13.3.1等腰三角形同步练习题(一)

八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测评一．选择题（共8小题，满分32分）1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（）A．54°B．63°C．27°D．27°或63°2．已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（）A．20°、20°、140°B．40°、40°、100°C．70°、70°、40°D．40°、40°、100°或70°、70°、40°3．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠ABC和∠ACB，已知BC＝20，AB＝18，AC＝16，则△ADE的周长是（）A．30B．32C．34D．364．如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A＝P1P2，量得∠BP5P4＝100°，则∠A＝（）度．A．10B．20C．15D．255．如图，为了加固屋顶的钢架，焊上等长的钢条（P1P2、P2P3等）．若∠A＝15°，AP1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（）条．A．4B．5C．6D．76．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，则∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜15°B．0°＜∠A＜18°C．0°＜∠A＜20°D．0°＜∠A＜22.5°7．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM 上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为（）A．4044B．4046C．22020D．220218．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，点P在∠BOC的平分线上，点E在直线AB上，且△EOP是等腰三角形，则这样的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分28分）9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的是．10．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝．11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AE＝AD，则∠EDC的度数是．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为°．14．如图，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能有个．15．如果△ABM和△ACN分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外等边三角形，MC交BN 于P，连P A，则∠APN＝．三．解答题（共9小题，满分60分）16．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．17．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．求证：DE+DF＝BG．19．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC，点F为BC中点．求证：AF⊥BC．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．21．已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．22．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．23．如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE 交CB于点P，点P为DE中点（1）求证：CD＝BE；（2）若DE⊥AC，求BP的长．24．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．2．解：（1）当40°角是顶角时，另两个底角度数为70°，70°；（2）当40°角是底角时，另两个角度数为40°，100°．故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠FBC，∠EFC＝∠BCF，∵FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∴∠BFD＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，∴DF＝DB，EF＝EC，∵△ADE的周长＝AD+AE+DE，DE＝DF+EF，∴△ADE的周长＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，∵AB＝18，AC＝16，∴△ADE的周长＝34．故选：C．4．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠P3P5P4+∠BP5P4＝180°，∠BP5P4＝100°，∴∠P3P5P4＝80°，∴∠A＝20°．故选：B．5．解：∵∠A＝∠P1P2A＝15°∴∠P2P1P3＝30°，∠P1P3P2＝30°∴∠P1P2P3＝120°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P2P3P4＝90°∴∠P4P3P5＝60°∴∠P3P5P4＝60°∴∠P3P4P5＝60°∴∠P5P4P6＝75°∴∠P4P6P5＝75°∴∠P4P5P6＝30°∴∠P6P5P7＝90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故选：B．6．解：采用排除法：①∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，当∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠FGE＝∠GEF＝∠EFD+∠A＝60°+15°＝75°，即此时符合；①当∠A＝18°时，同法求出∠FEG＝∠FGE＝90°，此时△FEG不存在，此时不符合，同样，当∠A取大于18°的角都不符合，当∠A＝小于18°的数时，△FEG存在，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选：B．7．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△A2021B2021A2022的边长为22020．故选：C．8．解：如图，①当OP＝OE时，这样的点E由2个，②当PE＝OE时，这样的点E由1个，③当OP＝PE时，这样的点E由1个，∴这样的点P有4个，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分）9．解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BC＝2DC，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2，故答案为211．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故答案为：（）n﹣1×75°．12．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，所以2x+y＝y+30，解得x＝15，所以∠EDC的度数是15°．故答案是：15°．13．解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．14．解：△AOP，△BOP，△COP，△DOP就是所求的三角形．15．解：∵△ABM和△ACN都是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠CAN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠BAN，在△ABN与△AMC中，，∴△ABN≌△AMC（SAS），∴∠ANP＝∠ACP，又∵∠AEN＝∠PEC（对顶角相等），∵∠AEP＝∠NEC（对顶角相等），∴∠APN＝∠ACN＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共9小题，满分60分）16．证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∠APE＝∠APF＝90°，又∵∠AEF＝180°﹣∠1﹣∠APE，∠AFE＝180°﹣∠2﹣∠APF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠CFM＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE＝∠CFM，∵∠AEF＝∠B+∠M，∠MFC＝∠ACB﹣∠M，∴∠B+∠M＝∠ACB﹣∠M，即：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．17．证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠ECB＝∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE＝EF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF，∵AE＝BD，∴DF＝AB，BC＝DF，∴AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．18．证明：连接AD．则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，AB•DE+AC•DF＝AC•BG，∵AB＝AC，∴DE+DF＝BG．19．证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵点F为BC中点，∴AF⊥BC．20．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠SCB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，∴∠DBC＝∠E，∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，∵DH垂直于BE，∴H为BE中点（三线合一）．21．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．22．证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，AM＝BN；∴AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，AM＝BN，∴△AMC≌△BNC（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN；又∵∠NCM＝∠BCN﹣∠BCM，∠ACB＝∠ACM﹣∠BCM，∴∠NCM＝∠ACB＝60°，∴△CMN是等边三角形．23．（1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵DF∥AB，∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF，∵点P为DE中点，∴PD＝PE，在△PDF和△PEB中，，∴△PDF≌△PEB（AAS），∴DF＝BE，∴CD＝BE；（2）解：∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，∴AD＝AE，∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E，∴BP＝BE，由（1）得：CD＝BE，∴BP＝BE＝CD，设BP＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，∵AE＝2AD，∴12+x＝2（12﹣x），解得：x＝4，即BP的长为4．24．（1）证明：如图，过P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形；∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ．（2）△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF+DF＝AC，∵AC＝1，DE＝．。

13。

3.1(等腰三角形的性质)练习题一、填空1、在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在BC 上，1）。

如果AD ⊥BC ，那么∠BAD ＝∠______，BD ＝_______。

2）。

如果∠BAD ＝∠CAD ，BC= 6cm ， 那么∠BDA ＝_____°，BD ＝______cm.3）. 如果BD ＝CD ，那么∠BAD ＝∠_______，AD ⊥______.2、有一个底角为︒20的等腰三角形的另外两个角的度数分别为________。

3、有一个内角为︒140的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.4、如果ABC ∆中，AC AB =，它的两边长为cm 2和cm 4，那么它的周长为________。

5、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为cm 10,那么它的三边长为______.二、选择1、下列结论中，错误的是( ）A 、等腰三角形被底边上的中线分成的两个三角形全等B 、底边相等的两个等腰直角三角形全等C 、高相等的两个等边三角形全等D 、腰相等的两个等腰三角形全等2、如图1，在△ABC 中，AB ＝AC,D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F,则图中全等三角形共有（ ）A 、 2对B 、3对C 、4对D 、5对D三、解答1、如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =,︒=∠30A ，BD 是ABC ∆的角平分线，求ADB ∠的度数.A B C E F 图12、如图，已知:在ABC=C。

=，︒∠40DB∆中，D是AC上一点，且DCAB=求：ABD∠的度数.3、如图，已知：在ABC∠70BD=。

=B，CF∆中，ACAB=，CDBE=，︒求：EDF∠的度数。

4、如图，已知：BDAC==,，AB与CD相交于O点。

BCAD求证：CDAB⊥。

5、如图，已知：在ABCCD=，F为AD中点，∆中，D为BC延长线上一点，且AC且CE平分ACB∠交AB于E.求证：CFCE⊥。

等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1．已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为________．2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，则BD＝________cm.第2题图第3题图3．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为() A．35° B．45° C．55° D．60°4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为() A．50° B．80°C．50°或80° D．40°或65°5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠C的度数．6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.第2课时等腰三角形的判定1．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形2．已知△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝________．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，使其可以确定△ABC为等腰三角形，则添加的条件是________．第3题图第4题图4．如图，已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有________个等腰三角形．5．如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：AB＝AC.6．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G.求证：△EFG是等腰三角形．13．3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定1．如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为________．第1题图第3题图2．在△ABC中，∠A＝60°，现有下面三个条件：①AB＝AC；②∠B＝∠C；③∠A＝∠B.能判定△ABC为等边三角形的有________．3．如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB＝4，则AD＝________．4．如图，△ABC是等边三角形，∠CBD＝90°，BD＝BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD 的度数．5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD.求证：(1)△ABE≌△ACD；(2)△ADE为等边三角形．第2课时含30°角的直角三角形的性质1．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，则BC的长度为( ) A．3 B．4 C．5 D．6第1题图第2题图第3题图2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．73．如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，则BE的长为________．4．如图，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，求BE＋CF的值．5．如图所示是某种帐篷支架屋顶的侧面示意图，它是底角为30°的等腰三角形．已知中柱BD垂直于底边AC，支柱DE垂直于腰AB，测得BE＝1米，求AB的长．13．4 课题学习最短路径问题1．已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA＋PB 的值最小，则下列作法正确的是( )2．如图，已知直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )A．转化思想B．三角形两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角第2题图第3题图3．如图，点P是直线l上的一点，线段AB∥l，能使PA＋PB取得最小值的点P的位置应满足的条件是( )A．点P为点A到直线l的垂线的垂足B．点P为点B到直线l的垂线的垂足C．PB＝PAD．PB＝AB4．如图，在直线l的两侧分别有A和B两点，试在直线l上确定一点P，使点P到点A和到点B的距离之和最短，并说明理由．等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质1．80° 2.3 3.C 4.C5．解：∵AB ＝AD ，∴∠B ＝∠ADB .由∠BAD ＝40°，得∠B ＝∠ADB ＝70°.∵AD ＝DC ，∴∠DAC ＝∠C ，∴∠C ＝12∠ADB ＝35°.6.证明：如图，连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠F AD .在△AED 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠F AD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD (SAS)，∴DE ＝DF .第2课时 等腰三角形的判定1．A 2.5cm 3.BD ＝CD (答案不唯一) 4.35．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD .在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵DE ＝DF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF (HL)，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC .6．证明：∵FG 平分∠EFD ，∴∠GFD ＝∠EFG .∵AB ∥CD ，∴∠EGF ＝∠GFD ，∴∠EFG＝∠EGF ，∴△EFG 是等腰三角形．13．3.2 等边三角形第1课时 等边三角形的性质与判定1．60° 2.①②③ 3.2 4．解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝60°.∵BD ＝BC ，∴AB ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA .∵∠CBD ＝90°，∴∠ABD ＝90°＋60°＝150°，∴∠BAD ＝12×(180°－150°)＝15°.5．证明：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC .在△ABE 与△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，BE ＝CD ，∴△ABE ≌△ACD . (2)由(1)知△ABE ≌△ACD ，∴AE ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．第2课时 含30°角的直角三角形的性质1．C 2.D 3.44．解：∵△ABC 是边长为20的等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∴在Rt △BED 中，∠EDB＝30°，∴BE ＝12BD .同理可得，CF ＝12CD ，∴BE ＋CF ＝12BD ＋12CD ＝12BC ＝10.5．解：∵BD ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠DEB ＝90°.∵在Rt △ABD 中，∠A ＝30°，∴∠ABD＝60°，AB ＝2BD .∴在Rt △BDE 中，∠BDE ＝30°，∴BD ＝2BE ＝2米，∴AB ＝4米．13．4 课题学习 最短路径问题1．D 2.D 3.C4．解：连接AB 与直线l 的交点即为点P ，图略．因为两点之间，线段最短．。

