高中数学 滚动检测1 集合 新人教A版必修1

课时跟踪检测（一）集合的含义A级——学考合格性考试达标练1．下列说法正确的是()A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合B．由1，2，3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A中的元素x满足x－1<3，则下列各式正确的是()A．3∈A且－3∉A B．3∈A且－3∈AC．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A解析：选D∵3－1＝2>3，∴3∉A.又－3－1＝－4<3，∴－3∈A.3．下面几个命题中正确命题的个数是()①N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；④x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为()A．2 B．2或4C．4 D．0解析：选B若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.5．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中最多含有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填∈或∉)．解析：∵a 是偶数，b 是奇数，∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A .答案：∉ ∈8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________．解析：∵x ∈N ，2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，易知a ＝6.答案：69．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 解：∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上可知：x ＝1，y ＝0.B 级——面向全国卷高考高分练1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π组成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|组成的集合B ．P 是由π组成的集合，Q 是由3.141 59组成的集合C ．P 是由2，3组成的集合，Q 是由有序数对(2，3) 组成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数组成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a，b .若集合A 与集合B 相等，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ，∴b a＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2. 4．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：选B 当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．5．不等式x －a ≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为3∉A ，所以3是不等式x －a <0的解，所以3－a <0，解得a >3.答案：a >36．若集合A 中含有三个元素a －3，2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． 解析：(1)若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意．(2)若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2，1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a＝0或a＝1.答案：0或17．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则11－a∈A.∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－（－1）＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中必还有另外两个元素，且为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴集合A不可能是单元素集．C级——拓展探索性题目应用练集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意．综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.。

综合检测试题选题明细表一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|2x-1≥1}，B={y|y=log3x，x∈A}，则∁B A等于( B )A.(0，1)B.[0，1)C.(0，1]D.[0，1]解析:由题得A={x|2x-1≥20}={x|x≥1}，B={y|y≥0}，所以∁B A={x|0≤x<1}.故选B.2.若a=0.60.7，b=0.70.6，c=lg 3，则下列结论正确的是( D )A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c解析:因为y=x0.6为增函数，y=0.6x为减函数，所以0.70.6>0.60.6>0.60.7>0.61，c=lg 3<lg √10=0.5， 所以b>a>c.故选D.3.已知正实数x ，y 满足x+2y=2xy ，则x+y 的最小值为( D ) A.4 B.√2 C.√3 D.√2+32解析:因为正实数x ，y 满足x+2y=2xy ， 所以x+2y xy=2，即1y +2x =2，所以x+y=(x+y 2)·(1y +2x )=x 2y +1+12+y x ≥32+2√x 2y ·y x =32+√2，当且仅当x 2=2y 2时，等号成立. 故选D.4.已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log 2(x+1)+ax ，且f(-3)=a ，则f(7)等于( B ) A.12B.-12C.log 23D.2解析:因为函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log 2(x+1)+ax ，且f(-3)=-f(3)=a ，所以f(3)=-a ，即2+3a=-a ，所以a=-12，则f(7)=log 28+7a=3-72=-12.故选B.5.已知2sin 2α=1+cos 2α，则tan 2α等于( D ) A.-43 B.43C.-43或0 D.43或0解析:因为{2sin2α=1+cos2α,sin 22α+cos 22α=1,所以{sin2α=0,cos2α=-1或{sin2α=45,cos2α=35.所以tan 2α=0或tan 2α=43.故选D.6.将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象分别向左、向右平移ϕ(ϕ>0)个单位长度后，所得的图象都关于y 轴对称，则ϕ的最小值分别为( A ) A.π6，π3B.π3，π6C.2π3，5π6D.π6，π12解析:函数f(x)的图象向左平移ϕ个单位长度得到函数g(x)= sin(2x+2ϕ+π6)的图象，因为g(x)图象关于y 轴对称，则2ϕ+π6=π2+k π，k ∈Z ，即ϕ=π6+kπ2，k∈Z ，而ϕ>0， 则ϕmin =π6;函数f(x)的图象向右平移ϕ个单位长度得函数h(x)=sin(2x-2ϕ+π6)的图象，因为函数h(x)关于y 轴对称，则有-2ϕ+π6=π2+k π，k ∈Z ，即ϕ=-π6-kπ2，k ∈Z ，而ϕ>0，则ϕmin =π3，所以ϕ的最小值分别为π6，π3.故选A.7.如图所示，其对应的函数解析式可能是( B )A.f(x)=1|x -1|B.f(x)=1||x |-1|C.f(x)=11-x2D.f(x)=11+x 2解析:函数的定义域为{x|x ≠±1}，排除选项A 和D ，当x ∈(1，+∞)时，f(x)>0，可排除选项C.故选B. 8.已知函数f(x)=ln(1+x 2)-11+|x |，若实数a 满足f(log 3a)+f(lo g 13a)≤2f(1)，则a 的取值范围是( D ) A.[1，3] B.(0，13)C.(0，3]D.[13，3]解析:函数f(x)=ln(1+x 2)-11+|x |，故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(x)为偶函数，若实数a 满足f(log 3a)+f(lo g 13a)≤2f(1)，即f(log 3a)+f(-log 3a)≤2f(1)，f(log 3a)≤f(1)，所以|log 3a|≤1，即-1≤log 3a ≤1，故13≤a ≤3.故选D.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知f(x)={log 3x ,x >0,2x ,x ≤0,角α的终边经过点(1，2√2)，则下列结论正确的是( AC )A.f(cos α)=-1B.f(sin α)=1C.f(f(cos α))=12D.f(f(sin α))=2解析:因为角α的终边经过点(1，2√2)， 所以sin α=2√23，cos α=13， 所以f(cos α)=f(13)=log 313=-1， f(sin α)=f(2√23)=log 32√23<0， 所以f(f(cos α))=f(-1)=2-1=12， f(f(sin α))=2log 32√23.故选AC.10.下列命题正确的是( ABD ) A.函数f(x)=x+1x (x>0)的最小值为2B.函数y=2-x-4x(x>0)的最大值为-2C.函数f(x)=2x+1x的最小值为2√2D.函数f(x)=2√x 2+1的最小值为3解析:因为x>0，所以f(x)=x+1x≥2√1=2，当且仅当x=1x，即x=1时，取等号，所以函数的最小值为2，所以A 正确;因为x>0，所以f(x)=x+4x≥2√4=4，当且仅当x=4x，即x=2时，取等号，所以函数f(x)的最小值为4，所以函数y 的最大值为-2，所以B 正确;当x=-1时，f(-1)=-3，所以C 错误; 设√x 2+1=t(t ≥1)，则x 2=t 2-1，则f(t)=2t 2+1t=2t+1t，在[1，+∞)上任取t 1，t 2.令t 1<t 2，则f(t 1)-f(t 2)=2(t 1-t 2)+(1t 1-1t 2)=(t 1-t 2)·(2-1t 1t 2).因为1≤t 1<t 2，所以t 1-t 2<0，2-1t 1t 2>0，所以f(t 1)<f(t 2).则f(t)=2t+1t在[1，+∞)上为增函数，所以当t=1时，f(t)的最小值为f(1)=3， 所以D 正确.故选ABD.11.已知直线x=π8是函数f(x)=sin(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的一条对称轴，则( ACD ) A.f(x+π8)是偶函数B.x=3π8是f(x)的一条对称轴C.f(x)在[π8，π2]上单调递减D.y=f(x)与g(x)=sin(2x-π4)的图象关于直线x=π4对称解析:直线x=π8是函数f(x)=sin(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的一条对称轴，所以2×π8+ϕ=k π+π2，k ∈Z ，所以ϕ=π4，所以f(x+π8)=sin(2x+π2)=cos 2x ，是偶函数，故A 正确;由2x+π4=k π+π2(k ∈Z)，解得x=kπ2+π8(k ∈Z)，所以f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π8(k ∈Z)，而x=3π8不能满足上式，故B 错误;当x ∈[π8，π2]，2x+π4∈[π2，5π4]，此时函数f(x)单调递减，故C 正确;显然，f(x)=sin(2x+π4)与g(x)=sin(2x-π4)的图象关于直线x=π4对称，故D 正确.故选ACD.12.高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设 x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如:[-1.5]=-2，[2.1]=2.已知函数f(x)=2x -11+2x，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述正确的是( BCD ) A.g(x)是奇函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R 上是增函数 D.g(x)的值域是{-1，0}解析:因为函数g(x)=[f(x)]，且f(x)=2x -11+2x ，所以g(1)=[f(1)]=0， g(-1)=[f(-1)]=-1， 所以g(-1)≠-g(1)，则g(x)不是奇函数，故选项A 错误; 因为f(x)=2x -11+2x，则f(-x)=2-x -11+2-x =1-2x2x +1=-f(x)，所以f(x)为奇函数，故选项B 正确; 因为f(x)=2x -11+2x=1+-22x +1，又y=2x +1在R 上为单调递增函数， 则y=-22x +1在R 上为单调递增函数，所以f(x)在R 上为单调递增函数，故选项C 正确; 因为2x >0，则-1<1+-22x +1<1，所以-1<f(x)<1，当-1<f(x)<0时，则g(x)=[f(x)]=-1;当0≤f(x)<1时，则g(x)=[f(x)]=0，所以g(x)∈{-1，0}，则g(x)的值域为{-1，0}，故选项D正确.故选BCD.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)=(m2+m-1)x m+1是幂函数，且该函数在第一象限是增函数，则m的值是.解析:由函数f(x)=(m2+m-1)x m+1是幂函数，则m2+m-1=1，解得m=-2或m=1;当m=-2时，f(x)=x-1在第一象限内不是增函数，不符合题意;当m=1时，f(x)=x2在第一象限内是增函数，满足题意.所以m的值是1.答案:114.已知函数y=2x，当x>0时，函数值的取值范围构成集合A，函数y=x k，在x∈A时，函数值的取值范围构成集合B，则A∩B=∅的充要条件是.解析:已知函数y=2x，当x>0时，函数值的取值范围构成集合A=(1，+∞)，当x∈(1，+∞)时，函数y=x k∈(0，+∞)，由于A∩B=∅，故x k≤1=x0，故k≤0.故A ∩B= 的充要条件是k ≤0. 答案:k ≤015.已知函数y=f(x)满足f(2)>5，且以(1，1)点为对称中心，写出一个符合条件的函数y= . 解析:因为函数的对称中心为(1，1)， 所以不妨设为分式函数f(x)=a x -1+1，因为f(2)>5，所以f(2)=a+1>5，解得a>4， 不妨取a=5，即y=5x -1+1.答案:y=5x -1+1(答案不唯一)16.已知f(x)=2sin(2x+π3)，若∃x 1，x 2，x 3∈[0，3π2]，且x 1<x 2<x 3，使得f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的最小值为 ，最大值为 .解析:作出f(x)图象如图所示，当f(x)图象与y=√3图象相交时，前三个交点横坐标依次为x 1，x 2，x 3，此时x 1+x 2+x 3最小;x 1+x 2=π12×2=π6，f(π)=2sin(2π+π3)=√3，x 3=π，所以最小值为π6+π=7π6;当f(x)图象与y=-√3图象相交时，交点横坐标依次为x 1，x 2，x 3，此时x 1+x 2+x 3最大，x 1+x 2=7π12×2=7π6，f(3π2)=2sin(3π+π3)=-√3，x 3=3π2，最大值为7π6+3π2=8π3.答案:7π68π3四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)若函数y=lg(√3-2sin x)+√1-x 2的定义域为A. (1)求集合A;(2)当x ∈A 时，求函数y=cos 2x+sin x 的最大值. 解:(1)由题意可得{√3-2sinx >0,1-x 2≥0, 解得-1≤x ≤1， 即集合A=[-1，1].(2)y=cos 2x+sin x=-sin 2x+sin x+1，x ∈[-1，1]， 令t=sin x ∈[-sin 1，sin 1]， 则y=-t 2+t+1=-(t -12)2+54，故当t=12时，函数取得最大值为54.18.(本小题满分12分)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的).已知OA=10，OB= x(0<x<10)，线段BA ，CD 与BC ⏜，AD ⏜的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式;(2)记铭牌的截面面积为y ，试问:x 取何值时，y 的值最大?并求出最 大值.解:根据题意，可得BC ⏜=x ·θ，AD ⏜=10θ. 又BA+CD+BC⏜+AD ⏜=30， 所以10-x+10-x+x ·θ+10θ=30， 所以θ=2x+10x+10(0<x<10).(2)y=S 扇形OAD -S 扇形OBC =12θ×102-12θx 2=12θ×(102-x 2)=12θ×(10+x) (10-x)，化简得y=-x 2+5x+50=-(x -52)2+2254.于是，当x=52(满足条件0<x<10)时，y max =2254.所以当x=52时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为2254.19.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=log 3(3x+1)-12x.若不等式f(x)-12x-a ≥0对x ∈(-∞，0]恒成立，求实数a 的取值范围.解:因为不等式f(x)-12x-a ≥0在区间(-∞，0]上恒成立，即a ≤log 3(3x +1)-x 在区间(-∞，0]上恒成立， 令g(x)=log 3(3x +1)-x=log 3(1+13x )，因为x ∈(-∞，0]，所以1+13x ≥2，所以g(x)=log 3(1+13x )≥log 32，所以a ≤log 32，所以a 的取值范围是(-∞，log 32]. 20.(本小题满分12分)已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cos β=-13，sin(α+β)=79.(1)求tan β2的值;(2)求sin α的值.解:(1)因为cos β=cos 2β2-sin 2β2=cos 2β2-sin 2β2cos 2β2+sin 2β2=1-tan 2β21+tan 2β2，且cos β=-13，所以1-tan 2β21+tan 2β2=-13，解得tan 2β2=2，因为β∈(π2，π)，所以β2∈(π4，π2)，所以tan β2>0，所以tan β2=√2.(2)因为β∈(π2，π)，cos β=-13，所以sin β=√1-cos 2β=√1-(-13) 2=2√23， 又α∈(0，π2)， 故α+β∈(π2，3π2)，又sin(α+β)=79，所以cos(α+β)=-√1-sin 2(α+β)=-√1-(79)2=-4√29.所以sin α=sin[(α+β)-β] =sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =79×(-13)-(-4√29)×2√23=13.21.(本小题满分12分)在①f(x)的图象关于直线x=5π6对称，②f(x)的图象关于点(5π18，0)对称，③f(x)在[-π4，π4]上单调递增，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a 存在，求出a 的值;若a 不存在，说明理由.已知函数f(x)=4sin(ωx+π6)+a(ω∈N *)的最小正周期不小于π3，且 ，是否存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3?解:由于函数f(x)的最小正周期不小于π3，所以2πω≥π3，所以1≤ω≤6，ω∈N *，若选择①，即f(x)的图象关于直线x=5π6对称，有5π6ω+π6=k π+π2(k ∈Z)，解得ω=65k+25(k ∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=3，ω=4， 此时，f(x)=4sin(4x+π6)+a ，由x ∈[0，π12]，得4x+π6∈[π6，π2]，因此当4x+π6=π2，即x=π12时，f(x)取得最大值4+a ，令4+a=3，解得a=-1<0，不符合题意.故不存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.若选择②，即f(x)的图象关于点(5π18，0)对称，则有5π18ω+π6=k π(k ∈Z)，解得ω=185k-35(k ∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=1，ω=3. 此时，f(x)=4sin(3x+π6)+a.由x ∈[0，π12]，得3x+π6∈[π6，5π12]，因此当3x+π6=5π12，即x=π12时，f(x)取得最大值4sin 5π12+a=√6+√2+a ，令√6+√2+a=3，解得a=3-√6-√2<0，不符合题意. 故不存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.若选择③，即f(x)在[-π4，π4]上单调递增，则有{-ωπ4+π6≥2kπ-π2,ωπ4+π6≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得{ω≤-8k +83,ω≤8k +43(k ∈Z)， 由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=0，ω=1. 此时，f(x)=4sin(x+π6)+a.由x ∈[0，π12]，得x+π6∈[π6，π4]，因此，当x+π6=π4，即x=π12时，f(x)取得最大值2√2+a ，令2√2+a=3，解得a=3-2√2，符合题意.故存在正实数a=3-2√2，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.22.(本小题满分12分)设函数f(x)=ka x -a -x (a>0，且a ≠1)是定义域为R 上的奇函数. (1)求k 的值;(2)若f(1)>0，试求不等式f(x 2+2x)+f(x-4)>0的解集;(3)若f(1)=32，且g(x)=a 2x +a -2x -2mf(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求m 的值.解:(1)因为f(x)是定义域为R 上的奇函数，所以f(0)=0，所以k-1=0，所以k=1，经检验k=1符合题意. (2)因为f(1)>0，所以a-1a >0，又a>0，且a ≠1，所以a>1， 易知f(x)在R 上单调递增， 原不等式化为f(x 2+2x)>f(4-x)， 所以x 2+2x>4-x ，即x 2+3x-4>0， 所以x>1或x<-4，所以不等式的解集为{x|x>1或x<-4}. (3)因为f(1)=32，所以a-1a =32，即2a 2-3a-2=0，解得a=2或a=-12(舍去)，所以g(x)=22x +2-2x -2m(2x -2-x )=(2x -2-x )2-2m(2x -2-x )+2.令t=f(x)=2x -2-x ，因为x ≥1，所以t ≥f(1)=32，所以g(t)=t 2-2mt+2=(t-m)2+2-m 2， 当m ≥32时，当t=m 时，g(t)min =2-m 2=-2，所以m=2，符合题意; 当m<32时，当t=32时，g(t)min =174-3m=-2，解得m=2512>32，舍去.综上可知，m=2.。

