§1.3.1极坐标系
教学目标:
一、知识与技能：
知道在极坐标系中刻画点的位置的方法；
二、方法与过程
借助生活中的实例引入极坐标的概念；比较点在极坐标系和平面直角坐标系中的坐标关系
三、情感、态度与价值观
体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；
教学重点:极坐标（ρ，θ）与平面上的点的关系
教学难点：极坐标（ρ，θ）与平面上的点的关系；
教学过程
一、新课引入：
直角坐标系是最常用的坐标系，但它不是用数来刻画点的位置的唯一方法，用哪种方法最方便，要对具体问题作具体分析。
如力所示，缉私观测站位于点O处，看到们于点A处的走私船正在逃跑，现停泊于点O处的缉私船追击走私船，随时需要观测站提供走私船所在的位置P。对船舶来说，最方便的数据不是走私船所在点的直角坐标（x，y），而是它的方位角，即夹角θ。在航空和航海中的情况都是这样。
当用炮兵指挥仪指示射击目标时，输出的是目标方位，即方向和距离。在日常生活中，我们也经常用距离和角度指示位置。用距离和方向刻画点的位置，这是建立极坐标系的基本思路。
二、讲解新课：
在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。
对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。
当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角θ可取任何实数。
在极坐标系中，若无特殊声明，ρ是非负实数，[)+∞∈,0ρ，),(+∞-∞∈θ。 当[)πθρ2,0,0∈>时，平面上的点与极坐标一一对应。事实上，对给定的ρ与θ，由极坐标（ρ，θ）可以唯一地确定一个点M ，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。根据点的极坐标（ρ，θ）的定义，对于给定的点，它的极径ρ是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（ρ，θ），则（ρ，πθn 2+）也是这个点的
极坐标，其中n 是任意整数，当0>n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 逆时针转动了n 圈又回到原处，当0 πθn 2+表示从该点起绕极点O 顺时针转动了n 圈又回到原 处。 三、范例讲解 例1、在极坐标系中，画出点A （1， 4 π ），B （2，23π）C （3， 4π- ）D （4，4 9π ） 解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即 4 π 线，23π线，4π-线， 49π线，4 π 线和49π线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。 指出：我们也可以允许0<ρ，此时极坐标（ρ，θ）对应的点M 的位 置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ角的射线的反向延长线上，它到极为O 的距离|ρ|，即规定当0<ρ时，点M （ρ，θ）就是点M （πθρ+-,） 例2、如图在极坐标系中，写出点A ，B ，C ，的极坐标， 解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。如图点A 与极点O 的距离为了，且在极轴上，所以A 的极坐标为（1，0），同样可求得B ，C 的极坐标分别为（4， 2 π ），（5，34π） 指出：已知点的位置求极坐标时，如果没有特殊要求，只要求一个解就可以了，由于点的极坐标的多值性，在需要写出通式的时候，求出一个解（ρ，θ）后，再写出其通式（ρ，πθn 2+）或（πθρ)12(,++-n ） 例3、已知点Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标。 （1）M 是点Q 关于极点的对称点：（2）N 是点Q 关于直线2 π θ= 的对称点 解：（1）由于M 、Q 关于极点对称得它们的极径OQ=OM ，极角角相差π)12(+n ，所以点M 的极坐标为（ρ，πθ)12(++n ）或（πθρn 2,+-）（Z n ∈） （2）由于点Q 、N 关于直线2 π θ= 的对称，得它们的极径OQ=ON ，点N 的极角 满足πθπn 2+-所以点N 的极坐标为（ρ，πθπn 2+-） 或（θπρ--n 2,）（Z n ∈） 例4、已知两点的极坐标A （3， 2π），B （3，6 π ）， 求AB 两点间的距离；AB 与极轴正方向所成的角。 解法一：根据极坐标的定义，可得|OA|=|OB|=3，∠AOB=3 π ， 即△AOB 为等边三角形，所以|AB|=3，∠ACX=65π 法二：∵A 、B 两点的极坐标分别为（3，2π），（3，6 π ）， ∴|OA|=|OB|=3，∠AOC=2π，∠BOC=6π 了 ∴∠AOB=3 π， 在△AOB 中，由余弦定理可得 AOB OB OA OB OA AB ∠-+=cos ||||2||||||22 =3 cos 332332 2 π ⋅⋅⋅-+=3 即△AOB 为等边三角形，∠ACX=∠AOC+∠OAB= 6 5π 四、巩固练习： 1、已知两点的极坐标P （5， 45π），Q （1，4π），求线段PQ 的长度 2、已知点A 的极坐标（6，3 5π ）分别写出给定条件下点A 的极坐标 ①若πθπρ≤<->,0；则A ②若πθρ20,0<≤<，则A ③若02,0≤<-<θπρ，则A 五、小结，，则 1、要注意直角坐标与极坐标的区别，直角坐标系中平面上的点与有序数对（x ，y ）