13．3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质【课前预习】1．______________的三角形叫做等腰三角形．2．等腰三角形的两个底角______(简写成“______________”)．3．等腰三角形的________________、________________、________________相互重合(简写成“__________”)．【当堂演练】1．若等腰三角形的两边长为3 cm和4 cm，则这个等腰三角形的腰长为( )A．4 cm B．3 cm C．4 cm或3 cm D．无法确定2．等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为( )A．15 B．11 C．7 D．15或73．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°4．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )A．过顶点的直线 B．底边上的高C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，则下列结论中错误的是( ) A．∠BAD＝∠CAD B．AD⊥BCC．∠B＝∠C D．∠BAC＝∠B第5题图第6题图6．如图，点D在AC上，AB＝AC，AD＝DB，则图中的等腰三角形有______个．7．如图，已知AB∥CD，AB＝AC，∠ABC＝68°，则∠ACD＝______．8．若等腰三角形的一个角为80°，则另两个角分别是______________．9．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠AED＝∠AFD＝90°，AE＝AF.求证：∠1＝∠2.【课后巩固】一、选择题1．(2016·湘西州)一个等腰三角形的一边长为4 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是()A．13 cm B．14 cmC．13 cm或14 cm D．以上都不对2．(2015·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为()A．35°B．45°C．55°D．60°第2题图第3题图3．(2015·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为()A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°4．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是()A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cmC．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10 cm5．(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为()A．44°B．66°C．88°D．92°第5题图第6题图二、填空题6．如图，一张三角形纸片ABC，AB＝AC＝5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕交AC边于点E，则线段AE的长为______．7．等腰三角形中，一边与另一边之比为3∶4，该三角形周长为110，则腰长是________．8．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心、1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB 于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心、1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝______.三、解答题9．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD＝BD，AD与BE交于点F，连接CF.求证：BF＝2AE.10．在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.(1)如图①，若∠A＝40°，则∠DBC＝______；若∠A＝50°，则∠DBC＝______；若∠A ＝α，则∠DBC＝______；(2)如图②，猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并予以证明．①②第2课时等腰三角形的判定【课前预习】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也__________(简写成“____________”)．【当堂演练】1．如图，OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD的长为()A．3 cm B．4 cm C．1.5 cm D．2 cm第1题图第3题图2．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形一定是() A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形3．如图，等腰三角形的个数有()A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③BO＝OC；④OE＝OD.从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是()A．①②B．①③C．③④D．②③5．在△ABC中：(1)若∠B＝∠C，AB＝5，则AC＝______；(2)若∠B＝50°，∠C＝65°，则△ABC的形状是____________．6．如图，AD＝AE，BD＝CE，B，D，E，C在同一条直线上．试判断△ABC为__________三角形．第6题图第7题图7．在一次夏令营活动中，小欢同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200米到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，由此可知，B，C两地相距______米．8．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：AB＝AC.9．如图，已知锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．【课后巩固】一、选择题1．如图，在△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()A．100°B．80°C．70°D．50°2．把两个都有一个锐角为30°且一样大小的直角三角形拼成如图所示的图形，两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB 于点M、交AC于点N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________．4．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有______个．三、解答题5．如图，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．6．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．7．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图①，若点O在BC上，求证：AB＝AC；(2)如图②，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；(3)若点O在△ABC外部，AB＝AC成立吗？请画图并证明你的结论．①②13．3. 2等边三角形第1课时等边三角形的性质和判定【课前预习】1．____________的三角形是等边三角形．2．等边三角形的性质：(1)等边三角形是______对称图形，且有______条对称轴，对称轴是________________；(2)等边三角形是______的等腰三角形，具有等腰三角形的性质；(3)等边三角形的三个内角都______，并且每一个角都等于______．3．等边三角形的判定定理：(1)三个角都______的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的________________是等边三角形；(3)三条边都______的三角形是等边三角形．【当堂演练】1．等边三角形的对称轴有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD的度数为( )A．30° B．60° C．120° D．180°第2题图第3题图3．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是()A．180°B．220°C．240°D．300°4．如图，已知P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ.则∠ABC的度数为______°.5．已知△ABC中，AB＝AC.①若AB＝BC，则△ABC是等边三角形；②若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形；③若∠B＝60°，则△ABC是等边三角形．上述结论中正确的有__________(填序号)．6．用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成______个等边三角形．7．如图，△ABC是等边三角形．点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，且AD ＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形．【课后巩固】一、选择题1．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形() A．2个B．3个C．4 个D．5个第1题图第2题图2．如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，∠2的度数为() A．60°B．45°C．40°D．30°3．若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形二、填空题4．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF ＝DE，则∠E＝______°.第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，将三角形ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形△A′B′C′，连接AA′，则四边形ABC′A′ 的周长为______．6．如图，△ABC，△ADE，△EFG都是等边三角形，点D和G分别是AC和AE的中点，若AB＝4，则多边形ABCDEFG的周长为______．第6题图第7题图7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A 旋转后得到△ACE，则CE的长度为______．三、解答题8．如图，△ABC是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3.(1)求∠BEC的度数；(2)△DEF是等边三角形吗？请简要说明理由．9．如图，已知在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.求证：点M是BE的中点．第2课时 30°角的直角三角形的性质【课前预习】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的______等于______的一半．【当堂演练】1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，∠B ＝30°，AD ＝2 cm ，则AB 的长为( )A ．2 cmB ．4 cmC ．8 cmD ．16 cm2．三角形中有一条边是另一条边的2倍，并且有一个内角为30°，这个三角形( )A ．一定是直角三角形B ．一定是钝角三角形C ．不可能是直角三角形D ．不可能是锐角三角形3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，CD 是斜边AB 上的高，则以下关系中不正确的是( )A ．CD ＝12ACB ．BD ＝12CDC ．BD ＝14AB D ．BC ＝12AB 4．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )A ．6米B ．9米C ．12米D ．15米5．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，AB ＝10，则BC ＝______.6．如图，点D 为等边△ABC 的边BC 的中点，则AB ∶BD ＝______.第6题图 第7题图7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝4 cm ，则∠BCD ＝______，BD ＝______cm.8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ，∠A ＝30°，AB ＝8，则DE 的长度是______．第8题图第9题图9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD＝______.10．如图，在△ABC中，若∠B＝15°，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN交BC于点M、交AB于点N，BM＝12 cm，求AC的长．【课后巩固】一、选择题1．如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且DE ⊥BC ，DE ＝12CD ，则∠B 的度数为( ) A ．60° B ．30° C ．20° D ．10°第1题图 第3题图2．三角形三个内角之比为1∶2∶3，最长的一边边长为16 cm ，则最短的一边边长为( )A ．8 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．10 cm3．在△ABC 中，∠C ＝90°，DE 垂直平分AB ，垂足为点D ，交BC 于点E ，BE ＝6 cm ，AC ＝3 cm ，则∠B 的度数为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°4．如图，已知∠ABC ＝60°，DA 是BC 的垂直平分线，BE 平分∠ABD 交AD 于点E ，连接CE.则下列结论：①BE ＝AE ；②BD ＝AE ；③AE ＝2DE ；④S △ABE ＝S △CBE ，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题5．如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB ，若EC ＝1，则EF ＝______.第5题图 第6题图6．如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，∠C ＝30°，以顶点A 为圆心、AB 长为半径画圆弧交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E .若DE ＝a ，则BC 长为______(用含a 的代数式表示)．三、解答题7．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE ∥AB.过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F.(1)求∠F 的度数；(2)若CD ＝2，求DF 的长．8．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A(0，1)，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC.(1)求证：OB＝AC；(2)求∠BAC的度数；(3)当B点运动时，AE的长度是否发生变化？。

人教版八年级数学试题13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（）A．60°B．70°C．75°D．80°5．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或136．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A． 7 B．11 C． 7或11 D． 7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120° C．60°或150° D．60°或120°二．填空题（共10小题）9．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是_________ ．10．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=_________ ．第10题第11题第12题第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，则∠B=_________ °．12．如图，AB∥C D，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=_________ ．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=_________°．第14题第15题第16题第17题第18题15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=10cm，则AB+BD= _________ cm．16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=_________ 度．三．解答题（共5小题）19．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：（1）△ABD≌△ACD；（2）BE=CE．21．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？（用序号写出所有的情形）（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC．23．（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一、CBBCDCCD二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、10；16、72；17、70；18、50三、19、证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODB=∠OEC=90°．∵O是底边BC上的中点，∴OB=OC，在△OBD与△OCE中，∴△OBD≌△OCE（AAS）．∴BD=CE．∵AB=AC，∴AB﹣BD=AC﹣CE．即AD=AE．20、证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△A BD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；…（4分）（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE （SAS），∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．（其他正确证法同样给分）…（4分）21、解：OE⊥AB．证明：在△B A C和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD（SAS）．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．答：OE⊥AB．22、（1）答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．（2）解：选择①④，证明如下：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB．②④理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，23、解：（1）成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．∴∠1=∠3，∠6=∠5．根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立．（2）∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠AC G，∴∠ACF=∠FCG．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG．∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。

人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步训练1．如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰三角形，且BD＝CD，过点D作AB的平行线交AC于点E，若AB＝8，DE＝6，则BD的长为（）A．6B．C．D．2．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．求证AB＝AC．以下是排乱的证明过程：①又∠1＝∠2，②∴∠B＝∠C，③∵AD∥BC，④∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，⑤∴AB＝AC．证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④→⑤B．③→④→①→②→⑤C．．①→②→④→③→⑤D．①→④→③→②→⑤3．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°4．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC 交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC的长为（）A．12B．16C．20D．86．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，点E在AB上，DE⊥CB，垂足为F，连接AF则下列结论中错误的是（）A．AB＝AC B．∠AFC＝∠DC．∠AEF+∠D＝180°D．∠AFC＞∠FCD7．如果一个等腰三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长是（）A．9B．12C．9或12D．不确定8．若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（）A．50°B．80°C．50°或70°D．80°或40°9．若等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，则它的周长为（）A．22cm B．17cm C．22cm或17cm D．22cm或19cm 10．等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是（）cm．A．4 B．9 C．4或9 D．大于5且小于1311．下列对△ABC的判断，错误的是（）A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠B＝50°C．若AB＝BC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则△ABC是等腰三角形12．已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则此等腰三角形的底边长为（）A．3B．8C．3或8D．8或5.513．若等腰三角形的顶角是大于60°的锐角，则底角度数的取值范围是（）A．x＜60°B．x≤60°C．45°＜x＜60°D．45°≤x＜60°14．△ABC中，∠BAC＝∠BCA，AD平分∠BAC，DE∥AC，下列说法正确的是（）A．∠B＝36°B．∠ADB＝108°C．∠ADB＝3∠EDA D．∠AED＝3∠B 15．等腰三角形的两边长为3和8，则这个等腰三角形的周长是（）A．14B．19C．14或19D．2016．如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中错误的是（）A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD⋅BC17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠BAD＝78°，则∠B的度数是（）A．34°B．30°C．28°D．26°18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM 交AB于点E．若AE＝5，BE＝1，则EC的长度是（）A．B．C．9D．19．如图，在等腰△ABD中，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，则∠EBD的度数为．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AC于点C和点D，再分别以点C和点D为圆心，大于DC长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝40°，则∠EBC＝度．21．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，D是BC边上的动点，连接AD，若△ABD 为直角三角形，则∠DAC的度数为．23．已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为．24．用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝cm．26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有个．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，则图中等腰三角形有个．28．如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝32°，求∠DAC的度数．29．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，直线AE交BC于点D，说明AD⊥BC的理由．30．若关于x，y的二元一次方程组的解都是正数．（1）求a的取值范围；（2）若此方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为12，求a的值．31．如图，在△ABC中，D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB＝AC．参考答案1．解：连接AD交BC于点O，取AC中点N，连接ON，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，∵△BCD是等腰三角形，∴BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴BO＝CO＝4，∵AN＝CN，∴ON＝AB＝4，ON∥AB，∵AB∥DE，∴ON∥DE，∴OD＝AO，∴AO＝4，∴OD＝2，在Rt△BOD中，BD＝＝2．故选：B．2．解：∵③AD∥BC，∴④∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵①∠1＝∠2，∴②∠B＝∠C，∴⑤AB＝AC，故证明步骤正确的顺序是③→④→①→②→⑤，3．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．4．解：∵DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，∴FE＝FD，∴△DEF一定为等腰三角形，故①正确；∵DE⊥AB，DE⊥FG，∴AB∥FG，∴∠FGC＝∠B＝60°，又∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∴△CFG中，∠C＝∠CFG＝∠CGF，∴△CFG一定为等边三角形；故②正确；∵∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°，∠CFD＜∠CFG＝60°，∴△FDC不可能为等腰三角形．故③错误；5．解：∵CM平分∠ACB交AB于点M，∴∠NCM＝∠BCM，∵MN∥BC∴∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∵MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°；∵AN＝2，∠AMN＝∠B＝30°，∴MN＝2AN＝4，∴NM＝NC＝4，∴AC＝AN+NC＝6，∴BC＝2AC＝12，故选：A．6．解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD，∠AEF+∠D＝180°，故C选项正确；∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCD，∴∠ACB＝∠B，∴AC＝AB，故A选项正确；∵DE⊥CB，∴∠CFD＝90°，∴∠D+∠BCD＝90°，假如∠AFC＝∠D，则∠CAF＝∠CFD＝90°，而∠CAF不一定是90°，∴∠AFC与∠D不一定相等，故B选项错误；∵∠AFC是△ABF的外角，∴∠AFC＞∠B，∵∠B＝∠FCD，∴∠AFC＞∠FCD，故D选项正确，故选：B．7．解：∵2+2＝4＜5，∴腰的长不能为2，只能为5，∴等腰三角形的周长＝2×5+2＝12，故选：B．8．解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，分情况讨论：当∠A＝∠C为底角时，2x+（x+30°）＝180°，解得x＝50°，底角∠A＝50°；当∠B＝∠C为底角时，2（x+30°）+x＝180°，解得x＝40°，底角∠B＝70°．故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°．故选：C．9．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，∵4+4＜9，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，此时等腰三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm，故选：A．10．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，∵4+4＜9，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，所以三角形的第三边为9cm，故选：B．11．解：A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠A＝∠C＝50°，∠B＝100°，故此选项错误，符合题意；C．若AB＝BC，∠A＝60°，则∠A＝∠C＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形，故此选项正确，不符合题意；D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则∠B＝80°，∠C＝∠B＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此选项正确，不符合题意．故选：B．12．解：本题可分两种情况：①当腰长为8时，底边长＝19﹣2×8＝3；经检验，符合三角形三边关系；②底边长为8，此时腰长＝（19﹣8）÷2＝5.5，经检验，符合三角形三边关系；因此该等腰三角形的底边长为3或8．故选：C．13．解：设等腰三角形的底角为x°，则顶角为（180°﹣2x），由题意可得：60°＜180°﹣2x＜90°，∴45°＜x＜60°，∴底角度数的取值范围是45°＜x＜60°，故选：C．14．解：设∠CAD＝x°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝∠BCA，∴∠BCA＝∠BAC＝2x°，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠BCA＝2x°，∠ADE＝∠CAD＝x°，∴∠ADB＝∠BDE+∠ADE＝2x°+x°＝3x°，即∠ADB＝3∠EDA，故选：C．15．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是8，但是3+3＜8，故不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是8，8．3+8＞8，符合条件．成立．故周长为：3+8+8＝19．故选：B．16．解：根据作图方法可得BC＝BD＝CD，∵BD＝CD，∴点D在BC的垂直平分线上，∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；∴O为BC中点，∴AO是△BAC的中线，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；∵BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC＝BC•DO+BC•AO＝BC•AD，故D选项错误，故选：D．17．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AC的垂直平分线l交BC于点D，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ADB＝2∠B，∵∠BAD＝78°，∴∠B+∠ADB+∠BAD＝∠B+2∠B+78°＝180°，∴∠B＝34°，故选：A．18．解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，AC＝AB＝BE+AE＝5+1＝6，在Rt△ACE中，CE＝＝，故选：A．19．解：∵AD＝AB，∠A＝32°，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°，由作图可知，EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝32°，∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°，故答案为：42°．20．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，由题意可知，BC＝BD，∴∠BDC＝∠ACB＝70°，∴∠CBD＝180°﹣70°×2＝40°，由题意可知，BF平分∠DBC，∴∠EBC＝∠CBD＝20°．故答案为：20．21．解：连接DE，∵在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝1，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝1，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝，故EF＝＝＝，∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝，故答案为：．22．解：如图，∵AB＝AC，∠B＝35°，∴∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，当∠BAD＝90°时，∠DAC＝110°﹣90°＝20°；当∠ADB＝90°时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠BAD＝55°．故答案为：20°或55°．23．解：∵等腰三角形的一个内角是110°，∴等腰三角形的顶角为110°，∴等腰三角形的底角为35°，故答案为：35°．24．解：组成等腰三角形的两根木棒的长度分别为3cm和6cm，根据三角形三边关系可得，组成等腰三角形的第三根木棒长为6cm，故答案为：6．25．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，∴BD＝DC＝BC，∵BC＝16cm，故答案为：8．26．解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，但其中一个与B点重合，故此时符合条件的点由1个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；∴符合条件的C点有：1+2+1＝4（个），故答案为：4．27．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）÷2＝36°，∵AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，∴AD＝CD，∴△ADC是等腰三角形，∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝72°，∠ADB＝∠DAC+∠C＝72°，∴∠BAD＝∠ADB，∴△BAD是等腰三角形．故图中等腰三角形有3个．故答案为：3．28．解：∵∠B＝40°，∠C＝32°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，由作图可知：BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝38°．29．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC＝，，∴∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，∴AE垂直平分BC，∴AD⊥BC．30．解：（1）解得，∵若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数，∴，解得：a＞1；（2）∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为12，∴2（a﹣1）+a+2＝12，解得：a＝4，∴x＝3，y＝6，故3，3，6不能组成三角形，∴2（a+2）+a﹣1＝12，解得：a＝3，∴x＝2，y＝5，故2，5，5能组成等腰三角形，∴a的值是3．31．证明：∵∠1＝∠2，∴DB＝CD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴AB＝AC．。

专训13.3.1.3等腰三角形的性质与判定的综合一、单选题1．如图，∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，则下列结论正确的有（）①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE ；④CD ＝BE．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】由∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，可得出∠ABC ＝∠ACB ，再利用等角对等边可得出AB ＝AC ，可判断①；由∠A ＝∠A ，AB ＝AC 及∠ABE ＝∠ACD ，可证出△ABE ≌△ACD （ASA ），再利用全等三角形的性质可得出AD ＝AE ，CD ＝BE ，可判断②④；由AB ＝AC ，AD ＝AE ，可得出BD ＝CE 可判断③即可．【详解】解：∵∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，∴∠ABE +∠EBC ＝∠ACD +∠DCB ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，结论①正确；在△ABE 和△ACD 中，A A AB AC ABE ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴AD ＝AE ，CD ＝BE ，结论②④正确；∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，∴BD ＝CE ，结论③正确．∴正确的结论有4个．故选择：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．2．如图，锐角三角形ABC 中，D 点在BC 上，==B BAD CAD ∠∠∠，今欲在AD 上找一点P ，使得=APC ADB ∠∠，以下是甲、乙两人的作法：甲：作AC 的中垂线交AD 于P 点，则P 即为所求．乙：以C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AD 于异于D 点的一点P ，则P 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确【答案】A【分析】两人都是正确的．利用等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质一一判断即可．【详解】解：两人都是正确的．理由：甲， 点P 在AC 的垂直平分线上，PA PC ∴＝，PAC PCA ∴∠∠＝，B BAD CAD ∠∠∠ ＝＝，B BAD CAP ACP ∴∠∠∠∠＝＝＝，180ADB B BAD ∠∠∠︒ ＋＋＝，180APC PAC PCA ∠∠∠︒＋＋＝，APC ADP ∴∠∠＝，乙，CD CP ＝，CDP CPD ∴∠∠＝，ADB APC ∴∠∠＝，∴甲、乙两人的作法都是正确的，故选：A ．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用等腰三角形的判定和性质解决问题．3．如图，在Rt ABC 中，90B = ∠，30C ∠= ，以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB ，AC 于点P ，Q ；再分别以点P ，Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线AE 交BC 于点F .设ABF ，ABC 的面积分别为1S ，2S ，则12S S 的值为（）A ．12B ．13CD ．14【答案】B【分析】根据作图过程可得AF 是BAC ∠的平分线，根据角平分线的性质和90B ∠=︒，30C ∠=︒，可得FA FC =，设BF x =，则2FC FA x ==，3BC x =，根据三角形的面积公式分别求出1S ，2S ，再计算12S S 即可．【详解】解：根据作图过程可知：AF 是BAC ∠的平分线，∴12BAF CAF BAC ∠=∠=∠，∵90B ∠=︒，30C ∠=︒，∴60BAC ∠=︒∴1302BAF CAF BAC ∠=∠=∠=︒，∴30CAF C ∠=∠=︒∴FA FC=设BF x =，则在Rt ABF 中，2FA x=∴2FC FA x ==，23BC BF FC x x x =+=+=，∴1122x BF A S B AB == ，21322x BC AB B S A ==，∴1213232x AB x AB S S == ，故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形面积公式等知识点，掌握角平分线的画法与性质是解决本题的关键．4．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，CAE ∠是ABC 的外角，12∠=∠，AD ∥BC ．求证AB AC =．以下是排乱的证明过程：①又12∠=∠，②∴B C ∠=∠，③∵AD ∥BC ，④∴1B ∠=∠，2C ∠=∠，⑤∴AB AC =．证明步骤正确的顺序是（）A ．③→②→①→④→⑤B ．③→④→①→②→⑤C ．①→②→④→③→⑤D ．①→④→③→②→⑤【答案】B【分析】根据平行线的性质得出1,2B C ∠=∠∠=∠，再利用12∠=∠等量代换，得出B C ∠=∠，即可判定ABC 是等腰三角形，即可证明．【详解】具体步骤为：③∵AD ∥BC ，④∴1B ∠=∠，2C ∠=∠，①又12∠=∠，②∴B C ∠=∠，⑤∴AB AC =．故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质，等量代换，等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质与等腰三角形的判定与性质．5．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是∠ACB 的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（）①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠FAG ＝∠FCB ；③AF ＝AG ；④BH ＝CH ．A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③【答案】D【分析】根据三角形的面积公式进行判断①，根据三角形的内角和定理求出∠FAG ＝∠ACB ，再判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG ＝∠AGF ，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据等腰三角形的判定判断④即可．【详解】解：∵BE 是AC 边的中线，∴AE ＝CE ，∵△ABE 的面积＝12AE AB ⨯⨯，△BCE 的面积＝12CE ⨯⨯AB ，∴△ABE 的面积＝△BCE 的面积，故①正确；∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADC ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠DAC +∠ACB ＝90°，∠FAG +∠DAC ＝90°，∴∠FAG ＝∠ACB ，∵CF 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACF ＝∠FCB ，∠ACB ＝2∠FCB ，∴∠FAG ＝2∠FCB ，故②错误；∵在△ACF 和△DGC 中，∠BAC ＝∠ADC ＝90°，∠ACF ＝∠FCB ，∴∠AFG ＝180°﹣∠BAC ﹣∠ACF ，∠AGF ＝∠DGC ＝180°﹣∠ADC ﹣∠FCB ，∴∠AFG ＝∠AGF ，∴AF ＝AG ，故③正确；根据已知不能推出∠HBC ＝∠HCB ，即不能推出HB ＝HC ，故④错误；即正确的为①③，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．6．如图在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点G ，过点G 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ⊥于D ，下列四个结论：其中正确的结论有（）个．①EF BE CF =+；②90BGC A ∠=︒+∠；③点G 到ABC 各边的距离相等；④设GD m =,AE AF n +=，则AEF S mn =△；⑤AEF 的周长等于+AB AC 的和．A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB=12（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形角平分线的性质即可得出结论；④连接AG，由三角形的面积公式即可得出结论；⑤根据BE=EG，GF=CF，进行等量代换可得结论．【详解】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，∴EF=EG+GF=BE+CF，故①正确；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠GBC+∠GCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A），∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A，故②错误；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴点G也在∠BAC的平分线上，∴点G到△ABC各边的距离相等，故③正确；④连接AG，作GM⊥AB于M，如图所示：∵点G是△ABC的角平分线的交点，GD=m，AE+AF=n，∴GD =GM =m ，∴S △AEF =12AE •GM +12AF •GD =12（AE +AF ）•GD =12nm ，故④错误．⑤∵BE =EG ，GF =CF ，∴AE +AF +EF =AE +AF +EG +FG =AE +AF +BE +CF =AB +AC ，即△AEF 的周长等于AB +AC 的和，故⑤正确，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．二、填空题7．如图，以ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD ．若100BAC ∠=︒，50C ∠=︒，则BAD ∠的大小为______度．【答案】75【分析】根据三角形的内角和得出∠B =180°-∠BAC -∠C =30°，由作图可得：BA =BD ,BA =BD ,再根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD =∠ADB =（180°-∠B ）÷2=75°．【详解】解：∵∠BAC =100°，∠C =50°，∴∠B =180°-∠BAC -∠C =30°，由作图可得：AB =BD ，∴∠BAD =∠ADB =（180°-∠B ）÷2=75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．8．如图，ABC 中，2,AB AC P ==是BC 上任意一点，PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，若1ABC S =△，则PE PF +=________．【答案】1【分析】将ABC 的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出PE PF +的值．【详解】解：连接AP ，如下图：PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，1ABC APC APB S S S =+= 1122APC APB S S AC PF AB PE +=⋅+⋅ 2AB AC == ，1APC APB S S PF PE +=+= ，1PE PF ∴+=，故答案是：1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将ABC 的面积拆成两个三角形面积之和来解答．9．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D ，E 分别是线段BC 、AC 上的一点，且AD ＝AE ．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是__．【答案】∠1＝2∠2．【分析】根据三角形的外角的性质，得出∠AED ＝∠CDE +∠C ，∠ADC ＝∠B +∠BAD ，再利用等腰三角形的性质，等量代换和等式的性质即可求得．【详解】∵ADC ∠是△ABD 的外角，AED ∠是△DEC 的外角，∴∠AED ＝∠2+∠C ，∠ADC ＝∠B +∠1，又∵AD ＝AE ，∴∠AED ＝∠ADE ，∴2ADC AED Ð-Ð=Ð,∴122B C Ð+Ð-Ð=Ð+Ð,即122B C Ð+Ð=Ð+Ð,∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，12222B C B Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð,即∠1＝2∠2,故填：∠1＝2∠2．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和等式的性质，解题关键是熟练应用等腰三角形的性质，三角形外角的性质和等式的性质．三、解答题10．如图，在ABC 中，AD 平分,BAC AD BD ∠⊥于点D ，//DE AC 交AB 于点E ，若4DE =，求BE 的长．【答案】4【分析】根据角平分线的定义可得∠CAD =∠BAD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD =∠ADE ，然后求出∠ADE =∠BAD ，根据等角对等边可得AE =DE ，然后根据等角的余角相等求出∠ABD =∠BDE ，根据等角对等边可得DE =BE ．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAD =∠BAD ，∵DE ∥AC ，∴∠CAD =∠ADE ，∴∠ADE =∠BAD ，∴AE =DE ，∵BD ⊥AD ，∴∠ADE +∠BDE =∠BAD +∠ABD =90°，∴∠ABD =∠BDE ，∴DE =BE =4．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键．11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．线段EF 是由线段AB 平移得到的，点F 在边BC 上，EFD △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，且点D 恰好在AC 的延长线上．（1）求证：ADE DFC ∠=∠；（2）求证：CD BF =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）通过两角和等于90︒，然后通过等量代换即可证明；（2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明．【详解】证明：（1）在等腰直角三角形EDF 中，90EDF ∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒．∵90ACB ∠=︒，∴90DFC ADF ACB ∠+∠=∠=︒，∴ADE DFC ∠=∠．（2）连接AE ．由平移的性质得//,AE BF AE BF =．∴90EAD ACB ∠=∠=︒，∴18090DCF ACB ∠=︒-∠=︒，∴EAD DCF ∠=∠．∵EDF 是等腰直角三角形，∴DE DF =．由（1）得ADE DFC ∠=∠，∴AED CDF ≌，∴AE CD =，∴CD BF =．【点睛】本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质．12．如图，点C 在线段AB 上，//,,AD EB AC BE AD BC ==．（1）求证：ADC BCE ∠=∠．（2）若40,20A ADC ∠=︒∠=︒，求CDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）50°【分析】（1）由“SAS ”可证△ADC ≌△BCE ，进而可得结论；（2）由全等三角形的性质，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，即可求解．【详解】证明：（1）∵AD ∥BE ，∴∠A ＝∠B ，∵AC ＝BE ，AD ＝BC ，∴△ADC ≌△BCE （SAS ）∴CD ＝CE ，∴ADC BCE ∠=∠；（2）∵△ADC ≌△BCE ，40,20A ADC ∠=︒∠=︒，∴∠DCB ＝60°，∠ADC ＝∠ECB ＝20°，CD ＝CE ，∴∠DCE ＝∠DCB ＋∠ECB ＝80°，∴∠CDE ＝（180°-80°）÷2=50°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ADC ≌△BCE 是本题的关键．13．如图，在ABC 中，AB BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 、BC 于点D 、E ．（1）若72C ∠=︒，求B Ð、1∠的度数；（2）若6BD =，7AC =，求AEC 的周长．【答案】（1）36B ∠=︒；154∠=︒；（2）19【分析】（1）可得AE =BE ，则∠B =∠BAE =40°，可求出∠3的度数，再求∠1即可；（2）由AE =BE ，可求出结论．【详解】解：∵AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点D ，E ，∴BE =AE ，∠ADE =∠BDE ，∵AB =BC ，∴∠C =∠BAC =∠3+∠4=72°，∴∠B =180°-∠C -∠BAC =180°-72°-72°=36°，∴∠3=∠B =36°，∴∠1=90°-∠3=54°；（2）∵BD =6，∴AB =2BD =2×6=12，∴BC =12，∵AE =BE ，∴AE +CE +AC =BC +AC =12+7=19．即△AEC 的周长为19．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握定理的内容是解题的关键．14．如图，在ABC 中，AB AC =，且120BAC ∠=︒．（1）作AB 的垂直平分线，交AB 于点D ，交BC 于点E ；连接AE ；延长CA ，交直线DE 于点F ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，求证：AC AF =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作图：分别以,A B 为圆心，大于12AB 为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交AB 于点D ，交BC 于点E（2）根据120BAC ∠=︒和（1）的结论，证明EFC 是等腰三角形，且EA FC ⊥，即可证明AC AF=【详解】（1）如图：分别以,A B 为圆心，大于12AB 为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交AB 于点D ，交BC 于点E （2）如（1）中所作的图 AB AC =，且120BAC ∠=︒30B C ∴∠=∠=︒DE 是AB 的垂直平分线EA EB∴=∴∠=∠=︒EAB B30120∠=︒,BAC∴90903060∠=︒-∠=︒-︒=︒,AED DAE∠=︒-︒=︒1203090EAC∴∠=︒FAE90∴⊥EA CF∴∠=︒-∠-∠=︒EFA FAE FEA18030∴∠=∠EFA C∴=EF EC是等腰三角形∴EFC⊥又 EA CF∴=AF FC【点睛】是等腰三角形是本题考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，证明EFC解题的关键．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，连接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延长AF至点D，使AD＝AC，连接CD．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度数．【答案】（1）见解析；（2）80°【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．【详解】解：（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACF ，∵∠BAF ＝∠CAE ，∴∠BAF ﹣∠EAF ＝∠CAE ﹣∠EAF ，∴∠BAE ＝∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中，B ACF AB AC BAE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE ≌△ACF （ASA ）；（2）解：∵B ＝∠ACF ＝30°，∵∠AEB ＝130°，∴∠BAE ＝180°﹣130°﹣30°＝20°，∵△ABE ≌△ACF ，∴∠CAF ＝∠BAE ＝20°，∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ，∴∠ADC ＝180202︒︒-＝80°．答：∠ADC 的度数为80°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．16．如图，,CD BE 是ABC 的两条高线，且它们相交于F ，DH BC ⊥于点H ，DH 与BE 相交于点G ，已知CD BD =．（1）求证：BF AC =．（2）若BE 平分ABC ∠．求证：DFG DGF ∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到∠CEF =∠ADC =∠BDF =90°，求得∠ACD =∠DBF ，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据DH ⊥BC ，求得∠HGB +∠HBG =90°，根据角平分线的定义得到∠HBG =∠FBD ，求得∠DFG =∠DGF ．【详解】解：（1）证明：∵CD ，BE 是△ABC 的两条高线，∴∠CEF =∠ADC =∠BDF =90°，∵∠CFE =∠BFD ，∴∠ACD =∠DBF ，∵CD =BD ，∴△ACD ≌△FBD （ASA ），∴BF =AC ；（2）∵∠BDC =90°，CD =BD ，∴△BDC 是等腰直角三角形，∵DH ⊥BC ，∴∠HGB +∠HBG =90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠HBG =∠FBD ，∵∠DFB +∠DBF =90°，∴∠DFG =∠BGH ，∵∠BGH =∠DGF ，∴∠DFG =∠DGF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．17．如图，ACB △和DCE 均为等腰三角形，AC BC =，DC EC =，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若50CAB CDE ∠=∠=︒．①求证：AD BE =；②则AEB ∠的度数为_______．（2）如图2，若90ACB DCE ∠=∠=︒，CF 为DCE 中DE 边上的高，试猜想AE ，CF ，BE 之间的数量关系，并简要证明你的结论．【答案】（1）①见解析；②80AEB ∠=︒；（2）2AE BE CF =+．理由见解析．【分析】（1）①证明≌ACD BCE V V 即可；②根据①得到ADC BEC ∠∠=结合已知条件，即可求解；（2）由（1）结论，可得ACB △，DCE 都是等腰直角三角形，从而得出结论．【详解】（1）①证明：50CAB CDE ==︒ ∠∠，AC BC =，DC EC =，18025080ACB DCE ∴==︒-⨯︒=︒∠∠，ACB ACD DCB ∠=+ ∠∠，DCE DCB BCE ∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴△≌△，AD BE ∴=．②80AEB ∠=︒由①≌ACD BCEV V ∴ADC BEC ∠∠=，CD CE= 50CDE CED ∴∠=∠=︒180********ADC CDE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒130BEC ADC ∴∠=∠=︒1305080AEB BEC CED ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒（2）结论：2AE BE CF =+．理由：ACB ，DCE 都是等腰直角三角形，45CDE CED ∴∠=∠=︒，由（1）可得AD BE =，CF DE ⊥ ，90CFD ∴∠=︒，DF EF CF ==，2AE AD DE BE CF ∴=+=+．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练以上性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，10AB AC ==，=8BC ，动点P 从点B 出发，沿BC 方向以3个单位长度每秒的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以3个单位长度每秒的速度向点A 运动，运动时间是t 秒．（1）在运动过程中，当t =______秒时，CP CQ =；（2）在运动过程中，当BPD CQP △△≌时，求出t 的值；（3）是否存在某一时刻t ，使BPD CPQ △△≌？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）43；（2）1t =；（3）不存在；答案见解析．【分析】（1）根据题意求出BP ，CQ ，结合图形用含t 的代数式表示CP 的长度，根据CP ＝CQ ，列式计算即可；（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．【详解】解：（1）由题意得BP ＝CQ ＝3t ，则CP ＝8﹣3t ，∵CP ＝CQ ，∴8﹣3t ＝3t ，解得，t 43=，则当t 43=时，CP CQ =；（2）∵D 为AB 的中点，AB ＝AC ＝10，∴BD ＝5，∵△BPD ≌△CQP ，∴BD ＝CP ，∴8﹣3t ＝5，解得，t ＝1，则当△BPD ≌△CQP 时，t ＝1；（3）不存在，∵△BPD ≌△CPQ ，∴BD ＝CQ ，BP ＝CP ，则3t ＝5，3t ＝8﹣3t解得，t 53=，t 43=，∴不存在某一时刻t ，使△BPD ≌△CPQ ．【点睛】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．19．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠>︒．D 是ABC 内一点，ADC BAC ∠=∠．过点B 作//BE CD 交AD 的延长线于点E ．（1）依题意补全图形；（2）求证：CAD ABE ∠=∠；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD 相等的线段并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE ；见解析【分析】（1）根据题意作出平行线和交点即可；（2）如图，根据平行，得到∠1=∠ADC=∠BAC ，再根据三角形外角定理得到1ABE BAE ∠=∠-∠，CAD BAC BAE ∠=∠-∠，从而CAD ABE ∠=∠；（3）通过在BE 上截取BG AD =，构造ABG CAD △≌△，再结合平行进一步得到1BGA ∠=∠，从而证明2AGE ∠=∠，=AE AG CD =．【详解】解：补全图形如图6所示．（2）证明：如图7，延长BE 至点F ．∵//BE CD ，点F 在BE 的延长线上，∴1ADC ∠=∠．∵ADC BAC ∠=∠，∴1BAC ∠=∠．∵1∠是ABE △的外角，∴1ABE BAE ∠=∠+∠，∴1ABE BAE ∠=∠-∠．又∵CAD BAC BAE ∠=∠-∠，∴CAD ABE ∠=∠．（3）AE证明：如图8，延长BE 至点F ，在BE 上截取BG AD =，连接AG由（2）得ABG CAD ∠=∠，又∵AB AC=∴ABG CAD △≌△，∴AG CD BGA ADC =∠=∠，．∵1ADC ∠=∠，∴1BGA ∠=∠．∵18021180AGE BGA ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴2AGE ∠=∠．∴AE AG =．∴AE CD =．【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，以及外角的相关知识，能够画辅助线构造全等是解决本题的关键．20．在ABC 中，90BAC ∠>︒，AB 的垂直平分线交BC 于点E ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点G ，交AC 于点F ．（1）如图1，若25B ∠=︒，40C ∠=︒，求EAG ∠的度数；（2）如图2，若AB AC =，求证：DE FG =；（3）当AEG △是等腰三角形时，请直接写出所有可能的B Ð与C ∠的数量关系．【答案】（1）50°；（2）见解析；（3）B C ∠=∠、290B C ∠+∠=︒、290B C ∠+∠=︒【分析】（1）知道25B ∠=︒，40C ∠=︒，DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，用垂直平分线的性质可求；（2）DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，可得BD CF =，求出BDE CFG △≌△可证DE FG =；（3）分别考虑AE =AG 、AE GE =、AG =GE 时这三种情况即可．【详解】（1）25B ∠=︒ ，40C ∠=︒，180115BAC B C ∴∠=-∠-∠=︒︒；DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，EA EB ∴=，GA GC =，25EAB B ∴∠=∠=︒，40GAC C ∠=∠=︒，50EAG BAC EAB GAC ∴∠=∠-∠-∠=︒；（2）AB AC = ，B C ∴∠=∠，DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，12BD AB ∴=，12CF AC =，90BDE CFG ∠=∠=︒BD CF∴=在BDE 与CFG △中，B C BD CF BDE CFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)BDE CFG ∴△≌△DE FG∴=（3）当AEG △是等腰三角形时①当AE =AG 时，∴∠AEG =∠AGE ，∵EAB B ∠=∠，GAC C ∠=∠，∴2AEG B BAE B =+=∠∠∠∠，2AGE C CAG C=+=∠∠∠∠∴B C∠=∠②当AE EG =时，∴∠EAG=∠EGA ，∵EAB B ∠=∠，GAC C ∠=∠，∴2AEG B BAE B =+=∠∠∠∠，2AGE C CAG C=+=∠∠∠∠∵°180AEG EAG AGE ++=∠∠∠∴24180B C ∠+∠=︒∴290 B C ∠+∠=︒．③当AG =GE 时，同理可得290B C ∠+∠=︒综上所述：B C ∠=∠、290B C ∠+∠=︒、290 B C ∠+∠=︒．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．21．如图，在ABC 中，40A ∠=︒，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，BD BC CE ==，连结CD ，BE．（1）若80ABC ∠=︒，求BDC ∠，ABE ∠的度数．（2）写出BEC ∠与BDC ∠之间的关系，并说明理由．【答案】（1）50BDC ∠=︒；20ABE ∠=︒；（2）110BEC BDC ∠+∠=︒，见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出ACB ∠的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出BDC ∠，ABE ∠．（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含ABE ∠分别表示BEC ∠，BDC ∠，即可得到两角的关系．【详解】（1）80ABC ∠=︒ ，BD BC =，50BDC BCD ∴∠=∠=︒．在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，40A ∠=︒ ，60ACB ∠=︒∴，CE BC = ，60EBC ∴∠=︒．20ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒．（2）BEC ∠，BDC ∠的关系：110BEC BDC ∠+∠=︒．理由如下：设BEC α∠=，BDC β∠=．在ABE △中，40A ABE ABE α=∠+∠=︒+∠，CE BC = ，CBE BEC α∴∠=∠=．2402ABC ABE CBE A ABE ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒+∠，在BDC 中，BD BC =，2402180BDC BCD DBC ABE β∴∠+∠+∠=+︒+∠=︒．70ABE β︒∴=-∠．4070110ABE ABE αβ∴+=︒+∠+︒-∠=︒．110BEC BDC ∴∠+∠=︒．【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于180︒．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．22．如图，在四边形ABCD 中，AB DC =，B C ∠=∠，E ，F 是边BC 上的两点，且BE CF =．（1）求证：ABF ≌DCE ．（2）若70APE ∠=°，求ADP Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【分析】（1）利用SAS 证明ABF ≌DCE 即可；（2）先利用等角对等边证得AP DP =，再利用三角形的外角性质即可求解．【详解】（1）证明：∵BE CF =，∴BE EF CF EF +=+，即BF CE =，∵AB DC =，B C ∠=∠，∴ABF ≌DCE (SAS )；（2）∵ABF ≌DCE ，∴AFB DEC ∠=∠，AF DE =，∴EP FP =，∴AP DP =，∴PAD PDA ∠=∠，∵70APE ∠=°，∴35PDA PAD ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．23．如图，已知90,,BAD CAE AB AD AE AC ∠=∠=︒==．（1）ABC 与ADE 全等吗？请说明理由；（2）若AF CB ⊥，垂足为F ，请说明线段2CF CE =；（3）在（2）的基础上，猜想线段,,BF DE CD 存在的数量关系，并直接写出结论．【答案】（1）ABC ADE △≌△，理由见解析；（2）理由见解析；（3）2CD BF DE =+．【分析】（1）利用等量代换求出BAC DAE ∠=∠，根据SAS 证明ABC ADE △≌△；（2）延长BF 到G ，使得FG FB =，连接AG BD ，，通过证明CGA CDA ≌，得出CG CD =，然后通过等量代换即可说明；（3）在利用（2）的结论的前提下，再通过等量代换即可得出结论．【详解】解：（1）ABC ADE△≌△证明：90BAD CAE ∠=∠=︒ ，90,90BAC CAD CAD DAE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，BAC DAE ∴∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD AE AC BAC DAE =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADE A SA BC S ∴ ≌；（2）2CF CE =，理由如下；延长BF 到G ，使得FG FB =，连接AG BD ，，如下图：AF BG ⊥ ，AB AG ∴=，ABF G ∴∠=∠，ABC ADE △≌△，,,AB AD CBA EDA CB ED =∠=∠=，,AG AD ABF CDA ∴=∠=∠，G CDA ∴∠=∠,90,CAE AC AE ∠=︒= ，45GCA CDA ∴∠=∠=︒，在CGA △和CDA 中，GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，()CGA CDA AAS ∴△≌△，CG CD ∴=，,BC DE BF FG == ，2CE CD DE CF FG DE CF BF BC CF ∴=+=++=++=，2CF CE ∴=．（3）猜想线段,,BF DE CD 存在的数量关系为：2CD BF BE =+，理由如下：由（2）可知：CD CG BC BF FG ==++，,BF FG BC DE == ，通过等量代换得：2CD BF DE =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：掌握全等三角形的判定与性质，同时要熟练运用等量代换的思想来转化．24．如图①，△ABC 中．AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE ＋PF ＝CH ．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴ABP S △＝12AB•PE ，ACP S ＝12AC•PF ，ABC S ＝12AB•CH ．又∵ABP ACP ABC S S S += ，∴12AB•PE ＋12AC•PF ＝12AB•CH ．∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH ．（1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A ＝30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF ＝3时，则AB 边上的高CH ______．点P 到AB 边的距离PE ＝________．【答案】（1）PE ＝PF ＋CH ，证明见解析；（2）7；4或10；【分析】（1）连接AP ．先根据三角形的面积公式分别表示出ABP S △，ACP S ，ABC S ，再由ABP S △＝ACP S ＋ABC S 即可得出PE ＝PF ＋PH ；（2）先根据直角三角形的性质得出AC ＝2CH ，再由△ABC 的面积为49，求出CH ＝7，由于CH ＞PF ，则可分两种情况进行讨论：①P 为底边BC 上一点，运用结论PE ＋PF ＝CH ；②P 为BC 延长线上的点时，运用结论PE ＝PF ＋CH ．【详解】解：（1）如图②，PE ＝PF ＋CH ．证明如下：∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴ABP S △＝12AB •PE ，ACP S ＝12AC •PF ，ABC S ＝12AB •CH ，∵ABP S △＝ACP S ＋ABC S ，∴12AB •PE ＝12AC •PF ＋12AB •CH ，又∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH ；（2）∵在△ACH 中，∠A ＝30°，∴AC ＝2CH ．∵ABC S ＝12AB •CH ，AB ＝AC ，∴12×2CH •CH ＝49，∴CH ＝7．分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①．∵PE ＋PF ＝CH ，∴PE ＝CH －PF ＝7－3＝4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②．∵PE ＝PF ＋CH ，∴PE ＝3＋7＝10．故答案为7；4或10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．25．阅读与思考：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图1，已知锐角AOB ∠，C 是OA 边上一点，利用尺规作图在OB 边上求作点P ，使2CPB AOB ∠=∠．小明同学想到了如下的方法，并完成了部分证明．方法：①如图2，分别以点O ，C 为圆心，大于12OC 的长为半径画弧，两弧分别相交于点M ，N ；②作直线MN ，交OB 于点P ，交OC 于点Q ；③连接CP ．则点P 即为所求．证明：如图3，连接ON ，CN ，OM ，CM ．由作图可知，ON CN =，OM CM =．∴点M ，N 均在线段OC 的垂直平分线上．（依据1）∴直线MN 是线段OC 的垂直平分线．（依据2）……（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？（2）请将上述证明过程补充完整．（3）尺规作图：请在图1中，用不同于小明的方法求作点P ．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）依据1：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；依据2：两点确定一条直线；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据作图痕迹可分别写出依据；（2）结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可补充；（3）作OCP AOB ∠=∠即可．【详解】解：（1）依据1：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．依据2：两点确定一条直线；（2）∴PC PO =∴POC PCO∠=∠∴2CPB POC PCO AOB ∠=∠+∠=∠；（3）如解图所示，点P 即为所求．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线以及作图能力，较强的阅读能力和对所学知识的灵活应用能力成为解答本题的关键．26．在等腰△ABC 中，AB ＝BC ，点D ，E 在射线BA 上，BD ＝DE ，过点E 作EF ∥BC ，交射线CA 于点F ．请解答下列问题：（1）当点E 在线段AB 上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图①，求证：AE ＋BC ＝CF ；（提示：延长CD ，FE 交于点M ．）（2）当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图②；当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE ，BC ，CF 之间的数量关系，不需要证明；【答案】（1）见解析；（2）BC ＝AE ＋CF 或AE ＝CF ＋BC【分析】（1）延长CD ，FE 交于点M ．利用AAS 证明△MED ≌△CBD ，得到ME ＝BC ，并利用角平分线加平行的模型证明CF ＝MF ，AE ＝EF ，从而得证；（2）延长CD ，EF 交于点M ．类似于（1）的方法可证明当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的角平分线时，BC ＝AE ＋CF ，当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的外角平分线时，AE ＝CF ＋BC ．【详解】解：（1）如图①，延长CD ，FE 交于点M ．∵AB ＝BC ，EF ∥BC ，∴∠A ＝∠BCA ＝∠EFA ，∴AE＝EF，∴MF∥BC，∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，又∵∠FCM＝∠BCM，∴∠M＝∠FCM，∴CF＝MF，又∵BD＝DE，∴△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，即AE＋BC＝CF；（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE＋CF，如图②，延长CD，EF交于点M．由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，∴BC＝ME＝EF＋MF＝AE＋CF；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF＋BC．如图③，延长CD交EF于点M，由上述证明过程易得△MED ≌△CBD （AAS ），BC ＝EM ，CF ＝FM ，又∵AB ＝BC ，∴∠ACB ＝∠CAB ＝∠FAE ，∵EF ∥BC ，∴∠F ＝∠FCB ，∴∠F ＝∠FAE ，∴EF ＝AE ，∴AE ＝FE ＝FM ＋ME ＝CF ＋BC ，即：AE ＝CF ＋BC ．【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．27．如图，已知等腰ABC 中，,90,AB AC A CD =∠<︒是ABC 的高，BE 是ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P ，当A ∠的大小变化时，EPC 的形状也随之改变．（1）当44A ∠=︒时，求BPD ∠的度数；（2）求A ∠和EPC ∠的关系；（3）当A ∠的度数为___________时，EPC 是等腰三角形．【答案】（1）56°；（2）454C A EP ∠+∠=︒；（3）36︒或1807⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC =90°，从而可得∠BPD ；（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果；（3）分①若EP =EC ，②若PC =PE ，③若CP =CE ，三种情况，利用∠ABC +∠BCD =90°，以及454C A EP ∠+∠=︒解出∠A 即可．【详解】解：（1）AB AC = ，44A ∠=︒，(18044)268ABC ACB ∴∠=∠=-︒÷=︒，CD AB ⊥ ，90BDC ∴∠=︒，BE 平分ABC ∠，34ABE CBE ∴∠=∠=︒，903456BPD ∴∠=︒-︒=︒；（2）∵(180)2902A ABC A ∠∠=︒-∠÷=︒-，由（1）可得：14524A ABP ABC ∠∠=∠=︒-，90BDC ∠=︒，90454544A EPC BPD A ∠⎛⎫∴∠=∠=︒-︒-︒+ ⎪⎭∠=⎝；（3）设A x ∠=︒，EPC y ∠=︒，①若EP EC =，则ECP EPC y ∠=∠=︒，而(90)2x ABC ACB ∠=∠=-︒，90ABC BCD ∠+∠=︒，则有：(90)(90)9022x x y -︒+--︒=︒，又454x y =︒+，代入，(90)(90)(45)90224x x x ∴-︒+-︒-+︒=︒，解得：36x =；②若PC PE =，则(180)2(90)2y PCE PEC y ∠=∠=-︒÷=-︒，由①得：90ABC BCD ∠+∠=︒，(90)[(90)(90)]90222x x y ∴-︒+-︒--︒=︒，又454x y =︒+，代入，解得：1807x =；③若CP CE =，则EPC PEC y ∠=∠=︒，1802PCE y ∠=︒-︒，由①得：90ABC BCD ∠+∠=︒，(90)(90)(1802)9022x x y ∴-︒+-︒--︒=︒，又454x y =︒+，代入，解得：0x =，不符合，综上：当EPC ∆是等腰三角形时，A ∠的度数为36︒或180(7︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系．28．如图1，在△ABC 中，BO ⊥AC 于点O ，AO ＝BO ＝3，OC ＝1，过点A 作AH ∠BC 于点H ，交BO 于点P ．（1）求线段OP 的长度；（2）连接OH ，求证：∠OHP ＝45°；（3）如图2，若点D 为AB 的中点，点M 为线段BO 延长线上一动点，连接MD ，过点D 作DN ⊥DM 交线段A 延长线于N 点，则S △BDM －S △ADN 的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）不改变，94【分析】（1）证△OAP ≌△OBC （ASA ），即可得出OP =OC =1；（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点，证△COM ≌△PON （AAS ），得出OM =ON ．得出HO 平分∠CHA ，即可得出结论；（3）连接OD ，由等腰直角三角形的性质得出OD ⊥AB ，∠BOD =∠AOD =45°，OD =DA =BD ，则∠OAD =45°，证出∠DAN =∠MO D ．证△ODM ≌△ADN （ASA ），得S △ODM =S △ADN ，进而得出答案．【详解】解：（1）∵BO ⊥AC ，AH ⊥BC ，∴∠AOP ＝∠BOC ＝∠AHC ＝90°，∴∠OAP +∠C ＝∠OBC +∠C ＝90°，∴∠OAP ＝∠OBC ，在△OAP 和△OBC 中，AOP BOC AO BO OAP OBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△OAP ≌△OBC （ASA ），∴OP ＝OC ＝1；（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点，如图1所示：在四边形OMHN 中，∠MON ＝360°﹣3×90°＝90°，∴∠COM ＝∠PON ＝90°﹣∠MOP ．在△COM 与△PON 中，COM PON OMC ONP OC OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COM ≌△PON （AAS ），∴OM ＝ON．。

