高中竞赛专题：容斥原理试题

1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（）【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- A H B得A H B=25,所以答案为B。

2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25%是白色的, 75%是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A 、15B、25C 、35D40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式为：100=50+75+10- A H B，得：A H B=353. 某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15=199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为46人；得本题答案为120.4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜 欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人( )A.22 人B.28 人C.30 人D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12,再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x ) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜 欢的人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。

1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。

2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25％是白色的，75％是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。

3.某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。

问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。

容斥原理1.一个俱乐部，会下象棋的有69人，会下围棋的有58人，两种棋都不会下的人有12人，两种棋都会下的有30人，问这个俱乐部一共有多少人？【答案】109人.2.一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.【答案】31人.3.调查一群小朋友最喜欢吃的水果中，有三种水果最喜欢（苹果、香蕉、草莓），每人都有自己喜欢吃的。

其中喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃香蕉的有25人，喜欢吃草莓的有30人，既喜欢苹果又喜欢香蕉的有8人，既喜欢苹果又喜欢草莓的有7人，既喜欢香蕉又喜欢草莓的有6人，三种都喜欢的有4人，请问一共有多少个小朋友？【答案】58个.4.对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的含有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种？【答案】4种.5.一次考试共有两题，第一题做对有20人，其中5人第二题错了；第二题总共30人做对，有3人一道题都没做对，请问一共有多少人报名参加？【答案】38人.6.光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？【答案】18幅.7.在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕。

2个人既带了汉堡又带了芝士蛋糕.问：（1）三种都带了的有几人？（2）只带了一种的有几个？【答案】（1）0人（2）4人.8.有100名学生，按照1-100编号，面对老师站成一排，第一次让编号是2的倍数的学生向后转，第二次让编号为5的学生向后转，那么最后面对老师的学生有多少名？【答案】50名.9.某学校五年二班参加语文、数学、英语三科考试，语文90分以上的有21人，数学有19人，英语有20人，语文数学都在90分以上的有9人，数学英语在90分以上的有7人，语文英语都在90分以上的有8人，另外有5人三科都在90分以下，这个班最多有多少人？【答案】48人.10.一小偷藏匿于某商场，三名警察甲、乙、丙分头行动搜查商场的100家商铺.已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，则三人都检查过的商铺至少有多少家？【答案】10家.。

容斥原理题目
一场网球比赛中有10名选手参加。

每个选手都与其他9名选
手分别进行比赛，共进行了45场比赛。

求共有多少个场次的
比赛中至少有一名选手获胜。

解法：
设A为至少有一名选手获胜的场次数目，Ai为选手i获胜的
场次数目。

根据容斥原理，有：
A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A10
根据容斥原理公式，可得：
A = (A1 + A2 + ... + A10) - (A1 ∩ A2 + A1 ∩ A3 + ... + A9 ∩
A10) + (A1 ∩ A2 ∩ A3 + A1 ∩ A2 ∩ A4 + ... + A8 ∩ A9 ∩ A10) - ... + (-1)^9 * (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ A10)
根据条件可知A1 + A2 + ... + A10 = 45，即第一个括号内的内
容为45。

然后计算两两交集，由于每个选手都与其他9名选手进行比赛，所以两两交集的结果为10 * 9。

然后计算三个选手的交集，由于每个选手都与其他9名选手进行比赛，所以三个选手的交集的结果为10 * 9 * 8。

依次类推，最后计算十个选手的交集，结果为10!（即10的
阶乘）。

将以上结果带入容斥原理公式中，可得：
A = 45 - (10 * 9) + (10 * 9 * 8) - ... + (-1)^9 * (10!) ≈ 3,628,800 - 3,628,800 + 1 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 = 1
所以共有1个场次的比赛中至少有一名选手获胜。

1.一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？2.某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？3.在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？4.分母是1001的最简分数一共有多少个？5.设下面图中正方形的边长为1厘米，半圆均以正方形的边为直径，求图中阴影部分的面积。

6.某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人.问既会游泳又会体操的有多少人？7.在1～1000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？8.五环图中每一个环内径为4厘米，外径为5厘米.其中两两相交的小曲边四边形（右图中阴影部分）的面积相等.已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米.求每个小曲边四边形的面积。

9.某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有4个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：问这个班有多少名学生？10.有100位学生回答A、B两题.A、B两题都没回答对的有10人，有75人答对A题，83人答对B题，问有多少人A、B两题都答对？11.用红笔在一根木头上做记号：第一次把木头分成了12等份，第二次把木头分成了15等份，第三次把木头分成了20等份。

沿着这些红记号把木头锯开，一共锯成多少小段？12.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有多少人？最多有多少人？13.分母为75的最简真分数有多少个？它们的和是多少？14.从1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少？15.书架上共有72本书，其中有科技书12本，小说是科技书的1/2，蓝色封面的书有10本，蓝色封面的科技书有4本，蓝色封面的小说有3本，问书架上不是蓝色封面的并且既不是科技书又不是小说的其它书有多少本？有100种食品。

