１，即kNAkNB＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!＝—１，所以错误!＝—１，b＝２p＋my0＋错误!.故直线AB的方程可以写成x＝m（y＋y0）＋２p＋错误!，由于直线AB过点M（５，—２），故有５＝m（—２＋y0）＋２p＋错误!（**），当且仅当y0＝２，p＝２或错误!时，（**）式恒成立．由此可得，１当p＝２时，存在定点N（１,２），使得NA⊥NB；２当p＝错误!时，存在定点N（４,２），使得NA⊥NＢ．触类旁通处理中点弦问题常用的求解方法提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.即时训练３．（２0１9·福建三明联考）已知A是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左顶点，左焦点F １是线段OA的中点，抛物线y２＝４x的准线恰好过点F１．（１）求椭圆的方程；（２）如图所示，过点A作斜率为k的直线l１交椭圆于点M，交y轴于点N.点P为线段AM的中点，过N作与直线OP垂直的直线l２，证明：对于任意的k（k≠0），直线l２过定点，并求出此定点的坐标．解（１）依题意得抛物线y２＝４x的准线为x＝—１，∴点F１（—１,0），c＝１．∴左顶点为A（—２,0），∴a＝２，即b２＝a２—c２＝３，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）证明：设直线l１的方程为y＝k（x＋２），与椭圆的方程错误!＋错误!＝１联立，消去y得（３＋４k２）x２＋１6k２x＋１6k２—１２＝0．设M（x１，y１），则—２＋x１＝—错误!.∵P为线段AM的中点，∴xP＝错误!＝—错误!，yP＝k（xP＋２）＝k错误!＝错误!，∴点P的坐标为错误!.则kOP＝—错误!（k≠0），∴直线l２的斜率为错误!k.又直线l１的方程为y＝k（x＋２），令x＝0，得N（0,２k），∴直线l２的方程为y—２k＝错误!kx，即直线y＝错误!k错误!，∴直线l２过定点，此定点为错误!.（２0１9·武汉模拟）如图，已知抛物线C：x２＝２py（p>0），圆Q：x２＋（y—３）２＝8，过抛物线C的焦点F且与x轴平行的直线与C交于P１，P２两点，且|P１P２|＝４．（１）证明：抛物线C与圆Q相切；（２）直线l过F且与抛物线C和圆Q依次交于点M，A，B，N，且直线l的斜率k∈（0,１），求错误!的取值范围．解（１）证明：∵|P１P２|＝２p＝４，∴p＝２，故抛物线C的方程为x２＝４y，联立错误!消去x得y２—２y＋１＝0．∵Δ＝0，∴抛物线C与圆Q相切．（２）∵F（0,１），∴设直线l的方程为y＝kx＋１，k∈（0,１），∴圆心Q（0,３）到直线l的距离为d＝错误!，∴|AB|＝２错误!＝４错误!.设M（x１，y１），N（x２，y２），联立错误!消去x得y２—（４k２＋２）y＋１＝0，则y１＋y２＝４k２＋２，∴|MN|＝y１＋y２＋２＝４（k２＋１），∴错误!＝错误!，令t＝错误!错误!，则错误!＝t错误!＝错误!，设f（t）＝２t２—t３错误!，则f′（t）＝４t—３t２．∵错误!<t<１，∴f′（t）>0，∴函数y＝f（t）在错误!上单调递增，∴f错误!<f（t）<f（１），∴错误!<f（t）<１，即错误!的取值范围为错误!.答题启示对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．对点训练（２0１9·合肥模拟）已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右顶点与抛物线C２：y２＝２px（p>0）的焦点重合，椭圆C１的离心率为错误!，过椭圆C１的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为４错误!.（１）求椭圆C１和抛物线C２的方程；（２）过点A（—２,0）的直线l与C２交于M，N两点，若点M关于x轴的对称点为M′，证明：直线M′N恒过一定点．解（１）依题意，可得a＝错误!，则C２：y２＝４ax，令x＝c得y２＝４ac，即y＝±２错误!，所以４错误!＝４错误!，所以ac＝２．则错误!解得a＝２，b＝错误!，所以椭圆C１的方程为错误!＋错误!＝１，抛物线C２的方程为y２＝8x.（２）证明：依题意可知直线l的斜率不为0，可设l：x＝my—２，设M（x１，y１），N（x２，y２），则M′（x１，—y１），联立错误!消去x得y２—8my＋１6＝0，由Δ>0得m<—１或m>１．因为y１＋y２＝8m，y１y２＝１6，所以m＝错误!，所以直线M′N的斜率kM′N＝错误!＝错误!＝错误!，可得直线M′N的方程为y—y２＝错误!（x—x２），即y＝错误!x＋y２—错误!＝错误!x＋错误!＝错误!x—错误!＝错误!（x—２），所以当m<—１或m>１时，直线M′N恒过定点（２,0）．。

2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程夯基提能作业本文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程夯基提能作业本文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程夯基提能作业本文的全部内容。

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程A组基础题组1。

直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( ）A。

B.C.—D.—2。

已知直线l:ax+y-2—a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( )A。

1 B.-1C.-2或-1D.-2或13.直线ax+by+c=0经过第一、二、四象限,则a，b,c应满足（）A.ab〉0,bc<0B.ab>0，bc>0C.ab〈0，bc>0 D。

ab〈0,bc〈04.两直线—=a与—=a（其中a是不为零的常数）的图象可能是（）5.直线x-2y+b=0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是( )A.［-2，2]B.(-∞,—2]∪[2，+∞）C。

［—2,0）∪（0,2］ D.(—∞，+∞）6.直线l过原点且平分▱ABCD的面积,若平行四边形的两个顶点为B（1,4),D(5，0),则直线l的方程为.7.直线l：（a—2)x+(a+1）y+6=0,则直线l恒过定点.8.直线l过点P（1，0)，且与以A(2,1）,B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围是.9。

2021年高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第1节直线与方程模拟创新题理1.(xx·福建福州模拟)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0.则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C. 答案 C2.(xx·山东省实验中学期末)已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( ) A.45 B.43 C.34D.23解析 直线的斜率为12，即直线l 的斜率为k ＝tan α＝12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝134＝43，选B. 答案 B3.(xx·江西南昌调研)直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－3 解析 ∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立，∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3.答案 D利用直线位置关系求参数值4.已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________. 解析 依题意得a ×1＋(3－a )×(－2)＝0，解得a ＝2. 答案 2利用直线方程和基本不等式求最值问题5.已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________.