河北省唐山市第一中学2016_2017学年高二数学12月月考试题文

唐山一中2016—2017学年度高二年级第二次月考高二年级文科数学试卷1．考试时间120分钟，满分150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上。

3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)一 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.直线10x +=的倾斜角为 （ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2. 过点A （0，2），B （﹣2，2），且圆心在直线x ﹣y ﹣2=0上的圆的方程是（ ） A ．()()221126x y -++= B ．()()221326x y +++= C ．()()222426x y +++= D ．()22226x y -+=3. （ ） A ．21B ．22 C ．23 D ．334. 曲线ln 2y x x =-在点(1,2)-处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是 （ ）A ．21 B ．43C ．1D ．2 5. 设P （x ，y ）是曲线C : ⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2y x （θ为参数，0≤θ＜2π）上任意一点，则x y的取值范围是 （ ）A.⎡⎣ B.(,)-∞⋃+∞ C. ,33⎡-⎢⎣⎦D. (,[)33-∞-⋃+∞ 6.平行四边形ABCD 内接于椭圆22142x y +=，直线AB 的斜率11k =，则直线AD 的斜率2k =( ) A.12 B. 12- C. 14- D.2-7. 曲线C 1的极坐标方程为ρ=R (R >0)，曲线C 2的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=αα22sin sin 2y x （α为参数），若C 1与C 2由公共点，则R 的取值范围是 （ ） A.),2[+∞ B. ),2[+∞ C. D. 8.直线⎩⎨⎧+=+=ty tx 221（t 为参数）被圆x 2+y 2=9截得的弦长等于 ( )A ．512 B ．1225C ．259 D ．12559. 设某三棱锥的三视图如下左图所示，则该三棱锥外接球的表面积为 （ ） A ．4π B ．6πC ．8πD ．10π10. 如上右图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是边长为a 的正方形，若在侧 棱AA 1上至少存在一点E ，使得∠C 1EB =90°，则侧棱AA 1的长的最小值为 ( ) A ．a B ．2a C ．3a D ．4a11. 若函数()()()2ln f x x x b b R =+-∈在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是 （ ） A ．3(,)2-∞ B ．9(,)4-∞ C ．39(,)24- D ．3(,)2+∞12.3()x f x a x =-(a >0且a ≠1)有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1<a <ee3 B. 1<a <ee2 C. 0<a <ee3 D.ee2<a <ee 3高二年级数学试卷（卷Ⅱ 非选择题 共90分)二 填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠BAC =90°，AB =AC =AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于 .14. 若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为____. 15. 已知曲线C 的极坐标方程为213sin ρθ=+, 则C 上的点到直线x -2y -42=0的距离的最小值为________.16. 已知x ∈（0，2），关于x 的不等式212x x e k x x <+-恒成立，则实数k 的取值范围为 ______________.三 解答题（17题10分，其它题每题12分，共70分）17. （本小题满分10分）设p ：实数x 满足()(3)0x a x a --<，其中0a >．q ：实数x 满足226808150x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>⎪⎩． ⑴若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； ⑵若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，AB =2，PD =6, O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点． ⑴证明：平面EAC ⊥平面PBD ；⑵若PD ∥平面EAC , 求三棱锥P EAD -的体积.19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为5cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()24πρθ+=,l 与C 交于A B 、两点.⑴求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；⑵设点(02)P -，求PA PB +的值.20. （本小题满分12分）已知函数()f x =x eax -. ⑴当1a =-时，求函数f (x )的单调区间； ⑵若函数()f x 在上的最小值为32, 求实数a 的值.21．（本小题满分12分）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上，过点F 的直线交抛物线于A B 、两点，线段AB 的长是8，AB 的中点到x 轴的距离是3. ⑴求抛物线的标准方程；⑵设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于,P Q 两点，连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程.22.（本小题满分12分）已知函数()()()1x f x a x e a =--(常数0a R a ∈≠且). ⑴证明: 当0a >时, 函数()f x 有且只有一个极值点; ⑵若函数()f x 存在两个极值点12,x x , 证明:()1240f x e <<且()2240f x e <<．唐山一中2016—2017学年度高二年级第二次月考高二年级文科数学试卷答案一、选择题1-5 DBBAC 6-10 BCDCB 11-12 BA 二、填空题13.60° 14.2 15.5 16. hslx3y3h0，e ﹣1）三、解答题17. 解：依题意知：p ：a ＜x ＜3a ，q ：2＜x ＜3.⑴当a =1时，p ：1＜x ＜3要使p ∧q 为真，则须满足⎩⎨⎧<<<<3231x x ，解得2＜x ＜3；⑵∵p 是q 的必要不充分条件 ∴(2，3) ⊊ (a ，3a )∴a ≤2且3a ≥3，等号不能同时成立，解得1≤a ≤2． 18.解：∵PD ⊥平面ABCD , AC ⊂平面ABCD , ∴AC ⊥PD .∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC ⊥PD , 又∵PD ∩BD =D , ∴AC ⊥平面PBD . 而AC ⊂平面EAC ,∴平面EAC ⊥平面PBD ； --------------6分 ⑵连接EO , ∵PD ∥平面EAC , 平面EAC ∩平面PBD =EO , ∴PD ∥EO ,∵O 是BD 中点, ∴E 是PB 中点, EO =21PD =26.S △ABD =3.V P —EAD =V P —ABD - V E —ABD =22)266(331=-⨯. --------------12分 19. 解：⑴C ：52x ＋y 2＝1, l ：y ＝x －2;--------------4分⑵点P (0,－2)在l 上，l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 22222- (t 为参数). 代入2215x y +=整理得，3t 2-102t ＋15＝0，t1+t2=3210, t1t2=5>0, t1，t2同号.所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝3210. --------------12分20.22. 解: ⑴f ′(x)=a(xe x-a), --------------1分①当x≤0时，f ′(x)<0，f (x)在(-∞,0]上无极值点; --------------2分②当x >0时, f ′(x )在(0,+∞)递增. f ′(0)=-a 2<0，f ′(a )= a 2(e a -1)>0.所以f ′(x )在(0,+∞)有且只有一个零点,设其为x 0. --------------3分 在(0, x 0)上，f ′(x )<0，在(x 0,+∞)上，f ′(x )>0，x 0是f (x )的极小值点.综上，当a >0时，函数f (x )在(-∞,+∞)内有且只有一个极值点. --------------4分 ⑵因为f (x )存在两个极值点x 1,x 2（不妨设x 1<x 2）， 所以x 1,x 2,是f ′(x )的两个零点，且a <0.令h (x )= f ′(x )=a (xe x -a ), 由h ′(x )=a (x +1)e x =0得x =-1.在(-∞,-1)上，h ′(x )>0，在(-1,+∞)上，h ′(x )<0，-1是h (x )的极大值点.--------------6分 由h(-1)= a (-e -1-a )>0得e1-<a<0. 因为h ′(0)=-a 2<0，所以x 1<-1<x 2<0. --------------8分 令 f ′(t )=a (te t -a )=0,得a =te t ,这里t 代表x 1或x 2, t <0.f (t )=a (t -1)(e t -a )=-t (t -1)2e 2t >0. 令g (t )=-(t 3-2t 2+t )e 2t (t <0).由g ′(t )=-(t 2-1)(2t -1)e 2t =0得t =-1. --------------10分 当t <-1时，g ′(t )>0，-1<t <0时,g ′(t )<0. 所以g (t )在t =-1时取得最大值g (-1)=24e . 所以，当t <0且t ≠-1时，0< g (t )<24e. 因此，()1240f x e <<且()2240f x e <<． -------------12分。