第七节竞赛中的容斥原理[#]1．邦德第三届运动会要开幕了，琳琳老师班的学生当然是积极参加，他们排好队准备入场，正好排成了7行，队长菜菜站在第一行，从左数，他是第6个，从右数，他是第4个，队伍中一共有多少位琳琳老师的学生？[#]2．某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有24人，其中语文、数学都得优的有12人．全班得优的共有多少人？[#]3．一张正方形的纸片面积是80平方厘米，一张圆形的纸片面积是70平方米．两张纸片覆盖在桌面上的面积是100平方厘米，则这两张纸片重合部分的面积是多少？[#]4．乖乖当过一次导游，他带领着的旅行团参观了深圳的华侨城，在这个旅行团中，会中文的有26人，会英文的有20人，两种都会的有13人，两样都不会的有3人，你知道乖乖带领的这个旅行团共有多少人吗？5．一个组织有117人，其中会下军旗的有75人，会下象棋的63 人，这两种棋都不会下的有12人．问这两种都会下的有多少人？6. 某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？7．某班共50人，参加学书法兴趣小组的32人，学绘画兴趣小组的28人，其中两种都学的15人，这个班级还有多少人没有参加这两项兴趣小组？[#]8．一个国外旅游团中，每人至少会一种外语，会讲英语的有36 人，会讲德语的有15人，会讲日语的有7人，同时会讲英语和日语的有6人，同时会讲英语和德语的有10人，同时会讲德语和日语的有3人，三种语言都会讲的有2人，这个国外旅游团共有多少人？[#]9．某校四（一）班的学生54人，每人至少爱好一种球类，爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18人，既爱好足球又爱好乒乓球的有14 人，既爱好足球又爱好排球的有12人，三种球都爱好的有多少人？[#]10．某研究所共有研究员91人，每人至少懂英、日、俄三种外语之一，其中懂英语的47人，懂日语的50人，懂俄语的49人，懂英、日两种语言的22人，懂日、俄两种语言的23人，懂英、俄两种语言的21人．问三种语言都懂的有多少人？11．福田小学四年级学生中，有55人爱好踢足球，90人爱好打篮球，53人爱好打排球，40人既爱好踢足球又爱好打篮球，39人既爱好踢足球又爱好打排球，46人既爱好打篮球又爱好打排球，有22人这三项球类活动都爱好，那么四年级学生中，对三项球类活动至少爱好一项的有几人？12．（一）班28个男生中，有14人喜欢打篮球，9人喜欢打排球，13人喜欢打羽毛球，其中有2人既喜欢打羽毛球又喜欢打篮球，有3人既喜欢打羽毛球又喜欢打排球，每人至少喜欢打一种球，但没有一个人三种球都喜欢．既喜欢打篮球又喜欢打排球的有几人？13．64人订A、B、C三种杂志，订A种杂志的28人，订B种杂志的有41人，订C种杂志的有20人．订A、B两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人．请问三种杂志都订有多少人？14．某进修班有50人，开甲、乙、丙三门进修课，选修甲这门课的有38人，选修乙这门课的有35人，选修丙这门课的有31人，兼选甲乙两门课的有29人，兼选甲、丙两门课的有28人，兼选乙、丙两门课的有26人，甲、乙、丙三科都选的有24人，那么三科都未选的有人．[*]15．200名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是3的倍数的学生向后转，接着又让报数是7的倍数学生向后转，问此时还有多少学生面向老师？[*]16．红球和白球共有83个，白球和蓝球共有86个，蓝球和绿球共有88个，已知红球比绿球多3个，那么红球有多少个？[*]17．有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形，如图右图，放在桌面上（阴影是图形的重叠部分）那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米．[*]18．在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片，它们的面积都是50平方厘米，三个圆片共同重叠的面积是12平方厘米，三个圆片盖住的桌面总面积是92平方厘米．图中阴影部分的面积是多少平方厘米？6。

第二章容斥原理习题
1，求出110000
之间不能被4，5，和6 整除的整数个数。

2，求出110000
之间不能被4，6，7，10整除的整数个数。

3，求出110000
之间既不是完全平方数，也不是完全立方数的整数个数。

4，求出1250
之间能被2，3，5，7中任一个整除的整数个数。

5，求出1500
之间，有多少个不能被7整除，但能被3和5整除的整数个数。

6，某校足球队有38人，篮球队有15人，棒球队20人。

3个队队员总数为58人，且其中只有3人同时参加3个队，试求同时参加两队的队员有多少人？
7，确定多重集{4,3,4,5}
= 的12－组合数。

S a b c d
8，面包店出售巧克力的、肉桂的与素的面包圈，并在一特定时刻有6个巧克力的、6个肉桂的和3个素的面包圈。

如果一个盒子装12个面包圈，那么在这一特定时刻可能有多少种不同的盒装面包圈组合？
9，确定{1,2,3,4,5,6,7,8}
S=的没有偶数在它的自然位置上的排列数。

10，确定{1,2,,8}
的恰有4个整数在它们的自然位置上的排列数。

11，确定{1,2,,9}
的至少有一个奇数在它们的自然位置上的排列数。

12，求多重集{3,4,2}
= 的排列数，其中同一种字母的全体不得连续出现（例如，
S a b c
abbbbcaac是不允许的，abbbcaacb而是允许的）。

1.某校有500名学生报名参加学科竞赛,数学竞赛参加者共312名,作文竞赛参加者共353名,其中这两科都参加的有292名,那么这两科都没有参加的人数为人.2.某门诊部统计某一天挂号的病人,内科150人,外科92人,其中内、外两科都求诊的18人，这一天共来了个病人.3.不超过30的正整数中,是3的倍数或4的倍数的数有个.4.在一次运动会中,甲班参加田赛的有15人,参加径赛的有12人,参加田赛又参加径赛的有7人,没有参加比赛的有21人.那么甲班共有人.5.某班26个男同学中有13个人喜欢打蓝球，9人喜欢踢足球，12人喜欢打排球。

并且有两个男同学既喜欢打蓝球又喜欢踢足球，另外有两个男同学既喜欢打排球又喜欢踢足球，但没有一个男同学三种球都喜欢的。

问有多少男同学既喜欢打蓝球又喜欢打排球？6.五年级有54人参加三项课外活动，每人至少参加一项，有32人参加科技组，27人参加书法组，20人参加体育组，其中参加科技又参加体育的有10人，而参加科技又参加书法的有14人，既参加体育又参加书法的有4人，问三项都参加的有几人？7.盛夏，有10个同学去冷饮店，向服务员交出需要的冷饮数统计表：有6个人要可可，有5个人要咖啡，有5个人要果汁，有3人既要可可又要咖啡；有2人既要咖啡又要果汁；有3人既要可可又要果汁；有一人三样都要，问几人没有吃冷饮？8.在一次考试中,某班数学得100分的有17人,语文得100分的有13人,两科都得100分的有7人,那么两科中至少有一科得100分的共有人.全班45人中两科都不得100分的有人.9. 70名学生参加体育比赛,短跑得奖的31人,投掷得奖的36人,弹跳得奖的29人,短跑与投掷二项均得奖的12人,跑、跳、投三项均得奖的有5人,只得弹跳奖的有7人,只得投掷奖的有15人.求(1)只得短跑奖的人数;(2)得二项奖的总人数;(3)一项奖均未得的人数.。

3个集合容斥问题和解问题1：某班有学生50人，其中参加数学竞赛的有20人，参加物理竞赛的有15人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有5人。

问有多少人参加了竞赛？解：1.使用三集合容斥原理公式：A+B-A∩B=总人数。

2.代入已知数据：A=数学竞赛人数=20，B=物理竞赛人数=15，A∩B=既参加数学竞赛又参加物理竞赛的人数=5。

3.计算总人数：20+15-5=30。

问题2：某学校共有学生800人，其中男生480人，女生320人。

问该校男女生的比例是多少？解：1.直接使用比例计算公式：男女比例=男生人数/女生人数。

2.代入已知数据：男生人数=480，女生人数=320。

3.计算比例：480/320=1.5。

问题3：某公司有员工100人，其中技术部门有30人，市场部门有20人，销售部门有50人。

问这三个部门的人数比例是多少？解：1.直接使用比例计算公式：部门比例=部门人数/总人数。

2.代入已知数据：技术部门人数=30，市场部门人数=20，销售部门人数=50。

3.计算比例：技术部门比例=30/100=30%，市场部门比例=20/100=20%，销售部门比例=50/100=50%。

集合容斥问题是一种计数问题，当几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。

例如，在幼儿园的小朋友准备六一儿童节的表演节目时，参加合唱的有20个，参加舞蹈的有12个，参加朗诵的有25个，既参加合唱又参加舞蹈的有6个，既参加舞蹈又参加朗诵的有9个，既参加合唱又参加朗诵的有14个，三个节目都参加的有3个，三个节目都不参加的有2个。