解析 由题意知A (2，0)，B (0，1)，所以线段AB 的方程可表示为x2＋y ＝1，x ∈[0，2]，又动点P (a ，b )在线段AB 上，所以a2＋b ＝1，a ∈[0，2]， 又a 2＋b ≥2ab2，所以1≥2ab2，解得0≤ab ≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，ab 取得最大值12.答案 12专项提升测试 模拟精选题一、选择题6.(xx·河北邢台模拟)已知点P (x ，y )为曲线y ＝x ＋1x上任一点，点A (0，4)，则直线AP 的斜率k 的取值范围是( )A.[－3，＋∞)B.(3，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(1，＋∞)解析 由题意知k AP ＝y －4x ＝1－4x ＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －22－3≥－3.答案 A7.(xx·广西南宁调研)已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )A.－4B.20C.0D.24解析 由两直线垂直得－a 4×25＝－1，∴a ＝10，将垂足坐标代入ax ＋4y －2＝0，得c ＝－2，再代入2x －5y ＋b ＝0，得b ＝－12，∴a ＋b ＋c ＝－4. 答案 A 二、填空题8.(xx·盐城模拟)经过两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点，且与直线x －3y －1＝0平行的直线的一般式方程为______________________. 解析 两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点为(－3，－1)，所以所求直线为y ＋1＝13(x ＋3)，即x －3y ＝0.答案 x －3y ＝09.(xx·深圳模拟)一条直线l 过点P (1，4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________.解析 设l ：x a ＋y b＝1(a ，b >0).因为点P (1，4)在l 上，所以1a ＋4b＝1.由1＝1a ＋4b ≥24ab⇒ab ≥16，所以S △AOB ＝12ab ≥8.当1a ＝4b ＝12，即a ＝2，b ＝8时取等号. 故直线l 的方程为4x ＋y －8＝0. 答案 4x ＋y －8＝0三、解答题10.(xx·四川乐山模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|y －3x －2＝a ＋1，B ＝{(x ，y )|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15}，求a 为何值时，A ∩B ＝∅.解 集合A 、B 分别为平面xOy 上的点集，直线l 1：(a ＋1)x －y －2a ＋1＝0(x ≠2)，l 2：(a 2－1)x ＋(a －1)y －15＝0.由⎩⎨⎧（a ＋1）（a －1）＝（－1）·（a 2－1），－1×（－15）≠（a －1）（－2a ＋1），解得a ＝±1. ①当a ＝1时，显然有B ＝∅，所以A ∩B ＝∅；②当a ＝－1时，集合A 为直线y ＝3(x ≠2)，集合B 为直线y ＝－152，两直线平行，所以A ∩B ＝∅；③由l 1可知(2，3)∉A ，当(2，3)∈B 时， 即2(a 2－1)＋3(a －1)－15＝0， 可得a ＝52或a ＝－4，此时A ∩B ＝∅.综上所述，当a ＝－4，－1，1，52时，A ∩B ＝∅.创新导向题利用直线斜率求倾斜角问题11.若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3，0)，∴k PA ＝33，则直线PA 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 B数形结合求斜率取值范围问题12.已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.k ≥34或k ≤－4B.－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D.－34≤k ≤4解析 由斜率公式，得k PM ＝－4，k PN ＝34，当直线l 的斜率k ≥34或k ≤－4时，直线l 与线段MN 相交.答案 A。

【创新设计】（全国通用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第1讲 直线与直线方程练习 理 新人教A 版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.答案 D2.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k ＜0，则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案 B3.(2016·太原质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13B.－13C.－32D.23 解析 依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 答案 B4.(2016·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合.答案 B5.(2016·衡水一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A.y ＝3x ＋2B.y ＝3x －2C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12， ∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.答案 A二、填空题6.(2016·烟台模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3， 则有k 4－k 3＝2，所以k ＝－24. 答案 －247.已知直线l 过点M (1，1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程为________. 解析 设A (a ，0)，B (0，b )(a >0，b >0).设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2·a b ·b a＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.答案 x ＋y －2＝08.一条直线经过点A (－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________.解析 由题设知，直线在两坐标轴上截距均不为0，设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1.∵A (－2，2)在此直线上，∴－2a ＋2b＝1.① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解. 故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程.答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0三、解答题9.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ).(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，显然相等，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1].10.如图，在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求这个三角形三边所在直线的方程.解 设M (0，a )，N (b ，0)，C (m ，n )，∵A (5，－2)，B (7，3)，又M 是AC 的中点，∴5＋m ＝0，m ＝－5，N 是BC 的中点，∴3＋n ＝0，n ＝－3，∴C 点坐标为(－5，－3)，由直线方程的两点式得AB 边所在直线方程为y －（－2）3－（－2）＝x －57－5，整理得5x －2y －29＝0； AC 边所在直线方程为y －（－2）－3－（－2）＝x －5－5－5， 整理得x －10y －25＝0；BC 边所在直线方程为y －3－3－3＝x －7－5－7， 整理得x －2y －1＝0.