江苏省南京师范大学附属中学高中数学二轮复习习题小练(16)(无答案) 苏教版

南京师范大学附属中学2024学年下学期高三数学试题第二次月考考试试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ）A ．45B ．45-C ．45±D ．352．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）．A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭ D ．(0,)A B =+∞3．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ） A ．5101900-米 B ．510990-米 C ．4109900-米 D ．410190-米 4．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）A 3B 6C ．36D ．336 5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( ) A ．12 B ．32C ．255D ．55 6．将函数2()3sin 22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ）A ．3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭πC ．3,08⎛⎫- ⎪⎝⎭πD ．3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π 7．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞ C ．[)0,1 D ．(]1,0-8．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>= 9．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交10．若x yi +(,)x y ∈R 与31i i +-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．3C ．－1D ．4 11．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ）A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种12．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 6 小题，共 12 分）1、(2分) 下列计算，结果等于x5的是（）A.x2+x3B.x2•x3C.x10÷x2D.（x2）32、(2分) 如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（）A.B. C. D.3、(2分) √2581256值等于（）A.15116B.±15116C.16116D.±161164、(2分) 点E（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m+1，n-1）对应的点可能是（）A.A点B.B点C.C点D.D点5、(2分) 完全相同的4个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则图中阴影部分的周长是（）A.4mB.4nC.2m+nD.m+2n6、(2分) 如图，▱OABC的周长为14，∠AOC=60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角（x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为（）坐标系，函数y=kxA.2√3B.4√3C.6D.12二、填空题（本大题共 10 小题，共 20 分）7、(2分) 已知某种纸一张的厚度为0.0087cm，用科学记数法表示0.0087是______．8、(2分) 把多项式2x2-4xy+2y2因式分解的结果为______．9、(2分) 若√1−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．10、(2分) 计算（√6-√18）×√1+2√6的结果是______．311、(2分) 若x1，x2是一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根，则x1+x2-x1x2=______．12、(2分) 如图，点I为△ABC的重心，过点作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q，若AB=6，AC=4，BC=5，则PQ的长为______．13、(2分) 已知甲、乙两组数据的折线图如图所示，则甲的方差______乙的方差（填“＞”“=”、“＜”）．14、(2分) 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，弧AC的长为π，则∠ADC的大小是______．15、(2分) 如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M 处．点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为______．16、(2分) 若关于x的不等式组{2x+12+3＞−1x＜m的所有整数解的和是-7，则m的取值范围是______．三、计算题（本大题共 3 小题，共 22 分）17、(7分) 先化简，再求值：(1x2−4+1x+2)÷x−1x−2，其中2≥x≥-2，且x为整数，请你选一个合适的x值代入求值．18、(7分) 解方程：23x−1−1=36x−2．19、(8分) 甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是多少？（直接写出答案）（2）任选两名同学打第一场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．四、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）20、(8分) 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．（1）求证：CE=AF；（2）EF与AD交于点P，∠DPE=48°，求∠CBE的度数．21、(8分) 某品牌电脑销售公司有营销员14人，销售部为制定营销人员月销售电脑定额，统计了这14人某月的销售量如下（单位：台）：（1）求这14位营销员该月销售该品牌电脑的平均数、中位数和众数．（2）销售部经理把每位营销员月销售量定为90台，你认为是否合理？为什么？22、(7分) 如图，已知M为△ABC的边BC上一点，请用圆规和直尺作出一条直线l，使直线l 过点M，且B关于l的对称点在∠A的角平分线上（不写作法，保留作图痕迹）．23、(8分) 某校学生步行到郊外春游，一班的学生组成前队，速度为4km/h，二班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断的来回进行联络，他骑车的速度为akm/h．若不计队伍的长度，如图，折线A-B-C，A-D-E分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y（km）与后队行进时间x（h）之间的部分函数图象．（1）联络员骑车的速度a=______；（2）求线段AD对应的函数表达式；（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．24、(8分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=12，CE=3时，求AC的长．25、(8分) 如图，A 、B 、C 三个城市位置如图所示，A 城在B 城正南方向180km 处，C 城在B 城南偏东37°方向．已知一列货车从A 城出发匀速驶往B 城，同时一辆客车从B 城出发匀速驶往C 城，出发1小时后，货车到达P 地，客车到达M 地，此时测得∠BPM=26°，两车又继续行驶1小时，货车到达Q 地，客车到达N 地，此时测得∠BNQ=45°，求两车的速度．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，sin26°≈25．cos26°≈910，tan26°≈12）26、(8分) 已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=x 2+mx+n 的图象上，当x 1=1、x 2=3时，y 1=y 2．（1）若P （a ，b 1），Q （3，b 2）是函数图象上的两点，b 1＞b 2，则实数a 的取值范围是______A ．a ＜1B ．a ＞3C ．a ＜1或a ＞3 D.1＜a ＜3（2）若抛物线与x 轴只有一个公共点，求二次函数的表达式．（3）若对于任意实数x 1、x 2都有y 1+y 2≥2，则n 的范围是______．27、(11分) 如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BDC=90°，AB=AD ，∠DCB=60°，CD=8．（1）若P 是BD 上一点，且PA=CD ，求∠PAB 的度数．（2）①将图1中的△ABD 绕点B 顺时针旋转30°，点D 落在边BC 上的E 处，AE 交BD 于点O ，连接DE ．如图2，求证：DE 2=DO•DB ；②将图1中△ABD 绕点B 旋转α得到△A'BD′（A 与A'，D 与D′时对应点），若DD′=CD ，则cosα的值为______．2019年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷【第 1 题】【答案】B【解析】解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、x2•x3=x5，故此选项正确；C、x10÷x2=x8，故此选项错误；D、（x2）3=x6，故此选项错误；故选：B．根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则．【第 2 题】【答案】D【解析】解：将这杯水斜着放可得到A选项的形状，将水杯正着放可得到B选项的形状，将水杯倒着放可得到C选项的形状，不能得到三角形的形状，故选：D．根据圆柱体的截面图形可得．本题主要考查认识几何体，解题的关键是掌握圆柱体的截面形状．【 第 3 题 】【 答 案 】C【 解析 】解：√2581256=√258×256+1256=√(25716)2=25716=16116． 故选：C ．根据二次根式的性质化简即可．本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．【 第 4 题 】【 答 案 】C【 解析 】解：（m+1）-m=1，n-（n-1）=1，则点E （m ，n ）到（m+1，n-1）横坐标向右移动1单位，纵坐标向下移动1个单位．故选：C ．由（m ，n ）移动到（m+1，n-1），横坐标向右移动1个单位，纵坐标向下移动1个单位，依此观察图形即可求解．本题考查了点的坐标，解题的关键是得到点的坐标移动的规律．【 第 5 题 】【 答 案 】B【 解析 】解：设小矩形的长为a ，宽为b ，可得a+2b=m ，可得左边阴影部分的长为2b ，宽为n-a ，右边阴影部分的长为m-2b ，宽为n-2b ，图中阴影部分的周长为2（2b+n-a ）+2（m-2b+n-2b ）=4b+2n-2a+2m+2n-8b =2m+4n-2a-4b=2m+4n-2（a+2b ）=2m+4n-2m=4n ，故选：B ．设小矩形的长为a ，宽为b ，可得a+2b=m ，表示出左右两个阴影部分矩形的长与宽，进而表示出周长，化简即可得到结果．此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【 第 6 题 】【 答 案 】B【 解析 】解：设OA=a ，OC=b ，∵▱OABC 的周长为14，∴a+b=7，∴b=7-a ，作AD⊥x 轴于D ，MN⊥x 轴于N ，∵∠AOC=60°，∴OD=12a ，AD=√32a ，∴A （12a ，√32a ），∵M 是BC 的中点，∴CN=14a ，MN=√34a ，∴M （7-a+14a ，√34a ），∴12a•√32a=（7-a+14a ）•（√34a ） 解得a=4，∴A （2，2√3），∴k=2×2√3=4√3，故选：B ．设OA=a ，OC=b ，根据题意得到b=7-a ，作AD⊥x 轴于D ，MN⊥x 轴于N ，解直角三角形表示出A 、M 的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到12a•√32a=（7-a+14a ）•（√34a ），解得a=4，求得A 的坐标，即可求得k 的值．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解本题的关键是求出a ，b 的值．【 第 7 题 】【 答 案 】8.7×10-3【 解析 】解：0.0087=8.7×10-3．故答案为：8.7×10-3．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【 第 8 题 】【 答 案 】2（x-y ）2【 解析 】解：2x 2-4xy+2y 2=2（x 2-2xy+y 2）=2（x-y ）2．故答案为：2（x-y ）2．首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．【 第 9 题 】【 答 案 】x≤12【 解析 】解：由题意得，1-2x≥0，解得x≤12．故答案为：x≤12． 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．【 第 10 题 】【 答 案 】 √2+√6【 解析 】解：原式=√6×13-√18×13+2√6=√2-√6+2√6=√2+√6．故答案为√2+√6．先利用二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【 第 11 题 】【 答 案 】6【 解析 】解：由根与系数的关系可知：x 1+x 2=2，x 1x 2=-4，∴原式=2-（-4）=6，故答案为：6根据根与系数的关系即可求出答案．本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．【 第 12 题 】【 答 案 】103【 解析 】 解：连接AI 并延长交BC 于D ，如图，∵点I 为△ABC 的重心，∴AI=2ID ， ∴AI AD =23，∵PQ∥BC ，∴△APQ∽△ABC ， ∴PQ BC =AI AD =23，∴PQ=5×23=103．故答案为103． 连接AI 并延长交BC 于D ，如图，利用重心的性质得AI AD =23，再证明△APQ∽△ABC ，然后利用相似比可计算出PQ 的长．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了相似三角形的判定与性质．【 第 13 题 】【 答 案 】＞【 解析 】解：从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即甲的方差＞乙的方差．故答案为：＞．结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了折线统计图．【 第 14 题 】【 答 案 】135°【 解析 】 解：连接OC 、OA ，设∠AOC=n°， 则nπ×2180=π， 解得，n=90，∴∠AOC=90°，由圆周角定理得，∠ABC=45°，∴∠ADC=180°-∠ABC=135°，故答案为：135°．连接OC 、OA ，根据弧长公式求出∠AOC ，根据圆周角定理求出∠ABC ，根据圆内接四边形的性质计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长公式的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【 第 15 题 】【 答 案 】43【 解析 】解：∵将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠，使点C 落在AB 边的中点M 处．∴ME=CE ，MB=12AB=4=AM ，∠D'ME=∠C=90°， 在Rt△MBE 中，ME 2=MB 2+BE 2，∴ME 2=16+（8-ME ）2，∴ME=5∴BE=3，∵∠D'ME=∠DAB=90°=∠B∴∠EMB+∠BEM=90°，∠EMB+∠AMD'=90°∴∠AMD'=∠BEM ，且∠GAM=∠B=90°∴△AMG∽△BEM ∴AM BE =AG MB =GM ME∴43=AG4=GM 5 ∴AG=163，GM=203∴△AMG 的内切圆半径的长=AG+AM−GM 2=43故答案为：43 由勾股定理可求ME=5，BE=3，通过证明△AMG∽△BEM ，可得AG=163，GM=203，即可求解．本题考查了三角形内切圆和内心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求AG ，GM 的长度是本题的关键．【 第 16 题 】【 答 案 】-3＜m≤-2或2＜x≤3【 解析 】解：解不等式2x+12+3＞-1，得：x ＞-4.5，∵不等式组的整数解的和为-7，∴不等式组的整数解为-4、-3或-4、-3、-2、-1、0、1、2，则-3＜m≤-2或2＜x≤3，故答案为：-3＜m≤-2或2＜x≤3．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的和为-7，知不等式组的整数解为-4、-3或-4、-3、-2、-1、0、1、2，据此求解可得．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【 第 17 题 】【 答 案 】解：(1x −4+1x+2)÷x−1x−2=1+x−2(x+2)(x−2)⋅x−2x−1=x−1(x+2)(x−2)⋅x−2x−1=1x+2，当x=0时，原式=10+2=12． 【 解析 】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后由2≥x≥-2，且x 为整数，选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【 第 18 题 】【 答 案 】解：方程两边同时乘以2（3x-1），得4-2（3x-1）=3，化简，-6x=-3，解得x=12．检验：x=12时，2（3x-1）=2×（3×12-1）≠0所以，x=12是原方程的解．【 解析 】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程中x 的值，代入公分母进行检验即可． 本题考查的是解分式方程．在解答此类题目时要注意验根，这是此类题目易忽略的地方．【第 19 题】【答案】解：（1）∵共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，∴P（恰好选中乙同学）=1；3（2）画树状图得：∵所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．∴P（恰好选中甲、乙两位同学）=1．6【解析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能性结果数，再找出满足条件的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率【第 20 题】【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC，∠ABC=60°∵△BEF是等边三角形∴BE=BF，∠FBE=60°∴∠ABC=∠EBF，∴∠ABF=∠CBE，且AB=BC，BE=BF∴△ABF≌△CBE（SAS）∴CE=AF（2）∵四边形ABCD是菱形∴∠C+∠D=180°，∵∠BEF=60°∴∠DEP+∠BEC=120°∵∠DPE+∠D+∠DEP=180°，∠C+∠CBE+∠BEC=180°∴∠DPE+∠D+∠DEP+∠C+∠CBE+∠BEC=360° ∴∠CBE=60°-∠DPE=60°-48°=12°【 解析 】（1）由菱形的性质和等边三角形的性质可得AB=BC ，BE=BF ，∠ABC=∠EBF ，由“SAS”可证△ABF≌△CBE ，可得CE=AF ；（2）利用三角形的内角和定理可求∠CBE 的度数．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．【 第 21 题 】【 答 案 】解：（1）平均数：200+170+130×2+80×5+50×3+40×21+1+2+5+3+2=90台；∵共14人，∴中位数：80台；有5人销售80台，最多，故众数：80台；（2）不合理，因为若将每位营销员月销售量定为90台，则多数营销员可能完不成任务．【 解析 】（1）用加权平均数的求法求得其平均数，出现最多的数据为众数，排序后位于中间位置的数即为中位数；（2）众数和中位数，是大部分人能够完成的台数．本题考查了中位数、众数的确定及加权平均数的计算方法，解决本题的关键是正确的从表中整理出所有数据，并进行正确的计算和分析．【 第 22 题 】【 答 案 】解：如图所示，直线l 1、l 2即为所求．【 解析 】根据轴对称的性质和角平分线与线段中垂线的尺规作图可得．本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和角平分线与线段中垂线的尺规作图．【 第 23 题 】【 答 案 】解：（1）由图可得，a=（4+4×12）÷12=12，故答案为：12；（2）设线段AD 对应的函数表达式为y=kx+b ，{b =412k +b =0，得{k =−8b =4， 即线段AD 对应的函数表达式为y=-8x+4（0≤x≤12）； （3）设联络员折返后第一次与后队相遇的时间th 时，（12+6）（t-12）=4-（6-4）×12，解得，t=23，答：联络员出发23h 时第一次与后队相遇． 【 解析 】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得a 的值；（2）根据函数图象中的数据可以求得线段AD 对应的函数表达式；（3）根据题意和函数图象中的数据可以求得联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【 第 24 题 】【 答 案 】解：（1）如图，连接BD ，∵∠BAD=90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC ，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC ，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE ，∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵DE∥AC ，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=12，AF=CF=12AC ， ∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD ，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE ，∴BC CD =CDCE∴12CD =CD3，∴CD=6，在Rt△BCD 中，BD=√BC 2+CD 2=6√5同理：△CFD∽△BCD ，∴CF BC =CDBD ，∴CF 12=6√5，∴CF=12√55，∴AC=2AF=24√55．【解析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=12，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．【第 25 题】【答案】解：作MD⊥AB于点D，QE⊥BC于点E，设客车的速度为x km/h，货车速度为y km/h，由题意可知：BM=x，BN=2x，AP=y，AQ=2y，BQ=180-2y，在Rt△BDM中，∴sinB=DMBM ，cosB=BDBM，∴DM=xsin37°，BD=xcos37°，在Rt△DMP中，∴tan∠DPM=DMPD =DMAB−AP−BD，∴tan26°=x⋅sin37∘180−y−x⋅cos37∘，∴1 2≈35x180−y−45x，即2x+y=180①，在RtBEQ中，∴sinB=QEBQ ，cosB=BEBQ，∴QE=sin37°•（180-2y），BD=cos37°（180-2y），在△EQN中，∠BNQ=45°，∠QEN=90°，∴△EQN为等腰直角三角形，∴QE=NE，则sin37°（180-2y）=2x-cos37°（180-2y），上式化简可得：630-7y=5x②，联立①②可得：{2x+y=180 630−7y=5x，解得：{x=70 y=40，∴客车速度约为70km/h，货车速度约为40km/h．【解析】作MD⊥AB于点D，QE⊥BC于点E，设客车的速度为x km/h，货车速度为y km/h，根据锐角三角函数的定义列出关于x与y的方程后，利用二元一次方程组的解法即可求出答案．本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，二元一次方程组的解法等知识，综合程度较高，属于中等题型．【第 26 题】【答案】解：（1）∵当x1=1、x2=3时，y1=y2．∴函数的对称轴x=2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，∴a＜1；综上所述，a＜1或a＞3；故答案为C．（2）∵对称轴x=2，∴m=-4，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴m2-4n=0，∴n=4，∴y=x2-4x+4；（3）y=x2-4x+n，∵开口向上，∴当x=2时，函数有最小值n-4，∴2（n-4）=2n-8≥2，∴n≥5．【解析】（1）由已知可知函数的对称轴x=2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，则a＜1；（2）由对称轴可求m=4，抛物线与x轴只有一个交点，则△=0，进而可求n的值；（3）当x=2时，函数有最小值n-4，则有2（n-4）=2n-8≥2，即可求n 的范围．本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，利用函数对称轴的性质解题是关键．【 第 27 题 】【 答 案 】解：（1）在Rt△BCD 中，∠BDC=90°，∠DCB=60°，CD=8， ∴BC=16，BD=8√3， 在Rt△BAD 中，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD=BD•√22=4√6， 作AH⊥BD 于H ，则AH=12BD=4√3，∠BAH=45°，当点P 在点线段DH 上时，cos∠PAH=AH AP =√32，∴∠PAH=30°，∴∠PAB=30°+45°=75°， 当点P′在点线段BH 上时，∠PAB=45°-30°=15°，综上所述，∠PAB 的度数为75°或15°；（2）①证明：由题意得，BD=BE ，∠DBE=30°，∠AEB=45°，∴∠BDE=∠BED=75°，又∠BDE=∠EDO ，∴△BDE∽△EDO ， ∴DE DO =BD DE ，即DE 2=DO•DB ； ②解：如图3，符合条件的点有两个D′和D′′，由题意得，∠DBD′=∠DBD′′，它们的余弦值相等，作BH⊥DD′，DG⊥BD′，则DH=HD′=4，在Rt△BDH 中，BH=√BD 2−DH 2=4√11， △BDD′的面积=12×DD′×BH=12×BD′×DG ，即12×8×4√11=12×8√3×DG ，解得，DG=4√333，由勾股定理得，BG=√BD2−DG2=20√33，∴cosα=cos∠DBD′=BGBD =5 6，故答案为：56．【解析】（1）根据勾股定理求出BC、BD，分点P在点线段DH上、点P在点线段BH上两种情况，根据余弦的定义解答；（2）①证明△BDE∽△EDO，根据相似三角形的性质证明结论；②作BH⊥DD′，DG⊥BD′，根据三角形的面积公式求出DG，根据勾股定理求出BG，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．。

