江苏省徐州市高考数学二轮复习 专题19 直线与圆的方程2学案(无答案)

高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

4、2、3直线与圆的方程的应用（二）【教学目标】1、坐标法求直线和圆的应用性问题；2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法.【教学重难点】教学重点：坐标法求直线和圆的应用性问题．教学难点：面积最小圆、中点弦问题的解决方法．【教学过程】1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题例1、求通过直线032=+-y x 与圆014222=+-++y x y x 的交点，且面积最小的圆的方程.结论：解法一：利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为 0)32(14222=+-λ++-++y x y x y x .配方得到标准式方程如下所示13)2/2()1()2/2()1(2222-λ-λ++λ+=λ--+λ++y x ，可以得到5/19)5/2(4/54)4/5(222++λ=+λ+λ=r ，当5/2-=λ时，此时半径5/19=r ，所求圆的方程为5/19)5/9()5/3(22=-++y x .解法二：利用平面几何知识.以直线与圆的交点),(),,2211y x B y x A （连线为直径的圆符合条件.把两个方程式联立，消去y ，得02652=-+x x .因为判别式大于零，我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线段AB 的中点的横坐标为5/32/)(210-=+=x x x ，5/93200=+=x y ，又半径5/1921.||5.0221=+-=x x r （弦长公式），所以所求的圆的方程是:5/19)5/9()5/3(22=-++y x .解法三：我们可以求出两点的坐标，根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心，求出圆的方程. 变式练习：求圆()()22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离。

例2、已知圆O 的方程为922=+y x ，求过点)2,1(A 所作的弦的中点的轨迹. 结论：解法一：参数法（常规方法）设过A 所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k 存在时），P （x,y)，则)2(,922k kx y y x -+==+，消去y ，得到如下方程.054)2(2)1222=--+-++k k x k k x k （所以我们可以得到下面结果)1/()2(2221+-=+k k k x x ，利用中点坐标公式及中点在直线上，得：)1/()2(),1/()2(22++-=+-=k k y k k k x (k 为参数）.消去k 得P 点的轨迹方程为0222=--+y x y x ，当k 不存在时，中点P （1，0）的坐标也适合方程.所以P 点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，2/5为半径的圆.解法二：代点法（涉及中点问题可考虑此法）我们可以设过点A 的弦为MN ，则可以设两点的坐标为),(),,(2211y x N y x M .因为M 、N 都在圆上，所以我们可以得到9,922222121=+=+y x y x ，然后我们把两式向减可以得到：).(0))].(/()[()(2121212121x x y y x x y y x x ≠=+--++设P （x,y)则2/)(,2/)(2121y y y x x x +=+=.所以由这个结论和M 、N 、P 、A 四点共线，可以得到)1)(1/()2()/()(2121≠--=--x x y x x y y .所以2x+[(y-2)/(x-1)]⋅2y=0，所以P 点的轨迹方程为0222=--+y x y x （x=1时也成立），所以P 点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，2/5为半径的圆.解法三：数形结合（利用平面几何知识），由垂径定理可知PA OP ⊥,故点P 的轨迹是以AO 为直径的圆. 变式练习：已知直线134=+y x l ：，M 是l 上一动点，过M 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，则在A 、B 连线上，且满足PB AP 2=的点P 的轨迹方程。

直线与圆中的动点控制1.已知直线0=++m y mx 与圆2:22=+y x O 交于不同的两点B A ,，O 是坐标原点，OM =+，若点M 也在圆O 上，那么实数m 的值是 .2.已知直线0=++m y x 与圆2:22=+y x O 交于不同的两点B A ,，O 是坐标原点，≥,那么实数m 的取值范围是 .3.过点)2,11(A 作圆016442:22=--++y x y x O 的弦，其中弦长为整数的共有 条4.设圆3:22=+y x C ，直线06-3:=+y x l ，点l y x P ∈）（00,，若存在点C Q ∈，使060=∠OPQ （O 为圆点），则0x 的取值范围是 .5.已知BD AC ,为圆4:22=+y x O 的两条互相垂直的弦，垂足为()21，M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 .6.圆()42-:22=+y x C ，圆()()()R y x M ∈=-+--θθθ,1sin 5cos 52:22，若圆上M 任意一点P 作圆C 的两条切线PF PE ,，切点分别为F E ,，则⋅的最小值是 .7.已知直线09:=-+y x l 和圆0188-22:22=--+y x y x M ，点A 在直线l 上，C B ，为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，AB 过圆心M ，则点A 的横坐标的取值范围是 .8.已知点()2,0A 是圆()0022-:22>=-+a ay ax y x M 外的一点，圆M 上存在点T 使得045=∠MAT ，则实数a 的取值范围是 .9.在平面直角坐标系xoy 中，过点()1,0A 向直线02:=+-+m y mx l 作垂线，垂足为M ，则点M 到点()32，N 的距离的最大值为 .10.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆上422=+y x 有且仅有四个点到直线05-12=+c y x 的距离为1，则实数c 的取值范围是 .11.在平面直角坐标系xoy 中，圆0158-:22=++x y x C ，若直线2-=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 .12.已知圆1:22=+y x C ，点）（00,y x P 是直线0423:=-+y x l 上的动点，若圆C 上总存在不同的两点B A ,，使得=+，则0x 的取值范围是 .13.已知圆()12-:22=+y x C ，直线01=++y x 上存在点P 使得经过P 的直线l 与圆C 交于B A ,两点，且点A 为PB 中点，则点P 的横坐标0x 的取值范围是 .14.在平面直角坐标系xoy 中，圆()()256-1:221=++y x C ，圆()()222230-17-:r y x C =+，若圆2C 上存在点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点B A ,，满足AB PA 2=，则半径r 的取值范围是 .15.在平面直角坐标系xoy 中，若与点()2,2A 的距离为1且与点()0,m B 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是 .16.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为()()91-1-:22=+y x C ，直线3:+=kx y l 与圆C 相交于B A ,两点，M 为弦AB 上的一动点，以M 为圆圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围 .17.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x-a )2+(y+a-3)2=1(a>0)，点N 为圆M 上任意一点.若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 .18.在平面直角坐标系xoy 中，圆()21-:221=+y x C ，圆()()2222-:m m y m x C =++，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线PB PA ,，切点为B A ,，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .19.已知B A ,是圆04:22=-+x y x C 上两个动点，且32=AB ，点P 在直线02:=-+y x l 上，则PB PA ⋅的最小值是 .20.已知点B A ,在圆1:22=+y x C 上，点P 在圆()()143:22=-+-y x M 上，若λ=，则实数λ的取值范围是 .。

