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![[转帖]第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动《导数的概念》教案(广东曾劲松)doc高中数学](https://img.taocdn.com/s1/m/b32a2f58daef5ef7bb0d3ca1.png)
［转帖］第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动《导数的概念》教案（广东曾劲松） doc 高中数学广东省深圳市深圳中学曾劲松本节课的教学内容选自人教社一般高中课程标准实验教科书〔 A 版〕数学选修2-2第一章第一节的？变化率与导数?, ?导数的概念？是第 2课时.教学内容分析1 •导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一， 它是一种专门的极限， 反映了函数变化的快慢程度. 导 数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化咨询题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用•导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济 学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具2 •本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的•教材如此处理的缘故，一方面是 因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习. 因此，让学生通过学习导数那个专门的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础.另一方面，函数是高中的重要数学概念， 而导数是研究函数的有力工具， 因此，安排先学习导数方便学生 学习和研究函数.基于学生差不多在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某 一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限确实是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的.由平均变化率过渡劉 瞬対变化率的过程的 三种方式进行导数概念教学时还应该看到， 通过假设干个专门时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的 瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时 变化率，我们能够向学生渗透从专门到一样的研究咨询题差不多思想.教学目的1 •使学生认识到：当时刻间隔越来越小时，运动物体在某一时刻邻近的平均速度趋向 于一个常数，同时那个常数确实是物体在这一时刻的瞬时速度；2•使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点邻近的平均变化率的极限确 实是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；二工了 陆时述哝i 丿迥亘迥曇営」j ¥均变化率:「閤时变化率3•把握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的差不多步骤；4 •通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为今后学习极限概念积存学习体会；5 •通过导数概念的教学教程，使学生体会到从专门到一样的过程是发觉事物变化规律的重要过程.教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念.教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限确实是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.教学预备1.查找实际测速中测量瞬时速度的方法；2 •为学生每人预备一台Ti - nspire CAS图形运算器，并对学生进行技术培训；3 •制作？数学实验记录单？及上课课件.教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的差不多规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际咨询题使学生进一步体会导数的本质.教学的要紧过程设计如下：教学过程设计估量时教学内刻〔分〕容教师活动5分钟1 •复习预备设计意图：让学生明白得平均速度与瞬时速度的区不与联系，感受到平均速度在时刻间隔专门小时能够近似地表示瞬时速度.〔1〕提咨询：请讲出函数从X i到X2的平均变化率公式.〔2〕提咨询：假如用X1与增量△ X表示平均变化率的公式是如何样的？