函数逼近

第3章 函数逼近
设函数 f ( x ) C[a, b] ，集合
H n span 1, x , x ,
2
,x
n

如果存在 p( x ) H n，满足 max f ( x ) p( x ) En
a xb
其中 En min max f ( x ) pn ( x )
pn ( x )H n a x b
a n
b k 0 k k a k
f ( x) S( x)
b a
k
( x ) ( x )dx 0 k 0,1,
21
,n
数值分析
第3章 函数逼近
Th
设给定节点 f ( x ) C[a, b]，则其最佳平方逼近
唯一存在，且可以由前述 Gram 组成的方程组求解构造。
注：
组成的交错点组。
Chebyshev定理给出了最佳一致逼近多项式满足的性质
10
数值分析
第3章 函数逼近
f ( x )有唯一 设函数 f ( x ) C[a, b] ，则在 H n 中， 的最佳一致逼近多项式 P ( x ) 。
Th
（存在唯一性）
Th
（最佳一致逼近多项式的一种求法）
( n1)
[a , b]上不 设 f ( x ) 在[a , b]上有n+1阶导数， f ( x) 在 p( x ) H n 是 f ( x ) 的最佳一致逼近多项式，则： 变号， [a , b]的端点属于f ( x ) p( x ) 的交错点组。


n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , ( x ) 为[a,b]上的一个权函数。 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足
b
a0 , a1 , , an S( x) ( x ) S ( x )
S( x) a00 ( x) a11( x)
对于任意广义多项式
ann ( x) bnn ( x)
2
( x) b00 ( x) b11( x)
下面证明
f ( x ) S ( x )
b a
2
( x )dx
2
f ( x ) ( x ) a
则称 p( x ) 为 f ( x ) 的 n次最佳一致逼近多项式，简称 n 次最佳逼近多项式。 p( x ) 和 f ( x ) 的偏差 称为 f ( x ) 的n次最佳逼近或最小偏差
8
Def 2
假设
数值分析
第3章 函数逼近 （Chebyshev交错点组/*Group of Alternating Points */）
1
( 0 , f )
2

(1 , f )
23

4 ( 2 , f ) 3
2
数值分析
求解下列法方程组：
第3章 函数逼近
1 1 2 a0 2 a1 3 a2 1 1 1 1 a0 a1 a2 3 4 2 2 1 1 1 4 a0 a1 a2 3 4 5 3
p x ax b 的逼近函数.
解 ① 插值法，以 x0 0, x1 1为插值节点对 f x 作一次插值得
p x x
② 最佳一致逼近，得
p x x 1 8
③ 最佳平方逼近，得
p x 4x 5 4 15
可见，对同一个被逼近函数，不同距离意 义下的逼近，逼近函数是不同的.
a b a
,n
( i , f ) i ( x ) f ( x ) ( x )dx i 0,1, 2,
将 S ( x ) 代入前式：
,n
S( x) a00 ( x)
ann ( x)
( 0 , 0 )a0 ( 0 , 1 )a1 ( 0 , n )an ( 0 , f ) (1 , 0 )a0 (1 , 1 )a1 (1 , n )an (1 , f ) ( n , 0 )a0 ( n , 1 )a1 ( n , n )an ( n , f )
2 a 3 17 b 48 9 x2 16
2 17 一次最佳一致逼近多项式为：p( x ) x 3 48
14
数值分析
第3章 函数逼近
15
数值分析
§3.3
第3章 函数逼近 最佳平方逼近/*Best Approximation in Quadratic Norm*/
假设 f ( x ) C[a, b] ， j ( x )
18
数值分析
令
第3章 函数逼近
Gn ( , ) i j ( n1)( n1)
i , j 0,1,
,n
Gn 是关于函数系 j ( x ) 对称矩阵


n
j 0
的Gram(格拉姆)矩阵
易证Gram矩阵为实对称正定矩阵：
x ( x0 , x1 ,
T T
记
I (a0 , a1 ,
b
, an )
f ( x ) S ( x ) ( x )dx a
b 2
由极值的必要条件
I ak ak
b a
f ( x) S( x) ( x)dx 0 k 0,1,
2 a
,n
f ( x) S( x)
解：设所求的一次最佳一致逼近多项式为：
第3章 函数逼近
p( x ) ax b
R( x) f ( x) p( x) x ax b
设 R( x ) 的交错点组为： x1
1 f ( x ) x 4

