2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何第3课时学案 苏教版必修2

2019-2020年高中数学第1章立体几何初步6空间两条直线的位置关系（2）教学案（无答案）苏教版必修2目标要求1、理解异面直线的定义，异面直线所成角的定义、两条异面直线垂直的定义；2、理解异面直线判定的方法，并会求简单的异面直线所成角；3、体会空间问题化归为平面问题求解的策略.重点难点重点：异面直线的判定及异面直线所成角的定义；难点：异面直线所成角的定义和范围.典例剖析例1、（1）在空间四边形ABCD中，直线AB与CD位置关系是_______________.（2）下列命题中①已知ａ,ｂ,ｃ三条直线,其中ａ,ｂ异面,若ａ||ｃ,则ｂ与ｃ异面②若ａ与ｂ异面,ｂ与ｃ异面，则ａ与ｃ异面③分别在两个平面内的直线一定是异面直线④既不平行也不相交的两条直线是异面直线正确命题的序号是_____________.例2、如图,已知是异面直线,，求证：直线中至少有一条与直线相交.αabβ例3、如图,已知不共面的直线相交于O点,M,P是直线上两点,N,Q分别是上一点.求证:MN,PQ 是异面直线.例4、如图,已知是棱长为的正方体（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？（2）求异面直线与BC所成的角；（3）求异面直线和AC所成的角.1AabcNQPMO学习反思1、反证法的一般步骤是；2、求异面直线所成角的关键是____________，如何作出异面直线所成角？______________ 课堂练习1、给出下列命题（1）则a和b是异面直线（2）a与b异面,b与c异面,则a与c异面（3）a,b不同在一个平面内,则a与b异面（4）a,b不同在一个任何平面内,则a、b异面正确命题的序号是______________.2、设两条异面直线所成角为θ，则角θ的范围是 ______________.3、在棱长为a的正方体中,则与成角为____________.4、在两个相交的平面内各画一条直线，使它们成：（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线.江苏省泰兴中学高一数学作业(123)班级姓名得分1、一条直线和两条异面直线的一条平行，则它与另一条的位置关系是 ___________2、已知四棱柱,与棱AA1异面的棱有_______________.3、下列命题中，正确的命题序号是________________.①，直线，则所成的角为；②若直线，且所成的角为，则所成的角也为；③若直线与直线c所成的角相等，则；④若直线与直线c所成的角不相等，则不平行.4、若,直线,和OB异面,则和OB所成的角为_____________.5、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为ａ，那么（１）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线.（２）直线BA1与CC1所成角的大小为.（3）直线BA1与B1C所成角的大小.6、正方体中，E、F分别是棱AD、CC1的中点，则A1E与BF所成的角为 .7、分别和两条异面直线都相交的两直线的位置关系是 .8、是异面直线，A，B，C，D是四个不同的点，且求证：AB与CD是异面直线.9、如图，空间四边形ABCD中，F，G分别是边BC、DA的中点，空间四边形的两条对角线AC、BD的长均为2，(1)若FG=，求两条对角线AC、BD所成的角的大小.(2) 若FG=，求两条对角线AC、BD所成的角的余弦值.10、如图，在正方体中，，E、F分别是BC、CD的中点，求异面直线与EF所成角的大小.1 A。

圆柱、圆锥、圆台和球一、考点突破知识点课标要求题型说明棱柱、棱锥和棱台1. 直观了解棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

2. 能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构。

选择填空通过本节的学习，培养制作动手能力以及对现实生活中的物体进行抽象概括观察分析，比较类比的能力。

二、重难点提示重点：棱柱、棱锥、棱台及多面体的概念和画法。

难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括。

考点一：棱柱（1）棱柱的定义、表示及相关概念定义图形及表示相关概念由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体记作：棱柱ABCD－A′B′C′D′底面：平移起止位置的两个面；侧面：多边形的边平移所形成的面；侧棱：相邻侧面的公共边（2）棱柱的分类①按底面多边形的边数分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱……②按棱柱与底面的关系分类：斜棱柱、直棱柱。

其中底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

（3）棱柱的结构特征①底面：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行；②侧棱：侧棱互相平行且相等；③侧面：侧面都是平行四边形；④截面：与底面平行的截面是与底面全等的多边形；与侧棱平行的截面是平行四边形。

考点二：棱椎（1）棱锥的概念当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥。

这个底面叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。

（2）棱锥的相关概念及表示该四棱锥可记作S－ABCD（3）棱锥的分类按照底面多边形的边数分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……（4）棱锥的结构特征①底面：底面是多边形；②侧面：侧面都是三角形，且侧面有且仅有一个公共点。