江苏省南京师大附中2012届高三下学期二轮复习周统测(五)数学试题(2012.3.28)(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卷相应的位 置上.1设复数Z =1 bi(^ R)且|Z|=1，则复数z 的虚部为 则9x 3y 的最小值为 ▲5.点P(2 , -1)为圆(x -3)2 y -25的弦的中点，则该弦所在直线 的方程是 ▲.兀16. 已知sin (很亠一)，贝U sin 〉cos 〉的值为▲ 7.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形 ABCD 随机取一个点 Q ,则点Q取自△ ABE 内部的概率等于▲.&对于大于1的自然数m 的三次幕可用奇数进行以下方式的“分裂”23 =3 5,33 = 7 9 11,43 =13 15 17 19,,仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是 31,则m 的值为 ▲.9.如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，PD —底面ABCD ,PD=AD=1，设点C 到平面FAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则比较d 1,d 2的大小有 一▲ .10. 执行如图的程序框图，若输出的n = 5,则输入整数 p 的最小值是 ▲.11 .已知函数f (x)满足f (1 x) f (^x^ 2，且直线y = k(x ^1) 1与f (x)的图象有5个交点，则这些交点的纵坐标2•某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区， 时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过 60km/h 的汽车数量为▲ 辆.33. 设函数 f (x) =x cosx 1，若 f (a) =11 , 则 f (一a)=▲.-I 耳 ■! 4 4. 已知向量 a = (x -1,2), b = (4, y)，若 a _ b ,频率 组距0.03970寸速(km/h)0.0280.018600.010 0.00530 40 50 A B之和为一▲.12•已知等比数列｛a n ｝的前10项的积为32,则以下命题中真命题的编号是 ▲FABC 沿x 轴滚动(说明： 正方形PABC x 轴负方向滚动.沿x 轴正方向滚动指的B 落在x 轴上时，再以顶点 B 为中 FABC 可以沿x 轴负①数列｛a n ｝的各项均为正数；② 数列｛a n ｝中必有小于 2的项;③数列｛a n ｝的公比必是正数；④数列｛a n ｝中的首项和公比中必有一个大于1. 13.如图放置的边长为 1的正方形 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿 是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点 心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形向右为顺时针，向左为逆时针).设顶点 (x , y )的轨迹方程是y = f (x),则y = f (x)在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积 S 是 ▲14.已知平面向量O A, OB, OB,OC 满足：| T T T —I TOA|=|OB |=|OC |=1,OA OB =0，若OA = xOC - yOB (x, y • R)，则 x y 的取值范围是▲二、解答题：本大题共 6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15.(本小题共14分)已知函数 f(x)=sin(x + 壬)+cos(x -竺),R .4 4(1) 求f (x)的最小正周期和最小值；(2) 已知 cos( P -«) =4 , cos(P +□) =-4 , 0 V 。

南京师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期四校联考考前复习卷（二）数学试题一、单选题：共8题，每题5分，共40分。

1．设12iz i+=（i 为虚数单位），则z = A ．12B ．22C ．1D ．22．已知非空集合A 、B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5AB =，A B =∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．163．在ABC 中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，则""A B =成立的必要不充分条件为 A ．sin cos 2A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．cos cos 0a A b B -=C ．cos cos b A a B =D ．cos cos cos a b cA B C== 4．某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为 A ．126B ．360C ．600D ．6305．已知2OA OB ==，且向量OA 与OB 的夹角为120°，又1PO =，则AP BP ⋅的取值范围为 A ．[]1,1-B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]3,3-6．已知四面体ABCD ，分别在棱AD ，BD ，BC 上取()*1,3n n N n +∈≥等分点，形成点列{}n A ，{}n B ，{}n C ，过k A ，k B ，()1,2,,k C k n =⋅⋅⋅作四面体的截面，记截面的面积为k M ，则A ．数列{}k M 为等差数列B ．数列{}k M 为等比数列C ．数列k M k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 D ．数列k M k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列7．在平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx k =≠与双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>交于M 、N 两点，F 是该双曲线的焦点，且满足2MN OF =，若MNF 的面积为2a ，则C 的离心率为A B C D ．38．已知函数()122x f x e -=，()2ln g x x =+，若()()f m g n =，则m n -的最大值是A ．ln 212+-B ．14e-C ．1ln 2+D ．2ln 23+二、多项选择题：共4题，每题5分，共20分。

2023—2024学年南师附中高二期初测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，则（ ）A B.C. D.2.已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）A.7B.15C.25D.354.有3个完全相同的小球，，，随机放入甲、乙两个盒子中，则两个盒子都不空的概率为（ ）A.B.C.D.5.设，，则“”是“且”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.设，且，则（ ）A.B.107.已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.8.平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）U =R {}13A x x =-<<{}2B x x =≤()U A B = ð(](),12,-∞-+∞ ()[),12,-∞-+∞ [)3,+∞()3,+∞()32i 12i z -=-+i za b c 112163413x y ∈R 224x y +≥2x ≥2y ≥152ab m ⎛⎫== ⎪⎝⎭112a b -=m =110()1f x +R 1x ∀[)21,x ∈+∞12x x ≠()()()12210x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦()()1215x f f +-+<1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(),1-∞1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()1,-+∞ABCD 1AB AD CD ===BD =BD CD ⊥BD A BCD '-A BD '⊥BCD A BCD '-B.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）A. B.长度落在区间内的个数为35C.长度的众数一定落在区间内D.长度的中位数一定落在区间内10.已知，，且，下列不等式恒成立的有（）A. B.C.D.11.已知函数对任意，都有成立，且函数是奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）A.当时，B.函数的最小正周期为2C.函数的图象关于点（）中心对称D.函数在（）上单调递减12.连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦，的长度分别等于，分别为，的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则（ ）A.弦，可能相交于点B.弦，可能相交于点C 的最大值为5D.的最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.3π2π[)90,91[)91,92[)92,93[)93,94[)94,95[]95,960.25b =[)93,94[)93,94[)93,940a >0b >1a b +=22log log 2a b +≥-133a b ->113a ab +≥+11212a b +≥++()f x x ∈R ()()20f x f x ++=()f x [)1,0x ∈-()sin f x x =[]2,3x ∈()()sin 2f x x =-()1y f x =+()y f x =(),0k k ∈Z ()y fx =[]2,21k k +k ∈Z AB CD M N AB CD AB CD M AB CD N MN MN13.若直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为______.14.在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是______.15.已知函数（且），若函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称，则的取值范围是______.16.已知的内角，，的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角.18.（12分）已知函数.（1）求函数的值域；（2）若的值.19.（12分）某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.20.（12分）已知函数，，若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数具有性质.（1）判断函数是否具有性质？并说明理由；（2）证明：函数具有性质.21.（12分）如图，在四棱柱中，侧棱垂直于底面，底面为等腰梯形，l ()1,2A -l 111ABC A B C -V AB BC ⊥6AB =8BC =15AA =V ()log ,02,30a x x f x x x >⎧=⎨+-≤≤⎩0a >1a ≠()f x Ya ABC △A B C abc ABC △S 22232a b c =+222Sb c+a b c ()1,2a =b =//a b b c =2a c + 43a c - a c θ()21cos sin cos 2222x x x f x =--()f x ()fα=sin 2α3411214()2231xf x x =-+()lng x x =()F x t ()()()11F t F t F +=+()F x M ()g x M ()f x M 1111ABCD A B C D -ABCD，，，，、、分别是棱、、的中点.（1）证明：直线平面；（2）求二面角的余弦值.22.（12分）设的三个内角、、所对的边分别为、、且.（1）求的大小；（2）若的取值范围.//AB CD 4AB =2BC CD ==12AA =E 1E F AD 1AA AB 1//EE 1FCC 1B FC C --ABC △A B C a b c 1cos 2a C cb +=A a =22b c +2023—2024学年南师附中高二期初测试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C.【解析】∵，，∴，∴.故选：C.2.【答案】C.【解析】因为，所以对应点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.3.【答案】B.【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为.故选：B.4.【答案】C.【解析】先求两个盒子中有一个空的概率为，所以两个盒子都不空的概率为.故选：C.5.【答案】B.【解析】若，则如满足条件，但不满足且，不是充分条件，若且，则，，所以，即，是必要条件，所以“”是“且”的必要不充分条件.故选：B.{}13A x x =-<<{}2B x x =≤{}{}{}1323A B x x x x x x =-<<≤=< (){}3U A B x x =≥ ð()()()()32i 34i i i 43i 43i 34i 34i 34i 25252512i z -+---=====-------+-+z 43,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭z 715715=311224⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭13144-=224x y +≥()2,2--2x ≥2y ≥2x ≥2y ≥24x ≥24y ≥228x y +≥224x y +≥224x y +≥2x ≥2y ≥6.【答案】D.【解析】∵，∴，，∴，∴故选：D.7.【答案】B.【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以关于轴对称，由向左平移1个单位得到，所以关于直线对称，，，且，都有，在上单调递增，∴在上单调递减，∵，且，，∴，∴，解得，∴原不等式的解集为.故选：B.8.【答案】B.【解析】由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，所以的中点就是球心，所以所以球的表面积为：.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题152ab m ⎛⎫== ⎪⎝⎭11log 2m a =1log 5m b =1111log log 5log 2210m m m a b -=-==m ==()1f x +R ()1f x +y ()y f x =()1f x +()y f x =1x =1x ∀[)21,x ∈+∞12x x ≠()()()12210x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦()y f x =[)1,+∞()y f x =(),1-∞()()1215x f f +-+<()()53f f =-1211x +-+<1213x +-+>-124x +<1x <(),1-∞A BCD -BCD △ABC △BC BC =24π3π⋅=目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】ABD.【解析】对于A ：由频率之和为1，得，解得，所以选项A 正确，对于选项B ：长度落在区间内的个数为，所以选项B 正确，对于选项C ：对这100件产品，长度的众数不一定落在区间内，所以选项C 错误，对于选项D ：对这100件产品，因为，而，所以长度的中位数一定落在区间内，所以选项D 正确，故选：ABD.10.【答案】BC.【解析】因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，，A 错误；∵正实数，满足，，则，B 成立；当且仅当，即时取等号，C 成立；，当且仅当，即，时取等号，D 错误.故选：BC.11.【答案】AB.【解析】因为函数对任意都有，所以，即，所以，所以，即恒成立，所以的周期为4.函数是奇函数，当时，.()0.350.150.120.0511b +++⨯+⨯=0.25b =[)93,941000.3535⨯=[)93,940.10.10.250.5++<0.10.10.250.350.5+++>[)93,94a b 1a b +=2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭12a b ==()22221log log log log 24a b ab +=≤=-a b 1a b +=()1211a b a a a -=--=->-11333a b -->=()11121212213a b b a a b a ab a ab a b a b a b+⎛⎫+=+=+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭2b aa b=a =()()()11112111222214124124b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++=++≥+= ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭12a b +=+1a =0b =()f x x ∈R ()()20f x f x ++=()()2220f x f x -++-=()()20f x f x +-=()()22f x f x +=-()()2222f x f x ++=+-()()4f x f x =+()f x ()f x [)1,0x ∈-()sin f x x =故时，.任取，则，因为函数对任意都有，即，所以.所以，作出的图象如图所示：对于A.由前面的推导可得：当时，.故A 正确；对于B.函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留，把轴上方的图象轴下方的图象翻折到轴上方，所以函数的最小正周期为2.故B 正确；对于C.由图象可知：函数的图象关于点（）中心对称，故C 错误；对于D.作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D 错误.故选：AB.[]1,1x ∈-()sin f x x =[]1,3x ∈()[]21,1x -∈-()f x x ∈R ()()20f x f x ++=()()20f x f x +-=()()()2sin 2f x f x x =--=--()()sin ,11sin 2,13x x f x x x -≤≤⎧=⎨--≤≤⎩()y f x =[]1,3x ∈()()()sin 2sin 2f x x x =--=-()y f x =()y f x =x x x ()y f x =()y f x =()2,0k k ∈Z ()y fx =[]2,1--()y f x =12.【答案】ACD.【解析】设球心为，则，.因为，所以弦，可能相交于点，不可能相交于点.因为，所以，当、、三点共线且，在两侧时，有最大值5；当、、三点共线且，在同侧时，有最小值1；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】或.【解析】当直线在坐标轴上的截距为0时，可设直线：，∵直线过点，∴，即直线的方程为，当直线在坐标轴上的截距不为0时，可设直线：，∵直线过点，∴，即，即直线的方程为.故答案为：或.14.【答案】.【解析】如图，由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切.需保证截面圆与内切，记圆的半径为，则由等面积法得，∴，又，，∴，得.由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，若增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为2，∴的最大值是.O 3OM ==2ON ==OM ON >AB CD M N OM ON MN OM ON -≤≤+15MN ≤≤O M N M N O MN O M N M O MN 20x y +=10x y ++=l l y kx =l ()1,2A -2k -=l 20x y +=l l x y a +=l ()1,2A -21a -+=1a =-l 10x y ++=20x y +=10x y ++=32π3ABC △O r ()12ABC S AB AC BC r =++⋅△()68AC AB BC r ++=⨯6AB =8BC =10AC =2r =r V 3432ππ233⨯=故答案为：.15.【答案】.【解析】易得时已有一个点关于轴对称，故只需当，且时，函数的图象上有且仅有1个点关于轴对称即可.由题意，时，显然成立；时，关于轴的对称函数为，则，∴，综上所述，的取值范围是，故答案为：.16..【解析】由，得，则，同时，则，时取等号，则，故，32π3()()0,11,3 0x =Y 3x ≥-0x ≠()f x y 01a <<1a >()log a f x x =y ()()log a f x x =-log 31a >13a <<a ()()0,11,3 ()()0,11,3 22232a b c =+222223332a b b c c =-+-()22222236cos b c b c a bc A +=+-=()222123a b c =+222222222223cos 226b c b c b c a b c A bc bc bc ++-+-+===≥=()2222221sin sin sin tan 22212cos 1222bc AS bc A bc A A b c b c bc A b c ====+++tan A =≤=b =22tan 212S A b c =≤+222Sb c +.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】（1），或；（2）.【解析】（1）∵；∴设，且，；∴；∴；∴，或；（2）∵与垂直，∴，即，又，，∴，∴，又，∴与的夹角.18.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，所以的值域为.（2）由（1）知，，()3,6b = ()3,6b=-- 4π//a b b ka = b = a =b k a ==3k =±()3,6b = ()3,6b =-- 2a c + 43a c - ()()2430a c a c +⋅-= 228230a a c c -⋅-= a = c = 852,3100a c ⨯--⨯= cos ,a c ∴= [],0,πa c ∈ a c π4θ=⎡⎢⎣725()21cos sin cos 2222x x x f x =--()()111π1cos sin 2224f x x x x ⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭()f x ⎡⎢⎣()π4f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以，所以.19.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设事件表示“甲家庭回答正确这道题”，事件表示“乙家庭回答正确这道题”，事件表示“丙家庭回答正确这道题”，由题意得：，解得乙家庭回答正确这道题的概率，丙家庭回答正确这道题的概率.（2）甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为：.20.【答案】（1）否，理由见解析；（2）见解析.【解析】（1）函数不具有性质.由，可得，，，由，即，可得，即，该方程无解，故函数不具有性质；（2）证明：，由，可得，化简可得，即，由图像可知，两个函数必有交点，可得函数在定义域内存在实数，使得成立，π3cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πππ187sin2cos 2cos212cos 12442525αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭38232132A B C ()()()()()341111214P A P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎪⎡⎤⎡⎤--=⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩()38P B =()23P C =()()()()P P ABC P ABC P A C P ABC B =+++3321323523312148348348348332=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()g x M ()ln g x x =()()1ln 1g t t +=+()ln g t t =()10g =()()()11g t g t g +=+()ln 1ln ln1t t +=+()ln 1ln t t +=1t t +=()g x M ()2231x f x x =-+()()()11f t f t f +=+()2122311231t t t t +-++=-+2630t t --=263t t =+()f x t ()()()11f t f t f +=+故函数具有性质.21.【答案】（1）见解析；（2.【解析】（1）取的中点，连接，，，.∵，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴.∵，分别为，的中点，∴，∴，又平面，平面，∴平面.（2）过作交于，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则，，，，所以，，，由，所以.又平面，所以为平面的一个法向量.()f x M 11A B G 1C G GF CG 1A D //CD AB 111122CD AB A B ==112A G AF AB ==1//CD A G 1CD A G =1A DCG 1//A D CG E 1E AD1A A 11//EE A D 1//EE CG 1EE ⊄1FCC CG ⊂1FCC 1//EE 1FCC D DR CD ⊥AB R D )F )B ()0,2,0C ()10,2,2C ()0,2,0FB = ()11,2BC =- )DB = FB CB CD DF ===DB FC ⊥CC ⊥ABCD DB 1FCC设平面的一个法向量为，则由得，即，取，则，，因此，所以，.22.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得：，∴，∵，∴又∵，∴.（2）由正弦定理得：∵，，又由（1）知：，∴∴，1BFC (),,n x y z = 1n FB n BC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ()()()(),,0,2,00,,1,20x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅-=⎪⎩2020yy z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩1x =0y =z =n ⎛=⎝cos ,DB n DB n DB n ⋅===⋅ π3A =(]3,6()1sin cos sin sin sin 2A C CB AC +==+sin cos cos sin A C A C =+1sin cos sin 2C A C =sin 0C ≠1cos 2A =0πA <<π3A =sin 2sin sin a B b B A ==sin 2sin sin a C c C A==2π3B C +=2π3C B =-2222222π4sin 4sin 4sin 4sin 3b c B C B B ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭2224sin 3cos cos sin B B B B B =+++232sin cos B B B=++π4cos 2242sin 26B B B ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭∵，∴，∴，∴，∴.π3A =2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(]223,6b c +∈。