第一章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于x轴的对称点的坐标是( )A．(－2，－1，－4)B．(－2，1，－4)C．(2，－1，4)D．(2，1，－4)【答案】A　【解析】关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标和竖坐标相反．故选A．2．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )A．x＝，y＝1B．x＝，y＝－4C．x＝2，y＝－D．x＝1，y＝－1【答案】B　【解析】由题意可得，a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴∃λ∈R，使a＋2b＝λ(2a－b)，得解得故选B．3．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )A．(－2，2，0)B．(2，－2，0)C．D．【答案】C　【解析】由OA＝(－1，1，0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则BH＝(－λ，λ－1，－1)．又因为BH⊥OA，所以BH·OA＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，所以H．4．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB1，AD1，BD是( )A．有相同起点的向量B．等长的向量C．不共面向量D．共面向量【答案】D　【解析】因为AD1－AB1＝B1D1＝BD，所以AB1，AD1，BD共面．5．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是( )A．B．C．D．【答案】C　【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1，0，0)，E，F，D1(0，0，1)，所以AD1＝(－1，0，1)，AE＝．设平面AEFD1的法向量n＝(x，y，z)，则即所以x＝2y＝z．取y＝1，则n＝(2，1，2)．而平面ABCD的一个法向量u＝(0，0，1)，因为cos〈n，u〉＝，所以sin〈n，u〉＝．6．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1．若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，则x＋y＋z＝( )A．－1B．0C．D．1【答案】C　【解析】因为EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝．7．在以下命题中，不正确的个数为( )①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝2OA－2OB－OC，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|．A．5B．4C．3D．2【答案】B　【解析】①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知，正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．8．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )A．B．C．D．【答案】C　【解析】如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D，E，F，所以PA＝(0，0，－2)，DE＝，DF＝．设n＝(x，y，z)是平面DEF的法向量，由得取x＝2，则z＝1，y＝0，所以n＝(2，0，1)是平面DEF的一个法向量．设直线PA与平面DEF所成的角为θ，所以sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝＝．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各选项中，不正确的是( )A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0B．对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等C．若AB，CD共线，则AB∥CDD．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面【答案】BCD　【解析】显然A正确；若a，b为非零向量，则〈a，b〉与〈a，－b〉互补，故B错误；若AB，CD共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误．10．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式的结果为零向量的是( )A．AB＋2BC＋2CD＋DC B．2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋ACC．AB＋CA＋BD D．AB－CB＋CD－AD【答案】BD　【解析】A中，原式＝AB＋2BD＋DC＝AB＋BD＋BD＋DC＝AD＋BC，不符合题意；B中，原式＝2(AB＋BC＋CD＋DA)＋(AC＋CD＋DA)＝0；C中，原式＝CD，不符合题意；D中，原式＝(AB－AD)＋(CD－CB)＝0．11．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的有( )A．OA＋OD与OB′＋OC′是一对相反向量B．OB－OC与OA′－OD′是一对相反向量C．OA＋OB＋OC＋OD与OA′＋OB′＋OC′＋OD′是一对相反向量D．OA′－OA与OC－OC′是一对相反向量【答案】ACD　【解析】如图，A中，OA＝－OC′，OD＝－OB′，所以OA＋OD＝－(OB′＋OC′)，是一对相反向量；B中，OB－OC＝CB，OA′－OD′＝D′A′，而CB＝D′A′，故不是相反向量；C中，同A也是正确的；D中，OA′－OA＝AA′，OC－OC′＝C′C＝－AA′，是一对相反向量．12．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，CD＝2，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是( )A．CQ⊥平面PADB．PC与平面AQC所成角的余弦值为C．三棱锥B－ACQ的体积为6D．四棱锥Q－ABCD外接球的内接正四面体的表面积为24【解析】取AD的中点O，BC的中点E，连接OE，OP，因为三角形PAD为等边三角形，所以OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD．因为AD⊥OE，所以OD，OE，OP两两垂直，如图，以O为坐标原点，OD，OE，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，D(，0，0)，A(－，0，0)，P(0，0，3)，C(，2，0)，B(－，2，0)．因为点Q是PD的中点，所以Q，平面PAD的一个法向量m＝(0，1，0)，QC＝，显然m 与QC不共线，所以CQ与平面PAD不垂直，所以A不正确；PC＝(，2，－3)，AQ ＝，AC＝(2，2，0)，设平面AQC的法向量n＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝－，z＝－，所以n＝(1，－，－)，设PC与平面AQC所成角为θ，则sinθ＝＝＝，所以cosθ＝，所以B正确；三棱锥B－ACQ的体积为V B－ACQ＝V Q－ABC＝S△ABC·OP＝××2×2××3＝6，所以C不正确；设四棱锥Q－ABCD外接球的球心为M(0，，a)，则MQ＝MD，故＋()2＋＝＋＋a2，解得a＝0，即M(0，，0)为矩形ABCD对角线的交点，所以四棱锥Q－ABCD外接球的半径为3，设四棱锥Q－ABCD外接球的内接正四面体的棱长为x，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为x，所以3＝62，得x2＝24，所以正四面体的表面积为4×x2＝24，所以D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2021年潮州模拟)由空间向量a＝(1，2，3)，b＝(1，－1，1)构成向量集合A＝{x|x＝a＋k b，k∈Z}，则向量x的模|x|的最小值为________．【答案】　【解析】因为a＝(1，2，3)，b＝(1，－1，1)，所以x＝a＋k b＝(1＋k，2－k，3＋k)，所以|x|＝＝＝．因为k∈Z，所以k＝－1时，|x|的值最小，最小值为．14．下列命题：①已知λ∈R，则|λa|＝λ|a|；②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝B1C1；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确的命题的序号是________．【解析】①|λa|＝|λ||a|，故①错误；②正确；③若两个平面垂直，则它们的法向量一定垂直，若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，故③正确．15．如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若AE＝OD＋xOB＋yOA，则x＋y＝________．【答案】－1　【解析】AE＝OE－OA＝OC－OA＝(OB＋BC)－OA＝(OB＋AD)－OA＝(OB＋OD －OA)－OA＝－OA＋OB＋OD，所以x＝，y＝－．所以x＋y＝－1．16．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是________；若D1E⊥EC，则AE＝________．【答案】90°　1　【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，又因为AD＝AA1＝1，AB＝2，则D(0，0，0)，D1(0，0，1), A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)，设E(1，m，0)，0≤m≤2，则D1E＝(1，m，－1)，A1D＝(－1，0，－1)，所以D1E·A1D＝－1＋0＋1＝0，所以直线D1E与A1D所成角的大小是90°．因为D1E＝(1，m，－1)，EC＝(－1，2－m，0)，D1E⊥EC, 所以D1E·EC＝－1＋m(2－m)＋0＝0，解得m＝1，所以AE＝1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上是否存在一点E，使得OE⊥b(O为原点)?解：(1)因为a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，所以2a＋b＝(0，－5，5)．所以|2a＋b|＝＝5．(2)假设存在点E，其坐标为E(x，y，z)，则AE＝λAB，即(x＋3，y＋1，z－4)＝λ(1，－1，－2)，所以所以E(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，所以OE＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．又因为b＝(－2，1，1)，OE⊥b，所以OE·b＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，所以λ＝，所以E．所以在直线AB上存在点E，使OE⊥b．18．(12分)已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)，试求：(1)△ABC的面积；(2)△ABC的AB边上的高．解：(1)AB＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)，AC＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)，AB·AC＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，|AB|＝，|AC|＝2，cos〈AB，AC〉＝＝－，sin〈AB，AC〉＝，S△ABC＝|AB|·|AC|sin〈AB，AC〉＝×2×＝3．(2)|AB|＝，设AB边上的高为h，则|AB|·h＝S△ABC＝3，所以h＝3．19．(12分)如图，在三棱锥S－ABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC，AC的中点，且SA＝SC＝，BC＝AC，∠ASC＝∠ACB＝90°．(1)求证：OE∥平面SAB；(2)若点F在线段BC上，问：无论点F在BC的何处，是否都有OE⊥SF？请证明你的结论．(1)证明：因为E，O分别是SC，AC的中点，所以OE∥SA．又因为OE⊄平面SAB，SA⊂平面SAB，所以OE∥平面SAB．(2)解：方法一，在△SAC中，因为OE∥AS，∠ASC＝90°，所以OE⊥SC．又因为平面SAC⊥平面ABC，∠BCA＝90°，BC⊂平面SAC，所以BC⊥平面SAC．又因为OE⊂平面SAC，所以BC⊥OE．因为SC∩BC＝C，所以OE⊥平面BSC．又因为SF⊂平面BSC，所以OE⊥SF．所以无论点F在BC的何处，都有OE⊥SF．方法二，连接SO．因为O是AC的中点，SA＝SC，所以SO⊥AC．又因为平面SAC⊥平面ABC，所以SO⊥平面ABC．同理可得BC⊥平面SAC．如图，在平面ABC内，过点O作OM⊥AC，以O为原点，OM，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则点O(0，0，0)，A(0，－1，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，S(0，0，1)，E，OE＝．由于点F∈BC，故可设点F(x，1，0)，则SF＝(x，1，－1)，SF·OE＝0恒成立，所以无论点F在BC的何处，都有OE⊥SF．20．(12分)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图1把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2)．(1)求证：CD⊥AB．(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．(1)证明：由已知条件可得BD＝2，CD＝2，CD⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD．又因为AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB．(2)解：如图，以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，由已知可得A(1，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，1，0)，所以CD＝(0，－2，0)，AD＝(－1，0，－1)，MC＝(－1，1，0)．设平面ACD的法向量n＝(x，y，z)，则CD⊥n，AD⊥n，所以令x＝1，得平面ACD的一个法向量n＝(1，0，－1)，所以点M到平面ACD的距离d＝＝．(3)解：假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°，设BN＝λBC，0≤λ≤1，则N(2－2λ，2λ，0)，所以AN＝(1－2λ，2λ，－1)．又因为平面ACD 的一个法向量n＝(1，0，－1)，且直线AN与平面ACD所成角为60°，所以sin60°＝＝，可得8λ2＋2λ－1＝0，所以λ＝或λ＝－(舍去)．综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60°，此时＝．21．(12分)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝2．(1)求线段BC1的长度；(2)求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．解：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，所以DC＝(0，2，0)，BC1＝(－2，－2，2)，|DC|＝2，|BC1|＝＝2．(2)由(1)可知，DC＝(0，2，0)，BC1＝(－2，－2，2)，所以cos〈DC，BC1〉＝＝＝＝－．所以异面直线BC1与DC所成的角的余弦值为．22．(12分)如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是AB的中点，D为AC的中点．(1)求证：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B－PA－C的余弦值．解：如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，)，D．(1)证明：设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n1·OD＝0，n1·OP＝0，得所以z1＝0，x1＝y1，取y1＝1，得n1＝(1，1，0)．设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n2·PA＝0，n2·PC＝0，得所以x2＝－z2，y2＝z2，取z2＝1，得n2＝(－，，1)．因为n1·n2＝(1，1，0)·(－，，1)＝0，所以n1⊥n2，从而平面POD⊥平面PAC．(2)因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量n3＝(0，1，0)．由(1)知，平面PAC的一个法向量n2＝(－，，1)．设向量n2和n3的夹角为θ，则cosθ＝＝＝．由图可知，二面角B－PA－C的平面角为锐角，所以二面角B－PA－C的余弦值为．11。

