第8-21届希望杯全国数学邀请赛(初二)试题

希望杯第一届（1990）第二试试题 (1)希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题 (5)希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题 (10)希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题 (18)希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 (24)希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题 (26)希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题 (32)第六届(1995年)初中二年级第一试试题 (45)希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题 (50)希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题 (56)希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 (62)希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题 (72)希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 (79)第九届（1998年）初中二年级第一试试题 (88)希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 (98)1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (108)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试 (111)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试 (114)2001年希望杯第十二届初中二年级第一试试题 (119)2001年希望杯第12届八年级第2试试题 (122)2002年第十三届全国数学邀请赛初二年级第一试 (129)2002年度初二“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (132)2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (139)2003年第十四届“希望杯”(初二笫2试) (142)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 (148)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (151)2005年第十六届希望杯初二第1试试题 (157)2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (159)2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (163)2006年第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 (166)2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 (171)2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (173)2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 (179)2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (183)2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (186)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (193)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (195)2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (201)希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ]A．7.5 B．12. C．4. D．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ]A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N.B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2． 2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____. 3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=300,三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列n 1＜n 2＜n 3＜n 4……，试求：n 1·n 2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( ) A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( )A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( )A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 27.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为的x 2、y 2的值是( )A.x 2y 22，y 2C. x 2y 22，y 29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( )A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b a a b +等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______. 6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++______.10．已知两数积ab ≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则ab=______.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989 (1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

八年级数学竞赛试题一．精心选一选（本题共10小题，每题3分，共30分．请把你认为正确结论的代号填入下面表格中）1．16的算术平方根是 （ ）A ． 2B ． ±2C ．4D ． ±42．在实数23-，0，34，π，9中，无理数有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列图形中，是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（ ）4．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′关于直线l 对称，则∠B 的度数为 （ ）A ．30oB ．50oC ．90oD ．100o5．如果实数y 、x 满足y=111+-+-x x ，那么3y x +的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-2 6．与三角形三个顶点的距离相等的点是 （ ） A ．三条角平分线的交点 B ．三边中线的点C ．三边上高所在直线的交点D ．三边的垂直平分线的交点7．如图，已知∠1=∠2，AC=AD ，增加下列条件：①AB=AE ；②BC=ED ；③∠C=∠D ；④∠B=∠E ．其中能使 △AB C ≌△AED 的条件有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A 处，则点A 表示的数是（ ）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案A ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．A CA ′B ′′ （第4题） 50o30ol 第7题图12C AE DA ．211 B ．1.4 C ．3 D ．29．如图，在直角坐标系xoy 中，△ABC 关于直线y =1成轴对称，已知点A 坐标是（4，4），则点B 的坐标是 （ ）A ．（4，－4）B ．（4，－2）C ．（－2，4）D ．（－4，2）10．一个正方体的体积是99，估计它的棱长的大小在 （ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间二．耐心填一填（每题3分，共18分，直接写出结果） 11．计算︱2-3︱+２2的结果是 ．12．若25x 2=36，则x ＝ ；若23-=y ，则y ＝ ．13．点P 关于x 轴对称的点是（3，–4），则点P 关于y 轴对称的点的坐标是 ．14．如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件：，使OC OD =（只添一个即可）． 15．等腰三角形的一个外角等于110︒，则这个三角形的顶角应该为 ．16．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：n ＝（用含三．计算题（计算要认真仔细，善于思考！本大题有3个小题，共24分） 17．（8分）计算 ()32281442⨯+--）（第16题DO CBA第14题图18．（8分）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简222)(b a b a -+-19．（8分）如图， AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm ，求四边形ABCD 的周长．四．解答题（本大题有3个小题，共26分） 20．（8分）某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地上建花坛，要求设计的图案由等腰三角形和正方形组成（个数不限），并且使整个长方形场地成轴对称图形，你有好的设计方案吗？请在如图的长方形中画出你的设计方案。

