新东方高考辅导专题 圆锥曲线

第八章 《圆锥曲线》专题复习一、椭圆方程.1. 椭圆的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax =+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay =+.②一般方程：)0,0(122B A By Ax =+.③椭圆的参数方程：2222+b y a x ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则：证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则：⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 222b d a=；坐标：22(,),(,)b b c c a a -4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b .1020,PF a ex PF a ex=+=-1020,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-2．双曲线的方程：①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a b x a y b a b y a x =-=-. 一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.3．双曲线的性质：①i. 焦点在x 轴上： 顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程ca x 2±= 渐近线方程：0=±b ya x 或02222=-b y a x ii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：c a y 2±=. 渐近线方程：0=±b x a y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x . ②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a ce =. ④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a b 22. ⑤参数关系ace b a c =+=,222. ⑥焦半径公式：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半aey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'-='+'-='+=-=020102014． 等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . 5．共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222by a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by ax .6．共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(-得12822=-y x . 7．直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.注意：⑴过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.⑵若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑶若P 在双曲线12222=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的距离为m 与n ，则P 到两准线的距离比为m ︰n. 简证：ePF e PF d d 2121= =nm. ⑷：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程.设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注意：⑴x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.⑵)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.⑶通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.⑷px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pty ptx ）（t 为参数）. ⑸关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线 y 2=2px (p>0 )焦点的弦，A(x 1 ，y 1)、B (x 2 ,y 2 ) ,直线AB 的倾斜角为θ，则：① x 1x 2=24p ， y 1y 2=－p 2; ② |AB|=22sin p θ；③以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为900；⑤112||||FA FB P+=. 四、圆锥曲线的统一定义.1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹. 当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线； 当0=e 时，轨迹为圆（ace =，当b a c ==,0时）. 2. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.3. 当椭圆的焦点位置不明确，而无法确定其标准方程时，可设方程为22x y m n+ =1（m>0，n>0且m ≠n ），这样可以避免讨论和繁杂的运算，椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式 mx 2+ny 2=1（mn ≠0）来表示，所不同的是：若方程表示椭圆，则要求m>0，n>0且m ≠n ； 若方程表示双曲线，则要求mn<0，利用待定系数法求标准方程时，应注意此方法的合理使用，以避免讨论。

圆锥曲线考点精讲1．椭圆的定义平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．焦距的一半叫做半焦距。

2．椭圆的标准方程及简单几何性质3．椭圆离心率求解方法 (1)直接法求离心率直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)焦点三角形求离心率焦点三角形中焦距与另外两边长和的比为2c2a ，即离心率的值，同时我们也可以利用正弦定理把边的比转化为角度正弦值的比. (3)几何转化求离心率根据所给条件，挖掘几何图形中的线段长度关系，位置关系，图形角度关系等，求解出c 与a 的值或c 与a 的比值. (4)代数变形求离心率根据条件及几何图形，列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解． 4．椭圆焦点有关的结论(1) 椭圆焦点三角形周长：()2l a c =+. (2) 椭圆焦点三角形面积：2tan2P S b c y θ==（θ 为焦点三角形的张角∠F 1PF 2）.(3)若焦点三角形的内切圆半径为r ，则面积还可表示为：S =12rl （l 为焦点三角形周长）.(4) 椭圆中的两个最大张角①已知1F 、2F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，则当点P 为椭圆短轴的端点时，12F PF ∠最大．②已知A 、B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴上的两个顶点，Q 为椭圆上任意一点，则当点Q 为椭圆短轴的端点时，AQB ∠最大． 5．双曲线的定义平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．6．双曲线的标准方程及简单几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

