复变函数论第4章第2节
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复变函数02
en[ln z i(argz2kπ)]
z en inargz r nein
例 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 )
求a, b, c, d 使 f(z)在复平面内处处解析.
解 由于
u 2x ay , u ax 2by
x
y
v 2cx dy , v dx 2 y.
x
y
要 使 u v , u v x y y x
24
对数函数的性质 不难证明，复变数对数函数保持了实变
数对数函数的基本性质.
运算性质
Ln (z1z2 ) Ln z1 Ln z2
Ln
z1 z2
Ln
z1 Ln
z2
上面两个等式应理解为两端可能取的函
数值的全体是相同的，也就是说，对于
一端的任一值，另端必有一值和它相等. 25
对数函数的解析性 对数函数的主值lnz，包含两个部分 ln z = ln|z|+ i arg z ln|z|除原点外处处连续.
数连续且满足C－R方程，则f(z)可导.
11
函数解析的充要条件 根据函数在区域内解析的定义和函数可
导定理，可得判断函数在区域 D内解析 的一个充要条件.
定理 函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域 D内解析的充要条件是: u(x, y)与v(x, y) 在 D内可微，且满足C－R方程
(1) f (z) z (2) f (z) z Re(z)
(3) f (z) ez ex (cos y i sin y).
13
解 (1) f (z) z , 则u(x,y) = x, v(x,y) =－y
复变函数论总结
复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。
关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数 complex function第二章复变函数的积分 complex function integral第三章幂级数展开 power series expansion第四章留数定理 residual theorem第五章傅立叶变换 Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。
；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角 (ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。
复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。
复变函数课件：2_2解析函数
存在，则称 f ( z ) 在 z0 处可导或可微，并称这个极限为 f ( z ) 在 z0 的导数，记作 f ' ( z0 ), 即 f ( z0 )＝ lim
' z → z0 , z∈D
f ( z ) − f ( z0 ) z − z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ' lim 或 f ( z0 )＝ ∆z →0, z0 +∆z∈D . ∆z
所以
f ( z + ∆z ) − f ( z ) f ( z ) = lim ∆z → 0 ∆z
'
1 2 n ＝ lim (Cn z n −1 + Cn z n − 2 ∆z + ⋯ + Cn (∆z ) n −1 ) = nz n −1.
∆z → 0
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
f ( z + ∆z ) − f ( z ) Im( z + ∆z ) − Im z ∆f = = ∆z ∆z ∆z
Im z + Im ∆z − Im z Im ∆z = = ∆z ∆z
∆y Im( ∆x + i∆y ) , = = ∆ x + i∆ y ∆ x + i∆ y
当点沿平行于实轴的方 向( ∆y = 0)而使 ∆z → 0时,
第二节 解析函数
• 一、复函数的导数 • 二、解析函数的概念 • 三、复函数可导与解导的概念 定义2.2.1设复函数 w = f ( z ) 是定义在区域 D上单值 定义
函数, z0 ∈ D. 如果极限
z → z0 , z∈D
lim
f ( z ) − f ( z0 ) f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) lim 或 ∆z →0, z0 +∆z∈D z − z0 ∆z
复变函数 4-2
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7
2. 收敛圆与收敛半径 幂级数的收敛范围是一个圆域，级数在圆内绝
对收敛，在圆外发散。 该圆称为幂级数的收敛圆， 该圆的半径称为幂级数的收敛半径。
对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.
由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛.
设 z 时,级数收敛; z 时,级数发散. 如图:
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10
问题: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
例如, 级数:
பைடு நூலகம்
R 均为1, 收敛圆周 z 1
zn 收敛圆周上无收敛点;
n0
zn
n0 n
zn n2
n0
在点z 1发散, 在z 1收敛;
在收敛圆周上处处绝对收敛.
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
zR
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
| z | min(r1,r2 )
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
zR
n0
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17
例2 把函数
1 表成形如 zb
cn(z a)n 的幂
n0
级数, 其中 a与b 是不相等的复常数 .
解
把函数
1 z b 写成如下的形式:
1 zb
(z
a)
1
(b
a
)
b
1
a
1
1 z
a
凑出 1
ba
第二节 柯西公式
(1) f(z)在D内连续; (2)
C
f ( z ) dz 0.
