空间角与距离的向量方法 课件

∵A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)， ∴cos〈A→C1，n〉＝|nn|··|AA→→CC11|＝－|λ|λ··233aa＝－2λ|λ|. 设所求线面角为 θ，则 sinθ＝|cos〈A→C1，n〉|＝12， θ＝30°.
方法 3：(几何法)由方法 1 可知∠C1AM 即为所求，在△ AC1M 中，由余弦定理得
22y－2z＝0，
－ 22x＋ 22y－2z＝0，
取 z＝ 2，解得 n＝(0,4， 2)．
设点 B 到平面 OCD 的距离为 d， ∵O→B＝(1,0，－2)，∴d＝|O→|Bn·|n|＝32. ∴点 B 到平面 OCD 的距离为32.
规律技巧 利用向量法求点到平面的距离，只要求出平
面的一个法向量 n 和该点 P 与平面内任一点 Q 连线表示的向
答案
1．(0，π2] 方向向量 cosθ＝|cosφ| [0，π2] sinθ＝|cosφ|
[0，π] 夹角
→
2. x2－x12＋y2－y12＋z2－z12
|AB·n| |n|
1.空间角公式 (1)异面直线所成角公式： 设 a，b 分别是异面直线 l1、l2 上的方向向量，θ 为异面 直线所成的角，则有 cosθ＝|cos〈a，b〉|＝||aa|·|bb||. (2)线面角公式：设 l 为平面 α 的斜线，a 为 l 的方向向量， n 为平面 α 的法向量，θ 为 l 与 α 成的角，则有 sinθ＝|cos〈a， n〉|＝||aa|·|nn||.
又D→C＝12，1，0，D→S＝－21，0，1， ∴12x＋y＝0，且－21x＋z＝0. ∴y＝－12x，且 z＝21x，∴n＝x，－2x，2x， 取 x＝1，得 n＝1，－12，12.
∴cos〈A→D，n〉＝
→ AD·n →
|AD|·|n|
＝ 12×
1
2
＝
1＋41＋14
6 3.
设二面角为
θ，则
M→D＝(－ 22， 22，－1)，
→→
∴cosθ＝
|AB·MD| →→
＝12.
|AB|·|MD|
∴θ＝π3.
∴异面直线 AB 与 MD 所成角的大小为π3.
(2)∵O→P＝(0， 22，－2)，O→D＝(－ 22， 22，－2)， ∴设平面 OCD 的法向量 n＝(x，y，z)，则
n·O→P＝0，n·O→D＝0，得
解 作 AP⊥CD 于点 P.如图所示，分别以 AB，AP，AO 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角,0)，P(0， 22，0)，D(－ 22， 22，0)， O(0,0,2)，M(0,0,1)．
(1)设 AB 和 MD 所成角为 θ.
∵A→B＝(1,0,0)，
(3)二面角的大小就是指二面角的平面角的大小，其范围 是________，二面角的平面角的大小(或其补角的大小)可以通 过两个平面的法向量的________求得．
2．空间距离． (1)空间中两点间的距离公式：若 P1(x1，y1，z1)，P2(x2， y2，y2)，则|P1P2|＝________. (2)点面距离的求法： 如图，设 n 是平面 α 的法向量，AB 是平面 α 的一条斜线， 则点 B 到平面 α 的距离 d＝________.
空间角与距离的向量方法
1.空间角． (1)两条异面直线所成的角的范围是________，其大小可 以通过这两条异面直线的________的夹角来求．若设两条异 面直线所成的角为 θ，它们的方向向量的夹角为 φ，则有_____． (2)直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内 的射影所成的角，其范围是________，直线和平面所成的角 为 θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为 φ，则有_____．
cosθ＝
36，∴tanθ＝
2 2.
即所求二面角的正切值为
2 2.
题型三 空间距离问题
例 3 如图，在四棱锥 O－ABCD 中，底面 ABCD 是边长 为 1 的菱形，∠ABC＝π4.OA⊥底面 ABCD，OA＝2，M 为 OA 的中点．
(1)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； (2)求点 B 到平面 OCD 的距离． 分析 解答本题可先利用图形条件建立坐标系，再利用 A→B，M→D所成角求异面直线所成角，利用公式求点面距．
题型一 直线与平面所成的角 例 1 正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 2a，求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角． 分析 建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标， 利用 AC1 与其在面 ABB1A1 内的射影所成的角来求或利用面 ABB1A1 的法向量来求．
解 方法 1：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0， 2a)，C1(－ 23a，2a， 2a)，取 A1B1 中点 M，则 M(0，a2， 2a)，连接 AM、MC1，有
而|A→C1|＝ 34a2＋a42＋2a2＝ 3a，
|A→M|＝ a42＋2a2＝23a，
9a2
∴cos〈A→C1，A→M〉＝
3a4×32a＝
3 2.
∴〈A→C1，A→M〉＝30°， 即 AC1 与侧面 AB1 所成的角为 30°.
方法 2：(法向量法)(接方法 1)A→A1＝(0,0， 2a)， A→B＝(0，a,0)， 设侧面 A1B 的法向量 n＝(λ，x，y)． ∴n·A→B＝0，且 n·A→A1＝0. ∴ax＝0，且 2ay＝0. ∴x＝y＝0，故 n＝(λ，0,0)．
M→C1＝(－ 23a,0,0)，A→B＝(0，a,0)，A→A1＝(0,0， 2a)． 由于M→C1·A→B＝0，M→C1·A→A1＝0， ∴MC1⊥面 ABB1A1. ∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 A1B 所成的角 θ. ∵A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)，A→M＝(0，2a， 2a)， ∴A→C1·A→M＝0＋a42＋2a2＝94a2.
题型二 二面角的求法 例 2 在底面是直角梯形的四棱锥 S－ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA⊥面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值． 分析 可建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量， 通过法向量的夹角进行求解．
解 建立如右图所示空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， D12，0，0，C(1,1,0)，S(0,0,1)，而 SAB 的一个法向量是A→D＝ 12，0，0，设 n＝(x，y，z)是面 SCD 的一个法向量，则 n⊥D→C， n⊥D→S，n·D→C＝0，n·D→S＝0.
cos∠C1AM＝AC21＋2AACM1·2A－MMC21 ＝3a2＋94a2－3 34a2＝ 23，
2· 3a·2a ∴∠C1AM＝30°， 即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°.
规律技巧 充分利用图形的几何特征建立适当的空间直 角坐标系，再用向量有关知识求解线面角.方法 2 给出了一般 的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行转化.
量P→Q，代入公式
→ d＝|n·|nP|Q|.d
就是点
P
到该平面的距离.
(3)二面角公式：设 n1，n2 分别为平面 α，β 的法向量．二 面角为 θ，则 θ＝〈n1，n2〉或 θ＝π－〈n1，n2〉(根据具体情 况判断相等或互补)．
其中 cosθ＝|nn11|·|nn22|.
2．空间距离 (1)点面距离公式：P 为平面 α 外一点，过点 P 的斜线交 α 于 A，设 n 为平面 α 的法向量，d 为 P 到 α 的距离，则有 d ＝|A→P|cos〈A→P，n〉＝|A→|Pn·|n|. (2)线面距离、面面距离都可以转化为点面距离.