第2讲 圆锥曲线的方程和性质高频考点高考预测椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程 重点考查椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；抛物线定义和性质的应用，常与三角、平面向量、圆相结合，以选择填空为主.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质直线和椭圆、抛物线、双曲线的位置关系1. (2023·全国新高考Ⅰ卷)设椭圆C 1：x2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，C 2：x24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝( A )A.233B ． 2C ． 3D ． 6【解析】 由椭圆C 2：x 24＋y 2＝1可得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝4－1＝3，∴椭圆C 2的离心率为e 2＝32，∵e 2＝3e 1，∴e 1＝12，∴c 1a 1＝12，∴a 21＝4c 21＝4(a 21－b 21)＝4(a 21－1)，∴a ＝233或a ＝－233(舍去)．故选A.2. (2023·全国新高考Ⅱ卷)已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左焦点和右焦点分别为F 1和F 2，直线y ＝x ＋m 与C 交于点A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的两倍，则m ＝( C )A.23 B ．23C ．－23D ．－23【解析】 记直线y ＝x ＋m 与x 轴交于M (－m,0)，椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由△F 1AB 面积是△F 2AB 的2倍，可得|F 1M |＝2|F 2M |，∴|－2－x M |＝2|2－x M |，解得x M ＝23或x M ＝32，∴－m ＝23或－m ＝32，∴m ＝－23或m ＝－32，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1y ＝x ＋m可得，4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∵直线y ＝x ＋m 与C 相交，所以Δ＞0，解得m 2＜4，∴m ＝－32不符合题意，故m ＝－23.故选C. 3. (多选)(2023·全国新高考Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( AC )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形【解析】 直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，可得p2＝1，所以p＝2，所以A 正确；抛物线方程为：y 2＝4x ，与C 交于M ，N 两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x 2－10x ＋3＝0，x M ＋x N ＝103，所以|MN |＝x M ＋x N ＋p ＝163，所以B 不正确；M ，N 的中点的横坐标为53，中点到抛物线的准线的距离为：1＋53＝83，所以以MN 为直径的圆与l 相切，所以C 正确；3x 2－10x ＋3＝0，不妨可得x M ＝3，x N ＝13，y M ＝－23，y N ＝233，|OM |＝9＋12＝21，|ON |＝19＋129＝133，|MN |＝163，所以△OMN 不是等腰三角形，所以D 不正确．故选AC.4. (2022·全国甲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→·BA 2→＝－1，则C 的方程为( B )A.x 218＋y 216＝1 B ．x 29＋y 28＝1C.x 23＋y 22＝1 D ．x 22＋y 2＝1【解析】 因为离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝13，解得b 2a 2＝89，b 2＝89a 2，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，则A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 为上顶点，所以B (0，b )．所以BA 1→＝(－a ，－b )，BA 2→＝(a ，－b )，因为BA 1→·BA 2→＝－1，所以－a 2＋b 2＝－1，将b 2＝89a 2代入，解得a 2＝9，b 2＝8，故椭圆的方程为x 29＋y 28＝1.故选B.5. (2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( B )A ．2B ．2 2C ．3D ．3 2【解析】 由题意得，F (1,0)，则|AF |＝|BF |＝2，即点A 到准线x ＝－1的距离为2，所以点A 的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，A (1,2)，所以|AB |＝3－12＋0－22＝2 2.故选B.6. (2022·全国甲卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( A )A.32B ．22C ．12D ．13【解析】 A (－a,0)，设P (x 1，y 1)，则Q (－x 1，y 1)，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a，故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21－x 21＋a 2＝14，又x 21a 2＋y 21b 2＝1，则y 21＝b 2a 2－x 21a2，所以b 2a 2－x 21a2－x 21＋a2＝14，即b 2a 2＝14，所以椭圆C 的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选A.7. (2022·全国甲卷)若双曲线y 2－x 2m2＝1(m >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0相切，则m ＝33. 【解析】 双曲线y 2－x 2m 2＝1(m >0)的渐近线为y ＝±xm，即x ±my ＝0，不妨取x ＋my ＝0，圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，所以圆心为(0,2)，半径r ＝1，依题意圆心(0,2)到渐近线x ＋my ＝0的距离d ＝|2m |1＋m2＝1，解得m ＝33或m ＝－33(舍去)． 8. (2021·全国新高考Ⅱ卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±3x .【解析】 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .故答案为y ＝±3x .9. (2022·全国新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE的周长是_13__.【解析】 ∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，∴不妨可设椭圆C ：x 24c 2＋y 23c2＝1，a ＝2c ，∵C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，∴△AF 1F 2为等边三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，∴k DE ＝tan 30°＝33，由等腰三角形的性质可得，|AD |＝|DF 2|，|AE |＝|EF 2|，设直线DE 的方程为y ＝33(x ＋c )，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将其与椭圆C 联立化简可得，13x 2＋8cx －32c 2＝0，由韦达定理可得，x 1＋x 2＝－8c 13，x 1x 2＝－32c213，|DE |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝13＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8c 132＋128c 213＝4813c ＝6，解得c ＝138，由椭圆的定义可得，△ADE 的周长等价于|DE |＋|DF 2|＋|EF 2|＝4a ＝8c ＝8×138＝13.10. (2023·全国新高考Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为 355.