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（最新精品同步练习题）13.3等腰三角形基础巩固1.（知识点2）下列能判定△ABC为等腰三角形的是（）A.∠A=30°，∠B=60°B.∠A=50°，∠B=80°C.AB=AC=2，BC=4D.AB=3，BC=7，周长为102.（题型一）如图13-3-1，O是△ABC的两条垂直平分线的交点，∠BAC=70°，则∠BOC=（）图13-3-1A.120°B.125°C.130°D.140°3.（知识点1）如图13-3-2，D是Rt△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β.若α=10°，则β的度数是（）图13-3-2A.40°B.50°C.60°D.不能确定4.（知识点3）已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所组成的三角形是（）2A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形5.（知识点3）如图13-3-3，M，N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN，则∠BAN= .图13-3-3 图13-3-46.（知识点1）如图13-3-4，在△ABC中，D是BC边上一点，且BA＝BD，∠DAC＝12∠B，∠C＝50°，则∠BAC的度数为 .7.（题型一）如图13-3-5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC= °.图13-3-5 图13-3-68.（知识点2）如图13-3-6，在△ABC中，BC=5 cm，BP，CP分别是∠ABC 和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm.9.（知识点1）如图13-3-7，在△ABC中，AB=AC，BE=EC.求证：∠ABE=∠ACE.图13-3-710.（知识点1）如图13-3-8，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，E 是AC的中点，连接DE，DF⊥AB于点F.求证：∠BDF=∠ADE.（注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）图13-3-8能力提升。

