全国高中数学联赛模拟题(14)

历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。

为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。

请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。

解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。

墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。

因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。

用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。

因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。

当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。

当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。

所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。

因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。

2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。

求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。

高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( )A ．1292-+-x x B ．1292-+x xC ．1292+--x xD ． 1292+-x x2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ⋅ ④ xxy cos sin = 其中在)2,0(π上为单调增函数的是 ( )A ．①B ．②C ．①和③D ．②和④3.方程x xx x x x ππ)1(12122-+=-+-的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x 为实数)，则A 中所有元素的平方和等于 ( ) A ．0 B ．1C ．2D ．44.已知点P(x,y)满足)(4)sin 4()cos 4(22R y x ∈=-+-θθθ，则点P(x,y)所在区域的面积为 A ．36π B ．32π C ．20π D ．16π ( )5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．186.已知数列{n a }为等差数列，且S 5=28，S 10=36，则S 15等于 ( ) A ．80B ．40C ．24D ．-487.已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是 ( )A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-8.过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则minmaxS S 的值为 ( ) A ．23 B ．26 C ．332 D ．362 9.设7log ,1sin ,82.035.0===z y x ，则x 、y 、z 的大小关系为 ( )A ．x<y<zB ．y<z<xC ．z<x<yD ． z<y<x10.如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( )A ．181 B ．91 C ．61 D ．1813 二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）11.设P 是椭圆191622=+y x 上异于长轴端点的任意一点，F 1、F 2分别是其左、右焦点，O 为中心，则=+⋅221||||||OP PF PF ___________.12.已知△ABC 中，==,，试用、的向量运算式子表示△ABC 的面积，即S △ABC = ____________________.13.从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3534，则n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分） 15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即x x f x A ==)(|{}})]([|{x x f f x B ==.(1). 求证：A ⊆B(2).若),(1)(2R x R a ax x f ∈∈-=，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围.16.某制衣车间有A 、B 、C 、D 共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？17.设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有 nnn n a a 111+≥+18.在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时，cosC 有最小值为257. (1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||BN BM ⋅的最小值的集合.19.已知三棱锥O-ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，P 是底面△ABC 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α、β、γ. 求证：33arcsin32≤++<γβαπ参考答案一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题：11. 25 12.13. 4 14. 1 三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A ⊆B 显然成立；若A ≠φ，设t ∈A ，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t ∈B,从而 A ⊆B. 解 (2)：A 中元素是方程f(x)=x 即x ax =-12的实根.由 A ≠φ，知 a=0 或 ⎩⎨⎧≥+=∆≠0410a a 即 41-≥aB 中元素是方程 x ax a =--1)1(22 即 0122243=-+--a x x a x a 的实根 由A ⊆B ，知上方程左边含有一个因式12--x ax ，即方程可化为 0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax因此，要A=B ，即要方程 0122=+-+a ax x a ① 要么没有实根，要么实根是方程 012=--x ax ② 的根. 若①没有实根，则0)1(4222<--=∆a a a ，由此解得 43<a 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 a ax x a +=22，代入①有 2ax+1=0.由此解得 a x 21-=,再代入②得,012141=-+a a 由此解得 43=a . 故 a 的取值范围是 ]43,41[-16.解：A 、B 、C 、D 四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：76,117,129,108，且11712910876>>> ① 只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.由①知D 组做上衣效率最高，C 组做裤子效率最高，于是，设A 组做x 天上衣，其余(7-x)天做裤子；B 组做y 天上衣，其余(7-y)天做裤子;D 组做7天上衣，C 组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 769x y -=. 令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(769x -)=123+x 72 因为 0≤x ≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μmax =125.因此，安排A 、D 组都做7天上衣，C 组做7天裤子，B 组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(1111 =+=+-+k a aa a k k k k 于是 ∑∑=+-=++=nk k k nk k k a aa a n 11111由算术-几何平均值不等式，可得nn n a a a a a a 132211+⋅⋅⋅≥ +n n n a aa a a a 113120+-⋅⋅⋅ 注意到 110==a a ，可知nn n nn a a a 11111+++≥，即 nnn n a a 111+≥+18.解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.因为 1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0， 所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x BN BM只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||⋅的最小值的集合为空集.19.证明：由 题意可得 1sin sin sin 222=++γβα，且α、β、 )2,0(πγ∈所以 )cos()cos()2cos 2(cos 21sin sin 1sin 222γβγβγβγβα-+=+=--= 因为 )cos()cos(γβγβ+>-，所以 )](2[sin )(cos sin 222γβπγβα+-=+>当2πγβ≥+时，2πγβα>++.当2πγβ<+时，)(2γβπα+->，同样有 2πγβα>++故 2πγβα>++另一方面，不妨设 γβα≥≥，则 33sin ,33sin ≤≥γα 令 βγα2211sin )33(1sin ,33sin --==， 则 1sin sin sin12212=++γβα)cos()cos()cos()cos(sin 11112γαγαγαγαβ-+=-+=因为 γαγα-≤-11，所以 )cos()cos(11γαγα-≥- 所以 )cos()cos(11γαγα+≥+ 所以 11γαγα+≤+如果运用调整法，只要α、β、γ不全相等，总可通过调整，使111γβα++增大. 所以，当α=β=γ=33arcsin时，α+β+γ取最大值 333arcsin . 综上可知，33arcsin32≤++<γβαπ。