【解析】 方法一：如图，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，n )，设A (x ，y )，则F 2A →＝(x －c ，y )，F 2B →＝(－c ，n )，又F 2A →＝－23F 2B →，则⎩⎪⎨⎪⎧x －c ＝23c ，y ＝－23n ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53c ，－23n ，又F 1A →⊥F 1B →，且F 1A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83c ，－23n ，F 1B →＝(c ，n )，则F 1A →·F 1B →＝83c 2－23n 2＝0，化简得n 2＝4c 2.又点A在C 上，则259c 2a 2－49n 2b 2＝1，整理可得25c 29a 2－4n 29b 2＝1，代入n 2＝4c 2，可得25c 2a 2－16c 2b 2＝9，即25e2－16e 2e 2－1＝9，解得e 2＝95或15(舍去)，故e ＝355.方法二：由F 2A →＝－23F 2B →，得|F 2A →||F 2B →|＝23，设|F 2A →|＝2t ，|F 2B →|＝3t ，由对称性可得|F 1B →|＝3t ，则|AF 1→|＝2t ＋2a ，|AB →|＝5t ，设∠F 1AF 2＝θ，则sin θ＝3t 5t ＝35，所以cos θ＝45＝2t ＋2a 5t ，解得t ＝a ，所以|AF 1→|＝2t ＋2a ＝4a ，|AF 2→|＝2a ，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ＝16a 2＋4a 2－4c 216a 2＝45，即5c 2＝9a 2，则e ＝355.核心考点1 圆锥曲线的定义及标准方程核心知识· 精归纳1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：|MF 1|－|MF 2|＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)． 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px (p ＞0)；y 2＝－2px (p ＞0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)．多维题组· 明技法角度1：椭圆的定义及标准方程1. (2023·浙江二模)已知F 是椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左焦点，点M 在C 上，N 在⊙P ：x2＋(y －3)2＝2x 上，则|MF |－|MN |的最大值是( A )A ．2B ．10－1 C.13－1D ．13＋1【解析】 由⊙P ：x 2＋(y －3)2＝2x ，可得(x －1)2＋(y －3)2＝1，可得圆⊙P 的圆心坐标为P (1,3)，半径r ＝1，由椭圆C ：x 24＋y 23＝1，可得a ＝2，设椭圆的右焦点为F 1，根据椭圆的定义可得|MF |＝2a －|MF 1|，所以|MF |－|MN |＝2a －(|MF 1|＋|MN |)，又由|MN |min ＝|MP |－r ，如图所示，当点P ，M ，N ，F 1四点共线时，即为P ，N ′，M ′，F 1时，|MF 1|＋|MN |取得最小值，最小值为(|MF 1|＋|MN |)min ＝(|MF 1|＋|MP |－r )＝|PF 1|－r ＝3－1＝2，所以(|MF |－|MN |)max ＝2×2－2＝2.故选A.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 【解析】 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.角度2：双曲线的定义及标准方程3.设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( C )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2【解析】 由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝8 2.故选C.4. (多选)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( AB )A.x 24－y 22＝1 B ．y 24－x 28＝1C.x 24－y 28＝1 D ．y 24－x 22＝1【解析】 由题意，设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)，又2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，则m ＝2；当m <0时，－m ＝4，则m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.故选AB.角度3：抛物线的定义及标准方程5. (2023·新乡三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，C 上一点M (x 0，x 0)(x 0≠0)满足|MF |＝5，则p ＝( D )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】 依题意得x 20＝2px 0，因为x 0≠0，所以x 0＝2p .由|MF |＝x 0＋p2＝5，解得p ＝2.故选D.6.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_x 2＝4y __.【解析】 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2.因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .方法技巧· 精提炼1.求解圆锥曲线标准方程的方法(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2和p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．2.焦点三角形的面积公式(1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中两焦点F 1，F 2；点P 为椭圆上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2·tan θ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2tanθ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(3)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦(即焦点弦)，焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S △AOB ＝p 22sin α＝12|AB ||d |＝12|OF |·|y 1－y 2|.加固训练· 促提高1. (2023·未央区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M为C 上一点，若MF 1的中点为(0,1)，且△MF 1F 2的周长为8＋42，则C 的标准方程为( A )A.x 216＋y 28＝1 B ．x 28＋y 24＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 232＋y 216＝1 【解析】 ∵M 1F 的中点为B (0,1)，∴OB 是△MF 1F 2的中位线，则MF 2＝2OB ＝2，且△MF 1F 2为直角三角形，∵△MF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝8＋42，∴a ＋c ＝4＋22①，∵MF 2＝2，∴MF 1＝2a －2，∵(MF 1)2－(MF 2)2＝4c 2，∴(2a －2)2－4＝4c 2，即(a －1)2－1＝c 2②，由①②得，a ＝4，c ＝22，b 2＝16－8＝8，∴C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.故选A.2.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为_9__.【解析】 因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9.。