新人教A版高一滚动习题（一）[范围1.1∼1.3](2006)1.已知集合A={x|x2−4=0}，则下列关系表示正确的有（）①2∈A，②{−2}∈A，③{0}⊆A，④{2,−2}⊆A.A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3,4}，B={4,5}，则A∩(∁U B)=（）A.{3}B.{1,3}C.{3,4}D.{1,3,4}3.设全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则∁U(A∩B)=（）A.{2,3}B.{1,4,5}C.{4,5}D.{1,5}4.已知集合M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N=（）A.{x|−4<x<3}B.{x|−4<x<−2}C.{x|−2<x<2}D.{x|2<x<3}5.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={x|x2−3x＋2=0}，B={x|x=2a,a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.46.若集合A={x|0<x<3}，B={x|x⩽−1或x⩾1}，则下图中阴影部分表示的集合为（）A.{x|x>0}B.{x|0<x⩽1}C.{x|1⩽x<3}D.{x|0<x<1或x⩾3}7.定义运算A∗B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},若集合A={−1,0,1},B={0,1,2,3},则A∗B中元素的个数为（）A.7B.10C.32D.25的解组成的集合用列举法表示为.8.方程组{3x+y=2，2x−3y=279.已知集合A={1,2,3}，B={y|y=2x,x∈A}，则B=.10.已知集合A={x|3⩽x⩽5},B={x|m+1⩽x⩽2m+3},若A∪B=B,则m的取值范围是.11.已知集合M={3,√m,1},N={1,m}.若N⊆M,则m=.12.已知集合A={x|−4⩽x⩽2}，B={x|x<−5或x>1}，C={x|m−1<x<m+1}.(1)求A∪B；(2)若B∩C=∅，求实数m的取值范围.13.已知集合A={x|−3⩽x⩽5},B={x|m+1<x<2m−1},C={x∈Z|x∈A或x∈B}.(1)当m=3时，用列举法表示出集合C；(2)若A∩B=B，求实数m的取值范围.14.已知集合A={x|a−1<x<2a+1}，B={x|0<x<1}.(1)若a=1，求A∩B;2(2)若A∩B=∅,求实数a的取值范围.参考答案1.【答案】:B【解析】:因为A={x∣x2−4=0}={2,−2}，所以2∈A,{2,−2}⊆A.故选B.2.【答案】:B3.【答案】:B【解析】:解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∩B={2，3}，∵全集U={1，2，3，4，5}，∴∁U（A∩B）={1，4，5}．故选：B．由A与B求出两集合的交集，根据全集U，找出交集的补集即可．此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4.【答案】:C5.【答案】:B【解析】:因为A={1,2}，所以B={2,4}，所以A∪B={1,2,4}，所以∁U(A∪B)={3,5}.故选B.6.【答案】:C7.【答案】:B【解析】:由题得A∩B={0,1},A∪B={−1,0,1,2,3},由集合A∗B的定义知,集合A∗B中的元素有(0,−1),(1,−1),(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),(0,2),(1,2),(0,3),(1,3),共10个.故选B.8.【答案】:{(3,−7)}【解析】:由{3x+y=2,2x−3y=27，得{x=3，y=−7，所以用列举法表示为{(3,−7)}.9.【答案】:{2,4,6}【解析】:因为B={y|y=2x,x∈A}，当x=1时，y=2；当x=2时，y=4；当x=3时，y=6，故集合B={2,4,6}.10.【答案】:1⩽m ⩽2【解析】:依题意有A ⊆B ,则{m +1⩽3,2m +3⩾5,解得1⩽m ⩽2.11.【答案】:0或3【解析】:因为N ⊆M ,所以m =3或m =√m ,解得m =3或m =0或m =1.当m =1时,不满足集合中元素的互异性,故m =3或m =0.12(1)【答案】因为B ={x|x <−5或x >1}，A ={x|−4⩽x ⩽2}，所以A ∪B ={x|x <−5或x ⩾−4}.(2)【答案】因为B ∩C =∅，所以{m −1⩾−5，m +1⩽1，所以−4⩽m ⩽0.13(1)【答案】当m =3时，B ={x|4<x <5}，所以C ={−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5}.(2)【答案】若A ∩B =B ，则B ⊆A .①当B =∅时，m +1⩾2m −1,解得m ⩽2；②当B ≠∅时，由{m +1<2m −1，m +1⩾−3，2m −1⩽5，解得2<m ⩽3.综上所述，实数m 的取值范围是m ⩽3.14(1)【答案】当a =12时，A ={x|−12<x <2}，B ={x|0<x <1}，所以A ∩B ={x|−12<x <2}∩{x|0<x <1}={x|0<x <1}.【解析】:当a =12时，A ={x|−12<x <2}，然后利用交集的定义即可求得结果；(2)【答案】因为A ∩B =∅，所以当A =∅时，a −1⩾2a +1，即a ⩽−2;当A ≠∅时，则{a −1<2a +1,a −1⩾1或{a −1<2a +1,2a +1⩽0,解得a ⩾2或−2<a ⩽−12.综上a ⩽−12或a ⩾2.【解析】:若A ∩B =∅，则A =∅时，A ≠∅时，有{a −1<2a +12a +1⩽0或{a −1<2a +1a −1⩾1，解不等式组即可求得结果．。