第二节 柯西公式
（其中C内D的任一条简单闭曲线.）
复变函数
作以为z0心的圆盘 K D. 在凸区域K内，函数f(z)连续，并且对于K内任 何一个三角形的周界C，则可以证明f(z)在K内 有原函数F(z)，即
证明： z0 C,
f(z)解析
柯西-黎曼条件
柯西定理
柯西公式
任意阶导数
2、任意阶导数公式是柯西公式的直接推论。 n! f ( ) (n) 记 f (0) ( z) f ( z) f ( z) d ( n 0,1, 2,...) 2 i C ( z )n1
第二节 柯西公式
复变函数
定理 f ( z) u iv在D内解析的充要条件是:
复变函数
证明：先证明结论关于n=1时成立。设z h D 是D内另一点。只需证明，当h趋近于0时，下 式也趋近于0 f ( z h) f ( z ) 1 f ( ) d 2 h 2i C ( z )
1 1 f ( ) 1 f ( ) [ d d h 2i C z h 2i C z h f ( ) d ] 2 2i C ( z )
f ( z) C z z0 dz 2 if ( z0 )
第二节 柯西公式
复变函数
第二节 柯西公式
复变函数
例 1
求下列积分的值。
sin z (1) dz ; (2) z 2 z
z z 2 (9 z 2 )( z i)dz.
第二节 柯西公式
复变函数 ⑵ 解析函数的无穷可微性
复变函数
在 D 解析，所以有
第4次 复变函数的积分(1-4节)
C 其中曲线 为单位圆z = 1上从
A
x
12
∫[3z + Re(z)]dz
C
π
2
= ∫[3(cos t + i sint ) + cos t](−sint + i cos t )dt
π
0 2
= ∫[−7sint cos t + i(7cos t − 3)]dt
2
7 1 π 7 π π = − + i(7 ⋅ ⋅ − 3 ⋅ ) = − + i 2 2 2 2 2 4
C C C
(4) 设曲线 的长度为 ,函数 (z)在C上满足 C L f f (z) ≤ M,则
∫ f (z)dz ≤ ∫
C C
f (z) ds ≤ ML(估值定理) 估值定理)
(5) 设C是由以 1, C2 ,L, Cn等光滑曲线依次 C , 段光滑曲线则 相互连接所组成的的按
∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz +L+ ∫ f (z)dz
π
C
= ∫ (−sint + i cos t )dt = −2
0
14
π
例 3 计算复积分∫
C
dz (n ∈ Z)，其中 n+1 (z − z0 )
, 为半径的正向圆周。 曲线C为以z0为中心 r为半径的正向圆周。
y
z
θ
z0 r
z − z0 = re
iθ
o
x
15
C 解 曲线 : z − z0 = r
第十二章 复变函数的积分
第一节 复函数积分的概念
复积分是研究解析函数的一个重要工具。 复积分是研究解析函数的一个重要工具。 柯西积分定理及柯西积分公式尤其重要, 柯西积分定理及柯西积分公式尤其重要,它们 是复变函数论的基本定理和基本公式。 是复变函数论的基本定理和基本公式。
第2节 分式线性映射
复变函数
2. w=az
这是一个旋转与伸长（或缩短)的映射。
事实上，设z re i ei , 那么w rei( ) .
(z)=(w) w
因此，把z先旋转一个角度a，
再将 |z| 伸长(或缩短）到
z
|a|= 倍后， 就得到w 右图. o
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线性映射。
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复变函数 二、 分式线性映射的分解
设有线性映射 w ( 0) 把它化为
( ) ( )
w
( ) 1
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复变函数
3. w=1\z
先讨论 圆C的一对对称点。
T
如果有两点p 和p'满足关系式 r
op op r 2 那么我们就称这 O P
P
两点为关于圆周C的对称点。此外，我们规定，
无穷远点的对称点是圆心O 。
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复变函数
将映射w 1 z
分解为w1
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复变函数
这表明z'. 在C上，而Γ的切线就是C的半径， 因此Γ与C正交。
(充分性) 设是经过z1 z2 且与C正交的任一圆周， 那么连接z1与z2 的直线作为 的特殊情形。
（半径为无穷大的圆）必与C正交， 因此必过z0 。
又因 与C于交点z’处正交，因此C的半径z0 z' 就是 的切线。
反演映射
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复变函数第4讲初等函数
所以这时za具有单一的值.
11
(2).当a=p/q(p和q为互质的整数, q>0)时, 由于
p ln|z|+i p(arg z+2kπ )
za = e q q
p ln|z|
= e q [cos
p (arg z + 2kπ ) + i sin
p (arg z + 2kπ )],
q
q
za具有q个值, 即当k=0,1,...,(q−1)时相应各个值.
sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.
但当z为纯虚数iy时, 我们有
e−y + ey
⎫
cos iy = 2
sin iy = e− y − e y 2i
= ch y ⎪⎪
⎬
=
i
sh
y
⎪ ⎪⎭
20
所以
cos(x + iy) = cos x ch y − i sin x sh y,⎫
cos(z+2π)=cos z, sin(z+2π)=sin z. 也容易推出cos z是偶函数:
cos(−z)=cos z 而sin z是奇函数:
sin(−z)=−sin z 由指数函数的导数公式可以求得
(cos z)'=−sin z, (sin z)'=cos z 易知
eiz=cos z+isin z 普遍正确, 即对于复数, 欧拉公式仍然成立.
