遵义专版2019秋九年级数学下册专题训练三反比例函数与一次函数二次函数的综合习题课件 新人教版PPT

专题03 反比例函数与一次函数综合三类型类型一反比例函数与一次函数图像综合判断1．如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数2kyx=的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD．（1）求k的值；（2）求V COD的面积；（3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．2．如图，直线y＝ax＋b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝k x（x＞0）的图象交于点C（6，m）．(1)求直线和反比例函数的表达式；(2)连接OC，在x轴上找一点P，使S△POC＝2S△AOC，请求出点P的坐标．3．如图，一次函数15y k x =+（1k 为常数，且10k ¹）的图象与反比例函数2k y x=（2k 为常数，且20k ¹）的图象相交于()2,4A -，(),1B n 两点．(1)求n 的值；(2)若一次函数1y k x m =+的图象与反比例函数2k y x=的图象有且只有一个公共点，求m 的值．4．一次函数y＝﹣12x+3的图象与反比例函数y＝mx的图象交于点A(4，1)．(1)画出反比例函数y＝mx的图象，并写出﹣12x+3＞mx的x取值范围；(2)将y＝﹣12x+3沿y轴平移n个单位后得到直线l，当l与反比例函数的图象只有一个交点时，求n的值．5．如图：一次函数的图象与反比例函数kyx=的图象交于()2,6A-和点()4,B n．（1）求点B的坐标；（2）根据图象回答，当x在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．2x \<-或04x <<．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键．6．如图，已知双曲线y ＝kx与直线y ＝mx +5都经过点A （1，4）．（1）求双曲线和直线的表达式；（2）将直线y ＝mx +5沿y 轴向下平移n 个单位长度，使平移后的图象与双曲线y ＝kx有且只有一个交点，求n 的值．类型二 反比例函数与一次函数的交点问题7．如图所示，平面直角坐标系中，直线1y kx b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，与曲线2m y x=分别交于点C ，D ，作CE x ^轴于点E ，已知OA =4，OE =OB =2．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)在y 轴上存在一点P ，使ABP CEO S S =V V ，请求出P 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线kyx=交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（- 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.(1)求双曲线的解析式：(2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值(3)求线段OQ长度的最大值.（3）9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝kx（x＜0）的图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2．(1)求k和b的值；(2)将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝kx（k＜0）的图象上，并说明理由．k x （x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）10．如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=（1）求b、k、m的值；（2）根据图象直接写出-x+b< kx（x> 0）的解集；（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)P ，(2,2)Q -，函数m y x=．(1)当函数m y x=的图象经过点Q 时，求m 的值并画出直线y =－x －m ．(2)若P ，Q 两点中恰有一个点的坐标（x ，y ）满足不等式组m y x y x mì>ïíï<--î（m <0），求m 的取值范围．12．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝mx的图象相交于A（1，2），B（﹣2，n）两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．类型三反比例函数与一次函数的实际应用13．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？14．病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克，已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间x （小时）成正比例，2小时后y 与x 成反比例（如图所示）．根据以上信息解答下列问题．(1)求当02x ££时，y 与x 的函数关系式；(2)求当2x >时，y 与x 的函数关系式；(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？【答案】(1)2y x =15．某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y （微克）与时间x （分钟）的函数关系如图．并发现衰退时y 与x 成反比例函数关系．（1）=a ；（2）当5100x ……时，y 与x 之间的函数关系式为 ；当100x >时，y 与x 之间的函数关系式为 ；（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？19055135\-=分钟，\服药后能持续135分钟．【点睛】考查了反比例函数与一次函数的实际应用，解题关键是根据已知点得出函数的解析式．16．当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，把时间、思考、课堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x £<和1020x £<时，图象是线段，当2045x ££时，图象是反比例函数的一部分．(1)求点A 对应的指标值．(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．17．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与药物点燃后的时间x （分）满足函数关系式y ＝2x ，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：药物点燃后的时间x （分）6121824空气中的含药量y （毫克/立方米）12643(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？18．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：(1)当010x ££时，求水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式；(2)求图中t 的值；(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？【答案】(1)820y x =+(010)x ££(2)50(3)50℃。

中考数学反比例函数与一次函数的综合一、同一直角坐标系中判断函数图像：例题1、当a ≠ 0 时，函数y = ax + 1 与函数y = a/x 在同一坐标系中的图像可能是（A）。

图（1）二、利用反比例函数的中心对称性求点的坐标或代数式的值：例题2、已知一个正比例函数的图像与一个反比例函数的图像的一个交点坐标为（1,3），则另一个交点坐标是（-1，-3）。

例题3、直线y = kx （k ＞0）与双曲线y = 2/x 交于A 、B 两点。

若A 、B 两点的坐标分别为A（x1,y1）, B（x2,y2）,则x1y2 + x2y1 的值为多少？解：由双曲线y = 2/x 及y = kx 的中心对称性知x1 = -x2 , y1 = -y2 ；所以：x1y2 + x2y1 = -x2y2 - x2y2 = -2x2y2 = -2 × 2 = -4 。

三、利用反比例函数图像与一次函数图像的交点求解：例题4、如图、在平面直角坐标系中，反比例函数y1 = 2/x 的图像与一次函数y = kx + b 的图像交于 A , B 两点，若y1 ＜y2 , 则x 的取值范围是多少？图（2）解：x ＜0 或1 ＜x ＜3 。

例题5、若反比例函数y = k/x （k ≠ 0）与一次函数y = x + 2 的图像没有交点，则K 的取值范围是多少？解：令k/x = x + 2 , 即x + 2x - k = 0 。

若两图像没有交点，则△ = 2×2 + 4k ＜0 ，所以k ＜-1 。

例题6、如图、将函数y = -x 的图像以点O 为中心旋转90°与函数y = 1/x 的图像交于点A ，在将y = -x 的图像向右平移至点 A ，与x 轴交于点 B ，则点 B 的坐标为多少？图（3）解：图（4）例题7、如图、已知一次函数y1 = k1x + b （k1 ≠ 0）的图像与x 轴，y 轴分别交于 A , B 两点，与反比例函数y2 = k2/x（k2 ≠ 0）的图像分别交于C，D 两点，点D 的坐标为（2，-3）点B 是线段AD 的中点。

