2024届湖南省怀化市新晃侗族自治县中考数学猜题卷含解析

2024届湖南省怀化市新晃侗族自治县中考数学猜题卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＞1
2
B．k≥
1
2
C．k＞
1
2
且k≠1D．k≥
1
2
且k≠1
2．如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（）
A．125°B．135°C．145°D．155°3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（）
A．4B．2x C．2
9
D．12
4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（）
A．3
5
B．
3
4
C．
2
3
D．
5
7
5．以坐标原点为圆心，以2个单位为半径画⊙O，下面的点中，在⊙O上的是() A．(1，1) B．2，2) C．(1，3) D．(12)
6．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
7．tan30°的值为（）
A．B．C．D．
8．我省2013年的快递业务量为1．2亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2012年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到2．5亿件，设2012年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）
A．1．2（1＋x）＝2．5
B．1．2（1＋2x）＝2．5
C．1．2（1＋x）2＝2．5
D．1．2（1＋x）＋1．2（1＋x）2＝2．5
9．下列运算正确的是（）
A．a﹣3a=2a B．（ab2）0=ab2C．8=22
±D．3×27=9
10．一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（）
A．30厘米、45厘米；B．40厘米、80厘米；C．80厘米、120厘米；D．90厘米、120厘米
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．= ．
12．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：
1111
-=-．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是．12151012
13．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是______．
14．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．
15．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，点E，F分别是BD，DC的中点．若AB＝4，BC＝3，则AE+EF的长为_____．
16．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．
17．在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，sinA=3
5
，BC=210，则AE=_______.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AB交于点E，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：AE=AF；
（2）若DE=3，sin∠BDE=1
3
，求AC的长．
19．（5分）先化简，再求值：
2
22
x x1
1
x x x2x1
-
⎛⎫
-÷
⎪
+++
⎝⎭
，其中x的值从不等式组
1
214
x
x
-⎧
⎨
-<
⎩
的整数解中选取.
20．（8分）如图，已知A（﹣4，1
2
），B（﹣1，m）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=
n
x
图象的两个交点，AC⊥x
轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求m的值及一次函数解析式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC、PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
21．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）. 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A B C；请画出△ABC关于原点对称的△A B C；在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.
22．（10分）如图，已知平行四边形ABCD，将这个四边形折叠，使得点A和点C重合，请你用尺规做出折痕所在的直线。

（保留作图痕迹，不写做法）
23．（12分）已知二次函数 y ＝mx 2﹣2mx+n 的图象经过（0，﹣3）．
（1）n ＝ _____________；
（2） 若二次函数 y ＝mx 2﹣2mx+n 的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 m 值；
（3） 若二次函数 y ＝mx 2﹣2mx+n 的图象与平行于 x 轴的直线 y ＝5 的一个交点的横坐标为4，则另一个交点的坐标为 ；
（4） 如图，二次函数 y ＝mx 2﹣2mx+n 的图象经过点 A （3，0），连接 AC ，点 P 是抛物线位于线段 AC 下方图象上的任意一点，求△PAC 面积的最大值．
24．（14分）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ．
（1）求证：四边形CDBE 为矩形；
（2）若AC =2，1tan 2
ACD ∠=，求DE 的长．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解题分析】
根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞1
2
且k≠1．
故选C
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
2、A
【解题分析】
分析：如图求出∠5即可解决问题．
详解：
∵a∥b，
∴∠1=∠4=35°，
∵∠2=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠5=55°，
∴∠3=180°-∠5=125°，
故选：A．
点睛：本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3、C
【解题分析】
先将每个选项的二次根式化简后再判断.
【题目详解】
解：A42
2不是同类二次根式；
B2x2x2不是同类二次根式；
C 2
9
2
2是同类二次根式；
D不是同类二次根式.
故选C.
【题目点拨】
本题考查了同类二次根式的概念.
