2013版高中数学全程学习方略课时训练：1.3.1三角函数的诱导公式(一)(人教A版必修4)

【最新整理，下载后即可编辑】三角函数的诱导公式(1)一、选择题1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ）A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ． 2π+2k π≤x ≤2π3+2k πD．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ）2．sin （－6π19）的值是（ ）A ． 21B ．－21C ．23D ．－233．下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos （2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］；⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）．其中函数值与sin 3π的值相同的是（ ）A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤4．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ）A ．－36 B ．36C ．－26 D ．265．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）A ．cos （A +B ）=cosC B ．sin （A +B ）=sin C C ．tan （A +B ）=tan CD ．sin 2AB =sin 2C6．函数f （x ）=cos 3πx （x ∈Z ）的值域为（ ）A ．{－1，－21，0，21，1}B ．{－1，－21，21，1}C ．{－1，－23，0，23，1}D ．{－1，－23，23，1}二、填空题7．若α．8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．三、解答题9．求值：sin（－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）．11．化简：．12、求证：tan(2π)sin(2π)cos(6π)=tanθ．cos(π)sin(5π)三角函数的诱导公式(2)一、选择题： 1．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ）A.21 B. —21 C.23D. —232．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ）A.23B.21 C.23±D. —233．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（ ）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2) 4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ）A.sinα=sinβB. sin(α-π2) =sinβC.cosα=cosβD. cos(π2-α)=-cosβ5．设tanθ=-2,2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ）， A.51（4+5） B. 51（4-5） C. 51（4±5） D. 51（5-4）二、填空题：6．cos(π-x)= 23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ．7．tanα=m，则=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ． 8．|sinα|=sin（-π+α），则α的取值范围是 ． 三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin 3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）；12． 求下列三角函数值：（1）sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5；（2）sin ［（2n +1）π－3π2］.13．设f （θ）=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f （3π）的值.。

欢迎阅读三角函数公式1． 同角三角函数基本关系式 sin 2α＋cos 2α=1 sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin αcos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α （二） sin(π2 －α)＝cos α sin(π2 +α)＝cos αcos(π2 －α)＝sin α cos(π2 +α)＝- sin αtan(π2 －α)＝cot α tan(π2 +α)＝-cot αsin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π2 +α)＝-cos αcos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π2 +α)＝sin αtan(3π2 －α)＝cot α tan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)=tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)= tan α－tan β1＋tan αtan β4． 二倍角公式 sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α1－tan 2α5． 公式的变形（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α 1—cos2α＝2sin 2α（2） 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2 sin 2α＝1－cos2α2（3） 正切公式变形：tan α+tan β＝tan(α+β)（1－tan αtan β） tan α－tan β＝tan(α－β)（1＋tan αtan β) （4） 万能公式（用tan α表示其他三角函数值）sin2α＝2tan α1+tan 2α cos2α＝1－tan 2α1+tan 2α tan2α＝2tan α1－tan 2α 6． 插入辅助角公式asinx ＋bcosx=a 2+b 2 sin(x+φ) (tan φ= ba)特殊地：sinx ±cosx ＝ 2 sin(x ±π4)7． 熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx ±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx若A 、B 是锐角，A+B ＝π4，则（1＋tanA ）(1+tanB)=28． 在三角形中的结论若：A ＋B ＋C=π , A+B+C 2 =π2则有tanA ＋tanB ＋tanC=tanAtanBtanCtan A 2 tan B 2 ＋tan B 2 tan C 2 ＋tan C 2 tan A2＝1 三角函数的诱导公式1一、选择题1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ） A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ．2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ）2．sin （－6π19）的值是（ ） A ．21 B ．－21C ．23 D ．－23 3．下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos （2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］；⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）．其中函数值与sin 3π的值相同的是（ ） A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤4．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ） A ．－36 B ．36C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）A ．cos （A +B ）=cos CB ．sin （A +B ）=sinC C ．tan （A +B ）=tan CD ．sin2B A +=sin 2C6．函数f （x ）=cos3πx（x ∈Z ）的值域为（ ） A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1}D ．{－1，－23，23，1} 二、填空题7．若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=_________． 8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．三、解答题9．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）． 10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ． 11．已知cos α=31，cos （α+β）=1，求证：cos （2α+β）=31． 12． 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14． 求证：（1）sin （2π3－α）=－cos α； （2）cos （2π3+α）=sin α． 参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二、填空题7．－sin α－cos α 8．289 三、解答题 9．43+1． 10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++，右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--， 左边=右边，∴原等式成立．11．证明：∵cos （α+β）=1，∴α+β=2k π．∴cos （2α+β）=cos （α+α+β）=cos （α+2k π）=cos α=31． 12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边， ∴原等式成立．14证明：（1）sin （2π3－α）=sin ［π+（2π－α）］=－sin （2π－α）=－cos α． （2）cos （2π3+α）=cos ［π+（2π+α）］=－cos （2π+α）=sin α． 三角函数的诱导公式2一、选择题：1．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ）A.21 B. —21C. 23D. —232．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A.23 B. 21C. 23±D. —23 3．化简：)2cos()2sin(21-∙-+ππ得（ ）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ） A.sinα=sinβ B. sin(α-π2) =sinβC.cosα=cosβD. cos(π2-α) =-cosβ5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ），A. 51（4+5）B. 51（4-5）C. 51（4±5）D. 51（5-4）二、填空题：6．cos(π-x)=23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ． 7．tanα=m ，则=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ．8．|sinα|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ．三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）； 12． 求下列三角函数值：（1）sin3π4·cos 6π25·tan 4π5； （2）sin ［（2n +1）π－3π2］. 13．设f （θ）=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f （3π）的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A6．±65π 7．11-+m m 8．[(2k-1) π,2k π]9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．161111．解：（1）sin 3π7=sin （2π+3π）=sin 3π=23.（2）cos4π17=cos （4π+4π）=cos 4π=22.（3）tan （－6π23）=cos （－4π+6π）=cos 6π=23.（4）sin （－765°）=sin ［360°×（－2）－45°］=sin （－45°）=－sin45°=－22. 注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin （π+3π）·cos （4π+6π）·tan （π+4π） =（－sin3π）·cos 6π·tan 4π=（－23）·23·1=－43.（2）sin ［（2n +1）π－3π2］=sin （π－3π2）=sin 3π=23.13．解：f （θ）=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+ =θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++---=θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++- =θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++- ＝cos θ－1， ∴f （3π）=cos 3π－1=21－1=－21.。