= e x1+x2 [(cos y1 cos y2 − sin y1 sin y2 ) +i(sin y1 cos y2 + cos y1 sin y2 )]
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(2).当a=p/q(p和q为互质的整数, q>0)时, 由于
p ln|z|+i p(arg z+2kπ )
za = e q q
p ln|z|
= e q [cos
p (arg z + 2kπ ) + i sin
p (arg z + 2kπ )],
q
q
za具有q个值, 即当k=0,1,...,(q−1)时相应各个值.
sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.
但当z为纯虚数iy时, 我们有
e−y + ey
⎫
cos iy = 2
sin iy = e− y − e y 2i
= ch y ⎪⎪
⎬
=
i
sh
y
⎪ ⎪⎭
20
所以
cos(x + iy) = cos x ch y − i sin x sh y,⎫
cos(z+2π)=cos z, sin(z+2π)=sin z. 也容易推出cos z是偶函数:
cos(−z)=cos z 而sin z是奇函数:
sin(−z)=−sin z 由指数函数的导数公式可以求得
(cos z)'=−sin z, (sin z)'=cos z 易知
eiz=cos z+isin z 普遍正确, 即对于复数, 欧拉公式仍然成立.
= e x1+x2 [(cos y1 cos y2 − sin y1 sin y2 ) +i(sin y1 cos y2 + cos y1 sin y2 )]
复变函数04
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由C－R方程 － 方程
∂u ∂v ∂ u dy + g ( x ) ⇒v=∫ = ∂x ∂ y ∂x
再利用上式结果， 再利用上式结果，求v(x, y)的偏导数 的偏导数
∂v ∂ ∂u ∂u d y + g ′( x ) = − = ∫ ∂ x ∂ x ∂x ∂y
解出g 再求g 的积分, 解出 ′ (x), 再求 ′ (x)的积分 得到 的积分 得到v(x, y). 已知v(x, y), 求u(x, y)的方法基本相同 的方法基本相同. 已知 的方法基本相同
I = i∫
2π
0
f ( z0 + re )dθ
iθ
由于f 连续 连续, 由于 (z)连续 并且积分 I 在C上的值与 r 上的值与 无关, 无关 令 r → 0 得： f(z) → f(z0) 即
I = i∫
2π
0
f ( z0 )dθ = 2 πi f ( z0 )
4
f (z) dz = 2 π i f ( z 0 ) 即 ∫ C z−z 0 上式称为柯西积分公式 柯西积分公式 f(z)在区域 内解析; 在区域D内解析 若f(z)在区域D内解析; C为D内的任何一条正向简单闭曲线 内的任何一条正向简单闭曲线; 为 内的任何一条正向简单闭曲线 它的内部完全含于D; 它的内部完全含于 z0为C内的任意一点 则 内的任意一点. 内的任意一点 f (z) 1 f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz 2 πi
15
部和虚部具有任意阶的连续偏导数， 部和虚部具有任意阶的连续偏导数，将上 式中的两个等式分别对x和 求偏导数 求偏导数， 式中的两个等式分别对 和y求偏导数，得
∂ u ∂ v ∂ u ∂ v , = =− 2 2 ∂x ∂y∂x ∂y ∂x∂y 2 2 ∂ v ∂ v 当二阶偏导数连续时 , = ∂y∂x ∂x∂y 2 2 2 2 ∂ u ∂ u ∂ v ∂ v 从而 2 + 2 = 0 ; 同理 2 + 2 = 0. ∂x ∂y ∂x ∂y
由C－R方程 － 方程
∂u ∂v ∂ u dy + g ( x ) ⇒v=∫ = ∂x ∂ y ∂x
再利用上式结果， 再利用上式结果，求v(x, y)的偏导数 的偏导数
∂v ∂ ∂u ∂u d y + g ′( x ) = − = ∫ ∂ x ∂ x ∂x ∂y
解出g 再求g 的积分, 解出 ′ (x), 再求 ′ (x)的积分 得到 的积分 得到v(x, y). 已知v(x, y), 求u(x, y)的方法基本相同 的方法基本相同. 已知 的方法基本相同
I = i∫
2π
0
f ( z0 + re )dθ
iθ
由于f 连续 连续, 由于 (z)连续 并且积分 I 在C上的值与 r 上的值与 无关, 无关 令 r → 0 得： f(z) → f(z0) 即
I = i∫
2π
0
f ( z0 )dθ = 2 πi f ( z0 )
4
f (z) dz = 2 π i f ( z 0 ) 即 ∫ C z−z 0 上式称为柯西积分公式 柯西积分公式 f(z)在区域 内解析; 在区域D内解析 若f(z)在区域D内解析; C为D内的任何一条正向简单闭曲线 内的任何一条正向简单闭曲线; 为 内的任何一条正向简单闭曲线 它的内部完全含于D; 它的内部完全含于 z0为C内的任意一点 则 内的任意一点. 内的任意一点 f (z) 1 f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz 2 πi
15
