ch4-复变函数级数

第四章 复变函数的级数 【教材第二章】无穷级数, 简称级数, 是一个重要的数学工具，在数学物理中有广泛的应用。

无穷级数分为"数项级数"和"函数项级数"两种基本类型。

如果一个 无穷级数的每一项都是一个数，就称作数项级数。

如果每一项都是一个函数，如1nn x ∞=∑，就称作函数项级数。

在本章我们主要学习复变函数项级数的性质。

在学习复变函数项级数之前，先简要复习一下有关复数项级数的一些基本概念和基本性质。

§ 2-1 复数项级数的一些基本性质1. 无穷级数： 将无穷多个数12,,....,....n u u u 相加，写成12.........n u u u ++++的形式， 就称为无穷级数，记为1kk u∞=∑。

2. 无穷级数的收敛性问题： 无穷级数仅仅是一种形式上的相加, 这种加 法是不是具有“和数”呢？ 这个“和数”的确切意义是什么呢？3. 收敛的无穷级数：定义无穷级数1k k u ∞=∑的前N 项的和1NN k k S u ==∑。

如果当N →∞时N S 趋向于一个固定的极限值S ， 就称该无穷级数收敛，该极限值S 就是该无穷级数的“和”：11lim lim ]N k N k N N k k S u S u ∞→∞→∞==⎡⎤===⎢⎥⎣⎦∑∑ 4. 发散的无穷级数：若当N →∞时N S 的极限不存在，称无穷级数1k k u ∞=∑发散。

5. 复数项级数的收敛性问题： 如果无穷级数1k k z ∞=∑中的每一项均为复数，该级数就称为复数项级数。

将复数项级数中的复数项k z 表示为k k k z u iv =+,其中,k k u v 分别为k f 的实部和虚部，则: 111k k k k k k z u i v ∞∞∞====+∑∑∑,复数项级数1k k z ∞=∑的收敛问题就归结为两个实数项级数1k k u ∞=∑与1k k v ∞=∑的收敛问题。

第四章 复变函数级数（42）一、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列{}n z ,若存在复数z ,对于任意的0>ε,总有数N >0,使数列序数N n >时总有ε<-z z n ,则称复数z 为数列{}n z 的极限,或者说数列{}n z 收敛于z ,记作：lim n n z z →∞= 由于n n niv u z +=, iv u z +=, 当lim n n z z →∞=式成立时, 等价于 lim ,n n u u →∞= lim n n v v →∞=1nn z∞=∑收敛的充要条件是1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛。

2．复数级数（定义）：设有复数项级数+++=∑∞=k k nz z z z211若其前n项和n n z z z S ++=21构成的数列{}n S 收敛,则称级数1n k z ∞=∑收敛,而数列{}n S 的极限S 叫做级数1n k z ∞=∑的和.否则称级数1n k z ∞=∑发散。

由于∑∑==+=nk k n k k n v i u S 11，所以 11lim lim lim n k n k n n n k n k u u S S u iv v v→∞=→∞→∞=⎧=⎪⎪==+⇔⎨⎪=⎪⎩∑∑ ；绝对收敛：若一个级数的模级数∑∞=1k kz收敛,则称级数∑∞=1k k z 是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。

3．设复变函数)(z f k ( ,2,1,0=k )区域G 内都有定义, 则定义复变函数项级数：∑∞=++++=010)()()()(k k kz f z f z f z f，其中前n 项和：∑==nk kn z fS 0)(。

若对于G 内某点0z ,极限lim n n s S →∞=存在,则称复变函数项级数在点0z 收敛,s 叫做级数的和.若级数在区域G 内处处收敛,其和必是一个复函数:∑∞==)()(k kz fz s .则()s z )称为级数0()k k f z ∞=∑的和函数。