高一数学同步训练： 1.3 三角函数的诱导公式一．选择题1．下列各式不正确的是 （）A ． sin （α＋ 180°） =－ sin αB ． cos （－α＋ β） =－cos （α－ β）C ． sin （－α－ 360°） =－ sin αD ． cos （－α－ β） =cos （α＋ β ）2． sin 600 的值为（）1B ． 13 A ．2C ．2219的值等于（）3． sin61B ．13 A ．2C ．224． sin585 的°值为 ()2 B. 2C ．－ 33A ．－ 222D. 2235． sin( － 6 π)的值是 ()11 33A. 2B ．－ 2C. 2 D ．－ 26． cos(－225 °)＋ sin( － 225 °)等于 ()2 2 C ．0D. 2A. 2B ．－ 27． cos2010 °＝ ( )1313 A ．－2B ．－ 2 C.2D. 23D ．23D ．2π 1π)8．已知 sin(α－4)＝ ，则 cos( ＋α)的值为 (34A. 22B ．－22 1 D ．－ 1333C.339．若 cos,2 , 则 sin2 的值是（ ）35344B ．C ．D ．A ．55553πcos(－ 3π＋ α)()10．已知 cos( ＋α)＝－ 3，且 α是第四象限角，则25A. 4B ．－ 44D.3C ． ±11． sin 4 · cos25·tan5的值是（）3 64A ．－3 3 C ．－3 3 4B ．4D ．4412．若 sin(1，则 cos的值为（）)2A ．1；B ． 1；C ．3；D ．3 2222ππ )13．已知 cos(＋φ)＝ 3，且 |φ|< ，则 tan φ＝ (2 2 233A ．－ 3B. 3C ．－ 3 D. 314．设 tan(5 ＋πα)＝ m ，则 sinα－ 3π＋ cos π－ α的值等于 ( )sin － α－ cos π＋ αm ＋1 m － 1A.m －1B.m ＋1C ．－ 1D ．115． A 、B 、 C 为△ ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是(① cos(A ＋B)＝ cosC B ＋C② cos ＝ sin A2 2③ tan(A ＋ B) ＝－ tanC ④ sin(2A ＋B ＋ C)＝ sinAA ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 16．已知 sin()3 ，则 sin( 3) 值为（）424A.1B. — 1C.3 D. — 3222217． cos (+α )= — 1 ，3π<α < 2 , sin( 2 - α) 值为（）2 2A.3 B.13D. —322C.2218． tan110 ＝°k ，则 sin70 的°值为 ( ) AA ．－kB.kC.1＋ k 2 D ．－1＋ k 2k1＋ k 219．化简：1 2 sin(2) ? cos( 2) 得（ ）A. sin 2 cos2B. cos2 sin2C. sin 2 cos2)1＋ k2kD. ± cos2 sin 220．已知 tan3 ，3sin的值是（），那么 cos2A13 B1 31 31 322C2 D27π233321． (2011 年潍坊高一检测 )已知 a ＝ tan(－ 6 )， b ＝ cos 4 π，c ＝ sin( － 4 π)，则 a 、 b 、c 的大小关系是 ()A ．b>a>cB ． a>b>cC ． b>c>aD ． a>c>b22．（2009.济南高一检测）若 sincos2 ，则 sin( -5 ) sin(3) 等于（）sincos2A ．3 B ． 3C ．334D ．10101023. （ 2009·福州高一检测）已知 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30 °) 的值等于（）（A ） -1（ B ）1（C ）1（ D ）0二．填空题21、 tan2010°的值为．2． sin （-17π ） =.37π7π 13π－ cos(－3 )＋ sin(－ 6 )的值为 ________．3． tan 44． cos( -x)=3， x ∈（ - ， ），则 x 的值为．25．化简1－ 2sin200 cos160° °＝ ________.cos20 －°sin20 °cos(α－ 3π) ·tan(α－ 2π)的值为 ________．6．若 P(－4,3)是角 α终边上一点，则sin 2(π－ α)2π2π－ α＋α＝ ________. 17．式子 cos 4＋cos 45π 38．若 tan( －πα)＝2，则 2sin(3 ＋πα) ·cos 2 ＋ α＋ sin 2π－ α· sin(－πα)的值为 ________．cos(4 ) cos 2 () sin 2 ( 3 )___．9．化简：4 ) sin(5) cos 2 (＝ ______sin()3sincos2 ，则 tan=．10．已知cos 94sin11．若 tan a ，则 sin 5cos 3 ＝ ____ ____ ．12．如果 tansin0,且 0sincos 1, 那么 的终边在第 象限13．求值： 2sin( － 1110o) － sin960 o+2 cos(225 ) cos( 210 ) ＝．π 3 11π14．已知 cos( ＋θ)＝3 ，则 cos(－ θ)＝ ________.6615. 已知 cos1, 则 sin 34216，已知 cos1000m ，则 tan80 0 的值是三．解答题1、 求 cos （－ 2640°） +sin1665 °的值．2．化简（ 1） sin( )cos() tan(2)（ 2） sin(180) cos( )tan( )sin( 5 )cos() cos(8 )3．化简23) sin(4 )sin(2cos π－ α＋3π＋α·cos 2π－ α·sin 24．已知 f(α)＝ 23π. sin － π－ α·sin 2 ＋ α3π 1，求 f(α)的值． (1)化简 f( α)； (2)若 α是第三象限角，且 cos(α－ 2 )＝ 55．设f ( ) 2 cos3 sin 2 ( ) 2 cos( ) 1，求f ( ) 的值．2 2 cos2 (7 ) cos( ) 36．已知方程 sin(3 ) = 2cos(4 )，求sin() 5 cos(2)的值。

