2007数一考研真题

2007数一考研真题
2007年数学一考研真题
【引言】
在考研备战的过程中，熟悉历年真题是必不可少的。

通过对历年考研真题的仔细研究，我们可以更好地了解考纲要求和命题思路，提高解题能力。

本文将对2007年的数学一考研真题进行分析和解答。

【第一节】
一元函数微分学
【问题描述】
设函数f(x)在(0,1)内可导，对任意x∈(0,1)，恒有f(x)+f''(x)>0，且f(0)=f(1)=0。

证明：对任意x∈(0,1)，有f(x)>0。

【解题思路】
根据题意，我们需要证明对于任意x∈(0,1)，有f(x)>0。

由于f(x)在(0,1)内可导，我们可以考虑使用反证法来证明。

【证明过程】
假设存在某一点x0∈(0,1)，使得f(x0)≤0。

根据题设条件可知，
f(x)+f''(x)>0，将x=x0代入得到f(x0)+f''(x0)>0。

由于f(x)可导，根据导数的几何意义，可得到函数f(x)在x0处的切线为一条斜率存在且为正的线。

由于f(0)=f(1)=0，根据介值定理，可以得到在(0,1)内，存在一点
c∈(0,1)使得f(c)=1。

根据函数的连续性，我们可以得到在(0,c)和(c,1)两个区间内，f(x)的值必然大于0。

接下来，我们只需要证明在x0点的邻域内，存在一点d，使得f(d)>0。

根据导数的定义，f'(x0)为函数f(x)在x0点的导数值，且由于切线的斜率为正，可得f'(x0)>0。

根据可导函数的性质，我们可以得到在x0的邻域内，存在一点d，满足f'(d)>0。

综上所述，存在一点d，满足f(d)>0，与假设矛盾。

所以，对任意x∈(0,1)，有f(x)>0。

【结论】
根据上述证明，我们可以得出结论：对任意x∈(0,1)，有f(x)>0。

【小结】
通过对2007年数学一考研真题的解答，我们了解了一元函数微分学中的一个典型问题。

在解题过程中，我们采用了反证法来证明命题的正确性。

通过这道题目的练习，我们对一元函数导数性质有了更深入的理解，并且培养了分析问题和解决问题的能力，提高了解题的准确性和效率。

【参考资料】
2007年数学一考研真题。