专题03 分式及二次根式一、单选题1．（2022年山东青岛）计算 ）A B ．1 C D ．3【答案】B【解析】【分析】再合并即可． 【详解】解：94321故选：B ．【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．2．（2020年湖北黄石）函数13y x =-x 的取值范围是（ ） A ．2x ≥，且3x ≠B ．2x ≥C ．3x ≠D ．2x >，且3x ≠ 【答案】A【解析】【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．【详解】依题意可得x -3≠0，x -2≥0解得2x ≥，且3x ≠故选A ．【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质． 3．（2020年山东淄博）化简222a b ab a b b a ++--的结果是（ ）A ．a +bB ．a ﹣bC ．2()a b a b +-D ．2()a b a b-+ 【答案】B【解析】【分析】 根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．【详解】 解：原式222a b ab a b a b+=--- 222a b ab a b+-=- 2()a b a b-=- a b =-．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是熟记运算法则．4．（2021年黑龙江绥化）定义一种新的运算：如果0a ≠．则有2||a b a ab b -=++-▲，那么1()22-▲的值是（ ）A ．3-B ．5C ．34-D ．32【答案】B【解析】【分析】根据题意列出算式，求解即可【详解】2||a b a ab b -=++-▲ 2111()2=()()2|2|222-∴--+-⨯+-▲ 412=-+=5．故选B ．【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等． 本号资料皆来源于@微信：数#学5．（2021年广西桂林）若分式23x x -+的值等于0，则x 的值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣3【答案】A【解析】【分析】 根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解．【详解】由题意可得：20x -=且30x +≠，解得2,3x x =≠-．故选A ．【点睛】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．6．（2022年福建福州）函数y =x 的取值范围是（ ） A ．2x <B ．2x >C ．2x ≥D ．2x ≠ 【答案】B【解析】【分析】 使函数y =20x -≥且20x -≠， 然后解不等组即可． 【详解】解：根据题意得：20x -≥且20x -≠，解得x > 2．故选B ．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1) 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 7．（2022年天津市）计算1122a a a ++++的结果是（ ）A ．1B ．22a +C ．2a +D ．2a a + 【答案】A【解析】【分析】 利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可．【详解】 解：1121222a a a a a +++==+++． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则．8．（2022年山西）化简21639a a ---的结果是（ ） A ．13a + B ．3a -C ．3a +D ．13a - 【答案】A【解析】【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可．【详解】 解：()()()()21636313933333a a a a a a a a a +---===---+-++， 故选A ．【点睛】本题考查分式的化简及平方差公式，属于基础题，掌握通分、约分等基本步骤是解题的关键．9．（2022a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a <D ．1a ≤【答案】B【解析】【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．【详解】a-≥0，根据题意知1a≥，解得1故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性．10．（2021）C．D．A．6B．【答案】D【解析】【分析】由题意化简为最简二次根式后依据二次根式的乘法运算法则进行运算即可得出答案.【详解】故选：D.【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键.11．（2021）A B C．D2【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式==故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．12．（2020x的取值范围是（）A．x≤－3B．x＞3C．x≥3D．x=3【答案】C【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，即可求出结论．【详解】x-≥解：由题意可得260x≥解得：3故选C．【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0，是解题关键．x应满足的条件为（）13．（2022A．1x≠-B．1x>-C．1x<-D．x≤-1【答案】B【解析】【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．【详解】x+>，解：由题意可知：10∴1x>-，故选：B．【点睛】本题考察了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题．本号资料*皆来源于微信：数学14．（2022广东广州）下列运算正确的是（ ）A 2=B ．11a a a a +-=（0a ≠）C D ．235a a a ⋅= 【答案】D【解析】【分析】根据求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，逐项分析判断即可求解．【详解】A.2=-，故该选项不正确，不符合题意； B.111a a a +-=（0a ≠），故该选项不正确，不符合题意；C. =D.235a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查了求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，正确的计算是解题的关键．15．（2022年内蒙古呼和浩特）下列运算正确的是（ ）A 2=±B ．222()m n m n +=+C ．1211-=--x x xD ．2229332-÷=-y x xy x y【答案】D【解析】【分析】分别根据二次根式乘法法则，完全平方公式，异分母分式加减法法则以及分式除法法则计算出各项结果后，再进行判断即可．【详解】解：A. 2=，故此计算错误，不符合题意； B. 222()2m n m mn n +=++，故此计算错误，不符合题意； C. 1221(1)x x x x x --=---，故此计算错误，不符合题意； D. 22223933322y x x xy xy =x y y-÷=--，计算正确，符合题意， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次根式乘法，完全平方公式，异分母分式加减法以及分式除法，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．16．（2022年湖北恩施）函数y 的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠B ．3x ≥C ．1x ≥-且3x ≠D ．1x ≥-【答案】C【解析】【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解： ∴10,30x x +≥-≠，解得1x ≥-且3x ≠，故选C ．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 17．（2022年山东威海）试卷上一个正确的式子（11a b a b ++-）÷★＝2a b +被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )A ．a a b -B ．a b a -C ．a a b +D ．224a a b - 【答案】A【解析】【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．【详解】 解：11a b a b ⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭∴=2a b +()()a b a ba b a b -++÷+-∴=2a b +∴=()()22aa b a b a b ÷+-+ =aa b -，故选A ．