4、A
【解题分析】
∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，
∴∠BED=∠CDF，
设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，
∴DF=FA=2-x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2，即x2+1=（2-x）2，
解得x=3
4
，
∴sin∠BED=sin∠CDF=
3
5 CF
DF
．
故选：A．
5、B
【解题分析】
根据点到圆心的距离和半径的数量关系即可判定点与圆的位置关系.
【题目详解】
A选项,(1,1)<2,因此点在圆内,
B选项到坐标原点的距离为2=2,因此点在圆上,
C选项(1,3) >2,因此点在圆外
D选项(1) <2,因此点在圆内,
故选B.
【题目点拨】
本题主要考查点与圆的位置关系,解决本题的关键是要熟练掌握点与圆的位置关系.
6、C
【解题分析】
试题分析：根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
试题解析：连接AC，如图：
根据勾股定理可以得到：AC=BC=5，AB=10．
∵（5）1+（5）1=（10）1．
∴AC1+BC1=AB1．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
考点：勾股定理．
7、D
【解题分析】
直接利用特殊角的三角函数值求解即可．
【题目详解】
tan30°＝，故选：D．
【题目点拨】
本题考查特殊角的三角函数的值的求法，熟记特殊的三角函数值是解题的关键．
8、C
【解题分析】
试题解析：设2015年与2016年这两年的平均增长率为x，由题意得：
1.2（1+x）2=
2.5，
故选C．
9、D
【解题分析】
直接利用合并同类项法则以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质分别化简得出答案．【题目详解】
解：A、a﹣3a=﹣2a，故此选项错误；
B、（ab2）0=1，故此选项错误；
C、822,
故此选项错误；
D、3×27=9，正确．
故选D．
【题目点拨】
此题主要考查了合并同类项以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质，正确把握相关性质是解题关键．10、C
【解题分析】当60cm的木条与20cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为90cm与120cm；
当60cm的木条与30cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为40cm与80cm；
当60cm的木条与40cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为30cm与45cm；
所以A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意，
故选C.
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、2
【解题分析】
试题分析：根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0.
∵22=4，∴=2.
考点：算术平方根.
12、1．
【解题分析】
依据调和数的意义，有1
5
－
1
x
＝
1
3
－
1
5
，解得x＝1.
13、1 3
【解题分析】
如图，分别过点A，B作AE⊥1l，BF⊥1l，BD⊥3l,垂足分别为E，F，D.
∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°
.∵AE ⊥1l ，BF ⊥1l ∴∠CAE+∠ACE=90°，∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF ，∠ACE=∠CBF.
∵∠CAE=∠BCF ，AC=BC ，∠ACE=∠CBF ，∴△ACE ≌△CBF ，∴CE=BF ，AE=CF.设平行线间距离为d=l ，则CE=BF=BD=1，AE=CF=2，AD=EF=CE+CF=3，
∴tanα=tan ∠BAD=BD AD =13
. 点睛：分别过点A ，B 作AE ⊥1l ，BF ⊥1l ，BD ⊥3l ，垂足分别为E ，F ，D ，可根据ASA 证明△ACE ≌△CBF ，
设平行线间距离为d=1，进而求出AD 、BD 的值；本题考查了全等三角形的判定和锐角三角函数，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形；
14、1．
【解题分析】
试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=1，答：它的周长是1，故答案为1．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
15、1
【解题分析】
先根据三角形中位线定理得到EF 的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到AE 的长，进而得出计算结果．
【题目详解】
解：∵点E ，F 分别是BD DC ，的中点，
∴FE 是△BCD 的中位线，
1 1.5290,3,4
5EF BC BAD AD BC AB BD ︒∴=
=∠====∴= . 又∵E 是BD 的中点，
∴Rt △ABD 中，1 2.52AE BD ==， AE EF 2.5 1.54∴++＝＝，