人教版八年级数学13.3 等腰三角形针对训练一、选择题1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．82. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为()A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，下列结论不正确的是()A．∠B＝∠C B．BD＝CDC．AB＝2BD D．AD平分∠BAC4. 下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形5. 如图，AD是△ABC的中线，下列条件中不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C B．AB－BD＝AC－CDC．AB＋BD＝AC＋CD D．AD＝BC6. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 107. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE ∥BC交AB于点E.若△AED的周长为16，则边AB的长为()A．6 B．8 C．10 D．128. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为()A．4 B．12 C．18 D．309. 如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D.若AC＝3，AB＝4，则DE的长为()A．6 B．7 C．8 D．910. 如图所示，在三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处，那么下列等式成立的是()A. AC=AD+BDB. AC=AB+CDC. AC=AD+CDD. AC=AB+BD二、填空题11. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是中线，BE是高，AD与BE交于点F，则∠BFD＝________°.13. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．14. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．15. 如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠A＝105°，点P在△ABC的三边上运动，当△P AC为等腰三角形时，顶角的度数是__________．三、解答题16. 如图所示，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD 于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．17. 如图所示，点E在△ABC中AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC 于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形.18. 如图①，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点E ，F.探究一：猜想图①中线段EF 与BE ，CF 间的数量关系，并证明． 探究二：设AB ＝8，AC ＝6，求△AEF 的周长．探究三：如图②，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BO 与△ABC 的外角平分线CO 交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F.猜想这时EF 与BE ，CF 间又是什么数量关系，并证明．19. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，H .易证PE ＋PF ＝CH .证明过程如下： 连接AP .∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又∵S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， ∴12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . ∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH .如图②，若P 为BC 延长线上的点，其他条件不变，PE ，PF ，CH 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．20. 已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD⊥BC；(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．人教版八年级数学13.3 等腰三角形针对训练-答案一、选择题1. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于 6.2. 【答案】D[解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.3. 【答案】C4. 【答案】D[解析] 有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．5. 【答案】D[解析] 由∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C可得∠ADB＝∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，又BD＝DC，由垂直平分线的性质可得AB＝AC.由等式的性质，根据AB－BD＝AC－CD，AB＋BD＝AC＋CD，又BD＝CD，均可得AB＝AC.选项D不能得到AB＝AC.6. 【答案】C【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD⊥BC，BD＝CD，在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝3，由勾股定理得BD＝4，∴BC＝2BD＝8.7. 【答案】C[解析] ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE.∵△AED的周长为16，∴AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD＝16.∵AD＝6，∴AB＝10.8. 【答案】B[解析] ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB ＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.9. 【答案】B[解析] 由题意得∠EBC＝∠ABE，∠ACD＝∠DCB.根据平行线的性质得∠DCB＝∠ADC，∠EBC＝∠AEB，所以∠ADC＝∠ACD，∠ABE＝∠AEB.所以AD＝AC，AB＝AE.所以DE＝AD＋AE＝AC＋AB＝3＋4＝7.10. 【答案】D二、填空题11. 【答案】36[解析] 过点B作BD⊥AC于点D.∵∠A＝30°，AB＝12，∴在Rt△ABD中，BD＝12AB＝12×12＝6.∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12×12×6＝36.12. 【答案】7013. 【答案】30[解析] ∵MN ∥BC ，∴∠MOB ＝∠OBC.∵∠OBM ＝∠OBC ， ∴∠MOB ＝∠OBM. ∴MO ＝MB.同理NO ＝NC.∴△AMN 的周长＝AM ＋MO ＋AN ＋NO ＝AM ＋MB ＋AN ＋NC ＝AB ＋AC ＝30.14. 【答案】85或14 [解析] ①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为180°－80°2＝50°， ∴特征值k ＝80°50°＝85.②当∠A 为底角时，顶角的度数为180°－80°－80°＝20°， ∴特征值k ＝20°80°＝14. 综上所述，特征值k 为85或14.15. 【答案】105°或55°或70° [解析] (1)如图①，点P 在AB 上时，AP ＝AC ，顶角∠A ＝105°.(2)∵∠B ＝20°，∠BAC ＝105°， ∴∠ACB ＝180°－20°－105°＝55°.点P 在BC 上时，如图②，若AC ＝PC ，则顶角∠C ＝55°.如图③，若AC ＝AP ，则顶角∠CAP ＝180°－2∠C ＝180°－2×55°＝70°. 综上所述，顶角为105°或55°或70°.三、解答题16. 【答案】[解析] 由已知条件易知△ABE ≌△CAD ，从而BE ＝AD ，只需求PB 的长即可，由BQ ⊥AD 知，若在Rt △BPQ 中有∠PBQ ＝30°就可以求出BP 的长，于是求证∠BPQ ＝60°是解决问题的突破口． 解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝∠C ＝60°，AB ＝CA. 又AE ＝CD ，∴△ABE ≌△CAD. ∴∠ABE ＝∠CAD ，BE ＝AD.∴∠BPQ ＝∠BAP ＋∠ABE ＝∠BAP ＋∠CAD ＝∠BAC ＝60°. 又BQ ⊥AD ，∴∠PBQ ＝30°. ∴PB ＝2PQ ＝6.∴BE ＝PB ＋PE ＝7.∴AD ＝BE ＝7.17. 【答案】证明：如图所示，过点D 作DG ∥AC 交BC 于点G ，则∠GDF ＝∠E ，∠DGB ＝∠ACB. 在△DFG 和△EFC 中，⎩⎨⎧∠DFG ＝∠EFC ，DF ＝EF ，∠GDF ＝∠E ，∴△DFG ≌△EFC(ASA)．∴GD ＝CE.∵BD ＝CE ，∴BD ＝GD.∴∠B ＝∠DGB.∴∠B ＝∠ACB.∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形．18. 【答案】解：探究一：猜想：EF ＝BE ＋CF.证明如下： ∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO ＝∠CBO. ∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO. ∴∠ABO ＝∠EOB.∴BE ＝OE.同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE ＋OF ＝BE ＋CF.探究二：C △AEF ＝AE ＋EF ＋AF ＝AE ＋(OE ＋OF)＋AF ＝(AE ＋BE)＋(AF ＋CF)＝AB ＋AC ＝8＋6＝14. 探究三：猜想：EF ＝BE －CF.证明如下：∵BO 平分∠ABC ， ∴∠EBO ＝∠CBO.∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO. ∴∠EBO ＝∠EOB.∴BE ＝OE. 同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE －OF ＝BE －CF.19. 【答案】解：PE ＝PF ＋CH.证明如下： 连接AP.∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB·PE ，S △ACP ＝12AC·PF ，S △ABC ＝12AB·CH.∵S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ， ∴12AB·PE ＝12AC·PF ＋12AB·CH. ∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH.20. 【答案】解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴点A 在BC 的垂直平分线上．∵DB ＝DC ，∴点D 在BC 的垂直平分线上． ∴直线AD 是BC 的垂直平分线．∴AD ⊥BC. (2)证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠CAD.∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD. ∴∠BAD ＝∠EDA.∴DE ＝AE. (3)DE ＝AC ＋BE.理由：同(2)得∠BAD ＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.∵AB＝AC，∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.。

