广东省广州市花都区狮岭中学高三数学模拟考试试题(2) 理 新人教A版

广州市花都区狮岭中学2012届高三模拟考试（二）数学（理）试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数2332i
z i
+==-+
A ．0
B ．-1
C ．1
D ．2
2．已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为
A ． x y 2±=
B ． x y 2±=
C ． x y 2
2
±
= D ． x y 21±=
4．若直线)0,0(022>>=-+b a by ax 始终平分圆08242
2
=---+y x y x 的
周长，则
b
a 2
1+的最小值为
A ．1
B ．3+
C ．5
D ．5．若某多面体的三视图（单位：cm ）如图1所示，则此多面体的体积是
A ．36cm
B ．34cm
C ．33cm
D ．3
2cm
6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、2
2
2
6
.,5c b c a bc +-=
若则sin(B+C)=
A ．45
-
B ．
45
C ．35
-
D ．
35
7．已知函数21(0)
(),()()(1)1(0)
x x f x g x f x x f x x ⎧-≤==-⎨
-+>⎩把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和为n S ，则10S =
A ．1021-
B ．9
21-
C ．45
D ．55
8．若1212(,),(,)a a a b b b ==，定义一种向量积：1122(,)a b a b a b ⊗=，已知1(2,),(
,0)2
3
m n π
==，且点(,)P x y 在函数sin y x =的图象上运动，
点Q 在函数()y f x =的图象上运动，且点P 和点Q 满足：O Q m O P n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的最大值A 及最小正周期T 分别为
A ．2,π
B ．2,4π
C ．
1,2
π D ．1
,42π
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30
分．
（一）必做题（9～13题）
9．74
2
(),x x x x
-的展开式中的系数是_______．（用数字作答）
10．已知点P (x ,y)满足条件0(),320x y x
k z x x y k ≥⎧⎪
≤=+⎨⎪++≤⎩为常数若y 的最大值为8，则k = ．
11．如果执行图2的程序框图，那么输出的S =_________．
12．由曲线2
2x y =与直线2=y 围成的封闭区域的面积为________．
13．在ABC ∆中,a b c 、、分别为内角A B C 、、所对的边，且ο
30=A ．现给出三个条件：
①2a =； ②45B =︒
；③c ．试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，并以此为依据求ABC ∆的面积．(只需写出一个选定方案即可)你选择的条件是 (用序号填写)；由此得到的ABC ∆的面积为 ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
A B
E
14．(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和
cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝ ；
15．（几何证明选讲选做题）如图3所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12
分）设2
()cos 2f x x x =． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间．
17．（本小题满分12分）
第16届亚运会将于今年11月在我市举行，射击队运动员们正在积极备战． 若某运动员每次射击成绩为10环的概率为
1
3
． 求该运动员在5次射击中， （1）恰有3次射击成绩为10环的概率； （2）至少有3次射击成绩为10环的概率； （3）记“射击成绩为10环的次数”为ξ，求E ξ． （结果用分数表示）
18．（本小题满分14分）
如图4，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边 三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点． （1）求证：//AF 平面BCE ；
（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
（3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．
19．（本题满分14分）
某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用0()m m ≥万元满足31
k
x m =-
+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2011年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2011年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2011年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
20．（本小题满分14分）
已知圆M ：2
2
2
()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足NP ＝2NQ ，GQ ·NP ＝0．
（1）若1,0,4m n r =-==，求点G 的轨迹C 的方程；
（2）若动圆M 和（1）中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ，是否存在一组正实数,,m n r ，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分14分） 已知函数)()0,1(),0()(x f y P t x
t
x x f =>+=作曲线过点的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．
（1）当2=t 时，求函数)(x f 的单调递增区间； （2）设|MN |=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式；
（3）在（II ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64
,2[n
n +
内，总存在m ＋1个数
,,,,,121+m m a a a a 使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．
参考答案
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30
分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
解：1cos 2()222
x f x x +=
+ …………………2分
11cos 2222x x =
+1sin cos 2cos sin 2266x x ππ=++ ……………4分
1sin(2)26
x π
=
++…………………6分
17．（本小题满分12分）
解：设随机变量X 为射击成绩为10环的次数，则 1
~(5,)3
X B ． ……2分 （1）在5次射击中，恰有3次射击成绩为10环的概率为：
32