§1.3　三角函数的诱导公式(一)课时目标　1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于________对称－α与α关于________对称π－α与α关于________对称2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝__________，cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z .(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.一、选择题1．sin 585°的值为( )A ．－ B. C ．－D.222232322．若n 为整数，则代数式的化简结果是( )sin (n π＋α)cos (n π＋α)A ．±tan α B ．－tan αC ．tan α D.tan α123．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )1232A. B ．± C. D ．－123232324．tan(5π＋α)＝m ，则的值为( )sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)A. B. C ．－1D ．1m ＋1m －1m －1m ＋15．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A. B ．－C. D ．－1－k 2k 1－k 2k k 1－k 2k 1－k 26．若sin(π－α)＝log 8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为( )14(－π2，0)A. B ．－5353C ．±D ．以上都不对53二、填空题7．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.π6335π68．三角函数式的化简结果是______.cos (α＋π)sin2(α＋3π)tan (α＋π)cos3(－α－π)9．代数式的化简结果是______．1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°10．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 009)＝1，则f (2 010)＝____.三、解答题11．若cos(α－π)＝－，求的值．23sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.能力提升13．化简：(其中k ∈Z )．sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin (k π－θ)·cos (k π＋θ)14．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－sin(π－B )，cos A ＝－cos(π－B )，求△ABC 的三232个内角．1．明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为0～2π求值公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0～求值π22.诱导公式的记忆这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．§1.3　三角函数的诱导公式(一)答案知识梳理1．原点　x 轴　y 轴2．(1)sin α　cos α　tan α　(2)－sin α　－cos α　tan α　(3)－sin α　cos α　－tan α　(4)sin α　－cos α　－tan α作业设计1．A 2.C3．D [由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，1212∴sin(2π＋α)＝sin α＝－＝－ (α为第四象限角)．]1－cos2 α324．A [原式＝＝＝.]sin α＋cos αsin α－cos αtan α＋1tan α－1m ＋1m －15．B [∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝.∴tan 80°＝.1－k 21－k 2k∴tan 100°＝－tan 80°＝－.]1－k 2k 6．B [∵sin(π－α)＝sin α＝log 2 2－＝－，2323∴cos(π＋α)＝－cos α＝－＝－＝－.]1－sin2 α1－49537．－338．tan α解析　原式＝＝＝＝＝tan α.－cos α·sin2αtan α·cos3(α＋π)－cos α·sin2α－tan α·cos3αcos α·sin2αsin α·cos2αsin αcos α9．－1解析　原式＝1＋2sin (180°＋110°)·cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝＝1－2sin 110°cos 70°－sin 70°＋cos 70°1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝＝＝－1.|sin 70°－cos 70°|cos 70°－sin 70°sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°10．3解析　f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1，∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3.11．解　原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，23∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．23当α为第一象限角时，cos α＝，23sin α＝＝，∴tan α＝＝，∴原式＝－.1－cos2α53sin αcos α5252当α为第四象限角时，cos α＝，23sin α＝－＝－，∴tan α＝＝－，∴原式＝.1－cos2α53sin αcos α5252综上，原式＝±.5212．证明　∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋ (k ∈Z )，π2∴α＝2k π＋－β (k ∈Z )．π2tan(2α＋β)＋tan β＝tan ＋tan β[2(2k π＋π2－β)＋β]＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，∴原式成立．13．解　当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝＝＝＝－1.sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin (2n π－θ)·cos (2n π＋θ)sin (π＋θ)·cos (π－θ)－sin θ·cos θ－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin (π－θ)·cos (π＋θ)＝＝－1.sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)∴上式的值为－1.14．解　由条件得sin A ＝sin B ，cos A ＝cos B ，232平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±，22又∵A ∈(0，π)，∴A ＝或π.π434当A ＝π时，cos B ＝－<0，∴B ∈，3432(π2，π)∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝，cos B ＝，∴B ＝，∴C ＝π. π432π6712。