专题03 反比例函数与一次函数综合三类型类型一反比例函数与一次函数图像综合判断1．如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数2kyx=的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD．（1）求k的值；（2）求COD的面积；（3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．数y ＝kx（x ＞0）的图象交于点C （6，m ）．(1)求直线和反比例函数的表达式；(2)连接OC ，在x 轴上找一点P ，使S △POC ＝2S △AOC ，请求出点P 的坐标．3．如图，一次函数15y k x =+（1k 为常数，且10k ≠）的图象与反比例函数2y x=（2k 为常数，且20k ≠）的图象相交于()2,4A -，(),1B n 两点．(1)求n 的值；(2)若一次函数1y k x m =+的图象与反比例函数2k y x=的图象有且只有一个公共点，求m 的值．【答案】(1)8n =- (2)4m =或4-【分析】（1）由待定系数法求出反比例函数的解析式，再由B 点坐标计算求值即可； （2）根据函数图象交点的意义，利用一次函数和反比例函数构建一元二次方程，令0∆=，4．一次函数y ＝﹣12x +3的图象与反比例函数y ＝x的图象交于点A (4，1)．(1)画出反比例函数y ＝m x 的图象，并写出﹣12x +3＞m x的x 取值范围； (2)将y ＝﹣12x +3沿y 轴平移n 个单位后得到直线l ，当l 与反比例函数的图象只有一个交点时，求n 的值．1m则()26=--解得12n =-当l 与反比例函数的图像只有一个交点时，则【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的综合．解题的关键在于了解不等式的意义，一次函数平移后解析式的表达，将交点转化为二次方程根的个数．易错点在于求解集时落解．5．如图：一次函数的图象与反比例函数y x=的图象交于()2,6A -和点()4,B n ．（1）求点B 的坐标；（2）根据图象回答，当x 在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值． ）一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象6．如图，已知双曲线y ＝kx与直线y ＝mx +5都经过点A （1，4）．（1）求双曲线和直线的表达式；（2）将直线y ＝mx +5沿y 轴向下平移n 个单位长度，使平移后的图象与双曲线y ＝kx有且只有一个交点，求n 的值．47．如图所示，平面直角坐标系中，直线1y kx b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，与曲线2my x=分别交于点C ，D ，作CE x ⊥轴于点E ，已知OA =4，OE =OB =2．(1)求反比例函数2y 的表达式； (2)在y 轴上存在一点P ，使ABPCEOS S=，请求出P 的坐标．12ABPCEOSSCE ==243a ⨯-⨯=，解出S=CEOS=3ABPP(0，BP=S=ABPa-22解得：a=交于A，B两点，其中A的坐标为8．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线yx（1，a），P是以点C（- 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.(1)求双曲线的解析式：(2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与∵C相切，求m的值(3)求线段OQ长度的最大值.（3）【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的x图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且∵OCB与∵OAB的面积比为1：2．(1)求k和b的值；(2)将∵OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝kx（k＜0）的图象上，并说明理由．y x=-+y∴=时，(5,0)B∴OCB∆与C∴为AB(1,6)A-(2,3)C∴．如图，过点将OBC∆C'在第二象限，(3,2)C∴'-∴点C'是落在函数【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等10．如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=x（x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）（1）求b、k、m的值；（2）根据图象直接写出-x+b< kx（x> 0）的解集；（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD∵x轴于点D，连接OP，若∵POD的面积为S，求S的最大值和最小值．）一次函数）一次函数14n≤≤S12 =-1 2a=-11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)P ，(2,2)Q -，函数y x=．(1)当函数my x=的图象经过点Q 时，求m 的值并画出直线y =－x －m ． (2)若P ，Q 两点中恰有一个点的坐标（x ，y ）满足不等式组m y x y x m ⎧>⎪⎨⎪<--⎩（m <0），求m 的取值范围．（2）12．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（﹣2，xn）两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．A，(1,2)∴△的ACPACP的面积是13．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（∵）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10∵时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？20x小时，蔬菜才能避免受到伤害．本题考查一次函数和反比例函数的应用，．病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后值为4毫克，已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间x （小时）成正比例，2小时后y 与x 成反比例（如图所示）．根据以上信息解答下列问题． (1)求当02x ≤≤时，y 与x 的函数关系式； (2)求当2x >时，y 与x 的函数关系式；(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？【答案】(1)2y x =8k ， 与x 的函数关系式为第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y （微克）与时间x （分钟）的函数关系如图．并发现衰退时y 与x 成反比例函数关系．（1）=a ；（2）当5100x 时，y 与x 之间的函数关系式为 ；当100x >时，y 与x 之间的函数关系式为 ；（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？5100x 时，设经过点(5,0)，(100,19)019b =+= 0.21k b =⎧⎨=-⎩解析式为0.2y x =经过点堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段，当2045x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分．(1)求点A 对应的指标值．(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？【答案】(1)见解析（2）温y （∵）与开机时间x （分）满足一次函数关系，当加热到100∵时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y （∵）与开机时间x （分）成反比例关系，当水温降至20∵时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：(1)当010x ≤≤时，求水温y （∵）与开机时间x （分）的函数关系式；(2)求图中t 的值；(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少∵？x时，20小丽散步70【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、数值，解决本题的关键是熟练掌握待定系数法的应用．。

考点专题：反比例函数与一次函数的综合◆类型一判断函数图象1．当k＞0时，反比例函数y＝kx和一次函数y＝kx＋2的图象大致是() 2．在同一直角坐标系中，函数y＝kx与y＝kx＋k2的大致图象是() 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx 在同一平面直角坐标系内的图象大致为()◆类型二求交点坐标4．(阜阳月考)如图，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝kx的图象的一个交点为A(－1，2)，则另一个交点B的坐标为【方法3①】()A．(－2，1) B．(2，1)C．(1，－2) D．(2，－1)第4题图第5题图5．反比例函数y＝kx和正比例函数y＝mx的部分图象如图所示，由此可以得到方程kx＝mx的实数根为()A．x＝1 B．x＝2C．x1＝1，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－26．(2017·菏泽中考)直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝6x交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则3x1y2－9x2y1的值为________．【方法4】◆类型三求值或取值范围7．已知一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝kx的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是【方法3③】()A．x<2 B．x>5 C．0<x<5 D．0<x<2或x>5第7题图第8题图8．(2017·芜湖期末)如图，正比例函数y1＝k1x(k1≠0)的图象与反比例函数y2＝k2x(k2≠0)的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是【方法3③】()A．x＜－2或x＞2 B．x＜－2或0＜x＜2C．－2＜x＜0或0＜x＜2 D．－2＜x＜0或x＞29．若一次函数y＝mx＋6与反比例函数y＝nx的图象在第一象限有公共点，则有() A．mn≥－9 B．－9≤mn≤0 C．mn≥－4 D．－4≤mn≤010．(2017·长沙中考)如图，点M是函数y＝3x与y＝kx的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k的值为________．第10题图第11题图11．(2017·贵港中考)如图，过C(2，1)作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y＝－x＋6上．若双曲线y＝kx(x＞0)与△ABC总有公共点，则k的取值范围是____________．12．如图，一次函数y＝x＋m的图象与反比例函数y＝kx的图象交于A，B两点，且与x 轴交于点C，点A的坐标为(2，1)．(1)求m及k的值；(2)求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x＋m≤kx的解集．13．如图，反比例函数y＝kx与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A(2，2)，B⎝⎛⎭⎫12，n.(1)求这两个函数的解析式；(2)将一次函数y＝ax＋b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y＝kx的图象有且只有一个交点，求m的值．14．如图，直线y＝12x＋3与y轴交于点A，与x轴交于点C，直线l1与y轴交于点A，与x轴交于点B，且两直线互相垂直．(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________，点C的坐标为________；(2)已知双曲线y＝－kx与l1的交点坐标为(－1，k)，求k的值；(3)请利用图象直接写出不等式－kx>12x＋3的解集．◆类型四求图形的面积15．(2017·亳州利辛县一模)如图，已知某一次函数与反比例函数的图象相交于A(1，3)，B(m，1)，求：(1)m的值与一次函数的解析式；(2)△ABO的面积．参考答案与解析1．C 2.C 3.B 4.D 5.C6．36 解析：由题可知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于原点对称，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.把A (x 1，y 1)代入y ＝6x，得x 1y 1＝6，∴3x 1y 2－9x 2y 1＝－3x 1y 1＋9x 1y 1＝6x 1y 1＝36.7．D 8.D9．A 解析：将y ＝mx ＋6代入y ＝n x 中，得mx ＋6＝nx ，整理得mx 2＋6x －n ＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn ≥0，∴mn ≥－9.故选A.10．4 311．2≤k ≤9 解析：当反比例函数的图象过C 点时，把C 的坐标代入得k ＝2×1＝2.把y ＝－x ＋6代入y ＝k x 得－x ＋6＝kx ，整理得x 2－6x ＋k ＝0，Δ＝(－6)2－4k ＝36－4k .∵反比例函数y ＝kx的图象与△ABC 有公共点，∴36－4k ≥0，解得k ≤9，∴k 的取值范围是2≤k ≤9.12．解：(1)∵点A (2，1)在一次函数y ＝x ＋m 的图象上，∴2＋m ＝1，∴m ＝－1.∵点A (2，1)在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴k2＝1，∴k ＝2.(2)由(1)可知m ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝x －1，令y ＝0，得x ＝1，∴点C 的坐标是(1，0)．由图象可知不等式组0＜x ＋m ≤kx的解集为1＜x ≤2.13．解：(1)∵A (2，2)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x .∵点B ⎝⎛⎭⎫12，n 在反比例函数y ＝4x 的图象上，∴12n ＝4，解得n ＝8，∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，8.由A (2，2)，B ⎝⎛⎭⎫12，8在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝10.∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10.(2)由(1)可知反比例函数的解析式为y ＝4x ，一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10，它的图象沿y 轴向下平移m 个单位得到的直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m .令－4x ＋10－m ＝4x ，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0.∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4x 有且只有一个交点，∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或m ＝18.14．解：(1)(0，3) (1.5，0) (－6，0)(2)设l 1的解析式为y ＝k 1x ＋3，由题意可得k 1＝－2，∴y ＝－2x ＋3.∵双曲线y ＝－kx 与l 1的交点坐标为(－1，k )，∴－2×(－1)＋3＝k ，∴k ＝5.(3)从图象上看，双曲线y ＝－5x 与直线y ＝12x ＋3没有交点，且与x <0时，双曲线y ＝－5x 在直线y ＝12x ＋3的上方，∴不等式－k x >12x ＋3的解集是x <0.15．解：(1)设一次函数与反比例函数的解析式分别为y ＝ax ＋b ，y ＝kx .将A (1，3)，B (m ，1)代入y ＝kx中，得⎩⎨⎧3＝k 1，1＝k m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝3.∴点B 的坐标为(3，1)．将A (1，3)，B (3，1)代入y ＝ax ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝a ＋b ，1＝3a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4.∴一次函数的解析式为y ＝－x ＋4.(2)设一次函数y ＝－x ＋4的图象交x 轴于点C ，∴点C 的坐标为(4，0)，∴OC ＝4.∵A (1，3)，B (3，1)，∴S △AOB ＝S △AOC －S △BOC ＝12×4×(3－1)＝4.数学选择题解题技巧1、排除法。