高考二轮复习限时训练(四）一． 填空题(每小题5分共60分，请将答案直填入答题纸中的相应空档内)1。

设集合A=｛x | y=ln （1－x )｝，集合B={y | y=x 2｝，则A ∩B = 。

2.函数)3(log 5.0x y -=的定义域是___ _ ___.3.方程x x 28lg -=的根Z k k k x ∈+∈),1,(,则=k 。

4。

为了得到函数y =2sin(63π+x ),x ∈R 的图像,只需把函数y =2sin x ， x ∈R 的图像上所有的___.5. 在△ABC 中,已知120,3,5A b c ===,则sin sin B C +的值为 ．6.设数列{}n a 的首项127,5a a =-=，且满足22()n n a a n N ++=+∈，则13518a a a a ++++=_____。

7。

已知tan()3πα-=则 22sin cos 3cos 2sin αααα=- . 8.给出四个命题，则其中正确命题的序号为_____ _____。

①存在一个△ABC ，使得sin A +cos A =－1;②△ABC 中,A ＞B 的充要条件为sin A ＞sin B ;③直线x =8π是函数y =sin （2x +45π)图象的一条对称轴；④△ABC 中，若sin2A =sin2B ,则△ABC 一定是等腰三角形.9.已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是___ _____.10。

一蜘蛛沿正北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105︒，爬行10cm 捕捉到另一只小虫,这时它向右转135︒爬行回它的出发点，那么x =___ __.11.已知]4,1[,2log)(2∈+=x x x f ，则函数3)()]([)(22++=x f x f x F 的最大值为__ 12。

若数列}{n a 满足12 (01),1 (1).n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =,则2008a =_____ _____。

江苏省南京师范大学附属中学2024届高三上学期零模模拟数学试卷一、单选题1．已知集合2{|230}A x x x =--<，2{|log 2}B x x =<，则A B =I A ．(1,4)-B ．(1,3)-C ．(0,3)D ．(0,4)2．已知复数z 的共轭复数2i3iz +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()222,0,0x x x f x x a x ⎧-+>=⎨-+≤⎩的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 图象的一个对称中心是（ ）A ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭C ．5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()1,0F -的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．22165x y +=B ．22154x y +=C ．22132x y +=D ．22143x y +=6．如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高的比值为t ，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的正切值为（ ）AB C D 7．已知函数()()ln e f x x x =+，()(2131a g x x -=--，若直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =都相切，则实数a 的值为（ ）A ．54B ．1716C ．178D ．17e88．已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线y kx =与Γ交于A ，B 两点（点A 在第一象限），线段AF 的中点为P ，O 为坐标原点．若OA OF =，2OP OB =，则Γ的两条渐近线的斜率之积为（ ）A ．4--B ．3--C ．3-D ．4-+二、多选题9．教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数()()11,2,,i i z x x i n s=-=L ，其中i x 为原始分数，x 为原始分数的平均数，s 为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩115x =，标准差10.8s =，转化为标准分数后，记平均成绩为m ，标准差为σ，则( ) A ．115m =B ．0m =C ．10.8σ=D ．1σ=10．已知动点M 到点(2,1)N k k -M 的运动轨迹为Γ，则（ ）A ．直线12xy =-把Γ分成面积相等的两部分 B ．直线230x y -+=与Γ没有公共点 C ．对任意的k ∈R ，直线2xy =被Γ截得的弦长都相等 D ．存在k ∈R ，使得Γ与x 轴和y 轴均相切11．已知等比数列{}n a 满足10a >，公比1q >，且1220211aa a ⋅⋅⋅<，1220221a a a ⋅⋅⋅>，则（ ）A ．20221a >B ．当2021n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小C ．当1011n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小D ．存在1011n <，使得12n n n a a a ++=12．已知函数()e xf x x =，则（ ）A ．曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为y x =B ．曲线()y f x =的极小值为e -C ．当2213e 2ea ≤<时，()()1f x a x <-仅有一个整数解 D ．当223e 2e 2a ≤<时，()()1f x a x <-仅有一个整数解三、填空题13．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 1αα-=，则cos2=α．14．某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为．15．若对任意的[]1,4x ∈，都有234x x a x x ->-+，则实数a 的取值范围为.16．有一张面积为ABCD ，其中O 为AB 的中点，1O 为CD 的中点，将矩形ABCD 绕1OO 旋转得到圆柱1OO ，如图所示，若点M 为BC 的中点，直线AM 与底面圆O 所，EF 为圆柱的一条母线（与AD ，BC 不重合），则当三棱锥A EFM -的体积取最大值时，三棱锥A EFM -外接球的表面积为.四、解答题17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos ,3b c A a C a -==． (1)求角A ；(2)若点D 满足1233BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r，求BCD △面积的最大值．18．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足对任意的正整数n ，2312123(1)n nb b b b n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+恒成立，求证：4n b ≥. 19．随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量y （单位：辆）与全国居民人均可支配收入x （单位：万元）绘制的散点图.(1)由图可知，可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）(2)已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 参考数据：()510.06 1.34+≈，()610.06 1.42+≈，()710.06 1.50+≈.参考公式：回归方程$$y abx =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑$，a y bx =-$$.20．如图1，在平行四边形ABCD 中，,1,2AB AC AB BC ⊥==，将ACD V 沿AC 折起，使得点D 到点P 的位置，如图2，设经过直线PB 且与直线AC 平行的平面为α，平面αI 平面为PAC m =，平面αI 平面为ABC n =.(1)证明：//m n ；(2)若PB =A PB C --的正弦值.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且点2P ⎛ ⎝⎭在C 上. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设1F ，2F 为椭圆C 的左，右焦点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若1ABF Vl 的方程. 22．已知函数()sin cos f x x x x =-． (1)证明：当()0,x π∈时，()0f x >；(2)记函数()()g x f x x =-，判断()g x 在区间()2,2ππ-上零点的个数．。

2023-2024学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试数学2024.2本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部2四、解答题:本题共5小题,共15．（13分）已知函数()f x =(1)解关于x 的不等式：()f x <(2)若()()f a f b =（a b ≠），求的整数部分， a b(1)当点N为线段AD的中点时，求证：2023-2024学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试数 学 学 科 参 考 答 案第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 C D C C D D BB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.9 10 11 ACD ACD AD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 56 13. 7 14. 816.（1）由题可知，()821x +展开式中第1k +项为：()888188C 21C 2kk k k k kk T x x −−−+=×=， 则系数最大的项需满足()()818188*818188C 2C 2,C 2C 2k k k k k k k k k −−−−−+−+ ≥ ∈ ≥ N ，解得2k =或3k =， 所以系数最大为第3项或第4项，即3n =或4n =，所以最大项系数为282348C 21792a a -===．（2）因为421135790i i a a a a a a +==++++∑，32224680i i a a a a a +==+++∑，。

