高新一中2013高考数学一轮复习单元练习--数系的扩充与复数的引入

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3.1.1数系的扩充和复数的概念一、选择题1．下列命题中：①若a∈R，则（a＋1)i是纯虚数；②若a、b∈R且a>b，则a＋i3〉b＋i2；③若(x2－1）＋(x2＋3x＋2）i是纯虚数,则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中,正确命题的序号是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】对于复数a＋b i(a,b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1,则（a ＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i,b ＋i2＝b－1,复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D. 2．(2014·白鹭洲中学期中）复数z＝(m2＋m)＋m i（m∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为（）A．0或－1 B．0 C．1 D．－1【答案】D【解析】∵z为纯虚数，∴错误!∴m＝－1，故选D。

3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4a i相等，则实数a的值为( )A．1 B．1或－4 C．－4 D．0或－4【答案】C【解析】由复数相等的充要条件得错误!解得：a＝－4。

第五十三讲 数系的扩充与复数的引入班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.(2010·山东)已知2a ii +=b+i(a,b∈R),其中i 为虚数单位,则a+b=( )A.-1B.1C.2D.3解析:由2a ii +=b+i 得a+2i=bi-1,所以a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.答案:B2.(2010·江西)已知(x+i)(1-i) =y,则实数x,y 分别为( )A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2解析:由(x+i)(1-i)=y 得(x+1)+(1-x)i=y,又因x,y 为实数,所以有1,10y x x =+⎧⎨-=⎩解得1.2x y =⎧⎨=⎩答案:D3.(2010·新课标全国)已知复数z 是z 的共轭复数,则z·z =( )11..42.1.2A B C D解析:∵z======∴z =∴z•z =|z|2=14,故选A.答案:A4.(2010·广东)若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则z 1·z 2=( )A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i解析:z 1•z 2=(1+i)(3-i)=3-i+3i-i 2=4+2i.答案:A5.(2010·浙江)对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论正确的是( ) A.|z-z |=2y B.z 2=x 2+y 2C.|z-z |≥2xD.|z|≤|x|+|y|解析:|z|==|x|+|y|,D 正确,易知A ､B ､C 错误.答案:D6.(2010·福建)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必有xy∈S”,则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时,b+c+d 等于( )A.1B.-1C.0D.i解析:根据集合元素的唯一性,知b=-1,由c 2=-1得c=±i,因对任意x,y∈S,必有xy∈S,所以当c=i 时,d=-i;当c=-i 时,d=i,所以b+c+d=-1.答案:B二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.(2010·北京)在复平面内,复数21i i-对应的点的坐标为________. 解析:22(1)1(1)(1)i i i i i i +=--+ =-1+i,故其对应的点的坐标是(-1,1). 答案:(-1,1)8.(2010·重庆)已知复数z=1+i,则2z-z=________.解析:222(1)(1)1(1)(1)iz iz i i i--=-+=-++-(1+i)=(1-i)-(1+i)=-2i.答案:-2i9.(2010·江苏)设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位),则z的模为________. 解析:∵z(2-3i)=6+4i,∴z=6423ii+-,∴|z|=2|32|2.|23|ii+=-答案:210.已知复数z=x+yi且则yx的最大值是________;最小值是________.解析:∵|z∴(x-2)2+y2=3,则yx可看作是圆(x-2)2+y2=3上的点与原点连线的斜率,设yx=k,则直线y=kx与圆相切时,k可以取到最大或最小值.=解得k=k=最小值为答案三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.当实数m为何值时,z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(1)为纯虚数;(2)为实数;(3)对应的点在复平面内的第二象限内.解:(1)若z为纯虚数,则有22(22)0320lg m mm m⎧--=⎪⎨++≠⎪⎩即2221(1)(2)0m m m m ≠⎧--=⎨++⎩⇒(3)(1)0(1)(2)0m m m m ≠-+=⎧⎨++⎩∴m=3;(2)若z 为实数,则有22220320m m m m ⎧-->⎪⎨++=⎪⎩ ⇒m=-1或m=-2;(3)若z 对应的点在复平面内的第二象限,则有2222220(22)0221320(1)(2)0m m lg m m m m m m m m ⎧-->⎧--<⎪⎪--<⎨⎨++>⎪⎩⎪++>⎩⇒111321m m m m m ⎧<>+⎪-<<⎨⎪<->-⎩或⇒或12.复数z 1=3+4i,z 2=0,z 3=c+(2c-6)i 在复平面内对应的点分别为A ､B ､C,若∠BAC 是钝角,求实数c 的取值范围.解:在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC 是钝角得AB AC <0,且B ､A ､C 不共线,由(-3,-4)·(c -3,2c-10)<0解得c>49,11其中当c=9时,(6,8)2AC AB ==- ,三点共线,故c≠9.∴c 的取值范围是c>4911且c≠9. 13.已知复数z=1+i,求实数a,b,使得az+2b z =(a+2z)2.分析:充分利用共轭复数的性质､复数相等的充要条件即可解出,在求解过程中,整体代入可获得简捷明快､别具一格的解法.解:因为z=1+i,因为a,b都是实数,所以可得224,24(2).a b a a a b a⎧+=+⎨-=+⎩解得112 1a b =-⎧⎨=-⎩或2 24, 2.a b =-⎧⎨=⎩即a=-2,b=-1或a=-4,b=2.。