人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形同步课时训练一、选择题1. 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD的度数为()A．60°B．50°C．40°D．30°2. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B 的度数是()A．70°B．55°C．70°或55°D．70°或55°或40°3. 已知：如图，直线PO与AB交于点O，P A＝PB，则下列结论中正确的是()A．AO＝BOB．PO⊥ABC．PO是线段AB的垂直平分线D．点P在线段AB的垂直平分线上4. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. （2020·宜宾）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM＝13 BE，AN＝13AD，则△CMN的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形6. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°7. （2020·烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A．B．C．D．8. 如图所示，在三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处，那么下列等式成立的是()A. AC=AD+BDB. AC=AB+CDC. AC=AD+CDD. AC=AB+BD二、填空题9. 如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD③AB＋BD＝AC＋CD ④AB－BD＝AC－CD10. 如图，在等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，已知AB＝8，则BF的长为________．11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，BD⊥AC，垂足为D.若∠EAD ＝20°，则∠ABD＝________°.12. （2020·宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）.测得的相关数据为：∠ABC= 60°，∠ACB= 60°，BC= 48米，则AC= 米．13. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．14. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．三、作图题15. 尺规作图：已知线段a(如图)，画一个底边长度为a，底边上的高也为a的等腰三角形．(保留作图痕迹，不写作法)16. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．(请你把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)四、解答题17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝4 cm，求BC的长．18. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD 交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．19. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形同步课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析] ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝12∠BAC＝30°.2. 【答案】D[解析] 由题意得，∠A＝70°，当∠B＝∠A＝70°时，△ABC为等腰三角形；当∠B＝55°时，可得∠C＝55°，∠B＝∠C，△ABC为等腰三角形；当∠B＝40°时，可得∠C＝70°＝∠A，△ABC为等腰三角形．3. 【答案】D4. 【答案】C[解析] ∵OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，∴∠AOM＝∠BOM＝25°，MA＝MB.∴∠OMA＝∠OMB＝65°.∴∠AMB＝130°.∴∠MAB＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】C【解析】由△ABC和△ECD都是等边三角形，可得△BCE≌△ACD（SAS），∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，∵BM＝13BE，AN＝13AD，∴BM＝AN，∴△MBC≌△NAC（SAS），∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，∵∠BCM+∠MCA＝60°，∴∠NCA+∠MCA＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MCN是等边三角形．6. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.7. 【答案】最小的等腰直角三角形的面积42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．故选：D．8. 【答案】D二、填空题②③④【解析】序号正误逐项分析①×△BAD与△ACD中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的角和边，所以不能判定两三角形全等，因而也就不能得出AB＝AC②√∠BAD＝∠CAD结合AD是△ABC的边BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形③√由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD ，得AB－BD＝AC－CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形④√由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD ，得AB＋BD＝AC＋CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以AB＝AC，得△ABC是等腰三角形10. 【答案】5[解析] ∵在等边三角形ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD ＝4，BC＝AC＝AB＝8，∠A＝∠C＝60°.∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，∴∠AED＝∠CFE＝90°.∴AE＝12AD＝2.∴CE＝8－2＝6.∴CF＝12CE＝3.∴BF＝5.11. 【答案】50[解析] ∵AB＝AC，E为BC的中点，∴∠BAE＝∠EAD＝20°.∴∠BAD＝40°，又∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－40°＝50°.12. 【答案】48【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，∴∠A=180°－60°－60°=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC，∵BC=48，∴AC=4813. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.14. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.三、作图题15. 【答案】解：如图所示，△ABC即为所求．16. 【答案】解：如图所示：四、解答题17. 【答案】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°. ∵AB⊥AD，AD＝4 cm，∴BD＝8 cm.∵∠ADB＝90°－∠B＝60°，∠C＝30°，∴∠DAC＝30°＝∠C.∴CD＝AD＝4 cm.∴BC＝BD＋CD＝8＋4＝12(cm)．18. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC.∴∠BEG＝∠AGC′＝48°.由折叠的性质得∠CEF＝∠C′EF，∴∠CEF＝12(180°－48°)＝66°.(2)证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC.∴∠GFE＝∠CEF.由折叠的性质得∠CEF＝∠C′EF，∴∠GFE＝∠C′EF.∴GE＝GF，即△EFG是等腰三角形．19. 【答案】解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠DBC＝90°.∵CE⊥BD，∴∠BCE＋∠DBC＝90°.∴∠ABD＝∠BCE.在△DAB和△EBC中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠BCE ，AB ＝BC ，∠DAB ＝∠EBC ＝90°，∴△DAB ≌△EBC(ASA)． ∴AD ＝BE.(2)证明：∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE. ∵BE ＝AD ， ∴AE ＝AD.∴点A 在线段ED 的垂直平分线上． ∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠BCA ＝45°. ∵∠BAD ＝90°， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝45°. 在△EAC 和△DAC 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠EAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△EAC ≌△DAC(SAS)． ∴CE ＝CD.∴点C 在线段ED 的垂直平分线上． ∴AC 是线段ED 的垂直平分线． (3)△DBC 是等腰三角形．理由：由(1)知△DAB ≌△EBC ，∴BD ＝CE. 由(2)知CE ＝CD. ∴BD ＝CD.∴△DBC 是等腰三角形．。