2016-2017学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．设i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=2i﹣1，则复数z1•z2在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．100 C．92 D．843．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（）A．252种B．112种C．70种D．56种4．直线xsinθ+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．∪[，π] D．∪[，π]5．下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”6．在极坐标系中，点M（1，0）关于极点的对称点为（）A．（1，0） B．（﹣1，π）C．（1，π）D．（1，2π）7．函数在区间C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，5]8．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A． B．C．D．9．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C． +1 D．210．已知函数f（x）=（）x+lnx，正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＞0，若实数x0是方程f（x）=0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＞c B．x0＞b C．x0＜c D．x0＜a11．参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y∈R且x+y＞2，则x，y中至少有一个大于1，在反证法证明时假设应为．14．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m∥α，m∥β，则α∥β．其中正确命题的序号是．15．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．16．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=2，•=﹣3，设AD=a，BC=b，CD=c，则的最小值为．三．解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）（1）若（+2x）n的展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）（a+x）（a+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，求a的值．18．（12分）在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n=（a n+），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．19．（12分）（1）若a、b、m、n∈R+，求证：；（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时x的值．20．（12分）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．21．（12分）已知动圆C过定点F（0，1），且与直线l1：y=﹣1相切，圆心C的轨迹为E．（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点纵坐标为2，则|PQ|最大值为多少？22．（12分）已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，求函数的极值；（II）设函数g（x）=x+．当a=﹣1时，若区间上存在x0，使得g（x0）＜m，求实数 m 的取值范围．（e为自然对数底数）2016-2017学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．设i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=2i﹣1，则复数z1•z2在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z1•z2=（1﹣i）（2i﹣1）=1+3i在复平面上对应的点（1，3）在第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．100 C．92 D．84【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，分别计算长方体和棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，长方体的体积为：6×6×3=108，棱锥的体积为：××4×3×4=8，故组合体的体积V=108﹣8=100，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．3．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（）A．252种B．112种C．70种D．56种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生两种情况一是包括甲、乙每屋住4人、3人，二是甲和乙两个屋子住5人、2人，列出两种情况的结果，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生包括甲、乙每屋住4人、3人或5人、2人，∵当甲和乙两个屋子住4人、3人，共有C73A22当甲和乙两个屋子住5人、2人，共有C72A22∴根据分类计数原理得到共有C73A22+C72A22=35×2+21×2=112（种）．故选B．【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，解题时主要依据是要看清楚每个宿舍至少安排2名学生两种情况，注意做到不重不漏．4．直线xsinθ+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．∪[，π] D．∪[，π]【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】先求出直线斜率的取值范围，进而利用三角函数的单调性可求出直线倾斜角的取值范围．【解答】解：∵直线xsinθ+y+2=0，∴y=﹣x﹣，∴直线的斜率k=﹣．又∵xsinθ+y+2=0倾斜角为α，∴tanα=﹣．∵﹣1≤﹣sinθ≤1，∴﹣≤﹣≤．∴﹣≤tanα≤．∴α∈∪[，π）．故选：C．【点评】熟练掌握直线的斜率和三角函数的单调性即值域是解题的关键，基本知识的考查．5．下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0；“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题是假命题；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”．【解答】解：命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，故A正确；∵“x=4”⇒“x2﹣3x﹣4=0”，“x2﹣3x﹣4=0”⇒“x=4，或x=﹣1”，∴“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件，故B正确；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为：∵若方程x2+x﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m，∴“若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0”，是假命题，故C不正确；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．故选C．【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．在极坐标系中，点M（1，0）关于极点的对称点为（）A．（1，0） B．（﹣1，π）C．（1，π）D．（1，2π）【考点】Q6：极坐标刻画点的位置．【分析】（ρ，θ）关于极点的对称点为（ρ，π+θ）．【解答】解：∵（ρ，θ）关于极点的对称点为（ρ，π+θ），∴M（1，0）关于极点的对称点为（1，π）．故选：C．【点评】本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．7．函数在区间C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，5]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，我们可以转化为f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标．【解答】解：∵函数，在区间．故选：B．【点评】本题以函数为载体，综合考查利用函数的导数来解决有关函数的单调性，考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数的范围问题，考查分类讨论，函数与方程，等数学思想与方法．8．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A．B．C．D．【考点】67：定积分；CF：几何概型．【分析】先由积分的知识求解阴影部分的面积，然后可求试验的区域所对应的矩形的面积，由几何概率的求解公式代入可求【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S=2×=1+=1﹣ln=1+ln2∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为 1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得P=故选C【点评】本题综合考查了反比例函数的图象，几何概型，及定积分在求面积中的应用，考查计算能力与转化思想．属于基础题．9．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C． +1 D．2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意M的坐标为M（），代入双曲线方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意M的坐标为M（），代入双曲线方程可得∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．【点评】本题考查双曲线与圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．已知函数f（x）=（）x+lnx，正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＞0，若实数x0是方程f（x）=0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＞c B．x0＞b C．x0＜c D．x0＜a【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数f（x）=e﹣x+lnx进行求导，判定在定义域上的单调性，根据单调性即可比较．【解答】解：f’（x）=﹣e﹣x+=，∵x＞0，＜1∴f’（x）＞0则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增函数∵正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＞0，∴f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＞0，或f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＞0，若实数x0是方程f（x）=0的一个解，则a＜b＜x0＜c，或x0＜a＜b＜c，故选：A．【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数的单调性的应用，属于中档题．11．参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】将参数方程化为普通方程，然后再对A、B、C、D进行判断；【解答】解：∵x=|cos+sin|，∴x2=1+sinθ，∵y=（1+sinθ），∴y=x2，是抛物线；当x=1时，y=；故选B．【点评】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算．【分析】容易求出f′（0）=6，结合条件便可得出函数f（x）的解析式，进而求出导函数，代入4f（x）＞f′（x），根据对数函数的单调性及对数的运算便可解出原方程．【解答】解：根据条件，3f（0）=3=f′（0）﹣3；∴f′（0）=6；∴f（x）=2e3x﹣1，f′（x）=6e3x；∴由4f（x）＞f′（x）得：4（2e3x﹣1）＞6e3x；整理得，e3x＞2；∴3x＞ln2；∴x＞；∴原不等式的解集为（，+∞）故选：B．【点评】本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数的运算及对数函数的单调性，属于中档题二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y∈R且x+y＞2，则x，y中至少有一个大于1，在反证法证明时假设应为x≤1且y≤1 ．【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】假设原命题不成立，也就是x，y均不大于1成立，即x≤1且y≤1【解答】解：∵x，y中至少有一个大于1，∴其否定为x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．【点评】本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．14．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m∥α，m∥β，则α∥β．其中正确命题的序号是②③．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：①若m⊂β，α⊥β，则m与α相交、平行或m⊂α，故①错误；②若α∥β，m⊂α，则由平面与平面平行的性质，得m∥β，故②正确；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理和直线与平面垂直的判定定理，得m⊥β，故③正确；④平行于同一条直线的两个平面不一定平行，所以④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的几何意义，可得到|a﹣1|≤3，解之即可．【解答】解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，即|a﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．故答案为：．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a﹣1|≤3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．16．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=2，•=﹣3，设AD=a，BC=b，CD=c，则的最小值为 2 ．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】由已知得=， =，从而由=（）•（）=﹣3，得|（）﹣|=2，从而=，由此入手能求出的最小值．【解答】解：∵在三棱锥D﹣ABC中，AB=2，•=﹣3，设=， =，=∴=， =，∴=（）•（）==﹣3，∴=+﹣+3，又==，∴|（）﹣|=2，①∴=，②将①两边平方得，∴，∴，代入②中，得=，∴=+1+==1+（），∴，又=c2，，，∴=≥=2．∴的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查三角形中关于边长的代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．三．解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）（2017春•路南区校级期中）（1）若（+2x）n的展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）（a+x）（a+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，求a的值．【考点】DC：二项式定理的应用；DB：二项式系数的性质．【分析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中二项式系数最大的项的系数．（2）（2）设f（x）=（a+x）（a+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，可得展开式中x的奇数次幂项的系数之和，再根据展开式中x的奇数次幂项的系数之和等于32，求得a 的值．【解答】解：（1）由题意可得+=2，解得n=7 或n=14．当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5．∴T4的系数为••23=，T5的系数为••24=70，当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．∴T8的系数为••27=3432．（2）设f（x）=（a+x）（a+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则=a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则f（﹣1）=a0﹣a1+a2+…+﹣a5=0，②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），根据题意可得2×32=16（a+1），∴a=3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，注意通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于中档题．18．（12分）（2012秋•永顺县期末）在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n=（a n+），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【考点】F1：归纳推理；RG：数学归纳法．【分析】（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a1，a2，a3．（2）由（1）猜想数列{a n}的通项公式：，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．【解答】解：（1）易求得（3分）；（2）猜想证明：①当n=1时，，命题成立②假设n=k时，成立，（8分）则n=k+1时，==，所以，，∴．即n=k+1时，命题成立．由①②知，n∈N*时，．（12分）【点评】本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式．19．（12分）（2017春•路南区校级期中）（1）若a、b、m、n∈R+，求证：；（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时x的值．【考点】7F：基本不等式；R6：不等式的证明．【分析】（1）a、b、m、n∈R+，可得（a+b）=m2+n2+，再利用基本不等式的性质即可得出．（2）， =+≥，即可得出．【解答】（1）证明：∵a、b、m、n∈R+，∴（a+b）=m2+n2+≥m2+n2+2mn=（m+n）2，当且仅当bm=an时取等号，∴．（2）， =+≥=25，当且仅当2（1﹣2x）=3•2x，即当时取得最小值，最小值为25．【点评】本题考查了不等式的性质与解法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）（i）先由C1B1∥A1D1证明C1B1∥平面ADD1A1，再由线面平行的性质定理得出C1B1∥EF，证出EF ∥A1D1．（ii）易通过证明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1⊥BA1，再由tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，得出BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；（2）设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在RT△BHC1中求解即可．【解答】（1）证明（i）∵C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面ADD1A1，又C1B1⊂平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF，∴C1B1∥EF，∴EF∥A1D1；（ii）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥BA1，在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，故BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；（2）解：设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB=，AA1=2，得BH=，在RT△BHC1中，BC1=2，sin∠BC1H==，所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是．【点评】本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证能力、转化、计算能力．21．（12分）（2017春•路南区校级期中）已知动圆C过定点F（0，1），且与直线l1：y=﹣1相切，圆心C的轨迹为E．（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点纵坐标为2，则|PQ|最大值为多少？【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；J3：轨迹方程．【分析】（1）设C（a，b），圆半径r=b﹣（﹣1）=b+1，将a，b分别换为x，y，能求出圆心C的轨迹方程．（2）设P（p，），Q（q，），由已知得p2+q2=16，|PQ|2=（p﹣q）2+（﹣）2=，由此能求出|PQ|的最大值为6．【解答】解：（1）设C（a，b），圆半径r=b﹣（﹣1）=b+1，圆方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2=（b+1）2过定点F（0，1）：a2+（1﹣b）2=（b+1）2a2=4b将a，b分别换为x，y，得圆心C的轨迹为E：x2=4y．（2）设P（p，），Q（q，），PQ中点的纵坐标为2：（）=2，p2+q2=16，①|PQ|2=（p﹣q）2+（﹣）2=（p﹣q）2=（p2+q2﹣2pq）=（16﹣2pq）（2+pq）=（8﹣pq）（16+pq）=，pq=﹣4时，|PQ|2最大，最大值为=36，∴|PQ|的最大值为6．【点评】本题考查动点C的轨迹方程的求法，考查|PQ|最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．（12分）（2017春•路南区校级期中）已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，求函数的极值；（II）设函数g（x）=x+．当a=﹣1时，若区间上存在x0，使得g（x0）＜m，求实数 m 的取值范围．（e为自然对数底数）【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出a，从而求出f（x）的单调区间，求出函数的极值即可；（Ⅱ）令，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（I）f′（x）=﹣=（x＞0），…（1分）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，所以f′（1）=﹣1，即1﹣a=﹣1，解得a=2．所以，…（3分）∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减；…（4分）当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增；…∴当x=2时，f（x）取得极小值，∴f（x）极小值为ln2．…（6分）（II）令，则h′（x）=，欲使在区间上上存在x0，使得g（x0）＜mf（x0），只需在区间上h（x）的最小值小于零．…（7分）令h'（x）=0得，x=m+1或x=﹣1．当m+1≥e，即m≥e﹣1时，h（x）在上单调递减，则h（x）的最小值为h（e），∴，解得，∵，∴；…（9分）当m+1≤1，即m≤0时，h（x）在上单调递增，则h（x）的最小值为h（1），∴h（1）=1+1+m＜0，解得m＜﹣2，∴m＜﹣2；…（11分）当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，h（x）在上单调递减，在（m+1，e]上单调递增，则h（x）的最小值为h（m+1），∵0＜ln（m+1）＜1，∴0＜mln（m+1）＜m，∴h（m+1）=2+m﹣mln（m+1）＞2，此时h（m+1）＜0不成立．…（13分）综上所述，实数m的取值范围为．…（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。