部和虚部具有任意阶的连续偏导数， 部和虚部具有任意阶的连续偏导数，将上 式中的两个等式分别对x和 求偏导数 求偏导数， 式中的两个等式分别对 和y求偏导数，得
∂ u ∂ v ∂ u ∂ v , = =− 2 2 ∂x ∂y∂x ∂y ∂x∂y 2 2 ∂ v ∂ v 当二阶偏导数连续时 , = ∂y∂x ∂x∂y 2 2 2 2 ∂ u ∂ u ∂ v ∂ v 从而 2 + 2 = 0 ; 同理 2 + 2 = 0. ∂x ∂y ∂x ∂y
第四章 第2节 泰勒展式(下)
f ( z ) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2
a n ( z z 0 ) n ,
分析：由泰勒定理，若 1 (n) an f ( z0 ) , n! 则展式唯一。否则，展式不唯一。
设 f ( z ) 在 z0 已被展开成幂级数:
f ( z ) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )
N
1 f ( ) n f (z) d ( z z0 ) n 1 n 0 2i C ( z0 )
f
n 0
( n)
f
( n)
( z0 ) n n ( z z0 ) cn ( z z0 ) n! n 0
1 ( n) 要证an n ! f ( z0 )
因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果 就是泰勒级数, 因而是唯一的.
三、将函数展开成泰勒级数
常用方法: 直接法和间接法.
1.直接法:
由泰勒展开定理计算系数
1 ( n) c n f ( z 0 ) , n 0 , 1 , 2 , n!
( z z0 ) 1 f ( ) d n 1 2i n 0 C ( z0 )
RN ( z )
( z z0 ) n 1 N 1 f ( ) d R ( z) n 1 N 2i n 0 C ( z0 )
1 f ( ) f (z) d 2i C z
则 b a R即为幂级数 cn ( z a ) 的收敛半径.
n n 0
1 n 设 c z ,求其收敛半径. 例 n 2 1 z z n 0
解
a n ( z z 0 ) n ,
分析：由泰勒定理，若 1 (n) an f ( z0 ) , n! 则展式唯一。否则，展式不唯一。
设 f ( z ) 在 z0 已被展开成幂级数:
f ( z ) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )
N
1 f ( ) n f (z) d ( z z0 ) n 1 n 0 2i C ( z0 )
f
n 0
( n)
f
( n)
( z0 ) n n ( z z0 ) cn ( z z0 ) n! n 0
1 ( n) 要证an n ! f ( z0 )
因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果 就是泰勒级数, 因而是唯一的.
三、将函数展开成泰勒级数
常用方法: 直接法和间接法.
1.直接法:
由泰勒展开定理计算系数
1 ( n) c n f ( z 0 ) , n 0 , 1 , 2 , n!
( z z0 ) 1 f ( ) d n 1 2i n 0 C ( z0 )
RN ( z )
( z z0 ) n 1 N 1 f ( ) d R ( z) n 1 N 2i n 0 C ( z0 )
1 f ( ) f (z) d 2i C z
则 b a R即为幂级数 cn ( z a ) 的收敛半径.
n n 0
1 n 设 c z ,求其收敛半径. 例 n 2 1 z z n 0
解
工程数学《复变函数》(第四版)课件 4-4 西安交大
1 z 4
1 1 1 f z 3 z z 1 z 4
在1 z 4内 :
1 1 1, z 4
1 1 z 1 z 1 1 z
1 1 1 1 2 z z z
例3 把 f z z 3e 在 0 z 内展成洛朗级数。
2 3 n z z z z 解 e 1 z 2! 3! n!
1 z
1 1 1 z 1 1 3 2 f z z 3 1 z z 2 3 z 2! z 2! 3! 4! z 3! z 12
1 1 z z 4 dz z 1
解法2（柯西积分公式）
1 z 1z 4 dz dz z z 1z 4 z z 3 C1
C2
1 1 2i 2i z 1 z 4 z z 4 z 0 z 1
（2） 洛朗级数
（3）
1
其中 z 0 及 cn n 0,1,2, 为常数。
规定 当且仅当2、 3收敛， 1收敛.
设2收敛域为: z z0 R2 ;
即为前面讨论的级数；
n
对于（3），
c 1 z z 0 c n z z 0
n
称为 f z 在以 z 0为中心的圆环域 R1 z z0 R2内的洛朗展
开式。 右端级数（洛朗级数）中，正整数次幂部分称为洛朗级数的 解析部分；负整数次幂部分称为洛朗级数的主要部分。
⑵ 洛朗级数是泰勒级数的推广。
当 f z 在 z 0 不解析但在 z 0 的去心邻域内解析时可用洛朗级数 展开，展开式是唯一的，展开时尽量用间接展开法。
1 1 1 f z 3 z z 1 z 4
在1 z 4内 :
1 1 1, z 4
1 1 z 1 z 1 1 z
1 1 1 1 2 z z z
例3 把 f z z 3e 在 0 z 内展成洛朗级数。
2 3 n z z z z 解 e 1 z 2! 3! n!