全国高中数学联赛模拟试题( 一)第一试一、选择题 ( 共 36 分 )1. 在复平面上，非零复数z1，z2在以 z=i 对应的点为圆心，1 为半径的圆上，z1 z2 的实π部为零， argz 1＝6，则 z2＝( )3 3 3 3 3 3 3 3A. －2＋2 iB. 2－2iC. －2＋2 iD. 2－2 i2. 已知函数 f(x) ＝ log a(ax 2－ x＋1 ) 在 [1 ，2] 上恒正，则实数 a 的取值范围是 ( )21 5 3 1 5 3 1A.( ， )B.( ，＋∞ )C.( ， ) ∪( ，＋∞ )D.( ，＋∞ )2 8 2 2 8 2 23. 已知双曲线过点M(－2， 4) 和 N(4，4) ，它的一个焦点为 F (1 ， 0) ，则另一个焦点 F1 2的轨迹方程是( )(x －1) 2 (y － 4) 2A.＋＝1(y≠0)或x＝1(y≠0)2516(x －1) 2(y － 4) 2B.＋＝1(x≠0)或x＝1(y≠0)16252 2(x －4)(y － 1)C.＋＝1(y≠0)或y＝1(x≠0)2516(x －4) 2(y － 1) 2D.＋＝1(x≠0)或y＝1(x≠0)16254.已知正实数a，b 满足a＋ b＝ 1，则M＝1＋ a2＋1＋ 2b的整数部分是( )A.1B.2C.3D.45.一条笔直的大街宽度为 40 米，一条人行横道穿过这条街，并与街道成一定的角度，人行横道长度为50 米，与大街边缘结合部的宽度为15 米，则人行横道的宽度为 ( )A.9 米B.10 米C.12 米D.15 米6. 一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n(n ＞ 1) 个车站，结果客运车票增加了58 种( 注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票) ，那么原有车站的个数为A.12B.13C.14D.15 ( )二、填空题 ( 共 54 分 )7. 长方形 ABCD的长 AB 是宽 BC的 2 3倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD与 BC重合，折痕线 EF， GH分别交原来长方形对角线AC于 M、 N，则折后截面 AMN与底面 AFH所成的角是 _____.8. 在△ ABC中，a，b，c 是角 A，B，C的对边，且满足 a2＋ b2＝ 2c2，则角 C 的最大值是_____.。

全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题（每题 6 分共 36 分）1. 由 0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5 的偶数有 [ ] 个A.360B.252C.720D.2402. 已知数列 { a n }(n ≥ 1) 满足 a n 2 = a n 1 - a n ，且 a 2 =1, 若数列的前2020 项之和为 2020，则前2020 项的和等于 [ ] A.2020B.2020C.2020D.20203. 有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是 60 0，又侧棱与底面所成的角都是450 ，则这个棱锥的体积是[ ]A.1B. 3C.3 D.3424. 若 ( 2x 4)2 naa x ax2a+则 a 2 a 4 a 2 n 被 3 除的余数2 2 n x 2n (n ∈ N ),0 1是 [ ] A.0 B.1C.2D.不能确定5. 已知 x, y(2, 2 ) ，且 xy 1 ，则24 的最小值是[ ]2422 xyA 、20B 、12C 、 16 4 2D 、 16 4 277776. 在边长为 12 的正三角形中有 n 个点，用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的2 个点，则 n 的最小值是 [ ]A.17B.16C.11D.10二、填空题（每题 9 分共 54 分）7. 在锐角三角形 ABC 中，设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x) 满足f(cos2C)=cos(B+C-A) ，则 f(x) 的解析是为100 8.[(10i 1)(10i 3)(10i 7)(10i 9)] 的末三位数是 _______i 19. 集合 A 中的元素均为正整数，具有性质：若a A ，则 12- aA ，这样的集合共有 个 .10. 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A 、 B 两点，且 |AB|= 86. 在抛物线上是否存在一点 C ，使△ ABC 为正三角形，若存在， C 点的11坐标是.11. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2， a nan 11(n N * ) ，设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则S 2007 2S 2006S 2005 的值为12. 函数f ( x) 3 1 x x，其中0. 函数 f ( x)在[ 0, ) 上是减函数；的取范是 _____________________. 三、解答题（每题20 分共 60 分）13. 已知点 A 5,0和曲 x2 y 21 2x2 5,y上的点P、P、P n。

2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、设集合{}2|560S x x x =--<，{}|2|3T x x =+≤，则S T ⋂=（ ） A 、{|51}x x -≤<- B 、{|55}x x -≤< C 、{|11}x x -<≤ D 、{|15}x x ≤< 2、正方体1111ABCD A B C D -中1BC 与截面11BB D D 所成的角是（ ） A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π3、已知2()23f x x x =-+，()1g x kx =-，则“||2k ≤”是“()()f x g x ≥在R 上恒成立”的（ ）A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4、设正三角形1∆的面积为1S ，作1∆的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为2∆，面积为2S ，如此下去作一系列的正三角形34,,∆∆，其面积相应为34,,S S ，设11S =,12n n T S S S =+++，则lim n n T →+∞=（ ）A 、65 B 、43 C 、32D 、2 5、设抛物线24y x =的焦点为F ，顶点为O ，M 是抛物线上的动点，则||||MO MF 的最大值为（ ）ABC 、43D6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）A 、rB 、r 2C 、r 312D 、r 315二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的 中点，AE 与BD 相交于F ，则FD DE ⋅的值是 ．8、261()x x x+-的展开式中的常数项是 ．（用具体数字作答）9、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2(1)4n n a S +=，则20S 的值为 ．10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．11、已知锐角,A B 满足tan()2tan A B A +=，则tan B 的最大值是 ． 12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde ，满足条件“a b c d e <><>”的概率是 ．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设函数()sin 1f x x x =++， （I ）求函数()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值；（II ）若实数c b a ,,使得1)()(=-+c x bf x af 对任意R x ∈恒成立，求acb cos 的值．14、已知,,a b c R +∈，满足()1abc a b c ++=，（I ）求()()S a c b c =++的最小值； （II ）当S 取最小值时，求c 的最大值．15、直线1y kx =+与双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线l 经过点(2,0)-和AB 的中点，求直线l 在y 轴的截距b 的取值范围．16、设函数2()(1)n n f x x x =-在1[,1]2上的最大值为n a （1,2,3,n =）．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）求证：对任何正整数(2)n n ≥，都有21(2)n a n ≤+成立； （III ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：对任意正整数n ，都有716n S <成立．2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、C2、A3、A4、B5、B6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、32-8、5- 9、0 10、14 1112、215三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13、解：（I ）由条件知()2sin()13f x x π=++， （5分）由02x π≤≤知，5336x πππ≤+≤，于是1sin()123x π≤+≤所以2x π=时，()f x 有最小值12122⨯+=；当6x π=时，()f x 有最大值2113⨯+=． （10分）（II ）由条件可知2sin()2sin()133a xb xc a b ππ+++-++=对任意的x R ∈恒成立， ∴2sin()2sin()cos 2cos()sin (1)0333a xb xc b x c a b πππ+++⋅-+⋅++-= ∴2(cos )sin()2sin cos()(1)033a b c x b c x a b ππ+⋅+-⋅+++-=∴ cos 0sin 010a b c b c a b +=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩, （15分）由sin 0b c =知0b =或sin 0c =。