专题六解析几何第一讲直线与圆考点一直线的方程1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.[对点训练]1．(2018·东北三校联考)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是()A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0[解析]当直线过原点时，由题意可得直线方程为2x－5y＝0；当直线不经过原点时，可设出其截距式为x a ＋y2a ＝1，再由过点(5,2)即可解出2x ＋y －12＝0，故选B.[答案] B2．直线l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0[解析] 由已知，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3，所以直线l 的方程为3x －y －4＝0，故选C.[答案] C3．(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)[解析] 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，即A ′(4，－2)，∴直线A ′C 即BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.又知点C 在直线y ＝2x 上，联立⎩⎨⎧3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)，故选C.[答案] C4．(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________________________．[解析]解法一：由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.解法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0可解得交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，代入4x －3y ＋m ＝0得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.解法三：由题意可设所求直线的方程为(2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0，即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. [答案] 4x －3y ＋9＝0[快速审题] 看到直线方程的求解，想到直线方程的五种形式，想到每种形式的适用条件．求直线方程的两种方法(1)直接法：选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果．(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数．考点二 圆的方程1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆． [对点训练]1．(2018·福建漳州模拟)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1[解析] ∵点P (x ，y )关于直线y ＝x 对称的点为P ′(y ，x )， ∴(1,2)关于直线y ＝x 对称的点为(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A.[答案] A2．(2018·广东珠海四校联考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为() A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2[解析]由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有|a－(－a)|2＝|a－(－a)－4|2，即|a|＝|a－2|，解得a＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝22＝2，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，故选B. [答案] B3．(2018·重庆一模)若P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A．x－y－1＝0 B．2x－y－3＝0C．x＋y－3＝0 D．2x＋y－5＝0[解析]圆心C的坐标为(1,0)，所以直线PC的斜率为k PC＝1－0 2－1＝1，所以直线AB的斜率为－1，故直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，故选C.[答案] C4．[原创题]在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_________________________________．[解析]解法一：由题意得：半径等于|m＋1|m2＋1＝(m＋1)2m2＋1＝1＋2mm2＋1≤1＋2|m|m2＋1≤2，当且仅当m＝1时取等号，所以半径最大为r＝2，所求圆为(x－1)2＋y2＝2.解法二：直线mx－y－2m－1＝0过定点(2，－1)，当切点为(2，－1)时圆的半径最大，此时半径r＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.[答案](x－1)2＋y2＝2[快速审题]看到圆的方程，想到圆心与半径，看到含参数的直线方程，想到直线是否过定点．求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法．考点三直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系的方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r ⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．2．与圆的切线有关的结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则过A 、B 两点的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.[解析] (1)由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB 的边长为2，所以△AOB 的高为3，即圆心到直线x －y －a ＝0的距离为3，所以|－a |12＋(－1)2＝3，解得a ＝±6，故选B.(2)当直线斜率不存在时，明显满足题意，此时直线l 的方程为x ＝1.当直线斜率存在时，可设直线l 的方程为y －5＝k (x －1)，再由圆心到直线的距离等于半径，得|3k ＋1－k ＋5|1＋k 2＝2，解得k ＝－43，所以直线l 的方程为4x ＋3y －19＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －19＝0.(3)直线l 的方程为y ＝kx ＋1，圆心C (2,3)到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1， 由R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MN |2得1＝(2k －2)2k 2＋1＋15，解得k ＝2或12，所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1.[答案] (1)B (2)x ＝1或4x ＋3y －19＝0 (3)y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1[探究追问1] 在本例(3)中若把条件“|MN |＝255”，改为OM →·ON→＝12，其中O 为坐标原点，则|MN |＝________. [解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由题意得直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2， OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k2＋8，由题设可知4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1， 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2. [答案] 2[探究追问2] 在本例(3)中若圆C 的方程不变，且过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是________．[解析] 由题意知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，要使直线l 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需直线l 与圆C ′：(x －2)2＋(y －3)2＝4有公共点，所以|2k －3＋1|k 2＋(－1)2≤2，即|2k －2|1＋k2≤2，解得k ≥0.[答案] [0，＋∞)直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式．(3)弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2r2－d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．[对点训练]1．(2018·福建福州一模)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y ＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为() A．(－32，32)B．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C．(－22，22)D．[－32，32][解析]由圆的方程可知圆心为O(0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<r＋1＝2＋1，则d＝|－a|12＋12＝|a|2<3，解得a∈(－32，32)，故选A.[答案] A2．已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y －8＝0，则两圆的公共弦长为________．[解析]联立两圆的方程得⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减整理得x －2y ＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程．解法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2. 所以|AB |＝(0＋4)2＋(2－0)2＝25，即公共弦长为2 5.解法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得圆心坐标为(1，－5)，半径r ＝5 2.圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|12＋(－2)2＝35， 设两圆的公共弦长为l ，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22， 得l ＝2r 2－d 2＝2(52)2－(35)2＝25，即两圆的公共弦长为2 5.[答案] 2 51．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．2[解析] 由已知可得圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A.[答案] A2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32][解析] 由圆(x －2)2＋y 2＝2可得圆心坐标为(2,0)，半径r ＝2，△ABP 的面积记为S ，点P 到直线AB 的距离记为d ，则有S ＝12|AB |·d ，易知|AB |＝22，d max ＝|2＋0＋2|12＋12＋2＝32，d min ＝|2＋0＋2|12＋12－2＝2，所以2≤S ≤6，故选A.[答案] A3．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 解法一：由点到直线的距离公式得d ＝|cos θ－m sin θ－2|1＋m2，cos θ－m sin θ＝ 1＋m 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11＋m2cos θ－m 1＋m 2sin θ， 令sin α＝11＋m 2，cos α＝m 1＋m 2，∴cos θ－m sin θ＝1＋m 2sin(α－θ)，∴d ≤|－1＋m 2－2|1＋m 2＝1＋m 2＋21＋m 2＝1＋21＋m 2，∴当m ＝0时，d max ＝3，故选C.解法二：∵cos 2θ＋sin 2θ＝1，∴P 点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x －my －2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x ＝2的距离即为d 的最大值，故选C.[答案] C4．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD→＝0，则点A 的横坐标为________． [解析]由题意易得∠BAD ＝45°.设直线DB 的倾斜角为θ，则tan θ＝－12，∴tan ∠ABO ＝－tan(θ－45°)＝3，∴k AB ＝－tan ∠ABO ＝－3.∴AB 的方程为y ＝－3(x －5)，由⎩⎨⎧ y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，得x A ＝3.[答案] 3 5．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________.[解析]由题意可知直线l过定点(－3，3)，该定点在圆x2＋y2＝12上，不妨设点A(－3，3)，由于|AB|＝23，r＝23，所以圆心到直线AB 的距离为d＝(23)2－(3)2＝3，又由点到直线的距离公式可得d＝|3m－3|m2＋1，∴|3m－3|m2＋1＝3，解得m＝－33，所以直线l的斜率k＝－m＝33，即直线l的倾斜角为30°.如图，过点C作CH⊥BD，垂足为H，所以|CH|＝23，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝23cos30°＝4.[答案] 41.近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．热点课题14与圆有关的最值问题[感悟体验]1．(2018·厦门模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x －3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4 B.17－1 C．6－2 2 D.17[解析]两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4，故选A.[答案] A2．(2018·宁夏银川一中检测)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________________．[解析] 验证得M (1,2)在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CM 垂直，又圆心为(3,4)，则k CM ＝4－23－1＝1，则k l ＝－1，故直线l 的方程为y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0.[答案] x ＋y －3＝0专题跟踪训练(二十四)一、选择题1．(2018·合肥检测)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π [解析] 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π，故选B. [答案] B2．(2018·沈阳质量监测)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程为()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0[解析]由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，y＝x＋3，即x－y＋3＝0，故选D.[答案] D3．(2018·河北五个一联盟联考)已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是l1平行于l2的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当m＝2时，直线l1：2x－2y＋1＝0，直线l2：x－y－1＝0，此时直线l1与l2平行，所以充分性成立；当l1∥l2时，－m(m－1)＋2＝0，即m2－m－2＝0，∴m＝2或m＝－1，经检验m＝－1时，直线l1与直线l2重合，故l1∥l2时，m＝2，故必要性成立．综上，“m ＝2\”是l1平行于l2的充分必要条件，故选C.[答案] C4．(2018·陕西西安高三质检)圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是()A．1＋ 2 B．2C ．1＋22D ．2＋2 2[解析] 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为1＋d ＝1＋2，故选A.[答案] A5．(2018·宁夏银川质检)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋16＝0，则圆C 1与圆C 2的位置关系是( )A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切[解析] 易知圆C 2的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝9，则圆C 1与C 2的圆心的距离为32＋42＝5，又两圆半径之和为2＋3＝5，所以圆C 1与圆C 2外切，故选B.[答案] B6．(2018·辽宁第一次质量监测)已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0[解析] 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，即|－1＋3k |＝1＋k 2，解得k ＝0或k ＝3，故选D.[答案] D7．(2018·长春二检)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4[解析] 解法一：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝ 3.所以圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，故选D.解法二：由于两圆关于直线对称，因此两圆心的连线必与该直线垂直，则两圆心连线的斜率为－3，备选项中只有选项D 中的圆心与已知圆的圆心连线的斜率为－3，故选D.[答案] D8．已知直线2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R )恒过定点P ，若点P 平分圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的弦MN ，则弦MN 所在直线的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 对于直线方程2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R )，取y ＝3，则必有x ＝2，所以该直线恒过定点P (2,3)．设圆心是C ，则易知C (1,2)，所以k CP ＝3－22－1＝1， 由垂径定理知CP ⊥MN ，所以k MN ＝－1.又弦MN 过点P (2,3)，故弦MN 所在直线的方程为y －3＝－(x －2)．即x ＋y －5＝0，故选A.[答案] A9．(2018·福州质检)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14[解析] 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12，故选B.[答案] B10．(2018·河南名校第二次联考)已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，则(m－a)2＋(n－b)2的最小值为()A. 3B. 2 C．1 D.1 2[解析]此题可理解为点A(m，n)和点B(a，b)分别在直线l1：3x ＋4y＝6与l2：3x＋4y＝1上，求A、B两点距离的最小值，|AB|＝(m－a)2＋(n－b)2，因为l1∥l2，所以|AB|min＝|6－1|32＋42＝1，故选C.[答案] C11．(2018·四川成都二模)已知直线l的方程是y＝k(x－1)－2，若点P(－3,0)在直线l上的射影为H，O为坐标原点，则|OH|的最大值是()A．5＋ 2 B．3＋2 2C.5＋ 2D.3＋3 2[解析]因为直线l的方程是y＝k(x－1)－2，所以直线l过定点M(1，－2)．则点P(－3,0)在直线l上的射影H在以PM为直径的圆上．|PM |＝(1＋3)2＋(－2)2＝25，线段PM 的中点即圆心C (－1，－1)，则|OC |＝ 2.因此，当O ，C ，H 三点共线时，|OH |取得最大值＝5＋2，故选C.[答案] C12．(2018·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125 [解析] 因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由a 2＋(2a －3)2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋(2a －3)2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125，故选A. [答案] A二、填空题13．若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________________．[解析] 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.[答案] x ＋2y －5＝014．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则实数m 的值为________．[解析] 因为圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，又因为圆C 1与圆C 2外切，所以25－m ＋1＝5，解得m ＝9.[答案] 915．(2018·衡水中学模拟)已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a )2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．[解析] 因为△ABC 是等腰直角三角形，所以圆心C (1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝r sin45°＝22，即d ＝1a 2＋1＝22，所以a ＝±1.[答案] ±116．(2018·南宁测试)过动点M 作圆：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线MN ，其中N 为切点，若|MN |＝|MO |(O 为坐标原点)，则|MN |的最小值是________．[解析] 解法一：由题意知圆的圆心为(2,2)，半径为1.设M (x ，y )，则|MO |＝x 2＋y 2，|MN |＝(x －2)2＋(y －2)2－1.由|MN |＝|MO |，得4x ＋4y －7＝0，即y ＝74－x ，所以|MN |＝|MO |＝x 2＋y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫74－x 2＝ 2x 2－72x ＋4916＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －782＋4932，当x ＝78时，|MN |取得最小值4932＝728.解法二：由题意知圆的圆心为(2,2)，半径为1.设M (x ，y )，则|MO |＝x 2＋y 2，|MN |＝(x －2)2＋(y －2)2－1.由|MN |＝|MO |，得4x ＋4y －7＝0，即点M 的轨迹为4x ＋4y －7＝0，则由题意知，要使|MN |取得最小值，即|MO |取得最小值，此时|MO |的最小值就是原点到直线4x ＋4y －7＝0的距离，即742＋42＝728，故|MN |的最小值为728. [答案] 728。