【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．18．（2022年河北省）若x 和y 互为倒数，则112x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】【分析】 先将112x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可【详解】112111221212121x y y x xy x y x y xy xy xyxy xy ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅+⋅-=-+-=-+∴x 和y 互为倒数∴1xy =1212112xy xy -+=-+= 故选：B【点睛】本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为119．（2022年内蒙古乌海）若分式11x x --的值等于0，则x 的值为（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．±1【答案】A【解析】【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案．【详解】解：根据题意，|x |−1＝0，x −1≠0，∴x ＝−1，故选：A ．【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．20．（2021年广西百色）当x ＝﹣2时，分式2232796x x x -++的值是（ ） A ．﹣15B ．﹣3C ．3D ．15【答案】A【解析】【分析】 先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把2x =-代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.【详解】 解：2232796x x x -++ ()()22393x x -=+()()()23333x x x +-+= ()333x x -=+ 把2x =-代入上式中原式()3231523--==--+故选A.【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.21．（2021年湖北黄石）函数()02y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥-B ．2x >C ．1x >-且2x ≠D ．1x ≠-且2x ≠【答案】C【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解．【详解】 解：函数()02y x =-的自变量x 的取值范围是： 10x +>且20x -≠，解得：1x >-且2x ≠，故选：C ．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．22．（2022年辽宁大连）下列计算正确的是（ ）A 2=B 3=-C ．=D ．21)3=【答案】C【解析】【分析】分别化简二次根式判断即可．【详解】AB 3=，故该项错误，不符合题意； 本号资料皆*来源于微信：数学C 、=D 、221)13=+=+故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．23．（2022年内蒙古通辽）下列命题：∴()3235m n m n ⋅=；∴数据1，3，3，5的方差为2；∴因式分解()()3422x x x x x -=+-；∴平分弦的直径垂直于弦；∴1≥x ．其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．3C ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，逐项判断即可求解．【详解】解：∴()3362m n m n ⋅=，故原命题是假命题； ∴数据1，3，3，5的平均数为()1133534+++= ，所以方差为()()()()222211333335324⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦，是真命题； ∴()()()324422x x x x x x x -=-=+-，是真命题；∴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；* 本号资料皆来源于微信#：数学∴10x -≥，即1≥x ，是真命题；∴假命题的个数是2．故选：C【点睛】本题主要考查了积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．24．（20222x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x >-B ．1x -C ．1x -且0x ≠D ．1x -且0x ≠ 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；【详解】解：由题意得：x +1≥0且x ≠0，∴x ≥-1且x ≠0，故选： C ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．25．（2022333=，…，6666633n ++++++=个根号，一般地，对于正整数a ，b ，如果满足n b b b b b a a ++++++=个根号时，称(),a b 为一组完美方根数对．如上面()3,6是一组完美方根数对．则下面4个结论：∴()4,12是完美方根数对；∴()9,91是完美方根数对；∴若(),380a 是完美方根数对，则20a =；∴若(),x y 是完美方根数对，则点(),P x y 在抛物线2yx x 上．其中正确的结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据定义逐项分析判断即可．【详解】 解：1244+=，∴()4,12是完美方根数对；故∴正确；109≠∴()9,91不是完美方根数对；故∴不正确；若(),380a a =即2380a a =+解得20a =或19a =-a 是正整数则20a =故∴正确；若(),x y x =2y x x ∴+=, 即2y x x故∴正确故选C【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．26．（2022的值应在（ ）A ．10和11之间B ．9和10之间C ．8和9之间D ．7和8之间【答案】B【解析】【分析】6=【详解】6=∴43，∴910＜，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．27．（2022年内蒙古包头、巴彦淖尔）若1x =，则代数式222x x -+的值为（ ）A．7B ．4C ．3D ．3- 【答案】C【解析】【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=-+=． 故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算．28．（2021年湖南娄底）2,5,m ） 本号资料皆来*源于微信*：数学第*六感 A ．210m -B ．102m -C ．10D ．4【答案】D【解析】【分析】 先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+，解得：37x ，374m m =-+-=，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m 的范围，再对二次根式化简．29．（2021年广东）设6a ，小数部分为b ，则(2a b 的值是（ ）A ．6B ．C ．12D ．【答案】A【解析】【分析】a 的值，进而确定b 的值，然后将a 与b 的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∴34<，∴263<<，∴62a =，∴小数部分624b ==∴(((22244416106a b =⨯==-=．故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6a 与小数部分b 的值是解题关键．30．（2021年广西贺州）如{}1,2,M x =，我们叫集合M ，其中1，2，x 叫做集合M 的元素．集合中的元素具有确定性（如x 必然存在），互异性（如1x ≠，2x ≠），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合{},1,2N x =，我们说M N ．已知集合{}1,0,A a =，集合1,,b B a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】C【解析】【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B 的元素通过分析，与A 的元素对应分类讨论即可．【详解】解：∴集合B 的元素1,ba a ，a ，可得，∴0a ≠， ∴10≠a ，0ba =，∴0b =， 当11a =时，1a =，{}1,0,1A =，{}1,1,0B =，不满足互异性，情况不存在， 当1a a =时，1a =±，1a =（舍），1a =-时，{}1,0,1A =-，{}1,1,0B =-，满足题意，此时，=1b a -．故选：Ｃ【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。