华东师大版八年级数学上册《13.3 等腰三角形》练习题及答案班级：姓名：学号：分数：一、选择题1.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )A.55°，55°B.70°，40°或70°，55°C.70°，40°D.55°，55°或70°，40°2.如果等腰三角形的一个底角为α，那么( )A.α不大于45°B.0°＜α＜90°C.α不大于90°D.45°＜α＜90°3.如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是( )A.∠B＝∠CB.AD⊥BCC.AD平分∠BACD.AB＝2BD4.等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为( )A.25B.25或32C.32D.195.若(a﹣4)2＋|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为( )A.14B.16C.13D.14或166.如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )A.∠EBC＝∠BACB.∠EBC＝∠ABEC.AE＝ECD.AE＝BE7.在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是( )A.∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3B.a∶b∶c＝2∶2∶3C.∠B＝50°，∠C＝80°D.2∠A＝∠B＋∠C8.如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数( )A.1个B.3个C.4个D.5个9.如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能得到两个等腰三角形纸片的是( )om10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )A.4B.5C. 6D.7二、填空题11.等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为 .12.等腰△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠B＝_______.13.某中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们确信房梁是水平的，理由是.14.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，确定△ABC是等腰三角形.你添加的条件是 .15.如图，OB、OC分别平分∠ABC与∠ACB，MN∥BC，若AB＝24，AC＝36，则△AMN 周长是 .16.如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝.三、解答题17.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝CD，AD＝DB，求∠BAC的度数.18.如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA延长线上，AE＝AF，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由.19.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形.20.如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB及AC延长线上的点，且BD＝CE，连接DE交BC于点O.过点D作DH⊥BC，过E作EK⊥BC，垂足分别为H、K.(1)求证：DH＝EK；(2)求证：DO＝EO.21.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边AB，BC，AC上，且BD＝CE，BE＝CF.(1)求证：ED＝EF；(2)当点G是DF的中点时，请判断EG和DF的位置关系，并说明理由.22.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？答案1.D2.B3.D.4.C5.D.6.A.7.D.8.D9.B10.C.11.答案为：3cm.12.答案为：70°.13.答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合.14.答案为：BD＝CD(答案不唯一).15.答案为：60.16.答案为：9.17.解：∵AB＝AC，DA＝DB∴∠B＝∠C＝∠BAD∵CA＝CD∴∠CDA＝∠CAD又∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2∠B＝2∠C∴∠CAD＝2∠C在△ACD中，∠C＋∠CDA＋∠CAD＝180°∴2∠C＋2∠C＋∠C＝180°∴∠C＝36°∴∠BAD＝36°，∠CAD＝2∠C＝72°∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝36°＋72°＝108°.18.解：EF⊥BC，理由为：证明：∵AB＝AC，AD⊥BC∴∠BAD＝∠CAD∵AE＝AF∴∠E＝∠EFA∵∠BAC＝∠E＋∠EFA＝2∠EFA∴∠EFA＝∠BAD∴EF∥AD∵AD⊥BC∴EF⊥BC则EF与BC的位置关系是垂直.19.证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAC∵DE∥AC∴∠ADE＝∠DAC.∴∠BAD＝∠ADE∵AD⊥BD∴∠ADB＝90°∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠BDE＋∠ADE＝90°∴∠B＝∠BDE∴BE＝DE∴△BDE是等腰三角形.20.解：(1)∵DH⊥BC，EK⊥BC∴∠DHB＝∠K＝90°∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB又∵∠ACB＝∠ECK∴∠B＝∠ECK在△BDH和△CEK中∵∠ACB＝∠ECK，∠B＝∠ECK，BD＝CE ∴△BDH≌△CEK(AAS).∴DH＝EK.(2)∵DH⊥AC，EK⊥BC∴∠DHO＝∠K＝90°由(1)得EK＝DH在△DHO和△EKO中∵∠DHO＝∠K，∠DOH＝∠EOK，DH＝EK∴△DHO≌△EKO(AAS)∴DO＝EO.21.证明：(1)∵AB＝AC∴∠B＝∠C在△BDE和△CEF中∴△BDE≌△CEF∴ED＝EF；(2)又∵点G是DF的中点，则EG垂直平分DF. 理由是：等腰三角形底边上的高线与中线重合.22.解：(1)△OBC≌△ABD.证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC∴∠OBC＝∠ABC在△OBC和△ABD中∴△OBC≌△ABD(SAS)；(2)∵△OBC≌△ABD∴∠BOC＝∠BAD＝60°又∵∠OAB＝60°∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°∴AE＝2∴AC＝AE＝2∴OC＝1＋2＝3∴当点C的坐标为(3，0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形.。

13.3 等腰三角形一．选择题（共10小题）1．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（）A．80°或50°B．50°或20°C．80°或20°D．50°2．已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（）A．6和8 B．7和7 C．6和8或7和7 D．3和113．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．2个4．如图，在△ABD中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥AB交AB于N，交AC于N，若BM+CN＝8，则线段MN的长为（）A．5 B．6 C．7 D．85．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．48°6．如图，等腰△ABC的面积为S，AB＝AC＝m，点D为BC边上任意一点，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，则DE+DF＝（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（）A．3个B．4个C．5个D．6个9．如果等腰三角形的周长20cm，那么这个等腰三角形腰长x的取值范围是（）A．x≥5cm B．5cm≤x＜10cm C．x＜10cm D．5cm＜x＜10cm 10．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个二．填空题（共11小题）11．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为．12．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在BC边上，∠BAD+∠C＝90°，点E在AC边上，∠AED＝2∠BAD，若BD＝16，CE＝7，则DE的长为．13．在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为．14．等腰三角形周长为17cm，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为4cm，则此等腰三角形的底边长为．15．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个等腰三角形顶角的度数为．16．△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝7.5，则BC的长为．17．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形，（1）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠ABC＝105°，过B作一直线交AC于D，若BD把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠BDA的度数是．（2）已知在△ABC中，AB＝AC，过顶点和顶点对边上一点的直线，把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠A的最小度数为．18．如图，线段AB＝a，点P是AB中垂线MN上的一动点，过点P作直线CD∥AB．若在直线CD上存在点Q使得△ABQ为等腰三角形，且满足条件的点Q有且只有3个，则PM的长为．19．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝40°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是．20．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的序号是．三．解答题（共5小题）21．（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D．请说明△BDC 是等腰三角形；（2）在（1）的条件下请设计四个不同的方案，将△ABC分割成三个等腰三角形，请直接画出示意图并标出每个等腰三角形顶角度数；（3）若有一个内角为36°的三角形被分割成两个等腰三角形，则原三角形中最大内角的所有可能值为．22．数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰△ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数；例2：等腰△ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．爱思考的小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰△ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，②当这个角80°是顶角，设等腰三角形的底角是x°，则2x+80°＝180°，解可得，x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；故选：A．2．解：当腰为6时，另一腰也为6，则底为20﹣2×6＝8，∵6+6＝12＞8，∴三边能构成三角形．当底为6时，腰为（20﹣6）÷2＝7，∵7+7＞6，∴三边能构成三角形．故选：C．3．解：共有5个．∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形；∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：C．4．解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∴MN＝ME+EN，即MN＝BM+CN．∵BM+CN＝8，∴MN＝8，故选：D．5．解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y．∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°．故选：C．6．解：如图所示：连接AD，∵AB＝AC＝m，△ABC的面积是S，∴AB•DE+AC•DF＝S，∵AB＝AC＝m，∴DE+DF＝，故选：B．7．解：如图所示：BC＝3，AC＝4，AB＝5，∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．当CD1＝AC＝4，CD3＝AD3，BA＝BD4＝3，AB＝AD2＝3，D5A＝AB，BD6＝CD，故能得到符合题意的等腰三角形6个．故选：D．8．解：当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个；故使△ABC是以AB为腰的等腰三角形的格点C有6个．故选：D．9．解：∵等腰三角形的腰长为xcm，周长20cm，∴底边为（20﹣2x）cm，∴20﹣2x＞0且2x＞20﹣2x，解得x＜10且x＞5．∴腰长x的取值范围是 5cm＜x＜10cm．故选：D．10．解：如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP＝∠POF＝60°，∵OP＝OE＝OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，∴∠EPM＝∠OPN，在△PEM和△PON中，，∴△PEM≌△PON（ASA）．∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选：D．二．填空题（共11小题）11．解：①∵AB＝AC，∠ABD＝26°，BD⊥AC，∴∠A＝64°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣64°）÷2＝58°．②∵AB＝AC，∠ABD＝26°，BD⊥AC，∴∠BAC＝26°+90°＝116°∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣116°）÷2＝32°．故答案为：58°或32°．12．解：设∠C＝2α，∵∠BAD+∠C＝90°，∴∠BAD＝90°﹣2α，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝90°﹣α，∴∠CAD＝α，作∠ADF＝∠DAE＝α交AE于F，∴∠DFE＝2α，AF＝DF，∵∠AED＝2∠BAD＝180°﹣4α，∴∠EDF＝2α，∴∠EFD＝∠EDF＝∠C，∴EF＝DE，DF＝CD，∴AF＝CD，∴CF＝BD＝16，∵CE＝7，∴EF＝DE＝9，故答案为：9．13．解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，∴AD+AE＝BD+CE，∵BC＝10，DE＝4，当BD与CE无重合时，如图1，AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，当BD与CE有重合时，如图2，AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14，综上所述，AD+AE＝6或14．故答案为：6或14．14．解：如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，设AB＝AC＝x，∵点D为AC的中点，∴AD＝CD＝AB，BC＝17﹣（AB+AC）＝17﹣2x．①当△ABD的周长大于△BCD的周长时，∵AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）＝4，∴AB﹣BC＝4，即x﹣（17﹣2x）＝4，解得x＝7，17﹣2x＝3，7，7，3能够组成三角形，符合题意；②当△BCD的周长大于△ABD的周长时，∵BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）＝4，∴BC﹣AB＝4，即17﹣2x﹣x＝4，解得x＝，17﹣2x＝，，，能够组成三角形，符合题意．综上所述，这个等腰三角形的底边长为3或，故答案为：3或，15．解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；所以这个等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故答案为80°或20°．16．解：若△ABC是锐角三角形时，过点C作CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB•CD＝，∴CD＝3，∴由勾股定理可知：AD＝4，∴BD＝1，∴BC＝，若△ABC是钝角三角形时，同理可求出得BC＝3，故答案为：或317．解：（1）根据题意得DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝25°，∴∠BDA＝180°﹣25°×2＝130°．故答案为：130°；（2）如图所示：AB＝AC，AD＝BD，BC＝CD，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝2∠A，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝3∠A，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝3∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A＝．故答案为：．18．解：如图所示，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，①当直线CD经过两弧的交点时，直线CD与两弧共有3个交点G1，G2，G3，此时满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，△PAB是等边三角形，∴PM＝a；②当直线CD与两弧均相切时，直线CD与两弧、直线MN共有3个交点G1，G2，G3，此时满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，∴PM＝AG1＝AB＝a，故答案为：a或a．19．解：分三种情况：①当CD＝DE时，∴∠DCE＝∠DEC＝70°，∴∠ADC＝∠B+∠DCE＝110°，②当DE＝CE时，∵∠CDE＝40°，∴∠DCE＝∠CDE＝40°，∴∠ADC＝∠DCE+∠B＝80°．③当EC＝CD时，∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∵∠ACB＝100°，∴此时，点D与点A重合，不合题意．综上所述，若△ADC是等腰三角形，则∠ADC的度数为80°或110°．故答案为：80°或110°．20．解：①如图1，连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形；故③正确；④如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PB，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP；故④正确；本题正确的结论有：①③④，故答案为①③④．三．解答题（共5小题）21．解：（1）∵AB＝AC，∵∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝72°．∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°＝∠C，∴△BDC是等腰三角形；（2）如图方案1，做∠B的角平分线BD交AC于点D，作∠BDC得角平分线DE交BC于点E，∵∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝72°，∴∠DBC＝36°，∠BDC＝72°，∴∠EDG＝∠BDE＝36°，∴△ABD，△BDE，△DEC为等腰三角形；如图方案2，做∠B的角平分线BF交AC于点F，作∠C得角平分线CM交BF于点M，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠FBC＝∠ABF＝36°，∠FCM＝∠MCB＝72°，∴∠CFM＝∠CMF＝72°，∴△ABF，△BMC，△CMF为等腰三角形；如图方案3，做∠C的角平分线CN交AB于点N，作∠BNC得角平分线NP交BC于点P，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠BCN＝∠ACN＝36°，∠BNC＝∠B＝72°，∴∠BNP＝∠PNC＝36°，∠NPB＝72°，∴△ANC，△NPC，△BNP为等腰三角形；如图方案4，作∠B的角平分线BD交AC于点D，作∠BDE＝∠BDC交AB于点E，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠BCD＝∠BDE＝∠BED＝72°，∠AED＝108°，∴∠A＝∠ADE＝36°，∴△AED，△BDE，△BCD为等腰三角形；（3）①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况如图所示：∠ABC＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，AD＝BD＝BC；②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况如图所示：∠ABC＝90°，∠A＝36°，AD＝CD＝BD；③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况如图所示：④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况如图所示：∠ABC＝126°，∠C＝36°，AD＝BD＝BC；⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况如图所示：∠C＝132°，∠ABC＝36°，AD＝BD，CD＝CB．综上，原三角形最大内角的所有可能值为72°，90°，108°，132°，126°．故答案为：72°，90°，108°，132°，126°．22．解：例题1：根据三角形内角和定理，∵∠A＝110°＞90°，∠B＝∠C＝35°；例题2：若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝70°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×40°＝100°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝40°；故∠B＝50°或20°或80°；问题：分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．。