高三数学二轮复习 ——直线、圆及其交汇问题一、高考定位：本问题是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择或填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．二、必备知识1. 两直线平行、垂直的判定(1)①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②若两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合，则两直线平行；③若两直线中一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，则两直线垂直． (2)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， 则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，通常写成111222A B C A B C =≠（分母不为0） 便于记忆。

l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2.圆的方程：(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2；（3）直线被圆所截得的弦长等于三、必备方法1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况．2．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化．3．直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值． (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题． (5)两圆相离，两圆上点的距离的最值．4．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程．四、典型例题解析：【例1】►待定系数法求圆的方程已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0外切，并与直线x＋3y＝0相切于点Q(3，－3)，求圆C方程．[审题] 先确定采用标准方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法．解：设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，由题设得13rrba⎧==+⎪=-⎪⎪⎩解得：42abr=⎧⎪=⎨⎪=⎩或6abr=⎧⎪=-⎨⎪=⎩.所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.【考题演练】（2010山东文数）已知圆C过点（1,0）且圆心在x轴的正半轴上，直线l：x－yC的标准方程为_____________________.解析：【例题2】►如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程。

第1讲 直线与圆[考情考向分析] 高考考查重点是求直线和圆的方程、直线间的平行和垂直关系、距离、直线与圆的位置关系，此类问题难度属于中档，偶尔出现解答题．其中直线方程和圆的标准方程与一般方程是C 级要求．热点一 直线、圆的方程例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且BM →＝2MA →，则直线l 的方程为____________． 答案 x －y －1＝0解析 方法一 易知l 的斜率必存在，设l ：y ＝k (x －1)．由BM →＝2MA →，可设BM ＝2t ，MA ＝t ，如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t 2.设OH ＝d ，在Rt△OBH 中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＝r 2＝5，在Rt△OMH 中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12.所以d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1，因为点A 在第一象限，BM →＝2MA →，由图知k ＝1，所以l ：x －y －1＝0.方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，x 22＋y 22＝5，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，(2x 1－3)2＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1，又点A 在第一象限，故A (2,1)，由点A 和点M 的坐标可得直线AB 的方程为x －y －1＝0.(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为________．答案 (x ＋1)2＋y 2＝4解析 由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，a ＞－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，∴圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.思维升华 求具备一定条件的直线或圆的方程时，其关键是寻找确定直线或圆的两个几何要素，待定系数法也是经常使用的方法，解题时要注意平面几何知识的应用．跟踪演练1 (1)过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________． 答案 x ±3y ＋4＝0解析 设AB 的中点为D ，则CD ⊥AB ， 设CD ＝d ，AD ＝x ，则PA ＝AB ＝2x ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得d 2＋x 2＝r 2＝5，① 在Rt△PDC 中，由勾股定理得d 2＋9x 2＝CP 2＝25，② 由①②解得d 2＝52.易知直线l 的斜率一定存在，设为k ， 则l ：y ＝k (x ＋4)，圆心C (1,0)到直线l 的距离为d ＝|5k |k 2＋1＝102，解得k 2＝19，k ＝±13，所以直线l 的方程为y ＝±13(x ＋4)，即为x ±3y ＋4＝0.(2)若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程为________________________． 答案 (x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244 解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上， 说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即a ＋2b ＝0，①且(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②而圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，故r 2－⎝⎛⎭⎪⎫a －b ＋122＝2，③由①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.所以所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52 或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.热点二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (2018·江苏仪征中学检测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A ()－1，0， B ()1，2.(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12 ？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的标准方程为()x －22＋y 2＝4，所以圆心C ()2，0，半径为2.因为l ∥AB, A ()－1，0， B ()1，2，所以直线l 的斜率为2－01－()－1＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0, 则圆心C 到直线l 的距离为d ＝||2－0＋m 2＝||2＋m 2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝()2＋m 22＋2,解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0. (2)假设圆C 上存在点P ，设P ()x ，y ， 则()x －22＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝()x ＋12＋()y －02＋()x －12＋()y －22＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋()y －12＝4,因为||2－2<()2－02＋()0－12<2＋2，所以圆()x －22＋y 2＝4与圆x 2＋()y －12＝4相交，所以点P 的个数为2.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法： ①几何法：利用d 与r 的关系； ②代数法：联立方程之后利用Δ判断；③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． (2)判断圆与圆的位置关系，一般用几何法，其步骤为： ①确定两圆的圆心坐标和半径长；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|； ③比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．跟踪演练2 (1)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若AB ＝23，则圆C 的面积为________． 答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由AB ＝23， 得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2， 所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.(2)(2018·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A (2,0)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－72， 72 解析 设点M (x ，y )，因为MA 2＋MO 2≤10，所以(x －2)2＋y 2＋x 2＋y 2≤10, 即x 2＋y 2－2x －3≤0， 因为(x ＋1)2＋y 2＝2，所以y 2＝2－(x ＋1)2， 所以x 2＋2－(x ＋1)2－2x －3≤0， 化简得x ≥－12.因为y 2＝2－(x ＋1)2，所以y 2≤74，所以－72≤y ≤72.热点三 直线、圆的综合问题例3 如图所示，已知圆A 的圆心在直线y ＝－2x 上，且该圆存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称，又圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)(BM →＋BN →)·BP →是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由．解 (1)由圆存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称知圆心A 在直线x ＋y －1＝0上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，x ＋y －1＝0，得A (－1,2)，设圆A 的半径为R ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，连结AQ ，则AQ ⊥MN ， ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1. 由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0，∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP →＝0，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BQ →·BP →＝2(BA →＋AQ →)·BP → ＝2BA →·BP →；当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52， 则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1,2)，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP →＝－10；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ，∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k －10k 1＋2k ＝－10， 综上所述，(BM →＋BN →)·BP →为定值－10.思维升华 直线、圆的综合问题包括和圆有关的定点定值问题、范围问题及探究性问题．解决的基本思路有两种：代数法和几何法，解题时要注意充分利用方程、向量及图形的特征． 跟踪演练3 (2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围． 解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5， 由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)． 且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2，∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝2 5.即|2×6－7＋m |22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴PQ ≤2r ＝10. ∴TA ＝PQ ≤10，即(t －2)2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的取值范围为[2－221，2＋221]．1．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________． 答案 3解析 设A (a,2a )，则a ＞0.又B (5,0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0. 