§4.2 复变函数项级数教学目的：1．理解复变函数项级数收敛的概念，掌握其收敛的常用判别法，以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质． 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3．掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性，能灵活正确求出所给级数的收敛半径；能用1(1)1n n z z z ∞==<-∑将简单函数表示为级数．教学重点：掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法；能用间接法和01(1)1n n z z z ∞==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点：正确利用1(1)1n n z z z ∞==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：§4.2.1 复变函数项级数设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,（书上为其中各项在区域D 内有定义,）则式子: 12()()()n f z f z f z ++++称为E 上的复函数项级数,记为1()nn fz ∞=∑.【定义】※设1()nn fz ∞=∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()()n n S z S z →∞=存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数1()nn fz ∞=∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称1()nn fz ∞=∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1()n n f z ∞=∑在E 上的和函数.记为1()()nn S z fz ∞==∑或者()lim ()n n S z S z →∞=, {}()n S z 称为1()nn fz ∞=∑的部分和函数列.§4.2.2 幂级数1．【幂级数的定义】通常把形如：20010200()()()nnn C z z C C z z C z z ∞=-=+-+-∑0()n n C z z ++-+的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,n C ,.和0z 都是复常数, 分别称为幂级数()nnn C z z ∞=-∑的系数与中心点.若00z =, 则幂级数0()n nn C z z ∞=-∑可简化为nnn cz ∞=∑(标准幂级显然, 通过作变换0z z ζ=-, 幂级数的上述两种形式可相互转化. 2. 阿贝尔（Abel ）定理 对于幂级数()nnn C z z ∞=-∑, 显然当0z z =时,它是收敛的.下面,考虑当0z z ≠时, 它的敛散性. 【定理4.5】 (阿贝尔定理) 若()nnn C z z ∞=-∑在某点10z z ≠收敛,则它必在圆域010:K z z z z -<-内绝对收敛. 【推论】 若()nnn C z z ∞=-∑在某点20z z ≠发散, 则它必在圆周020:C z z z z -=-的外部发散.分析: 此定理的证明与高数中的阿贝尔第一定理的证明方法类似. 关于(1)可用正项级数的比较法则证明; 关于(2)可利用反证法以及 (1)的结论证明.(如图4.7)证明 (1)设z 是圆域010:K z z z z -<-内的任意一点, 由题设100()n nn C zz ∞=-∑收敛知它的各项必有界, 即存在正数M , 使得10()n n C z z M -≤于是 000101010()()()nn n nn n z z z z C z z C z z M z z z z ---=-≤--. 由010z z z z -<-知, 0101z z z z -<- ，所以 0010nn z z M z z ∞=--∑收敛, 从而100()n nn C zz ∞=-∑在圆域1:K z a z a -<-内绝对收敛.