第十八届”希望杯“全国数学邀请赛初二 第一试一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

1． 下列运动属于平移的是（ ）（A ）乒乓球比赛中乒乓球的运动． （B ）推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行．（C ）空中放飞的风筝的运动． （D ）篮球运动员投出的篮球的运动．2． 若x =1满足2220mx m x m --=，则m 的值是（ ）（A ）0． （B ）1． （C ）0或1． （D ）任意实数．3． 如图1，将△APB 绕点B 按逆时针方向旋转90后得到△A P B ''，若BP=2，那么PP '的长为( )（A ）． （B ． （C ）2 ． （D ）3．4．已知a 是正整数，方程组48326ax y x y +=⎧⎨+=⎩ 的解满足x >0，y <0，则a 的值是（ ） （A ）4 ． （B ）5 ． （C ）6． （D ）4，5，6以外的其它正整数．5．让k 依次取1，2，3,…等自然数，当取到某一个数之后，以下四个代数式：①k+2；②k 2； ③2 k ；④2 k 就排成一个不变的大小顺序，这个顺序是（ ）（A ）①<②<③<④． （B ）②<①<③<④．(C) ①<③<②<④． (D) ③<②<①<④．6．已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10 , 那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（ ）（A ）40 ． （B ） （C ）20． （D ）7． Let a be the length of a diagonal of a square, b and c be the length of two diagonals of a rhombus respectively. If ::b a a c =,then the ratio of area of the square and rhombus is ( )（A ）1：1． （B ）2． （C ）1 （D ）1：2．(英汉词典：length 长度；diagonal 对角线；square 正方形；rhombus 菱形；respectively 分别地；ratio 比；area 面积)8．直角三角形有一条边长为11，另外两边的长是自然数，那么它的周长等于（ ）．（A ）132． （B ）121． （C ）120． （D ）111．9．若三角形三边的长均能使代数式是2918x x -+的值为零，则此三角形的周长是（ ）．（A ）9或18． （B ）12或15 ． （C ）9或15或18． （D ）9或12或15或18．10． 如图2，A 、B 、C 、D 是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面D 上放了写有字母“G”的纸片，某人站在M 处可以看到镜面D 上的字母G 在镜面A 、B 、C 中的影像，则下列判断中正确的是（ ）（A ）镜面A 与B 中的影像一致 ． （B ）镜面B 与C 中的影像一致 ．（C ）镜面A 与C 中的影像一致 ． （D ）在镜面B 中的影像是“G”．二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．如图3，在 △BMN 中，BM=6，点A 、C 、D 分别在MB 、BN 、MN 上，且四边形ABCD 是平行四边形，∠NDC=∠MDA ，则平行四边ABCD 的周长是 ．12．如果实数a ≠b ，且101101a b a b a b ++=++，那么a b +的值等于 ．13．已知a x =M 的立方根，y =x 的相反数，且M =37a -，那么x 的平方根是 ．14．如图4，圆柱体饮料瓶的高是12厘米，上、下底面的直径是6厘米．上底面开有一个小孔供插吸管用，小孔距离上底面圆心2厘米，那么吸管在饮料瓶中的长度最多是 厘米．15．小杨在商店购买了a 件甲种商品，b 件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件7元，乙种商品每件19元，那么a b +的最大值是 ．16．ABC △ 是边长为D 在三角形内，到边AB 的距离是1，到A 点的距离是2，点E 和点D 关于边AB 对称，点F 和点E 关于边AC 对称，则点F 到BC 的距离是 ．17．如图5，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20，再沿直线前进10米后，又向左转20，……，这样下去，他第一次回到出发地M 时，行走了 米．18．关于x 的不等式123x x -+-≤的所有整数解的和是 ．19．已知点（1，2）在反比例函数a y x=所确定的曲线上，并且该反比例函数和一次函数1y x =+ 在x b =时的值相等，则b 等于 ．20．如图6，大五边形由若干个白色和灰色的多边形拼接而成，这些多边形（不包括大五边形）的所有内角和等于 ．三、B 组填空题（每小题8分，共40分，每一题两个空，每空4分）21．解分式方程 225111m x x x +=+--会产生增根，则m = 或 ． 22．Let A abcd = be a four-digit number. If 400abcd is a square of an integer, thenA= 或 ．（英汉词典：four-digit number 四位数；square 平方、平方数；integer 整数）23．国家规定的个人稿酬纳税办法是：①不超过800元的不纳税；②超过800元而不超过4000元的，超过800元的部分按14%纳税；③超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人编写了两本书，其中一本书的稿酬不超过4000元，第二本书的稿酬比第一本书多700元，两本书共纳税915元，则两本书的稿酬分别是= 元和 元．24．直线l 交反比例函数y x=的图象于点A ，交x 轴于点B ，点A 、B 与坐标原点o 构成等边三角形，则直线l 的函数解析式为 或 ．25．若n 是质数，且分数417n n -+不约分或经过约分后是一个最简分数的平方，则n 或 ．。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试一、选择题(每小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字母写在1、将a 千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x 千克，则由此可列出方程为( ) A 、%)151)(x a (%)101(a -+=- B 、%15)x a (%10a ⨯+=⨯ C 、%15a x %10a ⨯=+⨯ D 、%)151(x %)101(a -=-2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a ，b 的关系是( ) A 、%a 1a 100b +=B 、%a 1100b +=C 、a 1a b +=D 、a100a100b +=3、当1x ≥时，不等式|2x |m 1x |1x |--≥-++恒成立，那么实数m 的最大值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数1x 2y -=与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有( )A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个5、The sum of all such integers x that satisfy inequality 6|1x 2|2≤-≤ is ( ) A 、8 B 、5 C 、2 D 、0(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy 满足；inequality 不等式)6、若三角形的三条边的长分别为a ，b ，c ，且0b c b c a b a 3222=-+-，则这个三角形一定是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等三角形 D 、等腰直角三角形7、As shown in figure 1，point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square. AG intersects BD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( ) A 、316 B 、38C 、4D 、5 (英汉词典：square 正方形；intersect …at … 与…相交于…) 8、1215-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 9、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+-=++0a y 2bx 01ay x 没有实数解，则( )A 、2ab -=B 、2ab -=且1a ≠C 、2ab -≠D 、2ab -=且2a ≠10、如图2，∠AOB=45°，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OB 于点C ， 若PC=2，则OC 的长是( )A 、7B 、6C 、222+D 、32+二、A 组填空题(每小题4分，共40分) 11、化简：5252549+=++；12、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=--=+2y 3x 21k y 2x 3的解使2y 7x 4>+，则k 的取值范围是3k >；figure 1A O BP C 2 图213、如图3，平行于BC 的线段MN 把等边△ABC 分成一个 三角形和一个四边形，已知△AMN 和四边形MBCN 的周长相 等，则BC 与MN 的长度之比是 4:3 ；14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟， 停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，……，又知8月份 这台冰箱的耗电量是24.18度 (1度=1千瓦时)，则这台冰箱的压缩 机运转时的功率是 130 瓦；15、已知自然数a ，b ，c ，满足c 12b 4a 442c b a 222++<+++和02a a 2>--，则代数式c1b 1a 1++的值是 1； 16、已知A 、B 是反比例函数x2y =的图象上的两点，A 、B 的横坐标分别是3，5.设O 为原点，则△AOB 的面积是1516；17、设完全平方数A 是11个连续整数的平方和，则A 的最小值是 121 ；18、将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，则首尾两个数的和是 218 ； 19、A 、B 两地相距15km ，甲、乙两人同时从A 出发去B 。

