浙江省高考数学理科21题解析几何镇海中学张义斌

通俗易懂注重通法优美结论——2010年浙江省数学高考理
科试题第21题体验
凌红
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2010(000)008
【摘要】笔者通过对2010年浙江省数学高考理科试题第21题的深刻体验，得出了如下启示．现整理出来，以供参考．
【总页数】2页(P28-29)
【作者】凌红
【作者单位】湖州中学,浙江湖州313000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.7
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浅谈2009年全国数学高考理科第21题4种解答过程的探索第lO期张东仓:浅谈20o9年全国数学高考理科第21题4种解答过程的探索?27?运用与理解,从教学要求上讲,要先画框图,再编制程序;从教学追求上讲,要注意有一种定位:这就是巩固,促进对框图的认识与理解,熟悉算法框图的画法,要知道,算法语句的教学过程,也是算法框图的运用过程.对算法案例,要使学生清楚:这是所有算法基础知识学习后的内容,没有新增要掌握的知识,方法,因此,这一节的教学可以由”教”变为”学”,通过解决问题的思维活动,给学生提供自主活动的空间,使案例学习成为能力培养的机会,成为算法思想应用的机会,成为应对高考算法创新试题的预演.算法教学文理科是没有区别的,理论上讲应该也必须统一要求,即采用统一的考题,这不仅是因为算法是必修内容,而且也由算法学习能培养学生逻辑思维能力的作用所决定的.当然,也要看到:在算法思想的运用中,理科学生能更多地联系其他数学知识;理科学生的总学习内容也高于文科学生,经历的计算,推理量必定大于文科学生,由这些导致高考文,理试题的不同也是正常的.因此,理科学生在选修内容学习中,需要更多地联系算法知识,运用算法思想.浅谈2009年全国数学高考理科第21题4种解答过程的探索●张东仓(陕西电子工业学校陕西宝鸡721001)2009年的高考刚刚降下帷幕,其试题会给考生和教师带来怎样的思考呢?带着这样的思考,笔者查阅了(2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)试卷》.对于该卷第2l题,笔者经过认真思考,终于寻找到一种快速的解法(即解法4).原题如下:题目如图1,已知抛物线:Y=与圆:(一4)+Y=/2(r>0)相交于A,,C,D这4个点.(1)求r的取值范围;(2)当四边形的面积最大时,求对角线AC,BD的交点P的坐标.…图1很显然,第(1)小题的解答很简单,抛物线E和圆要有4个交点,则联立两曲线的方程』,,2=;I(一4)+),2=r2,得关于的一元二次方程:一7x+16一/2=0应该有2个不同的解,从而A=49—4×(16一/2)=4r一15>0,解得r>竽或r<一竽.由于r>0,因此>(1)另一方面,由题意可知四边形ABCD的顶点A与,C与D关于轴对称,且顶点A,B,C,D的横坐标都应该大于0,即关于if,的一元二次方程:一7+l6—1.2=0的2个解大于0,即7±r2—151,2————一‟只要7—-O-15>o,(2)式(1)与式(2)联立,解得<r<4.丁<(斗到此为止,第(1)小题轻松解决.那么第(2)小题又如何作答呢?首先,对题意进行分析:要计算对角线AC,BD交点的坐标,由图1可知,只要知道对角线AC的方程即可,因此需要知道点A,C的坐标.由于圆的半径r具体数值不知,因此题中的“当四边形ABCD的面积最大时”成为求解的关键条件.具体该如何实施呢?第1次探索与分析若能利用”当四边形ABCD的面积最大时”一语确定出半径r,则if,m便可立即得出,从而点A,C的坐标以及对角线AC的方程都可顺利求解,于是第(2)小题即可顺利解决.看来,首先应该将四边形ABCD的面积S(设Sabre为四边形ABCD在第一象限的梯形的面积)表示出来.由图1,知S=2S梯形.解法1设A(x.,Y),D(2,Y:),由题意得28?中学教研(数学)2009生0<1<2,0<Y1<),2,贝0S=2S梯形=2?÷(1+),2).(2一1)=(),l+Y2)?(2一1).由于y21=l,Y;=2,且pY=,Y2=,因此S=(+:)?(:一).(3)又由.:,将其带入式(3)中,可得Is=(丽+?,据题意,四边形面积欲达到最大值,须满足.s=0.第2次探索与分析很显然,直接求解IS运算量相当大,能否利用重要不等式求解S最大时的r 取值呢?重要不等式求解最值须满足”和定积最大”以及”积定和最小”的条件,看来此处这一条件不成熟.为了降低运算量,该如何对Is进行处理呢? 由于S>0,因此当s取最大值时,5亦取得最大值.这样S=0的r取值与(.s)=0的r取值应该相等(参考答案如此).另一方面,考虑到表达式S中含有_==,能否令=百:t呢?作如下反思解法1的运算量较大,且书写复杂.由式(3)可以看出,四边形的面积Js是2个变量,:的函数,由于,.中都含有变量r,因此Js最终是r的函数.此解法的出发点也正是在此处.受到解法1的提示,能否通过别的途径直接将交点P的横坐标引入到面积.s的表达式中,将S转化成的函数,再结合题意面积.s达到最大,即可解出.为此,产生下面的解法:解法2由解法1中的式(3)和式(5)以及1+2=7,可得S=[(+)?(:一)]=(1+2+2)[(2+1)一4xl2],因此S=(7+2x)(49—4x).计算(5)并令(.s)0,可得24x+56x一98=0.解得古或=一寺(舍去),所以对角线AC,BD的交点P的坐标为(古,o)?点评解法2可认为是对解法1的一次改进,它的优点在于运算量的大幅度降低,思路比较直观,巧妙地将要求解的点P的横坐标嵌入到面积中,面积达到最大,即可直接确定此时P的横坐标.当然,没有解法1的磨炼,也不一定会有解法2.能否利用2条曲线的参数方程进行计算呢(以抛物线的参数方程为例)?解法3对于抛物线E:Y=,可设其参数方程为f=tz.由于其与圆M:(一4)z+),z:r2(r>tY￡0)~-4个交点,因此将』‟与(一4):+),:12tY联立,可得t一7t+l6一/.2:0.(6)据题意可知方程(6)关于t有2个解,于是第10期张东仓:浅谈2009年全国数学高考理科第21题4种解答过程的探索‟29?△:49—4(16一r2)>O,t2l,2:7—+——~/.4r2一-15,其中t,t为方程(6)的2个解,因此t1?t2=vq6一r2.(7)设四边形ABCD的面积为s,A(t,t),D(t;,t2),则S=(tl+t2)?(t一￡)=(t1+t2)?(t2一t1),由方程(6)可知t+￡;=7,t1?t2=~/16一r2,t1+t2=~/t+t22+2tl?t2=47+2416一r2,r————————————————一————————～t一t==~/7—2,所以S=(t1+t2)?(t2一t1)=(7+27).√7—2接下来,与解法1类似,可令2~/16一r2=u,则S=(7+)?,s=一Ⅱ+(7+)‟‟令S0,解得=÷=2～1/N一.(8)～一r?o由于点D与c关于轴对称,因此点C(t;,一f),故直线AC的方程为Y+t2一ttl+t2一t一2‟令Y=0,可得=t.?t,再由式(7)与式(8)可知712,所以对角线Ac,肋的交点P的坐标为(吾,0).点评解法3在计算S时运算量相对于解法1有明显减少,且在计算P的坐标时与解法2运算量相当.当然,亦可仿照此解法取圆:(一4)+y2=r(r>0)的参数方程:x=4+rc,o.应注意利用y2=,可设四边形的4个顶点为:A(r2sin,rsin02),D(r2”n01,rsin01),C(r2sin201,一rsin01),(rsin,一rsin02).关键是用其坐标表示四边形ABCD的面积.s时,需对两曲线方程联立后的方程实施韦达定理以及两根和与差的关系将Js转换成一元函数.总的来说,这3种方法中不论是运算量还是技巧方面,解法2相对占优势.另一方面,这3种方法都是站在线线联立求交点的角度确定四边形2个第一象限的顶点坐标的,并利用其表示四边形的面积,再结合题意面积最大,求出或不求出r或r2,从而确定对角线的交点坐标.能否从对角线的角度出发呢? 解法4设直线AC的斜率为k,与轴的交点为(.,0),a(x.,Y),O(x,Y2),四边形ABCD的面积为S,则直线AC的方程为y=k(一).由于其与抛物线Y=相交,因此k(一.)=,化简可得k2x一(2x0k+1)+k2x=0.由韦达定理可得2l2:0,又因为点A,D在抛物线E与圆上,所以有r(l一4)+1=r2;(9)I(2—4)+2=r2.(10)式(9)一式(10),可得即从而(1一2)?(1+2-7)=O,1+2=7,1=2(舍去),S=(,,1+,,2)?I2一1I=(√1+2)?l2一11.将1+2=7和12=代人Is中,得S=(7+2x0)?(49—4x),于是(s)=2?(49—4x)一8Xo?(7+2Xo).令(S)0,得24x+56xo一98=0,11解得=÷或=一寺(舍去),,1,因此对角线AC,BD的交点P的坐标为(古,o)?点评此解法充分利用了四边形顶点横坐标之积与对角线交点横坐标之间的关系,从而使运算量大大降低.但此法的思路根源来自解法2.试题剖析此题意在考查考生解析几何一章中线线交点以及函数最值求解等相关知识点与技巧.只要考生能够认真分析题意,抓住问题求解的关键环节,充分利用相关已知信息,熟悉相关题型求解中的处理技巧,尽管考场上时间紧迫,但完整求解也不是没有可能.如果此题第(2)小题只让计算四边形面积最大时的圆的半径,那么解题难度相对会降低一点.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ， 则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b r r 为平面向量，则（ ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+ 9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球 ()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=；（b ）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 ()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99Λ==i i a i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-=Λ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的 结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时， 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a n b n 221Λ. 若{}n a 为 等比数列，且.6,2231b b a +== （1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c n n n 11。

