《数列》小结与复习

课 题：小结与复习(一)教学目的：1.理解数学归纳法证明命题的步骤，并用它来证明一些命题.2.掌握数列的极限以及几个重要的极限，会求数列的极限.3.掌握函数的极限，利用图象来求函数极限.4.掌握函数极限，数列极限的四则运算法则，以及几个特殊的极限，会用代入法、因式分解法、分子分母同除x 的最高次幂，分子有理化法，求函数极限、掌握数列极限的二个规律.5.学会用函数的连续性来求函数的极限教学重点：1.掌握用数学归纳法证明与正整数n 有关的数学命题.2.学会求数列极限，函数极限的一些基本方法，以及一些特殊的极限.教学难点：关键是要掌握哪种基本方法适合哪类题型的极限.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、知识点：1.用数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.2.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ，那么就说数列}{n a 以a 为极限.记作lim n n a a →∞=． 3.几个重要极限：（1）01lim =∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q n n 4.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a .记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a .记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .5.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c . ∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义 6. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x a →=特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→ 7. 000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限8. 对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f o o x x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim , B A x g x f o x x ⋅=⋅→)]()([lim , )0()()(lim ≠=→B BA x g x f o x x 当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→=,n x x n x x x f x f oo )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用 9. 数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么 B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(l i mB A b a n n n .).(lim =∞→ 0(l i m ≠=∞→B B A b a nn n 10. 函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且0lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续. 11.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.12.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→bx lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数.13.最大值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 1)≥f (x )，那么f (x )在点x 1处有最大值f (x 1).14.最小值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 2)≤f (x )，那么f (x )在点x 2处有最小值f (x 2).15.最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 .二、讲解范例：例1 n n aa )1(lim -∞→等于( ) A.－1B.0C.1D.不能确定 答案: D. 因为当|aa -1|＜1即a ＜21时，n n a a )1(lim -∞→=0， 当|aa -1|＞1时，n n a a )1(lim -∞→不存在. 当aa -1=1即a =21时，n n a a )1(lim -∞→=1当aa -1=－1时，n n a a )1(lim -∞→也不存在. 例2 已知|a |＞|b |，且n nn n n n n n ab a a b a +<++∞→-∞→11lim lim (n ∈N *)，那么a 的取值范围是( )A.a ＜－1B.