微积分第二版课后习题答案

习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +

=),(，求)

,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y

x

xy y x f +

=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(

2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=

)

,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=

3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f

（2）;)

1ln(4),(222y x y x y x f ---=

（3）;1),(22

2222c

z b y a x y x f ---=

（4）.1),,(2

2

2

z

y x z y x z y x f ---++=

解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2）}{

x

y y x y x D 4,10),(222≤<+<=

（3）⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤++=1),(22

2222c z b y a x y x D

（4）{}

1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D

第一章 函数极限与持续 【2 】

一.填空题

1.已知x x f cos 1)2

(sin +=,则=)(cos x f .

2.=-+→∞)

1()34(lim

22

x x x x . 3.0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无限小. 4.01

sin

lim 0

=→x

x k

x 成立的k 为. 5.=-∞

→x e x

x arctan lim .

6.⎩⎨⎧≤+>+=0

,0

,1)(x b x x e x f x 在0=x 处持续,则=b .

7.=+→x

x x 6)

13ln(lim

0.

8.设)(x f 的界说域是]1,0[,则)(ln x f 的界说域是__________. 9.函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________. 10.设a 长短零常数,则________)(

lim =-+∞

→x

x a

x a x . 11.已知当0→x 时,1)1(3

12-+ax 与1cos -x 是等价无限小,则常数________=a . 12.函数x

x

x f +=13arcsin )(的界说域是__________.

13.lim ____________x →+∞

=.

14.设8)2(

lim =-+∞

→x

x a

x a x ,则=a ________. 15.)2)(1(lim n n n n n -++++∞

→=____________.

二.选择题

1.设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数. （Ａ）)()(x g x f +;（Ｂ）)()(x h x f +;（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f .

微积分第八章课后习题答案

微积分第八章课后习题答案

习题8-1

1.（1）一阶；（2）二阶；（3）一阶；（4）三阶；（5）三阶；（6）一阶；（7）二阶；（8）一阶。

2.（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是微分方程的通解。

3.1

22

y x =+.4.将所给函数及所给函数的导数代人原方程解得：

21

()(1)2

u x x dx x x C =+=++⎰.

习题8-2

1.（1）原式化为：ln dy

x y y dx =

分离变量得：

11

ln dy dx y y x = 两边积分得：11

ln dy dx y y x

=⎰⎰ 计算得：()11ln ln d y dx y x

=⎰

⎰ 即：()1ln ln ln y x C =+ 整理：1ln y C x =

所以：原微分方程的通解为：Cx y e =； （2）原式化为：()()2211y x dy x y dx -=-- 分离变量得：

()()22

11y x

dy dx y x -=-- 两边积分得：()()

22

11y x

dy dx y x -=--⎰⎰ 计算得：

()()()

()22

22

1111112211d y d x y x -=----⎰⎰ 即：()()221ln 1ln 1y x C -=--+ 整理：22(1)(1)y x C --=

所以：原微分方程的通解为：22(1)(1)y x C --=；

（3）21x dy xydx -=-

分离变量得：

211dy y x =-

两边积分得：211dy y x =-⎰

计算得：()22

1ln 121y x x =

--⎰ 即：21ln 1y x C =- 整理：2

习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +

=),(，求)

,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y

x

xy y x f +

=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(

2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=

)

,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=

3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f

（2）;)

1ln(4),(222y x y x y x f ---=

（3）;1),(22

2222c

z b y a x y x f ---=

（4）.1),,(2

2

2

z

y x z y x z y x f ---++=

解（1）

（2） （3） （4）

4（1）1

lim

y x →→（2）lim

1→→y x

（3）41

)42()42)(42(lim 42lim

000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x

（4）2)

第二章

习题2-1

1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞

x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞

x n +k =a .

证：由lim n n x a →∞

=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有

取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞

=.

2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞

x n =a ,则lim n →∞

∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上

述结论反之不成立. 证：

而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>

n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<

由数列极限的定义得 lim n n x a →∞

=

考察数列 (1)n

n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞

=，

所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：

(1) lim n →∞

2221

11(1)

(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭

=0； (2) lim n →∞2!n

n =0.