考点三：棱台（1）棱台的概念用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台。

即棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分。

（2）棱台的相关概念及表示记作：棱台ABCD－A′B′C′D′或棱台A′C（3）棱台的分类：三棱台、四棱台、五棱台……（4）棱台的结构特征①底面：棱柱的上、下两个底面是平行的，并且这两个底面是相似多边形。

圆柱、圆锥、圆台和球二、重难点提示圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征。

考点一：圆柱、圆锥、圆台、球球将半圆面绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的几何体叫球记作：球O【要点诠释】①几何体与曲面的区别：几何体是“实心”的。

例如圆柱的表面是指圆柱的上下底面及侧面组成的曲面，它是“空心的”，不包括内部。

②在圆柱、圆锥、圆台的侧面上不沿着母线是画不出直线段的。

③球体与球面是不同的，球体是几何体，球面是曲线，但二者也有联系，球面是球体的表面。

（2）圆柱、圆锥、圆台和球的简单画法画圆柱、圆台一般先画一个底面，再画两条母线（过轴截面），最后画另一个底面，如图（1）、（3）；画圆锥可以先画母线（作为轴截面），再补上底面比较方便。

如图（2）；画球一般先画一个圆及其一条直径（虚线），然后再以直径为长轴作一个椭圆，如图（4）。

（1）（2）（3）（4）（3）圆柱、圆锥、圆台的性质①平行与底面的截面是圆；②过轴的截面（简称轴截面），分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③用平行于底面的平面去截圆锥，截面圆与底面圆半径之比等于所截的小圆锥的母线与原圆锥的母线之比。

（4）圆柱、圆锥、圆台、球的截面①平行于底面的截面A. 平行于圆柱底面的截面是与底面大小不同的圆面；B. 平行于圆锥底面的截面都是圆面；C. 平行于圆台底面的截面都是圆面。

② 轴截面A. 圆柱中，过轴的截面（轴截面）是全等的矩形；B. 圆锥中，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形；C. 圆台中，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形。

③ 球的截面A. 用一个平面去截球，截面是圆面。

其中，过球心的平面截得的叫大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫小圆。

B. 截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面。

考点二：旋转面、旋转体、组合体（1）旋转面与旋转体一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面。

封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体。

2019-2020年高中数学立体几何复习教学案苏教版必修2一．填空题：（5分×14=70分）1．两个平面可以将空间分成________部分．2．三条直线两两平行，则过其中任意两条直线最多可确定_______________个平面．3．在正方体各个表面的对角线中，与所成角为的直线有_______条．4．异面直线所成角的取值范围为________，斜线与平面所成角的取值范围为________，直线与平面所成角的取值范围为________________．5．用长、宽分别是与的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱底面的半径为________．6．一个边长为的正三角形，绕它的一条边旋转一周，所得几何体的体积是_______．7．一个正方体的内切圆柱与外接圆柱的表面积之比是_______．8．若，，，与所成的角为，则到的距离是_____．9．若两条直线，分别在两个平行平面内，则，的位置关系是____________．10．经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有_________________个．11．一平面截一球得到半径是的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是_________________．12．若两个平行平面的距离等于，夹在这两个平面间的线段长为，则与这两个平面所成角为________________．13．如图，在三棱锥中，，，两两垂直且，分别是棱的中点，则与所成角的大小是_________．14．如图，三角形是边长为的等腰三角形，则它直观图的面积为_____________．二．解答题：15．在正三棱锥中，求证：．（14分）13题14题17．如图，三棱锥中，已知，，，，且，求三棱锥的体积．（14分）ABC DES18．如图，三棱锥中，分别是，的中点，在上，在上，且有::2:3DF FC DH HA ==．试确定，，的位置关系．（16分）19．如图，在正方体中，为的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面．（16分）B CDGAHEF C A BD E.。

