高中数学必修四(苏教版)：第一章 课件+练习(19份)(19

对于任意的 x1，x2∈0，12，都有 f(x1＋x2)＝
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f(x1)·f(x2)．
接
(1)设 f(1)＝2，求 f21，f41； (2)证明 f(x)是周期函数．
分析：本题主要考查抽象函数的概念、偶函数的概念、函数图象
对称的概念、函数周期的概念，同时考查运算和推理能力、综合运用
知识的能力以及灵活运用知识的能力．
(1)解析：由 f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，x1，x2∈0，12，知 f(x)＝f2x·fx2
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≥0，x∈[0，1]．
接
∵f(1)＝f12＋12＝f12·f12＝f122，又 f(1)＝2，∴f21＝ 2.
解析：由于对任意的 x∈R，有： f(x＋π)＝2sin2(x＋π)＋|cos(x＋π)|＝2sin2x＋|cos x|＝f(x)． ∴f(x)＝2sin2x＋|cos x|是周期函数． 方法指导：要理解周期函数的定义，重点是能利用定义判别有关 三角函数的周期性．
Байду номын сангаас
求下列函数的最小正周期：
(1)y＝3cos x，x∈R；
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π 的周期为 2 .
证明函数的周期性
求证：若对于非零常数 m 和任意的 x，等式 f(x＋m)＝11＋ －ff（ （xx） ）
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成立，则 f(x)为周期函数．
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链
分析：问题给出了 f(x＋m)与 f(x)之间的函数关系，结合周期函 接
数的定义，很自然的想法是 f(x＋2m)与 f(x)之间能否产生联系．
证明：f(x＋2m)＝11＋ －ff（ （xx＋ ＋mm） ）＝11＋ －1111＋ －＋ －ffff（ （（ （xxxx） ）） ）＝－f（1x），
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∴f(x＋4m)＝－f（x＋12m）＝f(x)．
接
∴f(x)是以 4m 为周期的周期函数．
变式训练
2．设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x＝1 对称，
◎规律总结：认识周期函数的定义，关键要认识到 f(x＋T)＝f(x) 中，T 是相对于自变量 x 而言的，突出 x＋T 的函数值与 x 的函数值 相等，T 才是函数的周期．本题也可利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)及函数
y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ为常数，且 A≠0，ω＞0)的最小正 周期 T＝2ωπ求之．
1．3.1 三角函数的周期性
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1．理解周期函数的最小正周期的意义，会求简单函数的最小正 周期．
2．理解正弦函数，余弦函数的周期性的意义．
典例剖析
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利用周期函数的定义判断函数的周期性
判断函数 f(x)＝2sin2x＋|cos x|的周期性． 分析：根据周期函数的定义结合诱导公式判断之．
变式训练
1．求下列函数的周期：
(1)y＝cos 2x＋sin 2x；
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(2)y＝|sin x|＋|cos x|.
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接
解析：(1)f(x＋π)＝cos 2(x＋π)＋sin2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＋
sin(2x＋2π)＝cos 2x＋sin 2x＝f(x)，∴f(x)的周期为π.
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(2)fx＋π2 ＝sinx＋π2 ＋cosx＋π2 ＝|cos x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)
(2)y＝sin 3x，x∈R；
(3)y＝2cos2x－π6
，x∈R.

分析：利用周期函数的定义结合 y＝sin x 与 y＝cos x 的最小正周
期是 2π的结论求解．
解析：(1)∵3cos(x＋2π)＝3cos x， ∴由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为 2π. (2)∵sin 3x＋23π＝sin(3x＋2π)＝sin 3x， ∴由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为2π 3 . (3)∵2cos2（x＋π）－π6 ＝2cos2x－π6 ， ∴由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为π.
∵f12＝f14＋14＝f14·f14＝f142＝212，∴f41＝214.
(2)证明：依题意 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，则有 f(x)＝ f(2－x)，x∈R.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，x∈R. ∴f(－x)＝f(2－x)，x∈R. 将上式中－x 以 x 代换，则有 f(x)＝f(x＋2)，x∈R. 这说明 f(x)在 R 上是周期函数，且 2 是它的周期．