2019年浙江省高考理科数学试卷及答案解析【w o r d版】-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ， 则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位C.向右平移12π个单位D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球 ()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 ()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的 结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________.13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时， 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 . 若{}na 为 等比数列，且.6,2231b ba +==（1）求n a 与n b ； （2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ， 则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+ 9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球 ()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=；（b ）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 ()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i i a i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的 结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时， 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a n b n 221 . 若{}n a 为 等比数列，且.6,2231b b a +== （1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c n n n 11。

对2022年新高考Ⅰ卷第21题解析几何题的分析作者：钟明佛山市顺德区第一中学责编：常艳审核：王常斌作者简介钟明，中学数学高级教师，曾任顺德一中数学科长，名师工作室主持人，教学功底深厚，解题能力过硬，培养了一批批优秀的青年教师。

一、题目呈现2022年高考数学全国I卷中倒数第二题与往年一样考察解析几何，通过这道题可以看到高考对学生学习解析几何的要求达到什么程度。

二、对于二级结论的掌握每年的解析几何题都涉及到二级结论，如果对一些基本的二级结论缺乏认识，所有的结论都要在考场上推，那时间就不够了。

从数学的核心素养中数学抽象的水平三的要求：“能够把握研究对象的数学特征，理解数学的抽象结构。

能够理解数学结论的一般性，能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系。

并用准确的数学语言子以表达；能够感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想。

”可以看到新课标对学生平时遇到的各类问题进行抽象概况，结论一般化。

从数学的核心素养中逻辑推理的水平三的要求：“对于较复杂的数学问题，能够通过构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题”二级结论就属于过渡性命题。

三、对于图形结构的观察与认识四、对运算求解的要求高考中解析几何一贯对计算的要求很高，在数学的核心素养中数学运算的水平三的要求：“能够把目标问题转化为运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运算方向。

能够对运算问题，构造运算程序，解决问题。

”解析几何题的运算过程一般比较长，这就要求考生不能走一步看一步，一定要有全局观，运算之前要能看清所有的运算程序，预判运算的难度与时间，需从引入变量开始，确定运算程序，明确运算步骤，逐级运算，解决问题。

