8-0常系数齐次线性差分方程

例1.4.1 X t mt Yt at b Yt ,
( X t ) X t X t 1 at b Yt [a( t 1) b Yt 1 ],
a Yt Yt 1 a Yt
对趋势项有
m t (at b) a
d
d
差异
设模型 X t mt st Yt 周期为d ，则
d ( X t ) ( mt st Yt ) ( mt d st d Yt d )
(m t m t d ) (Yt Yt d )
趋势项 噪声项
图1.1.12
图1.1.13
推移算子和常系数差分方程
一、推移算子与差分算子 1. 推移算子B：BX t X t 1 延迟算子 时滞算子

(z)

j
j t j
b z
j
j
若级数
j
b X
在某种意义下收敛
定义
( B) ˆ
j b B j ,
j
算子级数
( B) X t ˆ
j 1
U
l, j
t z , tZ
l
t j
(1.4.5)
其中随机变量Ul , j由初值惟一确定.
满足差分方程(1.4.4)的实值时间序列可表示为
Xt
k r ( j ) 1
引理1.4.1 设多项式A(z)有k个互不相同
的零点z1, z2…, zk，其中zj是r( j )重零点，
则对任何 1 j k , 0 l r ( j ) 1,
A( B)t z 0
l
t j
注 对多项式因式分解，并进行归纳证明.
定理1.4.1 设方程(1.4.4)的特征多项式
A(z)有k个互不相同的零点z1, z2…, zk，其
中zj 是r( j )重零点，则
{ z t }, l 0,1,, r ( j ) 1, j 1,2,, k
是方程(1.4.4)的 p 个解，且其任何解均可 以表示为通解形式：
k r ( j ) 1 l 0
t l j
Xt
k
mt

a jt j
j0
{Yt}是零均值平稳过程，则 1） 算子 k 作用于k 次多项式的趋势项，结 果为常数：
mt (
k
k k
a jt
j 0
k
j
) k!a k
2) X t k ! a k Yt
均值为k!ak的平稳过程
k
具体方法： 对给定动态数据反复作用差分算子， 直到序列的趋势项mt为常数为止.
X t [a1 X t 1 a2 X t 2 a p X t p ] 0, t Z
为 p 阶常系数齐次线性差分方程.
方程(3)的解{ Xt }可由 p 个初值X0, X1, …, Xp－1递推而得
(1.4.3)
X t a1 X t 1 a2 X t 2 a p X t p , t p
X t X t p / a p [a1 X t p1 a p1 X t 1 ] / a p , t 0.
注1 方程(1.4.3) 的解 { Xt }是由 p个初值 惟一确定的时间序列，有无穷个解； 方程(3)的等价形式
A( B) X t 0, t Z ,
j j 0
p
( B) X t c j X t j ;
j 0
p
j j ( z ) d z ( z ) c z 5）对多项式 j j 和
p
q
j 0
j 0
的乘积 A(z) =ψ(z)φ(z) 有
A( B) X t ( B)[ ( B) X t ] ( B)[ ( B) X t ]
图1.1.14
注：在工程中对数据进行预处理，常采用
差分法或滑动平均平滑法，但可能会
遇到部分问题。 文献：“数据预处理对替代数据检验方 法的影响”，孙海云等，数学的实践与 认识，第36卷第1期，2006年1月， p160 —164
常系数齐次线性差分方程
定义 给定实数a1, a2, …, ap, ap≠0，称
( X t ) (
j
j 1
( X t )), t 1,2,
(Xt ) Xt
0
关于算子B 和▽的多项式与实变量的多
项式定义相同，有相同的运算律. 二、推移算子与差分算子用于序列分解 方法3 产生平稳数据的差分方法 基本思想 用差分方法删除趋势项 结论：若模型 X t m t Yt 中的趋势项为
以上方法也适用与一般模型：
X t mt st Yt
图1.1.9 方法4 延迟d 步差分法 延迟d 步差分算子 d
(1.4.2)
图1.1.11
适合剔除 季节项
d
d X t X t X t d (1 B ) X t
d 阶差分算子 d
X t (1 B ) X t
6）对时间序列{Xt}, {Yt}, 多项式 ( z ) c j z j 以及随机变量U,V,W有
j 0
p
( B)(UX t VYt W ) U ( B) X t V ( B)Yt W (1)
2. 差分算子▽： X t X t X t 1 (1 B) X t ▽的幂运算定义为
其中
p j
(1.4.4)
A( z ) 1 a j z 称为方程(3)的特征
j 1
多项式
注2 若{ Xt }和{ Yt }是方程(1.4.4) 的解，则 它们的线性组合{ ζXt + ηYt }也是解.
根据推移算子性质6
A( B)(X t Yt ) A( B) X t A( B)Yt 0
j
源自文库
j b B j Xt

j
b X
j

t j
(1.4.1)
推移算子性质： 1）BY=Y; 2）对整数n，常数a, Bn (aXt)= aBn Xt= aYt－n;
3）对整数n，m, Bn+m (Xt)= Bn (Bm )Xt= Xt－n－m;
4）对多项式 ( z ) c j z 有