(2) (反证法) 假设存在3z (3020z z z z ->-), 使得300()nnn C zz ∞=-∑收敛, 由(1)知00()n n n C z z ∞=-∑必在20z z ≠收敛, 这与题设它在20z z ≠发散矛盾, 故()nnn C z z ∞=-∑在圆周2:C z a z a -=-的外部发散.根据定理1, 我们可把幂级数()nnn C z z ∞=-∑分成三类：Ⅰ. 对任意0z z ≠, 幂级数()nnn C z z ∞=-∑都发散(例如:11nn n nz ∞=+∑,由0z ≠,lim 0n n n n z →∞≠,它总是发散的)；Ⅱ. 对任意0z z ≠, 幂级数()nnn C z z ∞=-∑都收敛(例如:11n n n z n ∞=+∑:11111lim lim11(1)n n n nn C e R C n n-+→∞→∞==⋅=++收敛)； Ⅲ. 既存在0z z ≠使得()nnn C z z ∞=-∑收敛, 也存在0z z ≠使得()nnn C z z ∞=-∑发散. 对Ⅲ ，可以证明存在正数R使得()nnn C z z ∞=-∑在圆周0z z R -=内部绝对收敛, 而在它的外部发散, 此时我们把这个正数R 称为()nnn C z z ∞=-∑的收敛半径,而圆域0z z R -<和圆周0z z R -=分别称为()nnn C z z ∞=-∑的收敛圆域和收敛圆周. 另外,我们还规定: 对于Ⅰ, 0R =, 此时的收敛圆缩为一点0z ； 对于Ⅱ, R =+∞, 此时的收敛圆扩充成了整个复平面.显然, 由收敛半径的定义及规定： 任何幂级数的收敛半径都是存在的.3．幂级数的收敛半径半径来确定. 下面, 我们给出收敛半径的计算公式. 【定理】(收敛半径的计算公式)若幂级数()nnn C z z ∞=-∑的系数nC 满足1limn n nC C λ+→∞=(比值法) 或n λ=（根值法）则它的收敛半径 10;;0.R λλλλ⎧<<+∞⎪⎪==+∞⎨⎪+∞=⎪⎩.证明 证明分三步：先证系数满足1limn n nC C λ+→∞=时,公式成立. 因 11000()lim ()n n n n n C z z z z C z z λ++→∞-=⋅--. 当0λ=时, 对任意z ,01z a λ⋅-=<.由正项级数的达朗贝尔判别法,()nnn C z z ∞=-∑绝对收敛, 所以它的收敛半径R =+∞.当λ=+∞时, 对任意0z z ≠,01z z λ⋅-=+∞>. 由正项级数的达朗贝尔判别法,()nnn C z z ∞=-∑发散, 所以它的收敛半径0R =.当0λ<<+∞时, 对任意满足01z z λ-<的z ,01z z λ⋅-<. 由正项级数的达朗贝尔判别法, 此时()nnn C z z ∞=-∑绝对收敛, 而对任意满足01z z λ->的z ,01z z λ⋅->.由正项级数的达朗贝尔判别法, 此时()nnn C z z ∞=-∑发散,所以它的收敛半径1R λ=.最后证系数满足n λ=时,公式成立.例1 求幂级数201nn n zz z z ∞==+++++∑的收敛范围与和函数.解 级数的部分和为 1()(1)1nn z S z z z-=≠- 当1z <时,因为 lim 0nn z →∞=, 1lim ()(1)1n n S z z z→∞=≠-, 此时幂级数收敛,且和函数为 1()1S z z=-. 当1z ≥时,因为 lim 0nn z →∞≠, 此时幂级数发散.故由阿贝尔定理知 级数的收敛半径为1R =,且在1z <内nn z∞=∑收敛且绝对收敛；且有20111nn n zz z z z∞==+++++=-∑.（1）0nn z ∞=∑，（2）1n n z n ∞=∑，（3）21nn z n ∞=∑解： 对于这三个级数，都有 1lim11n n nc R c +→∞=⇒=， 0nn z∞=∑在1z =上由于lim 0nn z →∞≠，故在1z =上级数处处发散.1nn z n∞=∑在1z =上的1z =-处收敛，在1z =处发散. 21nn z n ∞=∑因为在1z =上处处绝对收敛，所以级数处处收敛. 