1 z
1 1 1 z 1 1 3 2 f z z 3 1 z z 2 3 z 2! z 2! 3! 4! z 3! z 12
1 1 z z 4 dz z 1
解法2（柯西积分公式）
1 z 1z 4 dz dz z z 1z 4 z z 3 C1
C2
1 1 2i 2i z 1 z 4 z z 4 z 0 z 1
（2） 洛朗级数
（3）
1
其中 z 0 及 cn n 0,1,2, 为常数。
规定 当且仅当2、 3收敛， 1收敛.
设2收敛域为: z z0 R2 ;
即为前面讨论的级数；
n
对于（3），
c 1 z z 0 c n z z 0
n
称为 f z 在以 z 0为中心的圆环域 R1 z z0 R2内的洛朗展
开式。 右端级数（洛朗级数）中，正整数次幂部分称为洛朗级数的 解析部分；负整数次幂部分称为洛朗级数的主要部分。
⑵ 洛朗级数是泰勒级数的推广。
当 f z 在 z 0 不解析但在 z 0 的去心邻域内解析时可用洛朗级数 展开，展开式是唯一的，展开时尽量用间接展开法。
复变函数论教学大纲
复变函数论课程教学大纲一、课程说明1、课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass 及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
2、课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后工作中有较高的起点。
3、先修课程与后续课程先修课程：数学分析，解析几何，高等代数后续课程：数学建模，概率论与数理统计，拓扑学，解析数论等4、教学时数分配表5、使用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉编；高等教育出版社。
6、教学方法与手段（1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析；（2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于单独发表自己的见解；（3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；（4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。
《复变函数论》第四章
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
复变函数与积分变换教学大纲
《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标本课程的学习可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。
同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力，初步抽象概括问题的能力，自学能力以及一定的逻辑推理能力。
另外，通过教学使学生了解复变函数与积分变换的一些基本知识，逐步培养利用这些知识解决实际问题的能力。
第一，通过课程学习，提高学生的计算能力，主要是提高学生求解析函数、复积分、留数的计算能力。
第二，通过课程学习，提高学生的自学能力，主要是提高学生自主学习的能力。
第三，通过课程学习，提高学生的分析问题与解决问题的能力，主要是提高学生能利用所学的复变函数与积分变换知识去分析和解决一些实际问题的能力。
三、教学学时分配《复变函数与积分变换》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。
四、教学内容和教学要求第一章复数与复变函数（7学时）（一）教学要求1．理解复数的概念，掌握复数的表示方法；2．掌握复数的四则运算、乘方与开方运算；3．了解复平面上点集的基本概念，理解区域的概念，了解无穷远点的概念；4．掌握复变函数的概念，了解复变函数极限与连续性。
（二）教学重点与难点教学重点：复数的表示方法,复数的四则运算、乘方与开方运算，区域，复变函数的概念。
教学难点：复数的乘方与开方运算，区域，复变函数的极限与连续性。
（三）教学内容第一节复数1．复数的概念2．共轭复数及复数的四则运算第二节复平面及复数的三角表达式1．复平面2．复数的模、辐角及三角表达式3．复数模的三角不等式4．利用复数的三角表达式作乘除法5．复数的乘方和开方第三节平面点集1．邻域与开集2．区域、简单曲线3．单连通区域与多连通区域4．无穷远点第四节复变函数1．复变函数的概念2．复变函数的极限和连续性本章习题要点：1．复数的模和辐角；2．复数的三角表达式；3．利用复数的三角表达式作乘除法、乘方和开方运算。
《复变函数》课程教学大纲
《复变函数》课程教学大纲适用专业:数学与应用数学执笔人：王小灵审定人：王宏勇系负责人：张从军南京财经大学应用数学系《复变函数》课程教学大纲课程代码：200072英文名：Complex Variable Function课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学前置课：数学分析后置课：概率论、数学物理方程、偏微分方程学分：2学分课时：54课时主讲教师：王小灵等选定教材：钟玉泉，复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.课程概述：复变函数的主要内容是讨论复数之间的相互依赖关系，其主要研究对象是解析函数。
复变函数是在数学分析的基础上，复变函数又称复分析，也称为解析函数论.是实变函数微积分的推广和发展。
因此它不仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处，而且在研究问题的方面与逻辑结构方面也非常类似。
复变函数是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann 等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。
教学目的：复变函数是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
教学方法：教学过程宜采用以章为主的单元组织教学法，以课堂讲授为主，结合多媒体教学软件辅助教学，教学中应强调理论与实际并重，各章应安排一定课时的习题课，课后教师需安排时间集中对学生辅导答疑，学生必须完成一定量的作业。
本课程可根据需要安排课堂讨论。
复变函数
(sin 3 cosh 1 − i cos 3 sinh 1)(cos 3 cosh 1 − i sin 3 cosh 1) = (cos 3 cosh 1)2 + (sin 3 sinh 1)2
sin 3 cos 3 − i cosh 1 sinh 1 = cos 2 3 cosh 2 1 + sin 2 3 cosh 2 1 − sin 2 3 cosh 2 1 + sin 2 3 sinh 2 1
cos( z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 , (i ) sin( z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 , 2 sin z + cos 2 z = 1.