第三章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充习题苏教版选修2-2明目标、知重点1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．1．复数的有关概念 (1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈R ，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i. (2)复数集①定义：全体复数所组成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d.[情境导学]为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数．数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一复数的概念思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i 2＝－1.(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．(3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立． (4)若i 2＝－1，那么i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1. 思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部． 思考4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？答 对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数． 思考5 复数m ＋n i 的实部、虚部一定是m 、n 吗？答 不一定，只有当m ∈R ，n ∈R ，则m 、n 才是该复数的实部、虚部． 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数． ①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． (1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数； (3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例 2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ≠0，m ≠0即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0且m ≠0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋2m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2. 探究点二 两个复数相等 思考1 两个复数能否比较大小？答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小． 思考2 两个复数相等的充要条件是什么？答 复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－y ，1＝y －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4.反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数． 跟踪训练 3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．解 由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0.x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3，所以x ＝3为所求．1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 ±2，5解析 令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是________． 答案 ±2i3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为________． 答案 0解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋1＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R )是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．其中正确命题的个数为________． 答案 4解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误． [呈重点、现规律]1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况； 2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.一、基础过关1．“复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的________条件． 答案 充分不必要解析 若a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数，则a ＝0，b ≠0.∴“a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的充分不必要条件． 2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________．答案 2－2i解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.3．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为________． 答案 1解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0. ∴2x ＋y ＝20＝1.4．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________． 答案 －1解析 由复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.5．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________. 答案 2 ±2解析 由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝n 2－3m －1－4＝n 2－m －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝±2.6．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0m 2－1≠0⇒m ＝－2.7．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2. 二、能力提升8．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是________．答案 1解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.解得x ＝1. 9．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为____________． 答案 2k π＋π4(k ∈Z ) 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2θ－1＝02cos θ＋1≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝k π＋π4θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z . 10．给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数；②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________．答案 1解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错．故答案为1.11.设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2.∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.12.已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，求y x的最大值．解 ∵|x －2＋y i|＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，y x 表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知y x 的最大值为 3.三、探究与拓展13．实数m 为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0， 解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1. 所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A 版选修121104[A 基础达标]1．以－3＋i 的虚部为实部，以3i ＋i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－3＋3iD ．3＋3i解析：选A.－3＋i 的虚部为1，3i ＋i 2＝－1＋3i ，其实部为－1，故所求复数为1－i. 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D.复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2 017i ＝2－b i ，则a 2＋b i ＝( ) A ．2 017＋2i B ．2 017＋4i C ．2＋2 017iD ．4－2 017i解析：选D.因为a ＋2 017i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2 017，即a ＝2，b ＝－2 017，所以a 2＋b i ＝4－2 017i ，故选D.4．“a ＝－2”是“复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝－2时，复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i ＝－i ，为纯虚数；当复数z ＝(a2－4)＋(a ＋1)i 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋1≠0，解得a ＝±2，故选A.5．下列命题：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数； ②若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.在①中未对z ＝a ＋b i 中a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，但z 1≠z 2≠0，故②错误；在③中忽视0·i ＝0，故③也是错误的．故选A.6．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________． 解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1. 答案：0或17．若复数cos θ－isin θ与－sin θ＋icos θ(θ∈R )相等，则θ＝________． 解析：根据两个复数相等的充要条件，得cos θ＝－sin θ，即tan θ＝－1，所以θ＝k π－π4(k ∈Z )．答案：k π－π4(k ∈Z )8．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，解得m ＝3，所以所求的实数m 的取值集合是{3}．答案：{3}9．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值． 解：对①，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.③把③代入②，得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ＝－1或a ＝6，且a ≠±1，所以当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ≠－1且a ≠6，且a ≠±1.所以当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，a ≠6.且a ＝6，所以不存在实数a 使z 为纯虚数．[B 能力提升]11．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π3，5π3解析：选D.由条件，知cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或12.又0<α<2π，所以α＝π或π3或5π3，故选D.12．若关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0有一根为实数x 0，则x 0＝________． 解析：因为x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0的根为x ＝5＋i 或1，所以x 0＝1. 答案：113．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩NM ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ， 即a ＋3＝0且b 2－1＝3， 得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}，符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0b 2－b －3＝0，此方程组无整数解．综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.14．(选做题)已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y ，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎨⎧x －1＝2cos αy ＋1＝2sin α，得⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1(α∈R )，所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)， 于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．。

课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。

复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。

类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。

用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。

（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。

复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。

二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。

所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。

第四节 数系的扩充与复数的引入[考纲传真 ] (教师用书独具 )1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件 .2.了解复数的代数表示法及其几何意义 .3.能进行复数代数形式的四则运算， 了解两个具体复数相加、减的几何意义．(对应学生用书第 63 页 )[基础知识填充 ]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a ＋bi(a ，b ∈ R )的数叫复数，其中 a 叫做复数 z 的实数， b 叫做复数 z 的虚部 (i 为虚数单位 )．(2)分类：满足条件 (a ，b 为实数 )a ＋bi 为实数 ?b ＝ 0复数的分类a ＋bi 为虚数 ?b ≠ 0a ＋bi 为纯虚数 ? a ＝0 且b ≠ 0(3)复数相等： a ＋bi ＝ c ＋ di? a ＝c ， b ＝ d(a ， b ， c ， d ∈ R )．(4)共轭复数： a ＋bi 与 c ＋di 共轭 ? a ＝c ，b ＝－ d(a ， b ， c ， d ∈R )．→ 的模 r 叫做复数 z ＝a ＋bi 的模，即 |z|＝|a ＋bi|＝ a 2＋b 2(5)复数的模：向量 OZ . 2．复数的几何意义复数 z ＝a ＋bi 复平面内的点 Z(a ，b)平面向量→OZ ＝(a ， b)．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设 z 1＝a ＋bi ， z 2＝ c ＋ di ，a ，b ，c ，d ∈ R .z 1±z 2 ＝(a ＋ bi) ±(c ＋di) ＝(a ±c)＋(b ±d)i.z 1·z 2＝(a ＋bi)(c ＋di) ＝(ac － bd)＋(bc ＋ad)i.z 1 a ＋bi ac ＋bd bc －ad ＝ ＋ ＝ 2 2 ＋ 2 2i(c ＋di ≠0)． z 2 c ＋d c ＋d c di(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．1如图 4-4-1 所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几→→→→→何意义，即 OZ＝OZ1＋ OZ2，Z1Z2＝ OZ2－OZ1.图 4-4-1[基本能力自测 ]1．(思考辨析 )判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数 z＝ a＋ bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 . ()[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材改编 )如图 4-4-2，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是 ()图 4-4-2A．A B．BC．C D．DB[共轭复数对应的点关于实轴对称． ]3．(2017 ·全国卷Ⅲ )复平面内表示复数z＝i( －2＋i) 的点位于 ()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[ ∵z＝i( －2＋i) ＝－ 1－ 2i，∴复数 z＝－ 1－ 2i 所对应的复平面内的点为Z(－ 1，－ 2)，位于第三象限．故选 C．]．·北京高考复数1＋2i＝()4 (2016)2－i2A ．iB ．1＋iC ．－ iD ．1－i1＋2i 1＋ 2i 2＋i 5i＝i.A [ 法一： 2－i ＝ 2－i 2＋i ＝ 5 1＋2i i 1＋2i i 1＋2i ＝ i.]法二： 2－i ＝ i 2－ i ＝ 2i ＋15．复数 i(1 ＋i) 的实部为 ________．－ 1 [i(1＋ i)＝－ 1＋ i ，所以实部为－ 1.](对应学生用书第 64 页)复数的有关概念z(1)(2016 全·国卷Ⅲ )若 z ＝ 4＋ 3i ，则 |z| ＝()A ．1B ．－14 343C ．5＋ 5iD ．5－5i(2)i 是虚数单位，若复数 (1－2i)(a ＋i) 是纯虚数，则实数 a 的值为 ________．(1)D (2)－2 [(1) ∵z ＝4＋3i ，∴ z ＝ 4－ 3i ，|z|＝ 42＋ 32＝5，z4－ 3i 4 3∴ |z|＝ 5 ＝5－5i.(2)由(1－ 2i)(a ＋ i)＝ (a ＋2)＋ (1－2a)i 是纯虚数可得 a ＋ 2＝ 0,1－ 2a ≠0，解得 a＝－ 2.][规律方法 ]1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关， 所以解答与复数相关概念有关的问题时， 需把所给复数化为代数形式，即 a ＋bi(a ，b ∈ R )的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．i[变式训练 1](1)(2017 合·肥二次质检 )已知 i 为虚数单位，复数 z ＝2＋i 的虚部为() 【导学号： 79170142】312A．－5B．－512C．5D．51＋i ，则 |z|＝ ()(2)设 z＝1＋i12A．2B．23C．2D．2i i 2－ i1＋2i122(1)D (2)B[(1) 复数 z＝2＋i＝2＋i2－ i＝5＝5＋5i ，则其虚部为5，故选 D．11－i11 1 2 1 22(2)z＝1＋i＋ i＝2＋i＝2＋2i ，|z|＝2＋2＝2 .]复数代数形式的四则运算(1)(2015 全·国卷Ⅰ )已知复数 z 满足 (z－1)i ＝1＋i，则 z＝()A．－ 2－i B．－ 2＋iC．2－ i D．2＋ia(2)(2016 天·津高考 )已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1 － bi) ＝a，则b的值为________．i＋ 1(1)C(2)2[(1) ∵(z－ 1)i ＝i ＋1，∴ z－1＝i＝1－i，∴z＝ 2－ i，故选 C．(2)∵(1＋ i)(1 －bi)＝ 1＋ b＋ (1－b)i ＝a，又 a， b∈R，∴ 1＋b＝a 且 1－ b＝ 0，a得 a＝2，b＝1，∴b＝2.][规律方法 ] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度2＝±2i； (2)1＋i＝ i；(3)1－i＝－ i； (4)－b＋ai＝ i(a＋bi) ；(5)i 4n＝1；(1)(1 i)±1－i1＋ii4n＋1＝i ；i4n＋2＝－ 1；i4n＋3＝－ i(n∈N)．4[变式训练 2](1)已知1－ i2)z＝1＋i(i 为虚数单位 )，则复数 z＝(【导学号： 79170143】A．1＋ i B．1－i C．－ 1＋i D．－ 1－i1＋i 8＋22 018(2)已知 i 是虚数单位，1－i－i ＝________.11－i21－ i2－2i－2i 1－i(1)D(2)1＋i [(1)由z＝1＋ i，得 z＝＋＝＋i ＝＋－i＝－ 1－1 i1 1 i1 i，故选 D．1＋ i 8 2 2 1009(2)原式＝1－i ＋1－i＝i8＋21 009＝i8＋i1 009－2i＝1＋i4×252＋1＝1＋i.]复数的几何意义(1)(2017 北·京高考 )若复数 (1－ i)(a＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 ()A．(－∞， 1)B．(－∞，－ 1)C．(1，＋∞ )D．(－1，＋∞ )1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋ i，则 z12＝() (2)设复数 z zA．－5B．5C．－ 4＋i D．－ 4－i(1)B(2)A[(1) ∵(1－ i)(a＋i) ＝a＋i－ ai －i 2＝a＋1＋(1－a)i ，又∵复数 (1－i)(a＋i) 在复平面内对应的点在第二象限，a＋1<0，∴解得 a<－1.1－ a>0，故选 B．(2)∵z1＝ 2＋ i 在复平面内的对应点的坐标为 (2,1)，又 z1与 z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 z2的对应点的坐标为 (－2,1)即 z2＝－ 2＋ i，∴z1z2＝(2＋ i)( －2＋i) ＝i 2－4＝－ 5.]5[规律方法 ] →1.复数 z 、复平面上的点 Z 及向量 OZ 相互联系，即 z ＝a ＋bi(a ，→b ∈ R )? Z(a ，b)? OZ.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法， 使问题的解决更加直观．[ 变式训练 3]a b (2017 ·郑州二次质检 )定义运算＝ ad － bc ，则符合条件c dz 1＋i的复数 z 对应的点在 ()2 ＝0 1A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [ 由题意得 z ×1－2(1＋i) ＝0，则 z ＝2＋2i 在复平面内对应的点为 (2,2)，位于第一象限，故选 A ． ]6。