侧视图试卷类型：A唐山市2016～2017学年度高二年级第一学期期末考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（1-2页，选择题）和第Ⅱ卷（3-8页，非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷科目用2B铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案，不能答在试卷上．3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）抛物线x2＝2y的焦点坐标是（A）(0，1) （B）(1，0)（C）(12，0)（D）(0，12)（2）椭圆C：x2a2＋y22＝1(a＞0)的长轴长为4，则C（A）12（B）22（C）32（D） 2（3）命题“∃x0∈R，x02－x0＋1＜0”的否定是（A）∃x0∈R，x02－x0＋1≥0（B）∃x0∈/R，x02－x0＋1≥0（C）∀x∈R，x2－x＋1≥0（D）∀x∈/R，x2－x＋1≥0（4）下列双曲线中，焦点在x轴上且渐近线方程为y＝±14x的是（A）x2－y216＝1 （B）x216－y2＝1（C）y216－x2＝1 （D）y2－x216＝1（5）下列命题中正确的是（A）经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直（B）经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行（C）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直（D）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直（6）“a＝－1”是“直线ax＋3y＋2＝0与直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值为（A）55（B）22（C）32（D）12（8）已知椭圆C：x24＋y2＝1的左、右顶点分别为A、B，点M为C上不同于A、B的任意一点，则直线MA、MB的斜率之积为（A）14（B）－14（C）－4 （D）4（9）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A）83（B）4 3（C）433（D）8（10）三棱锥A－BCD的所有棱长均为6，点P为AC中点，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（A）8 （B）10（C）12 （D）16（11）在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝23，AC＝2，AB＝1，∠BAC＝60︒，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（A）13π（B）14π（C）15π（D）16π（12）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，以F为圆心且半径为4的圆交C于M、N两点，交C的准线l于A、B两点，若A、F、N三点共线，则p＝（A）1 （B）2（C）3 （D）4AB CFGE唐山市2016～2017学年度高二年级第一学期期末考试文科数学试卷注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，不要在答题卡上填涂． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上．（13）直线ax ＋y ＋2＝0的倾斜角为45︒，则a ＝_______．（14）已知直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若∠AOB ＝120︒，则r ＝_______．（15）侧棱与底面垂直的三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的所有棱长均为2，则三棱锥B －AB 1C 1的体积为_______．（16）双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若在C 上存在一点P ，使得|PO |＝ 12|F 1F 2|(O 为坐标原点)，且直线OP 的斜率为3，则双曲线C 的离心率为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）语句p ：曲线x 2－2mx ＋y 2－4y ＋2m ＋7＝0表示圆；语句q ：曲线x 2m 2＋y22m ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆．若p ∨q 为真命题，⌝p 为真命题，求实数m 的取值范围．（18）（本小题满分12分）如图所示，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AA 1，D 是棱CC 1的中点．（Ⅰ）证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BD ；（Ⅱ）在棱A 1B 1上是否存在一点E ，使C 1E ∥平面A 1BD ？并证明你的结论．（19）（本小题满分12分）已知点A 的坐标为(4，1)，点B (－7，－2)关于直线y ＝x 的对称点为C ． （Ⅰ）求以A 、C 为直径的圆E 的方程；（Ⅱ）设经过点A 的直线l 与圆E 的另一个交点为D ，|AD |＝8，求直线l 的方程．（20）（本小题满分12分）如图所示，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N ，经过点N 作y 轴的垂线与C 的准线交于点T ．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，且|PQ |＝4，求抛物线C 的标准方程； （Ⅱ）证明：无论p 为何值，以线段TN 为直径的圆总经过点F ．（21）（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥A －BCDE 中，AB ⊥平面BCDE ，四边形BCDE 为矩形，F 、G 分别为AC 、AE 的中点，AB ＝BC ＝2，BE ＝2． （Ⅰ）证明：BD ⊥EF ；（Ⅱ）求点A 到平面BFG 的距离．（22）（本小题满分12分）已知圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8，动圆M 经过点B (1，0)，且与圆A 相切，O 为坐标原点． （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）直线l 与曲线C 相切于点M ，且l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点， 求证：OM →·PQ →为定值．唐山市2016～2017学年度高二年级第一学期期末考试文科数学参考答案及评分标准一、选择题： A 卷：DBCBA ADBAC DB B 卷：DBCBAADCABDC二、填空题： （13）－1（14）2（15）233（16）3＋1三、解答题：（17）解：若p 真，则曲线x 2－2mx ＋y 2－4y ＋2m ＋7＝0化为(x －m )2＋(y －2)2＝m 2－2m －3， 由已知m 2－2m －3＞0，解得m ＜－1或m ＞3． …3分 若q 真，则m 2＞2m ＞0，解得m ＞2． …6分 由p ∨q 为真命题，⌝p 为真命题，得p 假q 真．…8分则⎩⎨⎧－1≤m ≤3， m ＞2，解得2＜m ≤3， 所以实数m 的取值范围是2＜m ≤3． …10分（18）解：（Ⅰ）∵AA 1⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥AC ， 又∵AB ⊥AC ，AA 1∩AB ＝A ，∴AC ⊥平面ABB 1A 1， 又∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，∴AC ⊥A 1B ， ∵AB ＝AA 1，∴A 1B ⊥AB 1，又∵AB 1∩AC ＝A ，∴A 1B ⊥平面AB 1C ，又∵A 1B ⊂平面A 1BD ，∴平面AB 1C ⊥平面A 1BD ． …6分（Ⅱ）当E 为A 1B 1的中点时，C 1E ∥平面A 1BD ．下面给予证明． 设AB 1∩A 1B ＝F ，连接EF ，FD ，C 1E ，∵EF ＝ 1 2AA 1，EF ∥AA 1，且C 1D ＝ 12AA 1，C 1D ∥AA 1，∴EF ∥C 1D ，且EF ＝C 1D ，∴四边形EFDC 1是平行四边形，∴C 1E ∥FD ，又∵C 1E ⊄平面A 1BD ，FD ⊂平面A 1BD ， ∴C 1E ∥平面A 1BD ．…12分（19）解：（Ⅰ）点B (－7，－2)关于直线y ＝x 的对称点为C (－2，－7)， ∵AC 为直径，AC 中点E 的坐标为(1，－3)， ∴圆E 的半径为|AE |＝5，∴圆E 的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25． …5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，易求|AD |＝8，此时直线l 的方程为x ＝4， …7分 当直线l 的斜率存在时，设l ：y －1＝k (x －4)，∴圆心E 到直线l 的距离d ＝|4－3k |k 2＋1，∵圆E 的半径为5，|AD |＝8，所以d ＝3， ∴|4－3k |k 2＋1＝3，解得k ＝724，∴直线l 的方程为7x －24y －4＝0．综上所述，直线l 的方程为x ＝4或7x －24y －4＝0． …12分 （20）解：（Ⅰ）由直线l 的斜率为1，可设直线l 的方程为y ＝x － p2，与抛物线C 的方程联立，化简得x 2－3px ＋p 24＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由韦达定理可知，x 1＋x 2＝3p ， ∴|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝4，p ＝1， ∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ．…5分（Ⅱ）设直线l 的方程为x ＝my ＋ p2，与抛物线C 的方程联立，化简得y 2－2pmy －p 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由韦达定理可知，y 1＋y 2＝2pm ， ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋p ＝2pm 2＋p ，∴点N 的坐标为(pm 2＋ p2，pm )，∴点T 的坐标为(－ p2，pm )，∴FT →＝(－p ，pm )，FN →＝(pm 2，pm )， ∴FT →·FN →＝－p 2m 2＋p 2m 2＝0，∴无论p 为何值，以线段TN 为直径的圆总经过点F ．…12分AB CF G EM （21）解：（Ⅰ）证明：取BC 的中点M ，连接MF ，ME ， ∵AB ⊥平面BCDE ，MF ∥AB ，∴MF ⊥平面BCDE ，又BD ⊂平面BCDE ，∴MF ⊥BD ．在Rt △MBE 与Rt △BED 中，∵MB BE ＝BE ED ＝22，∴Rt △MBE ∽Rt △BED ．∴∠BME ＝∠EBD ，而∠BME ＋∠BEM ＝90º，于是∠BEM ＋∠EBD ＝90º， ∴ME ⊥BD ，又∵MF ∩ME ＝M ，∴BD ⊥平面MEF ， 又∵EF ⊂平面MEF ，∴EF ⊥BD ． …6分（Ⅱ）∵AB ⊥平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ，∴AB ⊥BE ， ∵四边形BCDE 为矩形，∴BE ⊥BC ， 又∵AB ∩BC ＝B ， ∴BE ⊥平面ABC ， ∵G 为AE 的中点，∴G 到平面ABF 的距离为 1 2BE ＝22，S △ABF ＝ 12×2×1＝1，在△BFG 中，FG ＝ 1 2CE ＝62，BG ＝ 1 2AE ＝62，BF ＝ 12AC ＝2，∴S △BFG ＝22，设A 到平面BFG 的距离为d ， ∵V A －BFG ＝V G －ABF ， ∴ 1 3·S △BFG ·d ＝ 1 3·S △ABF ·22， ∴d ＝1，即A 到平面BFG 的距离为1． …12分（22）解：（Ⅰ）设动圆M 的半径为r ，依题意，|MA |＝22－r ，|MB |＝r ，∴|MA |＋|MB |＝22＞|AB |＝2， ∴M 点轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1．…5分（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设l ：y ＝kx ＋b ， 将l 的方程与椭圆C 的方程的联立，化简得： (1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，因为l 与椭圆C 相切于点M ，设M (x 0，y 0)， 所以∆＝8(1＋2k 2－b 2)＝0，即b 2＝1＋2k 2，且2x 0＝－4kb 1＋2k2＝－4kb b 2，解得x 0＝－2k b ，y 0＝－2k 2b ＋b ＝ 1b ， ∴点M 的坐标为(－2k b ， 1b)，又l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，∴点P 的坐标为(－ b k ，0)，点Q 的坐标为(0，b )，PQ →＝ ( bk ，b )，∴OM →·PQ →＝(－2k b ， 1 b )·(bk，b )＝－1．∴OM →·PQ →为定值－1． …12分。

唐山一中2016～2017高二月考 理科数学试卷 参考答案一、选择题：CBACC DBBDA DC 二、填空题：4030 三、解答题17.（1） ……………5分（2） ……………5分 18.解：（ 1）()()3313,133ax a f x ae f ae e a ''=∴==⇒=， 为奇函数，；……………4分 （2）由（1）知，，因为当时，图像恒在的上方，所以恒成立，记()()(),2,00,2xe h x x x=∈-，则，由，在单调减，在单调减，在单调增，()()2,0,21,2,2,0xxe k x xk e e e k x x ⎧<∈⎪⎪⎡⎫∴∈-⎨⎪⎢⎣⎭⎪>∈-⎪⎩综上，所求实数的取值范围是；……………12分19.解 (1)设椭圆的半焦距长为c ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝63，a ＝3，∴b ＝1.∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1. …………………………………………………………3分(2)设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)．①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3. ………………………………………………………5分 ②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程， 整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝m 2－3k 2＋1. ……………………………………………7分 ∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2k 2＋2－m 2－3k 2＋1＝k 2＋k 2＋1－m 2k 2＋2＝k 2＋k 2＋k 2＋2＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6(k ≠0)≤3＋122×3＋6＝4. 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时Δ＝12(3k 2＋1－m 2)>0. ………10分∴|AB |≤2，当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述，|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取得最大值S ＝12×|AB |max ×32＝32. ……………12分20．（1）证：连结，设与相交于点， 连接，则为中点， ∵平面，平面平面， ∴，∴为的中点， 又∵是等边三角形，∴……………………………………………（5分）（2）因为222115AD A A A D +==，所以， 又，，所以，又，所以平面，设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.则111(1,0,0),((1,2,0)2C A D B -， 即1133(,0,),(1,2,3),(2,2,0)2CD CA CB ===，……………………………（8分） 设平面的法向量为，由1110n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1111130220x z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令，得， 设平面的法向量为，由212100n CA n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2222220220x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，令，得，…（10分）∴121212cos ,35||||n n n n n n ⋅<>===，故所求二面角的余弦值是.…………………………………………………….（12分） 21．解:(1)解: 时 取到极小值，无极大值……………（4分） (2) ………………………..（12分） 22．（1）当时，令（），则，当时，，，，此时函数递增， 当时，，当时，…①………（4分）（2）()11mx x m m f x mx⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+………②，令，得，，（i ）当时，，由②得……③ 当时，，，，此时，函数为增函数， 时，，，时，，故函数，在上有且只有一个零点；…………..（6分） （ii ）当时，，且， 由②知，当，，，， 此时，；同理可得，当，；当时，； 函数的增区间为和，减区间为 故，当时，，当时，函数，有且只有一个零点；…………..（8分） 又222111ln 2f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数，，则 ()()222111112t t t t t ϕ--⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭……④，易知，对，，函数，为减函数， 由，知，()222111ln 02f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……⑤构造函数（），则，当时，，当时，，函数的增区间为，减区间为，，有222111ln 11m m m≤-<+，则，21111mem m m ---<-，当21111m e x m m ----<<时，……⑥而222112x mx x mx m-<-<+……⑦ 由⑥⑦知()()22211ln 11102x f x mx mx m m=++-<--++=……⑧…………（10分） 又函数在上递增，1111m e m m m----> 由⑤⑧和函数零点定理知，，使得综上，当时，函数()()2ln 12x f x mx mx =++-有两个零点， 综上所述：当时，函数有两个零点，当时，函数有且仅有一个零点．……………（12分）。