在这个问题中，就涉及到了集合容斥问题。

容斥原理50经典例题容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决包含重叠部分的计数问题。

它在解决排列组合问题时有着广泛的应用，能够帮助我们更快速、更准确地求解问题。

接下来，我们将通过50个经典例题来深入理解容斥原理的应用。

1. 有一个集合包含了1至100的整数，求这个集合中既不是3的倍数，也不是5的倍数的整数个数。

解析，首先，我们可以分别求出是3的倍数和是5的倍数的整数个数。

然后利用容斥原理求出既不是3的倍数，也不是5的倍数的整数个数。

2. 在1至100的整数中，有多少个整数的个位和十位数字都不是7？解析，我们可以利用容斥原理来求出个位是7的整数个数，十位是7的整数个数，然后再利用容斥原理求出个位和十位都是7的整数个数，最后用总数减去这个数就是答案。

3. 有A、B、C三个班，A班有50个学生，B班有60个学生，C班有70个学生，求至少有一个班有学生参加了篮球比赛的方案数。

解析，我们可以利用容斥原理来求出每个班都没有学生参加篮球比赛的方案数，然后用总数减去这个数就是答案。

4. 在1至100的整数中，有多少个整数的各位数字和为偶数？解析，我们可以利用容斥原理来求出各位数字和为奇数的整数个数，然后用总数减去这个数就是答案。

5. 有一个集合包含了1至100的整数，求这个集合中既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数个数。

解析，首先，我们可以分别求出是2的倍数和是3的倍数的整数个数。

然后利用容斥原理求出既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数个数。

6. 有A、B、C三个班，A班有50个学生，B班有60个学生，C班有70个学生，求至少有一个班有学生参加了足球比赛但没有参加篮球比赛的方案数。

解析，我们可以利用容斥原理来求出每个班都没有学生参加足球比赛但没有参加篮球比赛的方案数，然后用总数减去这个数就是答案。

7. 在1至100的整数中，有多少个整数的各位数字和为7的倍数？解析，我们可以利用容斥原理来求出各位数字和不是7的倍数的整数个数，然后用总数减去这个数就是答案。

容斥原理问题（一）练习日期：练习时间：姓名：Happy：容斥问题：包含与排除的问题。

方法：文氏图，也叫“维恩图”，由英国著名数学家Venn发明。

容斥原理公式：①总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC②总数量=A+B-AB（常用）1、江滨小学三（2）班学生采集标本，采集昆虫标本的有27人，采集植物标本的有21人，两种标本都采集的有8人，问全班共有多少学生？2、一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，每人至少参加一个队，问这个班两队都参加的有几人？（北京竞赛题）3、五（2）班有40名同学，其中25人没有参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都没有参加，那么只参加了一个小组的学生有多少人？方法：4、李老师出了两道题，全班40人中，第一题有30人做对，第2题有12人未做对，两题都对的有20人。

问：①第1题不对，第2题做对有几人？②两题都不对的有几人？例1 、在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有______个。

（竞赛试题）讲析：能被5整除的数共有1000÷5=200（个）；能被7整除的数共有1000÷7=142（个）……6（个）；同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28（个）……20（个）。

所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）：200＋142—28=314（个）；不能被5或7整除的数一共有1000—314=686（个）。

例2 、某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。

这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：求这个班的学生人数。

（全国第三届“华杯赛”复赛试题）讲析：如下图，图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人数。

只有篮球一项达到优秀的有：15—6—5+2=6（人）；只有游泳一项达到优秀的有：18—6—6+2=8（人）；只有短跑一项达到优秀的有：17—6—5＋2=8（人）。

选择题在某次数学竞赛中，有60%的学生获奖，有75%的学生通过了英语考试，已知至少有一项成就的学生占85%，则两项都达成的学生占比是：A. 40%B. 50%（正确答案）C. 60%D. 70%一个班级中，喜欢数学的有25人，喜欢物理的有20人，喜欢化学的有15人，同时喜欢数学和物理的有10人，同时喜欢数学和化学的有8人，同时喜欢物理和化学的有6人，三者都喜欢的有3人。

问班级中总共有多少学生？A. 35人B. 40人C. 45人D. 50人（正确答案）在一次调查中，发现65%的人喜欢喝咖啡，70%的人喜欢喝茶，80%的人至少喜欢其中一种饮品。

那么同时喜欢喝咖啡和喝茶的人占比是：A. 15%B. 25%C. 55%（正确答案）D. 75%某校有100名学生参加了数学和物理竞赛，其中60人通过了数学竞赛，70人通过了物理竞赛，若已知有85人至少通过了一门竞赛，则两门都通过的学生有：A. 35人B. 45人（正确答案）C. 55人D. 65人在一次技能测试中，有80%的员工通过了编程测试，70%的员工通过了设计测试，85%的员工至少通过了一项测试。

问同时通过两项测试的员工占比是多少？A. 55%B. 65%（正确答案）C. 75%D. 85%一个篮子里有红、黄、蓝三种颜色的球，其中红球和黄球共20个，黄球和蓝球共18个，红球和蓝球共22个。

问篮子里总共有多少个球？A. 25个B. 27个C. 30个（正确答案）D. 33个在一次市场调研中，发现55%的人喜欢产品A，65%的人喜欢产品B，75%的人至少喜欢其中一种产品。

那么同时喜欢产品A和产品B的人占比是：A. 45%（正确答案）B. 55%C. 65%D. 75%某班级中，参加数学兴趣小组的有20人，参加物理兴趣小组的有18人，参加化学兴趣小组的有16人，同时参加数学和物理小组的有10人，同时参加数学和化学小组的有8人，同时参加物理和化学小组的有6人，三个小组都参加的有4人。