滚动训练(一)一、选择题1．下列集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}答案 B解析选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M 与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．2．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于( )A．{3}B．{4}C．{3,4}D．∅考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 A解析∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁U B＝{3,4}，∴A∩(∁U B)＝{3}．3．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )考点函数图象题点求作或判断函数的图象答案 B解析代入特殊点，∵f(1)＝0，∴排除A，C；又f(－1)＝2，∴排除D.4．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( ) A ．(－∞，1] B ．[0,1]C ．[0，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)考点 函数的定义域 题点 求具体函数的定义域 答案 B解析 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.5．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B.6．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( ) A ．－14B.14C.32D ．－32考点 求函数的解析式 题点 换元法求函数解析式 答案 A解析 令12x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2×(2t ＋2)＋3＝4t ＋7. 令4m ＋7＝6，得m ＝－14.7．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x考点 分段函数 题点 分段函数应用问题 答案 D解析 对于选项A ，右边＝x |sgn x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项B ，右边＝x sgn|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项C ，右边＝|x |sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，0，x ＝0，x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项D ，右边＝x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然正确；故选D.8．若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________. 答案 0或1解析 若a －3＝－3，则a ＝0，此时集合A 中含有元素－3，－1，－4，满足题意； 若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时集合A 中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；若a 2－4＝－3，则a ＝±1，当a ＝1时，集合A 中的三个元素为－2,1，－3，满足题意； 当a ＝－1时，不符合题意． 综上可知，a ＝0或a ＝1. 二、填空题9．设A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }．若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3)解析 B ＝{y |y ≤t }，结合数轴可知t ＜－3.10．(a,3a －1]为一确定的区间，则a 的取值范围是________． 考点 区间的概念题点 区间概念的理解与应用答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 根据区间的定义，可知a <3a －1，解得a >12.11．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是________． 考点 求函数的解析式 题点 换元法求函数解析式 答案 f (x )＝3x ＋2解析 令3x ＋2＝t ，则3x ＝t －2， 故f (t )＝3(t －2)＋8＝3t ＋2.12．若2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝________. 答案 52解析 令x ＝2得2f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝92，令x ＝12得2f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (2)＝32， 消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，得f (2)＝52.三、解答题13．已知全集U ＝{x |x －2≥0或x －1≤0}，A ＝{x |x <1或x >3}，B ＝{x |x ≤1或x >2}，求A ∩B ，A ∪B ，(∁U A )∩(∁U B )，(∁U A )∪(∁U B )．考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 解 ∵全集U ＝{x |x ≥2或x ≤1}， ∴A ∩B ＝A ＝{x |x <1或x >3}；A ∪B ＝B ＝{x |x ≤1或x >2}；(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{2}；(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )＝{x |2≤x ≤3或x ＝1}． 四、探究与拓展14．已知二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x >0，－f x ，x <0，若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0，求F (x )的表达式． 考点 求函数的解析式 题点 待定系数法求函数解析式 解 ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋1，f (－1)＝0， ∴a －b ＋1＝0.又∵对任意实数x ，均有f (x )≥0， ∴Δ＝b 2－4a ≤0. ∴(a ＋1)2－4a ≤0. ∴a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.15．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，－x ，x ∈B ，若x 0∈A ，且f (f (x 0))∈A ，求x 0的取值范围．考点 分段函数题点 分段函数与不等式结合 解 ∵x 0∈A ，∴f (x 0)＝x 0＋12∈B ，∴f (f (x 0))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝1－2x 0. 又f (f (x 0))∈A ，∴0≤1－2x 0<12，解得14<x 0≤12，∴14<x 0<12.即为x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.。

章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若集合A 、B 、C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系是( ) A ．A C B ．CAC ．A ⊆CD ．C ⊆A2．已知函数y ＝1－x2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，－12)∩(－12，1]D ．(－∞，－12)∪(－12，1]3．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合运算：P *Q ＝{z |z ＝ab (a ＋b )，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，则P *Q 中元素之和是( )A ．0B ．6C ．12D ．184．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．45．集合M 由正整数的平方组成，即M ＝{1,4,9,16,25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M 对下列运算封闭的是( )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法6．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，集合M ＝{(x ，y )|y －3x －2＝1}，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪N )等于( )A ．∅B ．{(2,3)}C ．(2,3)D ．{(x ，y )|y ＝x ＋1}7．已知偶函数f (x )的定义域为R ，且在(－∞，0)上是增函数，则f (－34)与f (a 2－a ＋1)的大小关系为( )A ．f (－34)<f (a 2－a ＋1)B ．f (－34)>f (a 2－a ＋1)C ．f (－34)≤f (a 2－a ＋1)D ．f (－34)≥f (a 2－a ＋1)8．函数f (x )＝cx 2x ＋3(x ≠－32)，满足f [f (x )]＝x ，则常数c 等于( ) A ．3 B ．－3C ．3或－3D ．5或－39．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．－310．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值X 围是( )A ．f (1)≥25 B．f (1)＝25 C ．f (1)≤25 D．f (1)>2511．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6， x ≥0，x ＋6， x <0则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)12．定义在R 上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f (7)＝6，则f (x )( )A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2 x ≥22x x <2，已知f (x 0)＝8，则x 0＝________.14．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.15．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥ba ，a <b，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．16．函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f (x 3)＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )，则f (13)＋f (18)＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0，x ∈U }，求q 的值及∁U A .18．(12分)讨论函数f (x )＝x ＋a x(a >0)的单调区间．19．(12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f (x y)＝f (x )－f (y )． (1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f (1x)<2.20．(12分)某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系是p ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20， 0<t <25，t ∈N ，－t ＋100， 25≤t ≤30，t ∈N .该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )．(1)求这种商品的日销售金额的解析式；(2)求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？21．(12分)已知13≤a ≤1，若函数f (x )＝ax 2－2x ＋1在区间[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )．(1)求g (a )的函数表达式；(2)判断函数g (a )在区间[13，1]上的单调性，并求出g (a )的最小值．22．(12分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足下列条件： ①当x ∈R 时，其最小值为0，且f (x －1)＝f (－x －1)成立； ②当x ∈(0,5)时，x ≤f (x )≤2|x －1|＋1恒成立． (1)求f (1)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)求最大的实数m (m >1)，使得存在t ∈R ，只要当x ∈[1，m ]时，就有f (x ＋t )≤x 成立．章末检测(B)1．C [∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，∵B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选C.]2．D [由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－12且x ≠2.故选D.]3．D [∵P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，a ∈P ，b ∈Q ，故对a ，b 的取值分类讨论．当a ＝0时，z ＝0；当a ＝1，b ＝2时，z ＝6；当a ＝1，b ＝3时，z ＝12.综上可知：P *Q ＝{0,6,12}，元素之和为18.]4．D [∵集合M 中的元素－1不能映射到N 中为－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0.∴a ，b 为方程x 2－4x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝4.]5．C [设a 、b 表示任意两个正整数，则a 2、b 2的和不一定属于M ，如12＋22＝5∉M ；a 2、b 2的差也不一定属于M ，如12－22＝－3∉M ；a 2、b 2的商也不一定属于M ，如1222＝14∉M ；因为a 、b 表示任意两个正整数，a 2·b 2＝(ab )2，ab 为正整数，所以(ab )2属于M ，即a 2、b 2的积属于M .故选C.]6．B [集合M 表示直线y ＝x ＋1上除点(2,3)外的点，即为两条射线上的点构成的集合，集合N 表示直线y ＝x ＋1外的点，所以M ∪N 表示直线y ＝x ＋1外的点及两条射线，∁U (M ∪N )中的元素就是点(2,3)．]7．D [设x 1>x 2>0，则－x 1<－x 2<0， ∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，∴f (－x 1)<f (－x 2)，又∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 又∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，∴f (a 2－a ＋1)≤f (34)＝f (－34)．]8．B [cf x 2fx ＋3＝x ，f (x )＝3x c －2x ＝cx2x ＋3， 得c ＝－3.]9．D [因为奇函数f (x )在x ＝0处有定义，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1.∴f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝3，从而f (－1)＝－f (1)＝－3.]10．A [函数f (x )的增区间为[m 8，＋∞)，函数在区间[－2，＋∞)上是增函数，所以m8≤－2，m ≤－16，f (1)＝4－m ＋5≥25.]11．A [易知f (1)＝3，则不等式f (x )>f (1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.]12．B [由f (x )是偶函数，得f (x )关于y 轴对称，其图象可以用下图简单地表示，则f (x )在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.] 13. 6解析 ∵当x ≥2时，f (x )≥f (2)＝6， 当x <2时，f (x )<f (2)＝4， ∴x 20＋2＝8(x 0≥2)，解得x 0＝ 6. 14．－2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2.15．(－∞，1]解析 由题意知x ⊙(2－x )表示x 与2－x 两者中的较小者，借助y ＝x 与y ＝2－x 的图象，不难得出，f (x )的值域为(－∞，1]．16.34解析 由题意得f (1)＝1－f (0)＝1，f (13)＝12f (1)＝12，f (12)＝1－f (12)，即f (12)＝12，由函数f (x )在[0,1]上为非减函数得，当13≤x ≤12时，f (x )＝12，则f (38)＝12，又f (13×38)＝12f (38)＝14，即f (18)＝14.因此f (13)＋f (18)＝34.17．解 设方程x 2－5x ＋q ＝0的两根为x 1、x 2，∵x ∈U ，x 1＋x 2＝5，∴q ＝x 1x 2＝1×4＝4或q ＝x 1·x 2＝2×3＝6. 当q ＝4时，A ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}＝{1,4}， ∴∁U A ＝{2,3,5}；当q ＝6时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， ∴∁U A ＝{1,4,5}．18．解 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)·x 1x 2－ax 1x 2. 当0<x 1<x 2≤a 时，有0<x 1x 2<a ， ∴x 1x 2－a <0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x )在(0，a )上是减函数． 当a ≤x 1<x 2时，有x 1x 2>a ，∴x 1x 2－a >0. ∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．∵函数f (x )是奇函数，∴函数f (x )在(－∞，－a ]上是增函数，在[－a ，0)上是减函数．综上所述，f (x )在区间(－∞，－a ]，[a ，＋∞)上为增函数，在[－a ，0)，(0，a ]上为减函数．19．解 (1)令x ＝y ≠0，则f (1)＝0.(2)令x ＝36，y ＝6，则f (366)＝f (36)－f (6)，f (36)＝2f (6)＝2，故原不等式为f (x ＋3)－f (1x)<f (36)，即f [x (x ＋3)]<f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>01x >00<x x ＋3<36⇒0<x <153－32. 20．解 (1)设日销售金额为y (元)，则y ＝p ·Q . ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20－t ＋40－t ＋100－t ＋40＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800， 0<t <25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000， 25≤t ≤30，t ∈N .(2)由(1)知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800t 2－140t ＋4 000＝⎩⎪⎨⎪⎧－t －102＋900， 0<t <25，t ∈N ，t －702－900， 25≤t ≤30，t ∈N .当0<t <25，t ∈N ，t ＝10时，y max ＝900(元)； 当25≤t ≤30，t ∈N ，t ＝25时，y max ＝1 125(元)．由1 125>900，知y max ＝1 125(元)，且第25天，日销售额最大．21．解 (1)∵13≤a ≤1，∴f (x )的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝1a ∈[1,3]．∴f (x )有最小值N (a )＝1－1a.当2≤1a ≤3时，a ∈[13，12]，f (x )有最大值M (a )＝f (1)＝a －1；当1≤1a <2时，a ∈(12，1]，f (x )有最大值M (a )＝f (3)＝9a －5；∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋1a 13≤a ≤12，9a －6＋1a 12<a ≤1.(2)设13≤a 1<a 2≤12，则g (a 1)－g (a 2)＝(a 1－a 2)(1－1a 1a 2)>0，∴g (a 1)>g (a 2)，∴g (a )在[13，12]上是减函数．设12<a 1<a 2≤1，则g (a 1)－g (a 2)＝(a 1－a 2)(9－1a 1a 2)<0，∴g (a 1)<g (a 2)， ∴g (a )在(12，1]上是增函数．∴当a ＝12时，g (a )有最小值12.22．解 (1)在②中令x ＝1，有1≤f (1)≤1，故f (1)＝1.(2)由①知二次函数的开口向上且关于x ＝－1对称，故可设此二次函数为f (x )＝a (x ＋1)2(a >0)，又由f (1)＝1代入求得a ＝14，故f (x )＝14(x ＋1)2.(3)假设存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f (x ＋t )≤x . 取x ＝1，有f (t ＋1)≤1， 即14(t ＋2)2≤1， 解得－4≤t ≤0.对固定的t ∈[－4,0]，取x ＝m ，有f (t ＋m )≤m ， 即14(t ＋m ＋1)2≤m ， 化简得m 2＋2(t －1)m ＋(t 2＋2t ＋1)≤0， 解得1－t －－4t ≤m ≤1－t ＋－4t ，故m ≤1－t ＋－4t ≤1－(－4)＋－4×－4＝9，t ＝－4时，对任意的x ∈[1,9]，word11 / 11 恒有f (x －4)－x ＝14(x 2－10x ＋9)＝14(x －1)(x －9)≤0， 所以m 的最大值为9.。