证：（1）因为

222

222111

112

(1)(2)n n n n n n n n n n

++≤+++

≤≤=+ 而且 21lim

0n n →∞=，2

lim 0n n

→∞=，

所以由夹逼定理，得

22211

1lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫

+++

= ⎪+⎝

⎭

. （2）因为22222240!123

参考答案及提示

第一章 函数

习题一

1、（1）-1、

2、-3. （2）-4、2

3、.86443222-+--x x x x 、

(3)有界. 2、略.

3、解：∵362)(2-+=x x f x

∴3623)(6)(2)(22--=--+-=-x x x x x f ∴64)]()([21)(2

-=-+=

x x f x f x ϕ

x

x f x f x 12)]()([2

1)(=--=

φ

又∵)(646)(4)(22x x x x ϕϕ=-=--=-，即)(z ϕ是偶函数；

)(6)(6)(x x x x ψψ-=-=-=-，即)(x ψ是奇函数.

4、（1）解：由题知，设c bx ax x R ++=2)(

且满足方程组：⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧++=++==0421*******

0c b a c

b a

c b a c

∴.42

12

x R

x +-

=

（2）解:由题列方程组：⎪⎩⎪

⎨⎧===⇒⎪⎩

⎪⎨⎧⋅+=⋅+=⋅+=2510

905030432

c b a c b a c b a c b a

即2510p Q ⋅+=.

（3） 解：由题意有：

⎩⎨

⎧

≤<⨯⨯-+⨯≤≤=1000

7009

.0130)700(1307007000130x x x x R

5、（1）解：∵Z k k x ∈≠+，＋2

1π

π∴⎭⎬⎫

⎩⎨

⎧±±=-+≠ ,2,1,0,12|k k x x ππ.

（2）∵131≤-≤-x ,∴]4,2[∈x .

（3）∵⎩⎨

⎧≠≥-0

3x x ,∴]3,0()0,(⋃-∞.

（4）∵,0ln ≥x ∴

1≥x ,∴),1(+∞∈x .

微积分课后题答案习题

详解

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第二章

习题2-1

1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞

x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞

x n +k =a .

证：由lim n n x a →∞

=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有

取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞

=.

2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞

x n =a ,则lim n →∞

∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明

上述结论反之不成立.

证：

而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>

n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<

由数列极限的定义得 lim n n x a →∞

=

考察数列 (1)n

n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞

=，

所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：

(1) lim n →∞

2

22111(1)

(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭

=0； (2) lim n →∞2!n n =0.

证：（1）因为

222

222111

112(1)(2)n n n n n n n n n n

++≤+++

≤≤=+ 而且 21lim

0n n →∞=，

大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言

数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。微积分作为数学中的基础学科，更是如此。本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。

课后习题及答案

第一章函数与极限

习题1.1

1.计算以下极限:

1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$

2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-

1}{x}$

3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-

\\frac{1}{x})$

答案：

1.$\\frac{1}{2}$

2.$\\frac{1}{2}$

3.0

2.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。

答案：$\\frac{\\pi}{4}$

3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$

答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有

$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.2

1.求下列函数的导数：

1.y=2x3+3x2−4x+1

2.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$

第一章 函数极限与连续

一、填空题

1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f ;

2、=-+→∞)

1()34(lim

22

x x x x ; 3、0→x 时,x x sin tan -是x 的 阶无穷小;

4、01sin lim 0=→x

x k

x 成立的k 为 ;

5、=-∞

→x e x

x arctan lim ;

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0

,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b ;

7、=+→x

x x 6)13ln(lim 0 ;

8、设)(x f 的定义域是]1,0[,则)(ln x f 的定义域是__________; 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________;

10、设a 是非零常数,则________)(lim =-+∞→x

x a

x a x ;

11、已知当0→x 时,1)1(3

12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a ; 12、函数x

x

x f +=13arcsin )(的定义域是__________; 13

、lim ____________x →+∞

=;

