直线和圆 的位置关系
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直线与圆的位置关系—知识讲解责编:常春芳【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系;2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.直线和圆的三种位置关系:(1) 相交:当直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交.(2) 相切:当直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.这条直线叫做圆的切线,公共点叫做切点.(3) 相离:当直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离.2.直线与圆的位置关系的判定和性质.直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢?由于圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,因此研究直线和圆的位置关系,就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系.下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径;图(2)中直线与圆心的距离等于半径;图(3)中直线与圆心的距离大于半径.一般地,直线与圆的位置关系有以下定理:如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么,(1)d<r直线l与⊙O相交;(2)d=r直线l与⊙O相切;(3)d>r直线l与⊙O相离.要点诠释:这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质;从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定.要点二、切线的判定定理和性质定理1.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释:切线的判定定理中强调两点:一是直线与圆有一个交点,二是直线与过交点的半径垂直,缺一不可. 2.切线的性质定理:经过切点的半径垂直于圆的切线.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【高清ID号:356966 关联的位置名称(播放点名称):经典例题1-2】1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3厘米,BC=4厘米,以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么?(1)r=2厘米; (2)r=2.4厘米; (3)r=3厘米【答案与解析】解:过点C作CD⊥AB于D,在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=3,BC=4,得AB=5,,∴AB·CD=AC·BC,∴AC BC34CD===2.4AB5∙⨯(cm),(1)当r=2cm时,CD>r,∴圆C与AB相离;(2)当r=2.4cm时,CD=r,∴圆C与AB相切;(3)当r=3cm时,CD<r,∴圆C与AB相交.【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系,只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长,然后再与r比较即可.举一反三:【变式】已知⊙O的半径为10cm,如果一条直线和圆心O的距离为10cm,那么这条直线和这个圆的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质2.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.求证:AC是⊙D的切线.【思路点拨】作垂直,证半径.【答案与解析】证明:过D作DF⊥AC于F.∵∠B=90°,∴DB⊥AB.又AD平分∠BAC,∴ DF=BD=半径.∴ AC与⊙D相切.【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点,其证法是过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长等于半径的长即可.3.(2016•三明)如图,在△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA为半径的⊙O交AB于点D,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AC=6,BC=8,OA=2,求线段DE的长.【思路点拨】(1)直线DE与圆O相切,理由如下:连接OD,由OD=OA,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到∠ODE为直角,即可得证;(2)连接OE,设DE=x,则EB=ED=x,CE=8﹣x,在直角三角形OCE中,利用勾股定理列出关于x 的方程,求出方程的得到x的值,即可确定出DE的长.【答案与解析】解:(1)直线DE与⊙O相切,理由如下:连接OD,∵OD=OA,∴∠A=∠ODA,∵EF是BD的垂直平分线,∴EB=ED,∴∠B=∠EDB,∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠ODA+∠EDB=90°,∴∠ODE=180°﹣90°=90°,∴直线DE与⊙O相切;(2)连接OE,设DE=x,则EB=ED=x,CE=8﹣x,∵∠C=∠ODE=90°,∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2,∴42+(8﹣x)2=22+x2,解得:x=4.75,则DE=4.75.