2024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛 暨 2024 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间: 2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30, 满分 160 分)一、填空题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分. 请直接将答案写在题中的横线上) 1. 在 △ABC 中,已知 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,若动点 P 满足 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14[(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2]=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14×42=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4由 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,知 AB 2=CA 2+CB 2 ,于是 CA ⊥CB . 所以 CO =12AB =2 .又 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,所以 |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值为 CO +1=3 . 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32−4=5 . 2. 已知 z 1,z 2,z 3 为方程 z 3=−i 的三个不同的复数根,则 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1= . 【答案】 0【解答】设 z =x +yi (x,y ∈R ) 为方程 z 3=−i 的复数根, 则 z 3=(x +yi )3=x 3+3x 2(yi )+3x (yi )2+(yi )3=−i . 即 x 3+3x 2yi −3xy 2−y 3i =−i,x 3−3xy 2+(3x 2y −y 3)i =−i . 由 x,y ∈R ,得 {x 3−3xy 2=03x 2y −y 3=−1,解得 {x 1=0y 1=1 , {x 2=√32y 2=−12,{x 3=−√32y 3=−12.于是 z 1=i, z 2=√32−12i, z 3=−√32−12i . 所以 z 2+z 3=(√32−12i)+(−√32−12i)=−i ,z 2z 3=(√32−12i)(−√32−12i)=(−12i)2−(√32)2=−14−34=−1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1(z 2+z 3)+z 2z 3=i ×(−i )−1=0 .3. 设a=66⋯6⏟10个6,b=33⋯3⏟6个3,则a,b的最大公约数为 .【答案】 33【解答】用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.则(a,b)=(66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3)=(33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3)=3(11⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1) .设m=11⋯1⏟10个1, n=11⋯1⏟6个1,则由m=11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111 ,可知(m,n)=(1111,11⋯1⏟6个1) .同理可得, (m,n)=(1111,11⋯1⏟6↑1)=(11,1111)=(11,11)=11 .所以(a,b)=3(m,n)=33 .4. 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为 .【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有: C122C102C82C62C42C22A66=11×9×7×5×3×1种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有C42×C42×A44=36×24种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有2×1种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5. 如图,在棱长为 6 的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC 1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得截面多边形的周长为 . 【答案】 6√13+3√2【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E (6,3,0),F (3,6,0) . 设 G (0,6,t ) ,则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,0) , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,t ) . 设 m ⃗⃗ =(x,y,z ) 为平面 EFG 的一个法向量,则{m ⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3y +0=0m ⃗⃗ ⋅EG⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3y +tz =0 ,于是 m ⃗⃗ =(t,t,3) 为平面 EFG 的一个法向量.又 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为 3√1717, 所以 |cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=√2t 2+9⋅1=3√1717. 结合 t >0 ,解得 t =2 . 所以 G (0,6,2),CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 . 由 CG DD 1=26=39=MCMD 知, M,G,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形. 易知 EF =√32+32=3√2,FG =√32+22=√13,GD 1=√42+62=2√13 ,D 1P =√62+42=2√13, PE =√22+32=√13.所以截面五边形的周长为 6√13+3√2 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF,∠GHC 为二面角 G −EF −D 的平面角,于是 tan∠GHC =CGCH =3√22=2√23,因此 CG =2 。

2021年全国高中数学联赛试卷及答案（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2021项是A．2046B．2047 C．2048 D．2049 答（）2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab 的图形是A B C D答（）3．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A．B．C． D．答（）4．若，则的最大值是A．B．C． D．答（）5.已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数的最小值是A．B．C． D．答（）6.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于A． B．C．D．答（）得分评卷人二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式 x 3－2x2－4 x ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1 : PF2＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．9．已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．10．已知a，b，c，d均为正整数，且，若a－c＝9，则b－d ＝________．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n位纯小数｜ai只取0或1（i＝1，2，…，n－1，an＝1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则＝_______．得分评卷人三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设≤x≤5，证明不等式．14．设A，B，C分别是复数Z0＝ai，Z1＝＋bi，Z2＝1＋ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2t sin2t＋Z2sin4t （t∈R）与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2021年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人一．（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．得分评卷人二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l ＞m＞n，已知，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．得分评卷人三．（本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n＝q2＋q＋1，t≥，q≥2，q∈N，已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）．2021年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。

