高中数学第三章导数及其应用3.2.1常见函数的导数学案苏教版选修1_1

（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.4 导数在实际生活中的应用学案苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.4 导数在实际生活中的应用学案苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

4 导数在实际生活中的应用学习目标：1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法．（重点) 2。

通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．（难点)［自主预习·探新知]1．导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用,如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．2．用导数解决实际生活问题的基本思路[基础自测］1．判断正误：(1）应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题．（)(2)应用导数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式．（）（3）应用导数解决实际问题需明确实际背景．( )【解析】（1)×.如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解．（2)√。

求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题．（3）√。

要根据实际问题的意义确定自变量的取值．【答案】（1)×(2）√（3）√2．生产某种商品x单位的利润L(x)＝500＋x－0.001x2，生产________单位这种商品时利润最大,最大利润是________．【解析】L′（x)＝1－0.002x，令L′（x）＝0,得x＝500，∴当x＝500时,最大利润为750.【答案】500 750［合作探究·攻重难]面积容积的最值问题r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上．设CD＝2x，梯形的面积为S。

3.2.1 常见函数的导数一、学习目标准确记住基本初等函数的导数公式，并能熟练应用.二、课前预习1、几个常见函数的导数公式（熟记）：2、求下列函数的导数（1）1002)(+=x x f （2）3)(x x f = （3）a x x f =)(（4）x a x f =)( （5）x e y = （6）x y a log =（7）x y ln = （8）αcos =y3、导数的几何意义：三、课堂探究例1、若直线b x y +=4是函数2x y =图像的一条切线，求b 及其切点坐标例2、若直线13+=x y 是曲线3ax y =的切线，求a 的值.例3、在函数2x y =的图象上求一点，使过此点的切线满足下列条件：（1）平行于直线430xln y -+=（2）垂直于直线|220x yln +-=例4、直线520x y c ++=能作为函数()y f x =的切线吗？若能，求出切点；若不能，简述理由.四、巩固练习1、函数xy 1=的图像在点（2，21）处的切线方程__________ 2．设()sin ,'()f x x f x =则= ，'()3f π= . 3．曲线21y x=在点P （1，1）处的切线方程为 . 4．已知201()log ,'()2ln 2f x x f x ==，则x 0等于 5．给出下面四个命题：①曲线3y x =在原点处没有切线；②若函数()f x x =，则'()0;f x =③速度是动点位移函数s(t) 对时间t 的导数；④函数5y x =的导数值恒非负，其中正确的命题是 .6．求证：双曲线1xy =上任意一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于常数.7．已知直线2240x y y x --==与抛物线相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线弧AOB 上求一点P ，使△PAB 的面积最大.五、课堂总结1.熟记常见函数导数公式2灵活应用导数解决相关问题六、反思总结。

（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.1。

2 瞬时变化率—导数学习目标：1。

理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。

当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。

高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式（25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列各式中正确的是( ）A。

（lnx)′=x B。

（cosx)′=sinxC。

(sinx）′=cosx D.（x-8)′=-x—9【解析】选C。

因为（lnx）′=，（cosx)′=—sinx，（x-8)′=-8x-9=—,所以A,B,D均不正确，C正确。

2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是（)A.1 B。

0 C。

2 D.【解析】选D。

因为y′=,所以当x=2时，y′=，故图象在x=2处的切线斜率为.3.（2015·西安高二检测）运动物体的位移s=3t2—2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为( )A.281B.58 C。