cos( x + yi ) = cos x cos yi − sin x sin yi, (ii ) sin( x + yi ) = sin x cos yi + cos x sin yi.
eω = e0 = 1, e a (cos b + i sin b) = 1
于是
ea = 1, cos b + i sin b = 1
所以 a = 0, 因此
cos b = 1, sin b = 0,
b = 2kπ (k为整数)
a = 0,
故必有
ω = a + bi = 2kπ i.(k为整数)
(6)、指数函数的渐进性态：z → ∞时，无极限，但有
第二节 初等解析函数 1、指数函数 2、三角函数与双曲函数
Department of Mathematics
一、指数函数
1.定义2.4 对任何复数z=x+iy,用关系式
sin 3 cos 3 − i cosh 1 sinh 1 = cos 2 3 cosh 2 1 + sin 2 3 cosh 2 1 − sin 2 3 cosh 2 1 + sin 2 3 sinh 2 1
cos( z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 , (i ) sin( z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 , 2 sin z + cos 2 z = 1.
cos( x + yi ) = cos x cos yi − sin x sin yi, (ii ) sin( x + yi ) = sin x cos yi + cos x sin yi.
eω = e0 = 1, e a (cos b + i sin b) = 1
于是
ea = 1, cos b + i sin b = 1
所以 a = 0, 因此
cos b = 1, sin b = 0,
b = 2kπ (k为整数)
a = 0,
故必有
ω = a + bi = 2kπ i.(k为整数)
(6)、指数函数的渐进性态：z → ∞时，无极限，但有
第二节 初等解析函数 1、指数函数 2、三角函数与双曲函数
Department of Mathematics
一、指数函数
1.定义2.4 对任何复数z=x+iy,用关系式
复变函数
24
1 x , lim 2 2 2 x 0 x (1 k ) 1 k
随 k 值的变化而变化 ,
所以 lim u ( x, y ) 不存在,
x →0 y →0
lim v( x, y ) = 0,
x →0 y →0
根据定理一可知, lim f ( z ) 不存在.
z0
证 (二)
令 z r (cos i sin ),
r cos 则 f (z) cos , r
25
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时, f ( z )趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴arg z 0 趋于零时, f ( z ) 1,
π 沿 arg z 趋于零时, f ( z ) 0, 2
故 lim f ( z ) 不存在.
12
4. 反函数的定义:
设w = f ( z )的定义集合为Z 平面上的集合M , 函数值集合为W 平面上的集合M *, 那末M * 中的 每一个点w必将对应着M中的一个(或几个)点.
于是在M *上就确定了一个单值 (或多值)函数 z = ( w ),它称为函数w = f ( z )的反函数, 也称 为映射w = f ( z ) 的逆映射.
13
根据反函数的定义,
w M *, w f [ ( w )],
当反函数为单值函数时, z [ f ( z )], z G .
如果函数 (映射) = f ( z )与它的反函数 w (逆映射) z = ( w )都是单值的, 那末称函数 (映 射) = f ( z )是一一对应的. 也可称集合M 与集 w 合M *是一一对应的.
2
2.单(多)值函数的定义:
如果 z 的一个值对应着一个w 的值, 那末 我们称函数 f ( z ) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或 两个以上 w 的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
1 x , lim 2 2 2 x 0 x (1 k ) 1 k
随 k 值的变化而变化 ,
所以 lim u ( x, y ) 不存在,
x →0 y →0
lim v( x, y ) = 0,
x →0 y →0
根据定理一可知, lim f ( z ) 不存在.
z0
证 (二)
令 z r (cos i sin ),
r cos 则 f (z) cos , r
25
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时, f ( z )趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴arg z 0 趋于零时, f ( z ) 1,
π 沿 arg z 趋于零时, f ( z ) 0, 2
故 lim f ( z ) 不存在.
12
4. 反函数的定义:
设w = f ( z )的定义集合为Z 平面上的集合M , 函数值集合为W 平面上的集合M *, 那末M * 中的 每一个点w必将对应着M中的一个(或几个)点.