－1＜a ＜0C.a ＞1D.a ＞1或－1＜a ＜0答案：D.左边=aa b a a b a n n n n n n 1])(1[lim lim 1=+=+∞→-∞→ 右边=a ab a a b a n n n n n n =+=+∞→+∞→])([lim lim 1 ∵|a |＞|b |，∴|ab |＜1. ∴∞→n lim (a b )n =0 ∴不等式变为a1＜a ，解不等式得a ＞1或－1＜a ＜0. 例1、例2在数列极限中，极限∞→n lim q n =0要注意这里|q |＜1.这个极限很重要.例3 2lim 232-++→x b ax x x =8，试确定a ，b 的值. 分析：因为x →2时，分母x －2用代入法时等于0，所以应该用因式分解法，则分母中应该也有x －2这个因子，只要将公因式x －2消去，用代入法求极限，再根据极限是8，就可以求a ，b 了. 解：2)2()2(lim 2lim 222232-+++-=-++→→x b x a x x x b ax x x x 2)2(4lim )]2(2)2([lim 2)2(4)2)(2(2)2()2()2(lim 22222-+++++++=-+++-++-++-=→→→x b a a x a x x b a x a x x a x x x x x ∴由题意⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=++=++⋅++410)2(48)2(22)2(4b a b a a a例4 求3924lim 0-+-+→x x x 分析：首先，当x =0代入分母时分母为零，所以可能要用因式分解法，但分子分母都是根式，所以要分别对分子分母有理化法. 解：)24)(39()24)(24(lim 3924lim 00++-+++-+=-+-+→→x x x x x x x x0x x →→==333222x →+===+ 三、课堂练习：1.计算xxx r r +-∞→11lim (r ＞0) 解：1° 0＜r ＜1，∵∞→x lim r x =0，∴10101)1(lim )1(lim 11lim =+-=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x r r r r . 2° r =1，r x=1，∴01111lim 11lim =+-=+-∞→∞→x x x x r r 3° r ＞1，0＜r1＜1，∴01lim =∞→x x r . ∴11010)11(lim )11(lim 1111lim 11lim -=+-=+-=+-=+-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x xx r r r r r r 2.33233lim +-∞→x x x解：分子分母同除x .101013131lim 33lim 3332332=+-=+-=+-∞→∞→x x x x x x . 3.写出下列函数在x =－2的左极限、右极限，其中哪些函数在x =－2处极限不存在？(1)f (x )=2223++x x x ; (2)g (x )=4x 3+3; (3)h (x )=2 3 (2)1 (2)x x x x +≥-⎧⎨+<-⎩; (4)v (x )=23 3 (2) (2)x x x x ⎧-≥-⎪⎨<-⎪⎩ 分析：要求一个函数在一点处的左右极限，可画图.解：(1)f (x )=2223++x x x =x 2 (x ≠－2) --→2lim x f (x )=--→2lim x x 2=4.+-→2lim x f (x )=+-→2lim x x 2=4.∴2lim -→x f (x )=4. (2)--→2lim x g (x )= --→2lim x (4x 3+3)=4·(－2)3+3=－29. +-→2lim x g (x )=+-→2lim x (4x 3+3)=4×(－2)3+3=－29.∴2lim -→x g (x )=－29.(3)--→2lim x h (x )=--→2lim x (x +1)=－2+1=－1. +-→2lim x h (x )=+-→2lim x (2x +3)=2(－2)+3=－1.∴2lim -→x h (x )=－1. (4)--→2lim x v (x )=--→2lim x x 3=(－2)3=－8. +-→2lim x v (x )=+-→2lim x (x 2－3)=(－2)2－3=1.∴2lim -→x v (x )不存在.极限存在⇔左、右极限存在且相等.4.设f (x )=⎩⎨⎧≥+<00 cos x x a x x 试确定a 的值，使f (x )成为区间(－∞，+∞)中的连续函数.解：f (x )在(－∞，0］和(0，+∞)上连续，只要使f (x )在x =0处也连续. 1° f (x )在x =0处有定义.f (0)=a2° 0lim →x f (x )=0lim →x cos x =cos0=1.,0lim →x f (x )=0lim →x (a +x )=a . 要使0lim →x f (x )存在. ∴a =1.此时0lim →x f (x )=1=f (0). ∴f (x )在x =0处连续. ∴a =1时f (x )在(－∞，+∞)上连续. 分段函数要连续，主要看各段的交界处是否连续四、小结 ：本节课主要复习了第二章极限里的一些主要内容.怎样根据具体题目，选择正确的方法进行求解极限. 五、课后作业：六、板书设计（略） 七、课后记：。