2014年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 .2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα .5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin .8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）9. （16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.11.（20分）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得+++=32152a a a r r r .解 答1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a . （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.3 提示 ：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα.5. 41-提示：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.7.4提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B n由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α⋅=⋅，即2cos cos αα=⇒=. 所以 410sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设BA 1与1AB 交于点,O则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知OEPC 1B 1A 1CBA100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.9. 解法一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ， 即21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=. 线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.由（1）知直线AB 的方程为)2(30-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222002=-+-y y y y . （3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=.定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==.220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=.当且仅当20202249y y -=+，即0y =,A B 或A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为7314. 解法二：同解法一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t6572+-=t ,A B 或66((33A B-时等号成立.所以，ABC∆面积的最大值是7314.11.令252)(3-+=xxxf，则056)(2>+='xxf，所以)(xf是严格递增的.又43)21(,02)0(>=<-=ff，故)(xf有唯一实数根1(0,)2r∈.所以32520r r+-=，3152rr-=4710r r r r=++++.故数列),2,1(23=-=nnan是满足题设要求的数列.若存在两个不同的正整数数列<<<<naaa21和<<<<nbbb21满足52321321=+++=+++bbbaaa rrrrrr，去掉上面等式两边相同的项，有+++=+++321321tttsss rrrrrr，这里<<<<<<321321,tttsss，所有的is与jt都是不同的.不妨设11ts<，则++=++<21211ttsss rrrrr，112111111121211=--<--=++≤++<--rrrrr stst，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.加试1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．2. （40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥． 3. （50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a 满足1,1,2,,k a k n ≤=，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==．求证：1112n nk k k k n a A ==--<∑∑． 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解 答1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ． 因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO r KO r=-+-，同理()()22222QK QO rKOr =-+-，所以 2222PO PK QO QK -=-， 故OK ⊥PQ ． 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得M1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MC BD CD =， 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得2PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法． 当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数． 假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式FE QPONM K DCBA1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+， 这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++． 于是()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122k k k =+++ 11211212(1)2()222v v v v v v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++ 12k '=+， ① 这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++. 显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明．3. 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0k n i i i i k ak a n k ==+<≤<≤-∑∑．注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭∑∑ 11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ 11111max ,nk i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑ 111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ 1k n=-， 故 111n n nkk n k k k k a A nA A ===-=-∑∑∑()1111n n n k n k k k AA A A --===-≤-∑∑ 111n k k n -=⎛⎫<- ⎪⎝⎭∑12n -=． 4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2i n C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22j n i C -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2i n C 22j n i C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑． ① 这里我们约定001C =．当n 为奇数时，20n i ->，此时22221202n i j n i n i j C -⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑． ②代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ 0022(1)(21)(21)n nkn k k n k k n n nn k k C C --===+-=++-∑∑ 31n =+．当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2n i =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫ ⎪⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭∑ ()2221024233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n +种；当n 为偶数时有33n +种．。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试试题(A )一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.若实数m >1满足98m log log =2024，则32m log log 的值为.2.设无穷等比数列{a n }的公比q 满足0<q <1.若{a n }的各项和等于{a n }各项的平方和，则a 2的取值范围是.3.设实数a ，b 满足：集合A ={x ∈R |x 2-10x +a ≤0}与B ={x ∈R |bx ≤b 3}的交集为4,9 ，则a +b 的值为.4.在三棱锥P -ABC 中，若PA ⏊底面ABC ，且棱AB ，BP ，BC ，CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a ,b ．若事件a +b =7发生的概率为17，则事件“a =b ”发生的概率为.6.设f (x )是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数g (x )=f (2x )在区间0,5 上的零点个数为25，则g (x )在区间［1,4）上的零点个数为.7.设F 1,F 2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P （异于长轴端点），记O 为△PF 1F 2的外心，若PO ∙F 1F 2 =2PF 1 ∙PF 2 ，则Ω的离心率的最小值为.8.若三个正整数a ,b ,c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a ,b ,c )为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10<a <b <c 的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ΔABC 中，已知cos C =sinA +cosA 2=B sin +cosB 2,求cos C 的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x 2-y 2=1的右顶点为A .将圆心在y 轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z ，w 满足z +w =2，求S =z 2-2w +w 2-2z 的最小可能值.·1·。

