《计数原理》解排列组合题的几种常见方法一

在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有___________种分法。
6 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个
C 9 空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
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一 班
先排末位共有___ 然后排首位共有___
C
1 3
C
1 4
最后排其它位置共有___ 由分步计数原理得
C A
3 4
1
4
A
3 4
C
1 3
C C1 3
A1
3 =288
44
练习：5个人站成一排，如果甲
必须站在排头或排尾，而乙不能 站在排头且不能站在排尾，那么 不同的站法有多少种？
答：36种
8
（二）.相邻元素捆绑策略
衡水市职教中心数学组 韩会仿
1
一、教学目标： （1）掌握排列组合一些常见的题型及解 题方法，能够运用两个原理及排列组合 概念解决排列组合问题； （2）提高合理选用知识解决问题的能 力．
二、教学重点、难点：排列、组合综合 问题． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了 位处置 理分其这析它两法元和素个元.若位素以置分位析。置法分是析解为决主排,列需组先合满问足题特最殊常位用置也的是要最求基,再本处的理方其法它,若位以置元。素若分有析多为个主约,束需条先件安，排往特往殊是元考素虑,一再
个约束条件的同时还要兼顾其它条件
相
独
独
独
相
练习题
4名学生和3名教师站成一排照 相，（1）任何两名教师都不相邻 的站法有多少种？ (2)师生相间而站的站法有多少种？
答：（1）1440种 （2）144种
（四）.元素相同问题隔板策略
例4.有10个运动员名额，在分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。
种不同的方法．
N=m1m2Lmn
3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这 件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段， 不能完成整个事件．
练习: 1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有7种分法.把第二名实习生分配 到车间也有7种分法，依此类推,由分步计
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁 相邻, 共有多少种不同的排法？
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，
要求某几个同元素时必对须排相在邻一元起的素问内题,部可以进用行自排。
捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并
为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 要注意合并元素内部也必须排列.
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不 同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．N=m1+m2+L+mn
2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第 2步有m2 种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成 这件事共有：
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个
相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出
场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行：第一步排2个相声和3个独唱共有 种，
A
5 5
第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
A4
种
不同的方法
6
由分步计数原理,节目的
A A 不同顺序共有
种
54
6 5
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
甲乙
丙丁
由分步计数原理可得共有 种不同的排法
A
5 5
A
2 2
A
2 2
=480
练习题 有7名学生，其中3名女生，4名男生， 站成一排照相，求不同的排列种数。 （1）全部排成一排，其中甲和乙相邻。 （2）全部排成一排，其中女生与女生 站在一起，男生与男生站在一起。
答：（1）1440种 （2）288种
（三）.不相邻问题插空策略
数原理共有7 6 种不同的排法
分步计数原理的应用
排列与组合：
名
称
排列
定 从n个不同元素中取出m个元 义 素，按一定的顺序排成一列
组合
从n个不同元素中取出 m个元素，把它并成一组
种 所有排列的的个数 数
符
A
m n
号
所有组合的个数
C
m n
（一）.特殊元素和特殊位置优先策略
例1. 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有 重复数字的五位奇数？
2 五、教后反思：
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
练习题
10个相同的球装5个盒中,每盒至少
C 一个，有多少装法？ 4 9
回顾小结：（1）解决有关计数的应用题时，要仔细 分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问 题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分 步计数原理解决．一个较复杂的问题往往是分类与分 步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏 和重复计数；（2）解决计数问题的常用策略有：（1） 特殊元素优先安排；（2）排列组合混合题要先选 （组合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后 局部）；（4）不相邻问题插空处理；（5）顺序一定 问题除法处理；（6）正难则反，合理转化． （六）作业：课本P20页1、2、3；习题1-4中A组1、