建筑力学第十二章平面体系的几何组成分析

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除去约束后，体系的自由度并不 改变，这类约束称为多余约束。
图中上部四根杆
和三根支座杆都是
必要的约束。
下部正方形中任
意一根杆，除去都
不增加自由度，都
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可看作多余的约束。
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复习：计算自由度
１
１
１
１
１
２
２
m＝7 h＝9 r＝３
Ｗ＝３×７－（２×９）－３
＝０
j=8
b=12 r=4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
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• 例7 试对图a)所示体系进行几何组成分析。
解 首先依次拆除二元体IJK、HIL、HKL、DHE和FLG，得到如图b
所示体系。剩下的部分ADEC和BGFC 可分别看作刚片Ⅰ、Ⅱ，基
础为刚片Ⅲ，则三刚片用不在同一直线上的三个铰A、B、C两两相
联。20所21/7以/26，整个体系为几何不变体系，且没有多余约束。
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例5 试对图示体系进行几何组成分析。
A
B
C
1
2
在此体系中，将基础视为刚片，AB杆视为刚片，两个刚片用 铰A和链杆1相联，根据两刚片规则，此部分组成几何不变体系， 且没有多余约束。然后将其视为一个大刚片，它与BC杆再用铰B 和不通过该铰的链杆2相联，又组成几何不变体系，且没有多余约 束。所以，整个体系为几何不变体系，且没有多余约束。
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上次课主要内容回顾
一、无多余约束几何不变体系的组成规则
1. 一个点与一个刚片之间的组成方式（二元体规则） 2. 两个刚片之间的组成方式（二刚片规则） 3. 三个刚片之间的组成方式（三刚片规则）
二、瞬变体系与常变体系 三、平面几何组成分析的方法（五个方面）

一根链杆为一个联系
Y
1
Ⅰ
A
O
3
W=3-1=2 X
加单铰前体系有六个自由度
1 C
加单铰后确定体系的位置， 需要四个独立的坐标，新体 系有四个自由度。
2
x y

单铰可减少体系两个 自由度相当于两个约束
联结n个刚片的复铰相当于n-1个 单铰，相当于 2(n-1)个约束！
Y
A
O
W=3-2=1 X
3、平面体系自由度W的计算公式： W=3m-2h-r （5-1） m：无约束状态下的刚片数； h：单铰数目； r：链杆数。 注：如体系中某个铰与n个刚片相联接；则该铰相当于n-1 个单铰。
•铰支座相当于两个支承链杆， 固定端相当于三个支承链杆。
Y
Y
W=3-2=1 A
O
实铰
Ⅰ
虚铰O
A
O
G
B
X
X
B
D
E
D
E B
F C
A
C
A
W=3*3-3*2-3=0
W=3*5-5*2-5=0
F
①
E ②
D
⑤ ⑦
A
⑥
③ ⑧ ⑨
C
① ⑨
⑥ ⑤
② ③ ④
④
B
⑦ ⑧
W=3×9－2×12－3=0
W=3×9－2×12－3=0
例7: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为有一个多余约束几何不变体系.
练习: 对图示体系作几何组成分析
练习: 对图示体系作几何组成分析
【例】
B C D E
B A
Ⅰ D Ⅲ
A
Ⅱ E
C
几何不变体系且无多余约束（可取内部体系）。 【例】