〔3〕高台跳水的例子中，在时65刻段［0, —］里的平均速度是零，而实49际上运动员并不是静止的•这讲明平均速度不能准确反映他在这段时刻里运动状态•〔4〕提咨询：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？〔5〕提咨询：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，要求物体在2S的瞬时速度，应该如何解决？〔6〕我们一起来看物理中测即时速度〔瞬时速度〕的视频：〔7〕提咨询：那个地点所测得的确实是瞬时速度吗？学生活动回答以下咨询题后明白得：〔1 〕f(X2) f(xj .X2 X1〔2 〕f (x x) f (X1 ).X〔3〕学生在教师的讲述中摸索用什么量来反映运动员的运动状态.〔4〕让学生体会并明确瞬时速度的作用.〔5〕学生摸索.〔6〕学生观看视频并摸索.〔7〕期望或引导答教学评判〔1〕复习过程应使学生明确函数的平均变化率表示.〔2〕应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一时期实验活动作铺垫.15 分钟2 •体会模型设计意图：让学生在信息技术平台上，通过定量分析感受平均速度在时刻间隔越来越小时向瞬时速度靠近的过程.〔1〕向学生提出数学实验任务：跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时刻的函数h( t) = —4.9t2+6.5t+10,请你用运算器完成以下表格中t o=2秒邻近的平均速度的运算并填充好表格，观看平均速度的变化趋势.x>0 时，在[2 , 2+x]内，vh(2 x) h(2)xX V 0 时，在[2+x, 2]内，-h(2) h(2 x)xXvxv0.1—0.10.01—0.010.001—0.0010.0001—0.00010.00001—0.000010.0000010.000001数学实验记录单〔1〕你认为运动员在t o=2秒处的瞬时速度为________ m/s.〔2〕提咨询：x、g(x)的含义各是什么?也如空过京成〔3〕提咨询：观看你自己的实验记录单，你能发觉平均速度有什么变化趋势吗？先展现一个同学的实验结果，并让他讲讲他的发觉，再将运算器的结果投影，引导同学们一起观看.〔4〕将学生分四个组，让他们分不完成t0=1.6、1.7、1.8、1.9时的实验记录单〔2〕的填写，讲出他们观看的结果，并将4个结果写列在黑板上.〔1〕学生在TI —nspireCAS上完成以下操作：hb+Jg 七k)r〔2〕学生操作得出如下结果，完成数学实验记录单〔1〕的填写：JT I |_S3E1] -11 SQiDtOddODO『sla 01 -13glomi] -is HM9oaaooD |£(L f-4) -13 1WWOOUQC IE-5) |f[l「心 F 100005Q0001|制ll■tzfilOtOO "j-毗归酣-I?OK3WCWOI曲国-isOMiorao |J'let)•口翩顾1〔3〕让学生讲他所发觉的规律.〔4〕学生分4个组再次实验，分不完成本组的数学实验记录单〔2〕的填写，并观看平均速度的变化趋势，回答教师的提咨询.使生技平上过次验受平速在T趋于个，明得个数意应学在术台通多实感到均度t叭近一林并白那常的义使生感上得瞬速的.法应学从性获求时度、方t o=1.6vt o=1.7vt o=1.8vt o=1.9v ft o=2v f在学生实验与观看的基础上指出：当t趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，那个常数确实是瞬时速度.103.提炼模型设计意图：使学生认识到平均速度当时刻间隔趋向于零时的极限确实是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的极限模型.〔1〕提咨询：你认为通过实验所得结果〔常数〕确实是瞬时速度吗？那个数据到底是精确值依旧近似值？〔2〕让学生动笔化简t o=2对应的平均速度的表达式.〔化简结果为4.9 t 13.1〕〔3〕引导学生从化简的表达式中发觉当△t 0时，4.9 t 13.1 —13.1.〔4〕让学生动手化简t o=1.6对应的平均速度的表达式.〔化简结果为 4.9 t 9.18〕启发学生归纳出结论：△ t 0时，平均速度所趋近的那个常数是能够得到的，它不是近似值，是一个精确值，它与变量△ t无关，只与时刻t o有关.〔5〕提咨询：我们得到了10=1.6、1.7、1.8、1.9时的瞬时速度，但这还不足以代表所有时刻的瞬时速度，能不能用同样的方法，得到t o时的瞬时速度？启发学生化简平均速度的表达式，并与学生一起总结出：f h(t o t) h(t o)9.8t0 4.9 t 6.59.8t。