【总结升华】此题考查了直线与圆的位置关系,以及线段垂直平分线定理,熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键.4.如图,AB为⊙O的直径,AC为⊙O的弦,AD平分∠BAC,交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E.(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AE=8,⊙O的半径为5,求DE的长.【思路点拨】(1)连接OD,证明OD∥AD即可;(2)作DF⊥AB于F,证明△EAD≌△FAD,将DE转化成DF来求.【答案与解析】解:(1)直线DE与⊙O相切.理由如下:连接OD.∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠OAD.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.∴∠ODA=EAD.∴EA∥OD.∵DE⊥EA,∴DE⊥OD.又∵点D在⊙O上,∴直线DE与⊙O相切.(2)如上图,作DF⊥AB,垂足为F.∴∠DFA=∠DEA=90°.∵∠EAD=∠FAD,AD=AD,∴△EAD≌△FAD.∴AF=AE=8,DF=DE.∵OA=OD=5,∴OF=3.。
初三数学直线和圆的位置关系一.直线和圆的位置关系:①相交:直线和圆有两个公共点,这时说这条直线和圆相交;这条直线叫做圆的割线;②相切:直线和圆有唯一公共点,这时说这条直线和圆相切;这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.③相离:直线和圆没有公共点,这时说这条直线和圆相离.二.直线和圆的位置关系的判定:(1)定理:若⊙O的半径为R,圆心到直线l 的距离为d. 则直线l与⊙O相交d﹤R;直线l与⊙O相切 d =R;直线l与⊙O相离d﹥R;(2)“圆心到直线的距离d和半径R的数量关系”与“直线和圆的位置关系”之间的对应与等价关系列表如下:例1、1.在Rt△ABC中,∠C=,AC=3cm,AB=6cm,以点C为圆心,与AB边相切的圆的半径为_________cm.2.如图,⊙O的半径OD为5cm,直线l⊥OD,垂足为O,则直线l沿射线OD方向平移_________cm时与⊙O相切.3.已知⊙O的直径为6cm,如果直线l上的一点C到圆心的距离为3cm,则直线l与⊙O的位置关系是_________.4.⊙O的半径为R,圆心O到直线l的距离d与R是方程x2-6x+9=0的两个实数根,则直线l和⊙O的位置关系是_________.三.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;2.切线的性质:①切线垂直于过切点的半径;②切线和圆心的距离等于半径;③经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;④经过切点垂直于切线的直线必过圆心.综上所述,在解决有关圆的切线的问题,连接圆心和切点的线段是最常见的辅助线.四、切线长的定义及切线长定理过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长,如图所示,PA,PB 是⊙O的两条切线,A,B为切点,线段PA,PB的长即为点P到⊙O的切线长.切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.例2、如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,AD∥CO.求证:CD是⊙O的切线.1、⊙O的半径为R,直线l和⊙O有公共点,若圆心到直线l的距离是d,则d与R的大小关系是()A.d>RB.d<RC.d≤RD.d≥R2、点A为直线l上任一点,过A点与直线l相切的圆有()个.A.1 B.2C.不存在 D.无数个3、在Rt△ABC中,∠A=,BA=12,CA=5,若以A为圆心,5为半径作圆,则斜边BC与⊙A的位置关系是()A.相交 B.相离C.相切 D.不确定4、等边△ABC的边长为6,点O为△ABC的外心,以O为圆心,为半径的圆与△ABC的三边()A.都相交B.都相离C.都相切D.不确定5、两个同心圆的半径分别为3cm和5cm,作大圆的弦MN=8cm,则MN与小圆的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离D.无法判断6、如图,在直角坐标系中,⊙O的半径为1,则直线与⊙O的位置关系是()A.相离 B.相交C.相切 D.以上三种情形都有可能7、下列说法正确的是()A.垂直于切线的直线必过切点B.垂直于半径的直线是圆的切线C.圆的切线垂直于经过切点的半径D.垂直于切线的直线必经过圆心8、已知Rt△ABC的直角边AC=BC=4cm,若以C为圆心,以3cm的长为半径作圆,则这个圆与斜边所在的直线的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.不能确定9、如右上图,在△ABC中,AB=2,AC=1,以AB为直径的圆与AC相切,与边BC交于点D,则AD的长为()10、如下图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,过点D作⊙O的切线,切点为C,若∠A=25°,∠D=__________.11、如图,⊙O的半径为1,圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动,当⊙O移动到与AC相切时,OA=__________.12、设⊙O的半径为R,⊙O的圆心到直线的距离为d,若d、R是方程x2-6x+m=0的两根,则直线l 与⊙O相切时,m的值为__________.13、已知∠ABC=60°,点O在∠ABC的平分线上,OB=5cm,以O为圆心,2cm为半径作⊙O,则⊙O与BC的位置关系是__________.14、如图,Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,E为AB上一点,DE=DC,以D为圆心,DB的长为半径作⊙D.