1.2.2 空间两条直线的位置关系1．空间两直线的位置关系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理B提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a 、b 分别在两个不同的平面内，但是因为a ∩b ＝O ，所以a 与b 不是异面直线．(2)异面直线所成的角①定义：a 与b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角．②异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°． ③当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ．1.思考辨析(1)如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .( )(2)如果a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线．( ) (3)如果a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 也相交． ( ) (4)如果a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 也共面． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知棱长为a 的正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．平行 [如图所示，MN 12AC ， 又∵AC A ′C ′，∴MN12A ′C ′.] 3．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于__________．30°或150° [∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR ＝30°或150°.]4．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b 的位置关系是________． 相交或异面 [a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，因而c 不平行于b ，若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不平行于b .]①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．(2)a，b，c是空间中三条直线，下列给出几个说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②a∥b是指直线a，b在同一平面内且没有公共点；③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．其中正确的有__________．(填序号)思路探究：根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断．(1)②(2)①②[(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．(2)由公理4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l，aα，bβ，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．]空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．1．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．①平行②异面③相交④异面[直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以③应该填“相交”．]1．如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，若E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点．那么四边形EFGH 是什么四边形？为什么？[提示] 平行四边形．因为在△PAB 中， ∵E ，F 分别是PA ，PB 的中点， ∴EF 12AB ， 同理GH12DC . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD ，∴EFGH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．2．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？ [提示] 这两条直线所成的锐角(或直角)相等．【例2】 如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.思路探究：解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1，然后根据等角定理，得出结论．[证明] 如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M ，连结BM ，MF 1， 则BF ＝A 1M ＝12AB .又BF ∥A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形， ∴A 1F ∥BM .而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M C1B1.而C1B1BC，∴F1M∥BC，且F1M＝BC.∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理取A1D1的中点N，连结DN，E1N，则A1N DE，∴四边形A1NDE为平行四边形，∴A1E∥DN.又E1N∥CD，且E1N＝CD，∴四边形E1NDC为平行四边形，∴DN∥CE1，∴A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行．即A1E∥CE1，A1F∥CF1，∴∠EA1F＝∠E1CF1.运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．2．如图，已知棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.[证明](1)在△ADC中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ADC的中位线．∴MN 12 AC.由正方体性质知，AC A1C1，∴MN 12A1C1，即MN≠A1C1.∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.11111111异面直线DB 1与EF 所成角的大小．思路探究：先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解．[解] 法一：如图(1)，连结A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连结OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，(1)∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点． ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法二：如图(2)，连结A 1D ，取A 1D 的中点H ，连结HE ，HF ，则HE ∥DB 1，且HE ＝12DB 1.(2)于是∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角或补角． 设AA 1＝1.则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连结IF ，IH ，则HI ⊥IF ，∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°，∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结DQ ，B 1Q ，则B 1Q ∥EF .(3)于是∠DB 1Q 为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角．设AA 1＝1，则DQ ＝22＋1＝5，B 1D ＝12＋12＋12＝3，B 1Q ＝12＋12＝2，所以B 1D 2＋B 1Q 2＝DQ 2，从而异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．3.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 如图所示，取BD 的中点G ，连结EG ，FG .∵E ，F ，G 分别为BC ，AD ，BD 的中点，AB ＝CD ， ∴EG12CD ，GF 12AB . ∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角． ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ， ∴∠EGF ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠GFE ＝45°，即EF 和AB 所成的角为45°.1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成的角．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法．(2)证明两条直线平行的方法．(3)求异面直线所成角的解题步骤．3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错．1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能[答案] D2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是________．平行或异面[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]3．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．70°或110°[∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.]4．如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。

则OA与平面α所成的角为。

思路分析：答案：如图，作AH⊥BC于点H，连接OH，∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，△AOB与△AOC均为等边三角形，∴AB＝AC＝a，又BC＝a，∴AB2＋AC2＝OB2＋OC2＝BC2，∴△ABC与△OBC均为等腰直角三角形，∴H为BC的中点，且OH⊥BC，又AH2＋OH2＝（a）2＋（a）2＝a2＝OA2，∴AH⊥OH，∵BC∩OH＝H，∴AH⊥平面α，∴OH为OA在平面α内的射影，即∠AOH为OA 与平面α所成的角，Rt△OAH中，sin∠AOH＝＝，且∠AOH为锐角，∴∠AOH＝45°，即OA与平面α所成的角为45°。

技巧点拨：1.本题在判断AH与OH间的关系时，借助了勾股定理，通过数量关系证明AH⊥OH。

2. 解决线面垂直问题的常用方法（1）利用勾股定理的逆定理。

（2）利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线。

（3）利用线面垂直的定义。

（4）利用平行转化，即a∥b，b⊥c，则a⊥c。

3.对于线面角的计算，通常借助垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形求解。

例题1（点面距离和线面距离）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离。

思路分析：B到平面EFG的距离转化为O到平面EFG的距离，在三角形中计算长度。

答案：如图，连接EG、FG、EF、BD、AC，设EF、BD分别交AC于点H、O，∵四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点，∴BD∥平面EFG，∴点B到平面EFG的距离就等于BD到平面EFG之间的距离，过点O作OK⊥GH，垂足为K，∵EF∥BD，∴EF⊥AC，易证GF＝GE，又H为EF的中点，∴GH⊥EF，∵GH与AC交于点H，∴EF⊥平面GHC.∴OK⊥EF，∵OK⊥GH，且GH∩EF＝H，∴OK⊥平面GEF，∴OK的长度即为O（B）到平面GEF的距离，∵正方形ABCD的边长为4，∴GC＝2，AC＝4，HO＝2，HC＝，在Rt△HCG中，HG＝，易证△HKO∽△HCG，∴OK＝即点B到平面EFG的距离为。