结论：无多余约束的几何不变体系
（3）平面内三个刚片的连接
刚片Ⅱ B
铰A 刚片Ⅲ 链杆2
C
刚片Ⅰ
规律3 三个刚片用三个 铰两两相连，且三个铰 不在一直线上，则组成 无多余约束的几何不变 体系。
对象：刚片I、Ⅱ和Ⅲ 联系：铰A(Ⅱ和Ⅲ )、B ( I和Ⅱ)、C(I和Ⅲ )，三铰不共线 结论：无多余约束的几何不变体系
• 体温低于 35 ℃为体温过低： 危重患 者、 极度衰弱的患者失去产生足够热 量的能力 ，导致体温
• 低温治疗： 临床上由于病情需要，常 采用人工冬眠或物理降温作为治疗措 施
作业
、发热的类型有哪几种 、发热常用的处置方法有哪些
➢ 杆件与杆件之间的连接—结点
单铰结点 2个约束
链杆 1个约束
单刚结点 3个约束
2.2 自由度和约束
2.2 自由度和约束
教学目标：
掌握自由度的基本概念 掌握约束的定义与分类
教学内容：
自由度 约束
知识点
自由度
✓等于体系的独立运动方式。
✓等于体系运动时可以独立改
y
变的坐标数目。
B
y
A
x x
一个点在平面内有两个自由度。
工程结构的自由度等于零
y
y
x x
一个刚片在平面内有三个自由度。
解：三角形法则，得刚片Ⅰ 、Ⅱ 对象：刚片Ⅰ、Ⅱ 联系：铰A，链杆1，不共线 结论：几何不变，无多余约束
例5： 分析体系的几何组成。
B
C
A
ⅠⅡ
解：去二元体，得
对象：刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 联系：铰A，B、C，不共线 结论：几何不变，无多余约束
Ⅲ
例6： 分析体系的几何组成。

平面杆件体系的几何组成分析
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§7-1 几何组成分析的目的
几何组成（构造）分析—— 对平面杆件体系的几何组成所进行的分析
几何组成分析的前提—— 忽略杆件本身的小变形，即将杆件视为刚体
几何组成分析的结果—— 几何不变体系（geometrically unchangeable system）： 在任何外力作用下，其形状和位置都不会改变。 几何可变体系 几何常变体系：受力后可发生有限位移。
§7-3 几何不变体系的基本组成规则
在体系的几何组成分析中应注意： ➢ 如果在分析过程中约束数目够，布置也合理，则组 成几何不变体系。
➢ 如果在分析过程中缺少必要的约束，或约束数目够，布 置不合理，则组成几何可变体系或瞬变体系。 ➢构件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再作为刚 片或刚片中的一部分。
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§7-3 几何不变体系的基本组成规则
以上三个规则可归结为铰结三角形法则
体系
规则 连接对象 必要约束数
对约束的布置要求
一
两刚片
三个
二 三刚片
六个
三链杆不平行也不交于一点 链杆不过铰 三铰不共线
三 一点一体系 两个
两链杆不共线
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h =2
3个多余 约束！
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§7-2 几何组成分析中的几个概念
公式二： W =2j －b 其中，j—结点数；b—单链杆数
例7.1 求(1)~(4)体系的计算自由度。 (1). 解： W = 3m －(3g+2h+b) =3×1 － ( 3×0+2×0+3+10） = －10

计算自由度≤体系的实际自由度 体系的实际自由度=计算自由度+多余 约束数
计算自由度
任何平面体系的计算自由度，其计算结果将 有以下三种情况： ⑴ w＞0, 体系缺少足够的联系，为几何可变。 ⑵ w＝0, 体系具有成为几何不变所必需的最 少联系数目。 ⑶ w＜0, 体系具有多余联系。 则几何不变体系的必要条件是: w≤0, 但这不是充 分条件，还需研究几何不变体系的合理组成规则。
体系的几何构造与静力特性的关系
体系的分类 无无多余约束的 几几何 几几何不变体系 不 变体 系 有多余约束的 几几何不变体系 几几何 几几何瞬变体系 可 变体 系 几几何常变体系 几几何构造特性 约束数⺫目目正好 布置合理 约束有多余 布置合理 约束数⺫目目够 布置不合理 缺少必要 的约束 静力力特性 静定结构：仅由平 衡条件就可求出全 部反力力和内力力 超静定结构：仅由 平衡条件求不出全 部反力力和内力力 内力力为无无穷大大 或不确定 不存在静力力解答
y x
o
（图1）
x
o
（图2）
几几个名词
约束——减少自由度的装置 链杆 单铰 一一个单铰可减少体系两 虚铰 个由度相当于两个约束。 复铰 连接N个刚片的复铰相当于N-1个单铰
几几个名词
约束——减少自由度的装置 链杆 单铰 虚铰 复铰 刚性联结或固定端约束
y y x o x o y α x
一一个单刚结点可减 少三个自自由度相当于 三个约束。
几何可变体系又可分为两种： （1）几何常变体系(constantly changeable system) 发生生有限位移 （2）几何瞬变体系(instantaneously changeable system) 发生生微小小位移 P P ∑Y=0，N=0.5P/sinβ→∞ 由于瞬变体系能产生 很大的内力，故几何常变 体系和几何瞬变体系不能 作为建筑结构使用. N