于是在M *上就确定了一个单值 (或多值)函数 z = ( w ),它称为函数w = f ( z )的反函数, 也称 为映射w = f ( z ) 的逆映射.
13
根据反函数的定义,
w M *, w f [ ( w )],
当反函数为单值函数时, z [ f ( z )], z G .
如果函数 (映射) = f ( z )与它的反函数 w (逆映射) z = ( w )都是单值的, 那末称函数 (映 射) = f ( z )是一一对应的. 也可称集合M 与集 w 合M *是一一对应的.
2
2.单(多)值函数的定义:
如果 z 的一个值对应着一个w 的值, 那末 我们称函数 f ( z ) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或 两个以上 w 的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
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∞
n
绝对且一致收敛 , 由上一节定理 4.8 知 ,
此级数必在闭圆 K 内绝对且内闭 一致收敛 ;
在圆域| z − a |>| z2 − a | 外发散性可用反证法证 .பைடு நூலகம்明
若幂级数 ∑ cn ( z − a )n 不是仅在 z = a 一点收敛 ，
n= 0
∞
也不是在整个复平面都 收敛 . 当以 z = a 为中心向外
(2) 对所有的正实数除 z = a 外都发散 外都发散. 此时, 外处处发散. 此时 级数在复平面内除 z=a 外处处发散 例如,级数 例如 级数 1 + z + 22 z 2 + L + n n z n + L
当 z ≠ 0 时, 通项不趋于零 故级数发散. 通项不趋于零, 故级数发散
(3) 既存在使级数发散的正实数 也存在使级数收 既存在使级数发散的正实数, 敛的正实数. 敛的正实数
(cos in) z n 的收敛半径 的收敛半径. 例2 求幂级数 ∑
n= 0
∞
1 n 解 因为 cn = cos in = (e + e − n ), 2
cn + 1 e n + 1 + e − n −1 所以 l = lim = e, = lim n −n n→ ∞ c n→ ∞ e + e n
(0 < ρ <| z1 − a |)
ρ z−a | cn ( z − a ) |≤ M ≤ M z1 − a | z1 − a |
n
n
n
故 ∑ cn ( z − a )n 在 K ρ 上有收敛的优级数
n= 0
∞ ρ 因而级数 ∑ cn ( z − a )n 在 K ρ 上 ∑ M | z − a | , n= 0 1 n= 0 ∞
(2) l = lim cn+1 = lim n = 1 , 即 R = 1. n→ ∞ c n→ ∞ n + 1 n ∞ n 1 交错级数, 收敛. 当z = 0时, 原级数成为 ∑ ( −1) , 交错级数 收敛 时 n n =1
(z − 1)n (2)∑ n n=1
∞
∞
(并讨论 并讨论
z = 0 , 2 时的情形 时的情形)
所以
1 2 R= . = 2 2
作业： 作业：
P178 1 . 2 ( 2)( 3) .
P181 2 .
n= 0
( k = 0,1,2,L)
逐项求导后所得级数 (4.6) 与原级数 (4.5) 收敛
半径相同 ； f ( k ) (a ) ( 3 ) ck = ( k = 0,1,2,L). k!
(4.7)
注 定理4,13 还有一条结论： (4.4) 可沿 K 内曲线 级数 还有一条结论：
C 逐项积分， 逐项积分， 且其收敛半径与原级数 收敛半径相同.
n 证明 ： 在圆 K 内任取一点 z ， 因为 ∑ cn ( z1 − a ) 收敛 ， n= 0 ∞
它的各项必有界 ， 即有正数 M ， 使
| cn ( z1 − a )n |≤ M
( n = 0,1,2,L)
n
因此 ，
z−a z−a , | cn ( z − a ) |= cn ( z1 − a ) ≤M z1 − a z1 − a
级数发散 如图: 设 z = α 时,级数收敛; z = β 时,级数发散 . 如图 级数收敛
y
收敛圆 收敛半径
a
α
R.
.
β
o
∞
x
cn ( z − a )n 的收敛范围是以 为中心的圆域. 幂级数 ∑ 的收敛范围是以a为中心的圆域 为中心的圆域
n= 0
注意
在收敛圆周上是收敛还是发散, 在收敛圆周上是收敛还是发散 不能作出
§2 幂 级 数
1、幂级数的敛散性 2、收敛半径R的求法、 柯西—阿达马公式 3、幂级数和的解析性
1、幂级数的敛散性
具有
cn ( z − a)n = c0 + c1 ( z − a ) + c2 ( z − a )2 + L ∑
n=0 ∞
∞
(4.3)
或
∑ cn z n=1
n
= c0 + c1 z + c2 z + L
2
形式的复函数项级数称为幂级数 形式的复函数项级数称为幂级数, 其中 c0 , c1 , c2 ,L 幂级数
和 a 都是复常数 .