第十四章数系的扩充与复数的引入考点一复数的概念1.(2013湖南,1,5分)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B2.(2013福建,1,5分)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 C3.(2013江西,1,5分)复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 D4.(2013山东,1,5分)复数z＝(i为虚数单位),则|z|＝( )A.25B.C.5D.答案 C5.(2013四川,3,5分)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是( )A.AB.BC.CD.D答案 B6.(2013北京,4,5分)在复平面内,复数i(2－i)对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A7.(2013湖北,11,5分)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1＝2－3i,则z2＝.答案－2＋3i考点二复数的运算8.(2013课标全国Ⅰ,2,5分)＝( )A.－1－iB.－1＋iC.1＋iD.1－i答案 B9.(2013课标全国Ⅱ,2,5分)＝( )A.2B.2C.D.1答案C10.(2013陕西,6,5分)设z是复数,则下列命题中的假．命题是( )A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0答案 C11.(2013安徽,1,5分)设i是虚数单位,若复数a－(a∈R)是纯虚数,则a的值为( )A.－3B.－1C.1D.3答案 D12.(2013广东,3,5分)若i(x＋yi)＝3＋4i,x,y∈R,则复数x＋yi的模是( )A.2B.3C.4D.5答案 D13.(2013辽宁,2,5分)复数z＝的模为( )A. B. C. D.2答案 B14.(2013浙江,2,5分)已知i是虚数单位,则(2＋i)(3＋i)＝( )A.5－5iB.7－5iC.5＋5iD.7＋5i答案C15.(2013重庆,11,5分)设复数z＝1＋2i(i是虚数单位),则|z|＝.答案16.(2013天津,9,5分)i是虚数单位,复数(3＋i)(1－2i)＝.答案5－5i。

2013版高考数学一轮复习精品学案：第二节数系的扩充与复数的引入【高考新动向】一、考纲点击1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示形式及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算;5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义.二、热点提示1、复数代数形式的乘除运算和复数相等的充要条件是考查重点；2、复数的基本概念如实、虚部，共轭复数，模的几何意义，i的周期性是易错点；3、题型以选择题和填空题为主。

【考纲全景透析】1、复数的有关概念（1）复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部。

若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。

（2）复数相等：a+bi=c+di ⇔=⎧⎨=⎩a cb d a=c 且b=d(a,b,c,d ∈R).（3）共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔=⎧⎨=-⎩a cb d(a,b,c,d ∈R)。

（4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。

X 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

（5）复数的模向量OZ 的模r 叫做复数z=a+bi 的模，记叙|z|或|a+bi|，即2、复数的几何意义（1）复数z=a+bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z （a,b ）(a,b ∈R); （2）复数z=a+bi ←−−−→一一对应平面向量OZ （a,b ∈R ）。

3、复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则 设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R),则①加法：z 1+ z 2=（a+bi ）+（c+di ）=(a+c)+(b+d)i; ②减法：z 1- z 2=（a+bi ）-（c+di ）=(a-c)+(b-d)i; ③乘法：z 1· z 2=( a+bi )·(c+di )=(ac-bd)+(ad+bc)i; ④除法：1222()()()()(0)()()z a bi a bi c di ac bd bc ad ic di z c di c di c di cd ++-++-===+≠++-+ (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有1z +2z =2z +1z ，（1z +2z ）+3z =1z +（2z +3z ）。

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复数的几何意义1．若错误!＝（0，－3），则错误!对应的复数为( )A．0 B．－3C．－3i D．3［答案] C［解析］由错误!＝(0，－3），得点Z的坐标为（0，－3）,∴错误!对应的复数为0－3i＝－3i。