故答案为1．
【题目点拨】
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
16、52或45或1
【解题分析】
如图所示：
①当AP=AE=1时，∵∠BAD=90°，∴△AEP 是等腰直角三角形，∴底边PE=2AE=52；
②当PE=AE=1时，∵BE=AB ﹣AE=8﹣1=3，∠B=90°，∴PB=22PE BE -=4，∴底边
AP=22AB PB +=2284+=45；
③当PA=PE 时，底边AE=1；
综上所述：等腰三角形AEP 的对边长为52或45或1；
故答案为52或45或1．
17、5
【解题分析】
∵BD ⊥AC 于D ，
∴∠ADB=90°，
∴sinA=35
BD AB =. 设BD=3x ，则AB=AC=5x ，
在Rt △ABD 中，由勾股定理可得：AD=4x ，
∴CD=AC-AD=x ，
∵在Rt △BDC 中，BD 2+CD 2=BC 2，
∴2229x x +=，解得1222x x ==-，（不合题意，舍去），
∴AB=10，AD=8，BD=6，
∵BE 平分∠ABD ， ∴53
AE AB ED BD ==， ∴AE=5. 点睛：本题有两个解题关键点：（1）利用sinA=
35BD AB =，设BD=3x ，结合其它条件表达出CD ，把条件集中到△BDC
中，结合BC=x ，从而可求出相关线段的长；（2）要熟悉“三角形角平分线分线段成比例定理：三角形的内角平分线分对边所得线段与这个角的两边对应成比例”.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）证明见解析；（2）1．
【解题分析】
（1）根据切线的性质和平行线的性质解答即可；
（2）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【题目详解】
（1）连接OD ，
∵OD=OE ，
∴∠ODE=∠OED ．
∵直线BC 为⊙O 的切线，
∴OD ⊥BC ．
∴∠ODB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴OD ∥AC ．
∴∠ODE=∠F ．
∴∠OED=∠F ．
∴AE=AF ；
（2）连接AD ，
∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ADE=90°，
∵AE=AF ，
∴DF=DE=3，
∵∠ACB=90°，
∴∠DAF+∠F=90°，∠CDF+∠F=90°，
∴∠DAF=∠CDF=∠BDE ，
在Rt △ADF 中，DF AF =sin ∠DAF=sin ∠BDE=13， ∴AF=3DF=9，
在Rt △CDF 中，
CF DF =sin ∠CDF=sin ∠BDE=13， ∴CF=13
DF=1， ∴AC=AF ﹣CF=1．
【题目点拨】
本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，等腰三角形的判定等，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
19、-2.
【解题分析】
试题分析：先算括号里面的，再算除法，解不等式组，求出x 的取值范围，选出合适的x 的值代入求值即可．
试题解析：原式=()()()()
2
2x+1x-1x x x+1x+1-÷ =x x+1x+1x-1-⨯=x x-1
- 解1
{214x x -≤-<得-1≤x <52
， ∴不等式组的整数解为-1，0，1，2
若分式有意义，只能取x=2，
∴原式=-221
-=－2 【题目点拨】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还
需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
20、（1）m=2；y=
12x+52；（2）P 点坐标是（﹣52，54
）． 【解题分析】
（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式； （2）设点P 的坐标为15,2
2P x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据面积公式和已知条件列式可求得x 的值，并根据条件取舍，得出点P 的坐标．
【题目详解】
解：（1）∵反比例函数n y x =的图象过点14,,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴1422
n =-⨯=-， ∵点B （﹣1，m ）也在该反比例函数的图象上，
∴﹣1•m=﹣2，
∴m=2；
设一次函数的解析式为y=kx+b ，
由y=kx+b 的图象过点A 14,,2⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，B （﹣1，2），则 1422,k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩ 解得：125,2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴一次函数的解析式为1522
y x =+； （2）连接PC 、PD ，如图，设15,2
2P x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵△PCA 和△PDB 面积相等， ∴()1111541222222x x ⎛⎫⨯⨯+=⨯-⨯-- ⎪⎝
⎭， 解得： 5155,,2224
x y x =-=+=
∴P点坐标是
55
,.
