高三数学总复习《数学归纳法》课件

k(2k+1),则当n=k+1时,
12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2 2 k 1
2
=-k(2k+1)+(2k+1) =-2k2-5k-3=-(k+1)(2k+3)
=-(k+1)
. 2 k 1
2
即当n=k+1时,等式也成立.
k 1 当n k 1时, 2 k 1 7 3 9
(2k 7) 3k 1 2 3k 1 9
k k 1 2 k 7 3 9 3 18 ( 3 1). 由于3k 1 1是2的倍数, 故18(3k 1 1)能被36整除,
下列命题总成立的是(
)
A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立 B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立 C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立 D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立 答案:D
解析:若f(3)≥9,只能推出,当k≥3时f(k)>k2,所以A不正确;若
典例某数列的第一项为1,并且对所有的自然数n≥2,数列的前
n项积为n2. (1)写出这个数列的前五项; (2)写出这个数列的通项公式,并加以证明.
分析:根据数列前五项写出这个数列的通项公式,要注意观察
数列中各项与其序号变化的关系,归纳出构成数列的规律,同 时还要特别注意第一项与其他各项的差异,必要时可分段表 示,证明这个数列的通项公式可用数学归纳法.本题中要特别 注意第一个步骤的处理.
第二十四讲
数学归纳法
走进高考第一关 考点关
回归教材 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一 种方法,它的基本步骤是: (1)验证:n=1时,命题成立; (2)在假设当n=k(k≥1)时命题成立的前提下推出n=k+1时,命 题成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立.
考点训练 1.(2007·上海,15)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x) 满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么,
变式3:是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)53n+9对任意自然 数n都能被m整除,若存在,求出最大m的值,并证明你的结论.
若不存在说明理由.
解 :由f n 2n 7 3n 9, 得f 1 36, f 2 3 36, f 3 10 36, f 4 34 36 .由此猜想 : m 36. 下面用数学归纳法证明 : (1)当n 1时, f 1 36, 显然成立; (2)假设n k时, 有f k 2k 7 3k 9能被36整除.
一、选择题 1.如果命题p(n)对n=k时成立,则它对n=k+2也成立,且知p(n)
对n=2时成立,则下列结论中正确的是(
A.p(n)对所有自然数n成立 B.p(n)对所有正偶数n成立 C.p(n)对所有正奇数n成立 D.p(n)对所有大于1的自然数成立 答案:B
)
解析:由题设知n=2时,p(n)成立,相当于k=2时,p(n)成立,则 n=k+2也成立,故对所有正偶数p(n)成立.

A.过程全部正确
B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1推理不正确 答案:D 解析:上述证法从n=k到n=k+1没有用上假设.所以不正确.
二、填空题 6.设n为正奇数,求证xn+yn被x+y整除,当第二步假设n=2k-1
命题为真时,进而需证n=________.
答案:2k+1 解析:∵n为正奇数,又2k-1的后一项为2k+1,∴应填2k+1.
)
A.3n-2 C.3n-1 答案:B
B.n2 D.4n-3
解析:由a1=1,an=an-1+2n-1(n≥2), 得a2=a1+2×2-1=1+3=4, a3=a2+2×3-1=4+5=9, a4=a3+2×4-1=9+7=16. ∴an=n2.
时,验证n=1时,左边应取的项是( A.1 3 n 4 B.1+2 n (n N*)
答案:D
解析:需要证明的不等式就是把特征不等式中的n换上k+1,因 此应选D.
解读高考第二关 热点关
题型一 用数学归纳法证明等式
1 1 1 1 1 1 例1求证 : 1 2n 2 3 4 2n 1 n 1 1 1 . n2 2n
分析:本题是与正整数n有关的数学命题,直接证明有困难,故 可考虑用数学归纳法.
4.下列代数式中,可能被13整除的是(
A.n3+5n C.62n-1+1 答案:D 解析:把n=1代入验证知选D. B.34n+1+52n+1 D.42n+1+3n+2
)
5.对于不等式 n 2 n≤n 1(n N*), 某同学的证明过程如下 : (1)当n 1时, 12 1 2≤1 1, 不等式成立. (2)假设n k (k N*)时, 不等式成立, 即 k 2 k ≤k 1. 当n k 1时, (k 1) 2 k 1 k 2 3k 2 (k 2 3k 2) k 2 (k 2) 2 k 1 1. 当n k 1时, 不等式成立.上述证法
7.用数学归纳法证明“2n>n2+n(n∈N*)”时,第一步,应验证 n=________.
答案:5
8.探索表达式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+
2 2! 1 1!
(n>1且n∈N)的结果时,第一步,n=________时,A=________.
答案:2 1
9.观察下 式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72,…, 则得结论:________.