第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛初二第2试2006年4月16日上午8：30至lO：30 得分___________一、选择题(每小题4分,共40分．)以下每题地四个选项中,仅有一个是正确地,请将表示正确答案地英文字母填在每题后面地圆括号内．1．下列四组根式中,是同类二次根式地一组是( )2．要使代数式有意义,那么实数x地取值范围是( )3．以线段a=13,b=13,c=10,d=6为边作梯形,其中a,c为梯形地两底,这样地梯形( ) (A)能作一个． (B)能作两个． (C)能作无数个． (D)一个也不能作．(英汉词典：Fig．figure地缩写,图；quadrilateral四边形；diagonal对角线；value 数值；variable变量；to depend on取决于；position位置)(A)是完全平方数,还是奇数． (B)是完全平方数,还是偶数．(C)不是完全平方数,但是奇数． (D)不是完全平方数,但是偶数．6．将任意一张凸四边形地纸片对折,使它地两个不相邻地顶点重合,然后剪去纸片地不重合部分,展开纸片,再一次对折,使另外地两个顶点重合,再剪去不重合地部分后展开,此时纸片地形状是( )(A)正方形． (B)长方形． (C)菱形． (D)等腰梯形．7．若a,b,c都是大于l地自然数,且c a=252b,则n地最小值是( )(A)42． (B)24． (C)21 (D)15(英汉词典：two-placed number两位数；number数,个数；to satisfy满足；complete square 完全平方(数)；total总地,总数)9．下表是某电台本星期地流行歌曲排行榜,其中歌曲J 是新上榜地歌曲,箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次地变化情况,“↑”表示上升,“↓”表示下降,不标注地则表明名次没有变化,已知每首歌地名次变化都不超过两位,则上星期排在第1,5,7名地歌曲分别是( )(A)D,E,H ． (B)C,F,I ． (C)C,E,I ． (D)C,F,H ．10．设n(n ≥2)个正整数1a ,2a ,…,n a ,任意改变它们地顺序后,记作1b ,2b ,…,n b ,若P=(1a -1b )(2a -2b )(33b a -)…(n a 一n b ),则( )(A)P 一定是奇数． (B)P 一定是偶数．(C)当n 是奇数时,P 是偶数． (D)当”是偶数时,P 是奇数． 二、填空题(每小题4分,共40分．)11．消防云梯地长度是34米,在一次执行任务时,它只能停在离大楼16米远地地方,则云梯能达到大楼地高度是______米．15．从凸n 边形地一个顶点引出地所有对角线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形,若m 等于这个凸n 边形对角线条数地94,那么此n 边形地内角和为_____． 16．某种球形病毒,直径是0.01纳米,每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样地病毒,假如这种病毒在人体中聚集到一定数量,按这样地数量排列成一串,长度达到1分米时,人就会感到不适,那么人从感染第一个病毒后,经过_______分钟,就会感到不适．(1米=109纳米)19．如图2,等腰△ABC 中,AB=AC,P 点在BC 边上地高AD 上,且21=PD AP ,BP 地延长线交AC于E,若ABC S ∆=10,则ABE S ∆=______,DEC S ∆=_______.20．一个圆周上依次放有1,2,3,…,20共20个号码牌,随意选定一个号码牌(如8),从它开始,先把它拿掉,然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8,10,12,…),并一直循环下去,直到剩余两个号码牌时停止,则最后剩余地两个号码地差地绝对值是______或_______．三、解答题(本大题共3小题,共40分．) 要求：写出推算过程． 21．(本小题满分10分)如图3,正方形ABCD 地边长为a,点E 、F 、G 、H 分别在正方形地四条边上,已知EF ∥GH ．EF=GH ．(1)若AE=AH=a 31,求四边形EFGH 地周长和面积； (2)求四边形EFGH 地周长地最小值．22．(本小题满分15分)已知A 港在B 港地上游,小船于凌晨3:00从A 港出发开往B 港,到达后立即返回,来回穿梭于A 、B 港之间,若小船在静水中地速度为16千米／小时,水流速度为4千米／小时,在当晚23：OO 时,有人看见小船在距离A 港80千米处行驶．求A 、B 两个港口之间地距离.23．(本小题满分15分) 在2,3两个数之间,第一次写上5132=+,第二次在2,5之间和5,3之间分别写上27252=+和4235=+,如下所示：第k 次操作是在上一次操作地基础上,在每两个相邻地数之间写上这两个数地和地k1. (1)请写出第3次操作后所得到地9个数,并求出它们地和；(2)经过k 次操作后所有数地和记为k S ,第k+1次操作后所有数地和记为1+k S ,写出1+k S 与k S 之间地关系式；(3)求6S 地值.第十七届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准(初中二年级 第2试)一．选择题(每小题4分)二．填空题(每小题4分)三、解答题21．(1)如图1,连结HF ．由题知四边形EFGH 是平行四边形,所以又所以所以(3分)所以△AHE 和△DHG 都是等腰直角三角形,故∠EHG=090,四边形EFGH 是矩形．易求得所以四边形EFGH 地周长 为2a 2,面积为294a ．(5分)(2)如图2,作点H 关于AB 边地对称点H ',连结H F ',交AB 于E ',连结E 'H ．显然,点E 选在E '处时．EH+EF 地值最小,最小值等于H F '. (7分) 仿(1)可知当AE≠AH 时,亦有(8分)所以2．因此,四边形EFGH周长地最小值为2a(10分)22．设A、B两个港口之间地距离为L,显然(1分)(1)若小船在23：00时正顺流而下,则小船由A港到达下游80千米处需用即19：00时小船在A港,那么在3：00到19：00地时间段内,小船顺流行驶地路程与逆流行驶地路程相同,而所用地时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t小时,则逆流行驶用了(16一t)小时,所以解得 t=6 (5分)即顺流行驶了由于所以A、B两个港口之间地距离是120千米．(7分)(2)若小船在23：00时正逆流而上,则小船到达A港需再用即小船在内顺流行驶地路程与逆流行驶地路程相同,而所用地时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t 小时,则逆流行驶用了小时,所以解得 (12分)即顺流行驶了由于所以A 、B 两个港口之间地距离可能是100千米或200千米． (14分)综上所述,A 、B 两港口之间地距离可能是100千米或120千米或200千米．（15分) 23．(1)第3次操作后所得到地9个数为它们地和为255(4分) (2)由题设知0S =5,则(10分)(3)因为所以(15分)。

第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．）1．篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章，印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的部分） A 。