2024年江苏省南京师范大学附属中学中考二模数学试题一、单选题1．14-的相反数是（ ） A ．14- B ．14 C ．4- D ．422的值应在（ ）A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间 3．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意，可列方程组为（ ）A ．54573y x y x =+⎧⎨=+⎩B ．54573y x y x =-⎧⎨=+⎩C ．54573y x y x =+⎧⎨=-⎩D ．54573y x y x =-⎧⎨=-⎩4．如图，已知点()1,0A ，()4,B m ，若将线段AB 平移至CD ，其中点()2,1C -，(),D a n ，则a m n -+的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．45．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行10000000000次运算，它工作2024秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）A ．140.202410⨯B ．1220.2410⨯C ．132.02410⨯D ．142.02410⨯6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),A m n ，()4,2B m n +-是函数(0,0)ky k x x =>>图象上的两点，过点B 作x 轴的垂线与射线OA 交于点C ．若8BC =，则k 的值为（ ）A ．4B ．6C ．D ．8二、填空题7x 的取值范围是．8．不等式组23040x x -+≤⎧⎨->⎩的所有整数解的和为． 9．圆锥的底面半径为5cm ，母线长为15cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为°． 10．如图，平行四边形ABCD 中，6045B AB AD E F ∠=︒==，，，，分别是边CD AD ，上的动点，且CE DF =，则AE CF +的最小值为．11．小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若90A ∠=︒，65B ∠=︒，10cm AB =，则原直角三角形玻璃的面积为2cm ．（参考数据：sin650.91︒≈，cos650.42︒≈，tan 65 2.14︒≈）12．将抛物线22y x =向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为．13．不透明袋子中装有3个黑球、5个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是．14．如图，AB 是O e 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切O e 于点C ，若34D ∠=︒，则A ∠的度数为 ．15．如图，在苏通长江大桥的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD =（m ）．16．图1是利用边长为现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF 作为题字区域（点A E DB 、、、在圆上，点C F 、在AB 上），形成一幅装饰画，则圆的半径为．三、解答题17．计算：111tan 603-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭． 18．先化简2211a a a a a --⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，再从23a -<<的范围内选择一个合适的整数代入求值． 19．解方程和不等式组：(1)23122x x x x+-=--； (2)123312223x x x -≥⎧⎪+-⎨-<⎪⎩． 20．驾驶员理论考试中，常遇到4选2的多选题．如：驾驶机动车遇到如图这种情况时，正确的做法是“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”．现制作4张形状大小完全相同的卡片，其中每张卡片的正面分别写有“停车等待动物穿过”“鸣喇叭驱赶动物”“下车驱赶动物”“与动物保持较远距离”，洗匀后背面朝上．(1)随机抽取1张卡片，恰为“停车等待动物穿过”的概率是______；(2)一次性抽取2张卡片，卡片恰为“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）21．如图，已知矩形ABCD ．(1)用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF ，使点E F 、分别在AD BC 、边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．）(2)若84AD AB ==，，求菱形BEDF 的周长．22．如图，已知在ABC V 中，AB AC =，以A 为圆心，AB 的长为半径作圆，CE 是A e 的切线与BA 的延长线交于点E ．(1)请用无刻度的直尺和圆规过点A 作BC 的垂线交EC 的延长线于点D ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接BD ．①试判断直线BD 与A e 的位置关系，并说明理由；②若tan 34E =，A e 的半径为3，求BD 的长．23．3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A 种树苗的价格是树苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A 种树苗比在树苗基地购买的少2捆．(1)求树苗基地每捆A 种树苗的价格．(2)树苗基地每捆B 种树苗的价格是40元．学校决定在树苗基地购买A ，B 两种树苗共100捆，且A 种树苗的捆数不超过B 种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对A 、B 两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱．24．已知函数1k y x =(k 是常数，0k ≠)，函数2392y x =-+ (1)若函数1y 和函数2y 的图象交于点()2,6A ，点()4,2B n -．①求k ，n 的值；②当12y y >时，直接写出x 的取值范围；(2)若点()8,C m 在函数1y 的图象上，点C 先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D ，点D 恰好落在函数1y 的图象上，求m 的值．25．如图，直线AB 交双曲线k y x=于A 、B 两点，交x 轴于点C ，且B 恰为线段AC 的中点，连接OA ．若6OAC S =△．求k 的值．26．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A 旋转一个角度1(080)θθ︒<<︒，再将旋转后的多边形以点A 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作(,,)T A k θ顺；若逆时针旋转，记作(,,)T A k θ逆．例如：如图①，先将ABC V 绕点B 逆时针旋转50︒，得到11A BC V ，再将11A BC V 以点B 为位似中心缩小到原来的12，得到22A BC V ，这个变换记作1(,50,)2T B ︒逆．(1)如图②，ABC V 经过(,60,2)T C ︒顺得到A B C ''△，用尺规作出A B C ''△．（保留作图痕迹）(2)如图③，ABC V 经过1(,,)T B k α逆得到EBD △，ABC V 经过2(,,)T C k β顺得到FDC △，连接AE ，AF ．求证：四边形AFDE 是平行四边形．(3)如图④，在ABC V 中，150A ∠=︒，2AB =，1AC =．若ABC V 经过（2）中的变换得到的四边形AFDE 是正方形．Ⅰ．用尺规作出点D （保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；Ⅱ．直接写出AE 的长．27．抛物线21:C y x bx c =++交x 轴于A B 、两点（A 在B 的左边），已知A 坐标()2,0-，抛物线交y 轴于点()0,8C -．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，点F 在抛物线段BC 上，过点F 作x 轴垂线，分别交x 轴、线段BC 于D E 、两点，连接CF ，若BDE △与CEF △相似，求点F 的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点，直线2y x 与抛物线交于O G 、两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于M N 、两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上?若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．。

2020年江苏省南京市师范大学第二附属中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若线性回归方程为y=2﹣3.5x，则变量x增加一个单位，变量y平均（）A．减少3.5个单位B．增加2个单位C．增加3.5个单位D．减少2个单位参考答案：A【考点】BK：线性回归方程．【分析】直接利用回归直线方程推出结果即可．【解答】解：由线性回归方程；y=2﹣3.5x，由b=﹣3.5可知，当变量x每增加一个单位时，y平均减少3.5个单位．故选：A．【点评】本题考查回归直线方程的应用，考查计算能力．2. 已知是抛物线上的两个动点且，则中点到直线距离的最小值是（）A．8 B．9 C．10 D．7参考答案：B3. 命题“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．?x∈R，x3﹣x2+1≥0B．?x∈R，x3﹣x2+1＞0C．?x∈R，x3﹣x2+1≤O D．?x∈R，x3﹣x2+1＞0参考答案：B【考点】全称命题；命题的否定．【分析】将量词否定，结论否定，可得结论．【解答】解：将量词否定，结论否定，可得?x∈R，x3﹣x2+1＞0故选B．【点评】本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4. 命题甲：双曲线C的渐近线方程为y=±x；命题乙：双曲线C的方程为=1.那么甲是乙的 ( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.不充分不必要条件参考答案：C略5. 在ΔABC中, 角A、B、C的对边分别为、、, 已知A=, , ，则( )A．1 B．2 C．－1 D．参考答案：B略6. 观察按下列顺序排列的等式：，，，，，猜想第个等式应为A．B．C. D．参考答案：B7. 过抛物线 =4的焦点作直线交抛物线与于A（，）、B(，)两点，若＋＝6，则的值为（）（A）10 (B)8 (C)6 (D)4参考答案：B8. 设函数，则函数的零点的个数为( )A. 4B.7C. 6D.无穷多个参考答案：C略9. 若椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（）A． B． C． D．参考答案：B10. 在空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA上依次取点E，F，G，H，若EH、FG所在直线相交于点P，则( )A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC外 D．点P必在平面ABC内参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 中，，将三角形绕直角边旋转一周所成的几何体的全面积为.参考答案：3612. 在三棱锥A-BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为__________．参考答案：在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线即为球的直径，设长方体的三度分别为、、，则有，，，解得：，，，所以球的直径，球的半径，∴三棱锥的外接球的体积为．13. 设满足，则的最大值为___________。

南京师大附中高三数学二轮复习综合练习（四）参考公式：线性回归方程的系数公式为1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑.一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题纸的相应答题线上） 1．已知函数1sin(),(0)2x y A Aπ+=>的最小正周期为3π，则A = ▲ ． 2．在复平面内，复数2i1i+对应的点位于第 ▲ 象限 3．方程22xx -=的整数解的个数为 ▲ ．4．函数212log (34)y x x =-++的单调减区间是 ▲ ．5．给出一个算法： Read x If Then x 0≤()x x f 4← Else()x x f 2← If End()x f intPr根据以上算法，可求得()()12f f -+= ▲ ． 6．若,6sin)(x x f π=则=++++)2009()5()3()1(f f f f ▲ ．7．)1,2(),3,(-==b x a ，若a 与b 的夹角为钝角，则x 的范围是 ▲ ．8．已知当椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b 时，椭圆的面积是πab ．请针对椭圆2212516x y +=，求解下列问题：若m ，n 是实数，且|m |≤5，|n |≤4．求点P （m ，n ）落在椭圆内的概率 ▲ ．9．对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界，若,,1a b R a b +∈+=且，则122a b--的上确界为 ▲ ．10．一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体A CDEF -的体积为 ▲ ．11．已知圆4)3(22=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为P 、Q ，则|OP |·|OQ |的值为 ▲ ．12．已知函数()32133f x x x x =--，直线:920l x y c ++=。

一、选择题1．(0分)[ID ：13007]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．2．(0分)[ID ：12997]在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．143．(0分)[ID ：12992]从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2m nB ．2mnC ．4m nD ．16m n4．(0分)[ID ：12988]甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 5．(0分)[ID ：12984]某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．456．(0分)[ID ：12982]我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,157．(0分)[ID ：12979]统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④8．(0分)[ID ：12970]以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，89．(0分)[ID ：12965]微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A ．1.19B ．1.23C ．1.26D ．1.3110．(0分)[ID ：12955]远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．360311．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥12．(0分)[ID ：13015]某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元13．(0分)[ID ：13013]已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．1414．(0分)[ID ：13009]一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于11222422226C C C C +的是 ( )A．P(0<X≤2)B．P(X≤1)C．P(X=1)D．P(X=2)15．(0分)[ID：12972]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（）A．13B．14C．15D．16二、填空题16．(0分)[ID：13124]某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是______.17．(0分)[ID：13110]在区间[-3，5]上随机取一个实数x，则事件“11422x≤≤（）”发生的概率为____________．18．(0分)[ID：13108]从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________．19．(0分)[ID：13106]某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x=_____________.20．(0分)[ID：13097]执行如图所示的程序框图,如果输入3n=，则输出的S为________．21．(0分)[ID：13089]如图所示，正六边形ABCDEF中，线段AD与线段BE交于点G，圆O1，O2分别是△ABG与△DEG的内切圆，圆O3，O4分别是四边形BCDG与四边形AGEF的内切圆，则往六边形ABCDEF中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．22．(0分)[ID ：13065]已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x 的所有可能值为__________．23．(0分)[ID ：13060]已知x ，y 取值如表，画散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为35y x =-，则m 的值为__________．x 0 13 5 6y 1 2m 3m - 3.8 9.224．(0分)[ID ：13055]从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是______．25．(0分)[ID ：13104]在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13202](1)从区间[1，10]内任意选取一个实数x ，求26160x x --≤的概率；(2)从区间[1，12]内任意选取一个整数x ，求()ln 22x -<的概率.27．(0分)[ID ：13169]高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在[90,100]之间的概率．28．(0分)[ID ：13168]随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现．某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了100名用户，得到用户的满意度评分，现将评分分为5组，如下表：(1)求表格中的a ，b ，c 的值； (2)估计用户的满意度评分的平均数；(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？ 29．(0分)[ID ：13144]设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.30．(0分)[ID ：13136]一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率； (Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C7．B8．C9．C10．B11．A12．B13．B14．B15．C二、填空题16．7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法求得样本间隔进行抽取即可求解得到答案【详解】由题意从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生其样本间隔为因为在33～48这16个数中取的数是39所以从17．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的18．【解析】从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张基本事件总数n=5×5=25抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（21）（31）（32）（41）19．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题20．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题21．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相22．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x的值不同所得的结果不同所以要讨论x的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是23．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据24．【解析】两球颜色不同的概率是25．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.4．B解析：B 【解析】 【分析】计算18x =，27.2x =，210.4s =，22 2.16s =得到答案.【详解】17888985x ++++==，26677107.25x ++++==，故12x x >.()()()()()222222178888888980.45s -+-+-+-+-==；()()()()()222222267.267.277.277.2107.2 2.165s -+-+-+-+-==，故2212s s <.故选：B. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.5．C解析：C 【解析】 【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．6．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 7．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图9．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.10．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.11．A解析：A 【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++，所以判断框中应该填i>6?.考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程13．B解析：B 【解析】 【分析】推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =12S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率． 【详解】以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB PC +=PD ，∵20PB PC PA ++=，∴2PB PC PA +=-， ∴2PD PA =-，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点， ∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12． ∴S △PBC =12S △ABC ． ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为： P=PBC ABCS S=12． 故选B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．14．B解析：B 【解析】 【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得P （X=1）和P （X=0），即可判断等式表示的意义． 【详解】由题意可知112224222226261,0C C C P X P X C C ⋅====：（）（） ， ∴11222422225C C C C +表示选1个白球或者一个白球都没有取得即P （X≤1）， 故选B ． 【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数．15．C解析：C 【解析】 【分析】【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.二、填空题16．7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法求得样本间隔进行抽取即可求解得到答案【详解】由题意从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生其样本间隔为因为在33～48这16个数中取的数是39所以从 解析：7 【解析】 【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法，求得样本间隔，进行抽取，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生，其样本间隔为8001650=， 因为在33～48这16个数中取的数是39， 所以从33～48这16个数中取的数是第3个数， 所以第1组1～16中随机抽到的数是392167-⨯=． 【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的概念和抽取的方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．17．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的 解析：38【解析】 【分析】解不等式11422x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，可得出所求事件的区域长度，又可求出所有基本事件构成的区域长度，由几何概型可求出概率． 【详解】设事件A 表示11|422xx ⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由11422x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭得2111222x-⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21x-≤≤，即构成事件A的区域的长度为12=3+.又因为所有的基本事件构成的区域的长度为53=8+，所以事件A的概率3 ()8 P A=.故答案为38．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属基础题．18．【解析】从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张基本事件总数n=5×5=25抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（21）（31）（32）（41）解析：2 5【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=2 . 5故答案为2 5 .19．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题解析：8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数.【详解】由茎叶图得1617101920188.5xx+++++=∴=【点睛】本题考查茎叶图以及平均数，考查基本运算能力，属基础题.20．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题解析：37【解析】 【分析】根据框图可知，该程序实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和的功能，输入3n =时，求3S .【详解】根据框图可知，执行该程序，实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和，当3n =时，3111111111=++=1)133557233557S -+-+-⨯⨯⨯（ 1131)277-=（， 故填37. 【点睛】本题主要考查了程序框图，裂项相消法求和，属于中档题.21．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相【解析】 【分析】不妨设2AB =AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为1222AB ⨯=，由几何概型概率公式可得结果. 【详解】依题意，不妨设2AB =，AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，可得大圆半径为12AB =由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222P ππ⨯⨯+⨯⨯==. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.22．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同所以要讨论x 的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是解析：-11或3或17 【解析】分析：设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．详解：由题得这组数据的平均数为10252422577x x +++++++=，众数是2，若x ≤2，则中位数为2，此时x=﹣11，若2＜x ＜4，则中位数为x ，此时2x=2527x++，x=3， 若x ≥4，则中位数为4，2×4=2527x++，x=17， 所有可能值为﹣11，3，17. 故填 -11或3或17.点睛：本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．在求数列的中位数时，必须分类讨论,不能不分类讨论.23．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据【解析】由题意可得：0135635x ++++== ，回归方程过样本中心点，则：=3354y ⨯-= ，即：()123 3.89.245m m ++-++= ，解得：3m = .点睛：(1)正确理解计算,a b 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．24．【解析】两球颜色不同的概率是解析：35【解析】两球颜色不同的概率是252363105C ⨯== 25．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间， 则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间， 满足条件的P 点对应的线段长为2cm ， 而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15.三、解答题 26．(1)79；（2）712. 【解析】（1）求解不等式26160x x --≤可得x 的范围，由测度比为长度比求得26160x x --≤的概率；（2）求解对数不等式可得满足()ln 22x -<的x 的范围，得到整数个数，再由古典概型概率公式求得答案． 【详解】 解：（1）26160x x --≤，∴28x -，又[]1,10x ∈[]1,8x ∴∈故由几何概型可知，所求概率为8110971-=-． （2）()ln 22x -<，222x e ∴<<+，则在区间[]1,12内满足()ln 22x -<的整数为3,4,5,6,7,8,9共有7个， 故由古典概型可知，所求概率为712． 【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题．27．（1）0. 016；（2）3()5P A = 【解析】试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，可得到参加校生物竞赛的人数，再根据分数在[80,90)之间的频率求频数，根据矩形高等于对应频率除以组距得高（2）先根据枚举法列出所有基本事件，再计数至少有1人分数在[90,100]之间基本试卷数，最后根据古典概型概率公式求概率试题解析： (1)因为分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0. 008×10＝0. 08，所以高一(1)班参加校生物竞赛的人数为＝25．分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率为＝0. 16，所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为＝0. 016．(2)设“至少有1人分数在[90,100]之间”为事件A ，将[80,90)之间的4人编号为1、2、3、4，[90,100]之间的2人编号为5、6．在[80,100]之间任取2人的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．其中，至少有1人分数在[90,100]之间的基本事件有9个， 根据古典概型概率的计算公式，得P (A )＝＝．28．(1)37a =，0.1b =，0.32c =；(2) 5.88；(3) 13.【分析】（1）由频数分布表，即可求解表格中的,,a b c 的值； （2）由频数分布表，即可估计用户的满意度平分的平均数；（3）从这100名用户中随机抽取25人，由频数分布表能估计满意度平分低于6分的人数． 【详解】(1)由频数分布表得510320.050.37a b c===，解得37a =，0.1b =，0.32c =； (2)估计用户的满意度评分的平均数为：10.0530.150.3770.3290.16 5.88⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(3)从这100名用户中随机抽取25人，估计满足一度评分低于6分的人数为：()250.050.10.3713⨯++=人.【点睛】本题主要考查了频数分布表的应用，以及平均数、频数的求解，其中解答中熟记频数分布表的性质，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题．29．（1）见解析；（2）29(,]28. 【解析】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可.试题解析：(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，∴sin cos B A =， 即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈， 故2B A π=+，即2B A π-=；(Ⅱ)由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴0sin 2A <<，因此21992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是9]8． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.30．（1）34（2）716 【解析】【分析】【详解】 古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点 （1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果，可以列举出，而满足条件的事件数字之和大于7的，可以从列举出的结果中看出．（2）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，从前面列举出的结果中找出来．解：(Ⅰ)设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共4种，数字之和大于或等于7的是（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共3种， 所以P(A)=34. (Ⅱ)设B 表示事件“至少一次抽到2”，第一次抽1张，放回后再抽取1张的全部可能结果为：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个事件B 包含的结果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7个所以所求事件的概率为P(B)=716.。