故选C.2．已知z1＝5＋3i,z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( )A．z1〉z2B．z1〈z2C．｜z1|>|z2｜D．｜z1|〈|z2｜［答案］D[解析] 不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A，B.又｜z1｜＝错误!，|z2｜＝错误!，∴｜z1|<|z2|.故选D。

3．在复平面内,O为原点,向量错误!对应复数为－1－2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量错误!对应复数为( )A．－2－i B．2＋iC．1＋2i D．－1＋2i[答案] B［解析］由题意知A点坐标为（－1，－2),而点B与点A关于直线y＝－x对称,则B点坐标为(2，1）,所以向量错误!对应复数为2＋i.故应选B.4．在复平面内，复数6＋5i、－2＋3i对应的点分别为A、B。

若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是（）A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i[答案］C[解析] 由题意知A（6,5）,B（－2，3),AB中点C（x，y），则x＝错误!＝2，y＝错误!＝4，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.5．复数1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π）的模为（)A．2cos错误!B．－2cos错误!C．2sin错误!D．－2sin错误!［答案］B[解析］所求复数的模为错误!＝错误!＝错误!，∵π＜α＜2π，∴错误!＜错误!＜π，∴cos错误!＜0，∴错误!＝－2cos错误!.6．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案］C[解析］z＝－2sin100°＋2icos100°。

高新一中2013高考数学一轮复习单元练习--数系的扩充与复数的引入I 卷一、选择题1．在复平面内,复数i i21--对应的点位于〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案]A2．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数,则实数x 的值为< >A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1[答案]A3．已知复数错误!－i 在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上,则实数a 的值为< >A ．－2B ．－1C ．0D ．2[答案]A4． 已知z 1=<m 2+m+1>+<m 2+m-4>i<m ∈R>,z 2=3-2i,则"m=1”是"z 1=z 2”的 < 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案]A5．设复数z 满足<1＋i>z ＝2,其中i 为虚数单位,则z ＝< >A ．1＋iB ．1－iC ．2＋2iD ．2－2i[答案]B6．复数错误!＋错误!的值是< >A ．－错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误![答案]B7．在复平面内,复数1+ii -对应的点位于〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案]A8．已知复数z 满足<1＋i>z ＝2,则z 等于< >A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i[答案]B9．设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |,x ∈R},N ＝{x ||x －错误!|<错误!,i 为虚数单位,x ∈R},则M ∩N 为<> A ．<0,1> B ．<0,1]C ．[0,1>D ．[0,1][答案]C10．21i -等于〔 〕A ． 22i -B ．1i -C ．iD ．1i +[答案]D11．复数11i+在复平面上对应的点的坐标是〔 〕 A ．)1,1(B ．)1,1(-C ．)1,1(--D ．)1,1(- [答案]D12．已知ni im -=+11,其中n m ,是实数,i 是虚数单位,则=+ni m 〔 〕 A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2[答案]CII 卷二、填空题13．已知复数z 1＝a ＋b i,z 2＝1＋a i<a ,b ∈R >,若|z 1|<z 2,则b 的取值范围是________．[答案]<－1,1>14．已知集合A ＝错误!,则集合A ∩R ＋的子集个数为________．[答案]815． 在复平面内,复数z ＝i<1＋2i>对应的点位于第________象限．[答案]二16．已知复数z 的实部为－1,虚部为2,则错误!等于________．[答案]2-i三、解答题17．设复数z ＝lg<m 2－2m －14>＋<m 2＋4m ＋3>i,试##数m 的值,使<1>z 是实数；<2>z 是纯虚数．[答案]<1>∵z 为实数,∴m 2＋4m ＋3＝0,∴m ＝－1或m ＝－3.当m ＝－1时,m 2－2m －14＝1＋2－14<0<不合题意,舍去>,当m ＝－3时,m 2－2m －14＝1>0,∴m ＝－3时,z 为实数．<2>∵z 为纯虚数,∴lg<m 2－2m －14>＝0且m 2＋4m ＋3≠0,即错误!,解得m ＝5,∴m ＝5时,z 为纯虚数．18．设复数z 满足4z ＋2错误!＝3错误!＋i,w ＝sin θ－icos θ<θ∈R >,求复数z 和|z －w |的取值范围．[答案]设z ＝a ＋b i<a ,b ∈R >代入已知得4<a ＋b i>＋2<a －b i>＝3错误!＋i,即6a ＋2b i ＝3错误!＋i,根据复数相等的充要条件,得错误!即错误!所以z ＝错误!＋错误!i.|z －w |＝|<错误!＋错误!i>－<sin θ－icos θ>|＝|<错误!－sin θ>＋<错误!＋cos θ>i|＝ 错误!＝ 错误!＝ 错误!．因为－1≤sin<θ－错误!>≤1,所以0≤|z －w |≤2.故所求的复数为z ＝错误!＋错误!i,|z －w |的取值范围是0,2．19．已知复数z ＝x ＋y i<x ,y ∈R >满足z ·错误!＋<1－2i>z ＋<1＋2i>错误!＝3,求复数z 在复平面上对应点的轨迹．[答案]∵z＝x＋y i<x,y∈R>,∴z·错误!＋<1－2i>z＋<1＋2i>错误!＝x2＋y2＋<1－2i><x＋y i>＋<1＋2i><x－y i>＝x2＋y2＋x＋y i－2x i＋2y＋x－y i＋2x i＋2y＝x2＋y2＋2x＋4y＝<x＋1>2＋<y＋2>2－5＝3,∴<x＋1>2＋<y＋2>2＝8,∴z对应点的轨迹是以<－1,－2>为圆心,2错误!为半径的圆．20．已知复数z＝x＋y i,且|z－2|＝错误!,求错误!的最大值．[答案] 由|z-2|=错误!可得,|z-2|2=<x-2>2+y2=3.设错误!=k,即得直线方程为kx-y=0,∴圆<x-2>2+y2=3的圆心<2,0>到直线kx-y=0的距离d=错误!≤错误!,解得k∈[-错误!,错误!],即得错误!的最大值为错误!．21．若关于x的方程<1＋i>x2－2<a＋i>x＋5－3i＝0<a∈R>有实数解,求a的值．[答案]将原方程整理,得<x2－2ax＋5>＋<x2－2x－3>i＝0.设方程的实数解为x0,代入上式得：<x错误!－2ax0＋5>＋<x错误!－2x0－3>i＝0.由复数相等的充要条件,得错误!由②得x0＝3,或x0＝－1,代入①得a＝错误!,或a＝－3.所以a＝错误!,或a＝－3.22．已知复数z1＝i<1－i>3.<1>设复数ω＝错误!1－i,求错误!；<2>当复数z满足错误!＝1时,求错误!的最大值．[答案]<1>z1＝i<－2i><1－i>＝2－2i,∵ω＝错误!1－i＝2＋i,∴错误!＝错误!．<2>设z＝a＋b i<a,b∈R>,∵错误!＝1,∴a2＋b2＝1.令a＝cosθ,b＝sinθ,上式＝错误!＝错误!,∴错误!max＝错误!＝2错误!＋1.。