专题6.4 数列求和【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．【解析】易知S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92×1＝75.2．数列32，94，258，6516，…，n ·2n＋12n的前n 项和为____________． 【解析】易知a n ＝n ·2n＋12n＝n ＋12n ，∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝ (1＋2＋3＋…＋n)＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12n ＝（n ＋1）n 2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n （n ＋1）2－12n＋1.3．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n 项和为________．【解析】易知该数列的通项公式为a n ＝2n （n ＋1），分裂为两项差的形式，即a n ＝21n －1n ＋1，则数列的前n 项和S n ＝21－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.4． 1＋2x ＋3x 2＋…＋nxn －1＝____________(x ≠0且x ≠1)．题组二 常错题5．已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝________．【解析】因为1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1－n＝n ＋1－n ，所以S m ＝2－1＋3－2＋…＋m ＋1－m ＝m ＋1－1.由已知得m ＋1－1＝10，所以m ＝120.6．数列22，422，623， (2)2n ，…的前n 项和为________．【解析】设S n ＝22＋422＋623＋...＋2n 2n ，①则12S n ＝222＋423＋624＋ (2)2n ＋1，②①－②，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1，∴S n ＝4－n ＋22.题组三 常考题7． 等差数列{a n }的公差是3，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝________. 【解析】由题意，得a 2，a 2＋6，a 2＋18成等比数列，即(a 2＋6)2＝a 2(a 2＋18)，解得a 2＝6，故a 1＝3，所以S n ＝3n ＋n （n －1）2×3＝32n(n ＋1)．8．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．【解析】因为a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，所以S 1＝－1，S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n ＋1－1S n＝－1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以1S n ＝－n ，所以S n ＝－1n .9． 已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n＋1－1(n ∈N *)．记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝______________.【解析】由a n ＋1＝2a n 可得a n ＋1a n＝2，即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列{a n }的通项【知识清单】数列求和1. 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 2．等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）. 3. 数列前n 项和①重要公式：（1）1nk k ==∑123n ++++=2)1(+n n （2）1(21)nk k =-=∑()13521n ++++-= 2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n ②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++； ③等比数列中，nmm n n m m n S S q S S q S +=+=+.【考点深度剖析】江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1 数列求和 【题组全面展示】【1-1】数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2014S = . 【答案】1008-【解析】由数列的通项公式可知,数列的项依次为0,2,0,4,0,6,0,8,-- ，数列每四项和为2，故201450342=⨯+，所以()2014503220141008S =⨯+-=-． 【1-2】已知函数()()2cos f n n n π=，且()()1,n a f n f n =++则123100a a a a +++⋅⋅⋅+= .【答案】-100【1-3】已知数列{}n a 的通项公式为n a =*()n N ∈，其前n 项和为n S ，则在数列122014S S 、S 、中，有理数项的项数为 . 【答案】43 【解析】n a ===， ∴3815,,,S S S 为有理项，∴212014n -<且2n ≥，∴有理数项的项数为43项. 【1-4】已知数列{},n a 若)(,1221+-∈+-=N n n a n n ，求10S =_______.（用数字作答）【答案】923【解析】()11221221n n n a n n --=-+=--，210102101222(13519)211010241100923S =++++-++++=--=--= ．【1-5】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根，则数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 .【答案】1422n n n S ++=-综合点评：这些题都是数列求和，做这一类数列求和的题，，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． 【方法规律技巧】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 若n n n a b c =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++ ，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++ 两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++； （21k=，特别地当1k ==（3）()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭（4）()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭（5）)()11(11q p qp p q pq <--= 5．分组转化求和法：有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721n S =-+-++- ()()()100999897215050=++++++= .7. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．8. [易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为12n n -+，漏掉前面的系数12； (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 应用错位相减法求和时需注意：①给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n . 【新题变式探究】【变式一】对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列}{n x 满足11x =，且对任意*n ∈N ，点),(1+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，则123420132014x x x x x x ++++++ 的值为 .【答案】7549【变式二】若在数列{}n a 中，对任意正整数n ，都有221n n a a p ++=（常数），则称数列{}n a 为“等方和数列”，称p 为“公方和”，若数列{}n a 为“等方和数列”，其前n 项和为n S ，且“公方和”为1，首项11a =，则2014S 的最大值与最小值之和为 . 【答案】2【解析】由221n n a a p ++=得2212n n a a p +++=，两等式相减得：222n n a a +=.又“公方和”为1，首项11a =，所以2222223520132420141,0a a a a a a ========.所以2014S 的最大值为1007，最小值为-1005，其和为2.【综合点评】这两个题都是数列求和,第一题是函数与数列相结合,解题突破口为根据函数数据,找出数列满足的规律,然后利用合项法求和,第二个题是根据新定义求和,紧扣定义找出实质是解本题的关键.考点2数列综合 【题组全面展示】【1-1】已知函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，01007>a ，则)()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ 的值正负为 .【答案】正 【解析】021********>=+a a a ⇒20131a a ->⇒)()()(201320131a f a f a f -=->⇒0)()(20131>+a f a f同理，0)()(20122>+a f a f ，0)()(20113>+a f a f ，…，0)()(10081006>+a f a f ，又01007>a ⇒0)0()(1007=>f a f ，以上各式相加，得0)()()()()(20132012321>+++++a f a f a f a f a f . 【1-2】设函数(2),2()1()1,22x k x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，()n a f n =，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数k的取值范围为 . 【答案】7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭7(,)4-∞.【1-3】已知()[]23,0,31xf x x x+=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且122010670a a a +++= ，则122010()()()f a f a f a +++ 最大值为 .【答案】6030【1-4】已知()()()()()()123,2,f x x x x x n n n N =++++≥∈ ，其导函数为()f x '，设()()20n f a f '-=，则数列{}n a 自第2项到第n 项的和S =_____________. 【答案】11n- 【解析】已知()()()()()2[13]f x x x x x n =++++ ，则有()()()()()()()()()2[13]2[13]f x x x x x n x x x x n '''=+++++++++ ， 所以()()(2)112322!f n n '-=-⋅⋅⋅⋅-=-- ，(0)!f n =， 所以()2!111!(1)1n n a n n n n n -=-=-=---，所以1111111111232431S n n n=-+-+-++-=-- . 【1-5】对于每一个正整数n ，设曲线1n y x+=在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令n a lg n x =，则1299a a a +++= . 【答案】2-.【解析】利用导数求得曲线1n y x+=在点()1,1处的切线方程为()()111y n x =+-+，即()1y n x n =+-，它与x 轴交于点(),0n x ，则有()101n n nn x n x n +-=⇒=+，()lg lglg lg 11n n na x n n n ∴===-++，()()()1299lg1lg2lg2lg3lg99lg100lg1lg1002a a a ∴+++=-+-++-=-=- .综合点评：这些题都是数列与函数综合问题，解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理． 【方法规律技巧】1. 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n 项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．数列与不等式的结合，一般有两类题：一是利用基本不等式求解数列中的最值；二是与数列中的求和问题相联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围． 以数列为背景的不等式恒成立问题，或不等式的证明问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解，或利用放缩法证明.解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较．数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有：①作差法；②作商法；③综合法；④分析法；⑤放缩法.2. 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．3. 处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解．4. 解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．5.数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．数列与函数的综合问题，解决此类问题时要注意把握以下两点：(1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义；(2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征．【新题变式探究】【变式一】设数列{}n a 满足6,1421=+=a a a ,且对任意*n N ∈,函数12()()n n n f x a a a x ++=-++1cos n a x +-2sin n a x +满足'()02f π=，若n a n n a c 21+=，则数列{}n c 的前n 项和n S 为 . 【答案】n n n 21222-++【变式二】在直角坐标平面内，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22)，P 3(3,23)，…，P n (n,2n )，….如果n 为正整数，则向量P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为________．【答案】23(4n －1) 【解析】P k P k ＋1＝(k ＋1－k,2k ＋1－2k )＝(1,2k )，于是P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为2＋23＋25＋…＋22n －1＝2 1－4n1－4＝23(4n －1)． 【综合点评】第一题是函数与数列结合，此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．第二题是数列与新背景、新定义的综合问题，解决数列与新背景、新定义的综合问题，可通过对新数表、图象、新定义的分析、探究，将问题转化为等差(比)数列的问题．【易错试题常警惕】易错典例：已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 易错分析：未对q ＝1或q ≠1分别讨论，相减后项数、符号均出现了错误．错解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4， 解得a 1＝3，d ＝－1，∴a n ＝4－n . (2)由(1)知b n ＝n ·q n －1， ∴S n ＝1＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，qS n ＝1·q ＋2·q 2＋3·q 3＋…＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q ＋q 2＋…＋qn －1＋n ·q n ＝1－q n 1－q ＋n ·q n .∴S n ＝1－q n 1－q 2＋n ·q n 1－q. 正确解析：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知得温馨提醒：错位相减法适合于一个由等差数列{a n}及一个等比数列{b n}对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．因此利用错位相减法求解时，两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的n －1项是一个等比数列．。

唐山一中高二年级2016年12月份考试数学试卷（理）说明：1．考试时间120分钟，满分150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。

3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分） 1．已知向量a =（1，1，0），b =（﹣1，0，2），且k a +b 与2a -b 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ．15C ．35D ．752．设函数xx ex f 32)(-=（e 为自然底数），则使f （x ）＜1成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．0＜x ＜1B ．0＜x ＜4C ．0＜x ＜3D ．3＜x ＜43．设直线m 、n 和平面βα、,下列四个命题中，正确的是 （ ） A. 若n m n m //,//,//则αα B. 若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂C. 若βαβα⊥⊂⊥m m 则,,D. 若ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥4．若直线2a x ＋b y －2＝0（a ，b ∈R+）平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a +1b 的最小值是（ ）A ．1B ．5C ．42D ．3+225．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）A ．(9+2π) 3 6B ．(8+2π) 3 6C ．(6+π) 3 6D ．(8+π) 3 66．如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )A.36B ．－36 C.33D ．－337．已知F 1、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，若椭圆上存在点P 使PF 1→²PF 2→=0，则| PF 1 |•| PF 2 |= （ ）A ．b 2B ．2b 2C ．2bD ．b 8．如图，在平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB =∠A 1AD =60°，且A1A =3，则A 1C 的长为（ ）A ．5B ．2 2C ．14D ．179.下列四个结论：①若0>x ，则x x sin >恒成立；②命题“若0,0sin ==-x x x 则”的逆命题为“若0sin ,0≠-≠x x x 则”； ③“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“0ln ,>-∈∀x x R x ”的否定是“0ln ,000≤-∈∃x x R x ”.其中正确结论的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10．如图，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，直线PF 2交y 轴于点A ，△A PF 1的内切圆切边PF 1于点Q ， 若|PQ |=1，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．y=±33x B ．y=±3xC ．y=± 13x D ．y=±3x11．已知球的直径SC=2，A ，B 是该球球面上的两点，AB=1，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S ﹣ABC 的体积为 （ ）A B C D12．如图，在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 是A 1A 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设PD 1 、PE 与底面ABCD 所成 的角分别为φ1，φ2(φ1，φ2均不为0)．若φ1=φ2， 则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分. （ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每题5分，计20分）13．曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个交点，则实数k 的取值范围为___________.14．已知三棱锥D ﹣ABC 中，AB=BC=1，AD =2，BD =5，AC =2，BC ⊥AD ，则三棱锥的外接球的表面积为__________________.15．设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，点F 是△ABC 的重心，O 为坐标原点，△OF A 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3则S 12＋S 22＋S 32=____________. 16．如图，正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD ，则下列四个命题： ①P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －PC D 1的体积不变；②P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面AC D 1所成角的大小不变； ③P 在直线BC 1上运动时，二面角P ﹣A D 1﹣C 的大小不变；④M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则M 点的轨迹是过D 1点的直线 其中真命题的个数是__________________个.三．解答题（共6小题，17-21题为必做题，22题为普通班和实验班必做，23题为英才班必做）17. （本小题满分10分）命题p ：直线3y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点；命题q ：曲线2216x yk k-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，若p q ∧为真命题，求实数k 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知圆224x y += 上一定点A （2，0），B （1，1）为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． （1）求线段AP 中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．19. （本小题满分12分）已知三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱⊥1AA 底面ABC ，4,21==AA AB ，E 为1AA 的中点，F 为BC 的中点（1）求证：直线//AF 平面1BEC （2）求C 到平面1BEC 的距离.20.如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，AE ∥DB ，且△ABC 是边长为2的等边三角形，AE=1， CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为．（1）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥面DBC ； （2）求二面角D ﹣EC ﹣B 的平面角的余弦值．21. （本小题满分12分）已知圆22:4O x y +=，点A ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 中点时，求直线AB 的方程.22. （普通班和实验班必做，本小题满分12分）已知抛物线2:4C x y =,过焦点F 的直线l 与抛物线交于A,B 两点(A 在第一象限). (Ⅰ)当2OFA OFB S S ∆∆=时,求直线l 的方程;(Ⅱ)过点()22,A t t 作抛物线C 的切线1l 与圆()2211x y ++=交于不同的两点M,N,设F 到1l 的距离为d,求MNd的取值范围 23.（英才班必做，本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（ I）求椭圆C的方程．（Ⅱ）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．一．选择题：DADDD ABABD AB二．填空题 13.53,124⎛⎤⎥⎝⎦14.6π 15.3 16.(1)(3)(4)三．解答题17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离，∴，（4分）∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，∴，解得k＜0，（8分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，∴，解得k＜﹣2．（10分）18.解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt △PBQ 中，|PN|=|BN|， 设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ， 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2， 所以x 2+y 2+（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4．故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2﹣x ﹣y ﹣1=0． 19.20.解：（1）证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OD ．∵DB ⊥平面ABC ，DB ⊂面ABD ，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD ⊥平面ABC ． 取AB 的中点O ，连结OC ，OD ． ∵△ABC 是等边三角形，∴OC ⊥AB ，根据平面和平面垂直的性质定理得则OC ⊥面ABD ， ∴OD 是CD 在平面ABDE 上的射影， ∴∠CDO 即是CD 与平面ABDE 所成角．////////∴sin∠CDO=，而OC=，∴CD=2，∴BD=2．取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，所以，所以EF⊥面DBC．（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，又，取平面DEC的一个法向量设平面BCE的一个法向量，则又，所以，令x=1，则y=，z=2．由此得平面BCE的一个法向量．则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．21.其中，a＝2，c=b＝1，则曲线Γ的方程为2214xy+=．…5分+=．…12分yy-=022.解:(1),.设,,则, 故,.因此直线l的方程为.(2)因为,因此,故切线的方程为,化简得,则圆心到的距离为,且,故.则,则点F到的距离,则,令,. 则,故.23.解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，∵，∴a2=2c2，∴a2=2b2，设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又∵弦长为，∴，∴，又a2=2b2，解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±∴A（r，），B（r，﹣），∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴r2﹣=0，∴r2=，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，∵l与圆O相切∴=r，即m2=（1+k2）r2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①△=8k2+4﹣m2＞0，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），又∵m2=（1+k2）r2，∴3（1+k2）r2=8（1+k2），∴r2=，此时m2=（1+k2），代入②式后成立，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=•，=•，=••，=••，=•，=•，=•；（i）若k=0，则|AB|=，（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．四．选择题：DADDD ABABD AB五．填空题 13.53,124⎛⎤⎥⎝⎦14.6π 15.3 16.(1)(3)(4)六．解答题17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离，∴，（4分）∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，∴，解得k＜0，（8分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，∴，解得k＜﹣2．（10分）18.解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．19.////20.解：（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．∵DB⊥平面ABC，DB⊂面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．取AB的中点O，连结OC，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．∴sin∠CDO=，而OC=，∴CD=2，∴BD=2．取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，所以，所以EF⊥面DBC．（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，又，取平面DEC的一个法向量设平面BCE的一个法向量，则又，所以，令x=1，则y=，z=2．由此得平面BCE的一个法向量．则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．21.其中，a＝2，c=b＝1，则曲线Γ的方程为2214xy+=．…5分+=．…12分-=0yy22.解:(1),.设,,则, 故,.因此直线l的方程为.(2)因为,因此,故切线的方程为,化简得,则圆心到的距离为,且,故.则,则点F到的距离,则,令,. 则,故.23.解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，∵，∴a2=2c2，∴a2=2b2，设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又∵弦长为，∴，∴，又a2=2b2，解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±∴A（r，），B（r，﹣），∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴r2﹣=0，∴r2=，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，∵l与圆O相切∴=r，即m2=（1+k2）r2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①△=8k2+4﹣m2＞0，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），又∵m2=（1+k2）r2，∴3（1+k2）r2=8（1+k2），∴r2=，此时m2=（1+k2），代入②式后成立，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=•，=•，=••，=••，=•，=•，=•；（i）若k=0，则|AB|=，（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．。