江苏省南京师范大学第二附属高级中学2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数2(1)i i +的模为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．2．下列说法中正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C ．有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台D ．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥 3．已知单位向量,a b , 向量,a b 夹角为π3，则a b -是（ ）A B C ．1 D ．04．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是 A ．2cm;B ．43cm ;C ．4cm;D ．8cm5．圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的表面积为( )A ．)22πB ．9πC ．12πD ．10π6．已知5sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且α为锐角，则cos α=（ ）A ．B ．CD 7．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()()222cos cos a b c a B b A abc +-⋅+=，则角C = A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论：①AB 与CD 所在直线垂直； ②CD 与EF 所在直线平行； ③AB 与MN 所在直线成60°角； ④MN 与EF 所在直线异面. 其中正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．②④二、多选题9．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i-B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限10．在ABC 中，AB =1AC =，6B π=，则角A 的可能取值为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．2π 11．有下列说法其中正确的说法为 A ．若a b ，b c ，则a c ：B ．若230OA OB OC ++=，AOC S ∆，ABC S ∆分别表示AOC ∆，ABC ∆的面积，则:1:6AOC ABC S S ∆∆=；C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向；D ．若a b ，则存在唯一实数λ使得a b =λ12．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BDB ．11BC BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1BC 与BD 所成的角为90︒三、填空题13．某单位有,,A B C 三部门，其人数比例为3∶4∶5，现欲用分层抽样方法抽调n 名志愿者支援西部大开发 ．若在A 部门恰好选出了6名志愿者，那么n ＝________． 14．如图所示，ABD ∆为正三角形，22AD DC ==，则AD CB ⋅=__________．15．已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,απ∈，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．16．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家､地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为___________.四、解答题17．复数21(2z =是一元二次方程mx 2+nx+1=0(m 、n ∈R)的一个根．(1) 求m 和n 的值；(2) 若(i)m n u u z ++=(u ∈C)，求u ．18．已知α，β均为锐角，且tan 22α=，cos β= （1）求cos 2α的值； （2）求αβ+的值．19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PCD 是正三角形，E ，F 分别为PC ，PD 的中点，AP AD =.求证：（1）EF ∥平面PAB ； （2）AC PD ⊥.20．已知10a =，5b =，5a b ⋅=-，()1c xa x b =+-. （1）当b c ⊥时，求实数x 的值；（2）当c 取最小值时，求向量a 与c 的夹角的余弦值.21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，且112BC AD ==，BC DC ⊥，60BAD ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，E为AD 的中点，PAD ∆为等边三角形，M 是棱PC 上的一点，设PMk MC=（M 与C 不重合）.（1）若//PA 平面BME ，求k 的值； （2）当3k =时，求二面角M BE C --的大小.22．如图，已知在平面四边形ABCD 中，AB =1AD DC ==.（1）若120C ∠=︒，BD ，求平面四边形ABCD 的面积； （2）若1BC =.（i 1cos BAD BCD ∠∠=+；（ii ）若ABD △，BCD △面积依次为1S ，2S ，求2212S S +的最大值.参考答案1．D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：2(1)22i i i +=-+，∴复数2(1)i i +故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 2．D 【分析】根据棱柱的几何特征，有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，由此可判断A 、B 的真假；根据棱台的几何特征，可判断C 的真假.根据棱锥的几何特征：有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，可判断D 的真假. 【详解】因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A 、B 错误；而一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，所以C 错误；因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以D 正确. 故选：D. 3．C 【分析】利用公式2()a b a b -－＝，结合数量积运算，即可求出1a b -=. 【详解】因为,a b 为单位向量，所以有1a b ==，又向量,a b 夹角为π3，因为2222()22211cos13a b a b a a b b π-=-=-⋅+=-⨯⨯⨯=，所以1a b -=，故选C . 【点睛】本题主要考查了平面向量模的计算，涉及到数量积的运算，属于基础题．对于平面向量模的计算，主要有三种方法：（1）利用公式2=a a ，结合数量积运算进行求解；（2）如果已知(,)a x y =，则2=a x y +（3）利用a 的几何意义，结合平面几何知识进行求解.4．C 【分析】由题意利用等体积法求解铸成的铜块的棱长即可. 【详解】设铸成的铜块的棱长为xcm ， 由于棱柱的体积16464V Sh ==⨯=， 利用等体积法可得：364x =，解得：4x =， 即铸成的铜块的棱长是4cm . 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查棱柱的体积公式，正方体的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．C 【分析】由圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，可求得圆锥的母线长和底面圆半径，由此求得圆锥的表面积． 【详解】圆锥的轴截面是边长为4的正三角形， 则母线长为4l =，底面圆半径为2r =， ∴该圆锥的表面积为2222412S r rl πππππ=+=⋅+⋅⋅=,故选C ．【点睛】本题主要考查圆锥的性质以及圆锥的表面积计算问题，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及综合应用所学知识解答问题的能力，是基础题． 6．C 【分析】本题首先可根据α为锐角以及同角三角函数关系得出cos 32411πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后根据两角和的余弦公式即可得出结果. 【详解】因为α为锐角，所以cos 04⎛⎫-> ⎪⎝⎭πα，因为5sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos 32411πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1251313=故选：C. 7．C 【分析】根据余弦定理和正弦定理将条件转化为1cosC 2=，由此可得60C =︒． 【详解】由条件及余弦定理得:()2cos cos abcosC a B b A abc ⋅+= ∴()2cos cos cosC a B b A c ⋅+=，由正弦定理得2cosC （sinAcosB+sinBcosA ）=sinC ， ∴2cosCsin （A+B ）=2cosCsinC=sinC ， ∵sinC≠0， ∴cosC=12，又0180C ︒<<︒， ∴60C =︒． 故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是合理选择定理进行边角间的相互转化，属于基础题． 8．C 【分析】根据正方体平面展开图，画出原正方体，标出各顶点，找平行线判断异面直线所成角，逐一判断，即可求解. 【详解】画出原正方体如图所示，连接DN ，DM ，由图可知①②错误；,AB DN MN DN DM ==∥，所以DMN 为等边三角形，所以③AB 与MN 所在直线成60°角是正确的； 显然④MN 与EF 所在直线异面是正确的. 综上，③④正确. 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成角，考查数形结合思想，属于基础题. 9．AD 【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 ()()32232474725555i i i i iz i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数. 10．AD 【分析】由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，即2132BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6A B π==；当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2π. 故选：AD 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题. 11．BC 【分析】A 选项错误，例如0b =，推不出a c ∥，B 选项利用向量可确定O 点位置，可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16,故正确，C 选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =. 【详解】A 选项错误，例如0b =，推不出a c ∥，B 选项,设AC 的中点为M, BC 的中点为D, 因为230OA OB OC ++=，所以2220OM OD ⨯+=,即2OM OD =-,所以O 是MD 的三等分点，可知O 到AC 的距离等于D 到AC 距离的13,而B 到AC 的距离等于D 到AC 距离的2倍，故可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16，根据三角形面积公式可知正确，C 选项两边平方可得22||||a b a b -⋅= ，所以cos ,1a b <>=-，即夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =. 故选B C. 【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题. 12．AB 【分析】选项A ，通过证明11A B CD 为平行四边形得11//B C A D ，再由线面平行的判定证明直线1//BC 平面1A BD ；选项B 先证明1B C ⊥平面11ABC D ，再由1BD ⊂平面11ABC D 得11B C BD ⊥；选项C 将问题转化为求以1CC E 为底面，11B C 为高的三棱锥的体积；选项D 利用11//B C A D 将所求角转化为1A DB ∠或其补角，再在三角形1A DB 中推出160A DB ∠=︒即可. 【详解】选项A ：如图，连接1A D ，在正方体1111ABCD A BC D -，易得11A B 与CD 平行且相等， 所以四边形11A B CD 为平行四边形，有11//B C A D ，又1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，所以直线1//BC 平面1A BD ，故选项A 正确； 选项B ：如图，连接1BC ，1AD ，因为11BB C C 为正方形，所以11B C BC ⊥，因为正方体1111ABCD A BC D -，所以AB ⊥平面11BB C C 又1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AB B C ⊥. 又1ABBC B =，所以1B C ⊥平面11ABC D ，又1BD ⊂平面11ABC D ，所以11B C BD ⊥，故选项B 正确；选项C ：因为正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，所以11B C ⊥平面11CC D D，且111B C =，又1111122CC E S =⨯⨯=△，所以三棱锥11B CC E -的体积111111136B CC E CC E V S B C -=⨯⨯=△，即三棱锥11C B CE -的体积为16，故选项C 错误；选项D ：如图，连接1A D ，1A B ，BD ，由选项A 的解析可知，11//A D B C所以异面直线1BC 与BD 所成的角为1ADB ∠或其补角， 因为正方体1111ABCD A BC D -，易得三角形1A DB 为等边三角形， 所以160A DB ∠=︒，故选项D 错误； 故选：AB. 13．24 【详解】试题分析：36,24.345n n ==++考点：分层抽样 14．-4 【分析】建立平面直角坐标系，把数量积运算转化为坐标运算. 【详解】如图建立平面直角坐标系，易知：()()()(A 1,0D 1,0C 2,0B 0-，，，，∴()(2,0AD CB ==-，∴4AD CB ⋅=- 故答案为4- 【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.15【分析】 构造角22643πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开. 【详解】()50,,,444πππαπα⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 4πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭22cos 22cos 1443ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 22sin cos 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 6434343πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2132⎛=⨯+ ⎝⎭【点睛】本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.16．【分析】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径R =，再由已知条件和球的表面积公式可得答案． 【详解】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径R 满足：2222a R ⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则R .由题意知：12aR r --，则2a =，R = 该正方体的内切球的表面积为4π，又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即25168π=，所以π=所以内切球的表面积为故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的外接球和内切球问题，考查空间几何新定义，解决本题的关键点是利用正方体的外接球半径，内切球半径和正方体面对角线的一半组成勾股定理，得出正方体内切球半径，进而得出表面积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题． 17．（1）11m n =⎧⎨=⎩（2）1)i 2【详解】试题分析：（1）求出方程的两个根z=212⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=12-，12z =-，利用一元二次方程根与系数的关系求解；（2）设u=c+di(c,d ∈R)，代入方程利用复数相等的概念求出c,d 即可. 试题解析：(1)因为z=212⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=12-，所以12z =-， 由题意知：z 、z 是一元二次方程mx 2+nx+1=0(m 、n ∈R)的两个根，由11(22111(22n mm ⎧⎛⎫-=-+-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=--+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，解之得：11m n =⎧⎨=⎩，(2)设u=c+di(c,d ∈R)，则(1+i)(c –di)+(c+di)=12-，2c+d+ci=12-122c d c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12c d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以u=1i 2⎫⎪⎭． 18．（1）35；（2）4π．【分析】（1）首先利用二倍角公式求tan α，再利用三角恒等变换，求cos 2α的值；（2）求()tan αβ+的值，再根据角的范围求αβ+的值． 【详解】（1）由tan22α=，则22tan12tan 1tan 2ααα==-． 所以，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===++．（2）因为cos β=β为锐角，则sin β=1tan 3β=．所以，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-．又0αβ<+<π，所以4παβ+=．19．（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】(1)利用中位线和平行四边形可证//EF AB ,再由直线与平面平行的判定定理可证;(2)利用等腰三角形的性质和正三角形的性质可证AF PD ⊥,CF PD ⊥,再根据线面垂直的判定定理可证PD ⊥平面ACF ,利用线面垂直的性质可证PD AC ⊥. 【详解】（1）因为E ，F 为PC ，PD 中点，所以EF CD ∥， 又ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥. 所以EF AB ∥， 又AB平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，所以//EF 平面PAB .（2）连结AF ，CF ，因为AP AD =，F 为PD 的中点，所以，AF PD ⊥， 因为三角形PCD 为等边三角形，所以，CF PD ⊥， 又CF AF F ⋂=， 所以PD ⊥平面ACF ，AC ⊂平面ACF ，所以PD AC ⊥. 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定和性质,属于中档题.20．（1）12x =（2【分析】（1）根据b c ⊥得到()5510b c x x ⋅=-+-=，解得答案.（2）计算得到2222515c x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故2355c a b =+，计算夹角得到答案.【详解】（1）∵b c ⊥，∴()()()2115510b c b xa x b xb a x b x x ⎡⎤⋅=⋅+-=⋅+-=-+-=⎣⎦， 解得12x =. （2）()()()2222221211c xa x b x a x x a b x b ⎡⎤=+-=+-⋅+-=⎣⎦()()221010151x x x x --+-222252052515x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.当25x =时，2c 有最小值1，即c 有最小值1.此时2355c a b =+.()22323231051555555a c a a b a a b ⎛⎫⋅=⋅+=+⋅=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，设向量,a c 的夹角为θ，则1cos 10a c a c θ⋅===⨯【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量夹角计算，意在考查学生的计算能力. 21．（1）1；（2）30. 【分析】（1）连接AC ，交BE 于点F ，连接MF ，根据已知的平行和长度关系可证得F 为AC 中点；根据线面平行的性质可知//PA MF ，由此可得M 为PC 中点，从而求得结果；（2）作//MN PE ，//NO BC ，由垂直关系可知所求二面角的平面角为MON ∠，根据比例关系可求得tan MON ∠，进而得到所求二面角的大小.【详解】（1）E 为AD 中点 1AE DE ∴== //BC DE ∴ ∴四边形BCDE 为平行四边形 //BE CD ∴，则BE AD ⊥60BAD ∠= BE CD ∴==PAD ∆为等边三角形且2AD = PE ∴BE CD PE ==//BE CD ， 连接AC ，交BE 于点F ，连接MF//AE BC F ∴为AC 中点//PA 平面BME ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面BME MF =//PA MF ∴ M ∴为PC 中点 1k ∴=（2）E 为AD 的中点，PAD ∆为等边三角形 PE AD ⊥∴平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 底面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ∴PE ⊥底面ABCD连接CE ，作//MN PE 交CE 于点N ，则MN ⊥底面ABCD MN BE ∴⊥ 作//NO BC 交BE 于点O ，则NO BE ⊥，连接MO,MN NO ⊂平面MNO ，MN NO N = BE ∴⊥平面MNO MO BE ∴⊥∴MON ∠为二面角M BE C --的平面角，3PM MC = 14MN PE ∴==，3344ON BC ==tan MN MON ON ∴∠==30MON ∴∠=即二面角M BE C --的大小为30 【点睛】本题考查立体几何中利用线面平行性质求解参数值、二面角的求解问题，涉及到线面平行的性质定理、线面垂直的判定与性质定理的应用；求解二面角问题的关键是能够通过垂直关系得到二面角的平面角，进而利用三角形的知识来进行求解.22．（1（2）（i ）答案见解析；（ii ）78.【分析】(1) 设BC x =，BCD △中利用余弦定理解出x ，计算BCD S △，ABD △中，利用余弦定理计算cos A ∠，求得sin A ∠，再计算ABDS，最后求和即得结果；（2）（i ）分别在BCD △和ABD △中，利用余弦定理计算2BD ，构建等量关系，即证结果； （ii ）先计算BCD S △和ABDS ，根据（i ）结论得到2212S S +关于cos BCD ∠的二次函数，再结合范围求得最小值即可. 【详解】解：（1）设BC x =，BCD △中2222cos BD DC BC DC BC C =+-⋅∠，即213122x x ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭，解得1x =，即1BC =，111sin1202BCD S =⨯⨯⨯︒=△ABD △中，222cos2AD AB BD A AD AB +-∠==⋅即sin A ∠=112ABDS =⨯=.所以平面四边形ABCD 的面积为BCD ABD S S +==△△（2）ABD △中，2222cos 4BD AD AB AD AB BAD BAD ∠∠=+-⋅=-，BCD △中，2222cos s 2co 2BD DC BC DC BC BCD BCD ∠∠=-=+-⋅，所以422cos BAD BCD -∠=-∠1cos BAD BCD ∠∠=+；（ii ）112ABD S BAD ∠=⨯△，即()222133sin 1cos 44BAD B D S A ∠∠=-=.111sin 2BCD S BCD =⨯⨯⨯∠△，即()222211sin 1cos 44S BCD BCD =∠=-∠. 所以()()()222222123111cos 1cos 43cos cos 444S S B BAD BAD CD BCD ∠∠+=--∠=--∠+，(1cos BAD BCD ∠∠=+∈，即()223cos 1cos BAD BCD ∠∠=+，()cos 1BCD ∠∈-，所以()()22222121co 114cos 2cos 2cos 34s 4S S BCD BCD BC BCD D ∠⎡⎤+=--∠=+-∠-∠+⎣⎦()2221174cos 24411cos o 2c s 2BCD B B D D C C ∠∠⎛⎫+++ ⎪⎝⎡⎤⎡⎤=--∠=-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎭， 当1cos 2BCD ∠=-时，2212S S +取得最大值，为177428⨯=.。