1. 3三角函数的诱导公式<第一课时>班级姓名学习目标：1、利用单位圆探究得到诱导公式二，三，四，并且概括得到诱导公式的特点。

2、理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想。

3、能初步运用诱导公式进行求值与化简。

教学重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值与化简，提高对单位圆与三角函数关系的认识。

教学难点：诱导公式的灵活应用教学过程：一、复习引入：1、诱导公式一:（角度制表示）（）（弧度制表示）（）2、诱导公式（一）的作用：其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。

二、讲解新课：由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sinα=y，cosα=x,sin(180º+α)=-y, cos(180º+α)=-x,所以:sin(180º+α)=-sinα，cos(180º+α)=-cosα诱导公式二：用弧度制可表示如下：类比公式二的得来，得：诱导公式三：αα+180xyP(x,y)P(-x,-y) MMO(4-5-1)αα-xyP(x,y)P0(x,-y)M O(4-5-2)类比公式二,三的得来，得：诱导公式四： 用弧度制可表示如下：对诱导公式一，二，三，四用语言概括为：α+k ·2π（k ∈Z ），—α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． （函数名不变，符号看象限。

） 三、例题讲解例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数。

（1）cos π913(2)sin(1+π) (3)sin(5π-) (4)cos(π513-)例2．求下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin （—45π）变式练习 1、 求下列三角函数值：（1）11sin 6π；（2）17sin()3π-． （3）sin(－34π)； (4)cos(－60º)－sin(－210º)2、求下列三角函数值： (1)cos （—420º） （2）sin(π67-) (3)sin(—1305º) (4)cos(π679-)例3.化简)180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα变式练习 1、 已知cos(π+α)=－21，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）．（A ）23(B)21 (C)－23 (D)±232、化简：（1）sin(α+180º)cos(—α)sin(—α—180º)（2）sin 3(—α)cos(2π+α)tan(—α—π)四、回顾小结应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1︒用“- α”公式化为正角的三角函数；2︒用“2k π + α”公式化为[0，2π]角的三角函数；3︒用“π±α”公式化为锐角的三角函数即利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:五、作业布置1．求下列三角函数值： （1）45sin π； (2)619cos π；(3))240sin(︒-；(4))1665cos(︒-2．化简：)4(tan )3sin()2(cos )2tan()5cos()(sin 333παπαπααπαπα-----++-3..习题1.3A 组第4题。

必修四第一章 三角函数1. 3 三角函数的诱导公式【自学目标】1．.掌握掌握三角函数诱导公式一2．培养观察能力和计算技能．【知识要点】．公式一：:终边相同的角ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+kααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+kααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k公式二：终边关于X 轴对称的角αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-）ααtan tan(-=-）公式三： 终边关于Y 轴对称的角ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-）αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-）ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）公式四：任意α与180α+o 的终边都是关于原点中心对称的终边关于原点对称的角 sin =-sin αo o （180+）180 sin =sin παα-（+）cos =-cos αo o （180+）180 cos =cos παα-（+）tan =tan ααo （180+） tan =tan παα（+）【预习自测】例1、下列三角函数值：( 1)cos210º( 2)sin 45π（3）16sin 3π（-）（4）cos 945o （-）【课内练习】1. 求下列各式的值：（1）sin(－34π)(2)cos(－60º)－sin(－210º)2.化简（1） )180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα（2）)sin()5cos()4cos()3sin(αππαπααπ--⋅---⋅+3.因为α与360k α+o g ，k Z ∈的终边 ，所以α与360k α+o g ，k Z ∈的三角函数值4.因为α与180α+o 得终边关于原点 ，所以α与180α+o 的正、余弦值 正切值【归纳反思】【巩固提高】1．已知cos(π+α)=－21，23π<α<2π，则Sin （2π－α)的值答案【预习自测】1.−√322.−√223,√324.−√22课内练习：1、（1）2（2）02 、（1）-1 （2）13、相同相等4、对称互为相反数相等巩固提高：2。