14、设8)2(

lim =-+∞→x

x a

x a x ,则=a ________;

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞

→=____________;

二、选择题

1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数; Ａ)()(x g x f +；Ｂ)()(x h x f +；C )]()()[(x h x g x f +；D )()()(x h x g x f ;

微积分第八章课后习题答案

习题8-1

1.（1）一阶；（2）二阶；（3）一阶；（4）三阶；（5）三阶；（6）一阶；（7）二阶；（8）一阶。

2.（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是微分方程的通解。

3.122y

x

.4.将所给函数及所给函数的导数代人原方程解得：

2

1()

(1)2u x x dx

x

x C .

习题8-2

1.（1）原式化为：ln dy x y y

dx

分离变量得：

11ln dy dx

y y

x 两边积分得：

11ln dy

dx

y y x 计算得：

11ln ln d y

dx

y

x

即：1

ln ln ln y x C 整理：1ln y

C x

所以：原微分方程的通解为：Cx

y

e ；

（2）原式化为：2

2

11y x dy

x y

dx

分离变量得：

2

2

11

y x dy

dx y

x

两边积分得：

2

2

1

1y

x

dy

dx y x 计算得：

2

2

2

2

11111

1

2

2

1

1

d y

d x

y x

即：2

2

1

ln 1

ln 1

y

x C 整理：22(1)(1)

y x C

所以：原微分方程的通解为：

2

2

(1)(1)y

x

C ；

（3）原式化为：

2

1x dy

xydx

分离变量得：

2

11x dy

dx

y

x

两边积分得：

2

11x dy

dx

y x 计算得：2

2

11ln 12

1y

d x

x

即：2

1

ln 1y x C 整理：2

1x

y

Ce

所以：原微分方程的通解为：

2

1x y Ce

；

（4）

1y

e

Cx ；（5）

sin 1y

C x ；（6）1010

x

y

C ；（7）2

2

ln 22arctan y y x

x C ；

（8）当

sin

02y 时，通解为ln |tan |2sin

42

第八章

习题8-1 １．求下列函数的定义域，并画出其示意图：

(1)z=(2)

1

ln()

z

x y

=

-

；

(3)z=arcsin y

x

；(4)z

arccos（x２+y２）．

解：（1）要使函数有意义，必须

22

22

10

x y

a b

--≥即

22

22

1

x y

a b

+≤，

则函数的定义域为

22

22

(,)|1

x y

x y

a b

⎧⎫

+≤

⎨⎬

⎩⎭

，如图8-1阴影所示

.

图8-1 图8-1

（2）要使函数有意义，必须

ln()0

x y

x y

-≠

⎧

⎨

->

⎩

即

1

x y

x y

-≠

⎧

⎨

>

⎩

，

则函数的定义域为{(,)|

x y x y

>且1}

x y

-≠,如图8-2所示为直线y x

=的下方且除去1

y x

=-的点的阴影部分（不包含直线y x

=上的点）.

（3）要使函数有意义，必须

1

y

x

x

⎧

≤

⎪

⎨

⎪≠

⎩

,即

11

y

x

x

⎧

-≤≤

⎪

⎨

⎪≠

⎩

，即

x y x

x

-≤≤

⎧

⎨

>

⎩

或

x y x

x

≤≤-

⎧

⎨

<

⎩

，所以函数的定义域为

{(,)|0

x y x>且}{(,)|0,}

x y x x y x x y x

-≤≤<≤≤-

，

如图8-3阴影所示.

图8-3 图8-4

（4

）要使函数有意义，必须2200||1x y x y ⎧⎪

≥⎨⎪+≤⎩

即

2

22001x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪

⎨≥⎪

⎪+≤⎩

, 所以函数的定义域为

222{(,)|0,0,,1}x y x y x y x y ≥≥≥+≤,

如图8-4阴影所示.

２．设函数f (x ,y )=x 3-2xy +3y 2，求 (1) f (-2,3); (2) f 12,x y ⎛⎫

⎪⎝⎭

； (3)f (x +y ,x -y ). 解：（1）3