由题意知C ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋52，a .由⎩⎪⎨⎪⎧(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .∴D (1,2)．又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ， ∴(5－a ，－2a )·⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ＝52a 2－5a －152＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 又a ＞0，∴a ＝3.2．圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的标准方程为____________．答案 (x －1)2＋(y ＋4)2＝8解析 方法一 设圆心为(a ，－4a )，则有r ＝|a －4a －1|2＝(a －3)2＋(－4a ＋2)2，解得a ＝1，r ＝22，则圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二 过点P (3，－2)且垂直于直线x ＋y －1＝0的直线方程为x －y －5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －5＝0，y ＝－4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，则圆心坐标为(1，－4)，半径为r ＝ (1－3)2＋(－4＋2)2＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.3．(2018·江苏省南京师大附中模拟)已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B .若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是______． 答案 (－32，－6]∪[6，32)解析 设AB 的中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →，故|OD →|≥24|AB →|，即||OD →2≥18||AB →2，再由直线与圆的弦长公式可得，AB ＝2r 2－d 2(d 为圆心到直线的距离)，又直线与圆相交，故d <r ，得||b 2<3，所以－32<b <32，根据||OD→2≥18||AB →2，||AB →2＝4()9－|OD →|2得，||OD →2≥3，由点到直线的距离公式可得||OD→2＝b 22，即b 22≥3，所以b ≥6或b ≤－6，综上可得，b 的取值范围是(－32，－6]∪[6，32)．4．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方． (1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解 (1)设圆心M ()a ，0，由已知得M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12， ∴||8a －382＋()－62＝12，又∵M 在l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1. 故圆M 的方程为()x －12＋y 2＝1.(2)由已知可设AC 的斜率为k 1，BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，得C 点的横坐标为x 0＝6k 1－k 2. ∵AB ＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18k 1－k 2，∵圆M 与AC 相切，∴1＝||k 1＋t 1＋k 21，∴k 1＝1－t22t ， 同理， k 2＝1－()t ＋622()t ＋6，∴k 1－k 2＝3()t 2＋6t ＋1t 2＋6t ，∴S ＝6()t 2＋6t t 2＋6t ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－2≤t ＋3≤1，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4，∴S max ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18＝274，∴△ABC 的面积S 的最大值为152，最小值为274.A 组 专题通关1．直线过点(－5,4)且与坐标轴正半轴围成的三角形面积为5，则此直线方程为________． 答案 2x ＋5y －10＝0解析 设所求直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则直线方程为x a ＋yb＝1，a >0，b >0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋4b ＝1，12a ·b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2，故所求直线方程为2x ＋5y －10＝0.2．已知圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是________________________________________________________________________． 答案 (x ＋5)2＋y 2＝5 解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)， 则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5. 所以圆O 的方程是(x ＋5)2＋y 2＝5.3．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为______． 答案2555解析 圆心为点(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝2 22－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555. 4．已知点P (t,2t )(t ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝1内一点，直线tx ＋2ty ＝m 与圆O 相切，则直线x ＋y ＋m ＝0与圆O 的位置关系是________．答案 相交解析 由点P (t,2t )(t ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝1内一点， 得5|t |<1.因为直线 tx ＋2ty ＝m 圆O 相切，所以|m |5|t |＝1， 所以|m |<1.又圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心O (0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2<1＝r .所以位置关系为“相交”．5．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________________． 答案 4解析 ∵圆的标准方程为 (x －3)2＋(y －4)2＝5， 可知圆心为C (3,4)，半径为 5. 如图可知，CO ＝5，∴OP ＝25－5＝2 5. 设OC 与PQ 的交点为M ， 在Rt△POC 中，OC ·PM ＝OP ·PC ，∴PM ＝25×55＝2.∴PQ ＝2PM ＝4.6．(2018·无锡期末)过圆x 2＋y 2＝16内一点P (－2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________． 答案 19解析 根据题意画图，连结OP ，OA ，过O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，∴E 为AB 的中点，F 为CD 的中点，又AB ⊥CD ，AB ＝CD ，∴四边形EPFO 为正方形，由圆的方程得圆心O (0,0)，半径r ＝4 ，OP 2＝()－22＋32＝13，OE 2＝132 AE 2＝OA 2－OE 2＝16－132＝192， ∴AE ＝192，∴AB ＝CD ＝38， ∴S 四边形ACBD ＝12AB ·CD ＝19.7．若⊙O 1：x 2＋y 2＝5与⊙O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________． 答案 4解析 由题意知O 1(0,0)，O 2(m,0)，且5＜|m |＜35， 又O 1A ⊥AO 2，∴m 2＝(5)2＋(25)2＝25，∴m ＝±5， ∴AB ＝2×5×255＝4. 8．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为________． 答案 52－4解析 由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求PC 1＋PC 2的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(PC 1＋PC 2)min ＝C 1′C 2＝5 2. 所以(PM ＋PN )min ＝52－4.9．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为____________． 答案 x ＋y －3＝0解析 由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0， 设圆心坐标为(a,0)，则由题意知，⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1， 又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3， 故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上， 所以3＋0＋m ＝0，即m ＝－3， 故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.10．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. ∵x 1,2＝4(1＋k )±－12k 2＋32k －122(1＋k 2)， ∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以MN ＝2.B 组 能力提高11．圆心M 在曲线y 2＝－18x 上，圆M 与y 轴相切且与圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1外切，则圆M 的方程为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝14或(x ＋2)2＋(y －6)2＝4解析 设圆M ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， ∵b 2＝－18a ，r ＝|a |，∴a ＝－b 218，r ＝b 218，圆心C (－2,3)，r c ＝1，又圆M 与圆C 外切，则MC ＝r ＋r c ， 即(a ＋2)2＋(b －3)2＝r ＋1， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 218＋22＋(b －3)2＝b 218＋1，解得b ＝3或b ＝6.∴圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝14或(x ＋2)2＋(y －6)2＝4.12．已知以O 为圆心的圆与直线l ：y ＝mx ＋(3－4m )(m ∈R )恒有公共点，且要求圆O 的面积最小，则圆O 的方程为________________． 答案 x 2＋y 2＝25解析 因为直线l ：y ＝mx ＋(3－4m )过定点T (4,3)， 由题意知，要使圆O 的面积最小， 定点T (4,3)在圆上， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.13．已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA →·PB →的最小值为________． 答案 －3＋2 2 解析 如图所示，设PA ＝PB ＝x (x ＞0)，∠APO ＝α， 则∠APB ＝2α，PO ＝1＋x 2， sin α＝11＋x2.PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos 2α＝x 2(1－2sin 2α)＝x 2(x 2－1)x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1，令PA →·PB →＝y ，则y ＝x 4－x 2x 2＋1，即x 4－(1＋y )x 2－y ＝0.因为x 2是实数，所以Δ＝[－(1＋y )]2－4×1×(－y )≥0，y 2＋6y ＋1≥0，解得y ≤－3－22或y ≥－3＋2 2.又因为x2＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋y ＞0，－y ＞0，所以y ∈[)－3＋22，0. 故(PA →·PB →)min ＝－3＋2 2.14．(2018·江苏省如皋中学月考)已知圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)直线l 1：3x ＋y －23＝0与圆O 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长度；(2)如图，设M ()x 1，y 1， P ()x 2，y 2是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，如果直线PM 1，PM 2与y 轴分别交于()0，m 和()0，n ，问mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解(1)由于圆心()0，0到直线l 1：3x ＋y －23＝0的距离d ＝||－232＝ 3.圆的半径r ＝2，所以AB ＝2r 2－d 2＝2.(2)由于M (x 1，y 1)，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，可得M 1()－x 1，－y 1，M 2()x 1，－y 1， 由M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点， 可得x 21＋y 21＝4, x 22＋y 22＝4. 直线PM 1的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x ＋x 1x 2＋x 1，令x ＝0， 求得y ＝m ＝x 1y 2－x 2y 1x 2＋x 1.直线PM 2的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1，令x ＝0， 求得y ＝n ＝－x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1.mn ＝x 22y 21－x 21y 22x 22－x 21＝ x 22()4－x 21－x 21()4－x 22x 22－x 21＝4.故mn为定值．。

