河北省保定市唐县第一中学2025届高三上学期12月期末数学试题

河北省保定市唐县第一中学2025届高三上学期12月期末数学试
题
一、单选题
1．已知集合2
2{|9200},{|log (3)1}A x x x B x x =-+≤=-<，则A B = （
）
A ．(,5)-∞
B ．[4,5)
C ．(,5]-∞
D ．(3,5]
2．若12i
i
z =
-+-，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限
3．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为π
4
，则该四棱锥的体积为（
）A ．4
B ．2
C ．
43
D ．
23
4．已知6(1)(1ax -+展开式各项系数之和为64，则展开式中3x 的系数为（）
A ．31
B ．30
C ．29
D ．28
5．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A ．30
B ．36
C ．60
D ．72
6．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π
2
ϕ<）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移
π
12
个单位长度得到函数()g x 的图象.若对任意的x ∈R 都有()()0g x g x +-=，则图中a 的值为（）
A ．1-
B ．
C ．
D ．
7．已知数列{}n a 的通项公式21n
n a =-，在其相邻两项k a ，1k a +之间插入2k 个()*3k ∈N ，
得到新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，则使100n S ≥成立的n 的最小值为（）A ．28
B ．29
C ．30
D ．31
8．已知点1F 、2F 是椭圆()22
22:10x y B a b a b
+=>>的左、右焦点，点M 为椭圆B 上一点，点1
F 关于12F MF ∠的角平分线的对称点N 也在椭圆B 上，若127
cos 9
F MF ∠=，则椭圆B 的离心率
为（）
A B C D 二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A ．一组样本数据的方差2
22212201
[(3)(3)(3)]20
s x x x =
-+-++- ，则这组样本数据的总和为60
B ．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
C ．若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大
D ．若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据121021,21,,21x x x --- 的标准差为1610．已知直线:20l mx y m -++=和圆22:(1)(2)9C x y -+-=相交于M ，N 两点，则下列说法正确的是（
）
A ．直线l 过定点(1,2)-
B ．||MN 的最小值为3
C ．CM CN ⋅ 的最小值为9-
D ．圆C 上到直线l 的距离为
32的点恰好有三个，则m =11．已知函数()f x 及其导函数′的定义域均为R ，若函数()12y f x =+，
()1
22
y x f x =-+都为偶函数，令()()g x f x ='，则下列结论正确的有（
）
A ．()f x 的图象关于1x =对称
B ．()g x 的图象关于点2,0对称
C ．()10
g =D ．()24
1150
k g k ==∑
三、填空题
12．若命题“0R x ∃∈，2
002390x mx -+<”为假命题，则实数m 的取值范围是
．
13．在ABC V 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点．设AB a = ，AC b = ，
记AN ma nb =+ ，则m n -=；若π
6
A ∠=，ABC V 则当
BC = 时，AM AN
⋅ 取得最小值．14．已知函数()221
2e
x f x x =+，()2ln g x m x =-，若关于x 的不等式()()f x xg x ≤有解，则m 的最小值是
.
四、解答题
15．某社区对安全卫生进行问卷调查，请居民对社区安全卫生服务给出评价（问卷中设置仅有满意、不满意）.现随机抽取了90名居民，调查情况如下表：
男居民
女居民合计满意35
a +2560
不满意a
2a
合计
90
(1)利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中男、女居民各有1人的概率；
(2)试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异?附：()
()()()()
2
2,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++．
16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面1,1ABC AB AC BC AA ====，
1A B D =
为AC 的中点.
(1)证明：AC ⊥平面1A DB ；
(2)求平面1A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值.
17．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()222
2cos 02a b c c b A b
+--+=．
(1)若4a =，8+=b c ，求ABC V 的面积；(2)若角C 为钝角，求
c
b
的取值范围．18．已知抛物线E ：22y px =(0)p >经过点()1,2P ，直线l ：y kx m =+与E 的交点为A ，B ，且直线PA 与PB 倾斜角互补.
(1)求抛物线在点()1,2P 处的切线方程；(2)求k 的值；
(3)若3m <，求PAB 面积的最大值.
19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =.
(1)若2
421n n n a S a =--，求数列{}n a 的通项公式；
(2)若函数()2e x f x x =+，()e 1x h x x =--.正项数列{}n a 满足：*
1()()n n a f a n +=∈N .
（i ）讨论()e 1x h x x =--单调性;
（ii ）证明：31n
n S n ≥--；
（iii
）证明：)
*2222234111111112,5555n n n
a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<≥∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
N .。