3 2
0
1 由 Th 知， x1 和 x3 1 4
x2 x3
b
( x )dx
即
f ( x ) S ( x )
b a
20
( x )dx min
数值分析
记
D
f ( x ) ( x ) a
b b
2
( x )dx
2
第3章 函数逼近
f ( x ) S ( x ) a b 2 D S ( x ) ( x ) ( x )dx a
4
数值分析
§3.2 最佳一致逼近/*Best Uniform Approximation */ Weierstrass定理 设给定函数 f ( x ) C[a, b]，则对 0 ，存 在一多项式 P ( x )，使得
第3章 函数逼近
f ( x) P ( x) x [a, b]
对所有 x [a , b] 一致成立。
Bernstein给出了一种构造性证明. Bernstein多项式：
Bn f , x
k 0
n
n k k k k f Cn x 1 x n
5
x [0,1]
数值分析
第3章 函数逼近
6
数值分析
第3章 函数逼近
g( x ) C[a , b] ，若存在n个点：
满足
且 则称
g( xi ) max g( x )
a xb
a x1 x2
i 1, 2,
xn b
,n
g( xi ) g( xi 1 ) i 1, 2, , n 1 x1 , x2 , , xn 为 g ( x ) 在 [a , b]上的Chebyshev
由交错点组的性质得到
R( x1 ) R( x2 ) R( x3 ) R( x2 ) 0
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数值分析
第3章 函数逼近
相应的方程组为
1 1 1 2 a b x 2 ax 2 b 2 4 1 2 1 a b x 解之得 2 ax 2 b 1 1 x2 2 a 0 2
数值分析
Numerical Analysis
李小林
重庆师范大学数学学院
数值分析
第3章 函数逼近
第3章 函数逼近
§3.1 基本概念
函数逼近: 用比较简单的函数代替复杂的函数
要求构造函数在整个区间上 与已知函数的误差尽可能小
2
数值分析
第3章 函数逼近
3
数值分析
第3章 函数逼近
例 ：对被逼近函数 f x x , 在区间 0,1 上按三种不同的逼近方式求其形如
注：
Bernstein多项式具有良好的一致逼近性质； 如果要求精度很高， Bernstein多项式次数
会很高，即它的收敛速度很慢；
Chebyshev方法：在所有次数不超过固定次
数n的多项式中寻找一个最精确地逼近函数f ( x ) 的多项式。
故称之为最佳一致逼近
7
数值分析
（最佳一致逼近的定义） Def 1
k i
1
n+1个方程， 2n+3个未知数
i 1, 2, , n 1, n 2
f ( x ) p ( xi ) 0 当交错点 xi 在区间 ( a , b )内部时满足 i
求最佳一致逼近多项式最终归结为求解非线性方程组
12
数值分析
1 例1：求函数 f ( x ) x 在 [ , 1]上的一次最佳一致逼 4 近多项式。
即：
k
( x ) ( x )dx 0 k 0,1,
b
,n

b
a
S ( x ) k ( x ) ( x )dx f ( x ) k ( x ) ( x )dx
a
k 0,1, 2,
17
,n
数值分析
记
第3章 函数逼近
b
( i , j ) i ( x ) j ( x ) ( x)dx i , j 0,1, 2,
, xn ) 0
T
x Gn x 0
T
x Gn x x ( , ) x i j ( n1)( n1)
( xk k ( x ), xk k ( x ))
k 0 k 0
n
n
0
上述方程组存在唯一解
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数值分析
第3章 函数逼近
设由上述方程组的解确定的广义多项式为：
前述Gram组成的方程组通常称为法方程组
Gram矩阵是实对称正定矩阵 最佳平方逼近可以通过求解法方程组而得到
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数值分析
例1：求函数 f ( x ) sin x 在 [0,1]上的最佳平方逼近： 解： 本题的函数系和权函数为：
0 ( x) 1 1 ( x ) x
首先计算Gram矩阵：
b a
b
( x )dx
2 ( x ) S ( x ) S ( x ) f ( x ) ( x )dx
( x) S( x) S( x) f ( x) ( x)dx (b a ) S ( x ) f ( x ) ( x ) ( x )dx 0
1 i j
第3章 函数逼近
( x) a0 a1 x a2 x 2
2 ( x ) x 2
( x) 1
1 ( j 0,1, 2) ( i , j ) x x dx 0 i j 1
( i , f ) x sin xdx
i 0
1
(i 0,1, 2)
11
数值分析
第3章 函数逼近
n
最佳一致逼近多项式求解过程总结
k p ( x ) a x 设在 H n中所求的最佳一致逼近多项式为： k k 0
f ( x ) p ( x ) 的n+2个交错点组为：
则有

a x1 x2
n k 0
xn 2 b
i
f ( xi ) p ( xi ) f ( xi ) ak x ( 1) En
x4
交错点组。
几何意义
x1
x2
x3
x5
9
数值分析
Th
第3章 函数逼近
（Chebyshev定理）
P( x ) Hn 设函数 f ( x ) C[a, b] ，
则P ( x )是 f ( x )的最佳一致逼近多项式的充要条件是：
f ( x) P( x)
在区间 [a , b] 上存在一个至少有n+2个点
a
( x )dx min
( x ) 1，则称 S ( x )
称函数 S ( x )为 f
( x ) 在[a,b]上关于权函数 ( x ) 的最佳
平方逼近或最小二乘逼近；特别，若 是f
( x ) 在[a,b]上的最佳平方逼近.
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数值分析
第3章 函数逼近
由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题