高三数学第二轮专题讲座复习：圆锥曲线综合题 高考要求 圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整重难点归纳解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值典型题例示范讲解例1已知圆k 过定点A (a ,0)(a ＞0),圆心k 在抛物线C y 2=2ax 上运动，MN 为圆k 在y 轴上截得的弦(1)试问MN 的长是否随圆心k 的运动而变化？(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，抛物线C 的准线与圆k 有怎样的位置关系？ 命题意图 本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力 知识依托 弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识 错解分析 在判断d 与R 的关系时，x 0的范围是学生容易忽略的 技巧与方法 对第(2)问，需将目标转化为判断d =x 0+2a 与R =a x +20的大小 解 (1)设圆心k (x 0,y 0),且y 02=2ax 0,圆k 的半径R =|AK |=2202020)(a x y a x +=+-∴|MN |=2202202022x a x x R -+=-=2a (定值)∴弦MN 的长不随圆心k 的运动而变化(2)设M (0,y 1)、N (0,y 2)在圆k (x －x 0)2+(y －y 0)2=x 02+a 2中，令x =0，得y 2－2y 0y +y 02－a 2=0，∴y 1y 2=y 02－a 2∵|OA |是|OM |与|ON |的等差中项 ∴|OM |+|ON |=|y 1|+|y 2|=2|OA |=2a又|MN |=|y 1－y 2|=2a ， ∴|y 1|+|y 2|=|y 1－y 2| ∴y 1y 2≤0，因此y 02－a 2≤0,即2ax 0－a 2≤0 ∴0≤x 0≤2a 圆心k 到抛物线准线距离d =x 0+2a ≤a ,而圆k 半径R =220a x +≥a 且上两式不能同时取等号，故圆k 必与准线相交 例2如图，已知椭圆122-+m y m x =1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A 、B 、C 、D ，设f (m )=||AB |－|CD ||D CB A oy x(1)求f (m )的解析式； (2)求f (m )的最值 命题意图 本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合知识依托 直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值错解分析 在第(1)问中，要注意验证当2≤m ≤5时，直线与椭圆恒有交点 技巧与方法 第(1)问中，若注意到x A ,x D 为一对相反数，则可迅速将||AB |－|CD ||化简 第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法 解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a 、b 、c ，则a 2=m ,b 2=m －1,c 2=a 2－b 2=1 ∴椭圆的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0) 故直线的方程为y =x +1,又椭圆的准线方程为x =±c a 2,即x =±m ∴A (－m ,－m +1),D (m ,m +1)考虑方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=11122m y m x x y , 消去y 得 (m －1)x 2+m (x +1)2=m (m －1)整理得 (2m －1)x 2+2mx +2m －m 2=0Δ=4m 2－4(2m －1)(2m －m 2)=8m (m －1)2∵2≤m ≤5,∴Δ＞0恒成立，x B +x C =122--m m 又∵A 、B 、C 、D 都在直线y =x +1上∴|AB |=|x B －x A |=2=(x B －x A )·2,|CD |=2(x D －x C ) ∴||AB |－|CD ||=2|x B －x A +x D －x C |=2|(x B +x C )－(x A +x D )|又∵x A =－m ,x D =m ,∴x A +x D =0∴||AB |－|CD ||=|x B +x C |·2=|mm 212--|·2=m m 222 (2≤m ≤5)故f (m )=m m 222，m ∈［2,5］ (2)由f (m )=m m 222，可知f (m )=m1222-又2－21≤2－m 1≤2－51，∴f (m )∈［324,9210］ 故f (m )的最大值为324，此时m =2;f (m )的最小值为9210，此时m =5 例3舰A 在舰B 的正东6千米处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号，A 发射麻醉炮弹 设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是3320g 千米/秒，其中g 为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少？