九年级数学二次函数与反比例函数综合测试一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．下列函数关系式中，是二次函数的是（）A．y=x3﹣2x2﹣1 B．y=x2C．D．y=x+12．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）A．2xy+x2=1 B．y2﹣ax+2=0 C．y+x2﹣2=0 D．x2﹣y2+4=03．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax2﹣2x+b=0的根的情况是（）A．有两个正根B．有两个负根C．有一个正根一个负根D．没有实数根4．如下图，等腰直角三角形ABC（∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4cm，CA 与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与N点重合时为止，设△ABC与正方形MNPQ的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致为（）A、 B C D5．如图，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°，动点P、Q同时以每秒1cm 的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动，点Q沿BC、CD运动，P点与Q点相遇时停止，设P、Q同时从点B出发x秒时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系的大致图象为（）6．函数（k≠0）的图象如图所示，那么函数y=kx﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．7．已知反比例函数y=（a ≠0）的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，则一次函数y=﹣ax+a 的图象不经过（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限8．设反比例函数y=﹣（k ≠0）中，y 随x 的增大而增大，则一次函数y=kx ﹣k 的图象不经过（ ）9．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+a 的图象不经过（ ）10．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则直线y=bx+c 的图象不经过（ ）二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11．关于x 的函数y=（m+1）x 2+（m ﹣1）x+m ，当m=0时，它是 _________ 函数；当m=﹣1时，它是 _________ 函数． 12．当m= _________ 时，函数是二次函数．13．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的部分图象如下图1，若y ＞0，则x 的取值范围是 ______． A ．B ．C ．D ．A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限14．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如下图2所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是____ ．15．如上图3所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是______．三．解答题（共8小题，满分65分）16．已知反比例函数的图象经过点，若一次函数y=x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标．17．如图，已知A（﹣4，0），B（﹣1，4），将线段AB绕点O，顺时针旋转90°，得到线段A′B′．（1）求直线BB′的解析式；（2）抛物线y1=ax2﹣19cx+16c经过A′，B′两点，求抛物线的解析式并画出它的图象；（3）在（2）的条件下，若直线A′B′的函数解析式为y2=mx+n，观察图象，当y1≥y2时，写出x的取值范围．18．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积．19．如图，A、B两点在函数y=m/x（x＞0）的图象上．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=12cm．点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动，若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动．运动时间为t秒；（1）用含有t的代数式表示BQ、CP的长；（2）写出t的取值范围；（3）用含有t的代数式表示Rt△PCQ和四边形APQB的面积；（4）当P、Q处在什么位置时，四边形PQBA的面积最小，并求这个最小值．21．为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？22．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．23．我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种数形结合的思想方法，非常有利于解决一些数学和实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是_________ ；（2）在图2中，相距4km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线l）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，分别直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度.（3）已知x+y=6，求+的最小值；此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= _________ ，DB= _________ ；②在AB上取一点P，可设AP= _________ ，BP= _________ ；③+的最小值即为线段_________ 和线段_________ 长度之和的最小值，最小值为_________ ．。

专训2 反比例函数与一次、二次函数的综合应用名师点金：反比例函数单独考查的时候很少，与一次函数综合考查的情况较多，有时也与二次函数综合考查，其考查形式有：两种函数图象在同一坐标系中的情况，两种函数的图象与性质，两种函数图象的交点情况、交点坐标，用待定系数法求函数解析式及求与函数图象有关的几何图形的面积等．反比例函数图象与一次函数图象的位置判断1．【中考·兰州】在同一直角坐标系中，一次函数y＝－k与反比例函数y＝(k≠0)的图象大致是( )2．一次函数y＝＋b与反比例函数y＝(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则k，b的取值范围是( )A．k>0，b>0 B．k<0，b>0C．k<0，b<0 D．k>0，b<0(第2题)反比例函数与一次函数的图象与性质3．【中考·仙桃】如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A(1，2)，B两点，给出下列结论：①k1<k2；②当x<－1时，y1<y2；③当y1>y2时，x>1；④当x<0时，y2随x的增大而减小．其中正确的有( )(第3题)A．0个B．1个C．2个D．3个4．已知函数y1＝x(x≥0)，y2＝(x>0)的图象如图所示，则以下结论：(第4题)①两函数图象的交点A的坐标为(2，2)；②当x>2时，y1>y2；③＝2；④两函数图象构成的图形是轴对称图形；⑤当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是．反比例函数与一次函数的有关计算求函数解析式5．【2017·常州】如图，已知一次函数y＝＋b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝(x＜0)的图象交于点B(－2，n)，过点B作⊥x轴于点C，点D(3－3n，1)是该反比例函数图象上一点．(1)求m的值；(2)若∠＝∠，求一次函数y＝＋b的表达式．(第5题)求面积6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C(1，m)．(1)求m和n的值；(2)过x轴上的点D(3，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线和双曲线y＝交于点P，Q，求△的面积．(第6题)求点的坐标7．【中考·兰州】如图，，B(－1，2)是一次函数y1＝＋b与反比例函数y2＝图象的两个交点，⊥x轴于点C，⊥y轴于点D.(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y1－y2>0?(2)求一次函数解析式及m的值．(3)P是线段上一点，连接，，若△和△面积相等，求点P的坐标．(第7题)有关最值的计算题8．如图，一次函数y＝＋5的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△的面积S；(3)在y轴上求一点P，使＋最小．(第8题)反比例函数与二次函数的综合反比例函数图象与二次函数图象的位置判断9．函数y＝与y＝－2＋k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )反比例函数与二次函数综合求最值问题10．【中考·柳州】如图，在矩形中，＝3，＝2，F是上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y＝(k>0)的图象与边交于点E.(1)当F为的中点时，求该函数的解析式；(2)当k为何值时，△的面积最大，最大面积是多少？(第10题)反比例函数与二次函数综合求式子值问题11．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象经过点A(1，4)，B(m，n)．(1)求式子的值；(2)若二次函数y＝(x－1)2的图象经过点B，求式子m3n－2m2n＋3－4n的值；(3)若反比例函数y＝的图象与二次函数y＝a(x－1)2的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．答案1．A234．①②④⑤5．解：(1)∵点B(－2，n)，D(3－3n，1)在反比例函数y＝(x＜0)的图象上，∴－2n＝3－3n，解得n ＝3.∴m＝－2n＝－6.(2)由(1)知反比例函数解析式为y＝－.∵n＝3，∴点B(－2，3)，D(－6，1)．如图，过点D作⊥于点E，延长交于点F.(第5题)在△和△中，∴△≌△()．∴＝＝4.∴点F(2，1)．将点B(－2，3)，F(2，1)的坐标代入y＝＋b，得解得∴一次函数的表达式为y＝－x＋2.6．解：(1)把(1，m)的坐标代入y＝，得m＝，∴m＝4.∴点C的坐标为(1，4)．把(1，4)的坐标代入y＝2x＋n，得4＝2×1＋n，解得n＝2.(2)对于y＝2x＋2，令x＝3，则y＝2×3＋2＝8，∴点P的坐标为(3，8)．令y＝0，则2x＋2＝0，得x＝－1，∴点A的坐标为(－1，0)．对于y＝，令x＝3，则y＝.∴点Q的坐标为.∴△的面积＝·＝×(3＋1)×＝.点拨：注意反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式，解答这类题通常运用方程思想．7．解：(1)在第二象限内，当－4<x<－1时，y1－y2>0.(2)∵双曲线y2＝过点，∴m＝－4×＝－2.∵直线y1＝＋b过点，B(－1，2)，∴解得∴y1＝x＋.(3)设，如图，过P作⊥x轴于M，⊥y轴于N.∴＝t＋，＝－t.∵S△＝S△，∴··＝··，即××(t＋4)＝×1×，解得t＝－，∴.(第7题)8．解：(1)将B(4，1)的坐标代入y＝，得1＝，∴k＝4.∴y＝. 将B(4，1)的坐标代入y＝＋5，得1＝4m＋5，∴m＝－1.∴y＝－x＋5.(2)∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴n＝，即n＝4.∴A(1，4)．∴S＝×1×4＝2.(3)如图，作点A关于y轴的对称点N，则N(－1，4)，作直线，交y轴于点P，点P即为所求．(第8题)设直线对应的函数解析式为y＝＋b，由解得∴y＝－x＋.∴.9．B10．解：(1)∵在矩形中，＝3，＝2，∴B(3，2)．∵F为的中点，∴F(3，1)．∵点F在反比例函数y＝(k>0)的图象上，∴k＝3.∴该函数的解析式为y＝(x>0)．(2)由题意知E，F两点的坐标分别为，，∴S△＝·＝×k×＝k－k2＝－(k2－6k＋9－9)＝－(k－3)2＋.当k＝3时，S△有最大值．S△最大值＝.11．解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过点A(1，4)，∴k＝4.∴反比例函数的解析式为y＝.又∵反比例函数y＝的图象经过点B(m，n)，∴＝4.(2)∵二次函数y＝(x－1)2的图象经过点B(m，n)，∴n＝(m－1)2，∴n＝m2－2m＋1.∴m 2－2m＝n－1.由(1)得＝4，∴m3n－2m2n＋3－4n＝4m2－8m＋12－4n＝4(m2－2m)＋12－4n＝4(n－1)＋12－4n＝8.(3)由(1)得反比例函数的解析式为y＝.令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2.∴反比例函数y ＝的图象与直线y＝x交于点(2，2)，(－2，－2)．如图，当二次函数y＝a(x－1)2的图象经过点(2，2)时，可得a＝2；当二次函数y＝a(x－1)2的图象经过点(－2，－2)时，可得a＝－.∵二次函数y＝a(x－1)2图象的顶点为(1，0)，∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是0<a< 2或a<－.(第11题)。