85 D.10【解析】选B。

因为s=3t2-2t+1，所以s′=6t-2.当t=10时,s′=6×10—2=58.即此物体在t=10时的瞬时速度为58。

4。

正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是（)A.∪B。

3.4导数在实际生活中的应用1．导数在实际生活中有着广泛的应用．如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可以用导数来解决．2．利用导数解决优化问题的流程：解决生活中的优化问题的思路：(1)审题：阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论．(2)建模：利用数学知识建立相应的数学模型．(3)解模：把数学问题转化为函数求解．(4)检验．[对应学生用书P56][例1] 用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[思路点拨] 设出所截正方形的边长为x，则该容器的底面边长和高均可用x表示，得到容积关于x的函数，用导数法求解．[精解详析] 设容器的高为x cm，容器的体积为V(x) cm3.则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24)．V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)(0<x<24)．令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数．因此，在定义域(0,24)内函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600(cm3)．即当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.[一点通] 解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积、容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．如果在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也是最值点．1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为x cm ， 则底面半径为202－x 2 cm ，其体积为V ＝13πx(202－x 2)＝13π(400x －x 3)(0<x<20)，则V ′＝13π(400－3x 2)． 令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0<x<2033时，V ′>0；当2033<x<20时，V ′<0，所以当x ＝2033时，V 取得最大值．答案：20332．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解：设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x>20，y>25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x(18 000x －20＋25)＝18 000xx －20＋25x ，∴S ′＝18 000[(x －20)－x](x －20)2＋25＝－36 0000(x －20)2＋25.令S ′>0，得x>140， 令S ′<0，得20<x<140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减， ∴S(x)的最小值为S(140)．当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小.[例2] 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？[思路点拨] 解答本题可先根据题目条件写出函数关系式，再利用导数方法求最值．[精解详析] (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1.所以y ＝f(x)＝256n ＋(n ＋1)(2＋x)x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m x －1＋m x (2＋x)x＝256m x ＋mx ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x)＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x)＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数； 当64＜x ＜640时，f ′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数． 所以f(x)在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．[一点通] 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际问题做答．3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V ＝27π＝πr 2h ，∴h ＝27r2， 若用料最省，则表面积最小，设表面积为S ，则S ＝πr 2＋2πr ·h ＝πr 2＋2π27r ＝πr 2＋54πr，S ′＝2πr －54πr 2＝2π(r 3－27)r 2，令S ′＝0，得r ＝3.∵当0<r<3时，S ′<0，S(r)为减函数， r>3时，S ′>0，S(r)为增函数． ∴当r ＝3时，S 取最小值，即用料最省． 答案：34．某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：m)________．解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短． 设场地宽为x 米，则长为512xm ，因此新墙总长L ＝2x ＋512x (x>0)，则L ′＝2－512x 2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)．此时长为51216＝32(m)，可使L 最短．答案：32,16[例3] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2.其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/kg 时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/kg ，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路点拨] (1)根据“销售价格为5元/kg 时，每日可售出该商品11 kg ”可知销售函数图像过点(5,11)将其代入可求得a 的值；(2)利润为y ＝(每件产品的售价－每件产品的成本)×销量，表示出函数解析式后，可借助导数求最值．[精解详析] (1)因为x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x －3)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．[一点通](1)利润(收益)＝销售额－成本，在有关利润(收益)的问题中，注意应用此公式列出函数关系式，然后利用导数的知识并结合实际问题求出相应最值．(2)在实际问题中，若某函数在所给区间上只有一个极值，则该极值即为相应的最值．这是实际问题中求最值的常用方法．5．已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当x∈(0,9)时，y′＞0，所以函数y＝－13x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．答案：96．已知某工厂生产x件产品的成本为c＝25 000＋200x＋140x2(元)．问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：(1)设平均成本为y元，则y＝25 000＋200x＋140x2x＝25 000x＋200＋x40(x>0)，y′＝－25 000x2＋140，令y′＝0，得x＝1 000或x＝－1 000(舍去)．当0<x<1 000时，y′<0；当x>1 000时，y′>0，故当x＝1 000时，y取极小值，而只有一个点使y′＝0，故函数在该点处取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为S(x)＝500x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25 000＋200x ＋x 240＝300x －25 000－x 240，S ′(x)＝300－x20，令S ′(x)＝0，得x ＝6 000，当0<x<6 000时，S ′(x)>0，当x>6 000时，S ′(x)<0， 故当x ＝6 000时，S(x)取极大值， 而只有一个点使S ′(x)＝0， 故函数在该点取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．用导数解应用题求最值的方法与步骤：[对应课时跟踪训练(二十二)]1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．解析：设该公司在甲地销x 辆，那么乙地销15－x 辆，利润L(x)＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x)＝－0.15x 2＋3.06x ＋30.由L ′(x)＝－0.3x ＋3.06＝0，得x ＝10.2.且当x ＜10.2时，L ′(x)＞0，x ＞10.2时，L ′(x)＜0，∴x ＝10时，L(x)取到最大值，这时最大利润为45.6万元． 答案：45.6万元2．如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k>0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为________．解析：设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝kxh 2＝kx(d 2－x 2)，0<x<d.令f ′(x)＝k(d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d(舍去负值)．当0<x<33d 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当33d<x<d 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x ＝33d.所以x ＝33d 时，f(x)有最大值．答案：33d3．将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，则两矩形面积之和的最小值为________．解析：如图所示，设边长之比为2∶1的矩形周长为x ，则边长之比为3∶2的矩形周长为l －x ，两矩形面积之和为S ＝2x 6·x6＋3(l －x )10·2(l －x )10＝x 218＋350(l －x)2，0<x<l.由S ′＝x 9＋325(x －l)＝0，得x ＝2752l.