【全程复习方略】（陕西专用）2013版高考数学 3.2 诱导公式课时提能演练 理北师大版(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2012·咸阳模拟)tan240°的值是( )(A)－33 (B)33 (C)－ 3 (D) 32.1－2sin(π＋2)cos(π＋2)等于( )(A)sin2－cos2 (B)cos2－sin2(C)±(sin2－cos2) (D)sin2＋cos23.(2012·九江模拟)已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是() (A)－45 (B)45 (C)±45 (D)354.(预测题)若cos(2π－α)＝223，且α∈(－π2，0)，则sin(π＋α)＝( )(A)－13 (B)－23 (C)13 (D)235.已知函数f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)，且f(2 011)＝3，则f(2 012)的值是() (A)－1 (B)－2 (C)－3 (D)16.若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin(－α－3π2)sin(3π2－α)tan 2(2π－α)cos(π2－α)cos(π2＋α)sin(π＋α)＝( )(A)35 (B)53 (C)45 (D)54二、填空题(每小题5分，共15分)7.(2012·汉中模拟)若sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则cos(2π-α)的值是 . 8.(2012·西安模拟)已知sin(π3－x)＝35，则cos(5π6－x)＝ .9.(2012·潮州模拟)已知角α终边上一点P(－4,3)，则cos(π2＋α)sin(－π－α)cos(11π2－α)sin(9π2＋α)的值为 . 三、解答题(第10题12分，第11题13分，共25分)10.已知sin(3π－α)＝2cos(3π2＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求α和β的值.11.(易错题)化简sin(α＋n π)＋sin(α－n π)sin(α＋n π)cos(α－n π)(n∈Z). 【选做•探究题】东升中学的学生王丫在设计计算函数f(x)＝sin 2(3π－x)sin(π－x)＋cos(π＋x)＋cos(x －2π)1＋tan(π－x)的值的程序时，发现当sinx 和cosx 满足方程2y 2－(2＋1)y ＋k ＝0时，无论输入任意实数k ，f(x)的值都不变，你能说明其中的道理吗？这个定值是多少？答案解析1.【解析】选D.因为tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3，故答案为D.2.【解析】选A.原式＝1－2(－sin2)(－cos2) ＝1－2sin2cos2＝|sin2－cos2|，∵sin2>0，cos2<0，∴原式＝sin2－cos2.【变式备选】给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan 17π9. 其中符号为负的有( )(A)① (B)② (C)③ (D)④【解析】选C.sin(－1 000°)＝sin80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan 17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0， ∴sin 7π10cos πtan 17π9>0. 3.【解析】选B.sin(π＋α)＝35，∴sin α＝－35， 又∵α是第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝45， ∴cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cos α＝45. 4.【解析】选C.由已知得cos α＝223，又α∈(－π2，0)， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－13；sin(π＋α)＝－sin α＝13. 