B 。

C 。

D 。

2．如果1x y <<-，那么代数式11y yx x+-+的值是（） A ．0B ．正数C ．负数D ．非负数 图1 3．将x 的整数部分记为[]x ，x 的小数部分记为()x ，易知[]{}{}()01x x x x =+<<．若3535x =--+，那么[]x 等于（） A ．-2 B ．-1C ．0D ．14．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人的数量所对应的扇形的圆心角的大小依次是（）组装一件成品需要的元件的数量1名工人1小时生产某种元件的数量202040305050种类丙乙甲数量A ．12018060︒︒︒，，B ．108144108︒︒︒，，C ．9018090︒︒︒，，D ．7221672︒︒︒，，5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于（ ）A ．20B ．28C ．36D ．406．In the rectangular coordinates ，abscissa and ordinate of the intersection point of the lines y x k =- and 2y kx =+ are integers for integer k ，then the number of the possible values of k is （）A ．4B ．5C ．6D ．7（英汉词典：abscissa 横坐标，ordinate 纵坐标，intersection point 交点，integer 整数） 7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可拼成一个（ ） A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形D ．平行四边形8．若不等式组4101x m x x m -+<+⎧⎨+>⎩，的解集是4x >，则（）A ．92m ≤B ．5m ≤C ．92m =D ．5m =9．如图4所示，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，410AD CD ==，，则BD 的长等于（）A ．413B ．83C ．12D ．10310．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解()n p q p q =⨯≤可称为正整数n 的最佳分解，并规定()pF n q=.如：12=1⨯12=2⨯6=3⨯4，则3(12)4F =． 则以下结论图3104DCBA图4①1(2)2F =； ②3(24)8F =；③若n 是一个完全平方数，则()1F n =；④若n 是一个完全立方数，即3n a =（a 是正整数），则1()F n a=．中，正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．将一根钢筋锯成a 段，需要b 分钟，按此速度将同样的钢筋锯成c 段（a b c ，，都是大于1的自然数），需要__________________分钟．（用a b c ，，表示）12．给机器人下一个指令[]()00s A s A ︒︒，，≥≤≤180，它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离．现以机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向．要想让机器人移动到点（-5，5）处，应下指令：___________________． 13．已知实数x y z ，，满足1233x y z x y zx y z ++===+++，则x y z ++=_________________或______________．14．已知实数x y ，满足234x y -=，并且01x y ，≥≤，则x y -的最大值是_____________，最小值是_________________．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0．8元．若某车一年的养路费是1440元，百千米耗油8升，在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的12l l 、所示，则1l 与2l 的交点的横坐标m =___________．（不考虑除养路费和燃油费以外的其他费用）16．Given 32()f x ax bx cx d =+++，if when x takes the value of its inverse number ，theOl 1l 2m 图5年支出/元1440年行驶里程/千米corresponding value of ()f x is also the inverse number ，and (2)f =0，thenc da b+=+_______________． （英汉词典：inverse number 相反数）17．8人参加象棋循环赛，规定胜1局得2分，平1局得1分，败者不得分，比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同，那么第二名得__________________分． 18．若正整数a b ，使等式()()12a b a b a ++-+=2009成立，则a =____________，b =_____________．19．如图6所示，长为2的三条线段'AA ，''BB CC ，交于O 点，并且'''60B OA C OB A OC ∠=∠=∠=︒，则三个三角形的面积的和123S S S ++_______________3．（填“<”、“=”或“>”） 20．已知正整数x y ，满足2249x y +=，则x =_____________，y=________________．三、解答题（每题都要写出推算过程．）21．在分母小于15的最简分数中，求不等于25但与25最接近的那个分数．22．如图7哀兵必胜示，一次函数33y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A B ，，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt ABC △，且使30ABC ∠=︒．⑴求ABC △的面积；图6S 3S 2S 1O C'C AB'BA'yxPO CBA30°图7⑵如果在第二象限内有一点32P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，， 试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当APB △与ABC △面积相等时m 的值； ⑶是否存在使QAB △是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．点(40)(03)A B ，，，与点C 构成边长分别是3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数ky x=的图像上，求k 可能取的一切值．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DCABBADCAC提 示1．印章在纸上盖出的效果与印章的图形成镜面对称，如图8所示，右侧的印章图形沿轴翻转180︒后，将与左侧的效果重合．故选D ．2．因为 1x y <<-， 所以 0100x x x y <+<-<，，， 则101(1)(1)y y xy x xy y x yx x x x x x ++----==<+++， 即该代数式的值是负数，选C ．3．因为()2516255135222±±±±===，所以 515122 1.41222x -+-=-==-≈-，所以 []2x =-，选A ．4．为使生产效率最高，在相同的时间内生产甲、乙、两两件的数量之比是5：4：2，而1名工人在单位时间内生产这三种元件的数量之比是5：3：2，所以生产甲、乙、丙元件的工人数量之比是542::532，即41::13，也即3：4：3，在扇形图中对应的扇形的圆心角依次是108︒，144︒，108︒．故选B ．5．5．设矩形的边长分别是a b ，，对角线的长是c ，则222a b c +=已知矩形的面积是44832ab ==⨯，a b ，都是整数，不妨设a b ，≤则()a b ，可能是 （1，48），（2，24），（3，16），（4，12），（6，8），分别代入222a b c +=，只有当68a b ==，时，c 才是整数10，其他情况得到的c 的值都不是整数． 所以，矩形的边长分别是6，8，周长是28，选B ．。