当x变化时，S ′，S 的变化情况如下表：由上表可知，当x ＝2752l 时，S 的最小值为3104l 2.答案：3l 21044．如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL ，则它的底面半径等于________时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．解析：设圆柱的高为h，表面积为S ，容积为V ，底面半径为r ，则表面积S＝2πrh ＋2πr 2，而V ＝250＝πr 2h ，得h ＝250πr 2，则S ＝2πr ·250πr 2＋2πr 2＝500r ＋2πr 2，S ′＝－500r2＋4πr ，令S ′＝0得r ＝53π2π，因为S 只有一个极值，所以当r ＝53π2π时，S 取得最小值，即此时所用的材料最省．答案：53π2π5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km 处．解析：依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数．于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5(x ＞0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x＝5，或x ＝－5(舍去)．当0＜x ＜5时，y ′＜0；当x ＞5时，y ′＞0.因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 答案：56．某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元，已知A ，B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)解：设B 型号电视机的投放金额为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号的电视机的投放金额为(10－x)万元， 由题意得y ＝110(10－x)＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1,1≤x ≤9， ∴y ′＝25x －110，令y ′＝0得x ＝4，由y ′>0得1≤x<4，由y ′<0得4<x ≤9， 故y 在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，∴当x ＝4时，y 取得最大值，且y max ＝25 ln 4－110×4＋1≈1.2，这时，10－x＝6.故厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．7．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值． (2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x(20－x)．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.8.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少L? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少L? 解：(1)当x ＝40 km/h 时， 汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5 h ，要耗油⎝⎛⎭⎪⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)． ∴当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L.(2)当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了100x h ，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)， 则h ′(x)＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0＜x ≤120)．令h ′(x)＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，h ′(x)＜0，h(x)是单调递减函数； 当x ∈(80,120)时，h ′(x)＞0，h(x)是单调递增函数． ∴当x ＝80时，h(x)取到极小值，h(80)＝11.25. ∵h(x)在(0,120]上只有一个极值， 且h(120)＝856>h(80)．∴当x ＝80时函数取得最小值．∴当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.[对应学生用书P58]一、导数的概念1．导数函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f′(x)在各点的导数中随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数．记作f′(x)．二、导数的几何意义1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何意义．2．求切线方程：常见的类型有两种：一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数 (1)f(x)＝c ，则f ′(x)＝0；(2)f(x)＝x α，则f ′(x)＝α·x α－1；(3)f(x)＝a x (a>0且a ≠1)，则f ′(x)＝a x ln a.(4)f(x)＝log a x ，则f ′(x)＝1xln a； (5)f(x)＝sin x ，则f ′(x)＝cos x ； (6)f(x)＝cos x ，则f ′(x)＝－sin x ； 2．导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g ′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)； (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).四、导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求导数f ′(x)；(2)解不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0； (3)写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．五、导数与函数的极值 利用导数求函数极值的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域；(2)求方程f ′(x)＝0的根；(3)检验f ′(x)＝0的根的两侧的f ′(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值．若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值，否则此根不是f(x)的极值点． 六、求函数f(x)在闭区间[a ，b]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f(x)在(a ，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a ，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a ，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判断f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a ，b)也可以是(－∞，＋∞)．七、导数的实际应用利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f ′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值． ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(三) 见8开试卷(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．在Δx 无限趋近于0时，f (x 0)－f (x 0＋Δx )Δx 无限趋近于1，则f ′(x 0)＝________.解析：由已知得Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于－1，则f ′(x 0)＝－1. 答案：－12．若函数f(x)＝xsin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：∵f(x)＝xsin x ＋cos x ， ∴f ′(x)＝(xsin x ＋cos x)′ ＝(xsin x)′＋(cos x)′ ＝sin x ＋xcos x －sin x ＝xcos x.∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2cos π2＝0.答案：03．设f(x)＝xln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.解析：f ′(x)＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2. ∴x 0＝e. 答案：e4．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________.解析：∵y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝a＝1.又(0，b)在x－y＋1＝0上，故0－b＋1＝0，得b＝1.答案：1 15．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤3，所以实数a的取值范围是[－3，3]．答案：[－3，3]6．用长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制的底面的一边比另一边长0.5 m，那么容器的最大容积为________m3.解析：设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.由3.2－2x>0，x>0，得0<x<1.6.设容器的容积为y m3，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)，整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，解得x1＝1，x2＝－415(舍去)．从而，定义域(0,1.6)内只有在x＝1处有y′＝0，由题意，若x过小(接近0)或x过大(接近1.6)时，y值很小，因此，当x＝1时，y max＝1.8，此时高1.2 m，所以当容器的高为1.2 m时，容积最大，最大容积为1.8 m3.答案：1.87．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a的值为________．解析：∵y ′＝3x 2＋2ax ，由3x 2＋2ax ＝0，得x ＝0或x ＝－2a3.又当x ＝0时，y ＝0，∴－4a3＝0.∴a ＝0.经验证a ＝0符合题意．答案：08．