全册综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l ：x －2y ＋k ＝0(k ∈R)过点(0,2)，则k 的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．2D ．－2解析：选B 由题意可得，0－4＋k ＝0，解得k ＝4.2．已知空间向量a ＝(λ＋1,1，λ)，b ＝(6，μ－1,4)，若a ∥b ，则λ＋μ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－5解析：选C 因为a ∥b ，所以λ＋16＝1μ－1＝λ4，所以4λ＋4＝6λ，解得λ＝2，所以1μ－1＝12，解得μ＝3，所以λ＋μ＝5.故选C. 3.如图，空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 为OA的中点，点N 在线段BC 上，且CN ＝2NB ，则MN ―→＝( )A.12a －23b －13c B ．－13a ＋12b ＋23cC.23a －12b ＋13c D ．－12a ＋23b ＋13c解析：选D MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝OC ―→＋CN ―→－12OA ―→＝OC ―→＋23CB ―→－12OA ―→＝OC ―→＋23(OB―→－OC ―→)－12OA ―→＝－12OA ―→＋23OB ―→＋13OC ―→＝－12a ＋23b ＋13c ，故选D.4．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为( )A ．8 3B ．2 3C ．4 3D ．4解析：选C 因为椭圆的2a ＝8,2b ＝4，所以a ＝4，b ＝2，因为a 2＝b 2＋c 2，所以c 2＝12⇒c ＝23，则2c ＝4 3.故选C.5．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：选B 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1,1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4.6．已知在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AB ＝5，AC ＝3，BD ＝4，CD ＝52，则这个二面角的度数为( )A ．30°B ．45°C ．90°D ．150°解析：选C 设这个二面角的度数为α，由题意得CD ―→＝CA ―→＋AB ―→＋BD ―→， ∴CD ―→2＝CA ―→2＋AB ―→2＋BD ―→2＋2|CA ―→|·|BD ―→|cos(π－α)，∴(52)2＝9＋25＋16－2×3×4×cos α，解得cos α＝0，∴α＝90°，即这个二面角的度数为90°，故选C.7．直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( )A ．(－3,0)B ．(0，－3)C ．(3,0)D ．(0,3)解析：选A 设直线l 的方程为x ＝my ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，所以y 1y 2＝6.将直线l ：x ＝my ＋b 代入抛物线C ：y 2＝2x 得y 2－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，所以b ＝－3，即直线l ：x ＝my －3，所以直线l 过定点(－3,0)．8．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值等于( )A.13 B.14 C.19D.35解析：选A 由题意知，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 22＝1，x23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝92，y 2＝12.取P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫322，22， 则PF 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－322，－22，PF ―→2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－322，－22，cos ∠F 1PF 2＝92－4＋12⎝⎛⎭⎪⎫－2－3222＋12·⎝⎛⎭⎪⎫2－3222＋12＝13.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列各组向量中，是平行向量的是( ) A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0) D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16，－24,40)解析：选ABC 对于A ，有b ＝－2a ，所以a 与b 是平行向量； 对于B ，有d ＝－3c ，所以c 与d 是平行向量； 对于C ，f 是零向量，与e 是平行向量；对于D ，不满足g ＝λh ，所以g 与h 不是平行向量．10．已知点A (－1,1)，B (3,1)，直线l 过点C (1,3)且与线段AB 相交，则直线l 与圆(x－6)2＋y 2＝2的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不好确定解析：选BC 因为k AC ＝1，k BC ＝－1，直线l 的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC 方程为x ＋y －4＝0，圆(x －6)2＋y 2＝2的圆心(6,0)到直线BC 的距离为2，因此圆(x －6)2＋y 2＝2与直线BC 相切，结合图象可知，直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是相切或相离．11．已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( ) A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为 3 C ．曲线y ＝ex －2－1经过C 的一个焦点D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点解析：选AC ∵双曲线的渐近线为y ＝±33x ，∴设双曲线C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ≠0)，又过点(3，2)得λ＝1.故选项A 正确；此时C 的离心率e 为233，故B 选项错误；y＝ex －2－1经过C 的焦点(2,0)，故选项C 正确；联立直线和双曲线C 的方程，得Δ＝0，故有一个公共点，所以D 选项错误．12．已知过抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则|OS ||OR |的可能取值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选CD 由题意知，y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)．直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝8x ，消去y 整理得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (x 0，y 0)，S (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝4k 2＋2k 2，故x 0＝x 1＋x 22＝2k 2＋4k 2，y 0＝k (x 0－2)＝4k ，所以k os ＝y 0x 0＝2k k 2＋2，直线OS 的方程为y ＝2kk 2＋2x ，代入抛物线方程，解得x 3＝2k 2＋22k 2，由条件知k 2>0.所以|OS ||OR |＝x 3x 0＝k 2＋2>2. 故选C 、D. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝10与直线l ：2x ＋y ＝0，则圆C 与直线l 的位置关系是________．解析：由题意有圆心C (2,1)，半径r ＝10，则圆心到直线l ：2x ＋y ＝0的距离d ＝|2×2＋1|22＋1＝55＝5<r ＝10，故直线与圆C 相交． 答案：相交14.已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠BAD ＝∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1＝_____.解析：∵AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠BAD ＝∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，∴AB ―→·AD ―→＝AD ―→·AA 1―→＝AB ―→·AA 1―→＝12，∵AC 1―→＝AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→，∴AC 1―→2＝AB ―→2＋AD ―→2＋AA 1―→2＋2AB ―→·AD ―→＋2AD ―→·AA 1―→＋2AB ―→·AA 1―→＝6，∴|AC 1―→|＝ 6. 答案： 615．已知A (2，2)是椭圆x 2m ＋y 24＝1上一点，F 是椭圆的右焦点，设点F 到直线x ＝4的距离为d ，则m ＝______，|AF |d＝______.解析：A (2，2)是椭圆x 2m ＋y 24＝1上一点，代入可得4m ＋24＝1，解得m ＝8，∴c ＝a 2－b2＝2，F (2,0)．∴|AF |＝2－22＋2－02＝2，点F 到直线x ＝4的距离为d ＝2，∴|AF |d ＝22.答案：82216．已知F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 向双曲线E 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，且交另一条渐近线于点B ，若|OF |＝|FB |，则双曲线E 的离心率是_____________．解析：双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，若|OF |＝|FB |，可得在直角三角形OAB 中，由∠AOF ＝∠BOF ＝∠ABO ＝30°，可得b a＝tan 30°＝33，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，∴e ＝233.答案：233四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，分别求下列直线l ′的方程，l ′满足：(1)过点(－1,3)，且与l 平行． (2)与直线l 关于y 轴对称．解：(1)因为l ∥l ′，所以l ′的斜率为－34，所以直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)l 与y 轴交于点(0,3)，该点也在直线l ′上，在直线l 上取一点A (4,0)，则点A 关于y 轴的对称点A ′(－4,0)在直线l ′上，所以直线l ′经过(0,3)和(－4,0)两点，故直线l ′的方程为3x －4y ＋12＝0.18．(12分)直线l 经过两点(2,1)，(6,3)． (1)求直线l 的方程；(2)圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于(2,0)点，求圆C 的方程． 解：(1)由已知可得，直线l 的斜率k ＝3－16－2＝12，所以直线l 的方程为x －2y ＝0. (2)因为圆C 的圆心在直线l 上， 所以可设圆心坐标为(2a ，a )， 因为圆C 与x 轴相切于(2,0)点， 所以圆心在直线x ＝2上，所以a ＝1， 所以圆心坐标为(2,1)，半径为1， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.19.(12分)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 为BB 1中点． (1)证明：AC ⊥D 1E ；(2)求DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接BD ，∵D 1D ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，在长方形ABCD 中，AB ＝BC ，∴BD ⊥AC . 又BD ∩D 1D ＝D ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ， ∵D 1E ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥D 1E .(2)以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz ，则A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，E (1,1,1)，AE ―→＝(0,1,1)，AD 1―→＝(－1,0,2)，DE ―→＝(1,1,1)． 设平面AD 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD 1―→＝0，n ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2z ＝0，y ＋z ＝0，令z ＝1，得n ＝(2，－1,1)． ∴cos 〈n ，DE ―→〉＝2－1＋13·6＝23，∴DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值为23. 20．(12分)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线y ＝kx ＋m (m >0)与抛物线C 交于不同的两点M ，N .(1)若抛物线C 在点M 和N 处的切线互相垂直，求m 的值； (2)若m ＝2，求|MF |·|NF |的最小值．解：(1)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，对y ＝x 24求导得：y ′＝x 2，故抛物线C 在点M 和N 处切线的斜率分别为x 12和x 22，又切线互相垂直，∴x 12·x 22＝－1，即x 1·x 2＝－4， 把y ＝kx ＋m 代入C 的方程得x 2－4kx －4m ＝0. ∴x 1x 2＝－4m .(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由抛物线定义可知 |MF |＝y 1＋1，|NF |＝y 2＋1，由(1)和m ＝2，知x 1x 2＝－8，x 1＋x 2＝4k ，所以|MF |·|NF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝(kx 1＋3)·(kx 2＋3)＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋9＝4k 2＋9，所以当k ＝0时， |MF |·|NF |取得最小值，且最小值为9.21．(12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PD ，AD ∥BC ，AD ＝CD ＝1，BC ＝2，二面角P ­CD ­A 为45°，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PC ―→＝3PF ―→.(1)求证：四边形ABCD 为直角梯形； (2)求二面角F ­AE ­D 的余弦值．解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD . 又因为PD ⊥CD ，PA ∩PD ＝P ， 所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥AD . 因为AD ∥BC ，且AD ≠BC ， 所以四边形ABCD 为直角梯形．(2)过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，则PA ⊥AM ，PA ⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以AM ，AD ，AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1，－1,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，由(1)知CD ⊥AD ，又CD ⊥PD ， 则∠PDA 为二面角P ­CD ­A 的平面角， 所以∠PDA ＝45°，PA ＝1，所以P (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，所以AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，PC ―→＝(1,1，－1)，AP ―→＝(0,0,1)，所以PF ―→＝13PC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13，AF ―→＝AP ―→＋PF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，23，设平面AEF 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE ―→＝0，n 1·AF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－1，x ＝－1，所以n 1＝(－1，－1,1)， 又平面PAD 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－13＝－33，由图知二面角F ­AE ­D 为钝角， 所以二面角F ­AE ­D 的余弦值为－33. 22．(12分)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的上、下两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 1与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，△MNF 2的面积为3，椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，若存在实数λ，使得OP ―→＝14OA ―→＋λ4OB ―→，求m 的取值范围．解：(1)由题意可得F 1(0，c )，则c 2a 2＋x 2b 2＝1，解得x ＝±b 2a，∴△MNF 2的面积S ＝12×2b 2a ×2c ＝2b 2ca ＝ 3.①∵椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍， ∴a ＝2b .② 又∵a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③解得a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程x 2＋y 24＝1.(2)当m ＝0时，则P (0,0)，由椭圆的对称性得AP ―→＝PB ―→，即OA ―→＋OB ―→＝0， ∴m ＝0时，存在实数λ，使得OP ―→＝14OA ―→＋λ4OB ―→.当m ≠0时，得OP ―→＝14OA ―→＋λ4OB ―→，∵A ，B ，P 三点共线，∴1＋λ＝4⇒λ＝3⇒AP ―→＝3PB ―→. 设A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2＋y 2－4＝0，得(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，由已知得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4)>0， 即k 2－m 2＋4>0，且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4.由AP ―→＝3PB ―→，得x 1＝－3x 2， 即3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0， ∴12k 2m 2k 2＋42＋4m 2－4k 2＋4＝0⇒m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0, 显然m 2＝1不成立，∴k 2＝4－m2m 2－1.∵k 2－m 2＋4>0，∴4－m 2m 2－1－m 2＋4>0，即4－m 2m 2m 2－1>0.解得－2<m <－1或1<m <2.综上所述，m 的取值范围为(－2，－1)∪(1,2)∪{0}．。