高二选修练习试卷（一）1．已知2{|(1)10,}A x x a x x R =+++=∈，若A R +=∅ ，则实数a 的取值范围是（ D ） (A) 31a -<<. (B) 3a ≤-或1a ≥. (C) 1a ≥. (D) 3a >-. 2．函数12log (|1||3|)y x x =--+的值域是（ D ）(A) (0,2]. (B) [2,0)-. (C) [2,2]-. (D) [2,)-+∞.3．曲线22||1y x x =-+和直线y m =有4个交点,则m 的取值范围是（ C ）(A) 5(,1)8. (B) 57(,)88. (C)7(,1)8. (D)79(,)88.4．In the isosceles right triangle ABC, D is the midpoint of hypotenuse BC. If AB =2, then()AB AC AD +⋅=（ C ）(A) 2. (B) (C) 4. (D) 8.（英汉词典：isosceles 等腰的；hypotenuse 斜边）5．已知｛n a ｝是等差数列，且13524663,48a a a a a a ++=++=,若n S 表示｛n a ｝的前n 项和，则当n S 取得最大值时,n 的值等于（ B ）(A) 6 . (B) 7 . (C) 4. (D) 8 .6．设,a b 是方程2tan sin 0x x θθ+-=的两个不相等的实数根，那么过两点A 2(,)a a , B 2(,)b b 的直线与圆221x y +=的位置关系是（ A ）(A)相交． (B)相切． (C)相离． (D)随θ值的变化而变化．7．定义映射:f A B →，若集合A 中的元素x 在对应法则f 作用下的像是3log x ，则A 中元素9的像是（ B ）(A)-2. (B)2. (C)-3. (D)3.8．已知集合22{3,log (3)},{,}A a a B a b =+=，若{2}A B = ，则集合A B 所有元素的和等于（ D ）(A)1. (B)5. (C) 6 . (D) l 或6.9．已知2{|(1)10,}A x x a x x R =+++=∈，若A R +=∅ ，则实数a 的取值范围是（D ）(A) 31a -<<. (B) 3a ≤-或1a ≥. (C) 1a ≥. (D) 3a >-.10．()f x is a monotonically increasing function on R + . And ()()()f xy f x f y =+. If (3)1f =, and ()(1)2f a f a >-+, the value range of a is ( B )(A) 9(0,)8. (B) 9(1,)8. (C) 9(1,]8. (D) 9[1,]8.11．若*,x R n N ∈∈，定义(1)(2)(1)n x M x x x x n =+++- ，则函数73()x f x M -= ( B )(A)是偶函数．(B)是奇函数．(C)不是奇函数也不是偶函数． (D)是奇函数并且是偶函数． 12．In the regular tetrahedron ABCD, E is the midpoint of AD, F is themidpoint of BC , α is the anglecontained by AFand CE . So the value of cos α is ( D )(A) 12．(B) 12-．(C) 23． (D) 23-．（英汉词典：regular tetrahedron 正四面体）二、 A 组填空题（每小题4分， 共40分）13．函数y =_____)+∞______.14．已知向量 a =（2,1）, b = (2，-4)．若向量c 满足（c + a ) // b , c ⊥（a + b )，则向量c 等于_3(,2)2--.15．已知lg lg 0a b +=，则满足不等式2211a ba b λ+≤++的实数λ的取值范围是_[1,)+∞____. 16．已知集合A=｛1,2,3,4},f 是集合A 到集合A 的映射，且满足f (1)=2, f (2)=3 , f (3) = 4, f (4)=1．若11()(),()(())n n f x f x f x f f x -==，则2010(1)f =___3___.17．已知等比数列｛n a ｝中，371,121a a =-=-,则5a ＝___-11____. 18．方程22log (1)0x x --=的解是__2x =或1- _____.19．函数2()log 3,[1,)f x x x =+∈+∞,则1()f x -的定义域是__[3,)+∞_____. 20．已知,a b R ∈，且10a b ++=，则22(2)(3)a b -+-的最小值是__18_____.21．在平面直角坐标系中，不等式组1,3,330x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域的面积是___32____.22．已知集合2{|7100},{|10}A x x x B x ax =-+==+=，且A ∪B=A ，则实数a 的值组成的集合为___11{0,,}52--____.23．已知,,a b c 为非负数，则(,,)c a b f a b c a b c c=+++取最小值是___2____.24．已知点P （x,y ）在曲线22||||0x y x y +--=上，设O 为坐标原点，则||OP 的最小值是 0 ，最大值是25．设D 表示二元一次不等式组2600x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩所确定的区域，则D 的面积等于____1___,32x y x y ++的取值范围是__47[,]34_______. 26．函数|sin(2)|3y x π=-的最小正周期是__2π，单调递减区间是_52[,],21223k k k Z ππππ++∈ .27．已知函数2(0),()2(0),x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩使()0f x =的x 的值有__1__个；不等式(2)(2)2x x f x +++≤的解集是_3[)2-+∞______.2832ax >+的解集是(4,)b ，则实数a =_18___，b =____36___.29．设2()4f x x x =++，集合{|(),1100,}M y y f n n n Z ==≤≤∈，则M 中偶数的个数_100___, M 中3的倍数有个_34______．30．If ,x y are non zero numbers such that 1x y <≤and xy z =, which of the and following can betrue ? ____①③④⑤ ___.①y z >； ② y z =; ③ z x =;④x z >;⑤0x >. 31．函数()f x =的定义域为___53(,][,)64-∞--+∞ ____，值域为_______.高二选修练习试卷（一）一、选择题1．已知2{|(1)10,}A x x a x x R =+++=∈，若A R +=∅ ，则实数a 的取值范围是 （ ）(A) 31a -<<. (B) 3a ≤-或1a ≥. (C) 1a ≥. (D) 3a >-.2．函数12log (|1||3|)y x x =--+的值域是 （ ）(A) (0,2]. (B) [2,0)-. (C) [2,2]-. (D) [2,)-+∞.3．曲线22||1y x x =-+和直线y m =有4个交点,则m 的取值范围是 （ ）(A) 5(,1)8. (B) 57(,)88. (C)7(,1)8. (D)79(,)88.4．In the isosceles right triangle ABC, D is the midpoint of hypotenuse BC. If AB =2, then()AB AC AD +⋅= （ ）(A) 2. (B) (C) 4. (D) 8.（英汉词典：isosceles 等腰的；hypotenuse 斜边）5．已知｛n a ｝是等差数列，且13524663,48a a a a a a ++=++=,若n S 表示｛n a ｝的前n 项和，则当n S 取得最大值时,n 的值等于 （ ） (A) 6 . (B) 7 . (C) 4. (D) 8 .6．设,a b 是方程2tan sin 0x x θθ+-=的两个不相等的实数根，那么过两点A 2(,)a a , B 2(,)b b 的直线与圆221x y +=的位置关系是 （ ）(A)相交． (B)相切． (C)相离． (D)随θ值的变化而变化．7．定义映射:f A B →，若集合A 中的元素x 在对应法则f 作用下的像是3log x ，则A 中元素9的像是 （ ） (A)-2. (B)2. (C)-3. (D)3.8．已知集合22{3,log (3)},{,}A a a B a b =+=，若{2}A B = ，则集合A B 所有元素的和等于 （ ） (A)1. (B)5. (C) 6 . (D) l 或6.9．已知2{|(1)10,}A x x a x x R =+++=∈，若A R +=∅ ，则实数a 的取值范围是 （ ）(A) 31a -<<. (B) 3a ≤-或1a ≥. (C) 1a ≥. (D) 3a >-.10．()f x is a monotonically increasing function on R + . And ()()()f xy f x f y =+. If (3)1f =, and()(1)2f a f a >-+, the value range of a is ( )(A) 9(0,)8. (B) 9(1,)8. (C) 9(1,]8. (D) 9[1,]8.11．若*,x R n N ∈∈，定义(1)(2)(1)n x M x x x x n =+++- ，则函数73()x f x M -= ( )(A)是偶函数．(B)是奇函数．(C)不是奇函数也不是偶函数． (D)是奇函数并且是偶函数．12．In the regular tetrahedron ABCD, E is the midpoint of AD, F is themidpoint of BC ,α is the anglecontained by AFand CE . So the value of cos α is ( )(A) 12．(B) 12-．(C) 23． (D) 23-．（英汉词典：regular tetrahedron 正四面体）二、填空题13．函数y =的值域是 . 14．已知向量 a =（2,1）, b = (2，-4)．若向量c 满足（c + a ) // b , c ⊥（a + b )，则向量c 等于 .15．已知lg lg 0a b +=，则满足不等式2211a ba b λ+≤++的实数λ的取值范围是 . 16．已知集合A=｛1,2,3,4},f 是集合A 到集合A 的映射，且满足f (1)=2, f (2)=3 , f (3) = 4, f (4)=1．若11()(),()(())n n f x f x f x f f x -==，则2010(1)f = .17．已知等比数列｛n a ｝中，371,121a a =-=-,则5a ＝ . 18．方程22log (1)0x x --=的解是 .19．函数2()log 3,[1,)f x x x =+∈+∞,则1()f x -的定义域是 . 20．已知,a b R ∈，且10a b ++=，则22(2)(3)a b -+-的最小值是 .21．在平面直角坐标系中，不等式组1,3,330x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域的面积是 .22．已知集合2{|7100},{|10}A x x x B x ax =-+==+=，且A ∪B=A ，则实数a 的值组成的集合为 . 23．已知,,a b c 为非负数，则(,,)c a b f a b c a b c c=+++取最小值是 . 24．已知点P （x,y ）在曲线22||||0x y x y +--=上，设O 为坐标原点，则||OP 的最小值是 ，最大值是 .25．设D 表示二元一次不等式组2600x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩所确定的区域，则D 的面积等于 .26．函数|sin(2)|3y x π=-的最小正周期是 ，单调递减区间是 .27．已知函数2(0),()2(0),x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩使()0f x =的x 的值有 个；不等式(2)(2)2x x f x +++≤的解集是 .2832ax >+的解集是(4,)b ，则实数a = ，b = .29．设2()4f x x x =++，集合{|(),1100,}M y y f n n n Z ==≤≤∈，则M 中偶数的个数 , M 中3的倍数有个 ．30．If ,x y are non zero numbers such that 1x y <≤and xy z =, which of the and following can be true ? .①y z >； ② y z =; ③ z x =;④x z >;⑤0x >. 31．函数()f x =的定义域为 ，值域为 .。