反比例函数与一次函数综合经典例题解析 在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的根本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。

现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。

一. 探求同一坐标系下的图象 例1. 函数m x y =与xny =在同一直角坐标系中的图象大致如图1，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A. 0n ,0m >> B. 0n ,0m <> C. 0n ,0m ><D. 0n ,0m <<分析：由图知，一次函数m x y =中，y 随x 的增大而增大，所以0m >；反比例函数xny = 在第二、四象限，所以0n <。

观察各选项知，应选B 。

评注：此题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。

例2.在同一直角坐标系中，函数k kx y +-=与)0k (xky ≠=的图象大致是〔 〕A.B.C.D.图2分析：此题可采用排除法。

由选项A 、B 的一次函数图象知，0k >-即0k <，那么一次函数k kx y +-=图象与y 轴交点应在y 轴负半轴，而选项A 、B 都不符合要求，故都排除；由选项D 的一次图象知，0k <-即0k >，那么反比例函数)0k (xky ≠=图象应在第一、三象限，而选项D 不符合要求，故也排除；所以此题应选C 。

评注：此题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。

二. 探求函数解析式例3.如图3，直线b x k y 1+=与双曲线xk y 2=只有一个交点A 〔1，2〕，且与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，AD 垂直平分OB ，垂足为D ，求直线与双曲线的解析式。