而对方程及方程的运算的深入理解是确定运算程序和预判运算难度的重要依据。

四、解题方法选择。

讲题比赛特等奖获奖论文之十七:图形视角下一道椭圆题的解法探究探析２０２２年高考浙江卷第２１题◉杭州第七中学㊀方心怡㊀㊀摘要:时隔一年,高考浙江卷的解析几何题再次考查圆锥曲线中的距离最值问题．此类问题知识应用性强,可从多角度进行探究,是解析几何中追根溯源㊁巧妙思维㊁多维拓展的良好载体．本文中针对２０２２年一道高考题,围绕图形给出多种解法,从动点动直线和仿射变换等多角度切入,选择合适的参数进行求解,同时利用韦达定理㊁换元㊁整体运算㊁分离常数等方法简化运算．所展现的解题思路,有助于学生在解决同类问题时形成从多维探究的良好数学品质,提升数学核心素养．关键词:椭圆;最值;韦达定理;计算的对称性;消元图１１试题呈现(２０２２浙江高考卷第２１题)如图,已知椭圆x ２１２＋y ２＝１．设A ,B 是椭圆上异于P (０,１)的两点,且点Q (０,１２)在线段A B上,直线P A ,P B 分别交直线y ＝－１２x ＋３于C ,D 两点．(１)求点P 到椭圆上点的距离的最大值;(２)求C D 的最小值．２试题分析与思维导图根据题目条件,分析题中所给信息后,先明确本题求解的思路是设合适的参数,表示出所求目标,再利用函数或者不等式求得最值．接下来,我们围绕图形,从不同角度切入来解决这道题．第(１)小题,求动点到定点距离的最大值．设动点坐标,直接用两点间的距离公式,为了避免根式,则可先表示出距离的平方．因为动点在椭圆上,所以其坐标满足椭圆方程,可通过消元,将问题转化成求函数最值问题．另外,对于椭圆上的动点,在设点的坐标时,也可利用三角换元从而直接得到函数式,省去消元的过程．第(２)小题,求线段C D 的最小值．我们从图１的动点㊁动直线等从不同角度切入,并结合思维导图(如图２)进行求解．图２当直线A B 的斜率变化时,A ,B 两点随之而变,引起直线P A ,P B 的变化,从而线段C D 也在变．所以,设直线A B 的斜率为参数,利用直线过定点写出直线方程,再与椭圆方程联立．为了减少运算,不用求出A ,B 两点的坐标,而是设出两点坐标,用韦达定理表示出两横坐标间的关系．再利用A ,P 两点的坐标写出直线P A 的方程,与定直线方程联立,可求交点C 的横坐标,接着利用计算的对称性直接写出点D 的横坐标．由两点间距离公式,即可用A ,B 两点的横坐标表示C D ,再代入韦达定理进行消元,得到一个关于直线A B 斜率的函数式．最后,通过换元法求得C D 的最小值．直线A B 的变化,也可看作是点A 的变化,导致点B 发生变化,从而引起C ,D 两点变化,所以也可设点A 坐标来表示C D ．利用A ,Q 两点的坐标写出直线A B 的方程,与椭圆方程联立,求解时可利用整体运算和韦达定理来简化运算,求出点B 的横坐标,再代入直线A B 的方程得到点B 的纵坐标．再写出直线P A 的方程,与定直线方程联立,求出点C 的横坐标．同样,由计算的对称性利用点B 的坐标直接写出点D的横坐标,这样就可以用点A 的坐标表示出C D ．接着先化简,利用点A 在椭圆上进行消元约分．最后,为了求C D 的最小值,再用三角换元化单参,则可利用三角函数的有界性求得范围．另外,化简后的式子其实也能继续化简成与椭圆上的动点到定点斜率相关的结构,那么,就可以设直线的斜率写出直线方程,与椭圆方程联立,利用Δ大于等于０,得到斜率的范围,从而求得C D 的范围．都说解析几何巧在 设 ,难在 算 ．为了减少部分运算,也可以设两个参数表示出C D ,再找到两个参数之间的等量关系,从而求得最值．回到图形,点A ,B 在动,也可以看成是由直线P A ,P B 的斜率发生变化导致的．所以,可设直线P A ,P B 的斜率,写出直线P A ,P B 的方程,分别与定直线方程进行联立,可求得C ,D 两点的横坐标,从而表示C D ．接下来,有四种方法去寻找两直线斜率之间的等量关系．方法一:设直线A B 的斜率并写出直线方程,由斜率定义,可以把直线P A ,P B 的斜率转化成A ,B 两点的横坐标．再把直线A B 的方程与椭圆方程联立,利用韦达定理消元化双参为单参,同解法１,直接得到C D 的函数表达式．方法二:为了避免引入新的参数,把点A 看成是直线P A 与椭圆的交点,将直线P A 的方程与椭圆方程进行联立．因为点P 的坐标也是它的解,易求得点A 的横坐标,再代入直线方程求得点A 的纵坐标．同样,利用计算的对称性直接写出点B 的坐标．再利用A ,Q ,B 三点共线的向量公式,整理可得直线P A ,P B斜率之积为定值．方法三:还可把A ,B 两点看作是直线A B 与过点P 的直线系的交点．把直线P A ,P B 的方程统一写成直线系的形式,与定直线方程联立,得到交点A ,B 坐标的一般式．再利用交点在椭圆上,将坐标代入椭圆方程．最后,利用韦达定理,可得直线P A ,P B 斜率之间的等量关系．以上三个方法都是利用A ,B 两点是线线交点的位置关系,两两联立方程都得到直线P A ,P B 的斜率之积为定值,这也是一个基本事实．如果能提前知道这个结论,那么,求解时方向可以更明确,由此想到方法四．方法四:设A ,B 两点的坐标,利用A ,Q ,B 三点共线,由向量公式引入新的参数,可以得到两个关于坐标的等式;再利用A ,B 两点在椭圆上,坐标满足椭圆方程,又得到两个等式．利用这四个等式及其变式,再将直线P A ,P B 的斜率之积进行化简．有了直线P A ,P B 斜率之积为定值,要求C D 的最小值,可消元化单参,整理后可结合基本不等式,或者利用权方和不等式,求得最小值．另外,也可不消元,由C D 的表达式,利用斜率之积为常数,则可把斜率之和作为一个整体来表示C D ,再结合柯西不等式,也可得到C D 的范围．以上分析都是由已知进行推导,其实也要注意所求目标．直线P A ,P B 的变化也可看作是C ,D 两点在定直线上运动引起的,所以可引入两个参数表示出两点坐标,再找关于两参数的等式．由P ,C 两点坐标写出直线P A 的方程,与椭圆方程联立,可求出点A 的坐标,再由计算的对称性可直接写出点B 的坐标．由A ,Q ,B 三点共线即可得到仅关于两个参数的等式,最后,对所求目标C D 进行消元化简,利用基本不等式,可求得C D 的最小值．图３由于圆的性质已知得更多,还可以通过仿射变换把椭圆变成圆再求解．在变换后的图形中,利用点P ᶄ到定直线的距离是定值,如图３,作辅助线,设两个角为参数,即可表示C ᶄD ᶄ．根据已知条件,利用对顶角和圆周角等角的性质,用所设角表示出图中各角,就会发现,由于Q ᶄP ᶄ和Q ᶄE 的长度已知,利用正弦定理,可得到两个等式,再消去A ᶄQ ᶄ,即可得仅关于所设角的等式．