历年初中希望杯数学竞赛试题大全 ][真诚为您服务试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第2· 2009年第20届“次· 161· [4-30]★详细简介请参考下载页]· [竞赛 2试试题届“希望杯”全国数学邀请赛初一第年第· 200920 次· 153· [4-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛数学大赛初赛试卷（扫描版）届5“希望杯”年湖北省黄冈市第· 2009 · 76次· [4-17]★详细简介请参考下载页]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1· 2009年第20届“希望杯次· 133· [4-7]对不起，尚无简介☆]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初一第1届“希望杯”20· 2009年第· 122次· [4-7]详细简介请参考下载页★]· [竞赛全国数学邀请赛初二训练题”第十四届“希望杯·次· 44· [9-9]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题“希望杯”全国数学邀请赛初一第19· 2008年第届次· 203· [9-4]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1”“19· 2008年第届希望杯全国数学邀请赛初一第试试题次· 169· [9-4]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第219年第届“希望杯”· 2008 次· 156· [9-2]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第“· 2008年第19届· 146次· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题”届“希望杯全国数学邀请赛初二第18· 2007年第· 101次· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1全国数学邀请赛初二第试试题”“18· 2007年第届希望杯次· 95· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题”全国数学邀请赛初二第2· 2006年第17届“希望杯次· 76· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第届· 2006年第17 · 76次· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第2希望杯· 2005年第16届“”次· 65· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1试试题全国数学邀请赛初二第届· 2005年第16“希望杯”次· 52· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题全国数学邀请赛初二第希望杯”2· 2004年第15届“次· 47· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第115届“希望杯”年第· 2004 次· 38· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 2试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第届· 2003年第14“次· 30· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题希望杯届“”全国数学邀请赛初二第年第· 200314 · 26次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题全国数学邀请赛初二第希望杯届年第· 200213“”· 31次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第1”年第13届“希望杯· 2002 次· 23· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第· 2001年第12届· 17次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第112年第届“希望杯”· 2001 · 17次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题2“届希望杯”全国数学邀请赛初二第11· 2000年第次· 15· [9-1]★详细简介请参考下载页]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1“· 2000年第11届希望杯次· 15· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第210届“希望杯”· 1999年第次· 13· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题1希望杯”全国数学邀请赛初二第· 1999年第10届“次· 15· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第9· 1998年第届次· 11· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1”“9· 1998年第届希望杯全国数学邀请赛初二第试试题次· 10· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第28年第届“希望杯”· 1997 次· 13· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第“· 1997年第8届· 10次· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题”届“希望杯全国数学邀请赛初二第7· 1996年第· 11次· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1全国数学邀请赛初二第试试题”“7· 1996年第届希望杯次· 10· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”希望杯全国数学邀请赛初二第2· 1995年第6届“次· 14· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第16届“希望杯”· 1995年第次· 14· [8-29]★详细简介请参考下载页]· [竞赛 2试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第5· 1994年第届“次· 12· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题“届希望杯”全国数学邀请赛初二第· 1994年第5 · 12次· [8-29]（每一、选择题 :年第五届希望杯全国数学邀请赛1994 初中二年级第一试试题 [] Ax 1.303小题分，共分）使等式成立的的值是．是]· [竞赛试试题初二第2”年第4届“希望杯全国数学邀请赛· 1993 次· 9· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第14届“希望杯”· 1993年第次· 10· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题2希望杯”全国数学邀请赛初二第· 1992年第3届“次· 11· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第3· 1992年第届次· 9· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 2”“2· 1991年第届希望杯全国数学邀请赛初二第试试题· 14次· [8-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1年第· 19912届“希望杯次· 12· [8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第21届“希望杯”· 1990年第· 13次· [8-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1希望杯· 1990年第1届“次· 11· [8-28]分，（每题1 ”全国数学邀请赛初二第一试一、选择题:“1990年第一届希望杯() 倍，那么这个角是 1．一个角等于它的余角的5分）共10]竞赛· [ 2试试题全国数学邀请赛初一第希望杯届年第· 200718“”· 94次· [8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初一第118届“希望杯”· 2007年第次· 42· [8-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”希望杯全国数学邀请赛初一第2· 2006年第17届“次· 41· [8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题1希望杯”全国数学邀请赛初一第“· 2006年第17届次· 43· [8-28]试第1全国数学邀请赛初一希望杯年第十七届2006“”……中考资源网，竞赛试题任你选！更多数学竞赛试题请点击。

第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试以下每题6分，共120分。

1．计算：8×7÷8×7＝。

2．将一些半径相同的小圆按如图1所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圆，第2个图形中有10个小圆，第3个图形中有16个小圆，第4个图形中有24个小圆，…，依此规律，第6个图形中有个小圆。

3．地球与月球的平均距离大约是384400000米，把这个数改写成用“亿”作单位的数是亿米。

4．如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是。

5．已知8个数的平均数是8，如果把其中一个数改为8后这8个数的平均数变为7，那么这个被改动的数原来是。

6．某校的学生的属相有鼠、牛、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。

那么至多选出位学生，就一定能找到属相相同的两位学生。

7．某养鸡场的母鸡只数是公鸡只数的6倍，后来公鸡、母鸡各增加60只，母鸡的只数变成公鸡只数的4倍。

则养鸡场原来一共养了只鸡。

8．将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图2（a），从左向右看到的视图是图2（b），从上向下看到的视图是图2（c），则这堆木块最多共有块。

图29．将边长为10厘米的五张正方形纸片如图3那样放置，每张小正方形纸片被盖住的部分是一个较小的正方形，它的边长是原正方形边长的一半，则图3中的图形外轮廓（图中粗线条）的周长为 厘米。

10．几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16。

如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元 年。

11．某年的8月份有5个星期一，4个星期二。

则这年的8月8日是星期 。

12．一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。

如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报纸，其中甲报30份，乙报34份，丙报40份。

那么既订乙报又订丙报的有 户。

13．由1，2，3，4，5五个数字组成不同的五位数有120个，从大到小排列起来第95个数是 。

4.已知三角形三个内角的度数之比为x ： y ： z ,且x+yvz, 则这个三角形是（）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰三角形.5.如图1, 一个凸六边形的六个内角都是120。