竞赛辅导：容斥原理一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）在1到40这四十个自然数中选一些数组成数集，使其中任何一个数不是另一个数的2倍，则这个数集最多有（ ）个数．A． 20 B． 26 C． 30 D． 402．（4分）甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲不排在首位，丁不排在末位，有（ ）种不同的排法．A． 14 B． 13 C． 12 D． 113．（4分）从1到1000中，能被2，3，5之一整除的整数有（ ）个．A． 767 B． 734 C． 701 D． 6984．（4分）从1到200中，能被7整除但不能被14整除的整数有（ ）个．A． 12 B． 13 C． 14 D． 155．（4分）A、B、C是面积分别为150、170、230的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起的覆盖面积是350，且A与B、B与C、A与C的公共部分面积分别是100、70、90．则A、B、C的公共部分面积是（ ）A． 12 B． 13 C． 60 D． 156．（4分）50束鲜花中，有16束插放着月季花，有15束插放着马蹄莲，有21束插放着白兰花，有7束中既有月季花又有马蹄莲，有8束中既有马蹄莲又有白兰花，有10束中既有月季花又有白兰花，还有5束鲜花中，月季花、马蹄莲、白兰花都有．则50束鲜花中，这三种花都没有的花束有（ ）A． 17 B． 18 C． 19 D． 20二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）7．（3分）一张正方形的纸片面积是50平方厘米，一张圆形的纸片面积是40平方厘米．两张纸片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米，则这两张纸片重合部分的面积是_________ 平方厘米．8．（3分）某班有学生45人，已知某次考试数学30人优秀，物理28人优秀，数理两科都优秀的有20人．则数理两科至少有一科优秀的有_________ 人，一科都未达到优秀的有_________ 人．9．（3分）某班有学生50人，参加数学兴趣小组的有35人，参加语文兴趣小组的有30人，每人至少参加一个组，则两个组都参加的有_________ 人．10．（3分）一个数除以3余2，除以4余1，则这个数除以12的余数是 _________ ．11．（3分）每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为一个边宽是1厘米的方框．把5个这样的方框放在桌上，成为如图这样的图形．则桌面上被这些方框盖住的部分面积是 _________ 平方厘米．12．（3分）200以内的正偶数中与5互质的数有 _________ 个．三、解答题（共17小题，满分0分）13．在线段AB上取两个点以C、D，已知AB=25，AD=19，CB=17，求CD长．16．求前500个正整数中非5、非7、非11的倍数的数的个数．17．某校初一年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数．18．某班语文、数学、外语三门考试成绩统计结果如下：课程 语文 数学 外语 语、数 数、外 语、外 至少一门得满分人数 9 11 8 5 3 4 18问：语文、数学、外语三门考试都得满分的人数是多少？19．求出分母是111的最简真分数的和．20．有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着．现将其顺序编号为1，2，3，…，1997．将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？21．在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？22．求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S．23．求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数．24．求前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和．25．某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表求这个班的学生数．26．从1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数多还是能被13整除而不能被11整除的数多？27．50名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？28．已知某校共有学生900名，其中男生528人，高中学生312人，团员670人，高中男生192人，男团员336人，高中团员247人，高中男团员175人，试问这些数据统计有无错误？29．从自然数序列：1，2，3，4，…中依次划去3的倍数和4的倍数，但其中5的倍数均保留．划完后剩下的数依次组成一个新的序列：1，2，5，7，…求该序列中第2002个数．竞赛辅导：容斥原理参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）在1到40这四十个自然数中选一些数组成数集，使其中任何一个数不是另一个数的2倍，则这个数集最多有（ ）个数．A． 20 B． 26 C． 30 D． 40考点： 容斥原理．专题： 推理填空题．分析： 1到40中所有的奇数有20个可以入选，在1到40所有的偶数中，奇数的2倍的数不能放进去，如2，6，10，14，18，22，26，30，34，38，40，然后可看出偶数4，12，16，20，28，36可以放进去即可．解答： 解：∵1到40中所有的奇数有20个符合条件，而偶数4，12，16，20，28，36也符合条件， ∴这个数集最多有26个数，故选B．点评： 本题考查了容斥原理，这些奇数比较容易找出，而偶数4，12，16，20，28，36较难找到．2．（4分）甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲不排在首位，丁不排在末位，有（ ）种不同的排法． A． 14 B． 13 C． 12 D． 11考点： 容斥原理．专题： 应用题．分析： 首先计算出甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，则所有的排列方法和甲排在首位的排列方法，丁排在末位的排列方法，即可求解．解答： 解：甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，则所有的排列方法有：4×3×2×1=24种；甲排在首位的排列方法有：3×2×1=6种；丁排在末位的排列方法有：3×2×1=6种．则甲不排在首位，丁不排在末位，的排法有：24﹣6﹣6+2=14种．故选A点评： 本题主要考查了排列的问题，容易出现的问题是忽视甲排在首位的排列方法，丁排在末位的排列方法，两种情况下有两个重复的情况，而错误的选C．3．（4分）从1到1000中，能被2，3，5之一整除的整数有（ ）个．A． 767 B． 734 C． 701 D． 698考点： 容斥原理．专题： 规律型．分析： 找到能被2，3，5之一整除的所有整数求和，再减去能被2×3，2×5，3×5，整除的所有整数的和即可．解答： 解：能被2整除的整数2×1，2×2，••，2×500；能被3整除的整数3×1，3×2，••，3×333；能被5整除的整数5×1，5×2，••，5×200；能被2×3整除的整数2×3×1，2×3×2，••，2×3×166；能被2×5整除的整数2×5×1，2×5×2，••，2×5×100；能被3×5整除的整数3×5×1，3×5×2，••，3×5×66；能被2×3×5整除的数有33个∴能被2，3，5之一整除的整数有500+333+200﹣166﹣100﹣66+33=734．故选B．点评： 本题考查了有理数的除法运算，找规律是此题的难点．4．（4分）从1到200中，能被7整除但不能被14整除的整数有（ ）个．A． 12 B． 13 C． 14 D． 15考点： 容斥原理．专题： 计算题；数字问题．分析： 首先找出从1到200中能被7整除的个数，再从里面去掉偶数，剩下的数不能被14整除，由此解决问题．解答： 解：从1到200中能被7整除的数有7、14、21、28、…196（196=7×28）共28个数， 因不能被14整除，去掉里面的偶数即可，正好有14个；故选C．点评： 此题主要利用7的倍数找出从1到200中能被7整除的数，去掉里面包含被14整除的数即可解答．5．（4分）A、B、C是面积分别为150、170、230的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起的覆盖面积是350，且A与B、B与C、A与C的公共部分面积分别是100、70、90．则A、B、C的公共部分面积是（ ）A． 12 B． 13 C． 60 D． 15考点： 容斥原理．专题： 计算题．分析： 首先根据题目说明，令A=150，B=170，C=230．根据容斥定理A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A﹣A∩B∩C 代入计算，即可求得A∩B∩C，也就是A、B、C的公共部分面积．解答：解：根据容斥定理：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A﹣A∩B∩C∴A∩B∩C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A﹣（A+B+C）=350+100+70+90﹣（150+170+230）=60故选C．点评： 本题考查了容斥定理．解决本题的关键是熟练掌握容斥定理的公式运算，及其含义．6．（4分）50束鲜花中，有16束插放着月季花，有15束插放着马蹄莲，有21束插放着白兰花，有7束中既有月季花又有马蹄莲，有8束中既有马蹄莲又有白兰花，有10束中既有月季花又有白兰花，还有5束鲜花中，月季花、马蹄莲、白兰花都有．则50束鲜花中，这三种花都没有的花束有（ ）A． 17 B． 18 C． 19 D． 20考点： 容斥原理；推理与论证．专题： 应用题．