一、选择题1．已知i 是虚数单位，则21i i =-（ ） A ．1i -+B ．1i +C ．1i -D ．1i -- 2．“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要3．若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-= 4．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数（2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件 （3）方程20(0)x t t +=>的根是ti ±（4）22z z =则其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1B ．-1C ．3D ．-3 6．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．12 D ．12- 7．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知复数z 满足(i−1)(z −3i )=2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为A ．i−1B ．1+2iC ．1−iD ．1−2i 9．复数()23z i i =-+（i 是虚数单位）的虚部是( ) A ．2- B ．2i - C ．3 D ．3i10．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i-=∈+的实部为-2，则z =（ ）A ．5 BCD ．1312．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ）A ．1355i +B ．1355i -+C ．1355i -D ．1355i -- 二、填空题13．若复数z 满足210z z -+=，则z =__________．14．若121ai i i+=--（其中i 是虚数单位），则实数a =_____. 15．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 16．已知R b ∈，若()()12bi i +-为纯虚数，则1bi +=________．17．若复数z 满足22zi i i=-+（i 为虚数单位），则复数z =__________. 18．已知z a bi =+(a b R i ∈，，是虚数单位),12z z C ∈，，定义:()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，给出下列命题:(1)对任意z C ∈，都有()0D z ＞；(2)若z 是z 的共轭复数,则()()D z D z =恒成立；(3)若()()()1212D z D z z z C =∈，，则12z z =；(4)对任意123z z z C ∈，，，结论()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立.则其中所有的真命题的序号是_____________.19．复数1323i i=+__________． 20．已知复数131i z i +=-（i 是虚数单位），则z ____________． 三、解答题21．设,m n R ∈，关于x 的方程20x mx n ++=的两个根分别是α和β.（1）当1i α=+时，求β与,m n 的值；（2）当2,4m n ==时，求||||αβ+的值.22．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，,m n 为实数． （1）若1n =，1z 为纯虚数，求12||z z +的值；（2）若()212z z =，求,m n 的值．23．已知复数12215523,(2)i z i z i -=-=+，求下列各式的值： (Ⅰ)12z z (Ⅱ)12z z24．已知z 为虚数,z+9z 2-为实数. (1)若z-2为纯虚数,求虚数z.(2)求|z-4|的取值范围.25．已知a R ∈，且以下命题都为真命题：命题:p 实系数一元二次方程220x ax ++=的两根都是虚数；命题:q 存在复数z 同时满足2z =且1z a +=，求实数a 的取值范围. 26．已知复数12,34z x yi z i =+=-（,x y R ∈，i 为虚数单位）.（1）若2y =且12z z 是纯虚数，求实数x 的值； （2）若复数12=1z z -，求1z 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】 因22(1)112i i i i i +==-+-，故应选答案A ． 2．C解析：C【分析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+，若20>z ，则0a =或0b =，当0a =时，220z b =->不存在，当0b =时，220z a =>即0a ≠，所以若20>z ，则z 是非零实数；若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.3．D解析：D【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题4．B解析：B【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定．【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==， 则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220b b a b -=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确；z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个．故选B ．【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．5．D解析：D【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()()215534155155 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．A解析：A【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=， 因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．A解析：A【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A8．B解析：B【解析】分析：把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．详解：由(i−1)(z −3i )=2i(， 得()22(1)1211(1)i i i z i i i i i i ----=--+-+--＝＝， 则z 的共轭复数为12i + ．故选：B ．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9．A解析：A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简后得到答案.详解：因为2(23)2332z i i i i i =-+=-+=--，所以其虚部为2-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，复数的虚部的概念，一定要注意复数的虚部是i 的系数.10．D解析：D【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限.详解：复数，其对应的点是，位于第四象限． 故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 11．C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z .详解：由题复数()11ai z a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅-12,5,2a a -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.12．D解析：D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由()121i z i +=-， 得()()()()11211312121255i i i z i i i i ---===--++-． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．二、填空题13．1【分析】设代入方程利用复数相等即可求解求模即可【详解】设则整理得：解得所以故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的概念复数的模复数方程属于中档题解析：1【分析】设z a bi =+，,a b ∈R ,代入方程利用复数相等即可求解z ，求模即可.【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ,则2()()10a bi a bi +-++=，整理得：22(1)(2)0a b a ab b i --++-= 解得213,24a b ==，所以||1z ===， 故答案为1【点睛】 本题主要考查了复数的概念，复数的模，复数方程，属于中档题.14．【解析】【分析】由可知根据复数的乘法运算及复数相等的概念即可求解【详解】因为所以所以【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算复数相等的概念属于中档题解析：3-【解析】【分析】 由121ai i i+=--可知1(1)(2)ai i i +=--，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.【详解】 因为121ai i i+=-- 所以1(1)(2)13ai i i i +=--=-所以 3a =-【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.15．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，222300m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．故答案为-3． 点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．16．【详解】试题分析：为纯虚数；考点：1复数的分类；2复数的模长；【详解】试题分析：()()12=2(21)bi i b b i +-++-为纯虚数，=2b ⇒-，112bi i ⇒+=-；考点：1．复数的分类；2．复数的模长；17．【解析】由题意得考点：复数的运算解析：5i -【解析】由题意，得.考点：复数的运算. 18．（2）（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案【详解】解：对于（1）当时命题（1）错误；对于（2）设则则命题（2）正确；对于（3）若则错误如满足但；对于（4）设则由得恒成立（4）正确∴正确的命题解析：（2），（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案．【详解】解：对于（1），当0z =时，()|0||0||0|0D z ==+=，命题（1）错误；对于（2），设z a bi =+，则z a bi =-， 则()||||D z z a ==||||||||()b a b z D z +-=+==，命题（2）正确；对于（3），若()()()1212,z z z D D z C =∈，则1z =2z 错误，如121,1z i z i =+=-，满足()()12D z D z = ()12,z z C ∈，但12z z ≠；对于（4），设123,,z a bi z c di z e fi =+=+=+，则()1212,()()||||D z z a c b d i c b z a d z =-=-+-=-+-，()2323,()()||||D z z c e d f i e d z c f z =-=-+-=-+-，()1313,()()||||D z z a e b f i e b z a f z =-=-+-=-+-，由|||()()|||||,|||()()|||||a e a c c e a c c e b f b d d f b d d f -=-+-≤-+--=-+-≤-+-，得()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立，（4）正确．∴正确的命题是（2）（4）．故答案为（2），（4）．【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题． 19．【解析】【分析】根据复数除法法则进行计算【详解】【点睛】首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：32i +【解析】【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】()131323322313i i i i i =-=++。