已知函数f(x)＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x)＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，∴f(x)在[－3，－2]，[2,3]上单调递增，在[－2,2]上单调递减．f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，故M ＝24，m ＝－8，则M －m ＝32.答案：329．已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋3＋a 的极大值为5，则实数a ＝________. 解析：∵f ′(x)＝3x 2－6x ；由f ′(x)＝0得x ＝0或x ＝2；由f ′(x)>0得x<0或x>2，则f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)；由f ′(x)<0得0<x<2，则f(x)的单调递减区间为(0,2)．当x ＝0时函数取得极大值，∴f(0)＝3＋a ＝5，∴a ＝2.答案：210．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)>0，且g(3)＝0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是________．解析：设F(x)＝f(x)g(x)，则F(x)为奇函数，F(0)＝0. ∵x<0时，F ′(x)>0， 且F(－3)＝－F(3) ＝－f(3)g(3)＝0， ∴F(x)示意图如图：当x ∈(－∞，－3)或(0,3)时，F(x)<0.答案：(－∞，－3)∪(0,3)11．函数y ＝1＋ln xx的单调递增区间是________．解析：y ′＝(ln x )′x －ln xx 2＝1－ln x x 2.令y ′>0，得1－ln x>0，∴0<x<e. 故增区间为(0，e) 答案：(0，e)12．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e)＋ln x(e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.解析：由f(x)＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x)＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e⇒f ′(e)＝－1e.答案：－1e13．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.解析：由于y ′⎪⎪x ＝1＝n ＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝x n ＝nn ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12×23×…×99100＝lg 1100＝－2. 答案：－214．若函数f(x)＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：∵f ′(x)＝4x －1x ＝4x 2－1x ，x>0，∴当0<x<12时，f ′(x)<0，f(x)为减函数，当x>12时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤k －1<12，12<k ＋1，k －1<k ＋1.∴1≤k<32.答案：⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，32二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax 2－43ax ＋b ，f(1)＝2，f ′(1)＝1；(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．解：(1)f ′(x)＝2ax －43a.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝2a －43a ＝1，f (1)＝a －43a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52.∴f(x)＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x(x ∈R)，其中m>0. (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率；(2)求函数的单调区间与极值． 解：(1)当m ＝1时，f(x)＝－13x 3＋x 2，f ′(x)＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.(2)f ′(x)＝－x 2＋2x ＋m 2－1，令f ′(x)＝0，得到x ＝1－m ，x ＝1＋m ，因为m>0，所以1＋m>1－m.当x 变化时，f(x)，f ′(x)的变化情况如下表：f(x)在(－∞，1－m)和(1＋m ，＋∞)内为减函数， 在(1－m,1＋m)内为增函数．函数f(x)在x ＝1＋m 处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m 3＋m 2－13，函数f(x)在x ＝1－m 处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m 3＋m 2－13.17．(本小题满分14分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x)＝3 700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x －5 000(单位：万元)．(1)求利润函数P(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ 解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 700x－(460x－5 000)＝－10x3＋45x2＋3 240x＋5 000(x∈N*，且1≤x≤20)．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，由P′(x)＝0，得x＝12，x＝－9(舍去)．当0<x<12时，P′(x)>0，P(x)单调递增；当x>12时，P′(x)<0，P(x)单调递减．∴当x＝12时，P(x)取得极大值，也为最大值．∴当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．18．(本小题满分16分)已知x＝1是函数f(x)＝13ax3－32x2＋(a＋1)x＋5的一个极值点．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，求实数m的取值范围．解：(1)依题意f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，由f′(1)＝0得a＝1，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝13x3－32x2＋2x＋5.(2)曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，即13x3－32x2＋2x＋5－2x－m＝0有三个实数根，令g(x)＝13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝13x 3－32x 2＋5－m ，则g(x)有三个零点．由g ′(x)＝x 2－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.令g ′(x)>0得x<0或x>3；令g ′(x)<0得0<x<3.∴函数g(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．∴函数在x ＝0处取得极大值，在x ＝3处取得极小值．要使g(x)有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (3)<0，解得12<m<5.∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5.19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(x －k)e x ， (1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 解：(1)f ′(x)＝(x －k ＋1)e x .令f ′(x)＝0，得x ＝k －1.当x 变化时，f(x)与f ′(x)的变化情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k.当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：22－3由此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(－∞，－3]．§4 二项分布1．掌握独立重复试验的概念及意义，理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式．(重点)2．理解n次独立重复试验的模型，并能用于解一些简单的实际问题．(难点) 3．了解二项分布与超几何分布的关系．(易混点)[基础·初探]教材整理二项分布阅读教材P48～P50，完成下列问题．1．n次独立重复试验进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互________的结果，可以分别称为“________”和“________”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为；(3)各次试验是相互独立的，则这n次试验称为n次独立重复试验．【答案】(1)对立成功失败(2)1－p2．二项分布(1)若用随机变量X 表示n 次独立重复试验的次数，则P(X ＝k)＝________(k ＝0,1,2，…，n)．(2)若一个随机变量X 的分布列如(1)所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～________.【答案】 (1)C k np k (1－p)n －k (2)B(n ，p)1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的．【解析】 由n 次独立重复试验的定义知①②③正确．【答案】 ①②③2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．【解析】 抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝38.【答案】38[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【精彩点拨】由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(即准确或不准确)，符合独立重复试验．【自主解答】(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．[再练一题]1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．