点评:在用数学归纳法证明数学命题时,应注意以下几点:①数
学归纳法中两个步骤缺一不可,(1)是基础,(2)是推理的依据; ②由n=k推出n=k+1时,必须用上假设,否则不是数学归纳法; ③推证n=k+1时,命题成立,其目标就是命题中的n换上k+1;④ 最后要写出结论.
1 1 变式1 : 用数学归纳法证明 : 对任何正整数n有 3 15 1 1 n 2 成立. 35 4n 1 2n 1
又∵f′(x)=1-cosx>0(0<x<1), ∴函数f(x)在(0,1)上递增.
由0<ak<1知,
f(0)<f(ak)<f(1), 又ak+1=f(ak),
∴0-sin0<ak+1<1-sin1<1,
∴0<ak+1<1, ∴n=k+1时,不等式成立.
又∵0<an<1,
an+1-an=f(an)-an=an-sinan-an=-sinan<0, ∴an+1<an. 综上所述,0<an+1<an<1.
题型三 数学归纳法证明几何问题 例3平面上有n条直线,它们之间任何两条不平行,任何三条不 共点,求证:这n条直线将平面分成 n n 1 部分. 1 2
点评:用数学归纳法证明几何问题时,一定要清楚以n=k到
n=k+1时,新增加的量是多少,一般地证明第二步时,常用的方 法是加1法,即在原来k的基础上,再增加1个.当然也可以从k+1 个中分出一个来,剩下的k个利用假设.
*,等式成立. 2 k 1 1 由(1)(2) 可知 , 对任意 n ∈ N
11.数列{an}满足Sn=2n-an,先计算数列的前4项,然后猜想an, 并证明.
解 :由a1 2 a1 , 得a1 1. 3 由a1 a 2 2 2 a 2 , 得a 2 . 2 7 由a1 a 2 a 3 2 3 a 3 , 得a 3 . 4 由a1 a 2 a 3 a 4 2 4 a 4 , 得a 4 15 . 8
答案:D
3.若k棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱的对角面的个数是(
A.2f k C. f k k B. f k k 1 D. f k 2
)
答案:B
解析:增加一条棱与前面k条棱中不相邻的两条棱作对角面,有 k-2个,同时一个侧面变为了对角面,因此增加了k-1个对角面.
题型二 用数学归纳法证明不等式
例2已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满
足:0<a1<1,an+1=f(an),n=1,2,3,…,求证:0<an+1<an<1.
证明:先、、<an<1 (1)当n=1时,已知0<an<1, 即n=1时,不等式成立.
(2)假设n=k时,不等式成立,即0<ak<1.
1 1 1 1 2.设f n (n N*), 那么f n 1 n 1 n 2 n 3 2n f (n)等于 1 A. 2n 1 1 1 C. 2n 1 2n 2 1 B. 2n 2 1 1 D. 2n 1 2n 2
由假设知当n k 1时, f (nn都有f n 2n 7 3n 9能被36整除, m的最大值为36.
笑对高考第三关 技巧关 数学归纳法与归纳猜想是解决数列问题的常用方法,也是高考 热点之一.其思路是:先算出一个数列的前n项,用不完全归纳 法得到通项公式的猜想,再用数学归纳法给予证明.
考向精测
(2008·天津高考)在数列{an}与{bn}中,a1=1,b1=4,数列{an}的 前n项和Sn满足nSn+1-(n+3)Sn=0,2an+1为bn与bn+1的等比中 项,n∈N*.
(1)求a2,b2的值;
(2)求数列{an}与{bn}的通项公式.
课时作业(二十四)
数学归纳法
2 C.1+2+3
)
D.1+2+3+4
答案:D
4.(2009 云南高三检测)用数学归纳法证明不等式
1 n 1
1 1 13 (n 1且n N)时, 在证明n k 1这一步时, n2 2n 24 需要证明的不等式是 1 1 1 13 A. k 1 k 2 2k 24 1 1 1 1 13 B. k 1 k 3 2k 2k 1 24 1 1 1 1 13 C. k2 k3 2k 2k 1 24 1 1 1 1 1 13 D. k2 k3 2k 2k 1 2k 2 24
点评:本题虽然与函数有关,但所证不等式与n有关,故可以用 数学归纳法证明. 用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1也
成立,主要方法有:①放缩法;②分析法;③比较法等.
1 1 1 1 变式2 : 用数学归纳证明 : 2 2 2 2 2 3 4 n 1 1 (n≥2, n N*). n
答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
三、解答题 10.用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=n(2n+1)(n∈N*).
证明:(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1×(2×1+1)=-3,等式 成立. (2)假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-
f(5)≥25,只能推出,当k≥5时,f(k)>k2,所以B不正确;若f(7)<49, 只能推出,当1≤k≤7时,f(k)<k2,所以C不正确;而f(4)=25>16,由 题意,当k≥4时,f(k)≥k2成立,故选D.
2.(2008·湖南模拟)数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an=an1+2n-1.依次计算a2,a3,a4后,猜想an表达式是(