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪()1，＋∞ C.(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D.(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12，由图形可得满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 D12.已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是( )A.2B.3C.4D.6解析 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 答案 B13.(2016·沈阳质量监测)如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为________.解析 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan (180°－30°)＝－33，所以直线l OA 与直线l OB 的方程分别为y ＝x ， y ＝－33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3). 又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.答案 (3＋3)x －2y －3－3＝014.(1)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程.(2)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )，若a >－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程.解 (1)设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b .①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b＝1， 若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y －1＝0.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y －7＝0.②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0.(2)易求M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2a ＋1，0，N (0，2＋a )，∵a >－1，所以S △OMN ＝12·a ＋2a ＋1·(2＋a )＝12·[（a ＋1）＋1]2a ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋1）＋1a ＋1＋2≥2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时，等号成立.故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第1节 直线与方程高考AB 卷 理直线及其方程(2013·全国Ⅱ，12)已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 解析 (1)当直线y ＝ax ＋b 与AB 、BC 相交时(如图①)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋ba ＋1，又易知x D ＝－b a ，∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.图① 图②(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC 、BC 相交时(如图②)，由S △FCG ＝12(x G －x F )·|CM |＝12得b ＝1－221－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1(∵0<a <1)， ∵对于任意的a >0恒成立，∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12.故选B.答案 B直线及其方程1.(2013·湖南，8)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点.光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图).若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A.2B.1C.83D.43解析 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示.则A (0，0)，B (4，0)，C (0，4).设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43. 设P 点坐标为(m ，0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m ，0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4，4－m )， 根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上， ∴k P 1D ＝k P 2D ，即4343＋m ＝43－4＋m 43－4，解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去.∴m ＝43.答案 D2.(2014·广东，10)曲线y ＝e －5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________.解析 y ′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0. 答案 5x ＋y －3＝两直线的位置关系3.(2013·辽宁，9)已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3).若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A.b ＝a 3B.b ＝a 3＋1aC.(b －a 3)(b －a 3－1a)＝0D.|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0解析 若△OAB 为直角三角形，则A ＝90°或B ＝90°. 当A ＝90°时，有b ＝a 3；当B ＝90°时，有b －a 30－a ·a 3－0a －0＝－1，得b ＝a 3＋1a.故(b －a 3)(b －a 3－1a)＝0，选C.答案 C4.(2012·浙江，3)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 由l 1∥l 2⇒a (a ＋1)－2＝0⇒a ＝1或a ＝－2，∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件. 答案 A5.(2014·四川，14)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.解析 易求定点A (0，0)，B (1，3).当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5. 答案 56.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________. 解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1).又y ′＝2ax －bx2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2).由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.答案 －3。