(2)在4次独立重复试验中，事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为________．【解析】 (1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＋C 12×23×13×23＝2027.(2)由题意知，C 04p 0(1－p)4＝1－6581，p ＝13. 【答案】 (1)2027 (2)13一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．【精彩点拨】 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．【自主解答】 (1)ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235.故η的分布列为!1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B(n ，p)中的试验次数n 与成功概率p.2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X ＝k)＝C k np k (1－p)n －k (k ＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．[再练一题]2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．【解】 (1)设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ＋A －B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P(AB ＋A －B －)＝P(A)P(B)＋P(A )P(B ) ＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4，12.∴P(ξ＝k)＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－124－k＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为[探究共研型]探究1 王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？【提示】 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．探究2 王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？【提示】 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．探究3 王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【提示】 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．(2016·泰兴高二检测)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[A 组 学业达标]1．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x 1－x 2B.x sin x －sin x －cos x1－x2C.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′ ＝－sin x1－x －cos x ·－11－x2＝cos x －sin x ＋x sin x1－x 2.答案：C 2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 解析：∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A3．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx . 因为f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，即2a ＋b ＝1. 则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数，所以f ′(x )是奇函数． 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：B4．函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)在x ＝0处的导数值为( ) A ．－6 B ．0 C ．6 D ．1解析：∵f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)＝－6. 答案：A5．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2， ∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2， ∴f ′(－1)＝－1. 答案：B6．若函数f (x )＝e xx在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，则c ＝________.解析：∵f (x )＝e xx，∴f (c )＝e cc.又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x x －1x2， ∴f ′(c )＝e c c －1c2. 由题意，知f (c )＋f ′(c )＝0， ∴e c c ＋e c c －1c2＝0， ∴2c －1＝0，解得c ＝12.答案：127．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标为________． 解析：设P (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝ln x 0＋1＝2， ∴x 0＝e ，则y 0＝e ， 则P 点坐标为(e ，e)． 答案：(e ，e)8．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：∵f (x )＝ax －ln x ， ∴f (1)＝a ，即切点是(1，a )． ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1，∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)， 令x ＝0，得y ＝1，即l 在y 轴上的截距为1. 答案：19．求下列函数的导数． (1)f (x )＝e －x (sin x ＋cos x )； (2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x >0)．解析：(1)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋sin x e x ′ ＝cos x －sin x e x －e x cos x ＋sin xe 2x＝－2sin xex ＝－2e －x sin x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x－1′ ＝e x e x －1－e x ＋1e xe x －12＝－2e x e x －12.(3)法一：y ′＝[x (x ＋1)(x ＋2)]′＝x ′(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋1)′(x ＋2)＋x (x ＋1)(x ＋2)′ ＝(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋2)＋x (x ＋1)＝3x 2＋6x ＋2.法二：因为y ＝x (x ＋1)(x ＋2)＝(x 2＋x )(x ＋2)＝x 3＋3x 2＋2x ，所以y ′＝(x 3＋3x 2＋2x )′＝3x 2＋6x ＋2.10．求过曲线y ＝sin x 在x ＝π4处的点且与此处切线垂直的直线方程．解析：由于y ′＝(sin x )′＝cos x ，则y ′|x ＝π4＝cos π4＝22，从而与切线垂直的直线的斜率为－2，依点斜式得符合题意的直线方程为y －22＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，即2x ＋y －22－24π＝0.[B 组 能力提升]11．曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则ab的值为( )A ．－12e B ．－2eC.2eD.12e解析：y ′＝e x ＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，∴－a b ＝－12e，∴a b ＝12e. 答案：D12．若直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则实数b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：设切点为(x 0，y 0)．由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1x 0＝12，所以x 0＝1，y 0＝－12，代入直线y ＝12x ＋b ，得－12＝12＋b ，解得b ＝－1，故选B.答案：B13．曲线y ＝sin xsin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为________．解析：y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin xcos x －sin xsin x ＋cos x2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率． 答案：1214．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析：法一：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋a ＋2x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋a ＋2＝2，ax 20＋a ＋2x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：815．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3，令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.16．已知曲线y ＝f (x )＝x 2a－1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．解析：由已知，得f ′(x )＝2x a，切线斜率k ＝f ′(1)＝2a，所以切线l 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝2a(x －1)，即2x －ay －a －1＝0.令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a.所以l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，所以S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.。