分析： 5束鲜花中月季花、马蹄莲、白兰花都有，那么只含有月季花和马蹄莲的有7﹣5=2束，那么只含有马蹄莲和白兰花的有3束，只含有月季花和白兰花的有5束，只含有月季花的为16﹣2﹣5﹣5=4束，只含有马蹄莲的有15﹣2﹣3﹣5=5束，只含有白兰花的有21﹣3﹣5﹣5=8束，50束去掉这些含有三种的，两种的，一种的就是不含有．解答： 解：只含有月季花和马蹄莲的有7﹣5=2束只含有马蹄莲和白兰花的有8﹣5=3束只含有月季花和白兰花的有10﹣5=5束只含有月季花的为16﹣2﹣5﹣5=4束只含有马蹄莲的有15﹣2﹣3﹣5=5束只含有白兰花的有21﹣3﹣5﹣5=8束鲜花中月季花、马蹄莲、白兰花都含有的为5束50﹣2﹣3﹣5﹣4﹣5﹣8﹣5=18故选B．点评： 本题考查理解题意的能力，找出所有含有月季花或马蹄莲或白兰花的花，剩下的就这三种花都没有．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）7．（3分）一张正方形的纸片面积是50平方厘米，一张圆形的纸片面积是40平方厘米．两张纸片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米，则这两张纸片重合部分的面积是30 平方厘米．考点： 容斥原理．专题： 计算题．分析： 两张纸片覆盖桌面，设覆盖区域内的面积包括A、B、C三部分，重叠部分为B，正方形包括A+B，圆部分包括B+C，则有A+B=50，B+C=40，A+B+C=60，求B，前两个式子相加，减去第3个式子即可．解答： 解：设覆盖区域内的面积包括A、B、C三部分，重叠部分为B，∵正方形包括A+B，圆部分包括B+C，∴A+B=50，B+C=40，A+B+C=60，∴（A+B）+（B+C）﹣（A+B+C）=50+40﹣60=30（平方厘米），故答案为30．点评： 本题考查了容斥原理，用正方形包括A+B，圆部分包括B+C表示出阴影部分的面积是解此题的关键．8．（3分）某班有学生45人，已知某次考试数学30人优秀，物理28人优秀，数理两科都优秀的有20人．则数理两科至少有一科优秀的有38 人，一科都未达到优秀的有7 人．考点： 容斥原理．专题： 计算题．分析：数理两科至少有一科优秀的人数等于数学优秀的人数加上物理优秀的人数，减去两科都优秀的人数，而一科都未达到的人数是总人数减去数理两科至少有一科优秀的人数．解答： 解：数理两科至少有一科优秀的人数是：30+28﹣20=38人；一科都未达到优秀的有：45﹣38=7人．故答案是：38和7．点评： 本题主要考查了对于容斥原理的应用，对于定理的认识是解决本题的关键．9．（3分）某班有学生50人，参加数学兴趣小组的有35人，参加语文兴趣小组的有30人，每人至少参加一个组，则两个组都参加的有15 人．考点： 容斥原理．专题： 应用题．分析：由于每人至少参加一个组，参加数学兴趣小组的人数与参加语文兴趣小组的人数和，把两个组都参加的人数算了两次，因此用它们的和去掉班内的学生人数即可解决问题．解答： 解：参加数学兴趣小组的有35人，里面包含参加语文兴趣小组的人数，参加语文兴趣小组的有30人，里面包含参加数学兴趣小组的人数，因此35+30=65人，就把两个组都参加的人数算了两次，由此可知两个组都参加的人数为65﹣50=15人．故答案为15．点评： 此题重在理解参加数学兴趣小组的人数里面包含参加语文兴趣小组的人数，参加语文兴趣小组的人数里面包含参加数学兴趣小组的人数，算出两个总人数，再利用容斥原理解答即可．10．（3分）一个数除以3余2，除以4余1，则这个数除以12的余数是 5 ．考点： 带余除法；容斥原理．分析： 利用带余数的除法运算性质，将这个数看成A+B，A为可以被12整除的部分，B则为除以12的余数，得出A可以被3或4整除，再结合已知这个数除以3余2，除以4余1，得出B也相同，归纳出符合要求的只有5．解答： 解：将这个数看成A+B，A为可以被12整除的部分，B则为除以12的余数．A可以被12整除，则也可以被3或4整除．因为这个数“除以3余2，除以4余1”，所以B也是“除以3余2，除以4余1”，又因为B是大于等于1而小于等于11，在这个区间内，只有5是符合的．故答案是：5．点评： 此题主要考查了带余数的除法运算，假设出这个数，分析得出符合要求的数据．11．（3分）每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为一个边宽是1厘米的方框．把5个这样的方框放在桌上，成为如图这样的图形．则桌面上被这些方框盖住的部分面积是 172 平方厘米．考点： 容斥原理．专题： 计算题．分析：首先求得一个方框的面积，5个方框的面积的和减去重合部分的面积即为所求，重合部分的面积等于8个边长是1的正方形的面积的和．解答：解：一个方框的面积是：102﹣（10﹣2）2=100﹣64=36五个方框的重合部分的面积=8．则方框盖住的部分面积是：36×5﹣8=172cm2．故答案是：172．点评：本题主要考查了图形面积的计算，正确计算一个方框的面积和重合部分的面积是解决本题的关键．12．（3分）200以内的正偶数中与5互质的数有 80 个．考点： 容斥原理．专题： 计算题．分析：首先找出200以内的偶数有100个，去掉能被5整除的偶数（即末尾为0的偶数）有20个，由此解决问题．解答： 解：200以内的偶数很显然有100个，被5整除的偶数（即末尾为0的偶数）有10、20、30、…200共20个，剩下的100﹣20=80个正偶数都与5互质；故答案为80．点评： 此题主要利用偶数的性质以及被5整除数的特征来进行分析，再进一步利用容斥原理解决问题．三、解答题（共17小题，满分0分）13．在线段AB上取两个点以C、D，已知AB=25，AD=19，CB=17，求CD长．考点： 比较线段的长短；容斥原理．专题： 计算题；数形结合．分析： 先由BD=AB﹣AD求出BD的长度，然后BC减去BD即可得出答案．解答： 解：由题意得：BD=AB﹣AD=6，∴DC=BC﹣BD=17﹣6=11．点评： 本题考查求线段长度的知识，比较简单，注意利用已知线段表示出未知线段从而得出答案．16．求前500个正整数中非5、非7、非11的倍数的数的个数．考点： 容斥原理．专题： 计算题．分析： 利用总个数500减去，是5的倍数，7的倍数，11的倍数的数即可求解．解答： 解：前500个正整数中是5的倍数的数有500÷5=100个；∵500÷7=71，∴前500个正整数中是7的倍数的数有71个；∵500÷11=45，∴前500个正整数中是11的倍数的数有45个；既是5的倍数又是7的倍数的数一定是35的倍数，500÷35=14=14，则是35的倍数的有14个；既是5的倍数又是11的倍数的数一定是35的倍数，500÷55=9，则是55的倍数的有9个；既是7的倍数又是11的倍数的数一定是77的倍数，500÷77=6，则是77的倍数的有6个；同时是5，7，11的倍数的数，一定是385的倍数，只有1个．则前500个正整数中非5、非7、非11的倍数的数的个数是：500﹣100﹣71﹣45+14+9+6﹣1=312个．点评： 本题主要考查了数的容斥性，正确确定是5的倍数，7的倍数，11的倍数的总个数是解题的关键．17．某校初一年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数．考点： 容斥原理．分析： 利用，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，去掉参加了两项的人数，加上三个兴趣小组都参加的人数，最后再加上三个兴趣小组都没有参加的人数即为全班人数即可解答．解答： 解：参加体育、文学、数学兴趣小组的人数总和为135，里面包含参加了两项的人数，这是总人数为135﹣15﹣10﹣8=102，又因参加两项的人数的里面包含了三个兴趣小组都参加的人数，上面的算式相当于把个兴趣小组都参加的人数减去了两次，这时人数应加上，人数为102+4=106人，要再加上三个兴趣小组都没有参加的人数即为全班人数，由此可知三个兴趣小组都没有参加的人数为120﹣106=14．答：三个兴趣小组都没有参加的人为14人．点评： 本题利用容斥原理解决问题，关键是理清参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，即包含了参加了两项的人数，又包含三个兴趣小组都参加的人数．18．某班语文、数学、外语三门考试成绩统计结果如下：课程 语文 数学 外语 语、数 数、外 语、外 至少一门得满分人数 9 11 8 5 3 4 18问：语文、数学、外语三门考试都得满分的人数是多少？考点： 容斥原理．专题： 应用题．分析： 令语文、数学、外语得满分的人集合为A、B、C．根据表及题目说明，则原题可改写为A∪B∪C=18，A=9，B=11，C=8，A∩B=5，B∩C=3，A∩C=4，求A∩B∩C．再利用容斥定理求解．解答： 解：令语文、数学、外语得满分的人集合为A、B、C．根据容斥原理有 A∪B∪C=（A+B+C）﹣（A∩B+B∩C+A∩C）+A∩B∩C 得：A∩B∩C=A∪B∪C﹣（A+B+C）+（A∩B+B∩C+A∩C）=18﹣（9+11+8）+（5+3+4）=2人．答：语文、数学、外语三门考试都得满分的人数是2人．点评： 本题考查容斥定理的应用．解决本题的关键是首先理清题意，将原题用交并集改写，再利用容斥定理来加以解决．19．求出分母是111的最简真分数的和．考点： 容斥原理．分析： 根据111的因数的3和37，则不是最简分数，且分母是111的真分数，分子一定是3或37的整数倍，求出分子是3的倍数的，分母是111的所有真分数的和，分子是37的倍数的，分母是111的所有真分数的和以及分母是111的所有真分数的和即可求解．解答： 解：∵111=3×37分子是3的倍数的，分母是111的所有真分数的和是：++…+=3×（）=18；分子是37的倍数的，分母是111的所有真分数的和是：+==1分母是111的所有真分数的和是：++…+==55．则分母是111的最简真分数的和是：55﹣18﹣1=36．点评： 本题主要考查了容斥原理，正确理解不是最简分数，且分母是111的真分数，分子一定是3或37的整数倍是解决本题的关键．20．有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着．现将其顺序编号为1，2，3，…，1997．将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？考点： 容斥原理．专题： 计算题．分析： 先求出2的倍数的灯数，为998，再求出3的倍数的灯数，为665，求出5的倍数的灯数，为399；以上相加，然后再减去6倍的灯数，10的倍数的灯数，15的倍数的灯数，再加上30的倍数的灯数，最后列式计算即可．