命题意图 考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力 知识依托 线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程错解分析 答好本题，除要准确地把握好点P 的位置(既在线段BC 的垂直平分线上，又在以A 、B 为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚 技巧与方法 通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解 对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程300B A C Po y x解 取AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系 由题意可知，A 、B 、C 舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，23) 由于B 、C 同时发现动物信号，记动物所在位置为P ，则|PB |=|PC | 于是P 在线段BC 的中垂线上，易求得其方程为3x －3y +73=0 又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB |－|P A |=4，故知P 在双曲线5422y x -=1的右支上 直线与双曲线的交点为(8，53)，此即为动物P 的位置，利用两点间距离公式，可得|P A |=10 据已知两点的斜率公式，得k P A =3,所以直线P A 的倾斜角为60°,于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°设发射炮弹的仰角是θ，初速度v 0=3320g ，则θθcos 10sin 200⋅=⋅v g v ,∴sin2θ=231020=v g ,∴仰角θ=30° 例4若椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)与直线l x +y =1在第一象限内有两个不同的交点，求a 、b 所满足的条件，并画出点P (a ,b )的存在区域解 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+112222b y a x y x 消去y ,整理得 (a 2+b 2)x 2－2a 2x +a 2(1－b 2)=0①则椭圆与直线l 在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内有两相异实根，令f (x )=(a 2+b 2)x 2－2a 2x +a 2(1－b 2),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><<<<>+⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>><+<>-+-=>-=>-+-=∆010101 0100)1()1(0)1()0(0)1)((442222222222222222b a a b b a b a b a a b a a b f b a f b b a a a 同时满足上述四个条件的点P (a ,b )的存在区域为如图所示的阴影部分 学生巩固练习 1 已知A 、B 、C 三点在曲线y =x 上，其横坐标依次为1，m ,4(1＜m ＜4)，当△ABC 的面积最大时，m 等于( )A 3B 49 C25 D 23 2 设u ,v ∈R ，且|u |≤2,v ＞0,则(u －v )2+(v u 922--)2的最小值为( ) 11o y xA 4B 2C 8D 22 3 A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OP A =2π,则椭圆离心率的范围是_________4 一辆卡车高3米，宽1 6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a 米，则能使卡车通过的a 的最小整数值是____5 已知抛物线y =x 2－1上一定点B (－1，0)和两个动点P 、Q ，当P 在抛物线上运动时，BP ⊥PQ ，则Q 点的横坐标的取值范围是_________参考答案: 1 解析 由题意知A (1，1)，B (m ,m ),C (4,2) 直线AC 所在方程为x －3y +2=0,点B 到该直线的距离为d =10|23|+-m m|41)23(|21|23|2110|23|1021||212--=+-=+-⨯⨯=⋅=∆m m m m m d AB S ABC ∵m ∈(1,4),∴当23=m 时，S △ABC 有最大值，此时m =49答案 B 2 解析 考虑式子的几何意义，转化为求圆x 2+y 2=2上的点与双曲线xy =9上的点的距离的最小值 答案 C 3 解析 设椭圆方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0),以OA 为直径的圆 x 2－ax +y 2=0,两式联立消y 得222a b a -x 2－ax +b 2=0 即e 2x 2－ax +b 2=0,该方程有一解x 2,一解为a ,由韦达定理x 2=2e a －a ,0＜x 2＜a ，即0＜2e a －a ＜a 22⇒＜e ＜1 答案 22＜e ＜1 4 解析 由题意可设抛物线方程为x 2=－ay ,当x =2a 时，y =－4a ；当x =0 8时，y =－a 64.0 由题意知aa 64.04-≥3,即a 2－12a －2 56≥0 解得a 的最小整数为13 答案 13 5 解析 设P (t ,t 2－1)，Q (s ,s 2－1)∵BP ⊥PQ ,∴ts t s t t ----⋅+-)1()1(11222=－1, 即t 2+(s －1)t －s +1=0∵t ∈R ,∴必须有Δ=(s －1)2+4(s －1)≥0 即s 2+2s －3≥0,解得s ≤－3或s ≥1 答案 (－∞,－3]∪[1,+∞)。