的解析函数项级数， 幂级数是常见而且重要 的解析函数项级数， 关于
它的收敛性 ，有下面的 阿贝尔定理
定理4.10 阿贝尔Abel定理 定理) 定理4.10 (阿贝尔 阿贝尔 定理
则幂级数
c n ( z − a ) n 的收敛半径为 ∑
n=0
∞
R=
1 , l 0, +∞,
l ≠ 0 , l ≠ +∞ ; l = +∞ ; l =0. (4. 4)
求下列幂级数的收敛半径: 例1 求下列幂级数的收敛半径
zn (1) ∑ 3 (并讨论在收敛圆周上的情形 并讨论在收敛圆周上的情形) 并讨论在收敛圆周上的情形 n =1 n
( 2) 在 K 内 , 幂级数 (4.5) 可以逐项求导至任意阶 ,即
f ( z ) = ∑ cn ( z − a )n (4.5)
∞
f ( k ) ( z ) = k ! ck + ( k + 1)k L 2ck +1 ( z − a ) + L + n( n − 1)L( n − k + 1)cn ( z − a )n− k + L (4.6)
1 调和级数，发散. 当z = 2时, 原级数成为 ∑ , 调和级数，发散 时 n =1 n
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点 说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点. 级数的发散点 ∞ n z (3) ∑ 1 ! n=0 n cn + 1 ( n + 1)! ( 3) l = lim = lim = 0 故 R = +∞ n→ ∞ 1 n→ ∞ cn ∞ n! (4) ∑n!zn .
一般的结论, 要对具体级数进行具体分析. 一般的结论 要对具体级数进行具体分析 例如, 级数: 例如 级数
R 均为 1, 收敛圆周 z = 1
收敛圆周上无收敛点; 收敛圆周上无收敛点
∑z n= 0
∞
∞
n
z ∑n n= 0
∞
n
在点 z = 1发散 , 在其它点都收敛 ;
zn ∑ n2 n= 0
在收敛圆周上处处收敛. 在收敛圆周上处处收敛
cn + 1 ( n + 1)! (4) 因 l = lim = +∞ = lim n→ ∞ cn n! n→ ∞
n=0
故 R=0
3、幂级数和的解析性
定理4.13
(1) 幂级数
∞
f ( z ) = ∑ cn ( z − a )
n= 0
n
(4. 5)
的和函数 f ( z ) 在其收敛圆 K :| z − a |< R 内解析 ;
行走时 ， 从某一点 zi 开始 ， 遇 首先遇到的是收敛点 ，
到的都是发散点 ( 在点 z i 处幂级数可能收敛也可 能 发散 ) , 由阿贝尔定理知 ，级数从这点起的圆域内 收
敛 ，在圆域外发散 ，即存在一个有限的正数 R ， 使得
幂级数在圆 | z − a |< R 内收敛 ， 在圆 | z − a |> R 外发散 .
n n
n
z−a 由于等比级数 ∑ M 当 | z − a |<| z1 − a | 时收敛 ， z1 − a n= 0 所以 ， 幂级数 ∑ cn ( z − a )n 在圆 K：z − a |<| z1 − a | |
∞ n= 0
∞
n
内绝对收敛 .
其次， 其次，对 K 内任一闭圆
K ρ ： | z − a |≤ ρ 上的一切点 z , 有
R 称为幂级数的 收敛半径， | z − a |< R 和 圆
| z − a |= R ,分别称为幂级数的 收敛圆和 收敛圆周.
对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: 对于一个幂级数 其收敛半径的情况有三种 (1) 对所有的正实数都收敛 对所有的正实数都收敛. 则由阿贝尔定理知: 则由阿贝尔定理知 级数在复平面内处处绝对收敛. 级数在复平面内处处绝对收敛.
( z − 1)n (2) ∑ (并讨论 z = 0 , 2 时的情形 时的情形) 并讨论 n n =1 ∞ zn ( 3) ∑ ; n = 0 n!
∞
∞
(4) ∑ n! z n .
n= 0
∞
zn (1) ∑n3 (并讨论在收敛圆周上的情形 并讨论在收敛圆周上的情形) 并讨论在收敛圆周上的情形 n=1
如果幂级数
∞
cn ( z − a )n 在点 z1 ( ≠ a ) 收敛， 收敛， ∑
n= 0
∞
则幂级数 ∑ cn ( z − a )n 在圆域 K :| z − a |<| z1 − a | 内
n= 0
( 以 a 为心 , 圆周通过 z1 的圆内 ) 绝对收敛且内闭
一致收敛 ;如果在 z2 ( ≠ a ) 级数发散 , 那么 , 对于满 足 | z − a |>| z2 − a | 的 z，级数必发散 .
1 故收敛半径 R = . e
(1 + i )n z n 的收敛半径 例3 求 ∑ 的收敛半径.
n= 0
∞
解 因为 1 + i =