再由两角之和为９０ʎ,可利用诱导公式化同角,从而得两角正切之积为定值．最后,利用两角和差的正切公式进行整理,为了书写简洁,也可换元,再结合基本不等式,即可求得C ᶄD ᶄ的最小值,从而得到C D 的最小值．３解答第(１)小题,求椭圆上的动点到定点距离的最大值的两种解法如下．解法１:设动点A (x ,y ),则x ２１２＋y ２＝１．记点P (０,１)到点A 的距离为d ,则d ２＝x ２＋(y －１)２＝－１１y ２－２y ＋１３,y ɪ[－１,１]．所以,当y ＝－１１１时,d m a x ＝１２１１１１．解法２:设动点A (２３c o s θ,s i n θ),记点P (０,１)到点A 的距离为d ,则d ２＝(２３c o s θ)２＋(s i n θ－１)２＝１２(１－s i n ２θ)＋(s i n θ－１)２＝－１１s i n ２θ－２s i n θ＋１３,θɪ[－π,π]．所以,当s i n θ＝－１１１时,d m a x ＝１２１１１１．第(２)小题,求|C D |的最小值的五种解法如下．解法１:设直线A B 的方程为y ＝k x ＋１２,A (x １,y １),B (x ２,y ２)．由y ＝k x ＋１２,x ２１２＋y ２＝１,ìîíïïïï得(１２k ２＋１)x ２＋１２k x －９＝０．易知Δ＞０,且有x １＋x ２＝－１２k １２k ２＋１,x １x ２＝－９１２k ２＋１,从而得x １－x ２＝６１６k ２＋１１２k ２＋１．由直线P A :y ＝y １－１x １x ＋１与直线y ＝－１２x ＋３联立,可得x C ＝４x １(２k ＋１)x １－１．同理,可得x D ＝４x ２(２k ＋１)x ２－１．故C D ＝１＋１４x C －x D＝５２４(x １－x ２)(２k ＋１)２x １x ２－(２k ＋１)(x １＋x ２)＋１＝３５２ １６k ２＋１３k ＋１．令t ＝３k ＋１ɪR ,则㊀C D ＝３５２ １６９(t －１)２＋１t＝５２(５t －１６５)２＋１４４２５ȡ６５５,当t ＝３k ＋１＝２５１６,即k ＝３１６时,上式等号成立．解法２:设A (x ０,y ０),则直线P A 的方程为y ＝y ０－１x ０x ＋１．联立y ＝y ０－１x ０x ＋１,y ＝－１２x ＋３,ìîíïïïï可得x C ＝４x ０x ０＋２y ０－２．将直线A B :y ＝y ０－１２x ０x ＋１２代入x ２１２＋y ２＝１,可得x ２＋１２æèçççy ０－１２x ０x ＋１２öø÷÷÷２＝１２(易知Δ＞０)．即１＋１２(y ０－１２)２x ２０éëêêêùûúúúx ２＋１２y ０－１２x ０x －９＝０．故x ０x B ＝－９x ２０x ２０＋１２(y ０－１２)２．所以x B ＝３x ０４y ０－５．由直线A B :y ＝y ０－１２x ０x ＋１２,得B (３x ０４y ０－５,５y ０－４４y ０－５)．由计算的对称性,可得x D ＝１２x ０３x ０＋２y ０＋２．故C D ＝５２x C －x D＝５２４x ０(４y ０－８)３x ２０＋x ０(８y ０－４)＋４(y ２０－１)＝５２４(y ０－２)２３x ０＋２y ０－１．接下来,有两个方法去求C D 的最小值．方法１:令x ０＝２３c o s θ,y ０＝si n θ,{则C D ＝５２４(s i n θ－２)２３ˑ２３c o s θ＋２s i n θ－１．记t ＝４(s i n θ－２)２３ˑ２３c o s θ＋２s i n θ－１,则有(２t －４)s i n θ＋４３t c o s θ＝t －８,(２t －４)２＋１６３t ２s i n (θ＋φ)＝t －８,s i n (θ＋φ)＝t －８２８３t ２－１６t ＋１６．因此,由t －８２８３t ２－１６t ＋１６ɤ１,得１４４２５ɤt ２,从而C D ＝５２t ȡ６５５．方法２:C D ＝５２４(y ０－２)２３x ０＋２y ０－１＝５２４２３ x ０＋９２y ０－２＋２．设过点A (x ０,y ０)和点M (－９２,２)的直线斜率为a ,则直线A M :y ＝a (x ＋９２)＋２,将其与方程x ２１２＋y ２＝１联立．由Δȡ０,得１１a ２＋２４a ＋４ɤ０,即－２ɤa ɤ－２１１．所以０ɤ２３ １a＋２ɤ５３,由此可得C D ＝５２４２３ １a ＋２ȡ６５５．解法３:设直线P A 的方程为y ＝k １x ＋１,直线P B 的方程为y ＝k ２x ＋１．联立y ＝k １x ＋１,y ＝－１２x ＋３,{可得x C ＝４２k １＋１．同理,可得x D ＝４２k ２＋１,所以,可得C D ＝１＋１４x C －x D ＝５２２k １＋１２－２k ２＋１２＝４５k １－k ２４k １k ２＋２(k １＋k ２)＋１．接下来,有四种方法求k １k ２的值．方法１:设直线A B 的方程为y ＝k x ＋１２,A (x １,y １),B (x ２,y ２)．由解法１,可得x １＋x ２＝－１２k １２k ２＋１,x １x ２＝－９１２k ２＋１．故k １＋k ２＝y １－１x １＋y ２－１x ２＝k x １－１２x １＋k x ２－１２x ２＝２k x １x ２－１２(x １＋x ２)x １x ２＝４k３,k １k ２＝y １－１x １ y ２－１x ２＝k ２x １x ２－k ２(x １＋x ２)＋１４x １x ２＝－１３６,k １－k ２＝(k １＋k ２)２－４k １k ２＝１３１６k ２＋１．于是C D ＝４５ˑ１３１６k ２＋１－１９＋８k ３＋１＝３５２ˑ１６k ２＋１３k ＋１,下同解法１的部分．方法２:由y ＝k １x ＋１,x ２１２＋y ２＝１,{得(１２k ２１＋１)x ２＋２４k １x ＝０,解得x ＝０,或x ＝－２４k １１２k ２１＋１．由直线P A 的方程y ＝k １x ＋１,可得A (－２４k １１２k ２１＋１,１－１２k ２１１２k ２１＋１)．同理,可得B (－２４k ２１２k ２２＋１,１－１２k ２２１２k ２２＋１)．由A ,Q ,B 三点共线,得１－１２k ２１１２k ２１＋１－１２－２４k １１２k ２１＋１＝１－１２k ２２１２k ２２＋１－１２－２４k ２１２k ２２＋１．整理,得(k １－k ２)(３６k １k ２＋１)＝０．显然k １ʂk ２,所以k １k ２＝－１３６．方法３:设直线A B 的方程为y ＝k x ＋１２,过点P 的直线系方程为y ＝t x ＋１．由y ＝t x ＋１,y ＝k x ＋１２,{得x ＝１２(k －t ),y ＝２k －t２(k －t )．