复习课: 第二章 数列（1）教学目标重点：理解数列的有关概念和性质，掌握数列求通项公式的各种方法. 难点：利用各种条件来求数列的通项公式.能力点：数列通项问题是数列的核心问题，培养学生的抽象思维能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式联系的解题思路的探寻.易错点：在具体的数列通项问题中，学生往往混淆n a 与n S 的概念 .学法与教具1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：投影仪.二、【知识梳理】1.数列的基础知识；2.等差数列的定义、通项公式，求和公式及性质；3.等比数列的定义、通项公式，求和公式及性质；4.填写表格:三、【范例导航】 1.观察法例1写出下列数列的一个通项公式 （1）1-7,13-19,25 ，，，；（2）51333812,,24816 ，，，； （3）2414271125，，，，，；（4）13355，，，，，7,7,9,9,.【分析】观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，以及所给数列与一些特殊数列之间的关系. 【解答】 （1）原数列的各项可看成数列1-1,1-1,1 ，，，与数列17,1319,25 ，，，对应项相乘的结果. 故原数列的一个通项公式为1(1)(65)n n a n +=--.（2）原数列可改写为01234111111+2+,3+4+,5+22222，，，，故通项公式为11+2n n a n -=.（3）不防把分子变成4，然后看分母，从而有4444141185，，，，，从而原数列的通项公式为417-3n a n =.（4）奇数项与项数相等，偶数项比项数大1. 可改写为1+02+1,3+04+1,5+0 ，，，，所以原数列的通项公式为1-1++22nn a n =（）.【点评】观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键；有些数列的通项公式不一定唯一；写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列，如：{}{}{}{}{}{}121-1,21,2,2,,nn n n n n n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭（），等.变式训练:写出下列数列的一个通项公式.（1）111-1,-234，，，；（2； （3）111111112233445---- ，，，，； （4）3,5,355. ，，，3，，2.利用11,1,,2,n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求n a例2 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*3(1)()2n n S a n N =-∈,求数列{}n a 的通项公式.【分析】由n a 与n S 的关系消去n S （或n a ），转化为n a （或n S ）的递推关系求解. 【解答】3(1),2n n S a =-∴ 当1n =时，1113(1),2S a a ==-解得13a =. 当2n ≥时，1133(1)(1),22n n n n n a S S a a --=-=---得13n n a a -=，所以，当2n ≥时，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，且首项2139.a a ==当1n =时，也成立. 故数列的通项公式为*3()nn a n N =∈.【点评】已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是1(2).n n n a S S n -=-≥这里常常因为忽略了2n ≥的条件而出错，要注意求11a S =并验证.当1n =时的1a 与1S 相等，n a 才是通项公式，否则要用分段函数表示为11,1,,2,n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.变式训练设数列{}n a 的前n 项和2*232,(),n S n n n N =++∈求数列{}n a 的通项公式，并指出此数列是否为等差数列.3.叠加法、叠乘法例3 已知数列{}n a 满足132,n n a a n +=++且12,a =求n a .【分析】因为132,n n a a n +=++属于1()n n a a f n +=+型递推公式，所以可以用叠加法求出n a . 【解答】2132431312,322,332,3(1)2,n n a a a a a a a a n --=⨯+-=⨯+-=⨯+-=⨯-+以上各式相加，得[]123123(1)2(1)(1)33222,22n a a n n n n n n n -=⨯++++-+--+=+-=-又12,a = 所以23.2n n na += 【点评】如果给出数列{}n a 的递推公式为1()n n a a f n +=+型时，并且{}()f n 容易求和，这里可采用叠加法.例4 在数列{}n a 中，满足12,n n a n a n++=且11,a =求n a . 【分析】属于1()n na f n a +=型递推公式，所以可以用叠乘法求出n a . 【解答】32411231345111231(1).2nn n a a a aa a a a a a n n n n -=+=⨯⨯⨯⨯⨯-+= 而11,a =也适合上式.故{}n a 的通项公式为(1)2n n n a +=. 【点评】如果给出数列{}n a 的递推公式为1()n na f n a +=型时，并且{}()f n 容易求积，这里可采用叠乘法. 4.构造法例4 已知数列{}n a 中，满足*132(),n n a a n N +=+∈且11,a =求{}n a 的通项公式.【分析】通过观察给出的已知条件，可以发现递推公式可变形为*113(1)(),n n a a n N ++=+∈转化为等比数列求解.【解答】将*132()n n a a n N +=+∈变形为*113(1)(),n n a a n N ++=+∈即*113,()(1)n n a n N a ++=∈+，所以数列{}1n a +是首项为112a +=，公比为3的等比数列，所以11123,231n n n n a a --+=⨯∴=⨯-.【点评】根据已知条件构造一个与n a 有关的新数列，通过新数列通项公式的求解，得{}n a 的通项公式.新的数列往往是等差数列或是等比数列.四、【解法小结】1.观察法得到数列的通项公式要注意数列的变形以及一些特殊数列.2. 已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是1(2).n n n a S S n -=-≥注意“两步一检验”.3.采用叠加法、叠乘法求数列时，需是1()n n a a f n +=+或 型的递推公式.4.构造法求通项公式时一般是构造出一个等比或等差数列.五、【布置作业】1. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且*32()nn S n N =+∈,求数列{}n a 的通项公式.2. 已知数列{}n a 满足113,n n n a a -+=+且12,a =求n a .3.已知数列{}n a 满足12,a =15,nn n a a +=求n a .4. 已知数列{}n a 中，满足122nn n a a a +=+且11,a =求{}n a 的通项公式．六、【教后反思】1.本教案的亮点是：首先以结构图呈现数列知识，直观简明；其次，复习相关知识并以表格的形式呈现，充分关注到数列、等差数列、等比数列的系列问题.再次，例题选择典型，关注数列的主干知识和解决数列通项公式问题的一般思路与方法，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，选择的中低档题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.2.本教案的弱项是：在一些具体问题中，学生容易忽略数列的小细节问题，例题的题量有点大，所以部分例题没有变式训练，作业的布置也照顾到量的问题没有面面俱到.1()n naf n a +=。