解析：因为双曲线xk y 2=过点A 〔1，2〕， 所以2k ,1k 222==得双曲线的解析式为x2y =。

2023年数学专练——反比例函数与一次函数的综合一、综合题1．如图，已知反比例函数kyx=与一次函数y x m=+的图象交于点B和点(14)A k-+，，一次函数的图象与x轴交于点C .（1）求出两个函数的表达式.（2）求AOB的面积.（3）直接写出kx mx+≥的解集.2．已知：如图，函数kyx=与28y x=-+的图象交于点A(1，a)、B(b，2)．（1）求函数kyx=的解析式以及点A、B的坐标;（2）观察图象，直接写出不等式k28xx≥-+的解集；（3）若点P是x轴上的动点，当AP+BP取得最小值时，直接写出出点P的坐标．3．如图，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝kx交于A，B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为（﹣3，﹣2）.（1）求直线和双曲线的解析式；（2）根据图象直接写出ax+b﹣kx＞0中x的取值范围.4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x m=-+的图象与反比例函数(0)ky xx=>的图象交于A、B两点，已知()2,4A，(),2B n .（1）求反比例函数的表达式；（2）当 0x > 时，求不等式kx m x>-+ 的解集. 5．已知图中的曲线是函数 5m y x-=(m 为常数)图象的一支.（1）求常数m 的取值范围；（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x 图象在第一象限的交点为 A （2，n ），求点A 的坐标及反比例函数的解析式.6．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝ 的图象在第一象限交于点A （4，2），与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6，（1）求函数y ＝ 和y ＝kx+b 的解析式.（2）已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝ 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.7．如图，直线 y kx b =+ y kx b =+ 与反比例函数 12y x=相交于 A(2)m -， 、 B(n 3)，．（1）连接 OA 、 OB ，求 AOB 的面积； （2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式12kx b x>+ 的解集． 8．如图，一次函数 1y kx b =+ 的图象与反比例函数 2my x=的图象交于点A （-3， 8m + ），B （ n ，-6）两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求 AOB 的面积；（3）直接写出 12y y > 时，x 的取值范围.9．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点.已知反比例函数 ky x=（ 0k > ）的图象经过点A （2，m ），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为12.（1）求k 和m 的值；（2）点C （x ，y ）在反比例函数 ky x=的图象上，求当1≤x≤3时，函数值y 的取值范围. 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ()0y kx b k =+≠ 与反比例函数 ()0my m x=≠ 的图像交于点 ()3,1A ，且过点 ()1,3B -- ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图像直接写出当 mkx b x+>时， x 的取值范围． 11．如图，已知反比例函数y 1＝1k x与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （1，8），B （﹣4，m ）两点.（1）求k 1，k 2，b 的值； （2）求△AOB 的面积；（3）请直接写出不等式1k x≤ 2k x+b 的解. 12．如图所示，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于A(1，t+1)，B(t-5，-1)两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点(c ，p)和(n ，q)是反比例函数y ＝mx图象上任意两点，且满足c ＝n+1时，求 q p pq - 的值.（3）若点M(x 1，y 1)和N(x 2，y 2)在直线AB(不与A 、B 重合)上，过M 、N 两点分别作y 轴的平行线交双曲线于E 、F ，已知x 1＜-3，0＜x 2＜1，当x 1x 2＝-3时，判断四边形NFEM 的形状.并说明理由.13．如图，反比例函数 8y x=-与一次函数 2y x =-+ 的图象交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积． （3）当x 为何值时 8y x=-的函数值大于 2y x =-+ 的函数值，直接写出x 的取值范围14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x +2与函数y ＝kx（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（1，m ）．（1）求k ，m 的值；（2）直接写出关于x 的不等式2x +2＞kx的解集； （3）若Q 在x 轴上，△ABQ 的面积是6，求Q 点坐标．15．如图，一次函数 1y kx =+ 的图象与反比例函数 my x=的图象交于点 A 、 B ，点 A 在第一象限，过点 A 作 AC x ⊥ 轴于点 C ， AD y ⊥ 轴于点 D ，点 B 的纵坐标为－2，一次函数的图象分别交 x 轴、 y 轴于点 E 、 F ，连接 DB 、 DE .已知 4ADFS= ， 3AC OF = .（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求 DBE 的面积；（3）直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围.16．如图，已知直线 5l y x =-+：（1）当反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内至少有一个交点时，求k 的取值范围 （2）若反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内相交于点 11(,)A x y 、 22(,)B x y ，当 213x x -= 时，求k 的值并根据图象写出此时关的不等式 5kx x-+< 的解集17．如图，过直线 12y kx =+上一点 P 作 PD x ⊥ 轴于点D ，线段 PD 交函数 (0)my x x=> 的图像于点C ，点C 为线段 PD 的中点，点C 关于直线 y x = 的对称点 C ' 的坐标为 (13)，．（1）求k 、m 的值；（2）求直线 12y kx =+与函数 (0)my x x=> 图像的交点坐标；（3）直接写出不等式1(0)2m kx x x >+> 的解集． 18．如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象相交于点A(3，1)，B(﹣1，n)两点.（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足k 1x+b≥2k x的x 的取值范围； （3）连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求△ABC 的面积.19．如图，双曲线 ()0ky k x=> 经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D.设点B 的坐标为（m ，n ）.（1）直接写出点E 的坐标，并求出点D 的坐标；（用含m ，n 的代数式表示） （2）若梯形ODBC 的面积为，求双曲线的函数解析式.20．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为BC 边上的点，反比例函数y=k x（k≠0）在第一象限内的图象经过点D （m ，2）和AB 边上的点E （3，23）．（1）求反比例函数的表达式和m 的值；（2）将矩形OABC 的进行折叠，使点O 于点D 重合，折痕分别与x 轴、y 轴正半轴交于点F ，G ，求折痕FG 所在直线的函数关系式．答案解析部分1．【答案】（1）解：将点 (14)A k -+， 代入 ky x= ， 得 4k k -+= 解得 2k =∴ 反比例函数表达式为 2y x=， (12)A ， 将点 (12)A ， 代入 y x m =+ 得 21m =+1m ∴=∴ 一次函数的表达式为 1y x =+（2）解：由一次函数 1y x =+ 的图象与 x 轴交于点 C .