由于交点在椭圆上,因此坐标(x ,y )满足椭圆方程,则１４(k －t )２＋１２ˑ(２k －t )２４(k －t )２－１２＝０．即t ２－４k ３t －１３６＝０(Δ＝１９(１６k ２＋１)＞０)．设k １,k ２是此方程的解,则k １＋k ２＝４k ３,k １k ２＝－１３６．ìîíïïïï方法４:由A ,Q ,B 三点共线,可设A Q ң＝λQ B ң,则(－x １,１２－y １)＝λ(x ２,y ２－１２),即㊀㊀㊀㊀㊀x １＋λx ２＝０,㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀①y １＋λy ２＝１２(１＋λ)．②{将A ,B 两点坐标分别代入椭圆方程,整理得㊀㊀㊀㊀㊀x ２１１２＋y ２１＝１,㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀③λ２x ２２１２＋λ２y ２２＝λ２．④ìîíïïïï③－④,结合①,得㊀㊀㊀(y １＋λy ２)(y １－λy ２)＝１－λ２．⑤联立式②⑤,解得y １＝５－３λ４,y ２＝５λ－３４λ．ìîíïïïï故k １ k ２＝y １－１x １ y ２－１x ２＝(y １－１)(y ２－１)－λx ２２＝y １－１１２λ(y ２＋１)＝５－３λ４－１１２λ(５λ－３４λ＋１)＝－１３６．接下来,利用k １k ２＝－１３６,求C D 的最值,有以下三个方法．方法１:C D ＝２５１２k １＋１－１２k ２＋１＝２５１２k １＋１－－１８k １－１８k １＋１＝２５９１８k １＋９＋１－１８k １＋１－１．由９１８k １＋９＋１－１８k １＋１＝１１０(９１８k １＋９＋１－１８k １＋１)[(１８k １＋９)＋(－１８k １＋１)]＝１１０(９(－１８k １＋１)１８k １＋９＋１８k １＋９－１８k １＋１)＋１ȡ３５＋１＝８５,得C D ȡ２５ˑ８５－１＝６５５,当且仅当k １＝１３,k ２＝－１１２时,等号成立．方法２:同上消元整理后,直接利用权方和不等式,可得C D ＝２５９１８k １＋９＋１－１８k １＋１－１ȡ２５(３＋１)２１８k １＋９－１８k １＋１－１ȡ６５５,当且仅当k １＝１３,k ２＝－１１２时,上式等号成立．方法３:由解法３,结合k １k ２＝－１３６,可得C D ＝２５k ２－k １k １＋k ２＋４９＝２５(k １＋k ２)２＋１９|k １＋k ２＋４９|．由柯西不等式,可得(k １＋k ２)２＋(１３)２éëêêùûúú １２＋(４３)２éëêêùûúúȡ(k １＋k ２＋４９)２,则有C D ＝２５(k １＋k ２)２＋１９|k １＋k ２＋４９|ȡ６５５,当且仅当k １＝１３,k ２＝－１１２时,上式等号成立．解法４:设C (２c ,３－c ),D (２d ,３－d ),则C D ＝５c －d ,直线P A 的方程为y ＝２－c２cx ＋１．联立y ＝２－c ２cx ＋１,x ２１２＋y ２＝１,ìîíïïïï求解交点坐标,可得A æèççç３c ２－６c c ２－３c ＋３,－c ２２＋３c －３c ２－３c ＋３öø÷÷÷．同理,可得B æèççç３d ２－６d d ２－３d ＋３,－d ２２＋３d －３d ２－３d ＋３öø÷÷÷．由A ,Q ,B 三点共线,可得－d ２＋９２d －９２d ２－２d ＝－c ２＋９２c －９２c ２－２c．整理,得５c d －９(c ＋d )＋１８＝０,即d ＝９c －１８５c －９．故c －d ＝(c －９５)＋９５ˑ１５c －９ȡ６５,当且仅当c －９５＝３５时,等号成立．解法５:令x ᶄ＝x ,y ᶄ＝２３y,{得圆x ᶄ２＋y ᶄ２＝１２,则定直线方程为y ᶄ＝－３x ᶄ＋６３,P ᶄ(０,２３),Q ᶄ(０,３)．如图３,过点P ᶄ作C ᶄD ᶄ的垂线,垂足为I ,易得P ᶄI ＝２３．设øC ᶄP ᶄI ＝α,øD ᶄP ᶄI ＝β,则øA ᶄP ᶄQ ᶄ＝６０ʎ－α,øA ᶄE Q ᶄ＝α＋３０ʎ,øE A ᶄQ ᶄ＝１２０ʎ－β,øP ᶄA ᶄQ ᶄ＝β－３０ʎ．在әA ᶄQ ᶄP ᶄ和әA ᶄQ ᶄE 中,由正弦定理,得A ᶄQ ᶄ＝３s i n (６０ʎ－α)s i n (β－３０ʎ),A ᶄQ ᶄ＝３３s i n (α＋３０ʎ)s i n (１２０ʎ－β),所以３s i n (６０ʎ－α)s i n (β－３０ʎ)＝３３s i n (α＋３０ʎ)s i n (１２０ʎ－β),s i n (６０ʎ－α)s i n (β－３０ʎ)s i n (１２０ʎ－β)s i n (α＋３０ʎ)＝３,s i n (６０ʎ－α)c o s (１２０ʎ－β)s i n (１２０ʎ－β)c o s (６０ʎ－α)＝３．即t a n (６０ʎ－α)t a n (１２０ʎ－β)＝３,整理得６＋２３t a n α－２３t a n β－１０t a n αt a n β＝０．令t a n α＝m ,t a n β＝n ,则６＋２３m －２３n －１０m n ＝０,得n ＝６＋２３m １０m ＋２３＝３５＋２４５１０m ＋２３．又C ᶄD ᶄ＝C ᶄI ＋D ᶄI ＝３３t a n α＋２３t a n β,则C ᶄD ᶄ＝２３(m ＋n )＝２３æèççm ＋３５＋２４５１０m ＋２３öø÷÷＝２３１１０(１０m ＋２３)＋２４５１０m ＋２３éëêêêùûúúúȡ２４５．故C D ＝５４C ᶄD ᶄȡ６５５．４试题研究小结圆锥曲线中与动点㊁动直线有关的最值问题是常考的题型,本题涉及的方法也都很典型,可简洁地总结为 最值问题需设参,设点设线来实现;韦达定理搭桥是关键,换元消参助化简 ．Z。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{ 【答案】B 【解析】.},2{},4,,3{},4,3,2{B A C A U u 选=∴==ΛΛΛΛΘ（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】..∴.1-,1∴,2),2),1.1-,1.22,0-∴22-)2222222A b a b a i bi a i bi a b a b a b a ab b a i abi b a bi a 选件综上，是充分不必要条不是必要条件，或（是充分条件，（或（=====+=+∴======∴===+=+ΘΘΘ（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 2cm【解析】.138.93*3.186*3.363*4*3.935*34*6363*4*3D S S S S S S S S S S S 。