数列知识点：等差数列的通项求和公式高中数列知识点：等差数列的通项求和公式学好数学的关键是公式的掌握，数学被应用在很多不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等，为了学好数学，下面是小编为大家整理的数列知识点：等差数列的通项求和公式，希望能帮助到大家!等差数列的通项求和公式an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d前n项和公式为：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2若m+n=2p则：am+an=2ap以上n均为正整数高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。

抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。

2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。

首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。

3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。

象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。

4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。

一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。

数学第26章小结与复习教案：全面回顾数学知识点一、数列和数列的应用在这一章中，第一个讲解的内容就是数列。

数列是数学中很重要的一个概念，它可以用来描述各种现象。

在数列中，我们需要掌握一些基本的概念和定理，比如通项公式、首项、公差等等。

掌握了这些基本知识点，就可以进行一些应用，比如等差数列的求和公式、等比数列的求和公式等等。

在这里，老师不仅需要让学生掌握相应的公式，更要让学生了解数列的应用，例如如何通过数列来描述自然现象，如何应用数列解决实际问题等等。

针对不同的应用场景，老师还可以采用实例教学的方式，让学生更加深入地理解数列的应用和意义。

二、数学归纳法数学归纳法是解决数学问题的一种重要的方法，它可以让我们通过一定的逻辑推理来证明某个命题的正确性。

在这一章，老师需要让学生了解什么是数学归纳法，掌握数学归纳法的基本原理和套路，例如归纳基础、归纳假设和归纳步骤等等。

同样，老师还需要在此基础上，结合实例让学生更加深入地了解数学归纳法的意义和应用。

在教学过程中，可以通过一些生动形象的教学方式来增强学生的学习兴趣和理解效果，例如通过故事、图片、实例等等。

三、组合数学组合数学也是高考数学中的重要内容之一，它是研究由有限个元素组成的集合中的元素组合方式的一门学科。

在这一章，老师需要让学生了解组合数学的基本概念和性质，如排列、组合、二项式定理等等。

同时，还需要进行实际应用的讲解，例如解决排列和组合问题、用二项式定理进行展开等等。

此外，老师还可以通过举一些有趣的实际问题来帮助学生更好地掌握组合数学的基本概念和应用技巧。

例如，如何从n个人中选出r 个人组成不同的委员会、从n个不同现货商品中不放回取m个的方法数等等。

四、三角函数三角函数也是数学学科中比较重要的内容之一，它是解决三角形相关问题的一种数学工具。

在这一章中，老师需要让学生了解三角函数的基本概念和性质，如正弦、余弦、正切等等。

此外，还需要进行实际应用的讲解，例如三角函数的图像、三角函数的基本公式、三角函数的加减公式等等。

数列复习小结（1）教学目的：1．系统掌握数列的有关概念和公式2．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系．3．能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ． 授课类型：复习课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前n 项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．三、方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 四、等差数列 1相关公式：（1） 定义：),1(1为常数d n d a a n n ≥=-+（2）通项公式：d n a a n )1(1-+=（3）前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（4）通项公式推广：d m n a a m n )(-+=2.