2016-2017学年河北省唐山一中高一（上）12月月考数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确.1．sin600°的值是（）A．B．C．D．2．已知sinα+cosα=﹣，α∈（0，π），则tanα的值为（）A．﹣或﹣B．﹣C．﹣D．3．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x4．下列不等式中，正确的是（）A．tan＜tam B．sin＞cos（﹣）C．sin（π﹣1）＜sin1°D．cos＜cos（﹣）5．已知△ABC是锐角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，则（）A．P＞Q B．P＜QC．P=Q D．P与Q的大小不能确定6．函数f（x）=|sin x|+|cos x|的最小正周期是（）A．πB．2πC．1 D．27．若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）8．设cos（x+y）•sinx﹣sin（x+y）•cosx=，且y是第四象限角，则tan的值为（）A．±B．±C．﹣D．﹣9．已知锐角α、β满足，则α+β等于（）A．B．C．D．10．当时，函数的最小值是（）A．4 B．C．2 D．11．已知函数，且函数y=f（x）﹣x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞） B．﹣1，+∞） D．﹣，0，π上有两个不相等的实数根，求m的取值范围，并写出所有根之和．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．22．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R，且e为自然对数的底数）．（1）判断函数f（x）的单调性与奇偶性；（2）是否存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．23．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤）在x∈（0，7π）内只取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y max=3；当x=6π，y min=﹣3．（1）求出此函数的解析式；（2）求该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（ω+φ）＞Asin（ω+φ）？若存在，求出m的范围（或值），若不存在，请说明理由．2016-2017学年河北省唐山一中高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确.1．sin600°的值是（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】把原式的角度600°变形为2×360°﹣120°，然后利用诱导公式化简，再把120°变为180°﹣60°，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：sin600°=sin（2×360°﹣120°）=﹣sin120°=﹣sin=﹣sin60°=﹣．故选D2．已知sinα+cosα=﹣，α∈（0，π），则tanα的值为（）A．﹣或﹣B．﹣C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．【解答】解：∵sinα+cosα=﹣，α∈（0，π），∴α为钝角，结合sin2α+cos2α=1，∴sinα=，cosα=﹣，则tanα==﹣，故选：C．3．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x【考点】抽象函数及其应用．【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：A．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；B．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R 上是单调增函数，故B正确；C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故C 错；D．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故D错．故选B．4．下列不等式中，正确的是（）A．tan＜tam B．sin＞cos（﹣）C．sin（π﹣1）＜sin1°D．cos＜cos（﹣）【考点】正切函数的单调性．【分析】A利用诱导公式化简＞0，==﹣tan＜0，即可比较B：利用诱导公式对函数化简，然后结合y=sinx在（0，）上单调递增即可比较C：先利用诱导公式化简已知函数，然后结合y=sinx在（0，）上单调性可比较D：由诱导公式可得，，，即可比较【解答】解：A：＞0，==﹣tan＜0则，故A错误∵=，而y=sinx在（0，）上单调递增，且∴sin即，故B错误C：由于y=sinx在（0，）上单调递增，且，则sin（π﹣1）=sin1＞sin1°，故C错误D：，∴，故D正确故选D5．已知△ABC是锐角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，则（）A．P＞Q B．P＜QC．P=Q D．P与Q的大小不能确定【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】先化简P﹣Q=（sinA+sinB）﹣（cosA+cosB）=2cos（sin﹣2cos），然后根据锐角三角形得出sin＞2cos，cos＞0从而得出结论．【解答】解：P﹣Q=（sinA+sinB）﹣（cosA+cosB）=2sin cos﹣2cos cos=2cos（sin﹣cos）由于是锐角三角形A+B=180°﹣C＞90°所以＞45°sin＞2cos0＜A，B＜90°所以﹣45°＜＜45°cos＞0综上，知P﹣Q＞0．P＞Q故选：A．6．函数f（x）=|sin x|+|cos x|的最小正周期是（）A．πB．2πC．1 D．2【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据三角函数的性质，利用周期的定义即可得到结论．【解答】解：∵f（x+1）=|sin（x+1）|+|cos（x+1）|=|cos x|+|sin x|=f（x），∴比较各个选项可得函数f（x）的最小周期为1．故选：C．7．若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【考点】正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．8．设cos（x+y）•sinx﹣sin（x+y）•cosx=，且y是第四象限角，则tan的值为（）A．±B．±C．﹣D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切．【分析】先利用两角和公式取得siny的值，进而根据y的象限，求得cosy的值，则tany可求得，最后根据二倍角公式求得tan的值．【解答】解：cos（x+y）•sinx﹣sin（x+y）•cosx=sin（x﹣x﹣y）=﹣siny=，∴siny=﹣，∵y是第四象限角，∴cosy==，∴tany==﹣=，整理得6tan2+5tan﹣6=0，求得tan=或﹣∵y是第四象限角，即2kπ+＜y＜2kπ+2π，k∈Z，∴kπ+＜＜kπ+π，k∈Z，∴0＞tan＞﹣1，∴tan=﹣，故选：C．9．已知锐角α、β满足，则α+β等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】先求COSα，sinβ，然后求cos（α+β）的值，根据α，β为锐角求出α+β的值．【解答】解：α，β为锐角且足，所以sinβ=cosα=，cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=α+β的值等于故选C．10．当时，函数的最小值是（）A．4 B．C．2 D．【考点】三角函数的最值．【分析】先把函数化简，根据，可得0＜tanx＜1，设g（x）=tanx﹣tan2x，求函数的最大值即可，求出函数的最小值．【解答】解：由题意，∵，∴0＜tanx＜1设g（x）=tanx﹣tan2x∵∴时，g（x）=tanx﹣tan2x取得最大值∴函数的最小值是4故选A．11．已知函数，且函数y=f（x）﹣x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞） B．﹣1，+∞） D．﹣1，0）时，y=﹣x2﹣2x+a=﹣（x+1）2+1+a，图象为开口向下的抛物线，结合二次函数的图象，分类讨论可得．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=f（x﹣1），∴此时的周期为1，对于所有大于等于0的x代入得到的f（x）相当于在﹣1，0）时，y=﹣x2﹣2x+a=﹣（x+1）2+1+a，图象为开口向下的抛物线，对称轴x=﹣1，顶点（﹣1，1+a），结合二次函数的图象可知：（1）如果a＜﹣1，函数y=f（x）﹣x至多有2个不同的零点；（2）如果a=﹣1，则y有一个零点在区间（﹣1，0），有一个零点在（﹣∞，﹣1），一个零点是原点；（3）如果a＞﹣1，则有一个零点在（﹣∞，﹣1），y右边有两个零点，综上可得：实数a的取值范围是﹣，﹣，﹣，0，πkπ+，kπ+2（x﹣）2（x+）2（x﹣+）﹣，0﹣，﹣，0．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）求函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．（3）若方程g（x）=m在（，π上有两个不相等的实数根，结合x范围可求2x﹣∈（，2（x﹣）+2（x+）+k，k上有两个不相等的实数根，∵x∈（，π，∴由正弦函数的图象和性质可得：m∈（﹣1，﹣（α﹣）+（α﹣）+10kπ﹣4π，10kπ+π﹣4π，π，使：Asin（ω+φ）＞Asin（ω+φ）成立．2017年3月29日。

河北省唐山一中2016-2017学年高二数学下学期期中试题理说明：1.本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题，考试时间为120 分钟，满分为150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B铅涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

卷Ⅰ(选择题共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．设为虚数单位，复数，，则复数在复平面上对应的点在( ). A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ).A.B. C. D.3．将名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有( )种.A．B．C．D．4.直线的倾斜角的取值范围是（）.A.B.C.D.5．下列结论错误的是( ).A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”.B．“”是“”的充分条件.C．命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题.D．命题“若，则且”的否命题是“若，则或”.6.在极坐标系中，点关于极点的对称点为（）.A.B. C. D.7.函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是（）.A．B．C．D．8．如图所示，设是图中边长分别为和的矩形区域，是内位于函数图象下方的区域(阴影部分)，从内随机取一点，则点取自内的概率为( ).A. B. C.D.9.以双曲线的中心(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于点(第一象限)，，分别为双曲线的左、右焦点，过点作轴垂线，垂足恰为的中点，则双曲线的离心率为( ).A.B.C. D.210.已知函数，正数满足，且，若实数是方程的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（）.A．B．C．D．11．参数方程表示( ).A. 双曲线的一支，这支过点B. 抛物线的一部分，这部分过C. 双曲线的一支，这支过点D. 抛物线的一部分，这部分过12.设函数是函数的导函数，，且，则的解集是（）.A．B.C．D．卷Ⅱ(非选择题共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，且,则中至少有一个大于1.在用反证法证明时，假设应为________．14.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的序号是 ______ ．15.若存在实数使成立,则实数的取值范围是 .16.如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最小值为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分.17.（1）若的展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，求的值.18．在各项为正的数列中，数列的前项和满足.(1)求,,；(2)由(1)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．19.（1）若、、、，求证：；（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时的值．20．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，，，，，是的中点，是平面与直线的交点．(1)证明：①；②平面.。

一．选择题：CADDD ABABD AB二．填空题13. 14. 15.3 16.(1)(3)(4) 三．解答题17.解：∵命题p ：直线y=kx+3与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，∴圆心到直线的距离，∴，（4分）∵命题q ：曲线﹣=1表示焦在y 轴上的双曲线，∴，解得k ＜0，（8分）∵p∧q 为真命题，∴p，q 均为真命题， ∴，解得k ＜﹣2．（10分）18.解：（1）设AP 中点为M （x ，y ），由中点坐标公式可知，P 点坐标为（2x ﹣2，2y ） ∵P 点在圆x 2+y 2=4上，∴（2x ﹣2）2+（2y ）2=4． 故线段AP 中点的轨迹方程为（x ﹣1）2+y 2=1． （2）设PQ 的中点为N （x ，y ）， 在Rt △PBQ 中，|PN|=|BN|， 设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ， 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2， 所以x 2+y 2+（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4．故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2﹣x ﹣y ﹣1=0． 19.////////20. 20.解：（1）取中点，连接，又，所以.因为，所以,四边形是平行四边形，所以因为平面，平面所以平面.（2）假设存在点，使得平面.，则, ,所以由等腰三角形的三线合一定理，G为BF的中点. ,所以,而根据所给的数据，易得,与矛盾.所以不存在点满足平面.21.其中，a＝2，，b＝1，则曲线Γ的方程为．…5分或．…12分22.解:(1),.设, ,则,故,.因此直线l的方程为.(2)因为,因此,故切线的方程为,化简得,则圆心到的距离为,且,故.则,则点F到的距离,则,令,. 则,故.。