选几何体表面面积左面面积右面面积前后面面积，上底面面积几何体下底面面积右右前后上下左右前后上下=++++=∴=======+===4.为了得到函数()).∈(33R a a xx x f +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】D【解析】.12π3sin 2∴)12π(3sin 2)4π3sin(23cos 3sin D x y x x x x y 可以得到。

常规中蕴思想，平实中显能力——2013年高考浙江卷数学理科第21题评析-中学数学论文常规中蕴思想，平实中显能力——2013年高考浙江卷数学理科第21题评析张艳宗柯少华（海盐县元济高级中学，浙江嘉兴314300）摘要：解析几何问题是高考的热点内容之一，也是学生的难点之一，考查学生解析几何的基本思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力，综合性较强。

本文对2013年高考浙江卷数学理科第21题解析几何问题进行解析，提出几点对高三解析几何复习教学的启示，仅供参考。

关键词：解析几何；数形结合；数学思想中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-09-0031-01 一、教学要求与高考要求解析几何是高中数学的主干内容之一，其核心是用代数的方法研究平面几何问题，体现了数形结合的数学思想．解析几何问题旨在考查解析几何的基本思想方法、运算求解能力和推理思维能力，在以“能力立意”为主要命题思想的新课程高考中占有重要的地位。

2013年浙江省高考数学理科第21题解析几何题融入直线与直线的位置关系、函数的最值等知识和思想方法，试题设计平实、常规，是学生熟悉的题型，解题思路清晰，易于下手。

从考后的阅卷情况看，此题浙江省全省平均分在5.73左右，可见突破此题有一定难度。

二、试题及参考答案简析简析：试题第一问涉及解析几何中的基本量求解轨迹方程的问题，比较简单。

第二问以学生熟悉的直线与圆锥曲线的位置关系呈现，通过研究直线与圆、直线与椭圆的位置关系求解三角形面积，考查学生分析问题、解决问题的能力．为降低思维难度，试题特意设计直线l1⊥l2，不难想到设直线l1的斜率得到直线l1与l2的方程，通过直线l1与圆C2、直线l2与椭圆C1的位置关系分别得到AB、DP，从而求解△A BD面积。

从学生反馈和阅卷情况看，相当一部分考生未将l1⊥l2转化为kl1·kl2=－1，因未理清两直线方程的关系而导致弦AB,DP的求解出现障碍。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ， 则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位C.向右平移12π个单位D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b r r 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球 ()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 ()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99Λ==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-=Λ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的 结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________.13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时， 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221Λ. 若{}na 为 等比数列，且.6,2231b ba +==（1）求n a 与n b ； （2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。