本 册 检 测考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{2，2k }，若B ⊆A ，则实数k 的值为( D )A ．1或2B ．12C ．1D ．2[解析] ∵集合A ＝{1,2}，B ＝{2，2k}，B ⊆A ，∴由集合元素的互异性及子集的概念可知2k＝1，解得k ＝2.故选D.2．(2021·全国高考乙卷理科)已知命题p ：∃x ∈R ，sin x <1；q ：∀x ∈R ，则e |x |≥1，则下列命题中为真命题的是( A )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈(p ∨q )[解析] 由于sin0＝0，所以命题p 为真命题；由于y ＝e x 在R 上为增函数，|x |≥0，所以e |x |≥e 0＝1，所以命题q 为真命题； 所以p ∧q 为真命题，綈p ∧q 、p ∧綈q 、綈(p ∨q )为假命题． 故选A.3．sin1，cos1，tan1的大小关系为( A ) A ．tan1>sin1>cos1 B ．sin1>tan1>cos1 C ．sin1>cos1>tan1D ．tan1>cos1>sin1[解析] ∵sin1>sin π4＝22，cos1<cos π4＝22，tan1>tan π4＝1，∴tan1>sin1>cos1.4．lg2－lg 15－e ln2－(14)－12＋(－2)2的值为( A )A ．－1B ．12C ．3D ．－5[解析] 原式＝lg2＋lg5－2－2＋2＝lg10－2＝1－2＝－1.故选A. 5．设角α＝－35π6，则2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋sin (π－α)－cos 2(π＋α)的值为( D )A ．12B ．32C ．22D ． 3[解析] 因为α＝－35π6，所以2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋sin (π－α)－cos 2(π＋α)＝2sin αcos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos αsin α＝cos (－35π6)sin (－35π6)＝cosπ6sinπ6＝ 3.故选D.6．若关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象可以是( D )[解析] 因为关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，所以函数y ＝f (x )与y ＝2的图象在(－∞，0)内有交点，观察题中图象可知只有D 中图象满足要求．7．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (13)＝0，则满足f (log18x )>0的x的取值范围是( B )A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞)C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12)[解析] 由题意知f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，所以f (|log18x |)>f (13)．因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以|log18x |>13，又x >0，解得0<x <12或x >2.8．(2021·四川绵阳高一检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )在一个周期内的图象如图所示，则要得到y ＝f (x )的图象可由函数y ＝cos x 的图象(纵坐标不变)( B )A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位长度B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向右平移π12个单位长度C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位长度D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π12个单位长度[解析] 由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )在一个周期内的图象可得A ＝1，14T ＝14·2πω＝π12＋π6，解得ω＝2.把点(π12，1)的坐标代入函数的解析式可得1＝sin(2×π12＋φ)， 即sin(π6＋φ)＝1.再由|φ|<π2，可得φ＝π3，故函数f (x )＝sin(2x ＋π3)．把函数y ＝cos x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，可得y ＝cos2x 的图象，再向右平移π12个单位长度可得y ＝cos2(x －π12)＝cos(2x －π6)＝sin[π2－(2x －π6)]＝sin(2π3－2x )＝sin[π－(π3＋2x )]＝sin(2x ＋π3)＝f (x )的图象．故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．将函数y ＝sin(x －π4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向左平移3π4个单位长度得g (x )的图象，则下列说法正确的是( ACD ) A ．g (x )是奇函数B ．x ＝π3是g (x )图象的一条对称轴C ．g (x )的图象关于点(3π，0)对称D ．2g (0)＝1[解析] 将函数y ＝sin(x －π4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得y ＝sin(x 3－π4)的图象，再向左平移3π4个单位长度得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫x ＋3π4－π4＝sin x3的图象，所以A 正确；因为g (π3)≠±1，所以B 错；因为g (3π)＝sin π＝0，所以C 正确；又g (0)＝0，所以2g (0)＝1，所以D 正确．综上，ACD 正确．10．已知0<a <b <1<c ，则下列不等式不成立的是( BD ) A ．a c <b c B ．c b <c a C ．log a c >log b cD ．sin a >sin b[解析] 取a ＝14，b ＝12，c ＝2，则(14)2<(12)2，A 成立；212>214，B 不成立；log142＝－12，log122＝－1，∴log142>log122，C 成立；∵0<a <b <1<π2，∴sin a <sin b ，D 不成立．故选BD.11．函数f (x )＝sin2x －3(cos 2x －sin 2x )的图象为C ，如下结论正确的是( ABC ) A ．f (x )的最小正周期为πB ．对任意的x ∈R ，都有f (x ＋π6)＋f (π6－x )＝0C ．f (x )在(－π12，5π12)上是增函数D ．由y ＝2sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C[解析] f (x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)，f (x )的最小正周期为π，故A 正确；f (π6)＝2sin(2×π6－π3)＝0，故图象关于(π6，0)对称，B 正确；当x ∈(－π12，5π12)时，2x －π3∈(－π2，π2)，所以f (x )在(－π12，5π12)上是增函数，C 正确；由y ＝2sin2x 向右平移π3个单位长度得到y ＝2sin2(x －π3)＝2sin(2x －2π3)的图象，故D 错误．故选ABC.12．下列命题正确的是( CD ) A ．∀x ∈(2，＋∞)，都有x 2>2xB ．“a ＝12”是函数“y ＝cos 22ax －sin 22ax 的最小正周期为π”的充要条件C ．命题p ：∃x 0∈R ，f (x 0)＝ax 20＋x 0＋a ＝0是假命题，则a ∈(－∞，－12)∪(12，＋∞)D ．已知α，β∈R ，则“α＝β”是“tan α＝tan β”的既不充分也不必要条件[解析] A 错，当x ＝4时，42＝24，故不等式不成立；B 错，y ＝cos 22ax －sin 22ax ＝cos4ax ，当a ＝12时，y ＝cos2x ，其最小正周期为2π2＝π；当a ＝－12时，y ＝cos(－2x )＝cos2x ，其最小正周期为π，故说法不正确；C 正确，因为p 为假命题，所以綈p 为真命题，即不存在x 0∈R ，使f (x 0)＝0，故Δ＝1－4a 2<0，且a ≠0，解得a >12或a <－12；D 正确，如果两个角为直角，那么它们的正切值不存在，反过来，如果两个角的正切值相等，那么它们可能相差k π(k ∈Z )，故反之不成立．综上，CD 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．化简2＋cos20°－sin 210°[解析]2＋cos20°－sin 210°＝2＋2cos 210°－1－sin 210°＝3cos 210°＝3cos10°.14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 130 元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的7折，则x 的最大值为 15 .[解析] (1)x ＝10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60＋80－10＝130元． (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，y <120元时，李明得到的金额为y ×80%，符合要求．y ≥120元时，有(y －x )×80%≥y ×70%恒成立， 即8(y －x )≥7y ，x ≤y 8，即x ≤(y8)min ＝15元，所以x 的最大值为15.15．已知函数g (x )＝f (x )＋x 2是奇函数，当x >0时，函数f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，则g (－1)＋g (－2)＝ －11 .[解析] ∵当x >0时，f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称， ∴当x >0时，f (x )＝2x ， ∴当x >0时，g (x )＝2x ＋x 2，又g (x )是奇函数，∴g (－1)＋g (－2)＝－[g (1)＋g (2)]＝－(2＋1＋4＋4)＝－11.16．函数f (x )＝a 2－x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点 (2,0) ，当a >1时，f (x 2)的单调递增区间为 (－∞，0] .[解析] 由2－x ＝0得x ＝2，此时，f (2)＝0，∴f (x )恒过定点(2,0)；当a >1时，f (x 2)＝a2－x 2－1，由复合函数同增异减可知，f (x )的递增区间为(－∞，0]．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin2α＋cos2α＋11＋tan α的值；(2)若cos αcos β＋sin αsin β＝0，求sin(α＋β)的值． [解析] (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝0，且0<β<α<π， ∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，log ax ，x >0，且点(4,2)在函数f (x )的图象上．(1)求函数f (x )的解析式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(2)求不等式f (x )<1的解集；(3)若方程f (x )－2m ＝0有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围． [解析] (1)∵点(4,2)在函数的图象上，∴f (4)＝log a 4＝2，解得a ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，log 2x ，x >0.函数的图象如图所示．(2)不等式f (x )<1等价于⎩⎨⎧x >0，log 2x <1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2<1，解得0<x <2或x <－1，∴原不等式的解集为{x |0<x <2或x <－1}． (3)∵方程f (x )－2m ＝0有两个不相等的实数根，∴函数y ＝2m 的图象与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点． 结合图象可得2m ≤2，解得m ≤1. ∴实数m 的取值范围为(－∞，1]．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos(π3＋x )·cos(π3－x )，g (x )＝12sin2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合．[解析] (1)f (x )＝(12cos x －32sin x )·(12cos x ＋32sin x )＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3(1－cos2x )8＝12cos2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x ) ＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π4)， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }．20．(本小题满分12分)某工厂现有职工320人，平均每人每年可创利20万元，该工厂打算购进一批智能机器人(每购进一台机器人，将有一名职工下岗)．据测算，如果购进智能机器人不超过100台，每购进一台机器人，所有留岗职工(机器人视为机器，不作为职工看待)在机器人的帮助下，每人每年多创利2千元，每台机器人购置费及日常维护费用折合后平均每年2万元，工厂为体现对职工的关心，给予下岗职工每人每年4万元补贴；如果购进智能机器人数量超过100台，则工厂的年利润y ＝8 202＋lg x 万元(x 为机器人台数且x <320)．(1)写出工厂的年利润y 与购进智能机器人台数x 的函数关系；(2)为获得最大经济效益，工厂应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少？(参考数据：lg2≈0.301 0)[解析] (1)当购进智能机器人台数x ≤100时， 工厂的年利润y ＝(320－x )(20＋0.2x )－4x －2x ＝－0.2x 2＋38x ＋6 400，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.2x 2＋38x ＋6 400，0≤x ≤100，x ∈N ，8 202＋lg x ，100<x <320，x ∈N .(2)由(1)知，当0≤x ≤100时，y ＝－0.2(x －95)2＋8 205， 当x ＝95时，y max ＝8 205；当x >100时，y ＝8 202＋lg x 为增函数，8 202＋lg x <8 202＋lg320＝8 202＋1＋5lg2≈ 8 204.505<8 205.综上可得，工厂购进95台智能机器人时获得最大经济效益，此时的最大年利润为8 205万元．21．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin(2x ＋π3)＋sin(2x －π3)＋2cos 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调减区间；(3)若函数g (x )＝f (x )－m 在区间[－π4，π4]上没有零点，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝12sin2x ＋32cos2x ＋12sin2x －32cos2x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1.∵ω＝2，∴T ＝π.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z .(3)作出函数y ＝f (x )在[－π4，π4]上的图象如图所示．函数g (x )无零点，即方程f (x )－m ＝0无解，亦即函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象在x ∈[－π4，π4]上无交点，从图象可看出f (x )在[－π4，π4]上的值域为[0，2＋1]，则m >2＋1或m <0.所以m 的取值范围为{x |m >2＋1或m <0}．22．(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋a2x ＋1是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判断并用定义证明该函数在定义域R 上的单调性；(3)若方程f (4x －b )＋f (－2x ＋1)＝0在(－3，log 23)内有解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)依题意得f (0)＝－1＋a2＝0，故a ＝1，此时f (x )＝－2x ＋12x ＋1，对任意x ∈R 均有f (－x )＝－2－x ＋12－x ＋1＝－1＋2x1＋2x ＝－f (x )，∴f (x )＝－2x ＋a2x ＋1是奇函数，∴a ＝1.(2)f (x )在R 上是减函数，证明如下：任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋12x 1＋1－－2x 2＋12x 2＋1＝(－2x 1＋1)(2x 2＋1)－(2x 1＋1)(－2x 2＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1).∵x 1<x 2，∴2x 1<2x 2， ∴2x 2－2x 1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴f (x 1)>f (x 2)．∴该函数在定义域R 上是减函数．(3)由函数f (x )为奇函数知，f (4x －b )＋f (－2 x ＋1)＝0⇔f (4x －b )＝f (2x ＋1)． 又函数f (x )是单调递减函数，从而4x －b ＝2x ＋1. 即方程b ＝4x －2x ＋1在(－3，log 23)内有解． 令y ＝g (x )＝4x －2x ＋1，只要b 在g (x )的值域内即可． ∵g (x )＝22x －2·2x ＝(2x －1)2－1，且2x ∈(18，3)，∴g (x )∈[－1,3)．∴当b ∈[－1,3)时，原方程在(－3，log 23)内有解．。