§9.1直线方程与圆的方程考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.直线的倾斜角、斜率与方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念2.掌握过两点的直线斜率的计算公式3.掌握确定两直线位置的几何要素以及求直线方程的几种形式4.了解斜截式与一次函数的关系Ⅱ2017课标全国Ⅰ,20;2016某某,10;2014某某,6;2013某某,7选择题、填空题★★☆2.圆的方程1.掌握确定圆的几何要素2.掌握圆的标准方程与一般方程3.会利用待定系数法和直接法求圆的方程Ⅱ2017课标全国Ⅲ,20;2016,5;2016某某,10★★★分析解读从近几年的高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.五年高考考点一直线的倾斜角、斜率与方程1.(2014某某,6,5分)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案 D2.(2013某某,7,5分)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )A.x+y-=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+=0答案 A教师用书专用(3)3.(2016某某,10,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值X围是( )A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案 A考点二圆的方程1.(2016,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )A.1B.2C.D.2答案 C2.(2015,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D3.(2016某某,10,6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.答案(-2,-4);54.(2015某某,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准．．方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)--15.(2014某某,14,5分)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为.答案(x-2)2+(y-1)2=46.(2013课标全国Ⅱ,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.解析(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设得y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0),由已知得=.又P在双曲线y2-x2=1上,从而得由得此时,圆P的半径r=.由得此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.教师用书专用(7—9)7.(2014某某,17,5分)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则(1)b=;(2)λ=.答案(1)-(2)8.(2013某某,14,5分)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是.答案(x-2)2+=9.(2015某某,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值X围;若不存在,说明理由.解析(1)由已知得,圆C1的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)由题意可知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),线段AB的中点M(x0,y0),将y=tx代入圆C1的方程,整理得(1+t2)x2-6x+5=0,则有x1+x2=,所以x0=,代入直线l的方程,得y0=.因为+=+===3x0,所以+=.又因为方程(1+t2)x2-6x+5=0有两个不相等的实根,所以Δ=36-20(1+t2)>0,解得t2<,所以<x0≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为+y2=.(3)由(2)知,曲线C:+y2=.如图,D,E,F(3,0),直线L过定点G(4,0).由得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.当直线L与曲线C相切时,判别式Δ=0,解得k=±.结合图形可以判断,当直线L与曲线C只有一个交点时,有k DG≤k≤k EG或k=k GH或k=k GI,即k∈∪.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一直线的倾斜角、斜率与方程1.(2018某某一中期中,5)过点(1,1),且在y轴上的截距为3的直线方程是( )A.x+2y-3=0B.2x-y-1=0C.x-2y-1=0D.2x+y-3=0答案 D2.(2018豫北六校联考,5)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值X围是()A. B.C.∪D.∪答案 B3.(2018某某某某二中期中,7)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,a n)和Q(n+2,a n+2)(n∈N*)的直线的斜率为()A.4B.3C.2D.1答案 A4.(2017某某某某中学周测(十九),7)已知直线l1:3x-y+1=0,直线l2过点(1,0),且直线l2的倾斜角是l1的倾斜角的2倍,则直线l2的方程为( )A.y=6x+1B.y=6(x-1)C.y=D.y=-(x-1)答案 D5.(2016某某某某模拟,4)过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为( )A.x-y+1=0B.x-y+1=0或3x-2y=0C.x+y-5=0D.x+y-5=0或3x-2y=0答案 B考点二圆的方程6.(2018某某某某调研,3)已知圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为(a,b),则a2+b2=( )A.8B.16C.12D.13答案 D7.(2017某某某某二模,5)圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为( )A.+y2=B.+y2=C.+y2=D.+y2=答案 C8.(2017某某某某期中,6)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2答案 B9.(2016某某某某三模,6)经过原点并且与直线x+y-2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程是( )A.(x-1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y+1)2=4D.(x+1)2+(y-1)2=4答案 A10.(2018豫西南五校联考,14)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为,则圆C的方程为.答案(x-1)2+(y+1)2=211.(2018湘东五校模拟,15)圆心在抛物线y=x2(x<0)上,并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为.答案(x+1)2+=1B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018某某某某中学期中考试,10)在平面直角坐标系xOy中,在以(-2,0)为圆心且与直线(3m+1)x+(1-2m)y-5=0(m∈R)相切的所有圆中,面积最大的圆的标准方程是( )A.