时间序列分析第五章非平稳序列的随机分析

第四十二课 非平稳序列的随机分析20世纪70年代，G. P. Box 和G. M. Jenkins 发表了专著《时间序列分析：预测和控制》，对平稳时间序列数据，提出了自回归滑动平均模型ARIMA ，以及一整套的建模、估计、检验和控制方法。

使时间序列分析广泛地运用成为可能。

为了纪念Box 和Jenkins 对时间序列发展的特殊贡献，现在人们也常把ARIMA 模型称为Box-Jenkins 模型。

当我们拟合一个时间序列时，先通过差分法或适当的变换使非平稳序列化成为平稳序列，我们再要考虑的是参数化和记忆特征的有效性，用这种参数方法拟合序列为某种特定的结构，只用很少量的参数，使参数的有效估计成为可能。

相对于一个序列的过去值，可用传统的Box 和Jenkins 方法建模。

实际上，Box-Jenkins 模型主要是运用于单变量、同方差场合的线性模型。

随着对时间序列应用的深入研究，发现还存在着许多局限性。

所以近20年来，统计学家纷纷转向多变量、异方差和非线性场合的时间序列分析方法的研究，并取得突破性的进展，其中Engle 和Granger 一起获得2003年诺贝尔经济学奖。

在异方差场合，Robert F.Engle 在1982年提出了自回归条件异方差ARCH 模型，以及在ARCH 模型上衍生出的一系列拓展模型。

在多变量场合，70年代末，G. E. P. Box 教授和刁锦寰教授在处理洛山矶的环境数据时，提出了干预分析和异常值检验方法。

1987年，C.Granger 提出了协整（co-integration ）理论，在多变量时间序列建模过程中“变量是平稳的”不再是必须条件了，而只要求它们的某种组合是平稳的。

非线性时间序列分析也有重大发展，汤家豪教授等在1980年左右提出了利用分段线性化构造门限自回归模型。

一、 ARIMA 模型随着对时间序列分析方法的深入研究，人们发现非平稳序列的确定性因素分解方法（如季节模型、趋势模型、移动平均、指数平滑等）存在一些问题，它只能提取显著的确定性信息，对随机性信息浪费严重，同时也无法对确定性因素之间的关系进行分析。

应用时间序列分析实验报告实验名称第五章非平稳序列的随机分析专业班级姓名学号一、上机练习程序及其结果分析：data ex3_1;input x@@;time=_n_;cards;0.30 -0.45 0.36 0.00 0.17 0.45 2.154.42 3.48 2.99 1.74 2.40 0.11 0.960.21 -0.10 -1.27 -1.45 -1.19 -1.47 -1.34-1.02 -0.27 0.14 -0.07 0.10 -0.15 -0.36-0.50 -1.93 -1.49 -2.35 -2.18 -0.39 -0.52-2.24 -3.46 -3.97 -4.60 -3.09 -2.19 -1.210.78 0.88 2.07 1.44 1.50 0.29 -0.36-0.97 -0.30 -0.28 0.80 0.91 1.95 1.771.80 0.56 -0.11 0.10 -0.56 -1.34 -2.470.07 -0.69 -1.96 0.04 1.59 0.20 0.391.06 -0.39 -0.162.07 1.35 1.46 1.500.94 -0.08 -0.66 -0.21 -0.77 -0.52 0.05;procgplot data=ex3_1;plot x*time=1;symbol1c=red I=join v=star;run;结果分析：上图是数据对应的时序图，从图上曲线分析来看，数据并没有周期性或者趋向性规律，因而可以初步判断这是平稳数列。

procarima data=ex3_1;identifyVar=x nlag=8;run;结果分析：本过程中，我们建立了8阶自回归分析模型，图上依次是变量的描述性统计量、样本自相关图、样本逆相关图和样本偏自相关图。

