天一专升本高数知识点

第一讲 函数、极限、连续

1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。

2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。

偶函数：

)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称

3、无穷小量、无穷大量、阶的比较

设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β

α

lim

，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β

α

=lim （不为0）

，则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β

α

lim

，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β

α

lim ，则α与β是低阶无穷小量

记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x

x

x x x x sin lim sin lim

使用方法：拼凑[][

][][][][]

000

==→→sin lim sin lim

，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x

x =+=⎪⎭⎫

⎝

⎛+→∞→1

0111)(lim lim

[][][]e =+→1

1)(lim

使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

5、()() ⎝

⎛>∞<==∞→m n m n m n b

a X Q x P m

n x ,,,lim

00

()x P n

的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速

度快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限

左极限：A x f x x =-

→)(lim 0

右极限：A x f x x =+

→)(lim 0

A x f x f A x f x x x x x

x ===+

-

→→→)(lim )(lim )(lim 000

充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim

000

=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x 或)()(lim

00

x f x f x x =→

间断：使得连续定义)()(lim

00

x f x f x x =→无法成立的三种情况

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧≠→→)()(lim )(lim )()(00

00

0x f x f x f x f x f x x x

x 不存在无意义

不存在， 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等

9、间断点类型

（1）、第二类间断点：)(lim 0

x f x x -

→、)(lim 0x f x x +

→至少有一个不存在

（2）、第一类间断点：)(lim 0

x f x x -

→、)(lim 0x f x x +

→都存在

⎪⎩

⎪⎨⎧≠=+

-

+

-

→→→→)(lim )(lim )(lim )(lim 000

x f x f x f x f x x x x x

x x x 跳跃间断点：可去间断点： 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第

一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质

（1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。

（2）

ξ零点定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，且0)()(<⋅b f a f ，则)(x f 在()b a ,内至少存在一点

ξ，使得0)(=ξf

ξ

第三讲 中值定理及导数的应用

1、 罗尔定理

如果函数)(x f y

=满足：（1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间（a,b ）内可导；（3）)()(b f a f =，

则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf

2、 拉格朗日定理

如果)(x f y

=满足（1）在闭区间[]b a ,上连续

（2）在开区间（a,b ）内可导； 则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得a

b a f b f f --=

')

()()(ξ

（*）推论1 ：如果函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上连续，在开区间（a,b ）内可导，且0)(≡'x f ，那么

在),(b a 内

)(x f =C 恒为常数。

记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。 （*）推论2：如果

)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，在开区间),(b a 内可导，且),(),()(b a x x g x f ∈'≡'，

那么

c x g x f +=)()(

记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等

3、 驻点

满足

0)(='x f 的点，称为函数)(x f 的驻点。