2019-2020学年高考数学总复习（直线与圆）教学案 苏教版【知识与方法】1、直线y ＝－3x .与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0的位置关系是( )A ．直线与圆相切B ．直线与圆相交但不过圆心C ．直线与圆相离D ．直线过圆心2、直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，2＋1)C ．(－2－1，2＋1)D ．(0，2＋1)3、若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 中点，则直线AB 的方程是 ( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝04、圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5、若直线2x －y ＋C ＝0按向量a ＝(1，－1)平移后与圆x 2＋y 2＝5相切，则C 的值为 ( )A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－8 6、若直线y x b =-与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（[)0,2θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为7、过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)．则圆C 的方程为 8、过点（2,3）作圆x 2＋y 2＝4的切线，则切线方程为_____ __9、若直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：228210x y x y ++++=的周长，则14a b+的最小值为【理解与应用】10、一直线经过点P (－3，－32)被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，求此弦所在直线方程．11、已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？12、已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A 、B ，∠AOB ＝90°，求直线l 的方程．华侨城中学2011年高考数学总复习教学案（教师版）复习内容：直线（圆）与圆的位置关系（一）【知识与方法】1、直线y ＝－3x .与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0的位置关系是( )A ．直线与圆相切B ．直线与圆相交但不过圆心C ．直线与圆相离D ．直线过圆心解析：圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝3.又圆心(2,0)到直线y ＝－3x 的距离d ＝232＝3＝r ，∴直线与圆相切．答案：A2、直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，2＋1)C ．(－2－1，2＋1)D ．(0，2＋1) 解析：圆心(0，a )，半径r ＝a .∴|a －1|2>a ，∴0<a <2－1.答案：A3、若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 中点，则直线AB 的方程是 ( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0 答案：A4、圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：圆的圆心(－1，－2)，半径R ＝22，而圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 2. 答案：C5、若直线2x －y ＋C ＝0按向量a ＝(1，－1)平移后与圆x 2＋y 2＝5相切，则C 的值为 ( )A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－8 答案：A6、若直线y x b =-与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（[)0,2θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为(2解析：选D 如图所示，直线与圆相切之间的情形符合题意，计算圆心（2，0）到直线y x b =-的距离等于圆半径1，即1=，解得2b =±22b <7、过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)．则圆C 的方程为 . 解析：圆心既在过点 B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，又在点,A B 的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，,A B 的中垂线为3x =，联立方程303x y x +-=⎧⎨=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，即圆心(3,0)C ，半径r CA ==程为22(3)2x y -+=. 【答案】22(3)2x y -+=8、过点（2,3）作圆x 2＋y 2＝4的切线，则切线方程为_____ ___．9、若直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：228210x y x y ++++=的周长，则14a b+的最小值为 。