令 0y = ，解得 1x =- ，则 (10)C -， 则 1OC =联立 21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1121x y =-⎧⎨=-⎩ ， 2212x y =⎧⎨=⎩ ()21B ∴--，()113=121222AOBA B SOC y y ∴=⋅⋅-⨯⨯--= （3）解：一次函数 1y x =+ 与反比例函数 2y x=交于点 (12)A ， ， ()21B --， 根据函数图象可得 kx m x+≥的解集为： 1x ≥ 或 20x -≤< 【解析】【分析】（1）将A （1，-k+4）代入y=kx中可得k 的值，进而可得反比例函数的解析式；将A （1，2）代入y=x+m 中求出m ，进而可得一次函数的解析式；（2）易得C （-1，0），则OC=1，联立反比例函数与一次函数的解析式求出x 、y ，可得B （-2，-1），接下来根据三角形的面积公式进行计算；（3）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分所对应的x 的范围即可.2．【答案】（1）解：将A （1，a ），B （b ，2）代入y ＝﹣2x+8中得：a=6，b=3∴A （1，6），B （3，2）， 把A （1，6）代入y ＝kx中，可得k ＝6 ∴反比例函数解析式为y ＝6x，A 、B 两点坐标分别为A （1，6）、B （3，2）； （2）解：由图象得：不等式6x＜﹣2x+8的解集为1＜x ＜3或x ＜0； （3）（52，0） 【解析】【解答】解：（3）如图，作点A 关于x 轴的对称点A′（1，-6），连结A′B 交x 轴于点P ，则点P 即为所求，此时AP+BP 的值最小．设直线A′B 的解析式为y ＝mx+n ， ∵B （3，2），A′（1，-6），∴326m n m n +=⎧⎨+=-⎩ ，解得 410m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线A′B 的解析式为y ＝4x-10， 当y ＝0时，y ＝52， ∴点P 的坐标为（52，0）．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式求解a 、b ，再将点A 坐标代入反比例函数表达式求解k 即可；（2）结合图像，函数值大的图像在上方的原则直接写出答案即可；（3）利用“将军饮马”的方法，先作对称轴，再求解即可。

中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知反比例函数()10cy c x=≠和一次函数()20y kx b k =+≠的图象相交于点()2,3A -和()3,B a ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)将一次函数2y 向下平移5个单位长度后得到直线3y ，当213y y y >>时，求x 的取值范围． 2．如图，反比例函数()0ky k x=>的图象经过正方形OABC 的顶点B ，一次函数1y x =+经过BC 的中点D ．(1)求反比例函数的表达式；(2)将ABD △绕点A 顺时针旋转90︒，点D 的对应点为E ，判断E 点是否落在双曲线上． 3．如图，反比例函数()0ky k x=< 的图象与矩形ABCO 的边相交于D 、E 两点()51E -，，且23AD BD =∶∶,一次函数经过D 、E 两点．(1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求BDE △的面积．4．对于实数,a b ，我们可以用{}min ,a b 表示,a b 两数中较小的数，例如{}min 3,11-=- {}min 2,22=，类x x⎩⎭(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出不等式2kx x -＞的解集；(3)点P 为反比例函数ky x=图像的任意一点，若3POC AOC S S =△△，求点P 的坐标． 7．如图，一次函数y mx n =+()0m ≠的图象与反比例函数ky x=()0k ≠的图象交于第二、四象限内的点(),3A a 和点()6,B b ．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC 的面积为3(1)分别求出一次函数y mx n =+()0m ≠与反比例函数ky x=()0k ≠的表达式； (2)结合图象直接写出kmx n x>＋的解集； (3)在x 轴正半轴上取点P ，使PA PB -取得最大值时，求出点P 的坐标．8．如图，直线y ＝2x ＋6与反比例函数=ky x(k ＞0)的图象交于点A (1，m )，与x 轴交于点B ，平行于x 轴的直线y ＝n (0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM ．x，求AOB 的面积；根据图象，请直接写出满足不等式1y kx b =+C ，点A 的坐标为(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求ABE 的面积． 11．已知平面直角坐标系中，直线AB 与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,3A 和点()3,B n ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．(1)求反比例函数的表达式及n 的值；(2)将OCD 沿直线AB 翻折，点O 落在第一象限内的点E 处，EC 与反比例函数的图象交于点F ． △请求出点F 的坐标；△将线段BF 绕点B 旋转，在旋转过程中，求线段OF 的最大值． 12．如图，正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数my (m 0)x=≠的图象交于A 、B 两点，A 的横坐标为4-，B 的纵坐标为6-．(1)求反比例函数的表达式． (2)观察图象，直接写出不等式mkx x<的解集． (3)将直线AB 向上平移n 个单位，交双曲线于C 、D 两点，交坐标轴于点E 、F ，连接OD 、BD ，若OBD 的面积为20，求直线CD 的表达式．13．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x 小时之间函数关系如图所示．②的面积是OCD．如图，已知一次函数y轴交于点，若ACD的面积为16．如图，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()1,0，点()44D ,在反比例函数()0k y x x=>的图象上，直线23y x b =+经过点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点M ，连接AC 、AE ．(1)求k 、b 的值； (2)求ACE △的面积；(3)在x 轴上取点P ，求出使PC PE -取得最大值时点P 的坐标． 17．已知反比例函数1k y x=图象经过点(3,2)A ，直线:(0)l y kx b k =+<，经过点(2,0)C -，经过点A 且垂直于x 轴的直线与直线l 相交于B ．(1)求1k 的值；(2)若ABC 的面积等于15，求直线l 的解析式；(3)点G 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，问是否存在点G 和点Q ，使以G ．Q 及（2）中的C ．B 四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数()0ky x x=<的图象过点()4,2C -，点D 的纵坐标为4，直线CD 与x 轴，y 轴分别交于点,A B ．Rt AOB直角边上的一个动点，当16PCD AOBS S=时，求点关于y轴的对称点为x轴的对称点为,N 使得以点,,M N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，标；若不存在，请说明理由．．如图，已知直线y=x参考答案：3．(1)5y x =- 1722y x =+(2)944．(1)B (2)直线1x = 5．(1)1y x =- 2y x= (2)(1,0)C 12x <≤6．(1)3y x= (2)10x -＜＜或3＞x (3)()1,3或()1,3--7．(1)反比例函数的表达式为6y x =-，一次函数表达式为122y x =-+．(2)2x <－或06x << (3)()10,0P 8．(1)8y x= (2)39．(1)反比例函数的表达式为：22y x=-(2)32AOBS=(3)20x -<<或1x >10．(1)一次函数解析式1y x 4=-，反比例函数解析式212y x= (2)32ABE S =△11．(1)3y x= 1n =(2)△F 点坐标为3(4,)4；△线段OF 的最大值为17104+12．(1)24y x=-(2)40x -<<或>4x。

