第九章振动
1、 设一物体沿x 轴作谐振动的方程为)4
2cos(10.0π
π+
=t x
，式中x ，t 的单位分别为m ，
s .试求：
（1）振幅，周期，频率和初相；（2）s t 5.0=时，物体的位移、速度和加速度. 解：（1）谐振动的标准方程为)cos(ϕω+=t A x ，比较题中所给方程和标准方程，知振幅m A 10.0=，
角频率πω2=s rad /，初相4
π
ϕ=
.由此，
周期为12==
ωπ
T
s 频率为12==
π
ω
νHz （2）0.5s 时，
物体位移m m x 21007.7)4
5.02cos(10.0)4
2cos(10.0-⨯-=+
⨯=+
=π
ππ
π
速度s m s m t dt dx v
/44.0/)45.02sin(2.0)42sin(2.0=+⨯-=+-==
π
πππππ 加速度2222/28/)4
5.02cos(4)42sin(4s m s m t dt dv a =+⨯-=+-==π
πππππ 2、一质点做简谐振动，周期为2=T
s,起始时刻质点对平衡位置的位移为06.00=X m ，速度
π306.00-=v m.s 1-。求：（1）此谐振动表达式。（2）4
T
t =时质点的位置、速度、加速度。 解：（1）由题意知ππ
2==
T
ω
s 1- 12.0π3
π06.006.02222
2220
=⋅⋅+=+=ωo
v x A m
306
.0ππ306.0tan 000=⋅⋅⋅=-=
x v ωϕ 因为0v -为正， 0x ω亦为正，故0ϕ在I 象限，所以 3
π
=
ϕ， 谐振动方程式为： )3
π
πcos(12.0+=t x m
（2）4
2
4==
T t
s 时，位置、速度、加速度分别为 )cos(0ϕω+=t A x 104.0)3
π
21πcos(12.0-=+⨯=
)sin(0ϕωω+-=t A v 18.0)3π
21πsin(12.0π-=+⨯⨯-= m.s 1-
)cos(02ϕωω+-=t A a 1-2 m.s 03.1)3
π
21πcos(12.0π=+⨯⨯-=
3、若简谐振动方程为
)π5.0π10cos(10.0+=t x m ，求：
（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；
（2）2=t s 时的位移、速度和加速度。
解：（1）
10.0=A m ，π10=ωs 1-，πϕ5.00=，5π
2==
ω
νHz 2.01
==
ν
T s
（2）把2=t
s 代入x ，a ，v 的表达式中0)5.02π10cos(10.0=+⨯=πx
)sin(0ϕωω+-=t A v 1)5.02π10sin(10.010-=+⨯⨯-=π m..s 1-
)cos(02ϕωω+-=t A a 0)5.02π10cos(1.0)π10(2=+⨯⨯-=π
4、有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8×10-2
m 。若使物体上、下振动，并规定向
上为正方向。（1）当t=0时，物体在平衡位置下方4.0×10-2
m 处，由静止开始向上运动，求运动方程。（2）当t=0时，物体在平衡位置并处以0.2m ·s -1
的速度向下运动，求运动方程。 解：（1）根据题给的条件，20100.4-⨯-=x m, 00=v （题取向上为正方向，且平衡位置处为原点）
且
2100.4-⨯=A m ，其旋转矢量应为如图9-4-1图位置，所以π0=ϕ。
又m
k
=
ω ，而 0kx mg =,所以 0
x g m k =
1010
8.98
.92
=⨯=
-ω
s 1- 所以谐振动方程：)π10cos(100.42+⨯=-t x m
（2）据题意，0=t
时，00=x ，6.00-=v m.s 1-，其旋转矢量应为如图9-4-2图位置则得
222
2
2
2
10210
2.00)(-⨯=+=+=ωv x A m
2
π
0=
ϕ（0=x 的投影有上、下两个OM 矢量，
但0v 为负值，故只能选上面的OM 矢量），所以谐振 动方程为
)2
π
10cos(100.42+⨯=-t x m 。
5、做简谐振动的物体，由平衡位置向x 轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？
（1）由平衡位置到最大位移处；（用旋转式量方法）
ϕ∆
x
M
M '
O
9-5-1图
（2）由平衡位置到2A x =
处；（3）由2
A x =处到最大位移处。（用旋转式量方法） 解 ：（1）作旋转矢量如图9-5-1图，
得
π2π21⋅===∆T
t
t ωϕ
因为求的是最短时间，故取向下的 旋转矢量，所以
4
1π22π
==T t
（2）如图9-5-2图，t ωϕ
==
∆6
π
12
1=T t （3）同理 3π
=∆ϕ
6
1=T t 。 6、某振动质点的t x -曲线如9-6图所示，试求： （1）振动的周期和初相；
（2）点P 位置所对应的相位和时刻。
解（1）由曲线知，0=t
时 ，05.00=x m=2
A
，作旋转矢量如图9-6-1图所示，
3π0-
=ϕ。由旋转矢量得，41=t s 时，2π
01=+ϕωt 所以π24
543π2π=+
=
ωs 1-，所以运动周期为： 6.92==ωπT s 。
（2）如图9-6-2图，0=P ϕ，即 00==+p t ϕϕω
所以 5
8
π5243π0
=⋅=
-
=ω
ϕt
s 。 7、在一块不计质量的平板下面装有弹簧，弹簧的倔强系数216π=k
N ·s
-1
,平板上放
有一质量为1.0kg 的重物。现使平板沿竖直方向作上下简谐运动，振幅为2.0×10-2
m 。求： （1）平板到最低点时，重物对平板的作用力。
（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板.
解：（1）重物对平板的作 用力可以通过板对重物的支持力来求，设其为N F ，则有：
