对数(2)

对数函数（二）教学任务：（1）进一步理解对数函数的图象和性质；（2）熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；（3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点：对数函数的图象和性质． 教学难点：对对数函数的性质的综合运用． 教学过程： 一、 回顾与总结 1． 函数xy x y x y lg ,log ,log 52===的图象如图所示，回答下列问题．（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么？（2）函数x y a log =与x y a1log =,0(>a 且)0≠a 有什么关系？图象之间 又有什么特殊的关系？○1 ○2 ○3（3）以x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象为基础，在同一坐标系中画出x y x y x y 1015121log ,log ,log ===的图象．（4）已知函数xy x y x y x y a a a a4321log ,log ,log ,log ====的图象，则底数之间的关系： ．教log =y x a1 log =y x a2 log =y x a3 log =y x a42． 完成下表（对数函数x y a log =,0(>a 且)0≠a 的图象和性质）3． 根据对数函数的图象和性质填空． ○1 已知函数x y 2log =，则当0>x 时，∈y ；当1>x 时，∈y；当10<<x 时，∈y ；当4>x 时，∈y．○1 已知函数x y 31log =，则当10<<x 时，∈y ；当1>x 时，∈y ；当5>x 时，∈y ；当20<<x 时，∈y；当2>y 时，∈x ．二、 应用举例例1． 比较大小：○1πa log ，e a log ,0(>a 且)0≠a ；○2 21log 2，)1(log 22++a a )(R a ∈． 解：（略）例2．已知)13(log -a a 恒为正数，求a 的取值范围． 解：（略）[总结点评]：（由学生独立思考，师生共同归纳概括）．．例3．求函数)78lg()(2-+-=x x x f 的定义域及值域． 解：（略）注意：函数值域的求法．例4．（1）函数x y a log =在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a 的值；（2）求函数)106(log 23++=x x y 的最小值． 解：（略）注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法．例5．（2003年上海高考题）已知函数xx xx f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性． 解：（略）注意：判断函数奇偶性和单调性的方法，规范判断函数奇偶性和单调性的步骤．例6．求函数)54(log )(22.0++-=x x y x f 的单调区间． 解：（略）注意：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减”． 练习：求函数)23(log 221x x y --=的单调区间．三、 作业布置 考试卷一套。

3.2.1对数（2）教学背景：1．面向学生：高中2．学科：数学教材分析:"对数与对数运算"作为高一新教材的内容,被安排在第一册第二章"基本初等函数"的第二节,共分三个课时完成,对数概念为第一课时.对数概念对于高一的学生来讲是一个全新的概念.此前,学生已学习了指数及指数函数,明白了指数运算是已知底数和指数求幂值,而对数则是已知底数和幂值求指数,二者是互逆的关系.对数概念的引入,是研究学习后续知识对数函数与性质的必备基础知识．学习本节课，要体现本节内容的基础性、工具性、实用性．教学目标：1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题；2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力；3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神．教学重点：对数的运算法则及推导与应用；教学难点：对数的运算法则及推导．教学过程：一、情境创设1．复习对数的定义．2．情境问题（1）已知log a2＝m，log a3＝n，求a m n的值．（2）设log a M＝m，log a N＝n，能否用m，n表示log a(M·N)呢？二、数学建构1．对数的运算性质．（1）log a (M ·N )＝log a M ＋log a N (a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0)；（2）log a M N＝log a M －log a N (a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0)； （3）log a M n ＝n log a M (a ＞0，a ≠1，M ＞0，n ∈R )．2．对数运算性质的推导与证明由于a m ·a n ＝a m +n ，设M ＝a m ，N ＝a n ，于是MN ＝a m +n ．由对数的定义得到log a M ＝m ，log a N ＝n ，log a （M ·N ）＝m +n ．所以有 log a （M ·N ）＝log a M +log a N ．仿照上述过程，同样地由a m ÷a n ＝a m -n 和(a m )n ＝a mn 分别得出对数运算的其 他性质．三、数学应用例1 求值．（1）log 5125；（2）log 2(23·45)；（3）(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2； （4）．例2 已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值(结果保留4位小数)：（1）lg12； （2）2716lg ； （3）例3 设lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，求log 4a b的值． 例4 求方程lg(4x ＋2)＝lg2x ＋lg3的解．练习：1．下列命题：（1）lg2·lg3＝lg5；（2）lg 23＝lg9；（3）若log a (M ＋N )＝b ，则M ＋N ＝a b ；（4）若log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，则M ＝N ．其中真命题有 （请写出所有真命题的序号）．2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，试用含a ，b 的代数式表示下列各式：（1）lg54； （2）lg2.4； （3）g45．3．化简：（1）333322log 2log log 89-+； （2）211)；（3）333log log log 2+-．4．若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，求x y的值． 四、小结1．对数的运算性质；2．对数运算性质的应用．五、作业课本P 76习题2，4．六、课后探究化简：（1）2|log 0.2|12-；（2）lg3lg223-．教学反思： 著名数学家哈墨斯曾经说过：“问题是数学的心脏！”考虑到在知识方面，学生已经在前一节课上学习了对数的概念并会进行简单的对数计算，能够进行对数式与指数式的相互转化，学生还熟知指数的运算性质.有这些已有知识作为基础，我再设计合理的导学案，是能让学生主动参与课堂的，并能自主完成探究、发现、证明、应用的全过程的。