全国高中数学联赛模拟题（14） 第一试 一、填空题1.如图1，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 是以A 为圆心、AB 为半径的圆劣弧BD 上任意一点，设PC DE AP λμ=+,则λμ+的最大值为__________.2.甲乙两人进行五局三胜制的比赛（先胜三局的一方获胜）.在每局比赛中，甲获胜的概率为23，则比赛结束后，乙胜甲局数的期望为___________3.已知四边形ABCD 为O 的内接正方形，2AB =,EF 为O 的一条动直径，M 为正方形ABCD 边界上的点，且120EMF ∠=︒.则EMF △周长的最大值为____________.4.已知函数()2g x x a x x =-+.若存在[]2,4a ∈-，使得函数()y g x at =-有三个零点，则实数t 的取值范围是__________.5. 已知复数a 、b 、c 满足0a b c ++=，1a b c ===.对任意模长不超过1的复数z ，记()f z z a z b z c =-+-+-.则()f z 的值域为_______.6.在空间坐标系中，设正四面体ABCD 的顶点在x 轴上的坐标分别为1、2、3、5.则该正四面体的棱长为__________.7.已知数列{}n a 满足11a =，)2n a n =≥.则满足46n a >的最小正整数n 为___________. 8.一次圆桌会议，八个座位互不相同，8名与会者先后入座，且入座时均想坐在邻座无人的座位（首选某个两侧均没有人入座的空座位；其次，再选择两侧只有一人已入座的空座位；若某人入座时，每个空座位的两侧均已有人入座，则他只能任选其中之一入座）.这八个座位被先后入座的顺序有______种. 二、解答题9.是否存在函数:f →Z Z ,使得对任意整数n ，均有()()225223f n n f n -++=+？10.在平面坐标系中，已知点()6,2M --，()0,2N -，()4,0P -，Q 为单位圆上一动点，过Q 的直线与射线MP 、MN 分别交于点T 、R ，记MTR △的面积为S .证明：min 10S <.11.已知1a ，2a ，，()n a n +∈Z 为递增的等差数列，1b ，2b ，，n b 为递增的等比数列，且110a b =>，实数x 满足1111nni i a b nx ====∑∑.证明：1111nni i b x ax ==--∑∑≥.加试一、在ABC △中，已知ABC ∠的平分线与ABC △的外接圆O 交于点P 、S 、N分别为BP 、AC 的中点，BSC △的外接圆与AB 交于点M （异于点B ）.证明：MN BP ∥. 二、对于奇素数p ，将3x （正整数x 与p 互素）除以p 的余数构成的集合记为p 的立方集（用p S 表示）.若{}1,2,,1p S p =-，则称p 为“满数”，否则，称p 为“缺数”.证明：存在一个无穷素数数列，每一项均为缺数.三、数列{}n a 定义如下：02a =，12a a a ==，()211n n n n a a a a n ++-+=-∈Z .若{}n a 为纯周期数列，求实数a 的取值范围.四、给定整数5n ≥，求最小的整数m ，使得存在两个由整数组成的集合A 、B 同时满足图1（1）A n =，B m =，且A B ⊆；（2）对集合B 中任意两个元素x 、y （可以相同，有x y B +∈当且仅当x 、y A ∈. 参考答案 第一试 一、 1.4.由于()1AC DE AP λμ=++,平移DE 至AF ，连结PF ，与AC 交于点H ，如图2.设AH mAF nAP =+.则1m n +=.易知5AC AH ≤（当且仅当点P 与D 重合时，等号成立）.()()155m n λμ+++=≤.故()1λμ++的最大值为5.于是，λμ+的最大值为4.2.10781. 设比赛中，乙胜甲的局数为ε.则0,1,2,3ε=.故()3203P ε⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()313121C 33P ε⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭,()2324122C 33P ε⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()()()173101281P P P P εεεε==-=-=-==.故()88161710701232727818181E ε=⨯+⨯+⨯+⨯=.3.10+易知，O设EM x =，FM y =.则在EMF △中，由余弦定理有228x y xy =++.由于M 为正方形ABCD 边界上的点，则1OM ≥.结合中线长公式有()222226x y OM +=+≥. 于是，2xy ≤.故2210x y xy xy x y +++⇒+≤≤从而，EMF △.4.92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.注意到，()()()222,;2,.x a x x a g x x a x x a ⎧+-⎪=⎨-++<⎪⎩≥若x a ≥，当对称轴222a x a a -=⇒-≤≥时，()g x 在区间(),a +∞上递增；图2若x a <，当对称轴222a x a a +=⇒≥≤时，()g x 在区间(),a -∞上递增. 则当22a -≤≤时，()g x 在R 上为增函数.故函数()y g x at =-不可能有三个零点.只需讨论(]2,4a ∈的情形. 若x a ≥，对称轴22a x a -=<，则()g x 在[),x a ∈+∞上为增函数，此时，()g x 的值域为())[),2,g a a +∞=+∞⎡⎣；若x a <，对称轴22a x a +=<，则（ⅰ）()g x 在2,2a x +⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上为增函数，此时，()g x 的值域为()22,4a ⎛⎤+ -∞⎥ ⎥⎝⎦，（ⅱ）()g x 在2,2a x a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，此时，()g x 的值域为()222,4a a ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.由于存在[]2,4a ∈-，使得函数()y g x at =-有三个零点，则()222,4a ta a ⎛⎫+ ⎪∈ ⎪⎝⎭，即存在(]2,4a ∈，使得()222,4a t a ⎛⎫+ ⎪∈ ⎪⎝⎭. 而当(]2,4a ∈时，()224a a+为增函数，故实数t 的取值范围是92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.5.[]3,4设复数a 、b 、c 在复平面内的对应点为A 、B 、C ，复数z 对应动点P .则ABC △为单位圆的内接正三角形，P 为单位圆内任意一点，且()f z PA PB PC =++. 由于P 是连续变化的，因而，只需求出()f z 的最值.先考虑最小值.由费马点的定义，知当点P 与O （O 为坐标原点）重合时，()f z 达到最小值3.再求最大值.由于OA 、OB 、OC 将单位圆分成三个扇形，点P 必位于其中之一，不妨设P 位于OA 、OB 所夹120︒的扇形中.将PC 延长与单位圆交于点1P （1P 对应复数1z ）,则()()1111f z f z P A PB PC =++≤. 结合托勒密定理知111P A PB PC +=.故()()1124f z f z PC =≤≤. 当且仅当P 为劣弧AB 的中点时，上式等号成立..如图3.由于每个正四面体均可内接于正方体，且其中心重合，则这样正四面体ABCD 的中心在x 轴上的坐标为12354+++.故点E 在x 轴上的坐标为12.由于EA 、EB 、EC 在x 轴上的投影的平方和为正方体棱长的平方，且EA 、EB 、EC 在x 轴上的投影依次为12、32、52从而，该正四面体的棱长为.7.2071由已知得20712a ++> 4546>=. 又20692070a a <=，则()20692069120704645a a -<=⨯. 于是，206946a <.从而，207046a <. 故满足46n a >的最小正整数n 为2071. 8.3456.第一个入座者有八种选择方式，考虑对称性，则第二个入座者只有三种情形（设第一个入座者的座位为1号，顺时针方向依次编号为1，2，，8.这样对于第二个入座者而言，3号与7号，4号与6号是一致的，并在下面的讨论中设第i 个人入座的座位为i a ）. （1）若23a =（或7），则35,6,7a =，且此时5号与7号对称. 若{}35,7a ∈，则{}45,7a ∈，之后的四人只能选择两侧均已有人入座的空座位； 若36a =，则{}44,5,7,8a ∈，接着{}57,8a ∈或{}4,5且不与4a 相邻，之后的三人只能选择两侧均已有人入座的空座位；这样，当23a =或7时，共有()8224!423!1536⨯⨯+⨯⨯=种不同的入座顺序.（2）若24a =（或6），则36a =或7，且此时6号与7号对称.不妨设36a =.则此时2号与8号对称，3号与7号对称.{}42,3,7,8a ∈，接着{}57,8a ∈或{}2,3且不与4a 相邻，之后的三人只能选择两侧均已有人入座的空座位.这样，当24a =或6时，共有822423!1536⨯⨯⨯⨯⨯=种不同的入座顺序.（3）若25a =，则{}{}34,3,7a a =，之后的四人只能选择两侧均已有人入座的空座位. 这样，当25a =时，共有824!384⨯⨯=种不同的入座顺序. 综上，共有3456种不同的入座顺序. 二、 9.不存在.假设存在函数:f →Z Z ,使得对任意整数n ，均有()()225223f n n f n -++=+.令 2.8n =-.分别得()()2283f f -==，()()2823f f =-+.则()23f -≥，()83f ≥，且()()28f f -- ()()()()()()8282f f f f =--+-.故()()()()()()828210f f f f --+-+=于是，()()82f f =-.从而，()()2883f f =+. 而方程23x x =+无实根，这与()8f ∈Z 矛盾.因此，假设不成立. 10.先证明一个引理.引理 已知D 为ABC △边BC 的中点，过D 的直线分别与射线AB 、AC 交于点F 、E .则ABC AFE S S <△△. 证明 如图4，设过点D 的直线分别与AB 的延长线、AC 交于点F 、E ，过点B 作边AC 的平行线，与EF 交于点H .由DBF A ∠>∠,则点H 在D 、F 之间.图3结合D 为边BC 的中点知CED BHD △≌△.而DBF △的面积大于DCE △的面积，过ABC AFE S S <△△. 回到原题.由引理，知当MTR △的面积S 最小时，Q 为TR 的中点.设点()cos ,sin Q θθ，()cos ,sin T u v θθ++，()cos ,sin R u v θθ--. 由:4MP l y x =+，:2MN l y =-得sin 2v θ-=-，sin cos 4v u θθ+=++，cos 62cos 2sin 8MR u θθθ=-+=-+. 故()()sin 22cos 2sin 8S θθθ=+-+.当cos θ=，sin 0.9θ=-时，(1.19.8S =⨯-()1.19.820.410<⨯-⨯<.从而，min 10S <.11.若1n =，结论显然.下面考虑n 不小于2的情形.由题意可设()1k a a d k =+-，()11,2,,,0,1k k b aq k n a d q -==>>、.由()1121n n n q na d a nx q --+=⋅=-，则1012n ii n a x a d q n -=-=+=∑()111202n n i n i i a q q aq n ----==+>∑.故12102n n aq d a ----<. 而()11112nni i i n a x d i ==--=--∑∑ ()22114n n i i i n d a a⎡⎤⎢⎥⎣⎦+-=⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦∑， ()()2211111n n niin in ii i i i b x b x bx bb ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-+-===--+--∑∑∑≥≥.