等腰三角形（第1课时）人教版《义务教育教科书·数学》（八年级上册第十三章13.3.1）授课教师：董年华天津市大张庄中学指导教师：张义民天津市北辰区教研室李兴梅天津市北辰区华辰学校刘金英天津市中小学教育教学研究室申铁天津市中小学教育教学研究室2017年10月教学设计一、内容与内容解析1.内容等腰三角形的性质．2.内容解析本节课内容属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中“图形与几何”领域“图形的性质”相关内容．《轴对称》一章从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，了解轴对称在现实生活中的广泛应用，并利用轴对称探索等腰三角形的性质，学习等腰三角形的判定方法，并进一步学习等边三角形的性质．等腰三角形的性质为证明两个角相等、两条线段相等或垂直提供了方法，也是后续学习等边三角形、菱形、正方形、圆等内容的基础.教学过程中借助剪纸图片及引导学生通过动手操作剪出一个三角形，这个剪的过程保证了三角形的两边相等，即得到等腰三角形.学生进一步利用轴对称的性质得到等腰三角形的性质.等腰三角形性质的探索通过动手操作得出概念，观察实验得出相应的性质，在此基础上通过推理论证得出结论的过程，引导学生在学习过程中积累解决问题、演绎推理的经验.在问题探究过程中获得了添加辅助线证明性质的方法，为学生解决几何问题积累了经验，在活动中渗透学生核心素养的培育.基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明等腰三角形的性质.二、目标和目标解析1.目标（1）探索并证明等腰三角形的两个性质.（2）能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等.（3）结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用.2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生能够通过对折剪切得到等腰三角形，在此基础上借助教师引导，观察猜想得到图形中对应要素之间的关系，从而得到性质1（等边对等角）；在此基础上结合验证及性质1证明过程中添加辅助线的方法，引导学生从不同角度界定辅助线在图形中的“角色”，进而得到性质2（三线合一）.达成目标（2）的标志是：学生在动手操作、猜想验证，性质证明、例题分析的过程中，积累了相应的探究图形性质的活动经验，在此基础上借助教师引导、小组互助，学生初步会用性质证明或计算两个角、两条线段的相等或大小.达成目标（3）的标志是：学生借助对折的过程进一步得到等腰三角形是轴对称图形的结论，结合等腰三角形第2个性质的验证过程，得出底边上的中线或顶角平分线或底边上的高所在直线是它的对称轴；能借助轴对称发现等腰三角形的性质，积累解决两个角、两条线段的相等或大小问题的经验，发展空间观念和逻辑推理能力.三、教学问题诊断分析由于学生刚刚由实验几何过度到验证几何，推理验证过程中缺乏问题解决的基本方法，对于怎样添加辅助线，构造问题解决条件的意识相对缺乏，对于稍复杂的几何问题仍没有掌握问题解决的方法.例如在“等边对等角”的证明中，学生对为什么要作底边上的中线感到茫然，常常发出“怎么想到的”的疑问.事实上辅助线本身就是一项探究性数学活动，是为获得问题证明所采取的一种尝试，既可能成功，也可能失败；作底边上的中线是受前面“探究”活动的启发——作出对称轴有可能解决问题，而对称轴是通过底边中点的；由于对称轴垂直于底边，因此，也可以作底边上的高加以尝试；由于对称轴平分对应线段的夹角，因此，也可以作顶角平分线加以尝试.学生由于认知经验不足，对性质2的理解容易出现错误影响应用，教师在教学中应引导学生在证明性质1的基础上对性质2加以证明，以此来加深学生对性质2的理解.本节课的教学难点是：性质1证明中辅助线的添加及性质1、2的运用.四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助彩纸引导学生剪一个等腰三角形，在此基础上对其进行探究；为更加直观地呈现学生的猜想验证，运用投屏的方式呈现学生的问题解决.五、教学过程设计（一）动手操作,引入课题通过回顾轴对称一节中同学们共同欣赏过美丽的窗花及自己制作的作品，引导学生回顾轴对称的性质.问题1：美丽的窗花是如何剪得的？问题2：利用剪窗花的方法，我们按照下图的步骤再剪一个图案，你发现你手中的纸片是什么形状的？为什么？【设计意图】借助美丽的窗花及学生作品回顾图形轴对称的性质，通过观察操作过程、教师引导学生制作学具并进一步结合问题引导学生体会轴对称的作用.同时，尽管学生在小学阶段已学习过等腰三角形的定义，但在教学过程中应引导学生进一步结合小学阶段的学习经验，形成图形（概念）再进行探究，体现初中阶段数学学习的意义与价值.（二）实验操作，大胆猜想师生活动：学生动手操作，剪出等腰三角形，并通过观察，在教师的引导下对等腰三角形的性质进行大胆的猜想，得出结论.在黑板上写出同学们的猜想.问题3：将自己手中的等腰三角形纸片对折，观察重合的线段和角.你有什么发现？预设学生回答：（1）等腰三角形的两底角相等；（2）折痕是等腰三角形顶角的平分线；（3）折痕是等腰三角形的中线；（4）折痕是等腰三角形的高；（5）折痕分得的两个三角形全等.结合学生回答进一步追问：同学们手中的等腰三角形纸片是否具有这样的特点？【设计意图】学生借助自己亲手制作的学具，展开探究活动，通过观察、思考、猜想、交流的过程，逐步引导学生体会研究几何图形的基本思路，通过直观想象大胆猜想，在探究过程中积累数学学习的经验，追问学生手中的等腰三角形纸片是否具有这样的特点？体现了由特殊到一般的过程.（三）推理证明，归纳性质问题4：利用实验操作的方法我们发现了与等腰三角形有关的猜想，请同学们验证这些结论是否正确.追问：1.要证明两个角相等，方法是什么？2. 如何构造两个三角形全等？ A B CD【设计意图】验证等腰三角形的两底角相等，结合问题及追问引导学生发现问题的已知、求证及问题分析思路等腰三角形的两底角相等.师生活动：通过教师引导，学生进行验证，利用投屏展示不同学生问题解决的方法并进行交流做.预设：学生在进行问题解决的过程中可能出现的方法：方法1：作∠BAC 的平分线AD ，利用全等三角形的判定得到△ABD ≌△ACD ，得到∠B =∠C .方法2：作底边BC 的中线AD ，利用全等三角形的判定得到△ABD ≌△ACD ，得到∠B =∠C .方法3：作底边BC 的高线AD ，利用全等三角形的判定得到△ABD ≌△ACD ，得到∠B=∠C .板书：等腰三角形的性质1：等腰三角形的两底角相等.简写成：等边对等角.（文字语言）∵AB =AC ，∴∠B =∠C .（符号语言）【设计意图】学生通过从折纸的过程中得到启发，找出通过添加与折痕有关辅助线的方法验证探究活动中的猜想，在此基础上为后续猜想的验证（等腰三角形性质2）提供重要依据，在探究、验证过程中，潜移默化地引导学生由实验几何过度到验证几何，由合情推理到演绎推理，逐步提升学生问题解决的能力.问题5：观察添加的辅助线有什么区别和联系？追问：1.等腰三角形中，若折痕这条线未出现，在问题解决过程中你会怎样做？2.等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，你发现等腰三角形还有什么特征？【设计意图】让学生体会问题解决的方法，并进一步体会等腰三角形的轴对称性.师生活动：师生共同归纳后续猜想（2）至（4），借助验证等腰三角形性质1的经验学生知道等腰三角形是轴对称图形，且顶角平分线或底边中线或底边高线所在直线是对称轴.板书出示等腰三角形的性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的的高互相重合. 简写成：三线合一.（文字语言）结合课件及板书引导学生总结符号语言：∵ AB =AC ，AD ⊥BC ，∴ ∠___= ∠___，___=____. AB C D【设计意图】在学生体会等腰三角形的轴对称性基础上，结合性质1的经验进一步得到等腰三角形的性质2.问题6：猜想（5）验证折痕分得的两个三角形全等.借助上述问题解决经验，猜想（5）成立，但图形要素及相关要素属于图形的性质，折痕分得的两个三角形不属于图形的要素及相关要素，因此，尽管猜想成立，但不属于等腰三角形的性质.【设计意图】进一步引导学生认识“图形的性质”，抓住课堂生成，完整呈现学生的猜想及验证过程.（四）巩固练习，熟悉性质师生活动：学生独自完成练习，教师订正答案，并追问依据.1、在△ABC 中，AB =AC ，如果一个底角为50°，则另两个角的大小是______和______.2、在△ABC 中，AB =AC ，如果一个角为50°，则另两个角的大小是______和_______.【设计意图】巩固等腰三角形的性质1，第1题是基础题，第2题在第1题的基础上有进一步的思考，需要综合运用等腰三角形、三角形内角和的知识，借助分类讨论确定等腰三角形的内角度数.3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，∠B = 40°， 则∠BAD 的大小是_______.4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点M 、N 在边BC 上，且AD =AE .求证BD =CE .【设计意图】巩固等腰三角形的性质2，第三题是性质2的直接应用，也是为第4题辅助线的添加提供方法，第4题可通过作辅助线证明对应相等的线段，在应用性质2的同时，巩固证明线段相等的方法，也可借助全等三角形的判定证明 BD =CE .（五）性质应用，例题精讲例：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD .（1）图中哪些三角形是等腰三角形？（追问：哪些角相等？）（2）含∠A 的式子表示∠CDB 、∠C 、∠ABC .（3）求出∠A 的度数. ABCD A B C DE AB C D【设计意图】根据学情，对教材例题进行改编，借助变式问题，逐步引导学生认识等腰三角形、运用等腰三角形的性质进行问题解决，综合运用三角形内角、外角等知识，通过推理实现问题解决.问题（3）本质上是方程思想的运用，可以根据学生学习情况对其进行渗透.（六）归纳小结，突出重点小结：（1）经过这一节课的学习，我们学到了哪些主要内容？（2）我们是如何探究等腰三角形的性质的？（3）你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？师生活动：从学习内容、思想方法方面进行概括总结，并进一步引导学生体会证明线段相等或角相等的方法.【设计意图】借助小结，引导学生在全等三角形证明对应线段、对应角相等方法的基础上，把握本节课的核心——等腰三角形的性质，扩充解决此类问题的方法.师生活动：展示一组具天津地方特色图片，从图片中抽象出等腰三角形，并结合如何确定三角形是等腰三角形的问题引出下节课的学习内容.【设计意图】通过具有天津地方特色的图片，引导学生从现实生活中抽象出几何图形的能力，感受家乡风景、建筑的美好，培养学生热爱家乡的情感，渗透德育教育，实现数学学科的育人功能；在此基础上结合教材编写及课堂教学的脉络，引导学生体会图形与几何领域“定义——性质——判定”的学习脉络.。