由于本次实验探究的是平稳序列，因而样本逆相关图先不作分析。

从自相关图来看，自相关系数趋于0的速度是比较快的，再结合时序图来看，可以确定这组数列是属于平稳数列。

《时间序列分析》课程教学大纲课程编号：33330775课程名称：时间序列分析课程基本情况：1．学分：3 学时：51学时（课内学时：45 课内实验：6）2．课程性质：专业必修课3．适用专业：统计学适用对象：本科4.先修课程：概率论、数理统计、随机过程5．首选教材：王燕：《应用时间序列分析》，中国人民大学出版社，2008出版。

备选教材：王振龙等编著：《时间序列分析》，中国统计出版社，2000年。

6．考核形式：闭卷考试7．教学环境：多媒体教室及实验室一、教学目的与要求本课程是数理统计学的一个重要分支，先期需完成的课程有概率论、随机过程。

通过本课程的学习，使学生掌握时间序列数据的分析方法，包括时间序列简介、平稳时间序列分析、时间序列分解、非平稳序列的随机分析、多元时间序列分析。

利用Eviews软件进行本课程的实验教学。

二、教学内容及学时分配课程内容及学时分配表三、教学内容安排第一章时间序列分析简介【教学目的】1、了解时间序列的定义及常用分析方法；2、掌握时间序列的几个基本概念：随机过程、平稳随机过程、非平稳随机过程、自相关、记忆性。

【教学重点】时间序列的相关概念。

【教学难点】随机过程、系统自相关性。

【教学方法】课堂讲授【教学内容】第一节时间序列的定义第二节时间序列分析方法第三节时间序列分析软件EVIEWS简介第二章时间序列的预处理【教学目的】1、掌握平稳性检验的原理和方法；2、掌握纯随机性检验的原理和方法。

【教学重点】平稳时间序列的定义及统计性质。

【教学难点】时间序列的相关统计量。

【教学方法】课堂讲授【教学内容】第一节平稳性检验一、特征统计量二、平稳时间序列的定义三、平稳时间序列的统计性质四、平稳时间序列的意义五、平稳时间序列的检验第二节纯随机性检验一、纯随机序列的定义二、白噪声序列的定义三、纯随机性检验第三章平稳时间序列序列分析【教学目的】1、理解ARMA模型的定义及性质。

2、掌握平稳序列建模方法。

3、掌握平稳时间序列的预测【教学重点】平稳时间序列建模【教学难点】模型识别，参数估计，序列预测【教学方法】课堂讲授与上机实验【教学内容】第一节方法性工具一、差分运算二、延迟算子三、线性差分方程第二节 ARMA模型的性质一、AR模型二、MA模型三、ARMA模型第三节平稳序列建模一、建模步骤二、样本自相关系数与偏相关系数三、模型识别四、参数估计五、模型检验六、模型优化第四节序列预测一、线性预测函数二、预测方差最小原则三、线性最小方差预测的性质四、修正预测第四章非平稳序列的确定性分析【教学目的】1、理解时间序列的分解原理。

时间序列分析中的平稳性与非平稳性时间序列分析是一种用来研究时间数据的统计方法，它可以揭示出时间序列数据的模式和趋势，并预测未来的发展。

在进行时间序列分析时，我们经常会遇到平稳性和非平稳性的问题，本文将重点讨论这两个概念及其在时间序列分析中的重要性。

1. 什么是平稳性？平稳性是指时间序列在统计特性上具有不变性，即其均值和方差不随时间的推移而发生改变。

具体而言，平稳时间序列的均值在时间维度上是稳定的，方差也不会随时间变化而增加或减小。

此外，平稳时间序列的自协方差只与时间间隔有关，而与特定时间点无关。

2. 平稳性的判断方法为了判断一个时间序列是否具有平稳性，我们可以使用一些统计检验方法。

常见的方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）、KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）等。