(x+2)2+y2=16B.(x+2)2+y2=20C.(x+2)2+y2=25D.(x+2)2+y2=36答案 C2.(2017某某六市二模,5)圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是( )A.(x-)2+(y-1)2=4B.(x-)2+(y-)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-)2=4答案 D3.(2017某某某某二模,8)自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为( )A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0答案 D二、填空题(每小题5分,共15分)4.(2018某某部分名校摸底测试,13)若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是.答案x-y-3=05.(2017某某天一大联考(三),15)已知圆C(圆心C在第一象限)过点(1,0),(7,0),直线y=x-1被圆C截得的弦长为4,则圆C的标准方程为.答案(x-4)2+(y-1)2=106.(2016某某某某二模,15)在平面直角坐标系xOy中,以点(2,-3)为圆心且与直线2mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-2)2+(y+3)2=5三、解答题(共15分)7.(2018晋豫百校联考,20)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由;(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.解析曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R),令y=0,得x2-mx+2m=0.设A(x1,0),B(x2,0),则易知Δ=m2-8m>0,x1+x2=m,x1x2=2m.令x=0,得y=2m,即C(0,2m).(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则·=0,得x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0或m=-.由Δ>0得m<0或m>8,所以m=-,此时C(0,-1),AB的中点M即圆心,半径r=|CM|=,故所求圆的方程为+y2=.(2)证明:设过A,B两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0,将(0,2m)代入可得E=-1-2m,所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0,整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.令可得或故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求解直线的斜率及倾斜角X围的方法1.(2017中原名校联盟12月联考,6)设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB有交点,则实数a的取值X围是( )A.∪B.C. D.∪答案 D2.(2016某某某某调研,6)若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值X 围是( )A. B. C. D.答案 C方法2 求直线方程的方法3.(2018某某某某二中月考,6)曲线y=在点P(2,4)处的切线与直线l平行且点P到直线l的距离为2,则直线l的方程为( )A.2x+y+2=0B.2x+y+2=0或2x+y-18=0C.2x-y-18=0D.2x-y+2=0或2x-y-18=0答案 B4.(2016某某九校联考,7)经过点P(1,4)的直线l在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线l的方程为( )A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0答案 B5.(2017某某某某二中月考,14)直线l过点P(6,4),且分别与x轴,y轴的正方向交于A,B两点,当△ABO的面积最小时,直线l的方程为.答案2x+3y-24=0方法3 求圆的方程的方法6.(2018某某某某质检,15)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB 的面积为8,则△OAB外接圆的标准方程是.答案(x-2)2+(y-2)2=87.(2016某某某某一中调研,15)两条互相垂直的直线2x+y+2=0和ax+4y-2=0的交点为P,若圆C过点P和点M(-3,2),且圆心在直线y=x上,则圆C的标准方程为.答案(x+6)2+(y+3)2=348.(2017某某四校12月联考,20)在平面直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)圆O与x轴相交于A,B两点,圆O内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求·的取值X围.解析(1)依题意得,圆O的半径r等于原点O到直线x-y-4=0的距离,即r==2,故圆O的方程为x2+y2=4.(2)由已知不妨设A(-2,0),B(2,0).设P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得·=x2+y2,即x2-y2=2.因为点P在圆O内,所以由此得y2<1.所以·=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2+y2-4=2y2-2<0,又易得·=2y2-2≥-2,所以·的取值X围为[-2,0).方法4 对称问题的处理方法9.(2017某某赣中南五校联考,5)已知直线l与直线2x-3y+4=0关于直线x=1对称,则直线l的方程为( )A.2x+3y-8=0B.3x-2y+1=0C.x+2y-5=0D.3x+2y-7=0答案 A10.(2018某某师大附中联考,14)若直线l1:y=-x关于直线l的对称直线为l2:x+y-2=0,则直线l的方程为. 答案x+y-1=011.(2017某某某某中学二调,17)一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1).(1)求入射光线所在直线的方程;(2)求这条光线从点P到点Q的长度.解析(1)如图所示.设点Q'(x',y')为Q关于直线l的对称点且QQ'交l于点M.∵k l=-1,∴k QQ'=1,∴QQ'所在直线的方程为y-1=1·(x-1),即x-y=0,由解得l与QQ'的交点M的坐标为.又∵M为QQ'的中点,由解得∴Q'(-2,-2).设入射光线与l交于点N,则P,N,Q'三点共线.由P(2,3)、Q'(-2,-2)得入射光线所在直线的方程为=,即5x-4y+2=0.(2)由(1)知l是线段QQ'的垂直平分线,word∴|NQ|=|NQ'|,∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ'|=|PQ'|==, 即这条光线从点P到点Q的长度是.。