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④定向支座(滑动支座)
限制刚片A点在竖直方向的移动和转动，减少 两个自由度，相当于两个约束。
A
MA
A
MA
Fy A
Fy A
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（2）刚片间的连接约束 ①链杆 简单链杆——仅连接两个结点的杆件称为 简单链杆。一根简单链杆能减少一个自由度， 故一根简单链杆相当于一个约束。
y
x
φ
x
x,
链杆约束
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I 刚片I, III——用铰B连接 刚片II,III——用铰C连接
B III
A
II
C
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例2-3:分析体系的几何组成。
刚片I, II——用铰C连接
刚片II,III——用铰B连接
刚片I, III——用铰A连接
该体系为几何不变,无多余约束。
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例2-4:分析体系的几何组成。
刚片I, II——用铰C连接
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例2-1:求该体系的计算自由度数。
解: W=3m-(2n+r) =3×4-（2×4+6） =-2<0 体系有两个多余约束。
21
例2-2:求该体系的计算自由度数。 解:
W=3m-(2n+r) =3×10-（2×13+4） =0 W=2J-(b+r)
=2×7-（2×10+4）
=0
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练习:求该体系的计算自由度数。 解: W=3m-(2n+r) =3×9-（2×12+3） =0 W=2J-(b+r)
III 若铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2平行， 则体系为瞬变。 若铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2平行且 三者等长，则体系为常变。
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说明：⑴组成分析过程中每个刚片及链杆只能使用一次，作为刚片使用 就不能再作为链杆使用，反之亦然。 ⑵刚片和链杆可以灵活看待，既可以把刚片作为链杆，也可以把链杆作 为刚片，但只能使用一次。 ⑶复链杆可多次使用。
高级教育
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2.方法
§2-2 几何不变体系的组成规律
㈠计算自由度法
m—刚片总数； g—单刚结点总数；
高级教育
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§2-3 平面杆件体系的计算自由度
例2-3-4 求图示体系的计算自由度。
解：
m 2 g 1 h 1 b 5
I A II
W 3 2 (31 2 1 5)
6 10 4
1
3
2
45
例2-3-5 求图示体系的计算自由度。
A
1
B
解：
j 5 b 10
2 34 5
W 2 5 10 0
四、约束（联系）
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
约束
非多余约束：能真正减少体系自由度的约束。 多余约束：加上此约束体系的自由度并不因此而减少。
1）链杆约束
①单链杆约束（连接两个点的链杆）
结论：一根单链杆可减少一个自由度相当于一个约束或联系。
②复链杆约束（连接两个以上点的链杆） 结论：连接n个点的复链杆相当于（2n-3）根单链杆的作用。
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§2-2 几何不变体系的组成规律
例2-2-1 试分析图示体系的几何构造。
解：
A
3
6
I
B
1 II
III
2C
5
4
刚片I、 II用链杆1、2相连， （瞬铰A)；
刚片I、 III用链杆3、4相连， （瞬铰B)；
刚片II、III用链杆5、6相连， （瞬铰C)。

利用组成规律可以两种方式构造一般的结构
（1）从基础出发构造
（2）从内部刚片出发构造
三、几何组成分析步骤： 1．支承连杆多于三根的时，一定要把大地看成一个刚片。 ２．简化：1）若某体系用不完全交于一点也不完全平行的三 根链杆与基础相连，则可以去掉支座链杆，只分析该体系。
2）当结构中有二元体，可以去掉二元体。 3）小刚片合为大刚片。
例3
O1,3
O2,3