ADF检验通常用于检验平稳性，其原假设是时间序列具有单位根（非平稳），如果检验结果拒绝了原假设，则可以得出时间序列是平稳的结论。

3. 非平稳性的表现形式非平稳性的时间序列可能会呈现出明显的趋势、季节性或周期性变化。

趋势是时间序列长期的、持续的上升或下降，季节性是指时间序列在特定时间点上出现的周期性波动，周期性是指时间序列存在长期的、不规则的上升或下降。

4. 非平稳性的处理方法如果时间序列是非平稳的，我们需要对其进行处理，以使其具备平稳性。

常见的处理方法有差分法、对数变换等。

差分法可以通过计算相邻时间点的差值来消除趋势和季节性，对数变换则可以通过对时间序列取对数来减少其波动性。

5. 平稳性的重要性平稳性在时间序列分析中非常重要，具有以下几个方面的意义： - 简化模型：平稳时间序列的统计特性稳定，可以简化模型的建立和预测。

- 降低误差：平稳时间序列的随机误差具有恒定的方差，使得模型的预测更准确。

- 提高可靠性：基于平稳时间序列建立的模型具有更好的可靠性和稳定性，可以更好地应对未来的变化。

时间序列分析TimeSeriesAna1ysis一、课程基本信息课程编号：∏1094适用专业：统计学课程性质：专业必修开课单位：数学与数据科学学院学时：48学分：3考核方式：考试，平时成绩占总成绩的30%中文简介：《应用时间序列分析》研究按时间顺序记录下来的有序数据，对其进行观察和研究，找出事物发展的规律性，并对未来状态作出估计和预测。

应用足迹遍及日常生产、生活中各个环节。

作为数理统计的一个分支，时间序列分析遵循数理统计的基本原理，即利用观察信息估计总体性质。

在理论上是对统计专业基础课程的一个综合应用。

二、教学目的与要求本课程内容是统计学的重要分支，着重讲解时间序列分析的基本理论与方法，目的是为了让学生掌握该内容的基本理论和方法，并能运用到实践中去。

课程教学基本目标是使学生初步掌握利用时间序列分析方法处理问题的能力。

预修课程：数学分析、高等代数、概率论、数理统计，回归分析后续课程：计量经济学，随机过程。

《时间序列分析》是一门数理与经济交叉的新兴学科，通过综合地采用数据建模、统计分析以及相关统计软件，将时间序列模型应用到金融和经济分析中，可用于金融产品以及金融衍生产品的预测，金融经济现象是定量分析。

在讲授课程的过程中，可以融入严谨求真的职业精神。

统计专业学生毕业后可能会进入银行、证券等金融机构,所以应该引导学生树立正确的人生价值观，以专业知识来提升学生的服务意识和创新意识，引导学生要注重责任感、使命感的培养。

教学过程中分别融入严谨的科学思维，实事求是的专业素养，学术道德与学术规范，不畏艰难、尽心尽力的敬业精神，社会热点选题中的爱国主义情怀、社会主义制度自信，实现民族复兴的理想和责任感等思政教育元素。

三、教学方法与手段本课程的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。

基本内容由老师讲授，通过习题课巩固，其余部分（主要是*号部分）由学生自学提高。

注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。

非平稳序列平稳化的三种方法在时间序列分析中，一个时间序列被视为平稳的，如果其均值和方差在时间上是稳定的。

但是，在实际情况下，很少有时间序列是平稳的。

因此，需要对非平稳序列进行平稳化，以便进行进一步的分析和建模。

在本文中，我们将介绍三种常用的非平稳序列平稳化方法。

方法一：差分差分是平稳化非平稳时间序列最常用的方法之一。

大多数非平稳时间序列可以通过对原始序列进行一次或多次差分来变成平稳序列。

一次差分表示每次将当前值减去前一个值，即：$$y_t = x_t - x_{t-1}$$如果需要进行多次差分，则可以对一次差分的结果再次进行差分，即：需要注意的是，差分将导致数据集的样本量减少，因为首个值和最后一个值都将被删去。