求证:(1)AC是⊙D的切线;(2)AB+EB=AC.15、如图,以边长为4的正△ABC的BC边为直径作⊙O与AB相交于点D,⊙O的切线DE交AC于E,EF⊥BC,点F是垂足,求EF的长.16、如图,PA是⊙O的切线,切点是A,过点A作AH⊥OP于点H,交⊙O于点B.求证:PB是⊙O的切线.17、如图,已知AB是⊙O的直径,AB=2,∠BAC=30°,点C在⊙O上,过点C与⊙O相切的直线交AB 的延长线于点D,求线段BD的长.1.弧长公式:n°的圆心角所对的弧长l公式不要死记硬背,可依比例关系很快地随手推得:2.扇形面积公式:(1)和含n°圆心角的扇形的面积公式同样不要死记硬背,可依比例关系很快地随手推得:.(2)将弧长公式代入扇形面积公式中,立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式:。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系有三种,具体如下:
1、相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;
2、相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,
3、相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
直线定义:直线是由无数个点构成,两端都没有端点、可以百向两端无限延伸、不可测量长度的一条线。
圆的定义:在一个平面内,围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
平面几何中的圆与直线的位置关系在平面几何中,圆与直线是两种常见的几何元素,它们之间的位置关系是几何学中的一个重要研究内容。
本文将讨论圆与直线在平面上的不同位置关系,以及对应的性质和定理。
一、圆与直线的位置关系之相离当一个直线与一个圆没有任何交点时,我们称这两者为相离的关系。
具体而言,相离有以下三种情况:1. 直线在圆的外部:当直线的位置离开圆,且没有与圆相交时,我们说直线在圆的外部。
在这种情况下,直线与圆之间的最短距离等于两者的半径之差。
2. 直线与圆相切:当直线恰好与圆相切于一点时,我们称这两者为相切的关系。
在这种情况下,直线与圆的切点即为其唯一的交点。
此时,直线与圆的切点到圆心的距离等于圆的半径。
3. 圆在直线的外部:当圆完全在直线的一侧,且没有与直线相交时,我们说圆在直线的外部。
此时,直线与圆之间的最短距离等于两者的半径之和。
二、圆与直线的位置关系之相交当一个直线与一个圆相交于两个不同的交点时,我们称这两者为相交的关系。
具体而言,相交有以下两种情况:1. 直线通过圆:当一条直线正好经过圆心时,这条直线被称为直线通过圆。
在这种情况下,直线与圆有无数个交点,且直线与圆的切点到圆心的距离等于圆的半径。
2. 直线与圆相交于两点:当直线与圆相交于两个不同的交点时,我们称这两者为相交于两点的关系。
在这种情况下,直线与圆的交点满足以下性质:- 直线与圆的交点到圆心的距离等于圆的半径。
- 直线与圆的交点所在的弦垂直于直线,并且两者的交点处于弦的中垂线上。
三、圆与直线的位置关系之相切当一个直线与一个圆仅在一点处相切时,我们称这两者为相切的关系。
相切有以下两种情况:1. 直线外切圆:当直线与圆只在圆的外切点相切时,我们说直线外切圆。
在这种情况下,直线与圆的切点到圆心的距离等于圆的半径。
2. 直线内切圆:当直线与圆在圆的内切点相切时,我们说直线内切圆。
在这种情况下,直线与圆的切点到圆心的距离等于圆的半径。
四、圆与直线的位置关系之包含当一个圆完全包含在直线的内部时,我们称圆被直线包含。
直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形,它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。
在这篇文章中,我们将总结直线与圆的常见位置关系,并讨论它们的性质。
一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时,我们可以得出以下几种情况:- 直线与圆相交于两点:直线穿过圆的中心,此时直径是直线的特例。
- 直线与圆相交于一个点:直线与圆相切,切点称为切点。
- 直线位于圆的内部,没有交点。
- 直线位于圆的外部,也没有交点。
2. 直线与圆的位置关系特例- 切线:直线与圆相切的情况,称为切线。
与圆相切的直线垂直于半径,切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。
- 弦:直线穿过圆,但不过圆心的情况,称为弦。
通过圆心的弦称为直径,且直径是弦中最长的一条线段。
二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一:若一条直线与圆相切于切点A,则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。
定理二:若从圆外一点作直线与圆相切于切点A,则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。
2. 弦长定理定理三:若两条弦相交于切点A,则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。
3. 直径定理定理四:直径是穿过圆心的弦,正好是弦分割的两条弧的半径之和。
4. 割线定理定理五:若两条割线相交于切点A,则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。
三、直线与圆的应用1. 问题一:判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时,可以利用以下方法:- 使用坐标系和方程:设定坐标系,写出直线和圆的方程并求解交点。