§9.1直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点.题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.(1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的X围：[0°，180°).(1)定义：通常，我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，人们常说它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠π2，则k ＝tan θ. 名称 方程适用X 围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式x a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k 就越大吗？ 提示 倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k 不存在；因为k ＝tan α⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2.当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了.2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( √ ) 题组二 教材改编M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )答案 A解析 由题意得m －4－2－m ＝1，解得m ＝1.P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1， 则2a ＋3a＝1，解得ax ＋y －5＝0.题组三 易错自纠x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1， 又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA >0，在y 轴上的截距－C B>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为.答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.题型一 直线的倾斜角与斜率例1(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值X 围是 ( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1， 3 ].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ].又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3， 即倾斜角的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3. (2)(2018·某某调研)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值X 围为. 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞). 引申探究1.若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值X 围. 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 2.若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值X 围. 解 如图，直线PA 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的X 围为[0°，45°]∪[135°，180°). 思维升华 (1)倾斜角α与斜率k 的关系①当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，k ∈[0，＋∞).②当α＝π2时，斜率k 不存在.③当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k ∈(－∞，0). (2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率. ②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率. (3)倾斜角αX 围与直线斜率X 围互求时，要充分利用y ＝tan α的单调性. 跟踪训练1(1)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a 等于( ) A.1±2或0B.2－52或0C.2±52 D.2＋52或0 答案 A解析 ∵平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，∴k AB ＝k AC ， 即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.故选A.(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值X 围是. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2解析 直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α<π2.题型二 求直线的方程例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5.解 (1)方法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 方法二 由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求. 设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行). 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.跟踪训练2求适合下列条件的直线方程：(1)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数； (2)过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. 解 (1)当直线过原点时，方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线l 不过原点时，设直线方程为x a －y a＝1. 将P (2,3)代入方程，得a ＝－1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0. (2)设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α＝3，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题例3(2018·某某模拟)已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程. 解 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0，直线l 的方程为x a ＋y b＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题例4已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，某某数a 的值.解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小.思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程. (3)求参数值或X 围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.跟踪训练3过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点. (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程. 解 设直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 经过点P (4,1)， 所以4a ＋1b＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.一、选择题3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.30°B.60° C.150°D.120° 答案 B解析 设直线的倾斜角为α，斜率为k ， 化直线方程为y ＝3x ＋a ，∴k ＝tan α＝ 3.∵0°≤α<180°，∴α＝60°. 2.