反比例函数图像和性质(2)

第十四讲 反比例函数的图像和性质（2）【基础知识精讲】反比例函数y=kx （k ≠0）中k 的几何意义：过函数 y=kx（k ≠0）的图像上任一点),(y x p 作P M ⊥x轴，P N ⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积S =∣xy ∣=∣k ∣； 所得△POM 的面积S =21∣k ∣。

【例题巧解点拨】例1．正比例函数y=x 与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD•⊥x 轴于D ，如图1所示，则四边形ABCD 的为_______．(1) (2) (3)练习：如图2，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_____________________．例2.（2005 中考题）如图3两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2005，在反比例函数y=6x的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2005，纵坐标分别是1，3，•5•……，•共2005年连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线与y=3x的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005），则y 2005=________．练习：1、如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________．Y XOP (x, y)MN 第1题第2题TROxyP CBA2、.如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A ，若 取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．例3．如图所示,直线122y x =+分别交x 轴、y 轴于A ，C 两点，P 是该直线上在第一象 限内的一 点，PB ⊥x 轴于B ，9ABPS=.(1)求P 点坐标; (2)双曲线ky x=经过点P ,能否在双曲线上PB 的右侧求作一点R,作RT ⊥x 轴于T,使△BRT 与△AOC 相似?如能,求出点R 坐标;若不能,说明理由.【同步达纲练习】A 组1．如图1所示，在反比例函数y=kx（k>0）的图像上有三点A 、B 、C ，过这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x 轴、y•轴圈成的矩形的面积分别为S 1，S 2，S 3，则（ ） A ．S 1>S 2>S 3 B ．S 1<S 2<S 3 C ．S 1<S 2<S 3 D ．S 1=S 2=S 3(1) (2) (3)2．如图2,设P （a ，b ），M （c ，d ）是反比例函数y=1x在第一象限内的图像上关于直线y=x•对称的两点，过P 、M 作坐标轴的垂线，如图5所示，垂足为Q 、N ， •若∠MON=•30•°，•则b da c+=________．3．如图3所示，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y=4x（x>0）的图像上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是___________．4. 如图所示，已知反比例函数y=12x的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、•Q两点，并且P点的纵坐标是6．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△POQ的面积．5．通过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y（千克）•与市场价格x（元/千克）存在下列函数关系式：y=100000x+6000（0<x<100）；又已知该地区农民的这种农产品的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正比例关系：z=400x（0<x<100），现不计其他因素影响，如果需求数量y等于生产数量z时，即供需平衡，•此时市场处于平衡状态．（1）根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，•该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（2）受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量．此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，•而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a（0<a<25）•元，问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了？变化多少？6．已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=12x的图象在第一象限内的一个分支，点P•是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N•为垂足）分别与直线AB相交于点E 和点F．（1）设交点E和F都在线段AB上（如图所示），分别求点E、点F的坐标（用a的代数式表示点E 的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）．（2）求△OEF的面积（结果用a、b的代数式表示）．（3）△AOF与△BOE是否一定相似，如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由．（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，•大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．B组如图，直线经过A （1，0），B （0，1）两点，点P 是双曲线y=12x（x>0）上任意一点，PM•⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M ，N ．PM 与直线AB 交于点E ，PN 的延长线与直线AB 交于点F ． （1）求证：AF ●BE=1；（2）若平行于AB 的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．家庭作业校区： 姓名：_________ 科目： 数学 第 14 次课 作业等级：______第一部分：1．（2009河池）如图5，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S >2．（2012福州，10，4分，）如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y =－x +6于A 、B 两点，若反比例函数ky x=（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．2≤k ≤9 B . 2≤k ≤8 C . 2≤k ≤5 D . 5≤k ≤83．如图3，正比例函数y 1=kx 和反比例函数y 2=2k x的图像交于A （－1,2）、（1,－2）两点，若y 1 ＜y 2，则x 的取值范围是（ ）A .x ＜－1或x ＞1B . x ＜－1或0＜x ＜1C . －1＜x ＜0或 0＜x ＜1D . －1＜x ＜0或x ＞14．（2009年娄底）市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm 2的矩形学具进行展示. 设矩形的宽为x cm ，长为y cm ，那么这些同学所制作的矩形长y （cm ）与宽x （cm ）之间的函数关系的图象大致是 ( )第二部分： 1．（2012浙江省衢州，12，4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式 . 2.（2012贵州铜仁，5，4分）如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数ky x的图象经过点A ，则k 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．4D ．－43．（2009年包头）如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ， AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）．第三部分：① 两函数图象的交点坐标为A （2，2）； ② 当x ＞2时，y 2＞y 1；③ 直线x ＝1分别与两函数图象交于B 、C 两点，则 线段BC 的长为3；④ 当x 逐渐增大时，y 1的值随着x 的增大而增大，y 2的 值随着x 的增大而减小． 则其中正确的是（）A ．只有①②B ．只有①③C ．只有②④D ．只有①③④2．（2012湖北襄阳，22，7分）如图9，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝2k x相交于A （1，2），B （m ，－1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3）为双曲线上的三点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系式； （3）观察图象，请直接写出不等式k 1x ＋b ＞2k x的解集．图9。

2612反比例函数的图象和性质反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为常数且k≠0。

1.反比例函数的图象特点：反比例函数的图象呈现出以下特点：(1)函数图象总是通过原点(0,0)。

(2)函数的图象总是位于第一象限和第三象限。

(3)函数图象的形状是一个开口朝右下（或右上）的拋物线。

(4)函数的图象是关于y轴和x轴的坐标轴对称的。

2.反比例函数的性质：(1)定义域和值域：反比例函数的定义域为除去0的实数集R*，即x≠0。

值域也是实数集R*。

(2)单调性：反比例函数在其定义域上是严格递增或是严格递减的。

当k>0时，函数严格递减；当k<0时，函数严格递增。

(3)零点：反比例函数的零点只有一个，即x=k。

当x=k时，y=0。

(4)渐近线：反比例函数的图象有两条渐近线：x=0和y=0。

当x无限逼近0时，y 无限逼近正无穷大或者负无穷大；而当y无限逼近0时，x无限逼近正无穷大或负无穷大。

(5)最值和极值：反比例函数没有最值和极值，因为当x无限逼近正无穷大或负无穷大时，函数值也会无限逼近于0。

(6)图象平移：反比例函数的图象可以通过平移来得到其他的反比例函数的图象。

平移时，仅需改变k的值即可。

3.反比例函数的应用举例：反比例函数在实际生活中有很多应用，例如：(1)电阻和电流的关系：欧姆定律指出电阻的大小与电流的关系为：U=RI，其中U为电压，R为电阻，I为电流。

当电压U保持不变时，电流I与电阻R成反比例关系。

(2)非线性经济学模型：在非线性经济学中，反比例函数经常被用来描述经济现象，如收入与需求关系、劳动力与产出关系等。

(3)物理学中的万有引力定律：万有引力定律描述了两个物体之间的引力与它们之间距离的平方成反比关系，即引力与距离的平方成反比。

(4)反比例函数在航空、导航等领域中的运用：航空、导航等领域中的一些问题可以通过反比例函数来解决，例如航空器的燃油消耗与飞行距离的关系等。

总结起来，反比例函数的图象特点是关于y轴和x轴对称的、形状为开口朝右下（或右上）的拋物线，函数的定义域为除去0的实数集，函数的值域为实数集，函数的性质包括单调性、零点、渐近线、最值和极值等。