等差数列}{n a 的一些性质（1）对于任意正整数n ，都有21a a a a n n -=-+（2）}{n a 的通项公式2()(2112a a n a a a n -+-=（3）对于任意的整数s r q p ,,,，如果s r q p +=+，那么r q p a a a a +=+（4）对于任意的正整数r q p ,,，如果q r p 2=+，则q r p a a a 2=+ （5）对于任意的正整数n>1，有12-++=n n n a a a（6）对于任意的非零实数b ，数列}{n ba 是等差数列，则}{n a 是等差数列（7）已知}{n b 是等差数列，则}{n n b a ±也是等差数列（8）}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a 等都是等差数列（9）n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等差数列，即)(323m m m S S S -=（10）若)(n m S S n m ≠=，则=+n n S（11）若p S q S q p ==,，则(q p S q p +-=+（12）bn an S n +=2，反之也成立五、等比数列1相关公式：（1）定义：0,1(1≠≥=+q n q a a nn （2）通项公式：1-=n n q a a（3）前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==q1)1(1q11q q a na S n n（4）通项公式推广：n m n q a a -=2.等比数列}{n a 的一些性质 （1）对于任意的正整数n ，均有121a a a n n =+ （2）对于任意的正整数s r q p ,,,,如果s r q p +=+，则r q p a a a a =（3）对于任意的正整数r q p ,,，如果r p q +=2，则2q r p a a a =（4）对于任意的正整数n>1,有12+-=n n n a a a（5）对于任意的非零实数b ，}{n ba 也是等比数列（6）已知}{n b 是等比数列，则}{n n b a 也是等比数列（7）如果0>n a ，则}{log n a a 是等差数列（8）数列}{log n a a 是等差数列，则}{n a 是等比数列（9）}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a 等都是等比数列(10)n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列. ②当q ≠－1或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列六、数列前n 项和（1）重要公式：2)1(321+=+++n n n ； 6)12)(1(3212222++=+++n n n n ；2333)]1(21[21+=++n n n（2）等差数列中，mnd S S S n m n m ++=+（3）等比数列中，n mm m n n n m S q S S q S S +=+=+（4）裂项求和：111)1(1+-=+n n n n ；（!)!1(!n n n n -+=⋅）七、例题讲解例1 一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项．选题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式． 解：设等差数列为｛a n ｝，公差为d ，等比数列为｛b n ｝,公比为q .由已知得：a 1=b 1=1,813692)(99919=⇒=+=a a a S 又b 9＝ａ9，∴ｑ8＝81，∴ｑ2＝３，∴b 7＝ｂ1ｑ6＝27，即等比数列的第7项为27．例2 已知数列}{n a 的前n 项和1+n S =4n a +2(n ∈N ＋)，a 1=1. (1)设n b =1+n a -2n a ,求证：数列}{n b 为等比数列， (2)设C n =n na 2,求证：}{n C 是等差数列． 选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力． 证明：(1) 1+n S =4n a +2, 2+n S =41+n a +2,相减得2+n a =41+n a -4n a , ),2(22112n n n n a a a a -=-∴+++,21n n n a a b -=+又.21n n b b =∴+,1,2411212=+=+=a a a a S 又,32,51212=-==∴a a b a∴}{n b 是以3为首项，2为公比的等比数列，∴n b =3×２1-n .(2) ∵,2n nn a C =n n n n n n a a C C 22111-=-∴+++1122++-=n n n a a 12+=n n b 4322311=⨯=+-n n 21211==a C ∴}{n C 是以21为首项，43为公差的等差数列． 说明：一个表达式中既含有n a 又含有Ｓｎ，一般要利用n a ＝n S －1-n S （ｎ≥２），消去n S 或n a ，这里是消去了n S ．八、课后作业：1. 已知数列｛n a ｝的前n 项和n S ，满足：log 2（n S +1）=n+1．求此数列的通项公式n a ． 解：由log 2（n S +1）=n+1，得n S =21+n -1当n=1时，a 1=S 1=22-1=3； 当n ≥2时，n a ＝n S －1-n S =21+n -1-（2n -1）=2n．2. 在数列｛n a ｝中，a 1=0，1+n a +n S =n 2+2n （n ∈N+）．求数列｛n a ｝的通项公式． 解：由于1+n a +n S =n 2+2n ，1+n a ＝1+n S －n S ， 则1+n a +n S ＝1+n S －n S +n S ＝1+n S ，即1+n S = n 2+2n ．。