中档题型训练(三) 一次函数和反比例函数结合纵观近5年某某市中考试题，一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容．侧重考查用待定系数确定反比例函数和一次函数解析式及解决相关问题．利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式【例1】如图，一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A(1，0)，B(0，－1)两点，且与反比例函数y ＝mx(m≠0)的图象在第一象限交于C 点，C 点的横坐标为2.(1)求一次函数的解析式；(2)求C 点坐标及反比例函数的解析式．【解析】(1)将点A(1，0)，B(0，－1)代入y ＝kx ＋b 即可．(2)将C 点的横坐标代入公式y ＝kx ＋b 即可求出纵坐标，再代入y ＝mx中即可．【学生解答】解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1，一次函数的解析式为y ＝x －1；(2)当x ＝2时，y ＝2－1＝1，所以C 点坐标为(2，1)；又C 点在反比例函数y ＝m x (m≠0)的图象上，∴1＝m2，解得m ＝2.所以反比例函数的解析式为y ＝2x.1．(2016某某中考)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋b(a≠0)的图形与反比例函数y ＝kx (k≠0)的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与y 轴交于C 点，过点A 作AH⊥y 轴，垂足为H ，OH ＝3，tan ∠AOH ＝43，点B的坐标为(m ，－2)．(1)求△AHO 的周长；(2)求该反比例函数和一次函数的解析式．解：(1)由OH ＝3，tan ∠AOH ＝43，得AH ＝4.即A(－4，3)．由勾股定理，得AO ＝OH 2＋AH 2＝5，△AHO 的周长＝AO ＋AH ＋OH ＝3＋4＋5＝12；(2)将A 点坐标代入y ＝kx (k≠0)，得k ＝－4×3＝－12，反比例函数的解析式为y ＝－12x ；当y ＝－2时，－2＝－12x，解得x ＝6，即B(6，－2)．将A ，B 两点坐标代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＋b ＝3，6a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，一次函数的解析式为y ＝－12x ＋1. 2．(2016某某中考)如图，反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A(2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n .(1)求这两个函数解析式；(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y ＝kx 的图象有且只有一个交点，求m 的值．解：(1)∵A(2，2)在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴k ＝4.∴反比例函数的解析式为y ＝4x .又∵点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n 在反比例函数y ＝4x 的图象上，∴12n ＝4，解得n ＝8，即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8.由A(2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝10，∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10；(2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位长度得直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m ，∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4x 有且只有一个交点，令－4x ＋10－m ＝4x，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0，∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或18.与面积有关的问题【例2】(2016某某十一中二模)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx 相交于A(－1，a)，B两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1.(1)求m ，n 的值；(2)求直线AC 的解析式．【解析】(1)因为A(－1，a)，所以B 的横坐标为1，即C(1，0)．再由S △AOC ＝1，得A(－1，2)，再代入y ＝mx 与y ＝nx即可．(2)将A 、C 坐标代入即可．【学生解答】解：(1)∵直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx 相交于A(－1，a)，B 两点，∴B 点横坐标为1，即C(1，0)，∵△AOC 的面积为1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y ＝mx ，y ＝nx可得m ＝－2，n ＝－2；(2)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝2，k ＋b ＝0.解得k ＝－1，b ＝1，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋1.3．(2016某某中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx(x>0)的图象交于A(2，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n 两点，直线y ＝2与y 轴交于点C. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△ABC 的面积．解：(1)把A(2，－1)代入反比例解析式得：－1＝m 2，即m ＝－2，∴反比例解析式为y ＝－2x ，把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n 代入反比例解析式得：n ＝－4，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－4.把A 与B 的坐标代入y ＝kx ＋b 中得：⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－1，12k ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－5.则一次函数的解析式为y ＝2x －5；(2)设直线AB 与y 轴交于点E ，则点E 的坐标为(0，－5)，∵点C 的坐标为(0，2)，CE ＝2－(－5)＝7，∵点A 到y 轴的距离为2，点B 到y 轴的距离为12，∴S △ABC ＝S △ACE －S △BCE ＝12×7×2－12×7×12＝7－74＝214. 4．(2016某某中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b(k<0)与反比例函数y ＝mx 的图象相交于A 、B 两点，一次函数的图象与y 轴相交于点C ，已知点A(4，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)连接OB(O 是坐标原点)，若△BOC 的面积为3，求该一次函数的解析式．解：(1)∵点A(4，1)在反比例函数y ＝m x 的图象上，∴m ＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x ；(2)将点A(4，1)代入一次函数的解析式中，即1＝4k ＋b ，解得b ＝1－4k.∴y＝kx ＋(1－4k)，令x ＝0，则y ＝1－4k ，∴C(0，1－4k)．又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝kx ＋（1－4k ），⇒kx 2A ·xB ＝－4k ，x A ＝4.∴x B ＝－1k ，S △OBC ＝12OC ·x B ＝3，∴k ＝－12，∴y ＝－12x ＋3. 与最小(大)值有关的问题【例3】一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝kx (k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．【解析】(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，连接BN 交y 轴于点P ，则点P 即为所求．【学生解答】解：(1)将B(4，1)代入y ＝k x ，得1＝k 4.∴k ＝4，∴y ＝4x ，将B(4，1)代入y ＝mx ＋5，得1＝4m＋5，∴m ＝－1，∴y ＝－x ＋5；(2)在y ＝4x 中，令x ＝1，解得y ＝4，∴A(1，4)，∴S ＝12×1×4＝2；(3)作点A关于y 轴的对称点N ，则N(－1，4)，连接BN 交y 轴于点P ，点P 即为所求．设直线BN 的关系式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝1，－k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，b ＝175，y ＝－35x ＋175，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，175.5．(2016某某中考)如图，直线y ＝2x ＋3与y 轴交于A 点，与反比例函数y ＝kx (x>0)的图象交于点B ，过点B作BC⊥x 轴于点C ，且C 点的坐标为(1，0)．(1)求反比例函数的解析式；(2)点D(a ，1)是反比例函数y ＝kx (x>0)图象上的点，在x 轴上是否存在点P ，使得PB ＋PD 最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵BC⊥x 轴于点C ，且C 点的坐标为(1，0)，∴在直线y ＝2x ＋3中，当x ＝1时，y ＝2＋3＝5，∴点B 的坐标为(1，5)，又∵点B(1，5)在反比例函数y ＝k x 上，∴k ＝1×5＝5，∴反比例函数的解析式为y ＝5x ；(2)将点D(a ，1)代入y ＝5x ，得：a ＝5，∴点D 坐标为(5，1)，设点D(5，1)关于x 轴的对称点为D′(5，－1)，过点B(1，5)、点D ′(5，－1)的直线解析式为：y ＝kx ＋b ，可得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝5，5k ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝132，∴直线BD′的解析式为：y ＝－32x ＋132，根据题意知，直线BD′与x 轴的交点即为所求点P ，当y ＝0时，得－32x ＋132＝0，解得：x＝133，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫133，0.6.(2016某某六中一模)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)，B(0，－3)，反比例函数y ＝kx (x>0)的图象经过点A ，动直线x ＝t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M ，与直线AB 交于点N.(1)求k 的值；(2)求△BMN 面积的最大值； (3)若MA⊥AB，求t 的值．解：(1)将A 点坐标(8，1)代入y ＝kx得k ＝8；(2)设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋b ，将A 点坐标(8，1)和B 点坐标(0，－3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧1＝8m ＋b ，－3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，b ＝－3，故直线AB 的解析式为y ＝12x －3，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2－3，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，8t ，故MN ＝8t －t 2＋3，△BMN 面积为S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫8t －t 2＋3t ＝－14t 2＋32t ＋4＝－14(t －3)2＋254，所以当t ＝3时，△BMN 面积的最大值为254；(3)如图，过A 作AQ⊥y 轴于Q ，延长AM 交y 轴于P ，又AM⊥AB.所以△ABQ∽△PAQ ，故AQ BQ ＝PQAQ ，即84＝PQ 8，所以PQ ＝16，所以P(0，17)．又A(8，1)．所以直线AP 的解析式为y ＝－2x ＋17.所以－2x ＋17＝8x ，解得x 1＝12，x 2＝8(舍去)，所以t ＝12.与平移有关的问题【例4】(2016某某二中三模)如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k>0，x>0)交于点A ，将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后与y 轴交于点C ，与双曲线y ＝kx(k>0，x>0)交于点B ，若OA ＝3BC ，求k 的值．【解析】分别过点A 、B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A(3x ，32x)，可得B(x ，12x ＋4)．【学生解答】解：∵将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，∴平移后直线的解析式为y ＝12x ＋4，分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ，32x ，∵OA ＝3BC ，BC ∥OA ，CF ∥x 轴，∴CF ＝13OD ，又∵点B 在直线y ＝12x ＋4上，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋4，∵点A ，B 在双曲线y ＝k x (x>0)上，∴3x ×32x ＝x×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，解得x ＝1(x ＝0直接舍去)，∴k ＝3×1×32×1＝92.7．(2016某某一中三模)如图，已知函数y ＝43x 与反比例函数y ＝k x (x>0)的图象交于点A ，将y ＝43x 的图象向下平移6个单位长度后与双曲线y ＝kx交于点B ，与x 轴交于点C.(1)求点C 的坐标；(2)若OACB＝2，求反比例函数的解析式．解：(1)点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0；(2)作AE⊥x 轴于E 点，BF ⊥x 轴于F 点，Rt △OAE ∽Rt △CBF ，∴OA CB ＝AE BF ＝OE CF ＝2，设A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，43a ，则OE ＝a ，AE ＝43a ，∴CF ＝12a ，BF ＝23a ，∴OF ＝OC ＋CF ＝92＋12a ，∴B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋12a ，23a ，∵点A 与点B 都在y ＝k x 的图象上，∴a ·43a ＝(92＋12a )·23a ，∴a ＝3，∴点A 的坐标为(3，4)，把A(3，4)代入y ＝k x 中，得k ＝3×4＝12.∴反比例函数的解析式为y ＝12x.8．(2016某某红花岗二模)如图，直线y ＝mx 与双曲线y ＝kx 相交于A ，B 两点，点A 的坐标为(1，2)．(1)求反比例函数的解析式；(2)根据图象直接写出当mx>kx 时，x 的取值X 围；(3)计算线段AB 的长．解：(1)把A(1，2)代入y ＝k x ，得k ＝2.即反比例函数的解析式是y ＝2x；(2)把A(1，2)代入y ＝mx ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x，y ＝2x ，得点B 的坐标是(－1，－2)．∴当mx>kx 时，x 的取值X 围是－1<x<0或x>1；(3)过点A 作AC⊥x 轴于点C.∵A(1，2)，∴AC ＝2，OC ，得AO ＝22＋12＝ 5.同理求出OB ＝5，∴AB ＝2 5.。