圆锥曲线专题：调和点列-极点极线一、问题综述(一)概念明晰(系列概念)：1.调和点列：如图，在直线l上有两基点A,B，则在l上存在两点C,D到A,B两点的距离比值为定值，即AC BC =ADBD=λ，则称顺序点列A,C,B,D四点构成调和点列(易得调和关系2AB=1AC+1AD)。

同理，也可以C,D为基点，则顺序点列A,C,B,D四点仍构成调和点列。

所以称A,B和C,D称为调和共轭。

2.调和线束：如图，若A,C,B,D构成调和点列，O为直线AB外任意一点，则直线OA,OC,OB,OD称为调和线束。

若另一直线截调和线束，则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列。

3.阿波罗尼斯圆：如图，A,B为平面中两定点，则满足APBP=λ(λ≠1)的点P的轨迹为圆O，A,B互为反演点。

由调和点列定义可知，圆O与直线AB交点C,D满足A,C,B,D四点构成调和点列。

4.极点极线：如图，A,B互为阿圆O反演点，则过B作直线l垂直AB，则称A为l的极点，l为A的极线.2024高考数学专项复习5.极点极线推广(二次曲线的极点极线)：(1).二次曲线Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0极点P (x 0,y 0)对应的极线为Ax 0x +By 0y +Cx 0y +y 0x 2+D x 0+x2+E y 0+y 2+F =0x 2→x 0x ,y 2→y 0y ,xy →x 0y +y 0x 2,x →x 0+x2,y →y 0+y 2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1①极点P (x 0,y 0)在椭圆外，PA ,PB 为椭圆的切线，切点为A ,B 则极线为切点弦AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1；②极点P (x 0,y 0)在椭圆上，过点P 作椭圆的切线l ，则极线为切线l :x 0x a 2+y 0y b 2=1；③极点P (x 0,y 0)在椭圆内，过点P 作椭圆的弦AB ，分别过A ,B 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.(二)重要性质性质1：调和点列的几种表示形式如图，若A ,C ,B ,D 四点构成调和点列，则有AC BC =AD BD =λ⇔2AB =1AD +1AC⇔OC 2=OB ⋅OA ⇔AC ⋅AD =AB ⋅AO ⇔AB ⋅OD =AC ⋅BD性质2：调和点列与极点极线如图，过极点P作任意直线，与椭圆及极线交点M,D,N则点M,D,N,P成调和点列(可由阿圆推广)性质3：极点极线配极原则若点A的极线通过另一点D，则D的极线也通过A．一般称A、D互为共轭点．推广：如图，过极点P作两条任意直线，与椭圆分别交于点MN,HG，则MG,HN的交点必在极线上，反之也成立。

完整版)高三圆锥曲线知识点总结第八章《圆锥曲线》专题复一、椭圆方程1.椭圆的第一定义：设F1.F2是平面内两个定点，对于任意点P，有PF1 +PF2 = 2a (a。

0)，则称所有满足该性质的点P的轨迹为椭圆。

椭圆的方程为 PF1 + PF2 = 2a，无轨迹为 PF1 + PF2 = 2a，以F1,F2为端点的线段。

2.椭圆的方程形式：①椭圆的标准方程：i。

中心在原点，焦点在x轴上。

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a。

b)。

ii。

中心在原点，焦点在y轴上：x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1 (a。

b)。

②一般方程：Ax^2 + By^2 = 1 (A,B不同时为0)。

③椭圆的参数方程：x = a*cosθ，y = b*sinθ (θ ∈ [0,π])。

注意：椭圆参数方程的推导：设点N(acosθ,bsinθ)，则有PF1 + PF2 = 2a，即√[(acosθ - c)^2 + (bsinθ)^2] + √[(acosθ + c)^2 + (bsinθ)^2] = 2a，整理得到x = a*cosθ，y = b*sinθ。