山西省2013届高考数学一轮单元复习测试：数系的扩充与复数的引入本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数5i1－2i ＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C 2．设复数7sin ,34i z i i θ+=-+其中i 为虚数单位，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈65,6ππθ，则z 的取值范围是（ ） A ．⎡⎣B ． ⎡⎣C ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,213 D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,25 【答案】D 3． 设复数z=15a ++(a 2+2a-15)i 为实数，则实数a 的值是 ( ） A ．3 B ．-5 C ．3或-5D ．-3或5【答案】A4．如果复数（m 2＋i ）（1＋m i ）是实数，则实数m ＝ ( ) A ．1 B ．－1 C ． 2D ．－ 2【答案】B5．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i 【答案】B 6．复数131iZi-=+的实部是 ( ） A ．2 B ．1-C ．1D ．4-【答案】B7．设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R}，N ＝{x ||x －1i|<2，i 为虚数单位，x ∈R}，则M ∩N为( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1] 【答案】C8． 若i 是虚数单位，且复数z=(a-i)·(1+2i)为实数，则实数a 等于 ( ）A ．-12B ．-2C ．12D ．2【答案】C9．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的虚部记作Im(z )＝b ，则Im(12＋i)＝( )A ．13B ．25C．－13D．－15【答案】D10．设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝( ) A．1＋i B．1－iC．2＋2i D．2－2i【答案】B11．复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝( ) A．－2i B．－iC．i D．2i【答案】B12．在复平面内，复数1+ii对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是________．【答案】a≤014．已知复数3-5i、1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为 .【答案】515．如果复数(m2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m＝________.【答案】-116．满足等式|z＋4|＋|z－3i|＝5的复数z在复平面内所对应的点的轨迹是________________．【答案】线段三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，求y x的最大值．【答案】 由|z -2|=3可得，|z -2|2=(x -2)2+y 2=3.设y x=k ，即得直线方程为kx -y =0， ∴圆(x -2)2+y 2=3的圆心(2,0)到直线kx -y =0的距离d =2|k |k 2+1≤3，解得k ∈[-3，3]，即得y x的最大值为3．18．已知虚数z 满足条件|z |＝1，z 2＋2z ＋1z<0，求虚数z .【答案】设z ＝x ＋y i(y ≠0，x ，y ∈R )，∵|z |＝1，∴x 2＋y 2＝1，①则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.又y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ②x 2－y 2＋3x <0.③由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.19． m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？【答案】∵z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.∴(1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2， 即m ＝1或m ＝2时z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0，即m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12．即m ＝－12时，z 为纯虚数．20． 若z (1＋i)＝2，求z 的虚部．【答案】由z (1+i)=2得z =21+i =2(1-i)(1+i)(1-i)=2(1-i)2=1-i.故其虚部为-1.21． 已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，求实数x 的取值范围．【答案】∵x 为实数，∴x 2-6x +5和x -2都是实数．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2-6x +5＜0，x -2＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜5，x ＜2，即1＜x ＜2.故x 的取值范围是(1,2)．22．已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|＜|z 1|，则a 的取值范围是多少？【答案】由题意得z 1＝－1＋5i1＋i＝2＋3i ，于是|z1－z2|＝|2＋3i－a－2i|＝2－a2＋1，|z1|＝13，所以2－a2＋1＜13，化简得a2－4a－8＜0，解得2－23＜a＜2＋23．。

高新一中2013 高考数学一轮复习单元练习-- 数系的扩大与复数的引入I 卷一、选择题1．在复平面内，复数12i对应的点位于（）iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 A2．若复数z(x21)( x 1)i 为纯虚数，则实数x的值为()A．1B．0C．1D．1或 1【答案】 A3．已知复数a－i－ i 在复平面内对应的点在二、四象限的角均分线上，则实数 a 的值为 () iA．－ 2B．－ 1C． 0 D ． 2【答案】 A4．已知 z1=(m 2+m+1)+(m 2 +m-4)i(m ∈ R),z2=3-2i, 则“ m=1”是“ z1=z2”的( ）A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件【答案】 A5．设复数z 满足 (1＋ i)z＝ 2，此中 i 为虚数单位，则z＝ ()A ． 1＋ iB ． 1－ iC． 2＋ 2i D ． 2－ 2i【答案】 B1＋i的值是 ()6．复数1＋i211A．－2 B ．21＋i1－ i C．2 D ．2【答案】 B7．在复平面内，复数1+i对应的点位于（）iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 A8．已知复数 z 满足 (1＋ i) z＝ 2，则 z 等于 ()A ． 1＋ iB ． 1－ iC．－ 1＋ i D ．－ 1－ i【答案】 B2219．设会集 M ＝ { y|y＝ |cos x－ sin x|， x∈ R} ， N＝ { x||x－i |<2， i 为虚数单位， x∈ R} ，则 M ∩ N 为 ()A ． (0,1)B ． (0,1]C． [0,1) D ． [0,1]10．2等于（）1iA．2 2i B．1 i C．i D．1 i 【答案】 D11．复数11）在复平面上对应的点的坐标是（iA．(1,1)B．( 1,1)C．( 1, 1)D．(1,1)【答案】 D12．已知mni ，此中 m, n 是实数，i是虚数单位，则m ni （）11iA．1 2i B．1 2i C．2 i D．2 i 【答案】 CII卷二、填空题1＝a＋bi，z2 ＝1＋ai( a，b∈R)，若|z12，则b的取值范围是________．13．已知复数 z|<z【答案】 (－ 1,1)1， i2，|5i 2|，(1＋i)2214．已知会集 A＝，－i，则会集 A∩R＋的子集个数为 ________ ．2i i2【答案】 815．在复平面内，复数z＝ i(1 ＋ 2i) 对应的点位于第 ________ 象限．【答案】二16．已知复数 z 的实部为－ 1，虚部为5i等于 ________ ．2，则z【答案】 2-i三、解答题17．设复数 z ＝ lg( m 2－ 2m － 14) ＋ (m 2＋ 4m ＋ 3)i ，试务实数 m 的值，使 (1) z 是实数； (2)z 是纯虚数．【答案】 (1)∵ z 为实数，∴ m 2＋ 4m ＋ 3＝0，∴ m ＝－ 1 或 m ＝－ 3. 当 m ＝－ 1 时，m 2－2m － 14＝ 1＋ 2－ 14<0( 不合题意，舍去 )，当 m ＝－ 3 时， m 2－ 2m － 14＝ 1>0，∴ m ＝－ 3 时， z 为实数．(2)∵z 为纯虚数， ∴ lg(m 2－ 2m －14) ＝ 0 且 m 2 ＋ 4m ＋ 3≠ 0， 即 m 2－ 2m － 14＝ 1 ，解得 m ＝ 5，m 2＋ 4m ＋ 3≠ 0∴ m ＝ 5 时， z 为纯虚数．18．设复数 z 满足 4z ＋ 2 z ＝ 3 3＋ i ， w ＝ sin θ － icos θ( θ ∈ R )，求复数 z 和 |z － w|的取值范围．【答案】设 z ＝ a ＋ bi( a ，b ∈ R )代入已知得 4(a ＋ bi) ＋ 2(a － bi)＝ 3 3＋ i ，即 6a ＋ 2bi ＝ 3 3＋ i ，依据复数相3等的充要条件，得6a ＝ 3 3 a ＝ 2 ，即2b ＝ 1，1 ，b ＝ 2 因此 z ＝ 3＋ 1i.2 2|z － w|＝ |( 3＋ 1i) － (sin θ － icos θ )| 2 2＝ |( 23－ sin θ )＋ (12＋ cos θ )i|＝23－ sin θ2＋12＋ cos θ 2＝2－ 3sin θ ＋ cos θππ31＝2－ 2sin θ － 6 ．由于－ 1≤sin( θ － 6 ) ≤ 1，因此 0≤ | z － w | ≤ 2. 故所求的复数为 z ＝ 2 ＋ 2i ， |－ | 的取值范围是 0,2 ．z w19．已知复数 z ＝ x ＋ yi( x ，y ∈ R )满足 z · z ＋ (1－ 2i) z ＋ (1＋ 2i) z ＝ 3，求复数 z 在复平面上对应点的轨迹．【答案】∵ z ＝x ＋ yi(x ， y ∈ R )， ∴ z · z ＋ (1－ 2i) z ＋ (1＋ 2i) z＝ x 2 ＋ y 2 ＋ (1－ 2i)( x ＋ yi) ＋(1 ＋ 2i)( x － yi)＝ x 2 ＋ y 2 ＋ x ＋ yi － 2xi ＋ 2y ＋ x － yi ＋ 2xi ＋ 2y＝ x 2 ＋ y 2 ＋ 2x ＋ 4y ＝ (x ＋ 1)2＋ (y ＋ 2) 2－ 5＝ 3， ∴ (x ＋1) 2＋ (y ＋ 2)2＝ 8，∴ z 对应点的轨迹是以 (－ 1，－ 2) 为圆心， 2 2为半径的圆．20．已知复数 z ＝ x ＋ yi ，且 |z － 2|＝ 3y的最大值．，求 x【答案】 由 |z-2|= 3可得， |z-2|2=( x-2) 2+ y 2=3. 设 y= k ，即得直线方程为x ∴圆 (x-2)2+y 2=3 的圆心 (2,0) 到直线 kx-y=0 的距离 d=2|k|≤ 3，解得kx-y=0 ，k ∈ [- 3， 3] ，即得 y的最大值为 3． x22【答案】将原方程整理，得(x － 2ax ＋ 5) ＋ (x － 2x － 3)i ＝ 0.(x 20－ 2ax 0＋ 5) ＋ (x 20－ 2x 0 － 3)i ＝ 0.由复数相等的充要条件，得x 20－ 2ax 0＋ 5＝ 0，①x 20－ 2x 0 － 3＝ 0.②由②得 x 0＝ 3，或 x 0＝－ 1，7代入①得a ＝ 3，或 a ＝－ 3.因此 a ＝73，或 a ＝－ 3.22．已知复数 z 1＝ i(1 － i)3.(1) 设复数 ω＝ z 1－ i ，求 |ω |；(2) 当复数 z 满足 |z |＝ 1 时，求 |z － z 1 |的最大值．【答案】 (1)z 1＝ i( － 2i)(1 － i) ＝ 2－ 2i ， ∵ ω ＝ z 1 － i ＝ 2＋ i ，∴ |ω |＝ 5．(2) 设 z ＝ a ＋ bi( a ， b ∈ R)，∵ |z |＝ 1，∴ a 2＋ b 2＝ 1. 令 a ＝ cos θ ， b ＝sin θ ，π上式＝ － 4cos θ ＋4sin θ＋ 9＝ 9＋ 4 2sin( θ － 4 )， ∴ |z － z 1|max ＝ 9＋ 4 2＝ 22＋ 1.。