，六条边的长分a, b, c, d, e, f,则下列等式中成立的是）(D)a+c=b+d.（英汉词典：integer 整数)(A)a+b+c=d+e+f .(B)a+c+e=b+d+f . (C)a+b=d+e.6. 在三边互不相等的三角形中，最长边的长为a,最长的中线的长为m,最长的高线的长 为h,则（） （A ）a>m>h .（B ）a>h>m .（C ）m>a>h.（D ）h>m>a .7. 某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O 分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（）（A ） 15 种.（B ） 11 种.（C ）5 种.（D ）3 种.第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试(2010 年 4 月 11 U 上午 9:00 至 11:00)得分—一、选择题（每小题4分，共40分.）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将 表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内. 1 .计算2,2X 59,得数是（）（A ）9位数. （B ） 10位数. （C ） 11位数.(D) 12位数.2.若三=1,Or + v — ]8则代数式 一的值（）9x-y-\S 7 （A ）等于；・55 7（B ）等于+（C ）等写或不存在.（D ）等专或不存在.3. The integer solutions of the inequalities about x3(x — q) + 22 2(1 — 2x — ci)x b b — xarcl,2,3,--- < -----then the number of integer pairs (a,b) (A)32.(B)35.(C)40.(D)48.(A)2.(B)— 2. (C)4.(D) 一4.8.若 xy *O,x+y *0,—+ —与 x+y 成反比,则(x + y)2与亍+)=()工 )'（A ）成正比.（B ）成反比.（C ）既不成正比，也不成反比. （D ）的关系不 确定.2k9.如图2,已知函数y - —（X > 0）,y = —（x < 0）,点A 在正y 轴上，过点A 作BC//x 轴, x x交两个函数的图象于点B 和C,若AB:AC = 1:3,则k 的值是（）（A ）6.（B ）3.（C ）— 3.（D ）— 6.10. 10个人围成一圈做游戏.游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把目己想的数告许与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图3所示，则报出来的数是3的人心里想的数是（）110 2 9 3二、填空题（每小题4分，共40分.） 11 .若 了 _ 2A /7X + 2 = 0,则 X 4—24X 2=12. 如图4,已知点A （a, b ）, 0是原点，OA=OA|, OA ± OA },则点A 〕的坐标是 13.已 知 ab + 0 , 并 且 a + b >。