第一章复习与小结(一)教学目标1．知识与技能整合函数性质建构知识网络，以便于进一步理解和掌握函数的性质.提升综合运用函数性质的能力. 着重讲函数的值域2．过程与方法 在整合函数性质、综合运用函数性质的过程中，培养学生分析、观察、思考的教学能力、提升学生的归纳、推理能力.3．情感、态度与价值观在学习过程中，通过知识整合，能力培养，激发学生的学习兴趣. 养成合作、交流的良好学习品质.(二)教学重点与难点重点：整合知识、构建单元知识系统. 难点：提升综合应用能力. (三)教学方法1．动手练习与合作交流相结合. 在回顾、反思中整合知识，在综合问题探究、解答中提升能力. 加深对知识的准确、到位的理解与应用. 2．回顾反思构建体系 3．经典例题剖析（四）教学过程1．函数的值域例1．求下列函数的值域 （1）R)(x 21∈-=x y（2）31-+=x y（3）322++-=x x y（4）342++=x x y（5）] 1,3 [ 342-∈++=x x x y 图象法（6）521+-=x xy 分离常数法和反解 “x ” （7）1342++=x x y 判别式法（8）12-+=x x y 换元法解：（1）R y ∈ （2）),3[+∞-∈y （3）∵24)1(3222≥+--=++-=x x x y ∴),2[+∞∈y（4）∵11)2(2-≥-+=x y ),1[+∞-∈y观察法配方法（5）∵1)2(2-+=x y ∴]8,0[∈y （6）方法1：分离常数法∵1047215227)25(++-=+++-=x x x y ∴21-≠y 即),21()21,(+∞---∞∈ y 方法2：反解“x ” 由521+-=x x y 得1251+-=y y x 由012≠+y 得21-≠y（7）∵R x ∈ ∴03)4(2=--+x y yx ①当0=y 时，43-=x ②当0≠y 时，由0)3(4)4(2≥-⨯--=∆y y 得 0 01642≠≥++y y y 综合①②得R y ∈（8）设)0( 12≥=-t t x 则212+=t x∴)0( )1(21)12(2121222≥+=++=++=t t t t t t y ∴21≥y 即),21[+∞-∈y 2．课堂小结：求函数值域常用的方法：①观察法； ②配方法； ③图象法； ④分离常数法 ⑤反解 “x ”； ⑥判别式法； ⑦换元法． 3．函数的单调性例2 试讨论函数f (x ) =21axx -，x (–1，1)的单调性(其中a ≠0). 【解析】设–x ＜x 1＜x 2＜1， 即△x = x 2–x 1＞0，则△y = f (x 2) – f (x 2) =21222111ax axx x ---=12122212()(1)(1)(1)a x x x x x x -+--∵–1＜x 1＜x 2＜1， ∴x 1–x 2＜0，21x –1＜0，22x –1＜0.|x 1x 2|＜1，即 –1＜x 1x 2＜1，x 1x 2 +1＞0， ∴12122212()(1)(1)(1)x x x x x x -+--＜0.因此，当a ＞0时，△y = f (x 2) – f (x 1)＜0， 即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数为减函数； 当a ＜0时，△y = f (x 2) – f (x 1) ＞0， 即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数为增函数. 以下例题因各班情况而定，作为选讲题*例3 已知f (x )是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f (xy ) = f (x ) + f (y )，f (2) =1.（1）求证：f (8) =3；（2）解不等式f (x ) – f (x –2) ＞3.4．课后作业：（1）} 2 , 1 , 0 ,1,2{ 1||--∈-=x x y （}1,0,1{-∈y ） （2）] 1 ,3[ 232-∈--=x x x y （]4,0[∈y ）（3）21322+-=x x y （ )3,21[-∈y ）（4）13433-+-=x x y （ ),27[+∞∈y ）。