2.2.2直线与圆的位置关系
三、直线与圆相切
3、（1）、已知圆的方程是224x y +=，求经过圆上一点(2,2)M 的切线方程.
(2)、自点(1,4)A -作圆22
:(2)(3)1C x y -+-=的切线l ,
(i)求切线l 的方程;（尝试两种解法）
(ii)求切线长.
变式（1）：若切点分别为 Q P ,，圆心为C ，则四边形 SMCN 的面积为 .
变式（2）：若切点分别为 Q P ,，则MAN ∠cos .
变式（3）：若切点分别为 Q P ,，圆心为C ，则四边形 SMCN 的外接圆的方程为 .
变式（4）：过直线06:=-+y x l 上一点M ，作圆4:22=+y x O 的两条切线，则切线长的最小值为 .
变式（5）：过直线06:=-+y x l 上一点M ，作圆4:22=+y x O 的两条切线，切点分别为Q P ,则四边形MPOQ 的最小值为 .
四、直线与圆相交
4、求直线3230x y -+=被圆224x y +=截得的弦长．（尝试两种解法）
变式:过圆224x y +=内一点)1,1(M 的所有弦中，最长弦的长度为 ，最短弦的长度为 .
拓展提升 学以致用
五、直线与圆的位置关系的综合运用
5、已知直线l ：y x b =+与曲线C ：21y x =-有公共点，求b 的取值范围.
追问：若有且只有一个公共点，求b 的取值范围.
6、已知实数x y 、满足方程22(2)3x y -+=，求： （1）
y x
的最大值和最小值； （2）y x -的最大值和最小值； （3）22
x y +的最大值和最小值.。

直线与圆、圆与圆的位置关系编写： 审核：【课时目标】1. 掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判定方法；2. 在直线与圆位置关系，掌握有关弦长和切线问题；3．会求定点、定值、最值问题． 【典型例题】例1 (1)集合22{()|4}A x y x y ＝，＋＝，222{()|()()}34B x y x y r ＝，－＋－＝，其中0r >，若A B ⋂中有且仅有一个元素，则r 的取值的集合为________．（21by +=(其中,a b 是实数)与圆221x y ＋＝相交于A B ，两点，O 是坐标原点，且AOB ∆是直角三角形，则点()()0,1P a b M ，与点之间的距离的最大值为_____．（3）已知圆221()()231C x y ：－＋－＝，圆222()()349C x y ：－＋－＝，M N ，分别是圆12C C ，上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN ＋的最小值为________．例2在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．例3 已知圆O ：224x y ＋＝和点()1M a ，，(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程；(2)若a M 的圆的两条弦AC BD ，互相垂直，求AC BD ＋的最大值．例 4 已知圆O 的方程为221x y +=,直线()13,0l A 过点,且与圆O 相切.(1)求直线1l 的方程.(2)设圆O 与x 轴交于,P Q 两点,M 是圆O 上异于,P Q 的任意一点,过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ,直线PM 交直线2l 于点'P ,直线QM 交直线2l 于点'Q .求证:以''P Q 为直径的圆C 总经过定点,并求出定点坐标.【巩固练习】1.若过点()A a a ，可作圆2222230x y ax a a ＋－＋＋－＝的两条切线，则实数a 的取值范围为________．2．过点()1,1P 的直线，将圆形区域22{()4|}x y x y ≤，＋分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．3．直线l 过点(04)，－，从直线l 上的一点P 作圆2220C x y y ：＋－＝的切线(PA PB A B ，，为切点)，若四边形PACB 面积的最小值为2，则直线l 的斜率k 为_______． 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x ＋－＋＝的圆心为Q ，过点()0,2P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA OB →→+与PQ →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．5．已知圆()1,1C P 过点，且与圆222()()()220M x y r r ：＋＋＋＝＞关于直线20x y ＋＋＝对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ →→⋅的最小值．(3)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A B ，，且直线PA PB 和直线的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP AB 和是否平行？请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线xy 3=上. （1）若圆M 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B （不同于原点O ），求证：AOB ∆的面积为定值；（2）设直线433:+-=x y l 与圆M 交于不同的两点C ，D ，且||||OD OC =，求圆M 的方程； （3）设直线3=y 与（2）中所求圆M 交于点E 、F ， P 为直线5=x 上的动点，直线PE ，PF 与圆M 的另一个交点分别为G ，H ，求证：直线GH 过定点.。