13.3.1 等腰三角形第1 课时等腰三角形的性质A层知识点一等边对等角1.若等腰三角形底角为50°，则该三角形的顶角的度数是( )A.40°B.50°C.60°D.80°2.如图,AB∥CD,点E 在线段BC上,CD=CE.若∠ABC=30°,则∠D 的度数为( )A.85°B.75°C.65°D.30°3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,P 是边AB 上的一个动点(不与顶点A、B重合)，则∠BCP 的度数可能是.(写出一个即可)4.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AF=EF.若∠CFE=72°,则∠B=5.如图,在△ABC 中,AB = AC,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F.求证:△BED≌△CFD.知识点二等腰三角形“三线合一”6.如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，BD=5,则CD 等于( )A.10B.5C.4D.37.如图,AD,CE 分别是△ABC 的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE 的度数是( )A.20°B.35°C.40°D.70°8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD 是BC 边上的中线,BE⊥AC 于点E.求证:∠CBE =∠BAD.B层9.等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角是( )A.50°B.80°C.50°或80°D.20°或80°【变式题】本质同：顶角、底角不明确，需分类讨论在等腰△ABC 中,∠A=2∠B,则∠C 的度数为( )A.36°B.45°C.36°或45°D.45°或72°10.如图,在△ABC中,D、E、F 分别为边AB、AC、BC 上的点,且BD=BF,CF=CE,∠A=62°,则∠DFE的度数为( )A.58°B.59°C.62°D.76°11.如图,P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点,过点P 作PQ∥BC,交DE 于点Q,则∠EPQ的度数为.12.过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为.13.如图,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,AD= BD, AD = AC,∠BAC = 63°, 求∠DAC 的度数.14.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC 于点D.(1)若∠C=42°,求∠BAD 的度数;(2)若点E 在边AB 上,F 在AD 的延长线上,且AE=FE.求证:EF∥AC.C层15.问题:如图,在△ABD 中,BA=BD,在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA =EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC 的度数.答案:∠DAC=45°.思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗?说明理由；(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉, 再将“∠BAE = 90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠D AC的度数.第2 课时等腰三角形的判定A层知识点一等腰三角形的判定1.在△ABC中,已知∠B=∠C,则( )A. AB=BCB. AB=ACC. BC=ACD.∠A=60°2.在△ABC 中,∠A 和∠B 的度数如下,其中能判定△ABC 是等腰三角形的是( )A.∠A=50°,∠B=70°B.∠A=70°,∠B=40°C.∠A=30°,∠B=90°D.∠A=80°,∠B=60°3.如图,关于△ABC,给出下列四组条件:①△ABC中,AB=AC;②△ABC 中,∠B=56°,∠BAC=68°;③△ABC 中,AD⊥BC,AD 平分∠BAC;④△ABC中,AD⊥BC,BD=CD.其中,能判定△ABC 是等腰三角形的条件共有( )A.1 组B.2组C.3 组D.4 组4.如图,AD 平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.知识点二用尺规作等腰三角形5.作图题(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明).已知:线段a 和∠α(如图),求作△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠α.知识点三等腰三角形的性质与判定的综合运用6.如图,AC 和BD 相交于点O,且AB∥DC,OA=OB,OC=3cm,则OD= cm.7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD⊥BC 于点D.若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是.8.如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,∠B =90°,连接AC,∠DAC=∠BAC.(1)求证:AD=DC;(2)若∠D=120°,求∠ACB 的度数.B层9.如图,在等腰△ABC 中,BD 为∠ABC 的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=( )A.a+b2B.a−b2C. a-bD. b-a10.如图,D为△ABC 内一点, AD ⊥CD, AD 平分∠CAB,且∠DCB=∠B.如果AB=10,AC=6,那么CD=.11.(易错题)如图,在直角坐标系中,点A(-2,2)、B(0,1),点P 在x 轴上,且△PAB 是等腰三角形，则满足条件的点P 共有个.12.如图,AD∥BC,∠BAC=70°,DE⊥AC 于点E,∠D=20°.(1)求∠B 的度数,并判断△ABC 的形状;(2)若延长线段DE 恰好过点B,求证:BD 是∠ABC 的平分线.13.如图,在△ABC 中,D,E 分别是AC,AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列三个条件:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③BE=CD.(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)?(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明△ABC 是等腰三角形.14.如图,在△ABC中,AB=AC,M,N 分别是AB,AC 边上的点,并且MN∥BC.(1)△AMN 是否是等腰三角形?说明理由；(2)点P 是MN 上的一点,并且BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB.①求证:△BPM 是等腰三角形;②若△ABC 的周长为a,BC=b(a>2b),求△AMN 的周长(用含u,b的式子表示).13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1. D2. B3.45°(答案不唯一)4.54°5.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED =∠CFD = 90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△BED 和△CFD 中,{∠B=∠C,∠BED=∠CFD,BD=CD,∴△BED≌△CFD(AAS).6. B7. B8.证明:∵AB=AC,AD 是BC 边上的中线,∴∠CAD=∠BAD,AD⊥BC.又∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°.∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD.9. D 【变式题】D 10. B 11.36°12.36°或45°解析:如图①,AD=BD,AC=DC,可求得∠B=∠C=36°;如图②,AD=B D=DC,可求得∠B=∠C=45°.13.解:∵AD = BD,AD = AC,∴∠B =∠BAD,∠ADC = ∠C.又∵∠ADC =∠B+∠BAD=2∠B,∴∠C=2∠B.在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°,即12∠C+∠C+63∘=180∘,∴∠C=78∘.在△ACD 中,. ∠DAC=180°−∠C −∠ADC=180°-2∠C=24°.14.(1)解:∵AB = AC,AD⊥BC 于点D,∴∠BAD= ∠CAD, ∠ADC = 90°.又∵∠C=42°,∴∠BAD=∠CAD=90°- 42°=48°.(2) 证明: 由(1) 知∠BAD = ∠CAD.∵AE = FE,∴∠BAD=∠F.∴∠F =∠CAD.∴EF∥AC.15.解:(1)∠DAC 的度数不会改变.理由如下:∵EA=EC,∴∠CAE=∠C.∴∠AED =2∠C.∵∠BAE = 90°, ∴∠B = 90°-∠AED = 90°- 2 ∠C. ∵BA = BD, ∴∠BDA=12(180∘−∠B)=12[180∘−(90°−2∠C)]=45°+∠C.∴∠DAC=∠BDA-∠C=45°.(2)设∠B =m°,则∠BDA=12(180∘−m∘)=90∘−12m∘,∠AEB=180∘−n∘−m∘.∵EA=EC,∴∠C=12∠AEB=90∘−12n∘−12m∘∴∠DAC=∠BDA−∠C=12n∘.第2 课时等腰三角形的判定1. B2. B3. D4.证明: 如图, ∵DE ∥AC,∴∠1= ∠3. ∵AD 平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∵AD ⊥BD,∴∠2+∠B= 90°, ∠3+ ∠BDE = 90°. ∴∠B=∠BDE.∴BE=DE.∴△BDE是等腰三角形.5.解:△ABC 如图所示.6.37.208.(1)证明:∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC.∵∠DAC =∠BAC,∴∠DAC =∠DCA.∴AD=DC.(2)解:∵AB∥CD,∴∠B+∠DCB=180°.∵∠B=90°,∴∠DCB=90°.∵AD=DC,∠D = 120°,∴∠ACD = 30°.∴∠A CB=∠DCB-∠DCA=60°.9. C 10.2 11.412.(1)解:∵DE⊥AC 于点E,∠D =20°,∴∠CAD= 70°.∵AD ∥BC, ∴∠C =∠CAD=70°.∵∠BAC=70°,∴∠B =40°,∠BAC=∠C.∴AB=BC.∴△ABC是等腰三角形.(2)证明:∵延长线段DE 恰好过点B,DE⊥AC,∴BD⊥AC.∵△ABC是等腰三角形且AB=BC,∴BD是∠ABC的平分线.13.解:(1)由①③和②③都可以判定△ABC 是等腰三角形.(2)如选择①③,证明如下:在△BOE 和△COD 中{∠1=∠2,∠BOE=∠COD,∴BOE≅2BE=CD,△COD(AAS).∴BO= CO.∴∠OBC =∠OCB.∴∠1+∠OBC=∠2+∠OCB,即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC 是等腰三角形.14.(1)解:△AMN 是等腰三角形,理由如下:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵MN∥BC, ∴∠AMN = ∠ABC, ∠ANM =∠ACB.∴∠AMN = ∠ANM.∴AM =AN.∴△AMN是等腰三角形.(2)①证明:∵BP 平分∠ABC,∴∠PBM=∠PBC.∵MN∥BC,∴∠MPB=∠PBC.∴∠PBM=∠MPB.∴MB=MP.∴△BPM是等腰三角形.②解:由①知MB=MP,同理可得NC=NP.∴△AMN 的周长= AM + MP+NP+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC.∵△ABC的周长为a,BC=b,∴AB+AC=a-b.∴△AMN 的周长=a-b.。

《13．3．1等腰三角形》课时练一、选择题1．下列命题中，属于假命题的是()A．等腰三角形底边上的高是它的对称轴B．有两个角相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形底边上的中线平分顶角D．等边三角形的每一个内角都等于60∘2．如图，在△ABC中，∠B=∠C， AB=5，则AC的长为（）A．2B．3C．4D．53．如图：等腰直角△ABC中，若∠ACB=90∘，CD=DE=CE，则∠DAB 的度数为（）A．60∘B．30∘C．45∘D．15∘4．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角是48∘，它的一个底角的度数是()A．48∘B．21∘或69∘C．21∘D．48∘或69∘5．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A．7㎝B．9㎝C．12㎝或者9㎝D．12㎝6．等腰直角三角形的底边长为5，则它的面积是()A．25B．12．5C．10D．6．25 7．如图，△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，AD是角平分线，DE⊥AC 于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．一个角是60∘的等腰三角形是（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．上述都正确9．以下关于等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60∘的三角形是等边三角形④三个角相等的三角形是等边三角形其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④10．如图，在△ABC中，∠B=60∘，AB=9，BP=3，AP=AC，则BC 的长为（）A．8B．7C．6D．511．等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（）A．30∘B．30∘或150∘C．120∘或150∘D．120∘、30∘或150∘12．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是()A．140∘B．20∘或80∘C．44∘或80∘D．140∘或44∘或80∘二、填空题13．等腰三角形一腰的高等于腰长的一半，则其顶角的度数为________．14．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点D在BC的延长线上，做DF⊥AB，垂足为F，若CD=6，则AF的长等于________．15．如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为________．16．如图等边三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的两点，AD、AE把△ABC分割成周长相等的三个三角形，则CD=________．17．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100∘，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是________．三、解答题18．从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：________(只填序号)，求证：△AED是等腰三角形．19．如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC．求证：D=∠ABC．20．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE=30∘，DE=4，求这个矩形的周长．21．如图，在△ABC中，∠ACB−∠B=90∘，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．22．（1）如图①，△ABC是等边三角形，△ABC所在平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．（2）如图②，正方形ABCD所在的平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．参考答案题号12345678910答案AD DBDDCBDC题号1112答案DD13．30∘或150∘14．115．416．−3+3331617．30∘或70∘18．证明：选择的条件是：①∠B =∠C ②∠BAD =∠CDA （或①③，①④，②③）；证明：在△BAD 和△CDA 中，∵∠B =∠C ，∠BAD =∠CDA ，AD =DA ，∴△BAD ≅△CDA(AAS)，∴∠ADB =∠DAC ，即在△AED 中∠ADE =∠DAE ，∴AE =DE ，△AED 为等腰三角形．19．证明：∵BD//AC ，∴∠EBD =∠C ，BD =BC ，BE =AC ，∴△EDB ≅ABC SAS ，∴∠D =∠ABC20．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=90∘，AD=BC．在Rt△ADE中，∵∠A=90∘，∠ADE=30∘，DE=4，∴AE=12DE=2，AD=3AE=23．∵DE⊥CE，∠A=90∘，∴∠BEC=∠ADE=90∘−∠AED=30∘．在Rt△BEC中，∵∠B=90∘，∠BEC=30∘，BC=AD=23，∴BE=3BC=6，∴AB=AE+BE=2+6=8，∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(8+23)=16+43．21．解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：如图所示：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，∴∠EAC=12∠BAC，∠FAC=12∠CAD，∵∠BAC+∠CAD=180∘，∴∠EAC+∠FAC=12(∠BAC+∠CAD)=90∘，即∠EAF=90∘，∵∠ACB−∠B=90∘，∴∠ACB=90∘+∠B，∴∠1=90∘−∠B=∠B+∠BAC，∴∠B=12(90∘−∠BAC)，∴∠4=∠B+∠AEF，∵AE平分∠DAC，∴∠3=∠4=∠B+∠AEF，∵∠BAC+∠3+∠4=180∘，∴2(∠B+∠AEF)+∠BAC=2[12(90∘−∠BAC)+∠AEF]+∠BAC=180∘，∴∠AEF=45∘，∴∠AFE=45∘，∴△AEF是等腰直角三角形．22．【解答】（1）10个，如解图①，当点P在△ABC内部时，P是边AB．BC．CA的垂直平分线的交点：当点P在△ABC外部时，P是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点每条垂直平分线上得3个交点，故具有这样性质的点P共有10个．（2）9个，如解图③．两条对角线的交点是1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个，故具有这样性质的点P共有9个．。