专项28 反比例图像与一次函数综合应用（三大类型）考点反比例与一次函数的综合、的符号；方法1：分类讨论k b方法2：四个图逐个分析判断；方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一）【类型一：反比例图形与一次函数图形】【典例1】反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，不符合题意；B、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＞0，则反比例y＝经过第一、三象限，不符合题意；C、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于正半轴，则b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，不符合题意；D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，符合题意；故选：D．【变式1-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣的图象大致是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵y＝x中的1＞0，∴直线y＝1x经过第一、三象限．∵y＝﹣中的﹣2＜0，∴双曲线y＝﹣经过第二、四象限，综上所述，只有B选项符合题意．故选：B．【变式1-2】在同一平面直角坐标系中反比例函数y＝与一次函数y＝x+3的图象大致是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵反比例函数y＝中，3＞0，∴反比例函数过第一、三象限，∵y＝x+3中，k＝1＞0，b＝3＞0，∴一次函数过第一、二、三象限；故选：A．故选：D．【类型二：反比例函数与一次函数的大小比较】【典例2】（2022•普陀区校级开学）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（，4）和点B（3，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）A．x＜0或＜x＜3B．x＜或x＞3C．0＜x＜或x＞3D．x＜0或x＞3【答案】C【解答】解：根据图象得：当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜或x＞3，故选：C．【变式2-1】（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（ ）A．﹣1＜x＜0或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2C．x＜﹣1或x＞2D．﹣1＜x＜2【答案】A【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，故选：A．【变式2-2】（2022•朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）A．x＜﹣2或x＞2B．﹣2＜x＜2C．﹣2＜x＜0或x＞2D．x＜﹣2或0＜x＜2【答案】D【解答】解：∵正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，∴B（2，﹣m），∴不等式ax＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜2，故选：D．【变式2-3】（2022•渠县一模）如图，直线y＝ax+b与函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点，与x轴交于点C，且，则不等式ax+b＞的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则AD∥BE，∴＝＝，∵A（1，m）、B（n，1），∴AD＝m，BE＝1，∴m＝3，∴A（1，3），∵函数y＝（x＞0）的图象国过点A（1，3）、B（n，1）两点，∴k＝1×3＝n•1，∴n＝3，∴B（3，1），观察图象，不等式ax+b＞的解集为1＜x＜3，故选：D．【类型三：反比例函数与一次函数综合应用】【典例3】（2022•大足区模拟）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（n，﹣1），与x轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点P 在x 轴上，且满足S △APB ＝8，求点P 的坐标．【解答】解：（1）将点A （﹣1，3）代入（k 2≠0）中，得k 2＝﹣3，∴反比例函数的解析式为．将点B （n ，﹣1）代入中，得n ＝3，∴点B 的坐标为（3，﹣1），将A （﹣1，3），B （3，﹣1）代入y ＝k 1x +b （k 1≠0）中，得，解得，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x +2．（2）对于一次函数y ＝﹣x +2，令y ＝0，得x ＝2，∴点C 的坐标为（2，0）．设点P 坐标为（a ，0），∵S △APB ＝S △ACP +S △BCP ＝8，即|2﹣a |×3+|2﹣a |×1＝8，∴|a ﹣2|＝4，解得a ＝﹣2或a ＝6．∴点P 的坐标为（﹣2，0）或（6，0）．【变式3-1】（2022•咸丰县模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象上A、B 两点的坐标分别为A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n）．（1）求反比例函数和直线AB的解析式；（2）连接AO、BO，求△AOB的面积．【解答】解：（1）∵A、B两点在的图象上，而A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n），∴n（n+1）＝（n﹣5）（﹣2n），即n2+n＝﹣2n2+10n3n2﹣9n＝0，解得n1＝0，n2＝3∵的图象与坐标轴没有交点，∴n1＝0舍去，∴n＝3，∴A（3，4），B（﹣2，﹣6），∴k＝3×4＝12，设直线AB的解析式为：y＝ax+b，则，解得：∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣2，反比例函数解析式为：；（2）设直线AB交x轴于点D，则当y＝0时，2x﹣2＝0，∴x＝1，∴D（1，0），∴∴△AOB的面积为5．【变式3-2】（2021秋•金水区校级期末）在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点M，交AC于点N，连接OM、ON．（1）求反比例函数表达式．（2）求△MON的面积．【解答】解：（1）由四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，得AC＝OB＝8，OA＝BC＝6，M（8，3），N点的纵坐标是6，∴BM＝3，将M点坐标代入函数解析式，得k＝8×3＝24，反比例函数的解析是为y＝；（2）当y＝6时，＝6，解得x＝4，∴N（4，6），∴AN＝4，∴NC＝8﹣4＝4，CM＝6﹣3＝3，∴S△MON ＝S矩形AOBC﹣S△AON﹣S△BOM﹣S△MCN＝AC•BC﹣OA•AN﹣OB•BM﹣NC•NM＝6×8﹣×6×4﹣×8×3﹣×4×3＝18，即△MON的面积为18．1.函数y＝x﹣a与y＝（a≠0）在同一坐标系内的图象可以是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、由函数y＝x﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，相矛盾，故选项不可以；B、由函数y＝x﹣a的图象可知a＜0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故选项不可以；C、函数y＝x﹣a的图象错误，故选项不可以；D、由函数y＝x﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，一致，故故选项可以；2．（2014•无锡一模）如图，A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则k的值为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解答】解：根据反比例函数的几何意义可得，S＝＝2，△ABP又∵函数图象在第一象限，∴k＝4．故选：D．3．（2021•长沙模拟）双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：设直线AB与x轴交于点C．∵AB∥y轴，∴AC⊥x轴，BC⊥x轴．∵点A在双曲线y＝的图象上，∴△AOC的面积＝×10＝5．∵点B在双曲线y＝的图象上，∴△COB的面积＝×6＝3．∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积＝5﹣3＝2．故选：B．4．（2022•江汉区校级模拟）若一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝（m＜0）的图象交于点A（﹣3，y1），B（1，y2），则不等式kx2+bx﹣m＜0的解集是（ ）A．x＞1或x＜﹣3B．0＜x＜1或x＜﹣3C．﹣3＜x＜0或x＞1D．﹣3＜x＜0或0＜x＜1【答案】A【解答】解：∵m＜0，∴反比例函数y＝（m＜0）的图象在第二、四象限，如图，当x＞0时，∵kx2+bx﹣m＜0，∴kx+b＜，由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝（m＜0）的图象下方时，x的取值范围是：x＞1，当x＜0时，∵kx2+bx﹣m＜0，∴kx+b＞，由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝（m＜0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣3，∴等式kx2+bx﹣m＜0的解集是：x＞1或x＜﹣3，故选：A．5．（2022春•安溪县期末）如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝kx的图象交于A （﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若＜k2x，则x的取值范围是（ ）A．﹣1＜x＜0B．﹣1＜x＜1C．﹣1＜x＜0或x＞1D．x＜﹣1或0＜x＜1【答案】C【解答】解：根据反比例函数y 1＝和正比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A （﹣1，﹣3）、B （1，3）两点，利用图象得：y 1＞y 2时x 的取值范围是﹣1＜x ＜0或x ＞1．故选：C ．6．（2022•沈阳模拟）如图，点A ，B 分别是x 轴上的两点，点C ，D 分别是反比例函数y ＝（x ＞0），y ＝﹣（x ＜0）图象上的两点，且四边形ABCD 是平行四边形，则平行四边形ABCD 的面积为 ．【答案】8【解答】解：解法一：如图，连接OC 、OD ，CD 交y 轴于E ，∵点C ，D 分别是反比例函数y ＝（x ＞0），y ＝﹣（x ＜0）图象上的两点，∴S △DOE ＝×|﹣3|＝，S △COE ＝×5＝，∴S △DOC ＝+＝4＝S 平行四边形ABCD ，∴S 平行四边形ABCD ＝8，故答案为：8．解法二：设点C 的纵坐标为b ，∵点C 在反比例函数y ＝的图象上，∴点C 的横坐标为，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点D 的纵坐标也为b ，∵点D 在反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上，∴点D的横坐标，∴CD＝﹣＝，∴平行四边形ABCD的面积为×b＝8，故答案为：8．7.（2022•市南区二模）如图，两个反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为 ．【答案】【解答】解：∵点P在y＝上，∴|x p|×|y p|＝|k|＝1，∴设P的坐标是（a，）（a为正数），∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y＝﹣上，∴A的坐标是（a，﹣），∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是，∵B在y＝﹣上，∴代入得：＝﹣，解得：x＝﹣2a，∴B的坐标是（﹣2a，），∴PA＝|﹣（﹣）|＝，PB＝|a﹣（﹣2a）|＝3a，∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：PA×PB＝××3a＝故答案为：．8．（2022秋•双牌县校级月考）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．【解答】解：（1）把A（1，2）代入得，2＝，∴k2＝2，∴双曲线的解析式为y2＝，∵点B（m，﹣1）在双曲线y2＝上，∴﹣1＝，∴m＝﹣2，∴B（﹣2，﹣1），把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y1＝k1x+b，得，解得：，∴直线的解析式为y 1＝x +1；（2）设直线y 1＝x +1与y 轴交于点M ，则M （0，1），∴S △AOB ＝S △AOM +S △BOM ＝×1×1+×1×2＝；（3）由图象可知：当y 1＜y 2时，x 的取值范围为x ＜﹣2或0＜x ＜1．9．（2022秋•宁远县校级月考）如图，一次函数y ＝﹣x +b 的图象与反比例函数y ＝的图象交于A 、B 两点，且A 点坐标为（﹣2，1），点B 的横坐标为1，一次函数交x 轴于点C ．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）直接写出使反比例函数大于一次函数的x 的取值范围．【解答】解：（1）∵点A （﹣2，1）在反比例函数y ＝的图象上，∴m ＝﹣2×1＝﹣2，∴反比例函数的解析式为：y ＝﹣；将点A 代入y ＝﹣x +b 得：﹣1+b ＝﹣2，解得：b ＝﹣1，∴一次函数的解析式的解析式为：y ＝﹣x ﹣1；（2）由直线AB 的解析式可知C （﹣1，0），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝＝1.5；（3）观察图象，反比例函数大于一次函数的x的取值范围是x＞1或﹣2＜x＜0．10．（2022•南充）如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO 与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．（1）求直线AB与双曲线的解析式．（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）设双曲线的解析式为y＝，∵点A（1，6）在该双曲线上，∴6＝，解得k＝6，∴y＝，∵B（m，﹣2）在双曲线y＝上，∴﹣2＝，解得m＝﹣3，设直线AB的函数解析式为y＝ax+b，，解得，即直线AB的解析式为y＝2x+4；（2）作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA 交于点E，如右图所示，直线BO的解析式为y＝ax，∵点B（﹣3，﹣2），∴﹣2＝﹣3a ，解得a ＝，∴直线BO 的解析式为y ＝x ，，解得或，∴点C 的坐标为（3，2），∵点A （1，6），B （﹣3，﹣2），C （3，2），∴EB ＝8，BG ＝6，CG ＝4，CF ＝4，AF ＝2，AE ＝4，∴S △ABC ＝S 矩形EBGF ﹣S △AEB ﹣S △BGC ﹣S △AFC＝8×6﹣﹣﹣＝48﹣16﹣12﹣4＝16．11.（2022•富阳区一模）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象交于A （﹣4，n ），B （2，﹣4）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）设点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y ＝图象上的两个点，若x 1＜x 2，试比较y 1与y 2的大小；（3）求△AOB 的面积．【解答】解：（1）将点B （2，﹣4）代入反比例函数y ＝，得m ＝2×（﹣4）＝﹣8，∴反比例函数解析式：，将点A （﹣4，n ）代入，得﹣4n ＝﹣8，解得n ＝2，∴A （﹣4，2），将A ，B 点坐标代入一次函数y ＝kx +b ，得，解得，∴一次函数解析式：y ＝﹣x ﹣2；（2）若x 1＜x 2，分三种情况：①x 1＜x 2＜0，y 1＜y 2，②x 1＜0＜x 2，y 1＞y 2，③0＜x 1＜x 2，y 1＜y 2；（3）设一次函数与y 轴的交点为D ，则D 点坐标为（0，﹣2），∴OD ＝2，∵A （﹣4，2），B （2，﹣4），∴S △AOB ＝S △AOD +S △BOD ＝＝6，∴△AOB 的面积为6．。