可分两种情形证明：()()221111n n n ii n ii i i bb aa ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-+-==--∑∑≥（1）当n 为偶数时，由11nni i i i a b ===∑∑，有()()()222111112n n n n i i n i i i i i i i b b a a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+-+-===---=-∑∑∑.设函数()x f x aq dx a =--.则()()2'ln 0x f x a q q =>. 因此，()f x 为下凸函数.于是，()f x 在闭区间上的最大值点为区间的端点.而()00f =，1211022n n n f aqd a ---⎛⎫=--< ⎪⎝⎭， 则00,1,,12i n aq di a i ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭≤110i i b a ++⇒-≤()2120n i i i a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⇒-∑≥()()221111n n n i i n ii i i b b aa ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-+-==⇒--∑∑≥.图4CDHFBAE（2）当n 为奇数时，()()221111n n n i i n i i i i b b a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-+-==---∑∑()2111222n n n i i i a b a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦++==-+-∑.与（1）类似，当10,1,,2n i -=时，有110i i b a ++-≤11220n n a b ++⇒-≥，0i i a b -≥()()2211110n n n i i n i i i i b b a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-+-==⇒---∑∑≥.综上，对任意的正整数n ，有()21101n n i n ii i i b x bb ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦+-==--∑∑≥()2111n nn ii i i i aa a x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+-==-=-∑∑≥.加试一、由于BP 平分ABC ∠，点P 在O 上，N 为线段AC 的中点，则NP AC ⊥. 如图5，设直线NP 与O 交于点Q ，联结MQ 、AQ 、OS .由于M 、S 、C 、B 四点共圆，则BMC BSC ∠=∠.故AMC PSC ∠=∠.又BAC SPC ∠=∠，则AM ACAMC PSC PS PC⇒=△∽△. 由QAC ∠、OPC ∠分别为等腰QAC △、等腰OPC △的底角，QAC OPC ∠=∠,得QAC OPC △∽△. 而QAM OPS ∠=∠，则QAM OPS △∽△QMA OSP ⇒∠=∠. 因为S 为BP 的中点，所以，OS BP ⊥.类似地，ON AC ⊥.从而,90QMA ∠=︒,90OSP ∠=︒.于是，QMA OSP QNA ∠=∠=∠. 则M 、Q 、A 、N 四点共圆.故QNM QAM OPS ∠=∠=∠.因此，MN BP ∥. 二、（1）先证明：集合{}21,1,2,n n A x x n n n ==++=中的元素的素因数构成的集合T 有无穷多个元素.事实上，假设集合T 中只有有限个元素，并设为1p ，2p ，，t p .注意到，()12212121p tp p t t x p p p p p p =++ ()121mod t p p p ≡.则12tp p p x 必有一个不为1p ，2p ，，t p 的素因数，这与假设矛盾.因此，集合T 中有无穷多个元素.（2）取集合T 的一个无穷递增子列1p ，2p ，3p ，，且满足13p >.由集合T 的定义，知对任意的i +∈Z ，均存在k +∈Z ,使得()21i p k k ++设()()mod 01i i k r p r p ≡<<-，而211131224i i p p p --+⎛⎫++= ⎪⎝⎭，及3i p >则211|122i i i p p p ⎡⎤--⎛⎫++/⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1112i p r r p r -⇒≠⇒≠--.而r 、{}11,2,,1i i p r p --∈-，注意到，在模i p 的意义下，有()331i r p r --- ()21i r p =-+.图5Q()()2211i i r r p r p r ⎡⎤+----⎣⎦()()22110i r p r r =-+++=.于是，i p S 中至多有2i p -个元素.从而，i p 必为缺数.因此，无穷数列1p ，2p ，，t p ，的每一项均为缺数. 三、先证明一个引理.引理 对任意m +∈Z ,且1m >，则k f 模m 的余数构成纯周期数列，其中{}k f 为斐波那契数列，并设00f =.证明 设()()mod 01k k k F f m F m ≡-≤≤. 则()1,k k F F +只有有限种情形. 故对于无穷数列{}n F ，必存在正整数c d <，使得c d F F =，且11c d F F ++=. 由斐波那契递推公式21n n n f f f ++=+，得21n n n f f f ++=-.于是，11c d F F --=.故22c d F F --=，33c d F F --=，，0d c F F -=. 因此，对n +∈Z ，有n d c n F F +-=. 回到原题.如引理，取数列{}n f .（1）若2a >，设t 为关于x 的方程210x ax ++=的根. 易由数学归纳法证明：n n f f n a t t -=+.由于2a >，则1t ≠±.从而，数列{}n a 无界.因而，{}n a 不为纯周期数列. （2）若2a ≤，先对n 用数学归纳法证明： 2cos arccos 2n n a a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（i ）当0,1,2n =时，易验证式①成立.（ⅱ）假设当n k ≤时，式①成立.则当1n k =+时，112k k k k a a a a +--=- 124cos arccos cos arccos 2cos arccos 222k k k a a a f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()122cos 1arccos cos arccos 2cos arccos 222k k k k k a a a f f f f f --⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+-+--⎨⎬ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎩⎭()12cos arccos 2k k a f f -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦12cos arccos 2k a f +⎛⎫= ⎪⎝⎭.式①也成立.从而，对一切n ∈N ，有2cos arccos 2n n a a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（3）若{}n a 为纯周期数列，由（1）、（2）知2cos arccos 2n n a a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.此时，存在p ∈N ，使得()02p a a ==则[]()arccos2π20,2p af t t p =∈. 从而，2π2cos p t a f =.故12cos 2π0,,2a q q q ⎧⎫⎡⎤∈∈∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭Q(4)若12cos 2π0,,2a q q q ⎧⎫⎡⎤∈∈∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭Q ，则2a ≤.由（2）知 ()00012cos 2π0,,2n n a f q q q ⎛⎫⎡⎤=⋅∈∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭Q .(ⅰ)若00q =，则2n a =.故{}n a 为纯周期数列.（ⅱ）若00q ≠，设()()0+,2,,1lq l m l m l m m=∈=Z 、≤. 由引理，知k f 模m 的余数构成纯周期数列.设该纯周期数列周期为()T m .则()()2π2cos n T m n T m l a f m ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()2π2cos n l f rm m ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ 2π2c o s n n l f a m ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭. 于是，{}n a 为纯周期数列.综上，若{}n a 为纯周期数列，实数a 的取值集合为12cos 2π0,,2q q q ⎧⎫⎡⎤∈∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭Q .四、整数m 的最小值为31n -. 先证明：31m n -≥. （ⅰ）证明：0B ∉.事实上，若0B ∈，由5A n =≥，则集合A 中存在至少两个数同号，不妨设为正.取集合A 中最大的两个数x 、y .则由条件（2）及A B ⊆，知x y B +∈. 结合0B ∈，则()0x y x y B ++=+∈. 从而，0、x y A +∈.但{}max ,x y x y +>，这与x 、y 的最大性矛盾.故0B ∉. 设集合A 中有k 个正数，有n k -个负数，并设{}()1112+,,,,,,,n k n k k i j A y y y x x x x y ---=---∈Z 、,其中，11120n k n k k y y y x x x ----<-<<-<<<<<.（ⅱ）证明：集合B 中至少有31k -个不小于1x 的正数. 若存在正整数i 、j 、{}1,2,,t k ∈（可以相同），使得i j t x x x +=.则()i j k t k x x x x x B ++=+∈（因t x 、k x A ∈）.而i x B ∈，j k x x B +∈，则由条件（2），知j k x x A +∈，这与集合A 中的最大元素为k x 矛盾. 故不存在正整数i 、j 、{}1,2,,t k ∈（可以相同），使得i j t x x x +=.注意到，12k x x x <<<，1213121k k k k x x x x x x x x x x -+<+<<+<+<<+.记{}112,,,k S x x x =，{}21213121,,,,,,k k k k S x x x x x x x x x x -=+++++.则12S S ⋂=∅,1S B ⊆,2S B ⊆.从而，集合B 中至少有31k -个不小于1x 的正数. 类似地，集合B 中至少有()31n k --个不大于1y -的负数.若{}1,k n ∈，则集合B 中元素均同号，由上述证明知31m n -≥； 若1k n <<，考虑到()11x y B +-∈，但()1111y x y x -<+-<,则集合B 中至少有()3131131k n k n -+--+=-个元素，即31m n -≥. 其次，举例说明：min 31m n =-. 令{}411,2,,A i i n =+=.则{}A A x y x y A +=+∈、{}422,3,,2i i n =+=.记()B A A A =⋃+.由于()A A A ⋂+=∅（因对任意的a A ∈,()b A A ∈+,()1mod 4a ≡，()2mod 4b ≡），则()B A A A =⋃+ 2131n n n =+-=-，A n =，且A B ⊆. 满足条件（1）对于x 、y B ∈，若x 、y A ∈，有()x y A A B +∈+⊆.若x 、y B ∈，则()1,2mod 4x y +≡.故必有()2mod 4x y +≡.从而，()1mod 4x y ≡≡.而集合B 中模4余1的数均来自集合A ，于是，x 、y A ∈. 满足条件（2）.综上，min 31m n=-.。