２０２４年３月上半月㊀命题历程㊀㊀㊀㊀２０２３年命题比赛获奖论文之五:深研教材内涵㊀聚焦核心素养㊀提升思维品质２０２２年高考浙江卷第２１题的改编◉天津市滨海新区塘沽第一中学㊀宋亚南㊀韩雅凝㊀肖伟华◉天津市第七中学㊀李耀鹏㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀试题命制是一项系统性较强的工作,具有一定的难度和挑战性．命题者在高考试题的基础上进行改编,以中国 航天梦 为载体,通过教科书封面的引入,将飞行器轨迹与椭圆方程紧密衔接,揭示了数学与天文学的紧密联系．改编题目考查了逻辑推理㊁数学运算等核心素养．１改编题目及原题呈现改编题㊀由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的 特征三角形 ．如果两个椭圆的 特征三角形 是相似的,则称这两个椭圆是 相似椭圆 ．中国空间站的运行轨道是以地球为一个焦点的椭圆,人教A 版数学教材选择性必修第一册的封面即为中国空间站在太空中围绕地球运行的示意图．已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)与某飞行器的运行轨道是 相似椭圆 ,若椭圆C 的特征三角形是等腰直角三角形,点P (０,１)在椭圆C 上．(１)求椭圆C 的方程;(２)直线l :y ＝k x ＋m (m ʂ１)与椭圆C 交于A ,B 两点,直线P A ,P B 的斜率分别记为k １,k ２．①若k １k ２＝１,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标．②若直线l 的斜率k ＝３,直线P A ,P B 分别交直线x ＝２于点M ,N ,当１４ɤm ɤ１３时,求三角形P MN 面积S 的最小值．原题㊀(２０２２ 浙江 高考卷第２１题)已知椭圆x ２１２＋y ２＝１．设A ,B 是椭圆上异于点P (０,１)的两点,且点Q (０,１２)在线段A B 上,直线P A ,P B 分别交直线y ＝－１２x ＋３于C ,D 两点．(１)求点P 到椭圆上点的距离的最大值;(２)求|C D |的最小值．２试题命制过程中国高考评价体系中明确指出,需要通过设计生活实践情境和学习探索情境作为载体,实现对学生学科基本概念㊁原理㊁技能和思维方法的考查和选拔．中国航天飞行器的运动轨迹是以地球为一个焦点的椭圆,在解析几何试题编制过程中以此为情境进行切入．２．１改编题第(１)问第一稿天宫一号,为中国载人航天工程发射的第一个目标飞行器,是中国第一个空间实验室,它围绕地球飞行的轨迹可近似看作一个椭圆(图１)．在手机地图(图２)中,可随时查看中国空间站飞行运动的基本数据,且实时进行更新．㊀图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０),点A (－２,０),B (１,３２)在椭圆C 上．(１)求椭圆C 的方程．说明:问题情境中提到了天宫一号的运行轨迹和手机地图中呈现的中国空间站飞行运动的基本数据,数据过多不易理清头绪,所以不宜采用．参考人教A 版选择性必修第一册教科书第１１５页第７题㊁第１４５页第１题,题目中涉及到了 近日(地)点 远日(地)点 的概念,并提到了离心率,于是再做修改．２．２改编题第(１)问第二稿人教A 版数学教材选择性必修第一册的封面是中国空间站在太空中围绕地球运行的示意图,中国空间站运行轨道是以地球为一个焦点的椭圆．已知某个飞行器的运行轨道方程为椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０),远地点(距离地面最远的点)距离地球中心为１＋２,点P (０,１)在椭圆C 上．７５命题历程２０２４年３月上半月㊀㊀㊀(１)求椭圆C 的方程．说明:由于本题背景来源于实际问题,因此１＋２数值后应该有距离单位,显然该数值脱离实际背景．此外,本题考查的内容单一,求出运行轨道所在的椭圆方程后,与直线方程无法结合．２．３改编题第(１)问第三稿由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的 特征三角形 ．如果两个椭圆的 特征三角形 是相似的,则称这两个椭圆是 相似椭圆 ．中国空间站的运行轨道是以地球为一个焦点的椭圆,人教A 版数学教材选择性必修第一册的封面即为中国空间站在太空中围绕地球运行的示意图．已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)与某飞行器的运行轨道是 相似椭圆 ,若椭圆C 的特征三角形是等腰直角三角形,点P (０,１)在椭圆C 上．(１)求椭圆C 方程．说明:通过 相似椭圆 这个概念,将空间站运行的轨道方程与题目中椭圆C 的方程相结合．其中,特征三角形的定义源于人教A 版选择性必修第一册教科书第１０６页的 思考 ．这个过程既有对新定义的理解,也将中国空间站这一情境创设与椭圆C 方程结合起来,激发出学生对 中国梦 航天梦 的热情,符合课程思政 的理念．２．４改编题第(２)问第一稿参考２０２２年浙江高考第２１题,改编试题时将第(２)问分解为两个小问,得到初稿．(２)直线A B :y ＝x ＋m (m ʂ０,m ʂ１)与椭圆C 交于A ,B 两点,直线P A ,P B 的斜率分别记为k １,k ２．①若k １k ２＝１,求直线A B 的方程;②直线P A ,P B 分别交直线x ＝２于点M ,N ,当１４ɤm ɤ１３时,求三角形P MN 面积的最小值．说明:令直线A B :y ＝x ＋m (m ʂ０,m ʂ１),其斜率为定值１,目的是减少运算量,解得m ＝－３,不满足直线A B :y ＝x ＋m (m ʂ０,m ʂ１)与椭圆C 联立之后的判别式Δ＞０的范围,这与直线A B 和椭圆交于A ,B 两点矛盾,所以进行修改．２．５改编题第(２)问第二稿(２)直线l :y ＝k x ＋m (m ʂ１)与椭圆C 交于A ,B 两点,直线P A ,P B 的斜率分别记为k １,k ２．①若k １k ２＝１,求证:直线A B 过定点,并求出该定点的坐标．②若直线l 的斜率k ＝３,且直线P A ,P B 分别交直线x ＝２于点M ,N ,当１４ɤm ɤ１３时,求三角形P MN 面积S 的最小值．说明:直线l :y ＝k x ＋m (m ʂ１)包含两个参数k ,m ,在化简的过程中消去k ,最终化简成为只含有m 的表达式,这个运算过程和第一稿中已知斜率k ＝１时的计算量差别不大．数学运算是数学学科核心素养之一,故将题目改成直线l :y ＝k x ＋m (m ʂ１)过定点,并求出该定点的坐标．３改编题第(２)问解题分析的思维导图(Ⅰ)改编题第(２)问中第①问解题分析的思维导图如图３所示．将直线方程与椭圆方程联立ˌ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ˌ方法一(通法):将直线l 的方程椭圆方程联立㊀方法二(二级结论法):将直线P A ,P B 的方程与椭圆方程联立ˌ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ˌ由韦达定理得到x １＋x ２,x １x ２的关系式㊀分别解得点A ,B 坐标ˌ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ˌ将题设条件k １k ２＝１代入,得到关于m 的方程㊀将题设条件k １k ２＝１代入B 点坐标ˌ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ˌ解得m ＝－３或m ＝１(舍)㊀写出直线A B 的两点式方程ˌ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ˌ目标完成:直线l 恒过点(０,－３)图３(Ⅱ)改编题第(２)问中第②问解题分析的思维导图如图４所示．分析目标:三角形P MN 面积的最小值由线段|MN |长度的最小值确定ˌ|MN |＝|y M －y N |＝|(２k １＋１)－(２k ２＋１)|＝２|k １－k ２|ˌ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ˌ方法一:通性通法．运用韦达定理进行代换,将|MN |的表达式转化为关于m 的解析式㊀㊀㊀ˌ等价换元法,研究二次函数的单调性㊀方法二:二级结论法．由二级结论得到k １＋k ２的表达式,由上一问的过程得到k １k ２的表达式㊀㊀㊀㊀㊀㊀ˌ代入әP MN 的面积表达式,得到关于m 的解析式㊀㊀㊀㊀㊀㊀ˌ利用求导法研究函数在给定区间上的单调性ˌ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ˌ目标完成,求出әP MN 面积的最小值图４如何通过选取适宜的素材,创设合适的科学情境,在真实的背景下发挥核心价值的引领作用,运用必备知识和关键能力去解决实际问题,全面展现学科素养水平,这确实是一个值得研究的方向．教师不仅要具备精湛的命题技术还要具备深厚的教学经验,并要密切关注学生的学习情况,善于将生活情境㊁社会热点融入到试题命制当中,注重提升学生的思维品质,以推动学生全面发展．Z８５。

