湖南省2017中考数学温习 第7单元 圆 第29课时 与圆有关的位置关系讲义
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只有一个公共点，直线和圆相切；直线和圆有两个公共点，直线和
圆相交. （2）等价条件：设圆半径为r，圆心到直线距离为d，则：
①直线和圆相离 d>r； ②直线和圆相切 d=r； ③直线和圆相交 d<r.
7.2.3 圆的切线
要点梳理
（1）切线的判定方法：①用定义判断；②用等价条件判断；③用 定理判断：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （2）切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径； 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
直线与圆的位置关系
相交 相切 相离
切线的性质、判定 切线长及性质
7.2.1 点与圆的位置关系
要梳理
如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：
（1）点在圆外 d>r； （2）点在圆上 d=r； （3）点在圆内 d<r.
7.2.2 直线与圆的位置关系
要点梳理
（1）定义：如果直线和圆没有公共点，直线和圆相离；直线和圆
经典考题
【例2】（2016年江西）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一 动点（不与点A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP 交 A C 于点F，交过点C的切线于点D. （1）求证：DC=DP； （2）若∠CAB=30°，当F是A C 的中点时，判断以A，O，C，F为 顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由.
（3）如图所示：可得∠ABD=∠ACD， ∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°， ∴∠DCA=∠E， 又∵∠ADC=∠CDE=90°， ∴△CDE∽△ADC，
经典考题
DC DE AD DC
∴DC2 =AD•DE ，∵AC= 2 5 DE，∴设DE=x，则AC= 2
则AC2﹣AD2 =AD•DE，即 25x2AD2ADx，
H四棵树中需要被移除的为
（）
A.E、F、G
B.F、G、H
C.G、H、E
D.H、E、F
经典考题
【解析】设小正方形的边长为1.由点在图形中的位置和勾股定理可 知，OG=1，OE=OF=2，OA=12+22=5，OH= 2222=2 2， ∴OG<OE=OF<OA<OH，∴需要被移除的树是E、F、G.
解得AD=4x或AD=-5x（舍去）.
5 x，
故tan∠ABD=tan∠ACD= AD 4x 2.
DC 2x
THANK YOU!
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. （3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线 长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
经典考题
【例1】（2016年宜昌）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树， 位置如图所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一座以
为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、
经典考题
图1
（2）如图2，四边形AOCF是菱形. 连接CF、AF， ∵F是 A C 的中点，∴ A F = C F ， ∴ AF=FC . ∵∠BAC=30º，∴ B C =60°， 又AB是⊙O的直径， ∴ A C B =120°，∴A F =C F ∴∠ACF=∠FAC =30º. ∵OA=OC，∴∠OCA=∠BAC=30º， ∴△OAC≌△FAC (ASA) , ∴AF=OA ， ∴AF=FC=OC=OA , ∴四边形AOCF是菱形.
第29课时与圆有关的位置关系
考纲考点
考情分析
与圆有关的位置关系，尤其是圆的切线性质与判定，近几年湖南中 考各地市大部分考查了解答题目，2016年11考，2015年9考，2014 年11考.预测2017年湖南中考大部区市都会考查圆的切线性质与判 定.
知识体系图
点与圆的位置关系
要点梳理
与圆有关的 位置关系
经典考题
=60°，
图2
经典考题
【例3】（2016年长沙）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线 AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为 CE的中点，连接DB，DF. （1）求∠CDE的度数； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）若AC= 2 5 DE，求tan∠ABD的值.
经典考题
【解析】（1）∵对角线AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠EDC=90°； （2）证明：连接DO， ∵∠EDC=90°，F是EC的中点， ∴DF=FC， ∴∠FDC=∠FCD， ∵OD=OC， ∴∠OCD=∠ODC， ∵∠OCF=90°， ∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°， ∴DF是⊙O的切线.
【解析】(1) 如图1，连接OC, ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD ∴∠OCD=90º， ∴∠DCA= 90º－∠OCA . 又PE⊥AB ，点D在EP的延长线上， ∴∠DEA=90º， ∴∠DPC=∠APE=90º－∠OAC. ∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC. ∴∠DCA=∠DPC，∴DC=DP.