全国高中数学联赛模拟试题（一）（命题人：吴伟朝）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a 2＋b 2)＝5c 2满足c ≤20的正整数解(a ,b ,c )的个数是（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）52、函数12-=x x y （x ∈R ，x ≠1）的递增区间是（A ）x ≥2 （B ）x ≤0或x ≥2 （C ）x ≤0（D ）x ≤21-或x ≥23、过定点P (2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O为原点）的面积最小，则l 的方程为 （A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝04、若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是 （A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）516、在1,2,3,4,5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件a 1＜a 2，a 2＞a 3，a 3＜a 4，a 4＞a 5的排列的个数是 （A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程21×[x 2＋x ]＝19x ＋99的实数解x 是 ．2、设a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n 2，则通项公式a n ＝ ．3、数799被2550除所得的余数是 ．4、在△ABC 中，∠A ＝3π，sin B ＝135，则cos C ＝ ．5、设k 、θ是实数，使得关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－1＝0的两个根为sin θ和cos θ，则θ的取值范围是 ． 6、数()n2245+（n ∈N ）的个位数字是 ．三、 （20分）已知x 、y 、z 都是非负实数，且x ＋y ＋z ＝1．求证：x (1－2x )(1－3x )＋y (1－2y )(1－3y )＋z (1－2z )(1－3z )≥0，并确定等号成立的条件．四、 （20分）（1） 求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2＋(a ＋2002)x ＋a ＝0的两根皆为整数．（2） 试求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 3＋(－a 2＋2a ＋2)x －2a 2－2a ＝0有三个整数根．五、 （20分）试求正数r 的最大值，使得点集T ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且x 2＋(y －7)2≤r 2}一定被包含于另一个点集S ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且对任何θ∈R ，都有cos2θ＋x cos θ＋y ≥0}之中．第一试一、选择题：题号 1 23 4 5 6 答案 C CDABD二、填空题：1、38181-或381587；2、7×2n -1－n 2－2n －3；3、343；4、261235-； 5、{θ|θ＝2n π＋π或2n π－2π，n ∈Z } ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）．三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a 的可能取值有－3，11，－1，9．五、r max ＝24．第二试一、（50分）设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0．求证：()12=-+-+baczcaba的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0．二、（50分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D 分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：（1）AK⊥BC；AC B DQKP（2） BCS AQ AP AK ABC△2<=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．三、（50分）给定一个正整数n ，设n 个实数a 1,a 2,…,a n 满足下列n 个方程：∑==+=+ni i n j j ji a 1),,3,2,1(124．确定和式∑=+=ni ii a S 112的值（写成关于n 的最简式子）．参考答案第一试一、选择题：题号1 23456答案 CC D A B D二、填空题：1、38181-或381587；2、7×2n -1－n 2－2n －3；3、343；4、261235-； 5、{θ|θ＝2n π＋π或2n π－2π，n ∈Z } ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）．三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a 的可能取值有－3，11，－1，9．五、r max ＝24．第二试一、证略（提示：直接解出()2i42⋅---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点，从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则BCS ABC△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）．三、()11212++-=n S ．。