O1,2
A I B II C
III
解：方法1：拆除二元片
AB视为刚片I， BC视为刚片II, 地基视为刚片III。
三刚片分别由铰（O1 ，2）、（O1，3），（ O2，3）相连，且三铰 不在同一直线上，符 合规则三，所以整个 体系为无多余联系的 几何不变体系
（2）当三个链杆平行但长度不全相等时，是几何瞬 变体系；
(a)
(b)
探讨 ：
瞬 变 体 系
平行等长 但位于两侧
常变体系
平行等长 同侧
(3)当三个链杆的一端铰接于一点时，是几何可变体系；
(4)当三个链杆的延长线（或轴线搭接）交于一点时，是 几何瞬变体系。
四、三刚片之间的组成规则：
1．约束：一个刚片有三个自由度，三个刚片共九个自由度，
3．找基本单元：静定梁、铰结三角形、三铰刚架、三铰拱等 静定结构。 注意
4．虚铰代替两杆件的约束，直杆代替曲杆。 5．作结论：（1）是否可变。（2）是否有多余约束。
另：可以采用零载法；虚铰无穷远。
[例1，P21例2-5]、分析图示体系的几何组成。
F
B
G
AI
1C
II
D
E4
23
III
解：1）将ABC、BDE及地基 分别视为刚片I、II、III；

（b）
（c）
4．铰结点 铰结点可分为单铰和复铰。 凡连接两个刚片的铰结点称为单铰。如图（d）所示，铰A连接两个
刚片Ⅰ和Ⅱ，刚片原来各自有3个自由度，总计有6个自由度。
连接多于两个刚片的铰结点称为复铰。如图（e）所示，铰A连接3 个刚片Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。
如果在平面体系中增加一个约束 而相应地增加体系的自由度，则此约 束称为必要约束；如果在平面体系中 增加一个约束而不减少体系的自由 度，则此约束称为多余约束。
实例分析
【例9-3】 对图（a）中体系作几何组成分析。 【解】
首先以地基及杆AB为二刚片，由铰A 和链杆1联结，链杆1延长线不通过铰A， 组成几何不变部分，如图（b）所示。以 此部分作为一刚片，杆CD作为另一刚 片，用链杆2，3及BC链杆（联结两刚片 的链杆约束，必须是两端分别连接在所研 究的两刚片上）连接。三链杆不交于一点 也不全平行，符合两刚片规则，故整个体 系是无多余约束的几何不变体系。
图（d）
第三节 几何不变体系的基本组成规则
如图所示，如果两个刚片用两根链杆连接，则这两根链杆的作用和一 个位于两杆交点的铰的作用完全相同，常称该铰为虚铰。
虚铰的位置在这两根链杆的交点上，如图（a）中的点O。如果连接 两个刚片的两根链杆并没有相交，则虚铰在这两根链杆延长线的交点 上，如图（b）中的点O。
（a）
（b）
图（c）中体系是在图（b）体系上又增加一根水平的支座链杆3， 链杆3明显是多余约束。故图（c）中体系是有一个多余约束的几何不 变体系。
（c）
图（d）中体系是用在一条水平直线上的两根链杆1和2把点A链接在 地基上，且保持几何不变的约束数目是够的。但是这两根水平链杆对限 制点A的水平移动，有一根是多余的，而对限制点A的竖向移动都不起 作用。在两根链杆处于水平线上的瞬间，点A可以发生很微小的竖向位 移到A′处，此时，链杆1和2不在一条直线上，点A′就不继续向下移动 了。这种在某一瞬间，可发生微小几何变形的体系，称为瞬间可变体 系，简称瞬变体系。瞬变体系是约束数目刚好，但由于约束的布置不恰 当，而形成的瞬间变形。瞬变体系也是不能用作建筑结构。