常见函数的导数班级______________姓名_______________教学目标：1.能够用导数的定义求几个常用函数的导数；2.利用公式解决简单的问题。

教学重难点：1.能够用导数的定义求几个常用函数的导数；2.利用公式解决简单的问题。

任务1：认真预习课本8280P P —回答下列问题1.函数在一点处导数的定义：______________________________________________________2、导数的几何意义：______________________________________________________3、导函数的定义：______________________________________________________4、求函数的导数的步骤一般步骤是：【基础训练】用定义求下列简单函数的导数：（1）函数b kx x f +=)(（2）函数3)(x x f = （3）函数xx f 2)(=（4）函数x x f =)(注意：（1）常函数的导数为零 （2）导函数相同，原函数不一定相同。

任务2：认真理解求一些简单函数的导数的一般步骤，解决下列问题【典型例题】例1.已知曲线332x y =，求在)32,1(处的切线与坐标轴围成三角形的面积 例2．（1）求曲线x y sin =在点)21,6(π处的切线的方程 （2）求与曲线32x y =在点)4,8(P 处的切线垂直且过点P 的直线的方程例3.已知函数3x y =，求过点)8,2(P 的切线的方程。

注意：在求切线方程的时候注意词“在”“过”。

《常见函数的导数》反馈练习1.求下列函数的导数（1）31xy = （2）35x y = （3）x y 4= （4）x y 3log =2.曲线221y x =-+在点（0，1）的切线斜率是___________________3.曲线212y x =在点1(1,)2处切线的倾斜角为______________________ 4. 函数xy 1= 的图像在点)21,2(处的切线的方程为______________ 5.若直线b x y +-=是函数xy 1=图象的切线，则=b _______,切点的坐标为___________ 6.函数3x y =，则)2(-'f =____________7.求曲线xy 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成三角形的面积 8.求抛物线2x y =上的点到直线02=--y x 的最小距离9.已知函数x x f sin )(=，求： （）函数在6π=x 处的导数（）函数图象在点))6(,6(ππf 处的切线的方程 10.曲线)0(2≥=x x y ，直线0=y 及)0(>=t t x 围成的封闭图形的面积为)(t S ，求)(t S '。