3511(3)133P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
144010279243=⨯⨯= …………4分 （2）在5次射击中，至少有3次射击成绩为10环的概率为：
(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ≥==+=+= …………5分
A
B
C
D
E
F
M
H
G 3
2
4
5
345555111111111333333C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
401011724324324381
=
++=． …………8分 （3）方法一：随机变量X 的分布列为：
故
()0123452432432432432432433E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………12分
方法二:因为1~(5,)3X B ，所以5
()3
E X =． …………12分
18．（本小题满分14分）
解法一：(1) 证：取CE 的中点G ，连结FG BG 、．
∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且1
2
GF DE =
．
(2) 证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥ ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂
平面ACD ，∴DE AF ⊥．
又CD
DE D =，故AF ⊥平面CDE ． ∵//BG AF
，∴
BG ⊥平面CDE ．
∵BG
⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ． …………8分
(3) 解：在平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH ．∵平面BCE ⊥
平面CDE ， ∴FH ⊥平面BCE ． ∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角． …………10分 设22AD DE AB a ===，则sin 452
FH CF =︒=
， 2BF a ===，
在R t △FHB 中，sin 4
FH FBH BF ∠=
=13分
∴直线BF 和平面BCE ………14分
(1) 证：()
()33
,,0,,3,,2,0,22AF a a BE a a a BC a a ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭
， ∵()
1
2
AF BE BC =
+，AF ⊄平面BCE ，∴//AF 平面BCE ． …………4分
(3) 解：设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =，由0,0n BE n BC ⋅=⋅=可得：
0,20x z x z +=-=，取
()
1,3,2n =-． …………10分
又3,2BF a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则42
2
222s
i n =⋅=
=a a θ． …………13分
∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为4
． …………14分
19．（本小题满分14分）
m m m x -+-
+=-+=)123(8484)0(29)]1(1
16[≥++++-=m m m …………7分 （2）∵0m ≥
时，
16
(1)81
m m ++≥=+. ∴82921y ≤-+=，当且仅当
16
11
m m =++，即3m =时，max 21y =.（15分） 答：该厂家2011年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元. …………14分
20．（本小题满分14分）
解：（1）
2,NP NQ =∴点Q 为PN 的中点，又0GQ NP ⋅=，
GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG = …………2分
又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+==∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，
且2,1a c ==
，∴b G ==∴的轨迹方程是22
1.43x y +=
………6分 (2)解：不存在这样一组正实数，下面证明： …………7分 由题意，若存在这样的一组正实数，当直线MN 的斜率存在时，设之为k ， 故直线MN 的方程为：(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)D x y ，
则22
1122
221431
4
3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=．…………9分
注意到12121y y x x k -=--，且12012
02
2
x x x y y y +⎧
=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩ ，则00314x y k = ， ② 又点D 在直线MN 上，00(1)y k x ∴=-，代入②式得：04x =．
因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内，故022x -<<，这与04x =矛盾， 所以所求这组正实数不存在． …………13分
当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =，则此时1212,2y y x x =+=， 代入①式得120x x -=，这与,A B 是不同两点矛盾．
综上，所求的这组正实数不存在． …………14分 21．（本小题满分14分）
（2）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，
)1(.
02).1)(1()(0),0,1().)(1()(:,1)(121121
1112
1
112=-+--=+-∴--=+-∴-
='t tx x x x t
x t x P PM x x x t
x t x y PM x t x f 即有过点切线又的方程为切线
同理，由切线PN 也过点（1，0），得.0222
2=-+t tx x （2）
由（1）、（2），可得02,2
21=-+t tx x x x 是方程的两根，
(*).
22121⎩⎨
⎧-=⋅-=+∴t x x t
x x ………………………6分
])1(1[)()()(||2
2
122122211221x x t x x x t x x t x x x MN -+-=--+
+-= ])1(1][4)[(2
2
121221x x t x x x x -
+-+ 把（*）式代入，得,2020||2t t MN +=
因此，函数)0(2020)()(2>+=
t t t t g t g 的表达式为…………………8分
…………………4分
,)64(20)64(2022022022n n n n m +++
<⨯+⨯ .3
136.3136]1616[61)]64()64[(61,1664)]64()64[(61222<∴=+≥+++∴≥+
+++<m n n n n n n n n
n n n m 恒成立对一切的正整数即
由于m 为正整数，6≤∴m ．…………………………13分
又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时n a a a a m m m ======+
因此，m 的最大值为6． …………………………………………14分。