例3 求幂级数0(1)n n z n ∞=-∑的收敛半径：解： 记1n c n =, 因为1lim lim11n n n nc n c n +→∞→∞==+, 所以收敛半径1R =, 此时它的收敛圆为11z -=.当0z =时，级数0(1)nn n ∞=-∑为收敛的交错级数当2z =时，级数1n n ∞=∑为调和级数，发散，即级数在收敛圆上的情况较复杂.例4：求下列幂级数的收敛半径解 (1)1!nn n z∞=⋅∑：1(1)!limlim lim(1)!n n n n n c n n c n λ+→∞→∞→∞+===+=∞，1!nn n z∞=⋅∑收敛半径为0R =.(2) 0(1)!nn z n ∞=-∑：记 1!n c n =, 因为11lim lim 01n n n nc c n +→∞→∞==+,所以0(1)!nn z n ∞=-∑收敛半径R =+∞,此时它的收敛圆为1z -<+∞, 即整个复平面. 级数在收敛园周上处处收敛，且绝对收敛. (3) 记 12n n c =,因为12n n ==, 所以12nn n z ∞=∑收敛半径2R =,此时它的收敛圆为2z <,收敛圆周为2z =.（4）21(1)n n z n ∞+∑：因为1lim(1)nn n e nλ→∞==+=，所以211(1)n n n z n ∞=+∑收敛半径为1R e =. (5)1(1)nn n i z ∞=+∑：因为n n λ===所以1(1)n n n i z ∞=+∑收敛半径为R =. （6）1in nn ez π∞=∑：因为1n n λ===，所以1in nn ez π∞=∑收敛半径为1R =.§4.2.3 幂级数和的几个性质 1. 加减性：设有两个同类幂级数()nnn az a ∞=-∑和0()n n n b z a ∞=-∑,其收敛半径分别为1R 和2R ,记12min{,}R R R =, 则在z a R -<内,()()()()nnnn n n nn n n az a b z a a b z a ∞∞∞===-±-=±-∑∑∑.2. 乘积性：设有两个同类幂级数()nnn az a ∞=-∑和0()n n n b z a ∞=-∑,其收敛半径分别为1R 和2R ,记12min{,}R R R =, 则在z a R -<内,()()nnnnn n a z a b z a ∞∞==-⋅-∑∑01100()()nn n nn ab a b a b z a ∞-==+++-∑. 例4 设有幂级数n n z ∞=∑与01(01)1n nn z a a∞=<<+∑, 求 级数01n nnn a z a ∞=+∑的收敛半径. 提示：易验证幂级数n n z ∞=∑与01(01)1nnn z a a ∞=<<+∑的收敛半径均为 1.但级数01n nnn a z a ∞=+∑的收敛半径为 1111lim lim 1(1)n n n n n nC a R C a a a ++→∞→∞+===>+.(注意三个级数的关系)3. 连续性： 【定理】※设幂级数()n nn az a ∞=-∑的收敛半径为0R >, 其和函数为()f z , 则()f z 在其收敛圆:K z a R -<内也连续.4. 逐项积分性 【定理4 】※设幂级数()nnn az a ∞=-∑的收敛半径为0R >, 其和函 数为()f z , C 为其收敛圆:K z a R -<内任一条以a 为起点z 为 终点的简单曲线, 则()()()z zn n Caan f d f d a a d ζζζζζζ∞===-∑⎰⎰⎰10()1n nn a z a n ∞+==-+∑.幂级数逐项积分所得的级数仍为幂级数, 且它们的收敛半径相 同(从而收敛圆也相同) 在收敛圆内幂级数可以逐项积分任意次. 5 .和函数的解析性与逐项微分性 【定理5】※设幂级数()n nn cz a ∞=-∑的收敛半径为0R >, 其和函数为()f z , 则(1)()f z 在其收敛圆:K z a R -<内解析；(2) ()f z 在其收敛圆:K z a R -<内可逐项求导至任意阶, 即()1()!(1)2()p p p f z p c p pc z a +=++-+(1)(1)()n p n n n n p c z a -+--+-+(1p =, 2,).