- 使用定理:利用判断圆内点的方法,或使用切线定理判断直线与圆是否相切。
2. 问题二:求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时,我们可以利用以下方法求解交点坐标:- 使用坐标系和方程:设定坐标系,写出直线和圆的方程,联立方程并求解交点坐标。
3. 问题三:判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时,可以利用以下方法:- 使用切线定理:若两条直线与圆相切于同一切点,则可判断它们为切线或相交于切点。
判断直线与圆的位置关系方法一、点到直线的距离公式:设直线的方程为Ax+By+C=0,圆的圆心坐标为(h,k),半径为r,点的坐标为(x1,y1)。
点到直线的距离公式为:d=,A*x1+B*y1+C,/√(A^2+B^2)。
1.当d>r时,直线与圆无交点,直线与圆相离。
2.当d=r时,直线与圆只有一个交点,该交点即为点到直线的垂线与圆的交点。
3.当d<r时,直线与圆有两个交点,求解交点的方法可以利用点到直线的垂线方程。
二、点到圆的距离公式:设直线的方程为Ax+By+C=0,圆的圆心坐标为(h,k),半径为r,点的坐标为(x1,y1)。
点到圆的距离公式为:d=√((x1-h)^2+(y1-k)^2)。
1.当d>r时,直线与圆无交点,直线与圆相离。
2.当d=r时,直线与圆只有一个交点,该交点即为点到圆的垂线与圆的交点。
3.当d<r时,直线与圆有两个交点,求解交点的方法可以利用点到直线的垂线方程。
三、直线与圆的交点公式:设直线的方程为Ax+By+C=0,圆的圆心坐标为(h,k),半径为r,直线与圆的交点分别为(x1,y1)和(x2,y2)。
则交点的坐标有以下两种求解方法:1.代入方程法:将直线的方程代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程。
解这个方程可以得到x1和x2的值,将其代入直线的方程即可得到相应的y值。
最终求出交点的坐标。
2.垂线法:设直线的方程为y = kx + b,对其求出斜率 k 并确定直线的垂线的斜率为 -1/k。
将直线的方程代入圆的方程得到一个关于 x 的一元二次方程,解这个方程可以得到 x1 和 x2 的值,将其代入直线的方程即可得到相应的 y 值。
最终求出交点的坐标。
以上是判断直线与圆的常用方法,可以根据具体问题选择合适的方法来解决。
同时也需要注意解析几何中的一些特殊情况,如直线与圆相切、相交、相离等情况,对于这些情况需要综合考虑以上的公式和几何特性来判断两者的位置关系。
圆和直线的位置关系知识点圆和直线的位置关系是数学中非常重要的知识点,它们广泛应用于各种领域,如图形设计、建筑、物理和工程学等。
本文将探讨圆和直线之间的位置关系,包括相交、相切和不相交等情况。
一、圆和直线的相交从几何的角度来看,如果一条直线与圆相交,则该直线经过圆的两个点。
这两个点被称为圆与直线的交点。
如图1所示,直线AB与圆O相交于点C和点D。
图1 圆与直线相交我们可以得出如下结论:1. 如果直线的斜率等于圆心到直线的垂线的斜率,则圆与直线相切。
2. 如果直线的斜率大于或小于圆心到直线的垂线的斜率,则圆与直线相交。
二、圆和直线的相切当直线与圆只有一个公共点时,我们称圆和直线相切。
在图2中,直线和圆相切于点E。
图2 圆与直线相切这里我们介绍一个重要的结论:相切的直线是圆的切线。
圆的切线定义为与圆相切的直线。
如图3所示,圆O的切线为直线PO。
图3 圆的切线三、圆和直线不相交如果直线经过圆的中心,但不与圆相交,那么该直线被称为圆的直径。
圆的直径是圆的最长距离,它被定义为通过圆心且两端点在圆上的直线。
如图4所示,直线MN为圆O的直径。
图4 圆的直径另外,如果一条直线不经过圆的中心,并且距离圆心的距离等于圆的半径,则该直线被称为圆的割线。
如图5所示,直线EF是圆O的割线。
图5 圆的割线四、结论在本文中,我们介绍了圆和直线之间的三种位置关系:相交、相切和不相交。
我们还提到了相切的直线是圆的切线,圆的直径是圆的最长距离,圆的割线距离圆心的距离等于圆的半径。
这些知识点在数学中非常重要,对于理解圆形和直线在几何学、物理学和工程学中的应用有着重要的作用。
直线与圆的位置关系知识点总结直线与圆的位置关系是几何学中一个重要的概念,涉及到直线和圆的交点、相切等不同情况。
本文将对直线与圆的位置关系进行总结,包括直线与圆的相交、相切以及不相交三种情况。
一、直线与圆的相交关系1. 直线与圆相交于两个交点:当直线与圆的位置关系是相交时,直线将穿过圆的两个交点。
这种情况通常出现在直线与圆的直径、弦或切线相交的情况下。
2. 直线与圆相交于一个交点:当直线与圆的位置关系是相切时,直线与圆仅有一个交点。
这种情况通常出现在直线是圆的切线的情况下。
二、直线与圆的相切关系1. 切线:当直线与圆的位置关系是相切时,直线与圆仅有一个交点,并且直线与圆的切点处的切线垂直于半径。
切线是圆上某一点的切线,它与半径的长度相等。
2. 外切线:当一条直线与圆的位置关系为外切时,直线与圆仅有一个交点,并且切点处的切线垂直于半径。
外切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。
3. 内切线:当一条直线与圆的位置关系为内切时,直线与圆仅有一个交点,并且切点处的切线垂直于半径。
内切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。
三、直线与圆的不相交关系当直线与圆的位置关系不相交时,即直线与圆没有交点。
总结:直线与圆的位置关系可以分为相交、相切以及不相交三种情况。
在相交的情况下,直线与圆相交于两个交点或一个交点。
在相切的情况下,直线与圆仅有一个交点,并且切点处的切线垂直于半径。
而不相交的情况下,直线与圆没有交点。
以上是对直线与圆的位置关系知识点的总结。
了解并掌握这些知识点对于解决相关几何问题非常重要。
希望本文能够帮助您更好地理解和应用直线与圆的位置关系。