第一章集合与函数的概念章末小结一、选择题1.满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数是().A.4B.3C.2D.1【解析】∵M∪{1}={1,2,3},∴M={2,3}或{1,2,3}.【答案】C2.已知函数f(x)f(f(3))=().A.4B.9C.-3D.-2【解析】∵3>0,∴f(3)=1-3=-2.又-2<0,∴f(f(3))=f(-2)=(1+2)2=9.【答案】B3.若函数y=f(x)的定义域为集合A={x|0≤x≤2},值域为集合B={y|1≤y≤2},则这个函数的图象可能是().【解析】由函数定义知,A不合定义域要求,B中y值的取值不唯一,C不合值域要求,故选D.【答案】D4.已知y=f(x)是偶函数,且f(4)=5,则f(4)+f(-4)的值为().A.56B.10C.8D.不确定【解析】∵y=f(x)是偶函数,∴f(-4)=f(4)=5,∴f(4)+f(-4)=10.【答案】B5.如图,对应关系f是从A到B的映射的是().【解析】A选项中元素4,9在集合B中对应的元素不唯一,故不能构成A到B的映射,B,C选项中元素0在集合B中没有对应的元素,故选D.【答案】D6.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),0,则().A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)【解析】若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),∴f(x)在[0,+∞)上是减函数.∵3>2>1,∴f(3)<f(2)<f(1).又f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2),∴f(3)<f(-2)<f(1),故选A.【答案】A7.函数f(x)().【解析】因为f(x)C.【答案】C8.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是().A.f(x)=9x+8B.f(x)=3x+2C.f(x)=-3x-4D.f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4【解析】∵f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2,∴f(x)=3x+2.【答案】B9.已知f(x)为奇函数,在[3,6]上单调递增,且在[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)等于().A.-15B.-13C.-5D.5【解析】因为函数f(x)在[3,6]上是增函数,所以f(6)=8,f(3)=-1.又因为函数为奇函数,所以2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15.【答案】A10.已知函数f(x)=ax2+2(a-3)x+1在区间[-2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是().A.(-∞,3]B.[-3,0]C.[-3,0)D.[-2,0]【解析】当a=0时,函数f(x)为R上的减函数,所以在[-2,+∞)上也是减函数;当a≠0时,函数f(x)图象的对称轴为直线依题意有-3≤a<0.综上,实数a的取值范围为[-3,0].故选B.【答案】B11.已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)x的取值范围是().A BC D故选D.【答案】D12.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+2,则不等式2f(x)-1<0的解集是().ABCD【解析】因为f(x)为奇函数,所以当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-f(x)=-x+2,即f(x)=x-2.当x<0时,f(x)=x+2,由2f(x)-1<0,得2(x+2)-1<0,解得当x≥0时,f(x)=x-2,由2f(x)-1<0,得2(x-2)-1<0,解得综上可知,【答案】B二、填空题13.函数f(x)的定义域为.x≥-1且x≠2.∴函数的定义域是[-1,2)∪(2,+∞).【答案】[-1,2)∪(2,+∞)14.已知集合A={x|x≥2},B={x|x≥m},且A∪B=A,则实数m的取值范围是.【解析】∵A∪B=A,即B⊆A,∴实数m的取值范围为[2,+∞).【答案】[2,+∞)15.已知函数f(x)是奇函数,当1≤x≤4时,f(x)=x2-4x+5,则当-4≤x≤-1时,函数f(x)的最大值是.【解析】当1≤x≤4时,f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,其最小值为1.又函数f(x)是奇函数,∴当-4≤x≤-1时,函数f(x)的最大值为-1.【答案】-116.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若f(-1)=0,0的解集为.【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,f(1)=f(-1)=0.当x>0,f(x)<0时,解得x>1;当x<0,f(x)>0时,解得-1<x<0.故原不等式的解集为{x|-1<x<0或x>1}.【答案】{x|-1<x<0或x>1}三、解答题17.设A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+2=0},B⊆A.(1)写出集合A的所有子集;(2)若B为非空集合,求a的值.【解析】(1)由题可知A={1,2},所以集合A的所有子集是⌀,{1},{2},{1,2}.(2)因为B是非空集合,所以当集合B中只有一个元素时,由Δ=0,得a2-8=0,即a=±此时B=或{不满足B⊆A.当集合B中有两个元素时,由A=B,得a=3,综上可知,a的值为3.18.已知函数f(x)(1)求f(f(-1))的值.(2)若f(x0)>2,求实数x0的取值范围.【解析】(1)因为f(-1)=-(-1)+3=4,所以f(f(-1))=f(4)=4×4=16.(2)当x0≤0时,由f(x0)>2,得-x0+3>2,即x0<1,此时x0≤0;当x0>0时,由f(x0)>2,得4x0>2,即x0综上可得,实数x0的取值范围为(-∞19.已知全集为R,集合B={x|a-2<x≤a+3}.(1)当a=0时,求(R A)∩B;(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.【解析】(1)要使,0<x≤2,∴A=(0,2],∴R A=(-∞,0]∪(2,+∞).当a=0时,B=(-2,3],∴(R A)∩B=(-2,0]∪(2,3].(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.∵A=(0,2],-1≤a≤2.故实数a的取值范围为[-1,2].20.某省两相邻重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车.已知该车每次拖4节车厢,一天能来回16次,若每次拖7节车厢,则每天能来回10次.(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式.(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人.问:这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.【解析】(1)设每天来回y次,每次挂x节车厢,由题意设y=kx+b.当x=4时,y=16,当x=7时,y=10,所以16=4k+b,10=7k+b,解得k=-2,b=24,所以y=-2x+24.(2)设每天运营S节车厢,则S=xy=x(-2x+24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,所以当x=6时,S max=72,此时y=12,则每日最多运营人数为110×72=7920.故这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7920.21.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)若在区间[-1,1]上函数g(x)=f(x)-(2x+m)的图象与x轴无交点,求实数m的取值范围.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=1,∴c=1,∴f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x,∴2ax+a+b=2x,(x)=x2-x+1.(2)由题意知函数g(x)在[-1,1]上的最小值大于0.∵g(x)=x2-3x+1,其图象的对称轴为直线∴g(x)在区间[-1,1]上是减函数, ∴g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0,∴m<-1.故实数m的取值范围是(-∞,-1).22.已知函数f(x),且f(1)=2.(1)求a,b的值;(2)当0<x≤1时,判断函数f(x)的单调性,并给予证明;(3)求函数f(x).【解析】(1)∵函数f(x),且f(1)=2.∴f(-1)=-f(1)=-2.(2)由(1)知f(x)==x+.f(x)(0,1]上为减函数.证明如下:任取0<x1<x2≤1,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)=(x1-x2)(x1-x2∵x1-x2<0,10,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)(0,1]上为减函数.(3)由(2)知f(x),∴函数f(x)最小值为f(1)=2.。

某某省某某市赣榆县海头高级中学高中数学 滚动练习1 新人教A 版必修1一、填空题1．已知集合}4,3,2,1{-=A ，},22|{2A x x x y y B ∈+-==，若用列举法表示集合B ，则=B ；2．全集}7,6,5,4,3,2,1{=U }5,4,3,2,1{=P ，}7,6,5,4,3{=Q ，则=Q C P U ；3．设}1|{->=x x A ，}3|{≤=x x B ，则=B A ；4．设集合}3,1,1{-=A ，}42{2++=a a B ，，}3{=B A ，则实数=a ；5．若集合}023|{2=+-=x ax x A 的子集只有两个，则实数=a ；6．集合}06|{2=-+=x x x A ，}01|{=+=mx x B ，且A B A = ，则m 的取值X 围是；7．函数xx y -=2的定义域为； 8．已知函数⎩⎨⎧<≥+=0,0,1)(2x x x x x f ，则=-))2((f f ； 9．函数x x y 21-+=的值域为；10．已知函数n mx x x f +-=2)(，且1)1(-=f ，m n f =)(，则=-)5(f ；11．若函数432--=x x y 的定义域为]230[，，则值域为； 12．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,20,1)(2x x x x x f ，且10)(=x f ，则=x ； 13．已知32)(+=x cx x f （23≠x ），且满足x x f f =))((则=c ； 14．已知函数2)(x x f =，值域为}41{，的函数共有个。