方法二：对数变换对数变换是另一种常用的平稳化非平稳时间序列方法。

大多数时间序列的均值和方差都随时间增长而增长，而对数变换可以将一个增长趋势转换为常数倍数的增长，从而使时间序列的均值和方差稳定。

对数变换的公式如下：这种变换可以用于受到百分比变化影响较大的时间序列，如股票价格、商品价格等。

方法三：季节性调整季节性调整是针对季节性影响较大的非平稳时间序列进行平稳化的方法。

该方法主要是通过计算季节性差异来消除季节性影响。

季节性调整通常需要进行以下步骤：1. 计算时间序列的季节性分量，通常使用移动平均方法或指数平滑方法。

2. 对时间序列进行季节性差异调整，即将季节性分量从原始数据中剔除。

3. 对季节性调整后的数据进行检验，以确保平稳。

四、总结三种方法中，差分是最简单、最快速的平稳化方法，但它仅仅适用于具有单一趋势的时间序列。

对数变换适用于指数增长的时间序列，而季节性调整适用于具有季节性影响的时间序列。

需要注意的是，这些方法并不是总能将非平稳序列转换为平稳序列，特别是当原始序列过于嘈杂或过于复杂时，这些方法的效果可能并不好。

因此，在实践中，需要对多种方法进行比较和评估，以确定最适合某个特定时间序列的平稳化方法。

时间序列分析——基于R 王燕答案第一章时间序列分析简介略第二章时间序列的预处理#========================================## 2.5习题-1##========================================library(tseries)par(mfrow=c(1,2))x=rep(1:20)temp=ts(x)plot(temp)#不是平稳序列as.vector(acf(temp)$acf[1:6])#序列的自相关系数递减到零的速度相当缓慢，#在很长的延迟时期里，自相关系数一直为正，#而后又一直为负，在自相关图上显示出明显的#三角对称性，这是具有单调趋势的非平稳序列#的一种典型的自相关图形式。

这和该序列时序#图显示的显著的单调递增性是一致的。

#======================================== ## 2.5习题-2##======================================== library(tseries)par(mfrow=c(1,2))volcano.co2=read.table('习题2.2数据.txt',sep='\t',header=F) data=ts(as.vector(t(as.matrix(volcano.co2))),start=c(1975,1)) plot(data)#不是平稳序列as.vector(acf(data,lag.max=23)$acf)#序列自相关系数长期位于零轴的一边。

这是#具有单调趋势序列的典型特征，同时自相关#图呈现出明显的正弦波动规律，这是具有周#期变化规律的非平稳序列的典型特征。

自相#关图显示出来的这两个性质和该序列时序图#显示出的带长期递增趋势的周期性质是非常#吻合的。

#========================================## 2.5习题-3##======================================== library(tseries)par(mfrow=c(1,2))rain=read.table('习题2.3数据.txt',sep='\t',header=F) data=ts(as.vector(t(as.matrix(rain))),start=c(1945,1)) plot(data)#该序列为平稳序列as.vector(acf(data,lag.max = 23)$acf)#该序列的自相关系数一直都比较小，#基本控制在2倍的标准差范闹以内，#可以认为该序列自始至终都在零轴附#近波动，这是随机性非常强的平稳时#间序列通常具有的自相关图特征。

第五章非平稳序列的随机分析非平稳序列的确定性因素分解方法（第四章）的优点为原理简单、操作简便、易于解释等，因此在宏观经济管理与预测领域有着广泛的应用。

缺点主要有：(1)确定性因素分解方法只能提取强劲的确定性信息，对随机性信息浪费严重。

(2)确定性因素分解方法把所有序列的变化都归结为四大因素的综合影响，却始终无法提供明确、有效的方法判断各大因素之间确切的作用关系。

这些问题导致确定性因素分解方法不能允分提取观察值序列中的有效信息，导致模型拟合精度通常不够理想。

随机时序分析方法发展的必要性：弥补确定性因素分解方法的不足，为人们提供更加丰富、更加精确的时序分析工具。

5.1 差分运算5.1.1 差分运算的实质拿到观察值序列之后，无论是采用确定性时序分析方法还是随机时序分析方法，分析的第一步都是要通过有效的手段提取序列中所蕴含的确定性信息。

确定性信息的提取方法非常多，前面我们介绍过的构造季节指数、拟合长期趋势模型、移动平均、指数平滑等诸多方法都是确定性信息提取方法。

但是它们对确定性信息的提取都不够充分。

Cox和Jenkins在Time Series Analysis Forecasting and Control一书中特别强调差分方法的使用，他们使用大量的案例分析证明差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法。