解答：解：①．被拉了三次的灯，为2、3、5的最小公倍数，也就是=66②．被拉了两次的灯，也就是求2和3、3和5、2和5的最小公倍数的和，这里注意要扣除被重复拉的灯（也就是2、3、5三个数的最小公倍数）：++﹣3×66=466③．被拉了一次的灯，++﹣2×466﹣3×66=932那么最后亮着的灯的数量：1997﹣66﹣932=999点评： 本题考查了容斥原理，在1至1997这些连续整数中求得2，3，5，6，10，15，30的倍数的个数是解此题的关键．21．在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？考点： 容斥原理．专题： 计算题；数字问题．分析： 分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数．解答： 解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2×1，2×2，…，2×100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3×1，3×2，…，3×66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为：6×1，6×2，…，6×33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：200﹣100﹣66+33=67（个）答：在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为67个．点评： 本题考查容斥定理．解决本题的关键是分清在1到200的整数中，仅能被2整除的数个数，仅能被3整除的数个数，既能被2整除又能被3整除（即能被6整除的整数个数，公共部分）．22．求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S．考点： 容斥原理；数的整除性．专题： 计算题．分析： 先分别计算出所有自然数的和、所有2的倍数的自然数和、所有3的倍数的自然数和、所有6的倍数的自然数和，然后根据容斥定理即可得出答案．解答： 解：1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=5050，1到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：2×1+22+…+2×50=2×（1+2+3+…+50）=2×1275=2550，1到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：3×1+3×2+…+3×33=3×（1+2+3+…+33）=3×561=1683，1到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是所有6的倍数的自然数和是：6×1+6×2+…+6×16=6×（1+2+3+…+16）=6×136=816，∴1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S=5050﹣2550﹣1683+816=1633．点评： 本题考查了数的整除性的知识，难度不算太大，注意分别求出各类数之和，运用容斥定理进行解答．23．求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数．考点： 容斥原理．专题： 计算题．分析：如图，用3个圆A、B、C分别表示不大于500而能被2、3、5整除的自然数，A∩B表示既能被2整除又能被3整除的自然数，A∩C表示既能被2整除又能被5整除的自然数，B∩C表示既能被3整除又能被5整除的自然数，A∩B∩C表示既能被2整除又能被3整除，还能被5整除的自然数由图可看出：属于A、B、C之一的数的﹣（|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|）+|A∩B∩C|个数为：|A|+|B|+|C|解答： 解：不大于500且能被2整除的自然数的个数是：250不大于500且能被3整除的自然数的个数是：166不大于500且能被5整除的自然数的个数是：100不大于500既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的自然数的个数是：83不大于500既能被2整除又能被5整除，即能被10整除的自然数的个数是：50不大于500既能被3整除又能被5整除，即能被15整除的自然数的个数是：33不大于500既能被2整除又能被3整除，还能被5整除，即能被30整除的自然数的个数是：16由容斥原理得：不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数是：250+166+100﹣（83+50+33）+16=366．点评： 本题考查数的整除性问题，解决本题的关键是运用交并集来解决．24．求前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和．考点： 容斥原理．专题： 应用题．分析： 首先求得前200个正整数的和；前200个正整数中，所有2的倍数的正整数和；前200个正整数中，所有3的倍数的正整数和；前200个正整数中，所有5的倍数的正整数和；前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的正整数和；前200个正整数中，所有既是2的倍数又是5的倍数，即是10的倍数的正整数和；前200个正整数中，所有既是3的倍数又是5的倍数，即是15的倍数的正整数和；前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数，即是30的倍数的正整数和．再利用容斥定理，计算符合条件的结果．解答： 解：前200个正整数的和是：1+2+3+…+200=20100前200个正整数中，所有2的倍数的正整数和是：2×1+2×2+…+2×100=2×（1+2+3+…+100）=2×5050=10100前200个正整数中，所有3的倍数的正整数和是：3×1+3×2+…+3×66=3×（1+2+3+…+66）=6633前200个正整数中，所有5的倍数的正整数和是：5×1+5×2+…+5×40=5×（1+2+3+…+40）=4100前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的正整数和是：6×1+6×2…+6×33=6×（1+2+3+…+33）=3366前200个正整数中，所有既是2的倍数又是5的倍数，即是10的倍数的正整数和是：10×1+10×2+…+10×33=10×（1+2+3+…+20）=2100前200个正整数中，所有既是3的倍数又是5的倍数，即是15的倍数的正整数和是：15×1+15×2+…+15×13=15×（1+2+3+…+13）=1365前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数，即是30的倍数的正整数和是：30×1+30×2+…+30×6=30×（1+2+3+4+5+6）=630所以，前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和是S=20100﹣（10100+6633+4100）+（3366+2100+1365）﹣630=630点评： 本题考查了数的整除性的知识，难度不算太大，注意分别求出各类数之和，运用容斥定理进行解答．25．某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表求这个班的学生数．考点： 容斥原理．专题： 应用题．分析： 首先令短跑测试人数为A、游泳测试人数为B、篮球测试人数为C．根据题目说明及表将原题改写为： A=17，B=18，C=15，A∪B=6，B∪C=6，A∪C=5，A∩B∩C=2，求A∪B∪C的值．再利用容斥定理加以解决． 解答： 解：有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是17，18，15， 因而，总人数是17+18+15+4=54，但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，即总人数变为：54﹣6﹣6﹣5=37，又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，所以最后还要将他们加进去．即这个班学生数为：37+2=39．点评： 本题考查容斥定理，如用常规的方法作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，采用容斥原理加以解决就避免了这些问题，因而同学们一定要灵活掌握容斥定理的定义及公式．26．从1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数多还是能被13整除而不能被11整除的数多？考点： 容斥原理；数的整除性．分析：设1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数有m个，能被13整除而不能被11整除的数有n个，既能被11又能被13整除的数有p个．先求得，能被11整除数有90909个，则m+p=90909；再求得能被13整除数有76923个，则n+p=76923，由m+p＞n+p 得m＞n，从而得出结论．解答： 解：设1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数有m个， 能被13整除而不能被11整除的数有n个，既能被11又能被13整除的数有p个．而在1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除数有90909个，∴m+p=90909在1到1000000这一百万个自然数中，能被13整除数有76923个，∴n+p=76923∵m+p=90909＞n+p=76923，∴m+p＞n+p，即m＞n，即能被11整除而不能被13整除的数比能被13整除而不能被11整除的数多．点评： 本题考查了容斥原理和数的整除性问题，求得能被11整除而不能被13整除的数的个数，能被13整除而不能被11整除的数的个数，既能被11又能被13整除的数的个数，是解此题的关键．27．50名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？。