二、解答题15．已知数集}31{2-+=，，a a A 与数集}123{2+--=a a a B ，，，若}3{-=B A ，求B A 。

16．求下列函数的定义域：（1）13121112---++=x x x y ；（2）x x x y -+=||)1(0；（3）已知函数)(x f 的定义域为)20(，，求)12(-x f 的定义域。

滚动检测(一)集合(时间：45分钟 满分：75分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}解析：∵U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B ＝{1,3,4,6,7}，∴∁U B ＝{2,5,8}，∴A ∩(∁U B )＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．答案：A2．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：A ＝{2,5,8,11,14,17，…}，A ∩B ＝{8,14}，故选D. 答案：D3．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：由A ＝{x |x 2－2x ＞0}得A ＝{x |x ＜0或x ＞2}，又B ＝{x |－5＜x ＜5}，所以A ∪B ＝R .答案：B4．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，－12，该集合中共有3个元素．答案：B5．已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：由题意得集合A ＝{0,1}，图中阴影部分所表示的集合是不在集合A 中，但在集合B 中的元素的集合，即(∁U A )∩B ，易知(∁U A )∩B ＝{－1,2}，故图中阴影部分所表示的集合为{－1,2}．正确选项为A.答案：A6．若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值X 围为( )A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9]解析：依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值X 围是(6,9]．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中的横线上) 7．已知集合A ＝{0,2,3}，B ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈A 且a ≠b }，则B 的子集有________个． 解析：∵A ＝{0,2,3}，B ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈A 且a ≠b }，∴B＝{0,6}，∴B的子集共有22＝4个．答案：48．已知集合A＝{－2,1,2}，B＝{a＋1，a}，且B⊆A，则实数a的值是________．解析：本题主要考查集合的子集关系的逆用．因为集合A＝{－2,1,2}，B＝{a＋1，a}，且B⊆A，所以a∈A，a＋1∈A，且a≥0.所以a＝1.答案：19．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．答案：810．如果集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}只有一个元素，则实数a的值为________．解析：若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}只有一个元素，则方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个解．当a＝0时，方程可化为2x＋1＝0，满足条件；当a≠0时，二次方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个解，则Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.综上满足条件的a的值为0或1.答案：0或1三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)11．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－3x－10的两个零点为x1，x2(x1<x2)，设A ＝{x|x≤x1，或x≥x2}，B＝{x|2m－1<x<3m＋2}，且A∩B＝∅，某某数m的取值X围．解：A ＝{x |x ≤－2，或x ≥5}． 要使A ∩B ＝∅，必有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥－2，3m ＋2≤5，3m ＋2>2m －1，或3m ＋2≤2m －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤1，m >－3，或m ≤－3，即－12≤m ≤1，或m ≤－3.所以m 的取值X 围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪－12≤m ≤1或m ≤－3.12．(本小题满分13分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}，(1)若A ∩B ＝{2}，某某数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，某某数a 的取值X 围；(3)若U ＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，某某数a 的取值X 围．解：(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中方程，得a 2＋4a ＋3＝0， 所以a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{－2,2}，满足条件； 当a ＝－3时，B ＝{2}，也满足条件． 综上得a 的值为－1或－3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .①当Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)＜0，即a ＜－3时，B ＝∅满足条件； ②当Δ＝0 即a ＝－3时，B ＝{2}，满足要求；③当Δ＞0，即a ＞－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足要求，不可能． 综上可知a 的取值X 围是a ≤－3.(3)∵A ∩(∁U B )＝A ，∴A ⊆(∁U B )，∴A ∩B ＝∅. ①当Δ＜0 即a ＜－3时，B ＝∅满足要求；②当Δ＝0 即a ＝－3时，B ＝{2}，A ∩B ＝{2}不满足条件； ③当Δ＞0，即a ＞－3时，此时只需1∉B 且2∉B 即可． 将x ＝2代入B 中方程，得a ＝－1或a ＝－3；将x＝1代入B中方程，得a＝－1±3，∴a＞－3且a≠－1且a≠－1± 3.综上，a的取值X围是a＜－3或－3＜a＜－1－3或－1－3＜a＜－1或－1＜a＜－1＋3或a＞－1＋ 3.。

第二、三章滚动性检测 时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{y |y ＝log 3x ，x >1}，B ＝⎝⎛⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，x >1，则A ∩B ＝( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪0<y <13 B ．{y |0<y <1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪13<y <1 D ．∅ 答案：A解析：由x >1可得y ＝log 3x >log 31＝0，y ＝⎝⎛⎭⎫13x <⎝⎛⎭⎫131＝13，因此A ＝{y |y >0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪0<y <13，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪0<y <13，选A. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，3x (x ≤0)，)则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A ．9 B.19C ．－9D ．－19答案：B解析：f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14＝f ⎝⎛⎭⎫log 214＝f (log 22－2)＝f (－2)＝3－2＝19，故选B. 3．函数的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ B ．(－∞，1] C.⎝⎛⎦⎤34，1 D ．[1，＋∞) 答案：C解析：由对数的真数大于0且根号内非负可知4x －3>0且log 12(4x －3)≥0，即4x －3>0且0<4x －3≤1，解得34<x ≤1，选C.4．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 20.3，则( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >b >c 答案：D解析：显然a ＝20.5＝2>1,0＝log π1<log π3<log ππ＝1，即0<b <1，c ＝log 20.3<log 21＝0，因此a >b >c ，选D.5．一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价(每次提价幅度相同)恢复原价，则每次应提价( )A ．10%B ．20%C ．5%D ．11.1% 答案：D解析：设原价为a ，则两次降价后价格为0.81a ＝81100a .设每次提价x ，则81100a (1＋x )2＝a ，于是1＋x ＝109.即x ＝19≈11.1%6．某农村在2003年年底共有人口1500人，全年工农业生产总值为3000万元，从2004年起该村的总产值每年增加50万元，人口每年净增25人．设从2004年起的第x 年年底(2004年为第一年，x ∈N *)该村人均产值为y 万元．则到2014年底该村人均产值y 是( )A ．1万元B ．1.5万元C ．2万元D ．2.5万元 答案：C解析：由题意得，第x 年总产值为3000＋50x 万元，人口数为1500＋25x ，则x ＝f (x )＝3000＋5x1500＋25x，x ∈[1,10]，x ∈N *.当x ＝11时，y ＝2(万元)．7．已知函数f (x )的定义域为R ，f (x )在R 上是减函数，若f (x )的一个零点为1，则不等式f (2x －1)>0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．(1，＋∞) D ．(－∞，1) 答案：D解析：由f (x )是定义在R 上的减函数且f (x )的一个零点为1，易知当x <1时f (x )>0，所以f (2x －1)>0等价于2x －1<1，解得x <1，因此选D.8．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．－1,1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．1,3 答案：D解析：当α＝－1时，y ＝1x，此时x 不能为0，因此不符合；当α＝1时，y ＝x ，显然定义域为R 且为奇函数，因此符合；当α＝12时，y ＝x ，此时x 不能为负数，因此不符合；当α＝3时，y ＝x 3，显然定义域为R 且为奇函数，因此符合，所以所有符合条件的α值包括1,3，选D.9．已知函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)，则函数y ＝f (x )的图象是( )答案：A解析：由f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)可知函数必为减函数，而且是指数函数，因此显然只有A 符合．。

2021年高中数学 1.1集合课后检测题新人教A版必修1一、选择题（每小题只有一个正确选项）1、设集合A={x|x参加游泳比赛的同学}，B={y|y参加跳高比赛的同学}，对于“既参加游泳比赛又参加跳高的同学”用集合运算表示为（）A、ABB、C、ABD、B A2、设全集I={1，2,3,4},A={1，2，3}，B={1,5},则= （）A、{5}B、{1,2,3,5}C、{1,3,5}D、{1,4,5}3、设,若,则（）A、0B、C、0或D、0或4、设全集}1|{},3|{,-<=<<-==xxBxxARU则图中阴影部分表示的集合为（）A、B、C、D、5、设集合,集合,, 满足且,那么满足条件的集合A的个数为（）A．84 B．83 C．78 D．76二、填空题(第46、已知集合A={x|x+y-1=0}，B={y|y=x2-1}，则AB=_________7、已知集合，若，则实数=______.8、若集合有且仅有2个子集,则实数的值为______。

三、解答题9、设全集={是小于9的正整数}，若，求集合B.10、已知集合A=｛x|<1x<3｝，B=｛x|x> m-1｝。

（1）若m=1，求;（2）若AB=，求实数m的取值范围。

H)37826 93C2 鏂]36933 9045 遅31660 7BAC 箬q28534 6F76 潶|&36125 8D1D 贝25686 6456 摖28088 6DB8 涸25855 64FF 擿。

2014级高一年数学集合测试题(01)(生)班级： _____ 姓名：_____________________ 座号：____________ 成绩：____________一、选择题(每小题6分，计6X 12=72分)1. [2014 •北京卷]若集合A= {0 , 1, 2, 4}, B= {1 , 2, 3}，贝U AA B=( )A. {0,1, 2, 3, 4} B . {0 , 4} C . {1 , 2} D . {3}2. [2014 •浙江卷]设集合S= {x|x>2}, T= {x| x<5}，贝U SA T=( )5.下列表示① M 一工②亠‘ -③④-=中，正确的个数为()(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(A) { 2, 1,0,1} (B) { 3, 2, 1,0} (C) { 2, 1,0} (D) { 3, 2, 1}7.若集合止、3、：，满足「匚」，「_「-,则上与匸之间的关系为( )(A)-■(B)；…二(C) 一一「(D) : 1J孟十y-3&下列集合中，表示方程组「的解集的是( )(A) ；「(B) •：「(C) (D) 「二•9.设- '一 | - ，若討丿占，则实数工的取值范围是( )(A)「丨「二(B)「( C) .■I' - (D) 1 ' I ■■ - 110•已知全集合，，「■•「=，那么'7是( )(A) —(B) “■(C) (D)二11.如图所示，」M, F,是厂的三个子集，则阴影部分所表示的集合是(A)二…一「一( B) 一「-( C) ( D」Mrip)u 於)12•设全集-一 ' ' ，右, _， I * [ •--- ，则下列结论正确的是()(A) U 且―-(B) 且一、(C)三二且「( D) U 且，「请将选择题的答案填入下表:题号123456789101112答案:二、填空题（每小题5分，计54=20分）A. ( -m, 5] B . [2，卄 C. (2 , 5) D . [2 , 5]3. 下列集合中，结果「是空集的为( )(A)丘尺|只-4i= o}(B){x | 工 > 9 或x u 匀(C))(■刃= 04. (2014福建文)若集合P x2x 4 ,Q x x 3 ,则P Q等于( )A.x 3 x 4B. x3x4C. x2x3D. x2x3(D)6.( 2013年高考课标H卷(文))已知集合M{x| 3 x 1} , N { 3, 2, 1,0,1}，则Ml N13. （2013 年高考湖南（文））已知集合U {2,3,6,8}, A {2,3}, B {2,6,8},则（p A） I B _____________14. 【2012高考上海文2】若集合A x2x 1 0 r，B x||x 1 ，则"A B = _______________15. [ 2012高考天津文科9】集合A x R|x 2 5中最小整数是16 •已知集合"卜A = 去],牛/ 4力，“打,则集合P「IQ二______________________________三、解答题（8分）仃.设全集合一「.，4 ；」一■•・、，，：1一，'',求「-；,一_ 匸，「.亠''.,-i.-' I -。