2016-2107学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1．抛物线x2=2y的焦点坐标为（）A． B． C．（0，1）D．（1，0）2．椭圆C： +=1（a＞0）的长轴长为4，则C的离心率为（）A．B．C．D．3．命题“?x0∈R，x02﹣x0+1＜0”的否定是（）A．?x0∈R，x02﹣x0+1≥0 B．?x0?R，x02﹣x0+1≥0C．?x∈R，x2﹣x+1≥0 D．?x?R，x2﹣x+1≥04．下列双曲线中，焦点在x轴上且渐近线方程为y=±x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=15．下列命题中正确的是（）A．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直B．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直6．“a=﹣1”是“直线ax+3y+2=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．8．已知椭圆C： +y2=1的左、右顶点分别为A、B，点M为C上不同于A、B 的任意一点，则直线MA、MB的斜率之积为（）A．B．﹣4 C．﹣ D．49．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．4 C．D．810．三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（）A．16 B．12 C．10 D．811．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AC=2，AB=1，∠BAC=60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．13πB．14πC．15πD．16π12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以F为圆心且半径为4的圆交C 于M，N两点，交C的准线l于A、B两点，若A、F、N三点共线，则p=（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．直线ax+y+2=0的倾斜角为45°，则a=．14．已知直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则r=．15．侧棱与底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为2，则三棱锥B﹣AB1C1的体积为．16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若在C上存在一点P，使得|PO|=|F1F2|（O为坐标原点），且直线OP的斜率为，则，双曲线C的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共g70fen，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）语句p：曲线x2﹣2mx+y2﹣4y+2m+7=0表示圆；语句q：曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∨q为真命题，￢p为真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）如图所示，三棱柱A1B1C1﹣ABC的侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AA1，D是棱CC1的中点．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BD；（Ⅱ）在棱A1B1上是否存在一点E，使C1E∥平面A1BD？并证明你的结论．19．（12分）已知点A的坐标为（4，1），点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C．（Ⅰ）求以A、C为直径的圆E的方程；（Ⅱ）设经过点A的直线l与圆E的另一个交点为D，|AD|=8，求直线l的方程．20．（12分）如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，弦PQ的中点为N，经过点N作y轴的垂线与C的准线交于点T．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，且|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．21．（12分）如图所示，在四棱锥A﹣BCDE中，AB⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，F、G分别为AC、AE的中点，AB=BC=2，BE=．（Ⅰ）证明：EF⊥BD；（Ⅱ）求点A到平面BFG的距离．22．（12分）已知圆A：（x+1）2+y2=8，动圆M经过点B（1，0），且与圆A相切，O为坐标原点．（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l与曲线C相切于点M，且l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，求证：?为定值．2016-2107学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1．抛物线x2=2y的焦点坐标为（）A． B． C．（0，1）D．（1，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线x2=2y中，p=1，∴=，∵焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，）．故选：A．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x2=2py 的焦点坐标为（0，），属基础题．2．椭圆C： +=1（a＞0）的长轴长为4，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意求得a的值，求得椭圆方程，求得a=2，b=，c==，利用椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由椭圆C： +=1（a＞0）的长轴长为4，可知焦点在x轴上，即2a=4，a=2，∴椭圆的标准方程为：，a=2，b=，c==，椭圆的离心率e==，故选B．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．3．命题“?x0∈R，x02﹣x0+1＜0”的否定是（）A．?x0∈R，x02﹣x0+1≥0 B．?x0?R，x02﹣x0+1≥0C．?x∈R，x2﹣x+1≥0 D．?x?R，x2﹣x+1≥0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题p：?x0∈R，使x02﹣x0+1＜0的否定是：?x∈R，x2﹣x+1≥0．故选：C【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查．4．下列双曲线中，焦点在x轴上且渐近线方程为y=±x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据双曲线的渐近线的方程结合双曲线的标准方程的性质进行求解判断．【解答】解：A．双曲线的焦点在x轴，a=1，b=4，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±4x，B．双曲线的焦点在x轴，a=4，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，满足条件．C．双曲线的焦点在y轴，不满足条件．D．双曲线的焦点在y轴，不满足条件．故选：B【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解和应用，比较基础．5．下列命题中正确的是（）A．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直B．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线平行，与两直线交于一点矛盾；B，经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，它们在该平面的一个平行平面内；C，经过平面外一点有无数条直线与已知直线垂直，它们在该直线的一个垂面内；D，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直；【解答】解：对于A，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线平行，与两直线交于一点矛盾，故正确；对于B，经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，它们在该平面的一个平行平面内，故错；对于C，经过平面外一点有无数条直线与已知直线垂直，它们在该直线的一个垂面内，故错；对于D，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故错；故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，属于基础题．6．“a=﹣1”是“直线ax+3y+2=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线平行的等价条件以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若a=﹣1，则两条直线方程分别为﹣x+3y+2=0与x﹣y+1=0此时两直线平行，即充分性成立，若两直线平行，则ax+3y+2=0的斜截式方程为y=﹣x﹣，则直线斜率k=﹣，x+（a﹣2）y+1=0的斜截式方程为为y=﹣x﹣，（a≠2）若两直线平行则﹣=﹣，且﹣≠﹣，由﹣=﹣，得a（a﹣2）=3，即a2﹣2a﹣3=0得a=﹣1或a=3，由﹣≠﹣得a≠，即“a=﹣1”是“直线ax+3y+2=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨时AB=1，取平面ABC1D1的法向量==（1，0，1），则直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值=|cos＜，＞|=，即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨时AB=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B1（1，1，1），A1（1，0，1）．则=（0，1，1），取平面ABC1D1的法向量==（1，0，1），则直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值=|cos＜，＞|===．故选：D．【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、线面角、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知椭圆C： +y2=1的左、右顶点分别为A、B，点M为C上不同于A、B 的任意一点，则直线MA、MB的斜率之积为（）A．B．﹣4 C．﹣ D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得A和B点坐标，求得直线MA和MB的斜率，由M在椭圆上，x02=4﹣4y02，即可求得k1?k2=?==﹣．【解答】解：由题意得，椭圆C： +y2=1焦点在x轴上，a=2，b=1，设M（x0，y0）（y0≠0），A（﹣2，0），B（2，0），直线MA的斜率k1=，MB的斜率k2=，又点M在椭圆上，∴（y0≠0），x02=4﹣4y02，∴k1?k2=?==﹣，直线MA、MB的斜率之积﹣，故选C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．4 C．D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图是四棱锥，底面为2的正方形，高为2，即可求出体积．【解答】解：由三视图可得，直观图是四棱锥，底面为2的正方形，高为2，∴体积为=，故选A．【点评】本题考查三视图，考查几何体体积的计算，确定直观图的形状是关键．10．三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（）A．16 B．12 C．10 D．8【考点】棱锥的结构特征．【分析】作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC 于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，由AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，能求出该截面的周长．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，∵AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，∴PH=EF=，HF=PE=，∴该截面PEFH的周长为：4+4+2+2=12．故选：B．【点评】本题考查截面的周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间培养．11．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AC=2，AB=1，∠BAC=60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．13πB．14πC．15πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=60°，∴由余弦定理可得BC=，∴△ABC外接圆的半径为1，设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R2=（）2+12=4，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πＲ2=16π．故选：D．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P﹣ABC的外接球的半径是关键．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以F为圆心且半径为4的圆交C 于M，N两点，交C的准线l于A、B两点，若A、F、N三点共线，则p=（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，M的横坐标为，纵坐标取p，则p2+3p2=16，即可求出p的值．【解答】解：由题意，M的横坐标为，纵坐标取p，则p2+3p2=16，∴p=2，故选C．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查圆与抛物线的位置关系，比较基础．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．直线ax+y+2=0的倾斜角为45°，则a=﹣1．【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线的倾斜角，得出斜率的值，从而求出a的值．【解答】解：当直线ax+y+2=0的倾斜角为45°时，直线l的斜率k=tan45°=1；∴﹣a=1，解得a=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查了利用直线的倾斜角求直线斜率的应用问题，是基础题目．14．已知直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则r=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，由此能求出半径r．【解答】解：∵直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，∴圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，即d=，解得r=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．15．侧棱与底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为2，则三棱锥B﹣AB1C1的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先求出，AA1=2，由此能求出三棱锥B﹣AB1C1的体积．【解答】解：∵侧棱与底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为2，∴==，AA1=2，∴三棱锥B﹣AB1C1的体积为：V==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求不地，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若在C上存在一点P，使得|PO|=|F1F2|（O为坐标原点），且直线OP的斜率为，则，双曲线C的离心率为+1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意可知|PO|=|F1F2|判断出∠F1PF2=90°，直线OP的斜率为，可求出出|PF2|=c，则|F1P|=c，进而利用双曲线定义可用c表示出a，最后可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵|PO|=|F1F2|，∴|OF1|=|OF2|=|OP|∴∠F1PF2=90°，∵直线OP的斜率为，∴∠POF1=60°，∴|PF1|=c，|PF2|=c，∴c﹣c=2a，∴==+1∴e=+1．故答案为： +1【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共g70fen，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）（2016秋?唐山期末）语句p：曲线x2﹣2mx+y2﹣4y+2m+7=0表示圆；语句q：曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∨q为真命题，￢p为真命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由p∨q为真命题，￢p为真命题，得p假q真，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：若p真，则曲线x2﹣2mx+y2﹣4y+2m+7=0化为（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2﹣2m﹣3，由已知m2﹣2m﹣3＞0，解得m＜﹣1或m＞3．…若q真，则m2＞2m＞0，解得m＞2．…由p∨q为真命题，?p为真命题，得p假q真．…（8分）则解得2＜m≤3，所以实数m的取值范围是2＜m≤3．…（10分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，椭圆的标准方程，圆的一般方程等知识点，难度中档．18．（12分）（2016秋?唐山期末）如图所示，三棱柱A1B1C1﹣ABC的侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AA1，D是棱CC1的中点．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BD；（Ⅱ）在棱A1B1上是否存在一点E，使C1E∥平面A1BD？并证明你的结论．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）要证平面AB1C⊥平面A1BD，只需在平面AB1C内找一条直线（A1B）垂直平面A1BD即可；（2）设AB1∩A1B=F，连接EF，FD，C1E，由EF=AA1，EF∥AA1，且C1D=AA1，C1D∥AA1，可得EF∥C1D，且EF=C1D，四边形EFDC1是平行四边形即可得到，当E为A1B1的中点时，C1E∥平面A1BD．【解答】解：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABC，AC?平面ABC，∴AA1⊥AC，又∵AB⊥AC，AA1∩AB=A，∴AC⊥平面ABB1A1，又∵A1B?平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，∵AB=AA1，∴A1B⊥AB1，又∵AB1∩AC=A，∴A1B⊥平面AB1C，又∵A1B?平面A1BD，∴平面AB1C⊥平面A1BD．…（Ⅱ）当E为A1B1的中点时，C1E∥平面A1BD．下面给予证明．设AB1∩A1B=F，连接EF，FD，C1E，∵EF=AA1，EF∥AA1，且C1D=AA1，C1D∥AA1，∴EF∥C1D，且EF=C1D，∴四边形EFDC1是平行四边形，∴C1E∥FD，又∵C1E?平面A1BD，FD?平面A1BD，∴C1E∥平面A1BD．…（12分）【点评】本题考查平面和平面垂直的判定和性质、线面平行的推导．解决此类问题的关键是熟练掌握有关定理以及空间几何体中点、线、面之间的位置关系，属于中档题．19．（12分）（2016秋?唐山期末）已知点A的坐标为（4，1），点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C．（Ⅰ）求以A、C为直径的圆E的方程；（Ⅱ）设经过点A的直线l与圆E的另一个交点为D，|AD|=8，求直线l的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）求出B的对称点C，从而求出AC的中点坐标，求出元旦圆心和半径，求出圆的方程即可；（Ⅱ）分别讨论直线斜率存在和不存在时的情况，结合点到直线的距离公式求出直线l的方程即可．【解答】解：（Ⅰ）点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C（﹣2，﹣7），∵AC为直径，AC中点E的坐标为（1，﹣3），∴圆E的半径为|AE|=5，∴圆E的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=25．…（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，易求|AD|=8，此时直线l的方程为x=4，…（7分）当直线l的斜率存在时，设l：y﹣1=k（x﹣4），∴圆心E到直线l的距离d=，∵圆E的半径为5，|AD|=8，所以d=3，∴=3，解得k=，∴直线l的方程为7x﹣24y﹣4=0．综上所述，直线l的方程为x=4或7x﹣24y﹣4=0．…（12分）【点评】本题考查了直线方程问题，考查求圆的方程，是一道中档题．20．（12分）（2016秋?唐山期末）如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，弦PQ的中点为N，经过点N作y轴的垂线与C的准线交于点T．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，且|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=x﹣，与抛物线C的方程联立，化简得x2﹣3px+=0，根据|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）求出点N、点T的坐标，证明?=﹣p2m2+p2m2=0，即可证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．【解答】（Ⅰ）解：由直线l的斜率为1，可设直线l的方程为y=x﹣，与抛物线C的方程联立，化简得x2﹣3px+=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理可知，x1+x2=3p，∴|PQ|=x1+x2+p=4p=4，p=1，∴抛物线C的方程为y2=2x．…（Ⅱ）证明：设直线l的方程为x=my+，与抛物线C的方程联立，化简得y2﹣2pmy﹣p2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理可知，y1+y2=2pm，∴x1+x2=m（y1+y2）+p=2pm2+p，∴点N的坐标为（pm2+，pm），∴点T的坐标为（﹣，pm），∴=（﹣p，pm），=（pm2，pm），∴?=﹣p2m2+p2m2=0，∴无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．…（12分）【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，同时考查向量与解析几何的交汇，综合性强．21．（12分）（2016秋?唐山期末）如图所示，在四棱锥A﹣BCDE中，AB⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，F、G分别为AC、AE的中点，AB=BC=2，BE=．（Ⅰ）证明：EF⊥BD；（Ⅱ）求点A到平面BFG的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（Ⅰ）取BC的中点M，连接MF，ME，证明BD⊥平面MEF，即可证明EF⊥BD；（Ⅱ）利用V A﹣BFG=V G﹣ABF，求点A到平面BFG的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取BC的中点M，连接MF，ME，∵AB⊥平面BCDE，MF∥AB，∴MF⊥平面BCDE，又BD?平面BCDE，∴MF⊥BD．在Rt△MBE与Rt△BED中，∵==，∴Rt△MBE∽Rt△BED．∴∠BME=∠EBD，而∠BME+∠BEM=90°，于是∠BEM+∠EBD=90°，∴ME⊥BD，又∵MF∩ME=M，∴BD⊥平面MEF，又∵EF?平面MEF，∴EF⊥BD．…（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCDE，BE?平面BCDE，∴AB⊥BE，∵四边形BCDE为矩形，∴BE⊥BC，又∵AB∩BC=B，∴BE⊥平面ABC，∵G为AE的中点，∴G到平面ABF的距离为BE=，S△ABF=×2×1=1，在△BFG中，FG=CE=，BG=AE=，BF=AC=，∴S△BFG=，设A到平面BFG的距离为d，∵V A﹣BFG=V G﹣ABF，∴?S△BFG?d=?S△ABF?，∴d=1，即A到平面BFG的距离为1．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积方法的运用，属于中档题．22．（12分）（2016秋?唐山期末）已知圆A：（x+1）2+y2=8，动圆M经过点B （1，0），且与圆A相切，O为坐标原点．（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l与曲线C相切于点M，且l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，求证：?为定值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，由此能求出动圆圆心M的轨迹C的标准方程．（Ⅱ）设l：y=kx+b，将l的方程与椭圆C的方程的联立，化简得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式，结合题意能证明?为定值﹣1．【解答】解：（Ⅰ）设动圆M的半径为r，依题意，|MA|=2﹣r，|MB|=r，∴|MA|+|MB|=2＞|AB|=2，∴M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，∴动圆圆心M的轨迹C的标准方程为+y2=1．…证明：（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l：y=kx+b，将l的方程与椭圆C的方程的联立，化简得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，因为l与椭圆C相切于点M，设M（x0，y0），所以△=8（1+2k2﹣b2）=0，即b2=1+2k2，且2x0=﹣=﹣，解得x0=﹣，y0=﹣+b=，∴点M的坐标为（﹣，），又l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，∴点P的坐标为（﹣，0），点Q的坐标为（0，b），=（，b），∴?=（﹣，）?（，b）=﹣1．∴?为定值﹣1．…（12分）【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式、圆、椭圆等知识点的合理运用．。