5.【解析】选C.∵f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asin α－bcos β＝3.∴asin α＋bcos β＝－3，∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β) ＝asin α＋bcos β＝－3.6.【解题指南】利用方程求出sin α，把所给的式子化简，代入即可求.【解析】选B.由已知得sin α＝－35， 则原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53. 7.【解析】∵sin(π－α)＝log 814， ∴sin α＝log 814＝－log 84＝－23，∵α∈(－π2，0)， ∴cos(2π－α)＝cos α＝1－(－23)2＝53. 答案：53 8.【解析】cos(5π6－x)＝cos[π2＋(π3－x)] ＝－sin(π3－x)＝－35. 答案：－359.【解题指南】利用三角函数定义求出tan α的值，将原式化简后代入即可. 【解析】∵tan α＝y x ＝－34， ∴cos(π2＋α)sin(－π－α)cos(11π2－α)sin(9π2＋α)＝－sin α·sin α－sin α·cos α ＝tan α＝－34答案：－34【变式备选】已知3sin(π＋α)＋cos(－α)4sin(－α)－cos(9π＋α)＝2， 则tan α＝ .【解析】由已知得－3sin α＋cos α－4sin α＋cos α＝2，则5sin α＝cos α， 所以tan α＝15.答案：1510.【解题指南】求α，β的某个三角函数值，再根据范围确定角的大小.【解析】将所给两式变形可化为sin β＝12sin α ① cos β＝32cos α ② 则①2＋②2，得cos 2α＝12，cos α＝±22， ∵0<α<π，∴α＝π4或3π4， 当α＝π4时，cos β＝32×cos π4＝32×22＝32. ∵0<β<π，∴β＝π6. 当α＝34π时，cos β＝32·cos 34π＝－32. ∵0<β<π，∴β＝56π. 综上可得：α＝π4，β＝π6或α＝34π，β＝56π 11.【解题指南】本题对n 进行讨论.在不同的n 值下利用诱导公式进行化简.【解析】(1)当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝sin(α＋2k π)＋sin(α－2k π)sin(α＋2k π)cos(α－2k π)＝2cos α. (2)当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝sin[α＋(2k ＋1)π]＋sin[α－(2k ＋1)π]sin[α＋(2k ＋1)π]cos[α－(2k ＋1)π]＝－2cos α. 【方法技巧】诱导公式中的分类讨论(1)在利用诱导公式进行化简时经常遇到n π＋α这种形式的三角函数，因为n 没有说明是偶数还是奇数，所以必须把n 分奇数和偶数两种类型加以讨论.(2)有时利用角所在的象限讨论.不同的象限角的三角函数值符号不一样，诱导公式的应用和化简的方式也不一样.【变式备选】若sin α＝13，则cos(2k ＋12π＋α)＋ cos(2k －12π－α)(k ∈Z)＝ . 【解析】原式＝cos(k π＋π2＋α)＋cos(k π－π2－α)，当k 为偶数时，原式＝cos(π2＋α)＋cos(π2＋α)＝－2sin α＝－23， 当k 为奇数时，原式＝－cos(π2＋α)－cos(π2＋α)＝2sin α＝23， 故原式＝±23. 答案：±23【选做•探究题】【解析】因为f (x)＝sin 2(3π－x)sin(π－x)＋cos(π＋x)＋cos(x －2π)1＋tan(π－x)[ ＝sin 2x sinx －cosx ＋cosx 1－sinx cosx＝sin 2x －cos 2x sinx －cosx ＝sinx ＋cosx ， 又因为sinx ，cosx 是2y 2－(2＋1)y ＋k ＝0的两根，所以sinx ＋cosx ＝2＋12， 所以f(x)＝sinx ＋cosx ＝2＋12，始终是个定值，与变量无关.这个定值是2＋12.。