数列复习小结一、知识结构二、思想方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，分组求和法，裂项相消法，累加法，累乘法等．三、等差数列 1相关公式：（1） 定义：——————————————.（2） 通项公式：————————————————————— （3） 前n 项和公式：——————————————————— （4） 通项公式推广：——————————2.等差数列}{n a 的性质（1）对于任意正整数n ，都有21a a a a n n -=-+（2）对于任意的整数s r q p ,,,，如果s r q p +=+，那么—————（3）对于任意的正整数r q p ,,，如果q r p 2=+，则—————— （4）对于任意的实数b ，数列}{n ba 是等差数列， （5）已知}{n b 是等差数列，则}{n n b a ±也是等差数列（6）}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a 等都是等差数列（7）n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等差数列.（8）若)(n m S S n m ≠=，则n n S +=（9）若p S q S q p ==,，则p q S +=（10）bn an S n +=2，反之也成立四、等比数列 1相关公式：（1）定义：——————————. （2）通项公式：——————.（3）前n 项和公式：n S =（4）通项公式推广：n a =2.等比数列}{n a 的一些性质（1）对于任意的正整数n ，均有1n na a += （2）对于任意的正整数s r q p ,,,,如果s r q p +=+，则____________.（3）对于任意的正整数r q p ,,，如果r p q +=2，则p r a a =（4）对于任意的非零实数b ，}{n ba 也是等比数列（5）已知}{n b 是等比数列，则}{n n b a 也是等比数列（6）如果0>n a ，则}{log n a a 是______数列（7）数列}{log n a a 是等差数列，则}{n a（8）}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a 等都是等比数列(9)n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列. ②当q ≠－1或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列五、数列前n 项和 （1）重要公式：123___________.n +++= ；2222123__________________.n +++= ；333212[_______________]n ++=（2）等差数列中，mnd S S S n m n m ++=+（3）等比数列中，m m m n n n m S q S S q S S +=+=+（4）裂项求和：1________________.()n n k =+； !______________.n n ⋅=______________.=六、典型例题1. 已知数列｛n a ｝的前n 项和n S ，满足：log 2（n S +1）=n+1．求此数列的通项公式n a ．2. 在数列｛n a ｝中，a 1=0，1+n a +n S =n 2+2n （n ∈N+）．求数列｛n a ｝的通项公式．3. 在△ABC 中，三边c b a ,,成等差数列，c b a ,,也成等差数列，求证△ABC 为正三角形4. 已知数列}{n a 的前n 项和1+n S =4n a +2(n ∈N ＋)，a 1=1. (1)设n b =1+n a -2n a ,求证：数列}{n b 为等比数列， (2)设C n =n na 2,求证：}{n C 是等差数列．5.设{n a }, {n b }都是等差数列，它们的前n 项和分别为n A , n B , 已知1235-+=n n B A n n . 求 ⑴n n b a ； ⑵85b a6.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,(1) 如果a 2＝9, S 4＝40, 问是否存在常数c ，使数列{c S n +}成等差数列； (2)如果n S ＝n 2－6n , 问是否存在常数c ，使得1++n S c ＝22++++n n S c S c7．已知1a , a 2, 3a , …, n a , …构成一等差数列，其前n 项和为n S ＝n 2, 设n b ＝n na 3, 记{n b }的前n 项和为n T . (1) 求数列{n a }的通项公式； (2) 证明：n T <1.8．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，n b ＝nS 1, 且3a 3b ＝21,3S ＋5S ＝21.(1) 求数列{b n }的通项公式； (2) 求证：1b ＋2b ＋3b ＋……＋n b <2.9．已知函数f (x )＝(x －1)2, 数列{n a }是公差为d 的等差数列，数列{n b }是公比为q 的等比数列(q ∈R , q ≠1, q ≠0),若1a ＝f (d －1), 3a ＝f (d ＋1), 1b ＝f (q －1), 3b ＝f (q ＋1), (1) 求数列{n a }, {n b }的通项公式； (2) 设数列{n c }对任意的自然数n 均有1332211+=++++n nn a b c b c b c b c 成立， 求1c ＋3c ＋5c ＋……＋12-n c10.设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+=.（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.。