16.1数系的扩充与复数的引入【考纲要求】1、复数的概念①理解复数的基本概念.②理解复数相等的充要条件.③了解复数的代数表示法及其几何意义.2、复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算.②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.【基础知识】1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如=z a + b i 的数（其中R b a ∈，）；② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ；③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.（5）共轭复数的概念：实部相等虚部相反的两个复数是共轭复数。

),(R b a bi a z ∈+=的共轭复数为),(R b a bi a z ∈-=2、常用的结论1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2),(R b a bi a z ∈+=在复平面内对应的点为),(b a ，它到原点的距离为22||b a z +=，它就是复数z 的模。

3、复数的运算复数代数形式的加法、减法运算法则()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±复数代数形式的乘法运算运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++复数代数形式的除法运算运算法则：i dc ad bc d c bd ac d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a 222222)())(())((+-+++=+-++=-+-+=++ 【例题精讲】例1设z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (m ∈R), 若z 对应点在直线x-2y+1=0上, 则m 的值是多少？ .解： 设z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (m ∈R), 若z 对应点在直线x-2y+1=0上, 则log2(m2-3m-3)-2 log2(m-3)+1=0 故2（m2-3m-3）=(m-3) 2∴m=15或m=-15（不适合）例2 已知复数(2k2－3k －2)+(k2－k)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围.解:∵复数对应的点在第二象限，∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<--,0,023222k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧><<<-.10,221k k k 或 ∴k 的取值范围为(－21，0)∪(1，2).16.1数系的扩充与复数的引入强化训练【基础精练】1．下面四个命题：(1)0比－i 大；(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立；(3)x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；(4)如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．设复数ω＝－12＋32i ，则化简复数1ω2的结果是( )A ．－12－32i B ．－12＋32i C.12＋32i D.12－32i 3．在复平面内，向量AB 对应的复数是2＋i ，向量CB 对应的复数是－1－3i ，则向量CA 对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i4．已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋x i(其中i 为虚数单位)，若复数a b∈R ，则实数x 的值为( )A ．－6B ．6 C.83 D ．－83 5．若复数z ＝cos θ＋isin θ且z 2＋z －2＝1，则sin 2θ＝( ) A.12B.14C.34 D ．－146．若M ＝{x |x ＝i n ，n ∈Z}，N ＝{x |1x＞－1}(其中i 为虚数单位)，则M ∩(∁R N )＝( ) A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{－1,0}D ．{1}7．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB |＝________.8．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 24的虚部等于________． 9．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第________象限，复数z 对应点的轨迹是________．10．实数m 分别取什么数值时？复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭；(3)对应的点在x 轴上方．11．若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，求z 1. 【拓展提高】 1．若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i )＝z 2(1＋3i )，|z 1|＝2，求z 1.2．已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai )2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【基础精练参考答案】1. A 解析：(1)中实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；(3)x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有标明x ，y 是否是实数；(4)当a ＝0时，没有纯虚数和它对应．2 B.解析：∵ω2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝14－34－32i ＝－12－32i ， ∴1ω2＝1－12－32i ＝－12＋32i 3. D 解析：向量AB 对应的复数是2＋i ，则BA 对应的复数为－2－i ，∵CA ＝CB ＋BA ，∴CA 对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.4. C 解析：由于a b ＝3＋2i 4＋x i＝3＋2i 4－x i 4＋x i 4－x i＝12＋2x ＋8－3xi 16＋x 2∈R ，则8－3x ＝0，∴x ＝83. 5. B 解析：z 2＋z －2＝(cos θ＋isin θ)2＋(cos θ－isin θ)2＝2cos2θ＝1⇒cos2θ＝12，所以sin 2θ＝1－cos2θ2＝14. 6. B 解析：依题意M ＝{1，－1，i ，－i}，N ＝{x |x ＞0或x ＜－1}，所以∁R N ＝{x |－1≤x ≤0}，故M ∩(∁R N )＝{－1}．7. 22解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)，故|AB |＝－1－12＋3－12＝2 2.8. 45解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为45. 9. 四 一条射线解析：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，得z 的实部为正数，z 的虚部为负数．∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－a 2－2a ＋2. 消去a 2－2a 得y ＝－x ＋2(x ≥3)，∴复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．10解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解之得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1.(3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解之得m ＜－3或m ＞5.11解：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b i 3－i ＝－a ＋b i 1＋3i ，a 2＋b 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，则z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.【拓展提高参考答案】2解：设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R)，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i )(2＋i )＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i . 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i .∵(z ＋ai )2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，已知⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a －a 2>08a －2>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．【拓展提高】12．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩N M，M∩N≠∅，求整数a、b.解：依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①或8＝(a2－1)＋ (b＋2)i，②或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③由①得a＝－3，b＝±2，经检验，a＝－3，b＝－2不合题意，舍去．∴a＝－3，b＝2.由②得a＝±3，b＝－2.又a＝－3，b＝－2不合题意．∴a＝3，b＝－2.③中，a，b无整数解不符合题意．综合①、②得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.【基础精练参考答案】【拓展提高参考答案】。