1. 一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。

求：（1）订阅报纸的总人数是多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？2. 一个旅行团有36人，其中会讲英语的有24人，会讲俄语的有18人，两样都不会的有4人。

问两样都会的有几人？3. 某校选出50名学生参加区作文比赛和数学竞赛。

作文比赛有14人获奖，数学竞赛有12 人获奖，有3人在两项比赛中都获奖。

问有几人在两项比赛中都没有获奖？4. 某年级举行了球类比赛，参加足球的有24人，参加篮球比赛的有21人，参加乒乓球比赛的有18人。

其中足球和篮球比赛都参加的有15人，篮球和乒乓球比赛都参加的有10人，足球的乒乓球比赛都参加的有13人，并且有8人三种球赛都参加了。

问参加球类比赛的共有多少人？五（1）班游泳、篮球三项的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分达到优秀的人数和项目如下表：求全班人数。

文能力测试，其中有5人在这三项中都没有达到良好，其它每人都至少有一项良好。

这部分达到良好的学生人数及项目如下表：求全班总人数。

7. 一个俱乐部里会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12 人，都会下的有30人。

问这个俱乐部共有多少人？8. 在一个100 人的旅行团中，懂英语的有66人，懂汉语的有54人，懂日语的有55人，既懂英语又懂汉语的有25人，既懂汉语又懂日语的有21人，但没有一个人懂这三种语言，也没有人不懂其中任何一种语言。

问有多少人既懂英语又懂日语？9. 一个班有48名学生，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文和数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文和数学都做完的人数。

10. 在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5 的倍数的数有多少个？11. 在1到200的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5 的倍数的数有多少个？12. 操场上的学生排成10路纵队做操，每路纵队的人数都相等，小明站在第4路纵队，从排头数他是第13人，从后往前数他是第8人。