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内．1．下列图案都是由字母m 组合而成的，其中不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】 B ．B 中5个”m ”分布在正五边形上，不是中心对称图形．2．若230a a ≥≥，则（ ）A 3a aB 3a aC ．1a ≥D ．01a <<【解析】 B ．∵23a a ≥≥0，∴01a ≤≤3a a320102009xx --x 的取值范围是（）A ．2010x ≤B ．2010x ，≤且2009x ≠±C ．2010x ≤且2009x ≠D ．2010x ，≤且2009x ≠-【解析】 B ．2010020090x x -⎧⎪⎨-≠⎪⎩≥，解得2010x ，≤且2009x ≠±． 4．正整数a b c ，，是等腰三角形三边的长，并且24a bc b ca +++=，则这样的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C ．()()124a bc b ca a b c +++=++=∵a b c +>，,,a b c 均为正整数，∴1a b c ++≥ 又12c +≥，∴1c +只能取2，3，4．若12c +=，即1c =，则12a b +=，于是6a b ==； 若13c +=，即2c =，则8a b +=，于是4a b ==； 若14c +=，即3c =，则6a b +=，于是3a b ==． 综上，这样的三角形有3个．5．顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（）A ．任意的四边形B ．两条对角线等长的四边形C ．矩形D ．平行四边形【解析】 B ．顺次连接一个凸四边形各边的中点得到的四边形，每组对边都等于对应对角线长的一半． 因此若得到的四边形为菱形，则这个四边形一定是两条对角线等长的四边形．6．设p =a b c d ，，，是正实数，并且1a b c d +++=，则 （）A ．5p >B ．5p <C ．4p <D ．5p =【解析】 A ．1a >=+，于是()()()()1111p a b c d >+++++++5=．7．Given a b c ，， satisfy c b a << and 0ac <，then which one is not sure to be correct in the following inequalities ？（） A ．b c a a>B ．0b ac->C ．22b ac c>D ．0a cac-< 【解析】 C ．∵a c >且0ac <，∴0a >，0c <∵b c >，0a >，∴b c a a >；∵b a <，0c <，∴0b ac ->； ∵a c >，0ac <，∴0a cac-<；因此只有C 不一定成立．8．某公司的员工分别住在A B C 、、三个小区，A 区住员工30人，B 区住员工15人，C 区住员工10人，三个小区在一条直线上，位置如图1所示，若公司的班车只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最短，那么停靠点的位置应在（ ） A ．A 区 B ．B 区C ．C 区D ．A B C 、、区以外的一个位置【解析】 A ．以A 区为原点，从A 区往方向为正方向建立数轴，设停靠点的坐标为x ，那么所有员工步行到停靠点的路程总和为301510010300x x x +-+-，由绝对值函数的性质易知在0x =处，该函数值最小．9．ABC △的内角A 和B 都是锐角，CD 是高，若2AD AC DB BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ABC △是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析】 D ．∵22AC AD BC BD =，∴cos cos ADAC A AC BD BC B BC==，又由正弦定理sin sin AC BBC A=， ∴cos sin cos sin A B B A=，于是sin2sin2A B =，∴A B =或90A B +=︒． 10．某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用56秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用（ ） A ．32秒B ．38秒C ．42秒D ．48秒【解析】 C ．设若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用x 秒，则1112456x=+，解得42x =（秒）．图1二、A 组填空题（每小题4分，共40分．）11．四个多项式：①22a b -+；②22x y --；③22249x y z -；④4221625m n p -，其中不能用平方差公式分解的是_______________．（填写序号）【解析】 ②．①()()22a b b a b a -+=+-；③()()2224977x y z xy z xy z -=+-； ④()()4222216254545m n p m np m np -=+-．12．若111111a b c b c d===---，，，则a 与d 的大小关系是a _______d ．（填“>”、“=”或“<”） 【解析】 =．1111111111111111111da d d d d d cd dd======--+----+----- 13．分式方程222510111x x x x ++=--+的解是x =______________．【解析】 2-．222510111x x x x ++=--+ ()()225110x x x +++-=22640x x ++= 2320x x ++=1x =-（舍去）或2x =-14．甲、乙两人从A 点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步，过一段时间后，甲在跑道上离A 点200米处，而乙在离A 点不到100米处正向A 点跑去，若甲、乙两人的速度比是4：3，则此时乙至少跑了____________米．【解析】 750．假设甲的速度是4m ，乙的速度是3m ，题中所述情况是在开始跑步后t 时刻且此时甲、乙已经跑了1k 、2k 个整圈，则14400200m t k ⋅=⋅+，23400m t k x ⋅=⋅+（其中300400x <<） 于是1240020040043k k x ++=，即()121234002004003004001504x k k k k =+-=-+ ∵300400x <<，∴123685k k <-<，因此12684k k -=．于是当12k =，21k =时，2k 最小，此时乙跑了400350750+=（米）．15．已知等腰三角形三边的长分别是421156x x x -+-，，，则它的周长是_____________．【解析】 12.3．421x x -=+时，1x =，此时三角形的三边长分别为2,2,9，矛盾；42156x x -=-时，1710x =，此时三角形的三边长分别为242724,,5105，周长为1231412.310x -==； 1156x x +=-时，2x =，此时三角形的三边长分别为6,3,3，矛盾．16．若29453737a b =-=-，，则336a ab b -+=______________． 【解析】 8-．∵294523737a b +=--=-，∴2b a =-- 于是()()33336622a ab b a a a a -+=---+--()3321262a a a a =++-+()32326126128a a a a a a =++-+++8=-17．直线59544y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，则线段AB 上（包括端点A B 、）横坐标和纵坐标都是整数的点有_____________个．【解析】 5．59544y x =-即5495x y -=，于是y 必然整除5； 另一方面()19,0A 、950,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴954y -≤≤0， 于是y 的可能取值为20,15,10,5,0----对应的点均在线段AB 上．18．已知关于x 的不等式()2132343a x a x --->-的解是1x >-，则a =_______________．【解析】 0．原不等式⇔231124433a x a x -⎛⎫--> ⎪⎝⎭232114343a x a -⎛⎫⎛⎫⇔->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24131a x a ⇔+>-∴231141410a a a ⎧-=-⎪+⎨⎪+>⎩，解得43a =-（舍去）或0a =．19．当a 分别取2,1,0,1,2,3,,97--这100个数时，关于x 的分式方程212(1)1232a a x x x x +-=---+有解的概率是_______________．【解析】 4950．2112(1)1232a x x x x +-=---+()()()2221213232x a x a x x x x -+-+⇔=-+-+()2134320a x a x x ⎧+=+⎪⇔⎨-+≠⎪⎩ ∴当()1134a a +⋅=+和()1234a a +⋅=+以及()134a x a +=+无解时原方程无解， 即2a =-和1a =-时原方程无解． 因此方程有解的概率为4950．20．十位数2010888abc 能被11整除，则三位数abc 最大是______________．【解析】 990．()()218800811b a c k ++++-++++=，∴b a c --能整除11∴而9abc bc ≤，此时9b c --能整除11，∴三位数abc 最大是990．（注：能被11整数的自然数的特点是：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍） 三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．一个矩形的长与宽是两个不相等的整数，它的周长与面积的数值相等，那么这个矩形的长与宽分别是______________和______________．【解析】 6，3．设长和宽分别为x 、y ，则()2x y xy +=，即()()224x y --= 因为x y ≠，∴24x -=，21y -=，于是长和宽分别为2和1．22．用[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]414253=-=-.，.．则方程[]6370x x -+=的解是______________或______________．【解析】 196x =-；83x =-． ∵[]673x x +=，而[]1x x x -<≤，∴()31673x x x -<+≤，解得10733x <-≤-．因此13677x -<+-≤，∴67x +的可能取值为12-和9-，解得196x =-和83x =-． 经验证，这两个解均为原方程的解．23．As in figure 2，in a quadrilateral ABCD ，we have its diagonal AC bisects DAB ∠，and21910AB AD BC DC ====，，，then the distance from point C to line AB is______________，and the length of AC is________________． （英汉词典：quadrilateral 四边形：bisect 平分）Fig 22191010D C BAEDCBA【解析】 8；17．如图，过D 作AC 的垂线，交AB 于E ，连结CE ，则AD AE =，CD CE = 于是CEB △中，10CE CD BC ===，12BE AB AE =-=， 因此容易算得等腰三角形△CEB 底边上的高为8．∴22218912642252892AC ⎛⎫=++⋅=+= ⎪⎝⎭，17AC =．24．如图3，Rt ABC △位于第一象限内，A 点的坐标为（1，1），两条直角边AB AC 、分别平行于x轴、y 轴，43AB AC ==，，若反比例函数(0)ky k x=≠的图象与Rt ABC △有交点，则k 的最大值是____________，最小值是______________．【解析】 36148；1．当反比例函数的图象过A 点时k 最小，为1； 当反比例函数的图象与BC 相切时k 最大，此时∵()5,1B ，()1,4C ，直线BC 的方程为31944y x =-+∴方程2319044x x k -+-=的判别式3613016k -=，解得36148k =． 25．设011n A A A -，，，依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形3446A A A A 、七边形2101234n n A A A A A A A --等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n 的最大值是_________________，此时正n 边形的面积是_____________．【解析】 23；1．设正n 边形的面积为n S ，则∵正n 边形的对角线共有()112n n -条，∴所有满足条件的凸边形共有()1n n -个，它们的面积之和为()112n n n S -⋅∴()146223711n n n S -==⋅⋅⋅ ∴711n n S =⎧⎨=⎩或231nn S =⎧⎨=⎩，于是n 的最大值是23，此时正n 边形的面积是1．第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛答案第二 第1试1．答案 （1）选择题（2）A 组填空题（3）B 组填空题。

第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1试以下每题5分，共120分。

1．2006×2008×()＝________。

2．900000－9＝________×99999。

3．＝________。

4．如果a＝，b＝，c＝，那么a，b，c中最大的是________，最小的是________。

5．将某商品涨价25％，如果涨价后的销售金额与涨价前的销售金额相同，则销售量减少了________％。

6．小明和小刚各有玻璃弹球若干个。

小明对小刚说：“我若给你2个，我们的玻璃弹球将一样多。

”小刚说：“我若给你2个，我的弹球数量将是你的弹球数量的三分之一。

”小明和小刚共有玻璃弹球________个。

7．一次测验中，小明答错了10道题，小刚答错了8道题，小强答对的题的数量等于小明与小刚答对题的数量之和，且小强答错了3道题。

这次测验共有________道题。

8．一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字之和的五分之三是________。

9．将一个数A的小数点向右移动两位，得到数B。

那么B＋A是B－A的________倍。

(结果写成分数形式)10．用10根火柴棒首尾顺次连接接成一个三角形，能接成不同的三角形有________个。

11．希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按图中实线所示，从第1珩第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵。

小明的编号是30，他排在第3行第6列，则运动员共有________人。

12．将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为l的小正方体。

则三个面涂漆的小正方体有________块。

13．如图，∠AOB的顶点0在直线l上，已知图中所有小于平角的角之和是400度，则∠AOB＝________度。

14．如图，桌面上有A、B、C三个正方形，边长分别为6，8，10。

B的一个顶点在A 的中心处，C的一个顶点在B的中心处，这三个正方形最多能盖住的面积是________。