数列综合应用（1） 两课时-----求数列通项公式常用方法1、 观察归纳法例1、 根据以下数列的前几项，写出数列的一个通项公式。

（1）111,3911，，，，57 （2） 14916,,,2510172.公式法：直接利用等差、等比数列的通项公式来求 例2 .（1）等差数列{}n a 中，已知164912,7,a a a a +==求.(2) 等比数列{}n a 中，已知4728n a a a ==，，求.3.利用n S 与n a 的关系若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a ， 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解，但要注意对n=1进行检验。

例3、 已知数列{}n a 的前n 项和n S =101n -，求n a .变式：已知数列{}n a 满足关系式12lg(1)n a a a n ++++= ，求数列{}n a 的通项公式。

4.累加法类型：递推公式为)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例4、已知数列}a {n 满足11211=++=+a n a a n n ，，求数列}a {n 的通项公式。

练习：已知数列}a {n 满足2211=++=+a n a a n n ，，求数列}a {n 的通项公式。

5.累乘法类型：递推公式为n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例5 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。

练习：已知数列{}n a 满足11=a ，1-=n n na a （2n ≥，n N ∈＊），求n a 。

6.构造数列法类型：递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数）解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，转化为等比数列求解。

月考数学小结本次数学月考主要考察了数列、函数和图形的相关知识点。

题目难度相对较大，要求考生熟练掌握基本概念和解题方法。

首先是数列部分，考查了等差数列和等比数列的性质和运算。

其中有一道较难的题目是求等差数列的前n项和。

解决这道题目需要将等差数列的前n项和公式熟记，并能够运用它进行计算。

此外，还有一道题目是给出等比数列的前两项和通项，要求求出该数列的前n项和。

解决这道题目需要掌握等比数列的性质，即前两项和等于首项与公比之积与首项之差之商。

其次是函数部分，考查了函数的定义、性质和运算。

其中有一道题目是给出一个函数的图像，要求求出该函数的解析式。

解决这道题目需要观察函数图像，根据其性质确定函数的类型，并利用已知条件进行方程的求解。

此外，还有一道题目是给出一个函数的解析式，要求求出该函数的值域。

解决这道题目需要对函数的定义域和值域进行分析，并利用已知条件确定函数的值域。

最后是图形部分，考查了平面几何的相关知识。

其中有一道题目是给出一个平行四边形的两边长和其中一条对角线的长，要求求出该平行四边形的面积。

解决这道题目需要利用平行四边形对角线的性质，利用给定条件进行方程的求解，并利用面积公式计算出平行四边形的面积。

此外，还有一道题目是给出一个三角形的三边长，要求判断该三角形是等腰三角形、等边三角形还是普通三角形。

解决这道题目需要利用三角形边长关系，判断是否满足等腰三角形和等边三角形的定义。

通过这次月考，我发现自己在数列、函数和图形等方面的知识理解还不够牢固，对一些常用公式和定理的记忆还不够熟练。

下一阶段，我将加强对这些知识点的复习和总结，以提高解题能力和应对考试的能力。

同时，我还会多做一些相关的练习题，以加深对知识点的理解和应用。

总的来说，这次数学月考考查了数列、函数和图形的相关知识，题目难度相对较大，要求考生熟练掌握基本概念和解题方法。

通过这次月考，我发现自己在数列、函数和图形等方面的知识理解还有待提高，下一阶段我将加强复习和练习，提高自己的解题能力。