第三章 导数及其应用备课人 周志英3.1 导数的概念教学目的1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。

教学重点和难点导数的概念是本节的重点和难点 教学过程一、前置检测(导数定义的引入)1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。

先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉表格1 格 20<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆=∆+-∆+-=t tt t t t h h v ()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-=-∆+-∆+=t tt t t h t h v 当-=∆t 0.01时，-=v 13.051； 当=∆t 0.01时，-=v 13.149； 当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51；当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49；当-=∆t 0.000 01时，-=v 1 3.099 951；当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049； 当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1；当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9；。

3．3.1 单调性学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间．知识点函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察下列各图，完成表格内容思考2 依据上述分析，可得出什么结论？梳理(1)(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：类型一求函数的单调区间命题角度1 求不含参数的函数的单调区间例1 求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．反思与感悟求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式f ′(x )<0，函数在定义域内的解集上为减函数． 跟踪训练1 求函数f (x )＝exx －2的单调区间．命题角度2 求含参数的函数的单调区间例2 讨论函数f (x )＝x 2－a ln x (a ≥0)的单调性． 引申探究若将本例改为f (x )＝ax 2－ln x (a ∈R )呢？反思与感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f ′(x )的符号，否则会产生错误．(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．跟踪训练2 已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，其中x ∈R ，t ∈R .当t ≠0时，求f (x )的单调区间．类型二 证明函数的单调性问题例3 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．反思与感悟 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f ′(x )>(或<)0，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥(或≤)0.跟踪训练3 证明：函数f (x )＝ln xx在区间(0，e)上是增函数．类型三 已知函数的单调性求参数范围例4 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．反思与感悟 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f (x )在区间I 上单调递增(或减)，转化为不等式f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间I 上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．跟踪训练4 已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2－(a ＋1)x ＋2在区间[1,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．1．关于函数f(x)＝1－x－sin x，下列说法正确的是________．(填序号)①在(0,2π)上是增函数；②在(0,2π)上是减函数；③在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数；④在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数．2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是________．3．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调增区间为________．4．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为________．5．求函数f(x)＝(x－k)e x的单调区间．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．提醒：完成作业第3章§3.3 3.3.1答案精析问题导学 知识点思考1 正 递增 正 正 递增 负 递减 负 负 递减 负 负 递减 思考2 一般地，设函数y ＝f (x )，在区间(a ，b )上， ①如果f ′(x )>0，则f (x )在该区间上单调递增； ②如果f ′(x )<0，则f (x )在该区间上单调递减． 梳理 (1)> 锐 上升 递增 < 钝 下降 递减 (2)增 减 题型探究例1 解 f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝6x －2x＝x 2－x＝3x －3x ＋x， 由x >0，解f ′(x )>0，得x >33； 由x <0，解f ′(x )<0，得0<x <33. 所以函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33)． 跟踪训练1 解 函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝exx －－exx －2＝exx －x －2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x>0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)． 例2 解 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －a x ＝2x 2－ax.设g (x )＝2x 2－a ，由g (x )＝0，得2x 2＝a .当a ＝0时，f ′(x )＝2x >0，函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数； 当a >0时，由g (x )＝0，得x ＝2a 2或x ＝－2a 2(舍去)． 当x ∈(0，2a2)时，g (x )<0， 即f ′(x )<0； 当x ∈(2a2，＋∞)时，g (x )>0， 即f ′(x )>0.所以当a >0时，函数f (x )在区间(0，2a 2)上为减函数，在区间(2a 2，＋∞)上为增函数． 综上，当a ＝0时，函数f (x )的单调增区间是(0，＋∞)； 当a >0时，函数f (x )的单调增区间是(2a 2，＋∞)，单调减区间是(0，2a2)． 引申探究解 f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x，当a ≤0时，且x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数； 当a >0时，令f ′(x )＝0， 解得x ＝2a 2a 或－2a2a (舍去)． 当x ∈(0，2a2a)时，f ′(x )<0， ∴f (x )为减函数； 当x ∈(2a2a，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )为增函数．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数； 当a >0时，f (x )在(0，2a 2a )上为减函数，在(2a 2a，＋∞)上为增函数． 跟踪训练2 解 f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2＝6(x ＋t )(2x －t )，令f ′(x )＝0，得x 1＝－t ，x 2＝t2.当t <0，x ∈(t2，－t )时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数；当x ∈(－∞，t2)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数，同理当x ∈(－t ，＋∞)时，f (x )也为增函数．∴当t <0时，f (x )的增区间为(－∞，t2)和(－t ，＋∞)，f (x )的减区间为(t2，－t )；当t >0，x ∈(－t ，t2)时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数，当x ∈(－∞，－t )和x ∈(t2，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数，∴当t >0时，f (x )的增区间为(－∞，－t )，(t2，＋∞)，f (x )的减区间为(－t ，t2)．综上所述，①当t <0时，f (x )的单调增区间是(－∞，t 2)，(－t ，＋∞)，单调减区间是(t2，－t )．②当t >0时，f (x )的单调增区间是(－∞，－t )，(t 2，＋∞)，单调减区间是(－t ，t2)． 例3 证明 f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，sin x >0， ∴x cos x －sin x <0，∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数．跟踪训练3 证明 ∵f (x )＝ln xx，∴f ′(x )＝x ·1x －ln xx 2＝1－ln xx 2. 又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1.∴f ′(x )＝1－ln xx2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数． 例4 解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a x 2.要使f (x )在[2，＋∞)上单调递增， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)时恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵当x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x2≥0(x ∈[2，＋∞))，有且只有f ′(2)＝0， ∴a 的取值范围是(－∞，16]．跟踪训练4 解 方法一 f ′(x )＝x 2－ax －(a ＋1)， 因为函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以f ′(x )≤0，即x 2－ax －(a ＋1)≤0，解得a ≥x －1. 因为在[1,2]上，a ≥x －1恒成立， 所以a ≥(x －1)max ＝1.所以a 的取值范围是[1，＋∞)． 方法二 f ′(x )＝(x ＋1)[x －(a ＋1)]， 由于函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以f ′(x )≤0，当a >－2时，解得－1≤x ≤a ＋1， 即减区间为[－1，a ＋1]，则[1,2]⊆[－1，a ＋1]，得a ≥1. 当a ≤－2时，解得减区间为[a ＋1，－1]， 则函数f (x )不可能在[1,2]上为减函数，故a ≥1. 所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 当堂训练1．② 2.④ 3.⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 4.[3，＋∞)5．解 f ′(x )＝e x＋(x －k )e x＝(x －k ＋1)e x，当x <k －1时，f ′(x )<0； 当x >k －1时，f ′(x )>0，精品资料值得拥有所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间为(k－1，＋∞)．11。