22.对数（2）教学目标：理解并学会运用对数运算性质进行化简、求值，知道用换底公式能将一般对数转换成常用对数或自然对数问题.教学过程：一、引入我们知道，指数运算有如下性质：n m n m a a a +=⋅， n m n ma aa -=， mn n m a a =)(. 那么，对数运算也有相应的性质吗？二、建构?)42(log 2=⨯ ?4l o g 2l o g 22=+ 5lg 3lg )53lg(+=⨯（计算器） 那么N M MN lg lg )lg(+=吗？令m a M =，n a N =，则M m a log =，N n a log =，又n m aMN +=，则)(log MN n m a =+， 故有N M MN lg lg )lg(+= ① 类似地，N M NM lg lg )lg(-= ② M n M a n a log log = ③说明：（1）①②③式称为对数的运算性质；（2）对数运算性质成立的条件是：0,0,1,0>>≠>N M a a .（3）对数运算性质的作用是：使乘除运算变为加减运算.例1 求下列各式的值：（1）352log (24)⨯ （2）5lg 2lg + （3）5log 45log 33-注意：对数运算性质正向、反向运用.例2 已知3010.02lg ≈，4771.03lg ≈，求下列各式的值（结果保留4位小数）：（1）lg12 （2）27lg16 （3）25lg练习：书P60 1，2，3例3 用常用对数表示5log 3.说明：)0,1,1,0,(log log log >≠≠>=N c a c a a N N c c a 且，此公式称为对数换底公式.例4求83log 9log 32⨯的值.例5 求方程5.084.0=x 近似解.三、小结1. 对数运算性质①②③；2. 换底公式四、作业。

课时作业35 对数的运算(2)知识点一 换底公式的应用1.若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 答案 A解析 ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x (abc )＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1.2．已知log 189＝a,18b ＝5，用a ，b 表示log 3645的值． 解 解法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b . 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a .解法二：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b . 于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a .解法三：∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18， lg 5＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a. 3．设3x＝4y＝36，求2x ＋1y 的值．解 由已知分别求出x 和y ，∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364，∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. 4．计算： (1)log 89×log 2732； (2)log 927；(3)log 21125×log 3132×log 513； (4)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)． 解 (1)log 89×log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27 ＝lg 32lg 23×lg 25lg 33＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝109. (2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(3)log 21125×log 3132×log 513 ＝log 25－3×log 32－5×log 53－1 ＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53) ＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15.(4)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝12＋14＋13＋16＝54.知识点二 对数在实际中的应用5.测定古植物的年代，可用放射性碳法．在植物内部含有微量的放射性元素14C ，在植物死亡后，新陈代谢停止，14C 就不再产生，且原有的14C 会自动衰变，经过5730年(14C 的半衰期)它们的残余量就只有原始含量的12.经过科学测定，若14C 的原始含量为a ，则经过t 年后的残余量a ′与a 之间满足关系式a ′＝a ·e －kt.现有一出土古植物，其中的14C 的残余量占原始含量的87.9%，试推算出这个古植物生活的年代．(lg 2≈0.301，lg 0.879≈－0.056)解 因为a ′＝a ·e －kt，所以a ′a ＝e －kt.两边取以10为底的对数，得lg a ′a ＝－kt lg e.因为14C 的半衰期是5730年，即当t ＝5730时，a ′a ＝12. 所以lg 12＝－5730k lg e. 所以k lg e ＝lg 25730，所以t ＝－5730lg 2·lg a ′a ，此式为计算古植物年代的公式． 因为a ′a ＝0.879，所以t ＝－5730lg 2·lg 0.879≈1066. 答：这个古植物约生活在1066年前. 易错点 运用换底公式不熟练致误 6.log 29×log 34＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误．答案 D正解 log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3 ＝2×2＝4.一、选择题1.log 29log 23＝( )A.12 B ．2 C.32 D.92 答案 B解析 由换底公式log 39＝log 29log 23.∵log 39＝2，∴log 29log 23＝2.2．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．ab D.ab 答案 C解析 log 27＝log 23×log 37＝ab .3．设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m . 1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10. 又∵m >0，∴m ＝10，选A.答案 C5．已知2a ＝3b ＝k (k ≠1)，且2a ＋b ＝ab ，则实数k 的值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18 答案 D解析 ∵2a＝3b＝k (k ≠1)，∴a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，∴1a ＝log k 2，1b ＝log k 3，∵2a ＋b ＝ab ，∴2b ＋1a ＝2log k 3＋log k 2＝log k 9＋log k 2＝log k 18＝1，∴k ＝18.二、填空题6．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________． 答案 4解析 由换底公式得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)． ∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)， 即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5.∴x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1.又∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x ＋5>0，∴x >1，故x ＝4.答案 28．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________． 答案 81解析 log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg blg 3＝4，所以lg b ＝4lg 3＝lg 34＝lg 81，∴b ＝81.三、解答题9．求值：(1)lg 5＋lg 20；(2)log 89·log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57.解 (1)lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1.(2)log 89·log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57＝lg 9lg 8×lg 32lg 27－1＋log 5357＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3－1＋1＝109.10．2016年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2016年的2倍(lg 2≈0.3010，lg 1.08≈0.0334，精确到1年)．解 设经过x 年国民生产总值为2016年的2倍． 经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)， 经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2， ……经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ， ∴1.08x ＝2，两边取常用对数，得x ·lg 1.08＝lg 2. ∴x ＝lg 2lg 1.08≈0.30100.0334≈9.故约经过9年，国民生产总值是2016年的2倍．。