(3) ()()!p p fa c p =, (0p =, 1, 2, )结论:复合运算:如果当z r <时,0()nn n f z a z∞==∑,又设在z R <内,()g z 解析且满足()g z r <,那么当z R <时,[()][()]n n n f g z a g z ∞==∑.此代换运算在函数展开为幂级数时有着广泛的应用. 例 6 把函数表示成形如(2)nnn C z ∞=-∑的幂级数.解1(1)1n n z z z ∞==<-∑知当时，有212221222212nz z z z ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭--，故.练习：1.求下列幂级数的收敛半径, 并指出各自的收敛圆和收敛圆周.(1) ; (2); (3);(4).解 (1) 记, 因为, 所以收敛半径, 此时它的收敛圆为, 收敛圆周为.(2) 记2n n nc =, 因为1111lim lim 22n n n nc n c n +→∞→∞+=⋅=,2R =, 此时它的收敛圆为22z -<, 收敛圆周为22z -=.(3) 记nn c n =, 因为lim lim n n n n c n →∞==+∞, 0R =,此时它的收敛圆为空集, 收敛圆周为空集. (4) 记 0,212,2n n k c k n k=-⎧=⎨=⎩, 因为20,212,2nn kn k c k n k=-⎧⎪=⎨=⎪⎩,从而1n n n c =, 所以收敛半径, 此时它的收敛圆为11z -<, 收敛圆周为11z -=.2.若1limn n nc c +→∞存在(≠∞), 证明下列幂级数有相同的收敛半径:(1)()nn n c z a ∞=-∑(原级数); (2)10()1n nn c z a n ∞+=-+∑(逐项积分所得的级数); (3)11()n nn ncz a ∞-=-∑(逐项求导所得的级数).证明 记 1limn n n c l c +→∞=, 则1lim n n ncl c +→∞=.由于 11122lim limlim 11n n n n n n nn nc c c n n l c n c c n +++→∞→∞→∞++=⋅==++, 111(1)1limlim lim n n n n n n n n nn c c c n l nc n c c +++→∞→∞→∞++=⋅==. 由收敛半径的计算公式得, 上述三个幂级数有相同的收敛半径.练习：求下列幂级数的收敛半径（1）1lim11n n nc R c +→∞=⇒=，收敛圆周为11z -=.级数0n n z ∞=∑在收 敛园周上处处发散.（2）1lim11n n nc R c +→∞=⇒=，收敛圆周为11z -=.级数1nn z n ∞=∑在 收敛园周上的1z =-处收敛，在1z =处发散. （35）因为lim n n λ→∞===+∞，所以1n n n n z ∞=∑收敛半径为0R =，所以级数仅在原点收敛. （4）因为1n n λ===，所以1n n nz ∞=∑收敛半径为1R =.（5）1(1)!lim lim lim(1)!n n n n nc n n c n λ+→∞→∞→∞+===+=∞，1!n n n z ∞=⋅∑收敛半径为0R =.结论：复数列极限四则运算法则: 若lim n n p a →∞=, lim n n q b →∞= , 则lim()n n n p q a b →∞±=±；lim n n n p q a b →∞⋅=⋅；limn n np aq b →∞= (其中0b ≠).收敛的复数列的有界性: 若复数列{}n z 收敛, 则存在正常数M , 使得 对任意n ,n z M ≤.复数列极限的惟一性: 若复数列{}n z 收敛, 则其极限必惟一, 即 若 lim n n z a →∞=, lim n n z b →∞=, 则 a b =.2.任何有界的复数列一定有一个收敛的子数列(致密性定理).小结：1.幂级数求收敛半径时，常用方法：通项比值法或根值法； 需注意的是：比值的顺序是有要求的，根值法要开n 次方.即11lim,,n n n n C R C λλλ+→∞===.2．幂级数的性质对幂级数的相关运算及证明很重要，要注意性质成立的条件.易犯错误：利用比值法求收敛半径时，比值的顺序写颠倒，或忘了加绝对值.利用根值法求收敛半径时,将根指数写为2.。