2022-2023学年南京师范大学附属中学高三下学期开学测试一．选择题（共8小题）1. 设集合{}29A x Z x =∈<，集合()(){}2130B x x x x =++=，则A B ⋂=（ ）A.{-3,-1,0}B.{-1,0}C.{1,0}D.{3,1,0}2. 已知i 是虚数单位，11,,1,ai a b R z i b i z z +∈=++-=，则（ ） A. 21a b =-⎧⎨=⎩ B. 22a b =-⎧⎨=-⎩ C. 42a b =⎧⎨=-⎩ D. 42a b =-⎧⎨=⎩3. 已知向量,a b 的夹角的余弦值为()()()2,33,1,=3a b a b b a b b -⊥+=-则（ ） A.-4 B.-1 C.1 D.44. 已知抛物线C ：y 2=2px(p>0),M 为x 轴半轴上一点，O 为坐标原点，线段OM 的垂直平分线l 交抛物线于A,B 两点，若四边形OAMB 为菱形，且∠OAM =120°，则菱形OAMB 的周长为（ ）A5 B. 53 C.8 D. 1635. 我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何?这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行43，则绳索长为（ ） A. 37米 B. 45 C. 52 D. 163米6. 已知67,78,,p q r p q ===则p,q,r 的大小关系为（ ）A. r>p>qB. q>p>rC. p>r>qD. p>q>r7. 如图，已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 为矩形，SA ⊥AB ，SB=SC=2，SA=AD=1，则四棱锥S-ABCD 的外接球的表面积为（ ）A. 133πB. 4πC. 103πD. 3π 8. 已知函数()()212x f x e x ax a R =--∈有两个极值点，则实数a 的取值范围（ ）A. （-∞，1）B. （0,1）C. [0,1]D. （1，+∞）二．多选题（共4小题）9. 甲乙两人准备买一部手机，购买国产手机的概率分别为0.6,0.5，购买白色手机的概率分别为0.4,0.6，若甲乙两人购买哪款手机互相独立，则（ ）A.恰有一人购买国产手机的概率为0.5B. 两人都没购买白色手机的概率为0.52C.甲购买国产白色手机的概率为0.48D. 甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为0.46810. 已知经过点P （2,4）的圆C 的圆心坐标为（0，t ）(t 为整数)，且与直线l:30x y -=相切，直线m ：ax+y+2a=0与圆C 相交于AB 两点，下列说法正确的是（ ）A.圆C 的标准方程为x 2+(y-4)2=9B.若P A ⊥PB ，则实数a 的值为-2C.若|AB |=22则直线m 的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0D. 弦AB 的中点M 的轨迹方程为（x+1）2+(y-2)2=511. 如图，在五面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 与四边形ABEF 那等，且AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB=2,CD =1,则下列说法正确的是（ ）A. AD ⊥BEB. 若G 为棱CE 中点，则DF ⊥平面ABGC. 若AD=CD ，则平面ADE ⊥平面BDED. 若AE 3则平面安ADE ⊥平面BCE12. 已知函数f(x),g(x)是定义域为R 的奇函数，f(x+1)的图像关于直线x =1,对称，函数g(2x+1)的图像关于点（1,0）对称，则下列结论正确的是（ ）A.函数f(x)的一个周期为8B. 函数g(x)的图像关于点（3,0）对称C.若g(x)-3 g(x)-5 g(x)=6，则g (2023)=1D. 若f (88)+g (88)=6，则g (2)=6三．填空题（共4小题）13. 在()5611y x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 2y 2的系数为____________. 14. 已知函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<，将f(x)的图像向右平移8π个单位长度后的函数g(x)的图像，若g(x)为偶函数，则函数f(x)在[0, 2π]上的值域为___________. 15. 已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,a 1=m,2na n =2S n +n(n+1),若对任意n N *∈，等式2n n S k S =恒成立，则m=_______,k=_________16. 已知F 1,F 2分别为双曲线C ()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过点F 1且斜率存在的直线L 与双曲线C 的渐近线相交于AB 两点，且点AB 在x 轴的上方，AB 两个点到x 轴的距离之和为85c ，若22AF BF =,则双曲线的离心率________> 四．简答题题（共6小题）17. 在①（a+c ）sin2B=bsinA+csinB ②4cosAcosC+1=2sinAsinC(1+1tan tan A C )③2cos cos cos a b c C B C=+这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题，已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c 满足___________.（1）求角B 的大小（2）若asinB=12sinA 求△ABC 面积的最大值.18. 已知数列{n a }满足()23212333332n nn n n N a a a a *++++=+∈ （1）求数列{n a }的通项公式（2）设113n n n n a a b ++=，数列{n b }的前n 项和为T n ，若113m T =，求m 。