圆相交. （2）等价条件：设圆半径为r，圆心到直线距离为d，则：
①直线和圆相离 d>r； ②直线和圆相切 d=r； ③直线和圆相交 d<r.
7.2.3 圆的切线
要点梳理
（1）切线的判定方法：①用定义判断；②用等价条件判断；③用 定理判断：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （2）切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径； 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
直线与圆的位置关系
相交 相切 相离
切线的性质、判定 切线长及性质
7.2.1 点与圆的位置关系
要梳理
如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：
（1）点在圆外 d>r； （2）点在圆上 d=r； （3）点在圆内 d<r.
7.2.2 直线与圆的位置关系
要点梳理
（1）定义：如果直线和圆没有公共点，直线和圆相离；直线和圆
经典考题
【例2】（2016年江西）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一 动点（不与点A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP 交 A C 于点F，交过点C的切线于点D. （1）求证：DC=DP； （2）若∠CAB=30°，当F是A C 的中点时，判断以A，O，C，F为 顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由.
（3）如图所示：可得∠ABD=∠ACD， ∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°， ∴∠DCA=∠E， 又∵∠ADC=∠CDE=90°， ∴△CDE∽△ADC，
经典考题
DC DE AD DC
∴DC2 =AD•DE ，∵AC= 2 5 DE，∴设DE=x，则AC= 2
则AC2﹣AD2 =AD•DE，即 25x2AD2ADx，
H四棵树中需要被移除的为
（）
A.E、F、G
B.F、G、H
C.G、H、E
D.H、E、F
经典考题
【解析】设小正方形的边长为1.由点在图形中的位置和勾股定理可 知，OG=1，OE=OF=2，OA=12+22=5，OH= 2222=2 2， ∴OG<OE=OF<OA<OH，∴需要被移除的树是E、F、G.
解得AD=4x或AD=-5x（舍去）.
5 x，
故tan∠ABD=tan∠ACD= AD 4x 2.
DC 2x
THANK YOU!
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. （3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线 长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
经典考题
【例1】（2016年宜昌）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树， 位置如图所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一座以
为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、
经典考题
图1
（2）如图2，四边形AOCF是菱形. 连接CF、AF， ∵F是 A C 的中点，∴ A F = C F ， ∴ AF=FC . ∵∠BAC=30º，∴ B C =60°， 又AB是⊙O的直径， ∴ A C B =120°，∴A F =C F ∴∠ACF=∠FAC =30º. ∵OA=OC，∴∠OCA=∠BAC=30º， ∴△OAC≌△FAC (ASA) , ∴AF=OA ， ∴AF=FC=OC=OA , ∴四边形AOCF是菱形.
第29课时与圆有关的位置关系
考纲考点
考情分析
与圆有关的位置关系，尤其是圆的切线性质与判定，近几年湖南中 考各地市大部分考查了解答题目，2016年11考，2015年9考，2014 年11考.预测2017年湖南中考大部区市都会考查圆的切线性质与判 定.
知识体系图
点与圆的位置关系
要点梳理
与圆有关的 位置关系
经典考题
=60°，
图2
经典考题
【例3】（2016年长沙）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线 AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为 CE的中点，连接DB，DF. （1）求∠CDE的度数； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）若AC= 2 5 DE，求tan∠ABD的值.
经典考题
【解析】（1）∵对角线AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠EDC=90°； （2）证明：连接DO， ∵∠EDC=90°，F是EC的中点， ∴DF=FC， ∴∠FDC=∠FCD， ∵OD=OC， ∴∠OCD=∠ODC， ∵∠OCF=90°， ∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°， ∴DF是⊙O的切线.
【解析】(1) 如图1，连接OC, ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD ∴∠OCD=90º， ∴∠DCA= 90º－∠OCA . 又PE⊥AB ，点D在EP的延长线上， ∴∠DEA=90º， ∴∠DPC=∠APE=90º－∠OAC. ∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC. ∴∠DCA=∠DPC，∴DC=DP.