(2018·某某模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A.x ＝2B.y ＝1C.x ＝1D.y ＝2答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4， 依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2， ∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2. P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A.150°B.135°C.120° 答案 A解析 由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示.显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|－2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2k |1＋k 22＝22－2k21＋k2， 所以S △AOB ＝12×|－2k |1＋k 2×22－2k 21＋k2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1， 当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立， 由图可得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为150°.l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.MN 的斜率为2，其中点N (1，－1)，点M 在直线y ＝x ＋1上，则( )A.M (5,7)B.M (4,5)C.M (2,1)D.M (2,3)答案 B解析 设M 的坐标为(a ，b )，若点M 在直线y ＝x ＋1上，则有b ＝a ＋1.①若直线MN 的斜率为2，则有b ＋1a －1＝2.② 联立①②可得a ＝4，b ＝5，即M 的坐标为(4,5).故选B.M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值X 围是( )A.k ≥34或k ≤－4B.－4≤k ≤34C.34≤k ≤4D.－34≤k ≤4答案 A解析 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，∴k ≥34或k ≤－4.7.(2018·某某期中)过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有()答案 B解析 ①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时，设该直线的方程为x ＋y ＝a ，把(3，－1)代入所设的方程得a ＝2，则所求直线的方程为x ＋y ＝2，即x ＋y －2＝0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y ＝kx ，把(3，－1)代入所设的方程得k ＝－13，则所求直线的方程为y ＝－13x ，即x ＋3y ＝0.综上，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋3y ＝0，故选B.f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4 答案 C解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 知函数f (x )的图象关于x ＝π3对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以a ＝－3b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－3，所以直线的倾斜角为2π3，故选C. 二、填空题A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是.答案 3x －y －33＝0解析 因为直线y ＝13x 的倾斜角为π6，所以所求直线的倾斜角为π3，即斜率k ＝tan π3＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)，即3x －y －33＝0.kx ＋y ＋2＝－k ，当k 变化时，所有的直线都过定点.答案 (－1，－2)解析 kx ＋y ＋2＝－k 可化为y ＋2＝－k (x ＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2).A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为.答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.A (4,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为.答案 x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0解析 当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，则4k ＝2，∴k ＝12，∴直线方程为x －2y ＝0. 当截距不为0时，设直线方程为x 3a ＋y a＝1， 由题意得，43a ＋2a ＝1，∴a ＝103.∴x ＋3y －10＝0. 综上，直线l 的一般式方程为x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0. A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值X 围是.答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2. ∴b 的取值X 围是[－2,2].l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为. 答案 32解析 ∵动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，∴a ＋bm ＋c －3＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，∴(4－1)2＋m 2＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝3.则12a ＋2c ＝13(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2 c 2a ·2a c ＝32， 当且仅当c ＝2a ＝2时取等号.三、解答题P (3,0)作一条直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰好被点P 平分，求此直线的方程.解 设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x B 2＝3，y ＋y B 2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝113，y ＝163，则所求直线的斜率k ＝163－0113－3＝8， 故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值X 围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1).(2)解 直线l 的方程可化为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥0，1＋2k ≥0，故k 的取值X 围是k ≥0.(3)解 依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k， 在y 轴上的截距为1＋2k ，且k >0，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )，故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k×(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号， 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。