开滦二中2016～2017学年第一学期高二年级12月考试文科数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（2）页，第Ⅱ卷第（3）页至第（6）页。

本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 共12小题，每小题5分，共60分.）1．若点1)a （，到直线1y x =+的距离是2，则实数a 为（ ） A ．﹣1 B ．5 C ．﹣1或5 D ．﹣3或32．直线1:2(1)20l x a y ++-=，直线2:10l ax y +-=，若1l 平行于2l ，则实数a 的 值是（ ）A ．1 B ．-2 C ．﹣2或1 D ．﹣3或33．与椭圆1422=+y x 有相同的两焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A. 1422=-y x B. 1222=-y x C. 13322=-y x D. 1222=-y x 4. 扇形的半径为3，中心角为 120，把这个扇形折成一个圆锥，则这个圆锥的体积为（ ）A.πB.32 C. 322 D.π322 22121125| 4.P =92x y =∠、若椭圆+=1的焦点为F ,F ，点P 在椭圆上，且|PF 则F F （ ） A 30 ： B 60 ： C 120 ： D 150 ：6．三棱柱111A B C ABC -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．11//AC 平面1AB ED ．AE ，11B C 为异面直线，且11AEB C ⊥ 7．直线()13y k x -=-被圆()()22224x y -+-=所截得的最短弦长等于（ ）A ．B ．C ．D 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）10.3A 8B.3 7C.3D ．2 2212221212C 1(0)F F P C PF PF PF F =30C x y a b a b+=>>⊥∠ 9、设椭圆：的左右焦点分别为，，是上的点，且，，则的离心率（ ）1121-1D.22210.369x y 已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（）1.2A 1B.2- C ．﹣2 D ．2 2212121,F ,M 4x y MF MF +=∙ 11.已知椭圆的左右焦点分别为F 点在该椭圆上，且=0,则点M 到x 轴的距离为（）A12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点)0)(0,(>-c c F ，过点F 作圆：4222b y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若EP FE =，则双曲线的离心率为（ ） A.10 B. 5 C. 210 D. 25。

河北省唐山市2017-2018学年高二数学12月月考试题 理说明：1．考试时间120分钟，满分150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。

3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分） 1．已知向量a =（1，1，0），b =（﹣1，0，2），且k a +b 与2a -b 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ． 1 5C ． 3 5D ． 752．设函数xx ex f 32)(-=（e 为自然底数），则使f （x ）＜1成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．0＜x ＜1B ．0＜x ＜4C ．0＜x ＜3D ．3＜x ＜43．设直线m 、n 和平面βα、,下列四个命题中，正确的是 （ ） A. 若n m n m //,//,//则αα B. 若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂ C. 若βαβα⊥⊂⊥m m 则,, D. 若ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥4．若直线2a x ＋b y －2＝0（a ，b∈R+）平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则 2 a + 1 b 的最小值是 （ ） A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3+2 25．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）A ． (9+2π) 3 6B ． (8+2π) 3 6C ． (6+π) 3 6D ． (8+π) 3 66．如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )A.36 B ．－36 C.33 D ．－337．已知F 1、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，若椭圆上存在点P 使PF 1→·PF 2→=0，则| PF 1 |•| PF 2 |= （ ）A ．b 2B ．2b 2C ．2bD ．b 8．如图，在平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB =∠A 1AD =60°，且A1A =3，则A 1C 的长为 （ ）A ．5B ．2 2C ．14D ．179.下列四个结论：①若0>x ，则x x sin >恒成立；②命题“若0,0sin ==-x x x 则”的逆命题为“若0sin ,0≠-≠x x x 则”； ③“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“0ln ,>-∈∀x x R x ”的否定是“0ln ,000≤-∈∃x x R x ”.其中正确结论的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10．如图，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2，| F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，直线PF 2交y 轴于点A ，△APF 1的内切圆切边PF 1于点Q ， 若|PQ |=1，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．y=± 33x B ．y=±3xC ．y=± 13x D ．y=±3x11．已知球的直径SC=2，A ，B 是该球球面上的两点，AB=1，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S ﹣ABC 的体积为 （ ）A ．6 B ．3 D ．212．如图，在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 是A 1A 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设PD 1 、PE 与底面ABCD 所成 的角分别为φ1，φ2(φ1，φ2均不为0)．若φ1=φ2， 则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分. （ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每题5分，计20分）13．曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个交点，则实数k 的取值范围为___________.14．已知三棱锥D ﹣ABC 中，AB=BC=1，AD =2，BD =5，AC =2，BC ⊥AD ，则三棱锥的外接球的表面积为__________________.15．设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，点F 是△ABC 的重心，O为坐标原点，△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3则S 12＋S 22＋S 32=____________. 16．如图，正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD ，则下列四个命题： ①P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －PC D 1的体积不变；②P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线BC 1上运动时，二面角P ﹣AD 1﹣C 的大小不变；④M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则M 点的轨迹是过D 1点的直线 其中真命题的个数是__________________个.三．解答题（共6小题，17-21题为必做题，22题为普通班和实验班必做，23题为英才班必做）17. （本小题满分10分）命题p ：直线3y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点；命题q ：曲线2216x yk k-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，若p q ∧为真命题，求实数k 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知圆224x y += 上一定点A （2，0），B （1，1）为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． （1）求线段AP 中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．19. （本小题满分12分）已知三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱⊥1AA 底面ABC ，4,21==AA AB ，E 为1AA 的中点，F 为BC 的中点（1）求证：直线//AF 平面1BEC （2）求C 到平面1BEC 的距离.20.如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，AE ∥DB ，且△ABC 是边长为2的等边三角形，AE=1，CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为．（1）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥面DBC ； （2）求二面角D ﹣EC ﹣B 的平面角的余弦值．21. （本小题满分12分）已知圆22:4O x y +=，点A ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 中点时，求直线AB 的方程.22. （普通班和实验班必做，本小题满分12分）已知抛物线2:4C x y =,过焦点F 的直线l 与抛物线交于A,B 两点(A 在第一象限). (Ⅰ)当2OFA OFB S S ∆∆=时,求直线l 的方程; (Ⅱ)过点()22,A t t作抛物线C 的切线1l 与圆()2211x y ++=交于不同的两点M,N,设F 到1l 的距离为d,求MNd的取值范围 23. （英才班必做，本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（ I）求椭圆C的方程．（Ⅱ）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．一．选择题：DADDD ABABD AB二．填空题 13.53,124⎛⎤⎥⎝⎦14.6π 15.3 16.(1)(3)(4)三．解答题17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离，∴，（4分）∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，∴，解得k＜0，（8分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，∴，解得k＜﹣2．（10分）18.解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt △PBQ 中，|PN|=|BN|， 设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ， 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2， 所以x 2+y 2+（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4．故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2﹣x ﹣y ﹣1=0． 19.20.解：（1）证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OD ．∵DB ⊥平面ABC ，DB ⊂面ABD ，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD ⊥平面ABC ． 取AB 的中点O ，连结OC ，OD ． ∵△ABC 是等边三角形，∴OC ⊥AB ，根据平面和平面垂直的性质定理得则OC ⊥面ABD ， ∴OD 是CD 在平面ABDE 上的射影， ∴∠CDO 即是CD 与平面ABDE 所成角．////////∴sin∠CDO=，而OC=，∴CD=2，∴BD=2．取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，所以，所以EF⊥面DBC．（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，又，取平面DEC的一个法向量设平面BCE的一个法向量，则又，所以，令x=1，则y=，z=2．由此得平面BCE的一个法向量．则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．21.其中，a＝2，c=b＝1，则曲线Γ的方程为2214xy+=．…5分+-=．…12分yy-=022.解:(1),.设,,则, 故,.因此直线l的方程为.(2)因为,因此,故切线的方程为,化简得,则圆心到的距离为,且,故.则,则点F到的距离,则,令,. 则,故.23.解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，∵，∴a2=2c2，∴a2=2b2，设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又∵弦长为，∴，∴，又a2=2b2，解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±∴A（r，），B（r，﹣），∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴r2﹣=0，∴r2=，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，∵l与圆O相切∴=r，即m2=（1+k2）r2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①△=8k2+4﹣m2＞0，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），又∵m2=（1+k2）r2，∴3（1+k2）r2=8（1+k2），∴r2=，此时m2=（1+k2），代入②式后成立，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=•，=•，=••，=••，=•，=•，=•；（i）若k=0，则|AB|=，（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．四．选择题：DADDD ABABD AB五．填空题 13.53,124⎛⎤⎥⎝⎦14.6π 15.3 16.(1)(3)(4)六．解答题17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离，∴，（4分）∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，∴，解得k＜0，（8分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，∴，解得k＜﹣2．（10分）18.解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．19.20.解：（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．∵DB⊥平面ABC，DB⊂面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．取AB的中点O，连结OC，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．∴sin∠CDO=，而OC=，∴CD=2，∴BD=2．取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，所以，所以EF⊥面DBC．（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，又，取平面DEC的一个法向量设平面BCE的一个法向量，则又，所以，令x=1，则y=，z=2．由此得平面BCE的一个法向量．则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．21.其中，a＝2，c=b＝1，则曲线Γ的方程为2214xy+=．…5分-=0+-=．…12分yy22.解:(1),.设,,则, 故,.因此直线l的方程为.(2)因为,因此,故切线的方程为,化简得,则圆心到的距离为,且,故.则,则点F到的距离,则,令,. 则,故.23.解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，∵，∴a2=2c2，∴a2=2b2，设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又∵弦长为，∴，∴，又a2=2b2，解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±∴A（r，），B（r，﹣），∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴r2﹣=0，∴r2=，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，∵l与圆O相切∴=r，即m2=（1+k2）r2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①△=8k2+4﹣m2＞0，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），又∵m2=（1+k2）r2，∴3（1+k2）r2=8（1+k2），∴r2=，此时m2=（1+k2），代入②式后成立，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=•，=•，=••，=••，=•，=•，=•；（i）若k=0，则|AB|=，（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．。