第四章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类本章讨论解析函数的级数性质，先介绍复变函数级数的基本概念特别是幂级数的有关概念；然后讨论解析函数展开为泰勒级数和洛朗级数的问题；最后讨论单值函数孤立奇点的分类这也是为第五章讨论定积分的计算作准备。

§4.1 复变函数级数和解析函数级数复变函数级数的基本概念有很多地方与实变函数级数相同，这里仅作扼要的介绍，其中有关定理将不予证明。

一个复变函数级数∑∞==++++121)()()()(k k k z u z u z u z u （4.1）如果它的部分和∑∞==1)()(k k n z u z S （4.2）的极限)(lim z S n n ∞→在一点z 存在，则称级数（3.1）在z 点收敛，而这个极限为级数在z 点的和；否则称级数在z 点发散。

由于)(Im )(Re )(z u i z u z u k k k += ),2,1( =k ，所以级数（3.1）的收敛和发散问题就归结为两个实变函数级数∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 的收敛和发散问题；在一点z ，若∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 都收敛，则级数（3.1）在此点收敛；若∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 至少有一个发散，则级数（4.1）在此点发散。

级数（4.1）收敛的必要条件是 0)(lim =∞→z u n n （4.3） （4.1）式收敛的充要条件是：任意给定一个小的数ε＞0，总存在充分大的正整数N ，使当n>N 时,对于任何自然数p ，恒有 1|()()||()|pn p n n k k S z S z u z ε++=-=<∑ （4.4）这称为柯西收敛判据。

如果级数 1|()|k k u z ∞=∑ （4.5）在z 点收敛，则称级数（4.1）在此点绝对收敛。

复变函数的级数展开和解析延拓复变函数是数学中的一个重要概念，它在实数域上的连续性和可微性不能直接应用于复数域。

复数函数的级数展开和解析延拓是研究复变函数性质的重要方法。

本文将介绍复变函数级数展开和解析延拓的基本概念、方法和应用。

一、级数展开的基本概念复变函数的级数展开是指通过无限项的级数来表示一个复变函数。

常用的级数展开方法有泰勒级数和洛朗级数。

1. 泰勒级数展开泰勒级数展开是将一个复变函数在某点z₀处展开成幂级数的形式，表示为：f(z) = ∑[n=0,∞] [f^(n)(z₀)/n!] × (z-z₀)^n其中，f(z)是复变函数，f^(n)(z₀)表示函数f(z)在点z₀处的n阶导数。

2. 洛朗级数展开洛朗级数展开是将一个复变函数在其奇点z₀的一个环域内展开成幂级数和幂函数的形式，表示为：f(z) = ∑[n=0,∞] a_n × (z-z₀)^n + ∑[n=1,∞] b_n × (z-z₀)^(-n)其中，a_n和b_n为展开系数，可通过计算获得。

二、解析延拓的基本概念解析延拓是指将一个复变函数在定义域外继续解析成一个更大的域内的函数。

解析延拓的基本方法是通过级数展开和幂函数来延拓函数定义。

1. 极限解析延拓对于某个定义在开集D上的函数f(z)，若存在开集G，使得开集D 包含在G中，且在开集G上存在一个函数F(z)，满足：F(z) = f(z)，z∈D则称F(z)是f(z)的解析延拓。

在实际操作中，可以通过级数展开或利用幂函数的性质来进行解析延拓。

2. 常用的解析延拓方法（1）洛朗展开法：根据洛朗级数展开的形式，将函数在解析延拓域内进行展开，得到解析延拓函数。

（2）泛函方程法：通过泛函方程求解得到解析延拓函数。

（3）全纯延拓法：将局部解析延拓到整个域内。

（4）反复延拓法：在已知的定义域上反复延拓，直到无法再延拓为止。

三、级数展开和解析延拓的应用级数展开和解析延拓在数学和物理学等领域具有广泛应用。

复变函数论数学
复变函数论是数学的一个分支，研究复变函数的性质和变换。

复变函数是指定义在复平面上的函数，取值为复数。

它比实变函数更加复杂，有许多独特的性质和应用。

复变函数论主要包括以下内容：
1. 复数及其性质：复数是由实部和虚部组成的数，与实数的性质有所不同，例如有无穷多个复数的平方是-1。

复数还有其他重要性质，如乘法和除法的公式等。

2. 复变函数的导数和积分：与实变函数一样，复变函数也有导数和积分的概念。

但是，与实变函数不同的是，导数和积分具有更多的性质和奇异性。

3. 复变函数的级数表示：复变函数可以用级数表示，这种表示方法称为洛朗级数。

洛朗级数是一种特殊的幂级数，包含着函数的所有信息。

4. 解析函数和亚纯函数：解析函数是指在某个开区域内有导数的复变函数。

它具有许多重要的性质，如极值定理和最大-最小原理等。

亚纯函数是指在一定范围内可导，但是可能在某些点上存在奇异性的函数。

5. 积分定理和残量定理：积分定理和残量定理是复变函数论中最重要的定理之一。

它们可以通过对复变函数积分来计算它的值。

积分定理与Cauchy积分定理和Cauchy-Goursat定理等有关。

残量定理是通过计算奇点处的残量来求解积分。

复变函数论在物理学、工程学等领域有广泛的应用，例如电动力学、热力学和信号处理等。