2019江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--直线与圆的方程及应用注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，正常情况下，考一小(填空)一大(解答)、小题常涉及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大题往往与圆有关，涉及到方程，位置关系、定点、定值、定线等、圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题、1.理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率、2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系、3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直、4.了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标、5.掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离、6.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化、7.能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离)；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题、1.与直线x＋3y－1＝0垂直的直线的倾斜角为________、2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________、3.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，那么实数m＝________.4.在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，那么实数c的取值范围是________、【例1】圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，求过圆心且与直线l 垂直的直线的方程、【例2】如图，平面直角坐标系xOy 中，△AOB 和△COD 为两等腰直角三角形，A(－2,0)，C(a,0)(a>0)、△AOB 和△COD 的外接圆圆心分别为M ，N.(1)假设⊙M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；(2)假设直线AB 截⊙N 所得弦长为4，求⊙N 的标准方程；(3)是否存在这样的⊙N ，使得⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2，假设存在，求此时⊙N 的标准方程；假设不存在，说明理由、【例3】圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过点A(－1,0)与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于点N.(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2)当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3)探索AM →·AN →的值是否与直线l 的倾斜角有关，假设无关，请求出其值；假设有关，请说明理由、【例4】椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(2，2)，设椭圆E 的右准线l 与x 轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长为455.(1)求椭圆E 的方程及圆O 的方程；(2)假设M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上的任意一点N ，有MNNQ 为定值；且当M 在直线l 上运动时，点Q 在一个定圆上、1.(2017·安徽)假设直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，那么a 的值为________、2.(2017·重庆)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为________、3.(2017·湖北)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，那么直线l 的斜率为________、4.(2017·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，假设|MN|≥23，那么实数k 的取值范围是________、5.(2017·福建理)直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)假设以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)假设直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由、6.(2017·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度、(2017·南京三模)(本小题总分值16分)在平面直角坐标系xOy 中，定点A(－4,0)、B(4,0)，动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为－14.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.①求⊙M 的方程；②当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，说明理由、解：(1)设P(x ，y)，那么直线PA 、PB 的斜率分别为k 1＝y x ＋4、k 2＝yx －4.(2分) 由题意知y x ＋4·y x －4＝－14，即x 216＋y24＝1(x ≠±4)、 所以动点P 的轨迹方程是x 216＋y24＝1(x ≠±4)、(4分)(说明：没有范围扣1分)(2)①由题意知C(0，－2)，A(－4,0)，所以线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3.(6分)设M(a,2a ＋3)(a ＞0)，那么⊙M 的方程为(x －a)2＋(y －2a －3)2＝r 2. 圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 22，得a ＝r 2.所以⊙M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －r 22＋(y －r －3)2＝r 2.(10分)②假设存在定直线l 与动圆M 均相切、当定直线的斜率不存在时，不合题意、当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋b ，那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ×r 2－r －3＋b 1＋k 2＝r 对任意r ＞0恒成立、(12分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1rb －3＝r 1＋k 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k 2)r 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－12＝1＋k 2，k －2b －30，b －32＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b＝3.所以存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切、(16分)第12讲直线与圆的方程及应用1.实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________、 【答案】 52.圆x 2＋y 2＝1与直线kx ＋y －k ＝0(k ∈R 为常数)的位置关系是________、 【答案】相交3.假设直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，那么b 的取值范围是________、【答案】[1－22，3]解析：此题考查数形结合思想.曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或1－22，因为是下半圆故可得b ≠1＋22，当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3.4.圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点、(1)如果|AB|＝423，求直线MQ 的方程； (2)求动弦|AB|的最小值、 解：(1)设Q(q,0)，因为M(0,2)，所以|MQ|＝q 2＋22＝q 2＋4，而|MA|＝r ＝1， 从而在Rt △AMQ 中，|AQ|＝|MQ|2－|MA|2＝q 2＋4－1＝q 2＋3. 又由题意和对称性可得，Rt △AMQ 斜边MQ 边上的高为h ＝12|AB|＝223. 由等面积法得223·q 2＋4＝q 2＋3，解得q ＝±5，所以Q(±5，0)， 将M ，Q 的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ 的方程为2x ±5y 25＝0. (2)由(1)知，利用等面积法得12|AB|·q 2＋4＝q 2＋312|AB|＝q 2＋3q 2＋4＝1－1q 2＋4，从而当q ＝0时，动弦|AB|取到最小值 3.5.(2017·盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上、圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13；圆弧C 2过点A(29,0)、(1)求圆弧C 2的方程； (2)曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？假设存在，指出有几个这样的点；假设不存在，请说明理由；(3)直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离、解：(1)圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169，令x ＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)、 那么线段AM 中垂线的方程为y －6＝2(x －17)， 令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0)、 又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15，所以圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x ≥5)、(2)假设存在这样的点P(x ，y)，那么由PA ＝30PO ，得x 2＋y 2＋2x －29＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝16913≤x ≤5解得x ＝－70(舍)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x －142＋y 2＝2255≤x ≤29解得x ＝0(舍)，综上知，这样的点P 不存在、(3)因为EF ＞r 2，EF ＞r 1，所以E 、F 两点分别在两个圆弧上、设点O 到直线l 的距离为d ，因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0)，所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2， 即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516，所以点O 到直线l 的距离为 1 6154. 基础训练1.π32.x －2y ＝0或x ＋y －3＝03.3或－3 34.(－13,13)解析：圆的半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c|13＜1，c 的取值范围是(－13,13)、 例题选讲例1解：由题意可设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，那么由题意知：⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.例2点拨：直线与圆相交的问题，要利用图形转化为圆心到直线的距离问题、 解：(1)圆心M(－1.1)、∴圆M 方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2， ∴直线CD 方程为x ＋y －a ＝0. ∵⊙M 与直线CD 相切，∴圆心M 到直线CD 的距离d ＝|－a|2＝2，化简得：a ＝±2(舍去负值)、∴直线CD 的方程为x ＋y －2＝0.(2)直线AB 方程为：x －y ＋2＝0，圆心N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2.∴圆心N 到直线AB 距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋22＝ 2.∵直线AB 截⊙N 所得弦长为4，∴22＋(2)2＝a22.∴a ＝±23(舍去负值)、∴⊙N 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝6.(3)存在、由(2)知，圆心N 到直线AB 距离为2(定值)，且AB ⊥CD 始终成立，∴当且仅当圆N 半径a2＝22，即a ＝4时，⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2.此时，⊙N 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.变式训练m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 斜率的取值范围； (2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？点拨：直线与圆相交，用圆心到直线距离.直线将圆分割弧长的比值，转化为所对的圆心角的比值，过圆心作弦的垂线，那么垂线段长可求，用圆心到直线的距离即可、解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4mm 2＋1，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1，∵|m|≤12(m 2＋1)，∴|k|＝|m|m 2＋1≤12，当且仅当|m|＝1时等号成立、∴斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(2)不能、由(1)知l 的方程为y ＝k(x －4)，其中|k|≤12.圆C 的圆心C(4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.由|k|≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2.从而假设l 与圆C 相交，那么圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧、例3(1)证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，那么k l ＝3，故直线l ：y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.显然圆心(0,3)在直线l 上，即当l 与m 垂直时，l 必过圆心C.(2)解：①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意、②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，因为PQ ＝23，所以CM ＝4－3＝1，那么由CM ＝|－3＋k|k 2＋1＝1，得k ＝43.所以直线l 的方程为4x －3y ＋4＝0.从而所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3)解：∵CM ⊥MN,∴AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·AN →＝AC →·AN →＋CM →·AN →＝AC →·AN →. ①当l 与x 轴垂直时有N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－53，∴AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53， 又AC →＝(1,3),∴AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5.②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，那么由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ＋61＋3k ，－5k 1＋3k ，那么AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋3k ，－5k 1＋3k .所以AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5.综上，可知AM →·AN →的值与直线l 的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且AM →·AN →＝－5. 变式训练直线m 的方程为x ＋y －1＝0，⊙C 的方程为x 2－2x ＋y 2－2y －3＝0，⊙C 关于直线m 的对称的⊙D 与直线l 相交于A 、B 两点，假设在⊙D 上存在点P 使得OP →＝OA →＋OB →＝λa ，又知a ＝(－1,2)、(1)求⊙D 的方程；(2)求点P 的坐标； (3)求直线l 的方程、解：(1)⊙C 方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5，设D(a ，b)， 那么⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋b ＋12－1＝0，b －1a －1＝1，∴a ＝0，b ＝0，∴⊙D 方程为x 2＋y 2＝5.(2)由题意可知P(－λ，2λ)，∵P 在圆D 上，∴λ2＋4λ2＝5，∴λ＝±1. ∴P(－1,2)或P(1，－2)、(3)∵OP →＝OA →＋OB →，P 、A 、B 均在圆上，∴OP ⊥AB ，∠AOB ＝120°，∴圆心D 到直线AB 的距离是52.当P 的坐标为(－1,2)时，k l ＝12，设直线l 的方程是x －2y ＋c ＝0，d ＝|c|5＝52， ∴c ＝±52，由图形位置可知c ＝52，此时直线l 的方程是2x －4y ＋5＝0. 同理可知，当P 坐标为(1，－2)时，直线l 的方程是2x －4y －5＝0.例4(1)解：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c2⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4，故椭圆E 的方程为x 28＋y24＝1，∵A(4,0)，B(0,2)，∴直线AB 方程为x ＋2y －4＝0，那么O 到AB 距离为45， ∴圆O 的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝⎛⎭⎪⎫12×252＝2，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)证明：l 的方程为x ＝4，∴M 点坐标为M(4，t)、 在圆O 上任取一点N(x 0，y 0)，定点Q(x ，y)、 ∵NM 与NQ 的比值为常数且Q 不同于M ， ∴NQ 2＝λNM 2，λ>0且λ≠1，λ为常数，即(x 0－x)2＋(y 0－y)2＝λ[(x 0－4)2＋(y 0－t)2]，∴x 02＋y 02－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＝λ(x 02＋y 02－8x 0－2y 0t ＋16＋t 2)，将x 02＋y 02＝4代入上式，那么－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＋4＝－8λx 0－2λy 0t ＋(20＋t 2)λ， 由于N 是圆O 上任意一点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4λ，①y ＝4λ，②x 2＋y 2＋420＋t 2λ，③将①②代入③得(16＋t 2)λ2－(20＋t 2)λ＋4＝0∴(λ－1)[(16＋t 2)λ－4]＝0，∵λ≠1，∴λ＝416＋t 2，即存在一个定点Q(不同于点M)，使得对于圆O 上的任意一点N ， 均有MN NQ 为定值，又16＋t 2＝4λ代入③得x 2＋y 2＝4λ，于是有x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故点Q 在圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的定圆上、高考回顾1.1解析：此题考查直线与圆的位置关系，属容易题、2.102解析：由题意AC 为径，设圆心为F ，那么FE ⊥BD ，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，故F(1,3)，由此易得：AC ＝210，又k EF ＝2，所以BD 的方程为y ＝－12x ＋1，F 到BD 的距离为|－12＋1－3|52＝5，由此得BD ＝25，所以四边形ABCD 的面积为12AC ·BD ＝12×25×210＝10 2.3.1或1774.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33解析：因为直线过定点(0,3)且该点在圆上，设此点为M ，圆心(2,3)到此直线距离为d ，所以由4－d 2≥(3)2d ≤1，又d ＝|2k －3＋3|1＋k 2≤1，∴k 2≤13，∴－33≤k ≤33.5.点拨：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、解：(解法1)(1)依题意，点P 的坐标为(0，m)，因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，从而圆的半径r ＝|MP|＝2－020－22＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0，Δ＝42－4×4m ＝16(1－m)、①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切、②当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切、综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切、 (解法2)(1)设所求圆的半径为r ，那么圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2， 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)， 那么⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m|2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)同解法1.6.点拨：(1)动点M 通过点P 与圆相联系，所以把点P 的坐标用点M 的坐标表示，然后代入圆的方程即可；(2)直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算、解：(1)设点M 的坐标是(x ，y)，P 的坐标是(x p ，x p )，∵点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|， ∴x p ＝x ，且y p ＝54y ，∵P 在圆x 2＋y 2＝25上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，整理得x 225＋y 216＝1， 即C 的方程是x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程是y ＝45(x －3)，设此直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程x 225＋y 216＝1得：x 225＋x －3225＝1，化简得x 2－3x－8＝0，∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴|AB|＝x 1－x 22y 1－y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415，即所截线段的长度是415.。