南京师大附中2023—2024学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷注意事项：1.本试卷共4页，包括单选题（第1题～第8题）、多选题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区域内.考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m ，n ，则点(),P m n 在直线26x y −=上的概率是（）A.13B.14C.112 D.118【答案】C 【解析】【分析】利用古典概型及直线方程计算即可.【详解】由题意可知抛掷两次骰子得出的点数有()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2，()()()()()()()()()()()()()()2,3,2,4,2,5,2,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,()()()()()()()()()()()()()()4,5,4,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6.5,6,6共36种结果，即点(),P m n 有36个.而满足在26x y −=上的有()()()4,2,5,4,6,63种，故其概率为313612=.故选：C2.设m 为实数，已知直线1l ：220mx y +−=，2l ：()5350x m y +−−=，若12//l l ，则m =（ ）A.5− B.2C.2或5− D.5或2−【答案】D 【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，求出m 的值，再代入检验即可.【详解】因为直线1l ：220mx y +−=与直线2l ：()5350x m y +−−=平行， 所以()325m m −=×，解得2m =−或5m =，当2m =−时直线1l ：10x y −+=与直线2l ：10x y −−=平行，符合题意； 当5m =时直线1l ：5220x y +−=与直线2l ：5250x y +−=平行，符合题意. 综上可得：2m =−或5m =. 故选：D3. 若双曲线22221x y a b −=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c，则b c =（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式及双曲线的性质计算即可.【详解】易知双曲线22221x y a b−=的一条渐近线为b y x a =，故(),0F c到其距离为d b ==，所以b c =. 故选：A4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()3,0A ，动点(),P x y 满足2PA PO=，则动点P 的轨迹与圆()()22111x y −+−=的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】C 【解析】【分析】利用已知条件列出方程，化简可得点P 的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解.【详解】由2PAPO=，得2PA PO =，()2214x y ++=， 表示圆心为(1,0)−，半径为2R =的圆，圆()()22111x y −+−=的圆心为(1,1)为圆心，半径1r =，，满足2121−<<+，所以两个圆相交. 故选：C.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若634S S =，则96S S =（ ） A.32B. 4C.94D.116【答案】C 【解析】【分析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式推导出12d a =，由此能求出96S S 的值 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， ∵等差数列{}n a 前n 项和为n S ，634S S =， ∴11656243232a d a d×+=×+，整理得12d a =， ∴1916119899369265615462a d S a d S a d a d ×++===×++．故选：C .6. 已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若12OA OB ⋅=−,则抛物线C 的方程为（ ） A. x 2＝8y B. x 2＝4y C. y 2＝8xD. y 2＝4x的【答案】C 【解析】 【分析】设抛物线方程为22,(0)y px p =>,直线方程为2px my =+再联立,利用韦达定理表示12OA OB ⋅=− 进而求得抛物线方程即可.【详解】由题意,设抛物线方程为22,(0)y px p =>,直线方程为2p x my =+,联立222y px p x my ==+消去x 得2220y pmy p −−=,显然方程有两个不等实根.设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,则y 1＋y 2＝2pm ,y 1y 2＝－p 2,得222221212121223444y y p OA OB x x y y y y p p p ⋅=+=+=−=− , 故23124p −=−得p ＝4（舍负）,即抛物线C 的方程为y 2＝8x . 故选：C【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线方程利用韦达定理求解平面向量数量积的问题,属于中等题型.7. 设m 为正实数，椭圆C ：22213x y m+=长轴的两个端点是1A ，2A ，若椭圆C 上存在点P 满足12012A PA ∠=°，则m 的取值范围是（ ） A. ][()0,19,∞∪+ B. (][)0,13,∪+∞C. ([)4,+∞D. ([)9,+∞【答案】B 【解析】【分析】当P 位于短轴的端点时，12A PA ∠取最大值，要使椭圆上存在点P 满足12012A PA ∠=°，则此时12120A PA ∠≥°，则160A PO ∠≥°，讨论焦点在x 轴和在y 轴上两种情况即可求解.【详解】因为m 为正实数，则若椭圆焦点在x 轴上，即203m <<，即0m <<则当P 位于短轴的端点时，12A PA ∠取最大值，要使椭圆上存在点P 满足12012A PA ∠=°，则此时12120A PA ∠≥°，则160A PO ∠≥°，则1tan tan 60A PO ∠≥ ，解得01m <≤；若椭圆焦点在y 轴上，即23m >，即m >时，则当P 位于短轴的端点时，12A PA ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足12012A PA ∠=°，则此时12120A PA ∠≥°，则160A PO ∠≥°，则1tan tan 60A PO ∠≥ ，解得3m ≥， 综上，m 的取值范围是(][)0,13,∪+∞ 故选：B.8. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ，满足5AB AC ==且()1,3B −，()4,2C −，若ABC 的“欧拉线”与圆M ：()2223x y r −+=（0r >）相切，则下列结论正确的是（ ）A. 圆M 上点到直线10x y −+=的最小距离为B. 圆M 上点到直线10x y −+=的最大距离为C. 点P 在圆M 上，当PBA ∠最小时，PB =D. 点P 在圆M 上，当PBA ∠最大时，PB =【答案】C 【解析】【分析】先根据定义确定ABC 的“欧拉线”方程，再根据直线与圆相切求出圆M ，由圆与直线的位置关系及平行线的距离一一判定选项即可.【详解】由题意可知BC =所以ABC 是以A 为顶点的等腰三角形，则其欧拉线为BC 的中垂线，易知32114BC k +==−−−，BC 的中点为31,22，故ABC 的“欧拉线”方程为：13122y x y x −=−⇒=−，可设(),1A a a −，由51AB AC a ==⇒=−或4a =， 即()1,2−−A 或()4,3A ，又圆M ：()2223x y r −+=，可知圆心()3,0M ，根据圆M 与欧拉线相切可得()3,0M 到1y x =−的距离为d r ==，即圆M ：()2232x y −+=，对于A 、B 选项，显然10x y −+=与1y x =−平行，两平行线的距离为d ，故圆M 上的点到10x y −+=的距离最大为2r d +，最小值为d =故A 、B 均错误；对于C 、D 选项，易知当点P 为直线PB 与圆M 的切点时PBA ∠取得最值，此时PB =，故D 错误，C 正确.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知一组样本数据2，4，4，5，7，8，则这组数据的（ ） A. 极差为6 B. 众数为4C. 方差为4D. 中位数为5【答案】ABC 【解析】【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义计算可得. 【详解】依题意这组数据的众数为4，极差为826−=，中位数为454.52+=，平均数为()124457856+++++=， 所以方差为()()()()()()222222125454555758546−+−+−+−+−+−=. 故选：ABC10. 下列化简正确的是（ ）A. 1sin75cos754°°=B.1cos 4040sin 802°+°=°C. 1sin10cos 20cos 408°°°= D. tan1052°=−【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、诱导公式、两角和的正切公式，结合特殊角的三角函数值依次判断即可. 【详解】对于A ，根据二倍角的正弦公式可得111sin75cos752sin75cos75sin150224°°=⋅°°=°=，A 正确；对于B ，1cos 4040sin 30cos 40cos30sin 40sin 70sin 802°+°=°°+°°=°≠°， 所以B 错误；对于C ，8cos10sin10cos 20cos 40sin 801sin10cos 20cos 408cos108sin 808°°°°°°°°===°°，所以C 正确；对于D ，()tan 60tan 45tan105tan 604521tan 60tan 45+°=+°===−−， 所以D 正确； 故选：ACD11. 若抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，其准线与x 轴交于点A .过点F 作直线l 与抛物线交于点,M N ，且MF FN λ=（1λ>），直线AM 与抛物线的另一交点为E （点E 在点M 的左边）.下列结论正确的是（ ） A. 直线lB. tan MAF ∠C. MAF NAF ∠=∠D. AE AN =【答案】CD 【解析】【分析】设直线l 的方程为2px my =+，()()1122,,,M x y N x y ，根据MF FN λ= （1λ>），可得12,y y 的关系，联立方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +，进而可求出12,y y ，从而可求出m ，即可判断A ；求出M 点的坐标即可判断B ；根据0AM AN k k +=是否成立即可判断C ；根据C 选项结合抛物线的对称性即可判断D. 【详解】,0,,022p p F A−， 设直线l 的方程为2px my =+，()()1122,,,M x y N x y ， 则1122,,,22p p MF x y FN x y=−−=−，因为MF FN λ=（1λ>），所以121222p p x x y y λλ −=− −= ，所以()121212p x x y y λλλ=+−=− ， 联立222p x my y px=+ = 得2220y pmy p −−=，则21212,2y y pm y y p +==−， 所以()12212y y y pm λ+=−=，所以2122,11pm pm y y λλλ==−−−， 所以2122211pm pm y y p λλλ=−⋅=−−−，解得1m =即直线l的斜率为，故A 错误； 由121pm y λλ=−−，得()()()()222222222112241212422211p m p y pm p x ppλλλλλλλλλ−⋅−=====−−，由1m =，得121p y λλ =−⋅=± −即,2p M λ ±，所以MA k ==，故B 错误；1212121222AM AN y y y y k k pp my p my p x x +=+=+++++()()()()()22121212122220my y p y y mp mp my p my p my p my p ++−+==++++， 所以AM AN k k =−，所以直线,AM AN 关于x 轴对称，所以MAF NAF ∠=∠，故C 正确；由题意可得,E N 都在M 的左侧，且直线,AM AN 关于x 轴对称， 根据抛物线的对称性可得AE AN =，故D 正确. 故选：CD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解12. 已知曲线C：12yx +是双曲线，下列说法正确的是（ ） A. 直线0x =是曲线C 的一条渐近线 B. 曲线CC. (为曲线C 的其中一个焦点D. 当t 为任意实数时，直线l ：yx t =+与曲线C 恒有两个交点【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据对勾函数的性质判断；B选项根据对勾函数的性质得到y x =是双曲线的另外一条渐近线，然后联立123y x yx ==+得到顶点坐标，即可得到实轴长；C选项，根据渐近线的特点得.到虚轴长，即可得到焦距，然后求焦点坐标即可；D 选项，根据渐近线的性质判断.【详解】根据对勾函数的性质可得0x =是双曲线的一条渐近线，故A 正确； 当x →+∞时，双曲线的方程趋近于y x =，所以y x =是双曲线的另外一条渐近线，倾斜角为30°，所以y =是双曲线的一条对称轴，联立123y x y x ==+得32x y = =或32x y==−，所以点32和32−，故B 错； 如图，设双曲线的一个焦点为F ，过双曲线的一个顶点A 作AB垂直y =交0x =于点B ， 30AOB ∠=°，OA =2，焦距为4，即2OF =，所以(F ，故C 正确；因为y x =，0x =为渐近线方程，所以yx t =+与双曲线有两个交点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：对勾函数(),0by ax a b x=+>的渐近线方程：0x =；y bx =. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 过直线4250x y ++=与3290x y −+=的交点，且垂直于直线210x y ++=的直线方程是______. 【答案】11202x y −+= 【解析】【分析】首先求出两直线的交点坐标，设所求直线方程为20x y n −+=，代入交点坐标求出n 的值，即可得解.【详解】由42503290x y x y ++= −+= ，解得232x y =− =，所以直线4250x y ++=与3290x y −+=的交点为32,2−， 设所求直线方程为20x y n −+=，则()32202n ×−−+=，解得112n =， 所以所求直线方程为11202x y −+=. 故答案为：11202x y −+= 14. 已知椭圆2212516x y +=的右焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方．若线段PF 的中点M 在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______________．【答案】−. 【解析】【分析】设椭圆得左焦点为F ′，连接,OM PF ′，根据线段PF 的中点M 在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，可得OMOF c ==，从而可求得,PF PF ′，在PFF ′ ，利用余弦定理求得PFF ′∠的余弦值，从而可得出答案.【详解】解：设椭圆得左焦点F ′，连接,OM PF ′，由椭圆2212516x y +=得，5,4,3a b c ===， 则()()3,0,3,0F F ′−，26FF c ′==，210PF PF a ′+==， 因为点M 在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上， 所以3OM OF c ===，因为,O M 分别为,FF PF ′得中点，所以26PF OF ′==，所以104PF PF ′=−=， 所以1636361cos 2463PFF+−′∠==××，则sin PFF ′∠ 为所以tan PFF =′∠，因为点P 在椭圆上且在x 轴上方，则直线PF 的倾斜角与PFF ′∠互补，所以直线PF 的斜率−.故答案为：−.15. 设ω是正实数，已知函数()sin cos f x x x ωω=−在区间()0,π上恰有两个零点，则ω的取值范围是______. 【答案】59,44【解析】【分析】先用辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的性质计算即可.【详解】由()πsin cos 4f x x x x ωωω=−−，由()πππ0,π,π444x x ωω∈⇒−∈−−， 因为函数()sin cos f x x x ωω=−在区间()0,π上恰有两个零点， 则π59ππ2π,444ωω <−≤⇒∈ 故答案为：59,4416. 双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线22:14x C y −=的左焦点为F ，过双曲线C 右支上任意一点作其切线l ，过点F 作直线l 的垂线，垂足为H ，则点H 的轨迹方程为______.【答案】224(x y +=其中x > 【解析】【分析】由双曲线的光学性质，得到AH 为12F AF ∠的平分线，延长FH 交2AF 于点E ，根据中位线的性质，得到222111()()222OH F E AE AF AF AF a ==−=−=，结合圆的定义和双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线22:14x C y −=，可得2a =，其右焦点为2F ，且渐近线方程为12y x =±，设双曲线C 右支上任意一点A ，过点F 作直线l 的垂线，垂足为H ， 则过点A 的切线为AH ，根据双曲线的光学性质，可得AH 为12F AF ∠的平分线，延长FH ，设FH 的延长线与2AF 的延长线交于点E ，如图所示， 则AH 垂直平分FE ，即点H 为FE 的中点，又因为O 的中点，所以222111()()2222OH F E AE AF AF AF a ==−=−==， 可得点H 2为半径的圆， 可得点H 的轨迹方程为224x y +=，联立方程组22124y x x y =± +=，可得x =， 因为A 在双曲线的右支上，且AH 为双曲线的切线，则12AH k ≥， 所以点H 的轨迹方程为224(x y +=其中x >. 故答案为：224(x y +=其中x >.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是23，12，34，面试合格的概率分别是12，23，13. （1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； （2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 【答案】（1）49. （2）23. 【解析】【分析】（1）设事件A 表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B 表示“乙考生获得决赛资格”，根据题意可判断两事件相互独立.先根据两轮选拔之间相互独立求出()P A 、()P B ；再根据互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率计算公式即可求出结果.（2）设事件C 表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A 、B 、C 相互独立.借助对立事件的概率计算公式可得结果. 【小问1详解】设事件A 表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B 表示“乙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A 、B 相互独立.因为两轮选拔之间相互独立 所以()211323P A =×=，()121233P B =×=. 则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为：()()()()()()()111141133339P P AB AB P AB P AB P A P B P A P B =+=+=+=×−+−×=所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率49. 【小问2详解】设事件C 表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A 、B 、C 相互独立. 则()314431P C =×=. 因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格” 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为()()()()11121111113343P P ABC P A P B P C   =−=−=−−−−=    所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率23. 18. 设等差数列{}n a 前n 项和为n S .已知262a a +=，918S =−. （1）求n a ；（2）当n 为何值时，n S 最小？并求此最小值.【答案】（1）133na n =− （2）8，4 【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由262a a +=，918S =−求解； （2）由()()()1233,71223312323,82nn n n S n n n n n −≤ =−= −≥ ，分7n ≤，8n ≥，利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，又262a a +=，918S =−， 所以11262,93618a d a d +=+=−， 解得110,3a d ==−，所以()11133n a a n d n =+−=−；的【小问2详解】由（1）得()()()1233,71223312323,82nn n n S n n n n n −≤ =−= −≥ ， 当7n ≤时，()2132352923322624n T n n n =−=−−+， 当13,N n n ≤≤∈时，n T 递增，当47,N n n ≤≤∈时，n T 递减，又1710,7T T ==， 所以n T 的最小值为7；当8n ≥时，()2132352932322624n T n n n =−=−−，n T 在[8,)+∞上递增，又84T =， 所以n T 的最小值为4， 综上：n S 的最小值为4.19. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足()sin sin sin sin b B C a A c C −=−. （1）求角A 的值；（2）若a =，且ABC的面积为ABC 的周长. 【答案】（1）π3（2）6+ 【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用余弦定理求A ；（2）根据三角形面积公式得到8bc =，根据余弦定理得到2220b c +=，然后求周长即可. 【小问1详解】由正弦定理得()22b bc a c −=−，整理得222b c a bc +−=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +−===， 因为()0,πA ∈，所以π3A =. 【小问2详解】因为ABC的面积为1sin 2bc A=，则8bc =， 由余弦定理得22112cos 22b c A bc+−==，则2220b c +=， 所以()222236b c b c bc +=++=，则6b c +=， 所以ABC的周长为6+.20. 已知抛物线C ：22y px =()0p >的焦点为F ，点()2,A a 在抛物线C 上，且3AF =. （1）求抛物线C 的方程，并写出焦点坐标；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若点()1,1B −满足90MBN ∠=°，求直线l 的方程.【答案】（1）24y x =，焦点为()1,0F（2）220x y −−=【解析】【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出p ，即可求出抛物线方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,M x y 、()22,N x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由0BM BN ⋅=得到方程，解得即可. 【小问1详解】抛物线C ：22y px =()0p >准线方程为2px =−， 因为点()2,A a 在抛物线C 上，且3AF =， 所以232pAF =+=，解得2p =， 所以抛物线方程为24y x =，焦点为()1,0F . 【小问2详解】由（1）可知抛物线的焦点()1,0F ，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x my =+，()11,M x y 、()22,N x y ， 的由214x my y x =+ =，消去x 整理得2440y my −−=，所以216160m ∆=+>，则124y y m +=，124y y =−， 所以()21212242x x m y y m +=++=+，()()()2121212121111x x my my m y y m y y =++=+++=，又()1,1B −，所以()111,1BM x y =+− 、()221,1BN x y =+− ， 因为90MBN ∠=°，所以()()()()211211110BM BN x x y y ⋅=+++−−=，即()()12121212110x x x x y y y y ++++−++=， 即214214410m m +++−−+=，解得12m =， 所以直线l 的方程为112x y =+，即220x y −−=.21. 已知椭圆C ：22154x y +=和圆O ：229x y +=，点P 是圆O 上的动点，过点P 作椭圆的切线1l ，2l 交圆O 于A ，B .（1）若点P 的坐标为()0,3，证明：直线12l l ⊥； （2）求线段AB 的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】【分析】（1）设切线方程为3ytx =+，联立方程，再根据Δ0=结合韦达定理证明121t t =−即可； （2）分过点P 的一条切线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，联立方程，再根据Δ0=结合韦达定理证明12l l ⊥即可得出答案. 【小问1详解】由题意切线的斜率存在，设切线方程为3ytx =+， 联立223154ytx x y =+ +=，消y 得(225430250t x tx +++=， 则()222900100544004000t t t ∆=−+=−=， 所以121t t =−，即121l l k k ⋅=−， 所以12l l ⊥； 【小问2详解】设(),P m n ，则229m n +=，椭圆C ：22154x y +=2，当过点P的一条切线斜率不存在时，不妨取这条切线方程为x =此时m =229n +=，解得2n =±，而直线2y =±与椭圆C 相切，所以当过点P 的一条切线斜率不存在时，12l l ⊥，当过点P的切线斜率存在时，则m ≠，设切线方程为()y nk x m −=−， 联立()22154y n k x m x y −=− += ，消y 得()()()22254105200k x k n km x n km ++−+−−=， 则()()()2222100205440k n km k n km ∆=−−+−−= ， 化简得()2225240m k mnk n −++−=， 所以()2221222249451555m n m k k m m m−−−−====−−−−， 所以12l l ⊥，综上所述，12l l ⊥，所以线段AB 为圆O 的直径， 所以6AB =.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知点()2,1A ，()2,1B −在双曲线C ：2212x y −=上，过点()0,3D −作直线l 交双曲线于点E ，F （不与点A ，B 重合）.证明：（1）记点(0,2P +，当直线l 平行于x 轴，且与双曲线的右支交点为E 时，P ，A ，E 三点共线； （2）直线AE 与直线BF 的交点在定圆上，并求出该圆的方程.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析；()2225x y +−=.【解析】【分析】（1）根据题意求出点E 坐标，求出直线AE 、AP 的斜率相等，得证.（2）根据题意可求出BGA ∠为定值，AB 也为定值，所以G 在过,A B 的圆上，根据条件确定圆心和半径即可.【小问1详解】由题意，当直线l 平行于x 轴时，l 方程为=3y −，且与双曲线的右支交点为E ，则()22313)2x E −−=⇒−， AE的斜率AE k == AP的斜率AP AE k k =， 所以P ，A ，E 三点共线.【小问2详解】由题知直线EF 斜率存在，且过()0,3D −，设:3EF y kx =−，()()1122,,,E x y F x y 与双曲线2212x y −=联立得： ()221212200k x kx −+−=，2120−≠k 且280160k ∆=−> 则1212222012,2121k x x x x k k =+=−−， 设直线AE 与直线BF 的交点为G ，斜率分别为12,k k ， 则()()()()()211212121221121212121114281622tan 111124412122y y k x x x k k x x BGA y y k k k x x k x x x x x −−−−+−+−+−∠===−−++−+++++⋅+−2122128481681224248412k k x k k k x k −−+−−==−+−+−，tan 2sin BGA BGA ∠=−⇒∠ 在BGA △中，sin BGA ∠，AB 4=， 由正弦定理得BGA △外接圆半径2sin AB R BGA ==∠，所以G 在过,A BH ， 因为()2,1A ，()2,1B −，H 在线段AB 的中垂线上， 所以H 在y 轴上，设(0,),1H t t >， 则由()()2222151132AB R t t t =+−⇒=+−⇒=或0=t 舍， 所以定圆方程为()2225x y +−=.。

高考二轮复习限时训练（二）一．填空题（每题5分，共60分）1. 已知复数121,2z i z i =-=+，那么12z z ⋅的值是 ．2. 集合{}22,A x x x R =-≤∈ {}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B = .3. 函数x y 2sin =向量a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则模最小的一个向量= .4. 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是 .5. 曲线在53123+-=x x y 在1=x 处的切线的方程为 .6. 已知实数x ，y 满足22,052y x y x +=++那么的最小值为 .7. 如图,是棱长为2的正四面体的左视图,则其主视图的面积为 .8. 设数列{}n a 的首项127,5a a =-=，且满足22()n n a a n N ++=+∈，则135a a a a ++++= . 9.已知tan()3πα-=则 22sin cos 3cos 2sin αααα=- . 10.阅读下列程序:Read S ←1 11. 设函数()()f x g x 、在R 上可导，且导函数''()()f x g x >，For I from 1 to 5 step 2 则当a x b <<时，下列不等式:(1)()()f x g x >(2)()()f x g x <S ←S+I (3)()()()()f x g b g x f b +<+ (4) ()()()()f x g a g x f a +>+Print S 正确的有 .End for End 输出的结果是 .12. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴的正半轴上,F 为焦点,,,A B C为抛物线上的三点,且满足0FA FB FC ++=,FA +FB +6FC =,则A BCC 1 A 1 B 1抛物线的方程为 .二．解答题（每题15分，共30分）13.直三棱柱111C B A ABC -中，11===BB BC AC ，31=AB ．（1）求证：平面⊥C AB 1平面CB B 1；（2）求三棱锥C AB A 11-的体积．14.已知二次函数),,(,)(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对任意实数x ，都有x x f ≥)(，且当∈x （1，3）时，有2)2(81)(+≤x x f 成立。