第 4 讲数系的扩大与复数的引入基础稳固题组 (建议用时： 40 分钟 )一、填空题1．(2013 ·江西卷改编 )复数 z ＝i( －2－i)(i 为虚数单位 )在复平面内所对应的点在第________象限．分析z ＝－ 2i －i 2＝1－2i ， z 在复平面内对应点 Z(1，－ 2)．答案四1＋2i＝________.2．(2013 ·新课标全国Ⅰ卷改编 ) 1－i 2 分析1＋2i1＋2i 1＋ 2i i －2＋i 11－ i 2＝＝ ＝ 2 ＝－ 1＋2i.－ 2i － 2i i1答案 －1＋2i3．(2014 ·武汉模拟 )设复数 z ＝ (3－4i)(1＋ 2i)，则复数 z 的虚部为 ________．分析 z ＝(3－4i)(1 ＋2i) ＝11＋ 2i ，因此复数 z 的虚部为 2.答案224．(2013 ·新课标全国Ⅱ卷改编 ) 1＋ i ＝________.分析2 2 1－i＝ |1－ i|＝ 2.1＋ i＝2答案25．(2013 ·陕西卷改编 ) 设 z 是复数，则以下命题中是假命题的序号 ________．222①若 z ≥0，则 z 是实数；②若 z ＜0，则 z 是虚数；③若 z 是虚数，则 z ≥0；2④若 z 是纯虚数，则 z ＜0.答案 ③6．(2013 ·重庆卷 )已知复数 z ＝ 1＋2i ，则 |z|＝________.分析 |z|＝ 12＋22＝ 5.答案5． ·盐城模拟1＋i 4＝________.7 (2014)1－i分析1＋ i 4 2i 21－ i ＝－2i ＝1.答案18 ． (2013 ·上海卷 设 ∈ R ， 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，则 m ＝ ________. ) m mm 2＋ m －2＝0，分析由题意知解得 m ＝－ 2.m 2－ 1≠ 0，答案 －2二、解答题9．已知复数 z 1 知足 (z － 2)(1＋i) ＝1－i(i 为虚数单位 )，复数 z 的虚部为 2，且 z · 1 2 1 z 2是实数，求 z 2.解 (z 1－ 2)(1＋i) ＝1－i? z 1 ＝2－i.设 z 2＝ a ＋ 2i(a ∈R )，则 z 1·z 2＝ (2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－ a)i.∵ z 1·z 2 ∈R .∴ a ＝ 4.∴z 2＝4＋2i.．当实数2－ m － 610m为什么值时， ＝m＋ (m 2＋5m ＋6)i ， (1)为实数； (2)为虚数；zm ＋3(3)为纯虚数； (4)复数 z 对应的点在复平面内的第二象限．m 2＋ 5m ＋ 6＝ 0，解(1)若 z 为实数，则解得 m ＝－ 2.m ＋3≠0，m 2＋5m ＋6≠0， (2)若 z 为虚数，则m ＋ 3≠ 0，解得 m ≠－ 2 且 m ≠－ 3.m 2＋ 5m ＋ 6≠ 0，(3)若 z 为纯虚数，则 m 2－ m －6 解得 m ＝3.m ＋ 3 ＝0，m 2－m － 6(4)若 z 对应的点在第二象限，则＜ 0，m ＋3m 2＋5m ＋6＞0，m ＜－ 3或－ 2＜m ＜3， 即∴m ＜－ 3 或－ 2＜ m ＜3.m ＜－ 3或 m ＞－ 2，能力提高题组(建议用时： 25 分钟 )一、填空题 ．·陕西师大附中模拟1－i 2 014(2014 )1＋i＝________.1分析1－ i2 0141－i 22 014－2i 2 014＋＝＝＝1＋ i 1－i 21 i(－i)2 104＝i2 014＝i 4×503＋2＝－ 1.答案 －1．方程 x 2＋ 6x ＋13＝ 0 的一个根是 ________． 2法一 x ＝－6± 36－ 52分析 2 ＝－ 3±2i.法二222令 x ＝ a ＋ bi ，a ，b ∈R ，∴(a ＋ bi) ＋6(a ＋bi)＋ 13＝0，即 a －b ＋ 6a ＋13＋(2ab ＋ 6b)i ＝0，a 2－b 2＋6a ＋13＝ 0，∴2ab ＋6b ＝ 0，解得 a ＝－ 3，b ＝±2，即 x ＝－ 3±2i.答案－3＋2i． ·北京西城模拟 )定义运算 ab ＝ad － bc.若复数 x ＝1－i ，y ＝ 4i xi，3 (2014 c d 1＋i2x ＋i则 y ＝ ________.由于 x ＝ 1－i1－i 2分析＝ 2 ＝－ i.1＋i4ixi4i 1＝－ 2.因此 y ＝ 2 x ＋i＝2 0 答案 －2二、解答题4．如图，平行四边形 OABC ，极点 O ，A ，C 分别表示 0,3＋ 2i ，－ 2＋4i ，试求：→ (1)AO 所表示的复数，→BC 所表示的复数；→(2)对角线 CA 所表示的复数；(3)求 B 点对应的复数．→ → →解 (1)AO ＝－ OA ，∴ AO 所表示的复数为－ 3－2i.→ → → ∵ BC ＝ AO ，∴ BC 所表示的复数为－ 3－2i.→ → → →－(－2＋4i) ＝ 5－ 2i.＝ OA － OC ，∴ CA 所表示的复数为 (3＋2i) (2)CA→ → → → →＝ OA ＋AB ＝ OA ＋OC ，(3)OB→∴ OB 所表示的复数为 (3＋2i)＋ (－2＋4i) ＝1＋6i ，即 B 点对应的复数为 1＋6i.。