高中数学第一章三角函数1.2.3 三角函数的诱导公式（1）课时训练（含解析）苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.2.3 三角函数的诱导公式（1）课时训练（含解析）苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1．2。

3 三角函数的诱导公式(一)课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．1．设α为任意角，则的终边之间的对称关系.相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于________对称－α与α关于________对称π－α与α关于________对称2.诱导公式一～四（1)公式一：sin（α＋2kπ）＝________,cos(α＋2kπ）＝________,tan(α＋2kπ）＝________，其中k∈Z.（2）公式二：sin(－α)＝________,cos(－α）＝________,tan（－α)＝________.(3)公式三：sin（π－α）＝________，cos(π－α）＝________，tan(π－α)＝________。

(4)公式四：sin（π＋α）＝________，cos(π＋α)＝______，tan(π＋α）＝________.一、填空题1．sin 585°的值为________．2．已知cos（错误!＋θ）＝错误!，则cos(错误!－θ）＝________。

3．若n为整数，则代数式错误!的化简结果是________．4．三角函数式错误!的化简结果是______.5．若cos(π＋α）＝－错误!，错误!π〈α〈2π，则sin（2π＋α)＝________. 6．tan（5π＋α）＝2，则错误!的值为________．7．记cos（－80°)＝k，那么tan 100°＝________。

高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式（1）课时提升作业2 新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式（1）课时提升作业2 新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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三角函数的诱导公式(一）一、选择题(每小题3分，共18分）1.计算sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是( )A。

B. C. D.【解析】选A.原式=sin230°+sin245°—2sin30°+cos245°=+-1+=.2.（2014·益阳高一检测）sin的值是（）A.B。

—C。

D。

—【解析】选A.sin=sin=sin=。

3。

已知sin(π+θ）<0，cos（θ—π)〉0，则下列不等关系中必定成立的是（）A。

sinθ<0,cosθ〉0 B.sinθ>0，cosθ〈0C。

sinθ>0，cosθ〉0 D.sinθ〈0，cosθ〈0【解析】选B。

sin（π+θ)=-sinθ〈0，所以sinθ〉0；cos（θ-π）=-cosθ〉0，所以cosθ<0，应选B.4。

cos（k∈Z）的值为（)A.±B。

C。

— D.±【解析】选A.当k=2n(n∈Z）时，原式=cos=；当k=2n+1（n∈Z）时，原式=cos=—cos=—.5。

高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式（1）学案（含解析）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式（1）学案（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

3 三角函数的诱导公式(一)班级：__________姓名：__________设计人：__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语攻克科学堡垒，就像打仗一样，总会有人牺牲，有人受伤,我要为科学而献身。

——罗蒙诺索夫学习目标1．能借助于单位圆中的三角函数线推导诱导公式.2．能熟练运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

学习重点1．诱导公式一到四的推导2．熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题学习难点诱导公式的灵活运用自主学习诱导公式预习评价1．计算：sin 600°=A。

B。

C。

D.2．计算的值为A. B. C。

D.3．sin 210°＝_________。

4．已知sin=，则sin（π－）=____________.5．若tan（π+)=，则tan＝_______________。

♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究观察，π－,π+，－的终边思考下列问题.s根据上图，完成下面的填空。

①π+与的终边关于_________对称；②π－与的终边关于__________对称；③－与的终边关于____________对称.(2)根据任意角三角函数的定义,并结合探究1的结论,探究下面的问题。

高中数学第一章三角函数 1.3.2 三角函数的诱导公式（2）课后习题新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.3.2 三角函数的诱导公式（2）课后习题新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

3。

2 诱导公式(2)一、A组1。

已知sin(π-α）=，则cos等于(）A.B。

C。

-D。

—解析：∵sin(π—α）=，∴sin α=.∴cos=-sin α=—.答案：C2。

若α∈，则=（）A。

sin α B.-sin αC.cos αD。

-cos α解析:∵α∈，∴sin α〈0,∴=—sin α.答案：B3。

若sin〉0,cos〉0，则角α的终边位于()A.第一象限B。

第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵sin>0,cos>0,∴cos α〉0，sin α<0。