3.椭圆的性质：①顶点：(±a,0)或(0,±b)。

②轴：对称轴为x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b。

③焦点：(±c,0)或(0,±c)，其中c = √(a^2 - b^2)。

④焦距：F1F2 = 2c，c = √(a^2 - b^2)。

⑤准线：x = ±a/e 或 y = ±b/e，其中e为离心率。

⑥离心率：e = c/a。

⑦焦半径：y = ±(b^2 - x^2)^(1/2) 或 x = ±(a^2 - y^2)^(1/2)。

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径，坐标为(±c,d/2)，其中d为通径长度。

4.共离心率的椭圆系的方程：椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 的离心率是e = c/a (c = √(a^2 -b^2))，方程 x^2/a^2 + y^2/b^2 = t (t。

高三圆锥曲线知识点总结辅导书一、概述圆锥曲线是高中数学课程中的重要内容之一，它是解析几何的重要组成部分。

在高三阶段，圆锥曲线的学习变得更加深入和细致，因为它在数学和物理等学科中都有广泛的应用。

本篇文章将对高三圆锥曲线的知识点进行总结和辅导，帮助学生更好地理解和掌握相关内容。

二、直线与圆锥曲线1. 直线方程与解析几何关系- 一般式方程和对称式方程- 直线与坐标轴的交点- 直线的距离公式和斜率公式- 直线的点斜式和两点式方程2. 圆锥曲线的基本定义- 椭圆、双曲线和抛物线的定义- 利用焦点与直线的距离关系定义椭圆和双曲线- 利用焦点与直线的距离关系定义抛物线三、椭圆的性质与方程1. 椭圆的定义与基本性质- 椭圆的离心率和焦点- 椭圆的长轴、短轴、中心与半轴长度- 利用焦点与直线的距离关系推导椭圆方程2. 椭圆方程与图像- 标准型方程和一般型方程- 利用方程求椭圆的参数及图像- 椭圆的离心率与长轴、短轴的关系3. 椭圆的推断- 利用定理推导椭圆性质- 椭圆的切线和法线- 椭圆的切点与切线的斜率四、双曲线的性质与方程1. 双曲线的定义与基本性质- 双曲线的离心率和焦点- 双曲线的渐近线和焦距- 利用焦点与直线的距离关系推导双曲线方程2. 双曲线方程与图像- 标准型方程和一般型方程- 利用方程求双曲线的参数及图像- 双曲线的渐近线方程与斜率3. 双曲线的推断- 利用定理推导双曲线性质- 双曲线的切线和法线- 双曲线的切点与切线的斜率五、抛物线的性质与方程1. 抛物线的定义与基本性质- 抛物线的焦点和准线- 抛物线的顶点和对称轴- 抛物线的焦距与方程参数的关系2. 抛物线方程与图像- 标准型方程和一般型方程- 利用方程求抛物线的参数及图像- 抛物线在坐标轴上的焦点和准线3. 抛物线的推断- 利用定理推导抛物线性质- 抛物线的切线和法线- 抛物线的拐点和拐弯的判定六、应用1. 圆锥曲线在物理中的应用- 抛物线的弹道轨迹- 双曲线的镜像和焦点成像- 椭圆的行星轨道和卫星轨道2. 圆锥曲线在工程中的应用- 凌晨路灯的设计与布置- 橄榄形球场的建设和标准七、总结与思考高三阶段的圆锥曲线学习是解析几何的重要内容，对于发展学生的空间想象力和解决问题的能力具有重要意义。

高三数学圆锥曲线详细知识点在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的学习内容。

它包括了椭圆、双曲线和抛物线三个部分。

这些曲线在数学和物理学中都有广泛的应用，因此掌握圆锥曲线的知识对于学生来说非常重要。

1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它由一个动点P和两个定点F1和F2确定。

椭圆的定义是动点P到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

这个常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆的形状由参数e = PF1 / 2a来确定，其中e称为离心率。