直线与圆综合（定点、定值、最值问题）一、解答题1．已知圆()222:2(0)M x y r r +-=>与曲线()():23430C y x y --+=有三个不同的交点。

（1)求圆M 的方程；（2）已知点Q 是x 轴上的动点， Q A ， Q B 分别切圆M 于A ， B 两点。

①若423AB =，求M Q及直线M Q 的方程；②求证：直线AB 恒过定点。

2．在平面直角坐标系中,已知圆过坐标原点且圆心在曲线上．(1）若圆分别与x 轴、y 轴交于点A 、B(不同于原点O ），求证：的面积为定值； (2）设直线与圆交于不同的两点，且，求圆M 的方程；（3）设直线与(2）中所求圆交于点E 、F ， P 为直线x=5上的动点，直线PE ，PF 与圆的另一个交点分别为G ，H ，且G ,H 在直线异侧，求证:直线GH 过定点，并求出定点坐标.3．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y k x =-。

(1）若直线与圆O 交于不同的两点,A B ，当2A OB π∠=时，求k的值。

（2）若1,2k P =是直线上的动点，过P 作圆O 的两条切线,P CP D ，切点为,C D ，探究：直线C D 是否过定点；(3)若,E FG H 为圆22:2O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为1,M ⎛ ⎝,求四边形F G F H 的面积的最大值.4．已知平面直角坐标系xoy 内两个定点()1,0A 、()4,0B ,满足2P B P A =的点(),P x y 形成的曲线记为Γ。

（1)求曲线Γ的方程；(2)过点B 的直线与曲线Γ相交于C 、D 两点,当⊿COD 的面积最大时，求直线的方程（O 为坐标原点);(3）设曲线Γ分别交x 、y 轴的正半轴于M 、N 两点，点Q 是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN 交x 轴于点E 、连结QM 交y 轴于F .求证四边形MNEF 的面积为定值。

5．已知圆22:9O x y +=，直线:x =6，圆O 与x 轴相交于点A B 、(如图），点P （—1,2)是圆O 内一点，点Q 为圆O 上任一点（异于点AB 、)，直线A Q 、与相交于点C ．(1)若过点P 的直线与圆O 相交所得弦长等于的方程；（2）设直线B Q B C 、的斜率分别为B QB Ck k 、,求证: B QB Ck k ⋅为定值.6．已知圆C经过点()()0,2,2,0A B ，圆C的圆心在圆222x y +=的内部，且直线3450x y ++=被圆C 所截得的弦长为23。

2.2。

2直线与圆的位置关系2主备人:姚群审核人：董平第周星期教学目标：掌握直线与圆相交的位置关系，会求弦长重点难点求直线被圆所截弦长；教学过程:一、复习回顾1、直线()2=+与圆221y k x+=相交,求k的取值范围x y2、过点P()2,0-的直线与圆221PA⨯=x y+=交于A，B两点，则PB3、过圆222440+---=内一点M()2,1作直线l，l与圆交于A，B两点，x y x y当AB最短时l的方程是二、数学运用例1、判断直线4340+=和圆22100x y+=的的位置关系，并求公共点坐x y标．例2、求直线l x+=被圆224:0+=截得的弦长。

x y例3、已知直线2y kx=+与圆221⊥,求k的值+=交于A,B两点，且OA OBx y三、课堂检测:1、求直线l x+=被圆224:0+=截得的弦长。

x y2、直线:l y kx=把圆()()22-+-=分成1:2的两段弧，求直线的方程234x y3、直线:0++=与圆224l x y m+=相交于AB两点,AB 的长为2，求直线x y的方程4、直线l 过点()0,1P -，与圆2261090x y x y ++-+=相交所得弦长为8求l 的方程5、圆22420x y x y F +-++=与y 轴交于,A B 两点，圆心为C ，若90ACB ∠=，则F 的值是。

2。

2.2直线与圆的位置关系3主备董平审核姚群【学习目标】掌握直线与圆相离的常见题型的解析方法【学习过程】一、复习回顾1、直线与圆的位置关系：2、直线与圆相切时求切线问题的处理方法3、直线与圆相交时弦长的求法：二、补充例题例1（1)动点P在圆()2231+-=上运动，求点P到直线40x yy+=距离的取值范围（2）动点P在圆221x y+=上运动，求点P到直线4+=距离的取值范x y围（3）、动点P 在圆()()22243x y -+-=上运动，求点P 到直线34120x y ++=距离的取值范围变式1、已知()()1,0,0,4A B ,点C 在圆()()22121x y +++=，则三角形ABC 面积的最大值是例2（1）、已知直线:2l x =，圆222x y r += 当1r =时，圆上有 个点到直线的距离是1 ？ 当2r =时，圆上有 个点到直线的距离是1 ? 当3r =时，圆上有 个点到直线的距离是1 ？当4r =时，圆上有 个点到直线的距离是1 ？（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x —5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是____例3、已知直线=+与曲线x=则b的取y x b值范围是三、课堂检测：1、若圆222+=上恰有两个点到直线3412x y r+=的距离为1，则r=x y2、若圆222+=上恰有3个点到直线340x y++=的距离为1，则c=x y c3、已知直线=+与曲线y=b的取值y x b范围是4、已知直线()=++与曲线y=k的y k x42取值范围是。