∴角α的终边在第四象限。

答案:D4。

sin(π-2）-cos化简的结果是（）A。

0 B。

—1C.2sin 2 D。

—2sin 2解析:sin(π—2）—cos=sin 2-sin 2=0。

答案：A5。

=() A。

—cos αB。

cos αC.sin αD。

—sin α解析：原式===—cos α.答案:A6。

求值：sin2+sin2=.解析：∵-α++α=，∴sin2=sin2=cos2。

∴sin2+sin2=sin2+cos2=1。

答案:17。

若α是三角形内角,且sin=—sin，则α=。

高中数学 3.2.3 诱导公式第一课时诱导公式（一）同步练习 湘教版必修21．tan 600°的值是( )A ．． D 2．27π27πsin cos 44⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝( )A B ． C ．0 D ．2 3．已知sin(π－α)＝81log 4，且α∈π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，则tan(2π－α)的值为( )A ．BC ．D 4．已知5πsin7m =，则2πcos7的值等于( )A ．mB ．－mC ． 5．若tan(7π＋α)＝a ，则sin(3π)cos(π)sin()cos(π)αααα-+---+的值为( )A ．11a a -+ B ．11a a +- C ．－1 D ．1 6．求值：tan(150)cos(570)cos(1140)tan(240)sin(690)-︒-︒-︒=-︒-︒__________.7．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝__________. 8．若cos(－50°)＝k ，则tan 130°＝__________. 9．已知tan(π＋α)＝12-，求下列各式的值． (1)2cos(π)3sin(π)4cos(2π)sin(4π)αααα--+-+-；(2)sin(α－7π)·cos (α＋5π)．10．是否存在角α，β，α∈ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝π2β⎛⎫- ⎪⎝⎭，5π2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．参考答案1.答案：D解析：tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝D．2.答案：B解析：27π27πsin cos44⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝3π3πsin6πcos6π44⎛⎫⎛⎫--+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝3π3πsin cos44⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝3π3πsin cos44 -+＝ππsinπcosπ44⎛⎫⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝22--= 3.答案：B解析：由sin(π－α)＝81log4得sin α＝23-，又α∈π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴cos3α===.于是tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝2sincosαα-==，选B．4.答案：C解析：由5πsin7m=得2πsinπ7m⎛⎫-=⎪⎝⎭，即2πsin7m=，于是2πcos7==5.答案：B解析：由已知可得tan(7π＋α)＝tan(π＋α)＝tan α＝a ， 因此原式＝sin(3π)cos(π)sin cos(π)αααα--+---+＝sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα--+=-+- ＝11a a +-.选B ． 6.答案：6解析：tan150cos570cos1140=tan240(sin690)-︒⋅︒⋅︒-︒⋅-︒原式＝tan30cos210cos60tan60sin30︒⋅︒⋅︒-︒⋅︒＝tan30cos30cos60tan60sin30-︒⋅︒⋅︒=-︒⋅︒7. 答案：－1解析：原式＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos(180°－89°)＋…＋cos(180°－2°)＋cos(180°－1°)＋cos 180°＝(cos 1°－cos 1°)＋(cos 2°－cos 2°)＋…＋(cos 89°－cos 89°)＋cos 90°＋cos 180°＝890+0++0个…＋0＋(－1)＝－1.8.答案：k-解析：由已知得cos 50°＝k ，所以.于是tan 130°＝－tan 50°＝sin50cos50k︒-=-︒.9. 解：tan(π＋α)＝12-⇒tan α＝12-， (1)2cos 3sin 23tan 4cos sin 4tan αααααα-+-+==--原式＝123721942⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(2)原式＝－sin α·(－cos α)＝sin α·cos α＝22sin cos sin cos αααα⋅+＝221tan 22tan 15112αα-==-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 10. 解：利用诱导公式可将已知条件化为sin αβαβ⎧=⎪=， ①， ②两式平方相加得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＝12， 所以sin α＝2±. 因为α∈ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以π4α=或π4α=-. 当π4α=时， 由①式可得sin β＝12， 由②式可得cos β＝2，又β∈(0，π)，所以π6β=. 当π4α=-时，由①式可得1sin 2β=-，这与β∈(0，π)矛盾． 从而只存在π4α=，π6β=使得两个等式同时成立．。