当e=0时，椭圆退化成一个圆。

椭圆有许多重要性质和公式，比如它的离心率范围是0<e<1，长轴和短轴的长度之间有关系a^2 = b^2(1 - e^2)。

此外，椭圆还有焦点、准线、主轴等概念，对于理解椭圆的性质和应用非常有帮助。

2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一种形式。

它由一个动点P和两个定点F1和F2确定，类似于椭圆。

但不同的是，双曲线的定义是动点P到两个定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|PF1 - PF2| = 2a。

与椭圆不同的是，双曲线的离心率e>1，因此它的形状更加扁平。

双曲线也有许多重要的性质和公式。

比如，它的离心率范围是e>1，焦点与曲线的准线之间的距离等于常数2a。

双曲线还有渐近线，指的是双曲线两个分支无限远处趋于平行的直线。

3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中的第三种形式。

它由一个定点F和一条直线l确定，定点F称为焦点，直线l称为准线。

抛物线的定义是动点P到焦点F的距离等于点P到直线l的距离，即PF = PD。

抛物线的形状是开口向上或向下的U形曲线。

抛物线也有许多特殊的性质和公式。

比如，抛物线的焦半径等于准线与焦点之间的垂直距离，焦半径的长度等于焦距的两倍。

抛物线还有焦平面和直径等概念，对于解决实际问题非常有帮助。

总结：在高三数学中，圆锥曲线是一个重要的学习内容。

它包括了椭圆、双曲线和抛物线三个部分。

高考二轮小专题 ：圆锥曲线题型归纳基础知识：1．直线与圆的方程；2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式；3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识： a 、b 、c 、e 、 p 、渐近线。

基本方法：1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、 p 等等；2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。

要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。

也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、 向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想：1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5．有些题思路易成，但难以实施。

这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题F Fx 2y 2a例. 【浙江理数】设 1 、 2 分别为双曲线 a 2+ b2 = 1, （ >0、b >0）的左、右焦点.若在双 曲线右支上存在，满足 PF 2 = F 1F 2 ，且F 2 到直线 PF 1 的距离等于双曲线的实轴长， 则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.B. C.D.【答案】C例. 【辽宁文数】设双曲线的一个焦点，虚轴的一个端点,如果直 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A. B.【答案】D10 x 2y 2(a b 0) 例．（14 分）已知椭圆a2+ = 1b2φ φ .过点（2，—1）且方向向量为ρ 1 1a = ( , - 2 2) 的直线 L 交椭圆与 A 、B 两点。

高考数学复习考点题型专题讲解题型:之圆锥曲线方程【高考题型一】：圆锥曲线方程。

『解题策略』：椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>表示焦点在x 轴的椭圆标准方程；22221(0)y x a b a b +=>>表 示焦点在y 轴的椭圆标准方程。

判断焦点所在轴解题方法：分母大的为焦点所在轴。

几何性质：①关于x 轴、y 轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形。

②222a b c =+，下图中对应的特征直角三角形．．．．．．．．．．．．．22OF B 。

应用：作图法找椭圆的焦点：以短轴的两个端点为圆心，以半长轴为半径作圆，与．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．长轴的两个交点为椭圆．．．．．．．．．．的焦点。

．．．．双曲线：22221(0,0)x y a b a b -=>>表示焦点在x 轴上双曲线的标准方程；22221(0,0)y x a b a b-=>>表示焦点在y 轴的双曲线标准方程。

判断焦点所在轴解题方法：系数为正的为焦点所在轴。

几何性质：①关于x 轴、y 轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形。

②222c a b =+，特征三角形：原点、虚轴端点、实轴端点构成的直角三角形； 抛物线：①焦点在x 轴上：22y px =±;②焦点在y 轴上：22x py =±(0)p >，p 表示焦点到准线的距离。

判断焦点所在轴解题方法：一次对应焦点所在轴。

③焦点坐标:,02p ⎛⎫± ⎪⎝⎭或0,2p ⎛⎫± ⎪⎝⎭。

④准线方程:2px =±或2p y =±。

【题型1】：确定圆锥曲线的形状。

1.(高考题)“0m n >>”是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】：椭圆方程可化为：11122=+ny m x ，如焦点在y 轴上，只需011>>m n ，即0>>n m ，所以是充要条件，选C 。