Read xIf x >0 Then1y x ←+Else1y x ←-End If Print y （第9题）江苏省南师附中2019届高三二轮复习试题（2）（数学）1．若复数()()2563i z m m m =-++-是纯虚数，则实数m = ．2. 已知集合{}22log (2)A y y x ==-，{}220B x x x =--≤，则A B = .3．已知数列{}n a 满足n n n a a a 2,111+==+，则a 4．为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：㎝） . 根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是 .5．若符号[x]表示不大于实数x 的最大整数，例[7]=7,[x 2-1]=3，则x 的取值范围是 .6.设m x 1}7,4,3,1{},9,8,5,2{22表示焦点在，方程=+∈∈nmxn y轴上的 椭圆，则满足以上条件的椭圆共有 个. 7. 设函数).0)(3cos()(πϕϕ<<+=x x f ，若)(')(x f x f +是 奇函数，则=ϕ .8. 已知向量,满足2||||,2||,1||=-== 则等于|||a += .9．右边是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序, 若x 依次 取数列1100n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()n N +∈中的前200项，则所得y 值中的最 小值为10．在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅的取值范围 是 .11．已知抛物线)0(22>=p px y 焦点F 恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为 .12．已知点(,)P x y 满足1023-504310x x y x y -⎧⎪+⎨⎪+-⎩≤≤≥，点(,)Qxy 在圆22(2)(2)1x y +++=上，则PQ的最大值与最小值为 .13．若函数式()f n 表示2*1()n n N +∈的各位上的数字之和，如2141197,19717+=++=，所以(14)17f =，记*1211()(),()[()],,()[()],k k f n f n f n f f n f n f f n k N +===∈，则 =)17(2009f14. ．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下： 第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2019棵树种植点的 坐标应为 ．二．解答题15. 已知向量)cos 2sin 7,cos sin 6(),cos ,(sin αααααα-+==b a，设函数b a f⋅=)(α.(Ⅰ)求函数)(αf 的最大值；(Ⅱ)在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()6f A =， 且ABC ∆的面积为3，2b c +=+,求a 的值.16. 如图，长方体1111ABCD A BC D -中，1AA AB = 1,2,A D E ==为BC 的中点 （1）求点A 到面1A DE 的距离；（2）设1A DE ∆的重心为G ，问是否存在实数λ，使得,AM AD λ=且1MG A ED ⊥平面同时成立？若存 在，求出λ的值；若不存在，说明理由。

江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期期中考试复习卷数学试题一、单选题（共8题，每题5分，共40分）1．已知x，y∈R，则“2214xy+≤”是“12xy+≤”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知()1i2+=z，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数0,0()sin,0lnxf x x xxx=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩的部分图像大致为（）A．B．C．D．4．甲乙两人进行扑克牌得分比赛，甲的三张扑克牌分别记为A，b，C，乙的三张扑克牌分别记为a，B，c.这六张扑克牌的大小顺序为A a B b C c>>>>>.比赛规则为：每张牌只能出一次，每局比赛双方各出一张牌，共比赛三局，在每局比赛中牌大者得1分，牌小者得0分.若每局比赛之前彼此都不知道对方所出之牌，则六张牌都出完时乙得2分的概率为（）A ．16B ．23C ．13D ． 125．在等差数列{}n a 中，若20200a =，则有等式12124039n na a a a a a -+++=+++（4039n <且n *∈N ）成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若20211b =，则有（ ）A ．12124041n n b b b b b b -⋅=⋅⋅⋅（4041n <且n *∈N ） B ．12124040n nb b b b b b -⋅=⋅⋅⋅⋅⋅（4040n <且n *∈N ）C ．12124041n nb b b b b b -+++=+++（4041n <且n *∈N ） D ．12124040n nb b b b b b -+++=+++（4040n <且n *∈N ）6．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AA ==3AD =，点E 为11A B 的中点，若三棱锥11C ECD -的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．22πB ．26πC ．24πD ．28π7．如图，斜线段AB 与平面α所成的角为π4，B 为斜足．平面α上的动点P 满足π6PAB ∠=，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分8．已知e 2.71828≈是自然对数的底数，设132,,ln 2e e a b c ===-，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<二、多选题（共4题，每题5分，共20分：漏选得2分，错选或不选得0分）9．由等边三角形组成的网格如图所示，多边形ABCDEFGHIJ是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中不正确的是（ ）A ．BJ ⊥平面ADJB ．平面//BCJ 平面EADC ．平面ECB ⊥平面EADD ．BE AJ ⊥10．已知双曲线22:163x y C -=的左、右两个焦点分别为12F F 、，直线(0)y kx k =≠与C交于AB 、两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是（ ） A ．四边形12AF BF 为平行四边形 B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为2kD ．90PAB ∠>︒11．已知函数()2sin sin 2f x x x =-，则下列结论正确的有（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在[],ππ-上有2个零点C ．函数()f x的图象关于(π对称D ．函数()f x的最小值为12．“悬链线”进入公众视野，源于达芬奇的画作《抱银貂的女人》.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达芬奇却心生好奇：“固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”随着后人研究的深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔在《昆虫记》里有这样的记载：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线．．．（注：垂直于地面的直线）上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状，这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条.”建立适当的平面直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式：()2ax axe ef x a -+=，其中a 为悬链线系数.当a =1时，()2x x e e f x -+=称为双曲余弦函数，记为ch 2x xe e x -+=.类似的双曲正弦函数sh 2x xe e x --=．直线=x t 与ch x 和sh x 的图像分别交于点A 、B ．下列结论正确的是（ ）A ．sh()sh ch ch sh x y x y x y +=⋅+⋅B ．ch()ch ch sh sh x y x y x y +=⋅-⋅C ．AB随t 的增大而减小D ．ch x 与sh x 的图像有完全相同的渐近线三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．两对夫妻准备周末出去旅游，有甲､乙､丙､丁四辆顺风车可以搭乘，其中甲､乙两车每辆最多可搭乘两人，丙､丁两车每辆最多可搭乘一人，不是夫妻的两个人不能搭乘同一辆车，若不考虑座位顺序，且这两对夫妻都要坐上车.则不同的搭乘方案共有___________种. 14．设复数z ，满足11z =，22z =，12i +=-z z ，则12z z -=____________．15．已知离心率为2的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，M 是1C 与2C 的公共点，若5MF =，则1C 的标准方程为______.16．设1,3a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，∈b R ，()3g x ax x =-，[]1,1x ∈-，则()g x 的值域是，函数()()f x g x b =-在[]1,1-的最大值是23，则22a b +的值是______四、解答题（共6题，共70分）17．（10分）在①6sin 5sin B A =，②4ab ＝，③60C ︒＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b 的值；若问题中的三角形不存在，请明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =3，9cos 3B a b =+，______？18．（12分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足12a =，24b =，22log n n a b =，*N n ∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 中不在数列{}n b 中的项按从小到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求100S ．19．（12分）2020年10月份南京市某开发区一企业顺利开工复产，该企业生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y (单位：g )与尺寸x (单位：mm )之间近似满足关系式by c x =⋅(b ､c 为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间,97e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数试求随机变量ξ的分布列和期望；（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：①根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；②已知优等品的收益z (单位：千元)与x ，y 的关系为20.32z y x =-，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？(精确到0.1) 附：对于样本(),(1,2,,)i i v u i n =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆnniii i i i nniii i v v u u v u nvubv v vnv ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa u bv =-， 2.7182e ≈.20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，3PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C 的大小．21．（12分）如图，已知椭圆22:15x C y +=的右焦点为F ，原点为O ，椭圆的动弦AB 过焦点F 且不垂直于坐标轴，弦AB 的中点为N ，椭圆C 在点,A B 处的两切线的交点为M .（1）求证：,,O M N 三点共线；（2）求||||||AB FM FN ⋅的最小值.22．（12分）已知函数()1e2ln46xf x x x-=-+-，e是自然对数的底数．（1）求曲线()y f x=在()()1,1f处的切线方程；（2）若()0,x∈+∞，证明：曲线()y f x=不落在()32y x=-图像的下方．——★ 参*考*答*案 ★——一、单选题二、多选题 三、填空题13. 50 1415.2213y x -=16.[1,1]a a -- 19四、解答题17. 解：由9cos 3B a b =+及余弦定理可得 222299962a c b a c abc +-=+.因为=3c ，于是22332270a b ab ++-=（*）.方案一：选条件①.由6sin 5sin B A =和正弦弦定理得56b a=，代入（*）解得=2a ，53b =. 因此，选条件①时，问题中的三角形存在，此时53b =.方案二：选条件②.由于4ab =得4a b =，代入（*）得42319480b b -+=.因为2219240∆=-<，所以b 不存在.因此，选条件②时，问题中的三角形不存在. 方案三：选条件③.因为3c =，60C =︒，由余弦定理可得229a b ab +=+.代入（*）得0ab =，因此，选条件③时，问题中的三角形不存在.18. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为24b =，所以2222log 4a b ==，所以212d a a =-=，所以()2122n a n n=+-⨯=．又22log n na b =，即222log nn b =，所以2log =n n b ，所以2nn b =．（2）由（1）112222n n n n b a --==⋅=，即nb 是数列{}n a 中的第12n -项．设数列{}n a 的前n 项和为n P ，数列{}n b 的前n 项和为n Q ，因为67642b a a ==，731282b a a ==，所以数列{}n c 的前100项是由数列{}n a 的前107项去掉数列{}n b 的前7项后构成的，所以1001077S P Q =-()8107221422212⨯+-=--11302=．19. 解：（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间,97e e ⎛⎫⎪⎝⎭内，即(0.302,0.388)y x ∈则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品. 现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数0,1,2,3ξ=0333361(0)20C C P C ξ===，1233369(1)20ξ===C C P C ， 2133369(2)20C C P C ξ===，3033361(3)20ξ===C C P Cξ的分布列为∴19913()0123202020202ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=E（2）对(,0)by c x b c =⋅>两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i iv x u y ==，得u b v a =⋅+，且ln a c =，①根据所给统计量及最小二乘估计公式有：1222175.324.618.360.271ˆ101.424.660.542ni i i nii v u nv ubvnv ==-⋅-⨯÷====-÷-∑∑1ˆˆ18.324.6612⎛⎫=-=-⨯÷= ⎪⎝⎭a u bv ，得ˆˆln 1==ac ，故ˆc e = 所求y 关于x 的回归方程为12y e x =⋅② 由① 可知，12ˆy e x =⋅，则ˆ20.32z x =由优等品质量与尺寸的比12ˆ,(7,9)97y ex e e x x ⎛⎫==⇒ ⎪⎝⎭，即(49,81)x ∈.令(7,9)t =，222ˆ()0.3220.320.320.32e e z t t et t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭当8.5(7,9)0.32et ==≈∈时，ˆz取最大值， 即优等品的尺寸()72.3x mm ≈，收益ˆz的预报值最大. 20. 解：（1）分别取AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、EF 、PF ． 因为PA PB =，E 为AB 的中点，所以PE AB ⊥． 又因为//AB CD ，所以CD PE ⊥．因为四边形ABCD 为正方形，则//AB CD 且AB CD =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，//AE DF ∴且AE DF =，2ADF π∠=，所以，四边形ADFE 为矩形，则EF CD ⊥，EFPE E =，所以CD ⊥平面PEF ．因为PF ⊂平面PEF ，所以CD PF ⊥． 在PCD 中，F 为CD 的中点，CD PF ⊥，所以PC PD =．又因为PA PB =，AD BC =，所以PAD PBC ≅，从而可得PAD PBC ∠=∠； （2）由（1）可知，CD ⊥平面PEF ，//AB CD ，AB ∴⊥平面PEF ，EF ⊂平面PEF ，EF AB ∴⊥，所以PEF ∠为二面角P AB C的平面角，且PE ==， 以点E 为坐标原点，EB 、EF 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设PEF α∠=，其中0απ<<， 则()1,0,0A -、()1,0,0B 、()1,2,0C 、()1,2,0D -、()0,2,0F 、()P αα，()AP αα=，()2,0,0DC =，()FP αα=-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由00n DC n FP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()2020x y z αα=⎧⎪⎨-+⋅=⎪⎩，取α=y，则1z α=，0x =，()0,2sin ,1n αα∴=，(cos ,n AP n AP n AP⋅<>===⋅=令(33t α-=∈-+，则cos α=则22cos ,3n AP <>==≤=， 当且仅当1t =时，即当cos 2α=时，即当4πα=时，等号成立.所以，当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，二面角P AB C 为4π．21. 解：（1）椭圆的右焦点为(2,0)F ，设AB 所在的直线的方程为(2)(0)y k x k =-≠，且()()1122,,,A x y B x y联立方程组22(2),1,5y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()()222251202050k x k x k +-+-=则21222051k x x k +=+，212220551k x x k -=+，点N 的坐标为222102,5151k k k k ⎫⎛-⎪ ++⎝⎭， ON ∴所在的直线的方程为15y x k =-，设在点()11,A x y 处的切线为：21()y y k x x -=-，与椭圆联立后由0∆=，可得115x k y =-，整理得：椭圆C 在,A B 处的切线方程为1115x x y y +=，2215x x y y +=，联立方程组11221515x xy y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得点M 的坐标为()2112122112215,y y x x x y x y x y x y ⎫-⎛-⎪ --⎝⎭，()()12122112212112211555OMONx x x y x y x x y y y y x y x y k k k -----==-=-=，故,,O M N 三点共线.（2）由（1）可知，)21221||51k AB x k +=-=+||2FM =-=2||251FN k =-=+)22221||||1||2||51k AB FM k FN k k +⋅⋅+==⨯+1||||k k ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当1||||k k =即||1k =时，等号成立.22. （1）解：由题意知，()12e 4x f x x -'=-+，故()13f '=，而()11f =-，故所求切线方程为()131y x +=-，即340x y --=．（2）证明：要证曲线()y f x =不落在()32y x =-图像的下方，即证()31e 2ln 462x x x x --+-≥-，即证()()31e 2ln 232x x x x x --+≥---．令()()()3232g x x x =---，0x >，()1e2ln x h x x x-=-+．()()()313g x x x '=--，令()0g x '<，得13x <<；令()0g x '>，得01x <<或3x >，所以当1x =时，()g x 取得极大值，且极大值为2．而()12e 1x h x x -'=-+，易知()12e 1x h x x -'=-+在()0,∞+上单调递增，且()10h '=．令()0h x '<，得01x <<，令()0h x '>，得1x >，故()()min 12h x h ==．故当03x <≤时，()()h x g x ≥．设()()()()31e2ln 246x m x h x g x x x x -=-=---+-，则()()212e 324x m x x x -'=---+．设()()p x m x '=，则()()122e 62x p x x x -'=+--．设()()q x p x '=，则()134e 6x q x x -'=--，易知()q x '在()3,+∞上单调递增，则()()243e 6027q x q ''>=-->，则()q x 在()3,+∞上单调递增， 从而()()223e 609p x p ''>=+->，则()m x '在()3,+∞上单调递增，则()()213e 03m x m ''>=+>，从而()m x 在()3,+∞上单调递增，所以当()3,x ∈+∞时，()()23e 52ln 30m x m >=+->，故当3x >时，()()h x g x >．综上所述，当()0,x ∈+∞时，曲线()y f x =不落在()32y x =-图像的下方．。