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题一、选择题1、已知F 1，F 2分别为双曲线12222=-b ya x 的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点。

若||||122PF PF 的值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是A ．(1,+∞)B ．(0,3]C ．(1,3]D ．(1,2]2、在四面体ABCD 中，设AB=1，CD=3，直线AB 与直线CD 的距离为2，夹角为3π。

则四面体ABCD 的体积等于 A ．23 B ．31 C ．21 D ．333、有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。

若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为 A ．90 B ．100 C ．110 D ．1204、在ΔABC 中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC ，则A ．ΔABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形B ．ΔABC 是直角三角形，但不一定是等腰三角形 C ．ΔABC 既不是等腰三角形，也不是直角三角形D ．ΔABC 既是等腰三角形，也是直角三角形5、已知f(x)=3x 2-x+4, f(g(x))=3x 4+18x 3+50x 2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A ．8B ．9C ．10D ．116、设0<x<1, a,b 为正常数。

则xb x a -+122的最小值是 A ．4ab B ．(a+b)2C ．(a-b)2D ．2(a 2+b 2)7、设a,b>0，且a 2008+b 2008=a 2006+b 2006。

则a 2+b 2的最大值是A ．1B ．2C ．2006D ．20088、设P 为ΔABC 所在平面内一点，并且AP=51AB+52AC 。

则ΔABP 的面积与ΔABC 的面积之比等于A ．51B ．21C ．52D ．329、已知a,b,c,d 是偶数，且0<a<b<c<d, d-a=90, a,b,c 成等差数列，b,c,d 成等比数列。