1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人.3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人.6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个.8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.9.分母是1001的最简真分数有个.10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人.1．某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?2．某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?3．50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?4．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3支铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?5. 有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?6. 东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的．现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅?7．有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占，标有4的倍数的卡片占，标有12的倍数的卡片有15张．那么，这些卡片一共有多少张?8．在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?9．五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．10．甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了7.5个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?11．四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．12．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?13．甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。

高中容斥原理难题有10个不同的球，每个球上分别标有1至10的号码。

从这10个球中任取3个球，求取出的所有3个球中至少有一个是偶数的取法数。

解析：此题需要用到容斥原理。

首先，从10个球中任取3个球的所有取法数为C(10，3)。

然后，需要减去所有3个球都是奇数的取法数。

已知奇数有5个（1、3、5、7、9），所以所有3个球都是奇数的取法数为C(5，3)。

因此，至少有一个是偶数的取法数为C(10，3) - C(5，3)。

有7本不同的书，其中4本为数学书，2本为英语书，1本为历史书。

现在要从中取出4本书，求取出的所有4本书中至少有一本为英语书的取法数。

解析：此题同样需要用到容斥原理。

首先，从7本书中任取4本书的所有取法数为C(7，4)。

然后，需要减去所有4本书都不是英语书的取法数。

由于数学书有4本，历史书只有1本，因此所有4本书都不是英语书的取法数为C(4，4) ×C(3，1)。

所以，至少有一本为英语书的取法数为C(7，4) - C(4，4) ×C(3，1)。

有8个不同的数字，每组数字可以重复使用一次。

求将这8个数字排成一行，且每两个相邻的数字之和为9的所有可能排列的个数。

解析：此题需要用到容斥原理。

将这8个数字排成一行，且每两个相邻的数字之和为9的排列方式可以看作是将这8个数字分成两两相邻的4组，每组两个数字的和为9。

因此，问题可以转化为从8个数字中选出4组数字，每组的两个数字的和为9的所有可能组合方式的个数。

然而，由于每组数字可以重复使用一次，因此需要考虑重复的情况。

首先，不考虑重复的情况下，所有可能的组合方式的个数为C(8，4)。

然后，需要考虑重复的情况。

由于每组数字可以重复使用一次，因此会有C(4，1)×C(8，2)种重复的情况。

所以，最终的结果为C(8，4) - C(4，1)×C(8，2)。

十四、重叠问题应用题例1．某校36个同学在一次数学竞赛中，答对第一题的有25人，答对第二题的有20人。

两题都答对的有15人。

问有几个同学两题都不对？解：做对其中一题的有几人？25+20－15＝30（人）有几人两题都不对？36－30＝6(人）答：有6人两题都不对.例2．一个班有学生55人，参加体育队的有32人,参加文艺队的有27人，每人至少参加一个队。

问这个班两队都参加的有多少人？解：32+27－55＝4(人)答：两队都参加的有4人。

例3．某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人,数学得100分的有10人,两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。

这个班有学生多少人？解：26+（10+12－3)＝26+19＝45（人）答：这个班有学生45人。

例4．某班共有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行车，40人会溜冰,46人会打乒乓球。

问四项活动都会的人数至少有多少人?解：不会游泳的人数：50－35＝15（人）不会骑自行车的人数:50－38＝12(人）不会溜冰的人数:50－40＝10（人)不会打乒乓球的人数：50－46＝4（人）有一个项目不会的至少有：15+12+10+4＝41（人）四项都会的至少有:50－41＝9（人）答:四项活动都会的人数至少有9人.例5．有三个面积都是60平方厘米的圆,两两相交的面积分别为9、13、15平方厘米。

三个圆相交部分的面积为5平方厘米。

总体图形盖住的面积是多少平方厘米？解：60 3－9－13－15+5＝180－9－13－15+5＝148（平方厘米）答：总体图形盖住的面积是148平方厘米.随堂练习:1．五年级有学生42人，在一次考试中数学得优秀的有30人，语文得优秀的有28人,数学、语文都得优秀的有18人。

两门功课至少一门得优秀的有多少人？两门功课都没得优秀有多少人？2．有旅客100人，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语；有75懂得英语，有83人懂得俄语，既懂英语又懂得俄语的有多少人？3．学校组织语文、数学两门学科的竞赛，一个班有30人参加数学竞赛,35人参加语文竞赛,有18人参加了这两门学科竞赛,没有参加竞赛的有3人.这个班有多少人？4．在1至1000的自然数中，即不能被7整除又不能被13整除的数有多少个？课后作业：1．学校开运动会，五年级参加比赛的情况如下:参加田赛的有23人,参加径赛有32人，其中既参加田赛又参加径赛的人数有15人，田赛、径赛都没有参加的有3人。

容斥原理题目容斥原理是组合数学中的一种重要方法，它常常用于解决计数问题。

容斥原理的核心思想是通过排除重复计数的方法，来计算不同集合的交集和并集的元素个数。

在实际问题中，容斥原理能够帮助我们更加高效地解决一些复杂的计数问题，因此掌握容斥原理对于解决组合数学中的问题具有重要的意义。

首先，我们来了解一下容斥原理的基本概念。

假设有n个集合A1，A2，...，An，我们希望计算它们的并集的元素个数。

容斥原理告诉我们，这个并集的元素个数可以通过以下公式来计算：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| +Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。

其中，|X|表示集合X的元素个数，Σ表示对所有可能的组合进行求和。

这个公式的推导过程可以通过对每个元素进行分类讨论来理解，通过排除重复计数的方法，我们可以得到不同集合的交集和并集的元素个数。

举个例子来说明容斥原理的应用。

假设有一个集合S，它包含了所有小于100的能被2、3或5整除的整数。

现在我们希望计算集合S中元素的个数。

我们可以分别计算能被2、3、5整除的整数的个数，然后排除同时能被两个数整除、同时能被三个数整除、同时能被五个数整除的整数的个数，最后再加上同时能被2、3、5整除的整数的个数。

通过容斥原理，我们可以得到集合S中元素的个数。

除了计算集合的并集的元素个数，容斥原理还可以用于计算集合的交集的元素个数。

假设我们有n个集合A1，A2，...，An，我们希望计算它们的交集的元素个数。

容斥原理告诉我们，这个交集的元素个数可以通过以下公式来计算：|A1∩A2∩...∩An| = Σ(-1)^(n-1)|Ai| Σ(-1)^(n-2)|Ai∩Aj| + Σ(-1)^(n-3)|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∪A2∪...∪An|。

通过这个公式，我们可以计算出不同集合的交集的元素个数，同样地，通过排除重复计数的方法，我们可以得到不同集合的交集的元素个数。