而Cramer分解定理则在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息。

根据Cramer分解定理，方差齐性非平稳序列都可以分解为如下形式：式中，{}t a为零均值白噪声序列。

离散序列的d阶差分就相当于连续变量的d阶求导，显然，在Cramer分解定理的保证下，d阶差分就可以将{}t a中蕴含的d次（关于时间的）确定性信息充分提取。

（如何证明？）展开1阶差分，有等价于这意味着1阶差分实质上就是一个自回归过程，它是用延迟一期的历史数据{}1-t x作为自变量来解释当期序列值{}t x的变动状况，差分序列{}t x∇度量的是{}t x l阶自回归过程中产生的随机误差的大小。

平稳序列和非平稳序列
平稳序列和非平稳序列是时间序列分析中经常遇到的两种类型。

平稳序列指的是在时间轴上，变量的平均值和方差保持不变的序列，也就是说，序列的统计性质在时间上是不随时间变化而发生改变的。

而非平稳序列则是指在时间轴上，变量的平均值和方差发生明显的变化的序列，也就是说，序列的统计性质在时间上是随时间变化而发生改变的。

对于平稳序列，我们可以使用一些基于平稳假设的统计方法来进行分析和预测，例如自回归移动平均模型(ARMA)、自回归积分移动平均模型(ARIMA)等等。

这些方法基于序列的平稳性假设，可以用来捕
捉序列中的周期性和趋势性信息。

而对于非平稳序列，我们需要进行一些处理，才能使用这些基于平稳假设的方法来进行分析和预测。

一种处理方法是对序列进行差分，即对序列每个时间点上的数值与前一个时间点上的数值做差，从而得到一个新的序列。

如果得到的新序列是平稳序列，则可以使用基于平稳假设的方法进行分析和预测。

另一种处理方法是使用基于非平稳假设的方法，例如趋势线性回归模型、季节性模型、指数平滑模型等等，来对序列进行分析和预测。

总之，在时间序列分析中，平稳序列和非平稳序列都是非常重要的，需要根据实际情况选择不同的处理方法。

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非平稳和季节时间序列模型分析方法非平稳时间序列是指在时间序列数据中，均值、方差、自相关函数等统计性质随时间变化的数据。

这种时间序列模型常常由于其自身的特性而较难进行分析和预测。

不过，季节时间序列是非平稳时间序列的一种特殊类型，其特点是在数据中存在明显的季节性变化。

对于这种时间序列，可以采用不同的分析方法进行预测和建模。

一、非平稳时间序列分析方法：1.差分法：差分法是通过对序列数据进行相邻时间点的差分，使得序列转变为平稳时间序列。

差分法有一阶差分、二阶差分等。

通过差分法可以使得序列的单位根等统计性质得到稳定。

2.滑动平均法：滑动平均法基于序列的平均值，将序列转化为平稳时间序列。

该方法通过计算序列的滑动平均值来消除序列的变化趋势。

3.指数平滑法：指数平滑法是一种通过加权平均的方法来消除序列的变化趋势。

指数平滑法可以根据实际情况选择不同的权重系数来进行计算。

4.回归分析：对于非平稳时间序列，通过引入自变量，建立回归模型来描述序列的变化。

回归分析可以通过多个变量的关系来解释序列的变动。

二、季节时间序列分析方法：1.季节分解法：季节分解法是将季节时间序列分解为长期趋势、季节性和随机成分的组合。

这种方法可以将季节性的变动独立出来，从而更好地进行建模和预测。

2.季节移动平均法：季节移动平均法通过计算时间序列在相邻季节的平均值，消除序列的季节性变动。

这种方法可以降低季节时间序列的变化趋势。

3.季节差分法：季节差分法是将季节时间序列转化为其相邻时间点的差分。

通过差分法可以去除序列的季节性变化，使得序列更为平稳。

4.季节ARIMA模型：季节ARIMA模型是一种结合了季节差分和ARIMA 模型的方法。

该方法可以同时考虑序列的季节性变化和非平稳性，通过建立ARIMA模型来进行预测和分析。

以上所述是常用的非平稳和季节时间序列模型分析方法。

根据实际情况，我们可以选择合适的方法来分析和预测时间序列数据，以提高分析的准确性。