3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表课堂探究探究一 利用导数公式求函数的导数利用导数定义求导是求导数的基本方法，但过于烦琐，通常若所求函数符合求导公式，则利用导数公式求导数可简化求导过程，但需要准确记忆公式，恰当选择公式；对于不能直接用公式的类型，关键是将其进行适当变形，转化为可以直接应用公式的基本初等函数形式，如y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，就可以直接使用幂函数的求导公式求导． 【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 7； (2)y ＝x x ； (3)y ＝log 3x ； (4)y ＝2sin x 2·cos x 2；(5)y ＝1x 2. 思路分析：对于基本初等函数的求导，直接利用导数公式求导，应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式的形式．解：(1)y ′＝7x 6；(2)因为y ＝x x ＝32x ，所以y ′＝3212x ＝32x ； (3)y ′＝1x ln 3； (4)因为y ＝2sin x 2·cos x 2＝sin x ，所以y ′＝cos x ； (5)因为y ＝1x 2＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x3. 探究二 导数的应用利用导数来求曲线在某点处的切线斜率是一种非常有效的方法，它适合于任何可导函数，这就为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，利用切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决．【典型例题2】 若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．思路分析：先求出切线方程，再求出切线在x 轴、y 轴上的截距，利用三角形面积公式列方程求a . 解：y ′＝－1232x -(x ＞0)，故在点(a ，12a -)处的切线的斜率k ＝－1232a -， 所以切线方程为y －12a -＝－1232a - (x －a )，易得切线在x 轴、y 轴上的截距分别为3a ，3212a -， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×3212a -＝9412a ＝18. 所以a ＝64.。