对2008年浙江省数学高考理科试题第21题的评析陈芝飞【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2008(000)008【总页数】2页(P25-26)【关键词】理科试题;数学高考;浙江省;单调区间;取值范围;最小值;表达式;函数【作者】陈芝飞【作者单位】温州市第十四中学,浙江温州325000【正文语种】中文【中图分类】G633.7题目已知a是实数，函数(1)求函数f(x)的单调区间.(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.①写出g(a)的表达式；②求a的取值范围，使得-6≤g(a)≤-2.1 试题点评本题主要考查函数的性质、导数的运算与运用、不等式的解法，突出分类讨论思想的考查；同时也考查了逻辑思维能力及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.与2007年的压轴题相比，本题起点低，入手易，显得比较亲切；题干叙述也比较简约，不在题意的理解上设置难度，同时较好地考查了学生的数学综合能力.从学生的得分情况上看，成绩较好的学生平均能得13分左右，成绩中等的学生平均能得7分左右，成绩差一点的学生也能得到3分左右.因此,在区分度和难度上把握得比较好，较好地体现了高考对于选拔人才的要求，体现了“简约但不简单”的命题风格.本题共3个小题:(1)求含参数的函数单调性问题；(2)求含参数的函数最值问题；(3)解与分段函数有关的不等式问题.这3个小题的设置层层递进，环环相扣.本题结构形式常规，重视基础知识、基本数学思想的考查，不失为一道值得称道的好题.但3个小题都涉及分类讨论思想，有重复考查同一个数学思想方法之嫌.另外，由于学生在前面时间消耗过多而没有足够的时间解答本题，再加上本题的运算量不小，因此本题的得分率比命题者预期的要低得多.2 另解赏析解 (1)令则t≥0,且关于x单调递增，因此F(t)=t3-at(t≥0),即原问题转化为求函数y=F(t)(t≥0)的单调区间，于是F′(t)=3t2-a(t≥0).当a≤0时，F′(t)≥0,即函数y=F(t)在[0,+∞)上单调递增，从而函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增.当a>0时，由F′(t)>0,得t>因此函数F(t)在上单调递增.因为函数F(t)在处连续，所以函数F(t)在上单调递增.又t关于x单调递增，所以函数y=f(x)在上单调递增.同理,由F′(t)<0(t≥0)及t关于x单调递增可知：函数y=f(x)在上单调递减.(2)①因为g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值，所以g(a)为F(t)在区间上的最小值. (ⅰ)当a≤0时，函数F(t)在区间上单调递增，故g(a)=F(0)=0.当a>0时，若即a≥6，则若即0<a<6，则综上所述，(ⅱ)当a≤0时,g(a)=0，不满足-6≤g(a)≤-2,无解.②当a>0时，为连续减函数.由-6≤g(a)≤-2,得解得故a的取值范围为3 错误归纳3.1 运算不过关本题所涉及的运算比较全面，包括导数运算、根式与指数运算、解不等式的运算等等.例如,对求导出错的较多，采用标准答案的方法在解不等式-6≤g(a)≤-2时，需要比较与6及与6的大小，这里学生出错的很多!3.2 忽视定义域在本题的第(1)小题中，将单调递增区间写成单调递减区间写成的错误比较典型；第(2)②小题中，没有考虑分段函数中的0<a<6及a≥6，究其原因主要是忽视了定义域.另外,混淆常数与字母也是导致本题错误的一个重要原因.3.3 分类讨论差许多学生将“讨论”演变成“讨乱”.讨论标准不清晰，讨论重复或遗漏是导致“讨乱”的主要原因.譬如第(1)小题中对a不加以讨论，只分和两种情况;第(2)①小题中，不对是否在区间[0，2]进行讨论;第(2)②小题中，解不等式时没有考虑分段函数中的0<a<6及a≥6.4 教学启示作为新课程改革高考方案实施前的最后一年高考，进一步向一线数学教师传递了这样一个信息：教师一定要在钻研教学内容上下功夫，最重要的是对数学精神的理解，对数学本质的认识.优质的教学不是盲目地让学生多做题，而在于使学生领悟数学知识的本质.当我们静下心来好好反思时，发现2008年浙江省数学高考理科试题的第21题其实无非是由3个部分构成的：第1部分以导数为工具，求含参数函数的单调区间；第2部分是考查导数的应用之求含参数函数的最值问题；第3部分是解有关分段函数的不等式问题.而这3个部分所代表的题目学生肯定也重点训练过，可以这么说，在题目思路上并没有给学生设置多大的障碍，然而得分的情况并非我们所期待的，当然本题所处的位置也影响到学生的得分(建议与第20题交换次序).如果除去这个因素，那么会给教学带来哪些启示呢？(1)落实基础.学生由于求导公式没记住，忽视定义域，没落实导数应用于求单调性、最值问题等而导致了本题的失分，因此要继续落实“三基”不动摇，重视高三课堂教学、复习的有效性.抓住主干知识的支撑作用，体会基础知识中蕴藏的一般规律、方法，注意基本方法的相互配合，夯实教材中体现的通性、通法.(2)重视运算.运算包括对数字的计算、估算、近似计算，对式子的组合与分解，对几何图形中各几何量的计算求解等等.运算不过关是本题丢分的“元凶”，因此在复习中必须重视课堂教学的运算示范功能，展示教师如何分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算中遇到障碍而调整运算的过程，为学生积累一些运算技能.这些都对运算能力的培养有很好的帮助.(3)强化思维.数学思维是展示数学能力、感受数学魅力之所在，没有数学思维就失去了数学味.每一个数学问题的解决都折射出学生不同的思维过程.本题重点考查了分类讨论的数学思想，在考查难度上拿捏得很好，分类讨论适可而止.这也在给我们传达一个信号：作为高考题，绝大部分题目意在考查学生在高中阶段应具备的数学学习能力与数学思维水平.所以过分地挖掘教材与提高难度只会舍本逐末，甚至因小失大.因此，在解题教学中要着重研究解题的思维过程；将问题讲透但不讲深，练习时重视质量而不是数量.(4)关注心理.考生要克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配时间，以实事求是的态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神.许多学生就是因为过不了心理关才考不好.就本题而言,如果放在第20题的位置也许能提高一点得分,这与学生的心理品质也很有关系，因此需引起学生对考试心理品质的重视. 总之，高三的复习教学要体现数学的知识性、思辨性和严谨性.重视基础，注重通性、通法.我们相信：良好的思维习惯能使解题思路敏捷而严谨，过硬的运算关能使表达简洁、流畅,优良的心理品质能使我们的发挥更加稳定.。

高考全国理科卷2第(21)题别解
赵建华
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2005(000)008
【摘要】@@ 第21题 P,Q,M,N四点都在椭圆x2+(y2)/(2)=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知PF与FQ共线.MF与FN共线,且PF*MF=0.求四边形PMQN的面的最小值和最大值.
【总页数】2页(P14-15)
【作者】赵建华
【作者单位】宁夏中卫市一中,755000
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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