24⎛⎫-
⎪⎝⎭
【题目点拨】
本题考查待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
21、（1）图形见解析；
（2）图形见解析；
（3）图形见解析，点P的坐标为：（2，0）
【解题分析】
(1)按题目的要求平移就可以了
关于原点对称的点的坐标变化是:横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可
(3)AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点．
【题目详解】
（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）
【题目点拨】
1、图形的平移；
2、中心对称；
3、轴对称的应用
22、答案见解析
【解题分析】
根据轴对称的性质作出线段AC的垂直平分线即可得．
【题目详解】
如图所示，直线EF即为所求．
【题目点拨】
本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质和线段中垂线的尺规作图．
23、（2）－2；（2）m=﹣2；（2）（﹣2，5）；（4）当a=3
2
时，△PAC的面积取最大值，最大值为
27
8
【解题分析】
（2）将（0，-2）代入二次函数解析式中即可求出n值；
（2）由二次函数图象与x轴只有一个交点，利用根的判别式△=0，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；
（2）根据二次函数的解析式利用二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，利用二次函数图象的对称性即可找出另一个交点的坐标；
（4）将点A的坐标代入二次函数解析式中可求出m值，由此可得出二次函数解析式，由点A、C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点Q，设点P的坐标为（a，a2-2a-2），则点Q 的坐标为（a，a-2），点D的坐标为（a，0），根据三角形的面积公式可找出S△ACP关于a的函数关系式，配方后即可得出△PAC面积的最大值．
【题目详解】
解:（2）∵二次函数y=mx2﹣2mx+n的图象经过（0，﹣2），
∴n=﹣2．
故答案为﹣2．
（2）∵二次函数y=mx2﹣2mx﹣2的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=（﹣2m）2﹣4×（﹣2）m=4m2+22m=0，
解得：m2=0，m2=﹣2．
∵m≠0，
∴m=﹣2．
（2）∵二次函数解析式为y=mx2﹣2mx﹣2，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=﹣-2m
2m
=2．
∵该二次函数图象与平行于x轴的直线y=5的一个交点的横坐标为4，∴另一交点的横坐标为2×2﹣4=﹣2，
∴另一个交点的坐标为（﹣2，5）．
故答案为（﹣2，5）．
（4）∵二次函数y=mx2﹣2mx﹣2的图象经过点A（2，0），
∴0=9m﹣6m﹣2，
∴m=2，
∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣2．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（2，0）、C（0，﹣2）代入y=kx+b，得：
3k+b=0 {
b=-3，解得：
k=1
{
b=-3
，
∴直线AC的解析式为y=x﹣2．
过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点Q，如图所示．
设点P的坐标为（a，a2﹣2a﹣2），则点Q的坐标为（a，a﹣2），点D的坐标为（a，0），
∴PQ=a ﹣2﹣（a 2﹣2a ﹣2）=2a ﹣a 2，
∴S △ACP =S △APQ +S △CPQ =12PQ•OD+12PQ•A D=﹣32a 2+92
a=﹣32（a ﹣32）2+278， ∴当a=32时，△PAC 的面积取最大值，最大值为278
． 【题目点拨】
本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（2）代入点的坐标求出n 值；（2）牢记当△=b 2-4ac=0时抛物线与x 轴只有一个交点；（2）利用二次函数的对称轴求出另一交点的坐标；（4）利用三角形的面积公式找出S △ACP 关于a 的函数关系式．
24、 (1)见解析；（2）1
【解题分析】
分析：(1)根据平行四边形的判定与矩形的判定证明即可;(2)根据矩形的性质和三角函数解答即可.
详解：（1）证明：
∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，
∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．
∴ CD ∥BE ．
又∵ BE=CD ，
∴ 四边形CDBE 为平行四边形．
又∵90DBE ∠=︒，
∴ 四边形CDBE 为矩形．
（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，
∴ DE=BC ．
∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ，
可得 ACD ABC ∠=∠．
∵ 1tan 2
ACD ∠=， ∴ 1tan tan 2
ABC ACD ∠=∠=． ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =2，1tan 2ABC ∠=
， ∴ 4tan AC BC ABC
==∠． ∴ DE=BC=1．
点睛：本题考查了矩形的判定与性质，关键是根据平行四边形的判定与矩形的判定解答.。