唐山一中高二年级2016年12月份考试数学试卷（文）说明：1．考试时间120分钟，满分150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。

3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分）1．一水平放置的平面图形的直观图如图所示，则此平面图形的形状是（）A．B．C．D．2e为自然底数），则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）A．0＜x＜1 B．0＜x＜4 C．0＜x＜3 D．3＜x＜43．设直线m、n下列四个命题中，正确的是（）A. B.C. D.4．若直线2a x ＋b y －2＝0（a ，b ∈R+）平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a +1b的最小值是（ ）A ．1B ．5C ．42D ．3+225．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）A ． (9+2π) 3 6B ． (8+2π) 3 6C ． (6+π) 3 6D ．6．如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )A.36 B ．－36 C.33 D ．－337．已知F 1、F 2若椭圆上存在点P 使PF 1→·PF 2→=0，则| PF 1 |•| PF 2 |= （ ）A．b2B．2b2C．2b D．b8．如图，在平行六面体A1B1C1D1－ABCD中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A B．2 2C D．179.下列四个结论：.其中正确结论的个数是 ( )A.1个B.2个C.3个 D.4个10左右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，直线PF2交y轴于点A，△A PF1的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±33x B．y=±3xC．y=±13x D．y=±3x11．已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，AB=1，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A B C D12．如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是A1A的中点，P为底面ABCD内一动点，设PD1 、PE与底面ABCD所成的角分别为φ1，φ2(φ1，φ2均不为0)．若φ1=φ2，则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分. （）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线卷Ⅱ(非选择题共90分)二．填空题（共4小题，每题5分，计20分）13k的取值范围为___________.14．已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD AC BC⊥AD，则三棱锥的外接球的表面积为__________________.15．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OF A、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3则S12＋S22＋S32=____________.16．如图，正方体A1B1C1D1－ABCD，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－PC D1的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面AC D1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣A D1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线其中真命题的个数是__________________个.三．解答题（共6小题，17-21题为必做题，22题为普通班和实验班必做，23题为英才班必做）17.（本小题满分10分）y k的取值范围．18.（本小题满分12分）上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．（1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．19.（本小题满分12分）（1（2.20．（本小题满分12在的平面互相垂直，（1（2.21. （本小题满分12分）ABB的轨迹（Ⅱ）直线AB C，D两点，当B为CD中点时，求直线AB的方程.22.（本小题满分12分）过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点(A在第一象限).(Ⅰ),求直线l的方程;(Ⅱ)C M,N,设F到d,一．选择题：CADDD ABABD AB二．填空题三．解答题17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，4分）∵命题q表示焦在y轴上的双曲线，k＜0，（8分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，解得k＜﹣10分）18.解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．19.20. 20.解：（1（2所以由等腰三角形的三线合一定理，G为BF的中点.所而根据所给的数据，易与.21.全优试卷其中，a＝2b＝1，则曲线Γ…5分…12分22.解因此直线l(2)则点F四．选择题：CADDD ABABD AB五．填空题六．解答题17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，4分）∵命题q表示焦在y轴上的双曲线，k＜0，（8分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，解得k＜﹣10分）18.解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．19.20. 20.解：（1（2所以由等腰三角形的三线合一定理，G为BF的中点.所而根据所给的数据，易与.21.其中，a＝2b＝1，则曲线Γ…5分…12分22.解,因此直线l(2)则点F。

2017-2018学年第一学期高二年级12月月考数学试卷（理）时间:120分钟满分:150分一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1、已知直线与直线平行，则直线在轴上的截距是( )A. 1B.C.D.2、已知表示直线，表示平面，则下列推理正确的是( )A. ，B. ，且C. ，，，D. ，，3、设，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（）A.C. B.D.4、如图，分别是边长为2的正方形的边与的中点，将，，分别沿折起，使得三点重合于点，则下列结论错误的是( )A.B. 到平面的距离为C. 四面体的四个面中有三个面是直角三角形D. 四面体外接球的表面积为5、已知抛物线，直线与抛物线交于，两点（不同于原点），以为直径的圆过坐标原点，则关于直线的判断正确的是（）A.过定点B.过定点C.过定点D.过抛物线焦点6、已知点分别是正方体的棱的中点,点分别在线段, 上. 以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是( )A. C.B. D.7、当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.8、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.9、在棱长为1的正方体中，平面与平面间的距离是（）A. B. C. D.10、已知实数满足，则的最小值是（）A. B. C. D.11、如图，是正方体的棱的中点，给出下列命题：①过点有且只有一条直线与直线、都相交；②过点有且只有一条直线与直线、都垂直；③过点有且只有一个平面与直线、都相交；④过点有且只有一个平面与直线、都平行．其中真命题是( )A. ②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③12、已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A.C. 4 B. 3D.二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13、如图所示，一个正方体的表面展开图的五个正方形为阴影部分，第六个正方形在编号为1～5的适当位置，则所有可能的位置编号为__________．14、在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为__________.15、已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点，则该双曲线的渐近线方程为： _______.16、已知点为坐标原点，点在轴上，正的面积为，其斜二测画法的直观图为△，则点到边的距离为__________．三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)17、已知圆，直线．(1)求证：直线恒过定点．(2)判断直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短长度．18、如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.19、已知抛物线（）的准线方程是，（1）求抛物线的方程；（2）设直线（）与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.20、如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上（1）求证：平面平面；（2）当且为的中点时，求与平面所成的角的大小.21、如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小.22、已知椭圆的离心率为，且抛物线的焦点恰好是椭圆C的一个焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点作直线与椭圆C交于A，B两点，点N满足（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线的方程.开滦二中2017-2018学年第一学期高二年级12月月考数学试卷（理）答案解析第1题答案 B因为直线与直线平行，所以，解得.故直线在轴上的截距是，选.第2题答案 D选项A中，，，则可能平行也可能相交，故A不正确；选项B中，，，则可能且，也可能在平面或内，故B不正确；选项C中，，，，，根据面面平行的判定定理，再加上条件与相交，才能得出，故C不正确；选项D为面面平行性质定理的符号语言，故选D.第3题答案 C如图，若直线与线段没有公共点，则直线逆时针旋转(斜率增大)到都是满足条件的直线，又,，故选C.第4题答案 BA项，∵折叠前，，∴折叠后，，又，∴平面，从而，故A正确．B项，设折叠前连接时，.则折叠后仍有，，又，∴⊥平面，从而平面⊥平面且交线为，作于点，则平面，∴为点到平面的距离．在中，，，，∴，故B不正确．C项，由A,B选项知四面体中有，∴四个面中有三个面是直角三角形，故C正确．D项，∵两两垂直，∴四面体的外接球直径为，即，∴，故D正确．第5题答案 B设直线，代入抛物线方程，可得，，，∵以为直径的圆过坐标原点，∴有，∴直线过定点．第6题答案 C如图(1),俯视图即为,当分别为, 中点时,俯视图为.如图(2),俯视图即为D.不管在什么位置,俯视图都不可能是一个三角形,故选.第7题答案 C注意到，知曲线是圆在直线的上方部分的半圆；而直线知恒过定点.如图，由于，，当直线与圆相切时：，解得，故知实数的取值范围是.第8题答案 D双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去,得有唯一解,所以,所以,第9题答案 B连接，与面与平面分别交于，．∵平面，∴，又∵，∴平面，∴. 同理可证，又，∴面.同理可证面．∴为平面与平面的距离.∵为正三角形，边长为，三棱锥为正三棱锥，∴为的中心，，，同理求出，又，∴．第10题答案 A将化为，，从几何意义讲，表示在圆上的点到直线的距离的倍，要使其值最小，只需最小即可，由直线和圆的位置关系可知，所以的最小值为第11题答案 C直线与是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取的中点，则，且，设与交于，则点共面，直线必与直线相交于某点．所以，过点有且只有一条直线与直线、都相交；故①正确．过点有且只有一条直线与直线、都垂直，此垂线就是棱，故②正确．过点有无数个平面与直线、都相交，故③不正确．过点有且只有一个平面与直线、都平行，此平面就是过点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．综上，①②④正确，③不正确，故选C．第12题答案 A如图所示，正方体被面ABCD所截，截面ABCD是上底为，下底为，两腰长为的等腰梯形，其面积为．第13题答案 1、4、5解析: 可用纸板做模型演示一下．第14题答案解析:因为空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标只要竖坐标变相反数，其余不变，因此为.第15题答案解析: 以题意可得解得：所以双曲线的渐近线方程为故答案为：第16题答案第16题解析正的面积为，边长为，，为中点，.所以点到边的距离：.第17题答案(1)证明略；(2)直线被圆截得的弦最短时的值是，最短长度是．第17题解析解：(1)直线的方程经整理得．由于的任意性，于是有，解此方程组，得．即直线恒过定点(2)因为直线恒经过圆C内一点，所以(用《几何画板》软件，探究容易发现)当直线经过圆心时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线垂直于时被截得的弦长最短．由，，可知直线的斜率为，所以当直线被圆截得弦最短时，直线的斜率为，于是有，解得．此时直线l的方程为，即．又．所以，最短弦长为．直线被圆截得的弦最短时的值是，最短长度是第18题答案（1）见解析（2)第18题解析（1）连接，由知，点为的中点.又∵为圆的直径，∴.由知，，∴为等边三角形，故.∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，∵，，，∴平面.（2）设，由（1）可知，，∴. 又，，，∴为等腰三角形，则，设点到平面的距离为，由，得，解得．第19题答案（1）（2）略第19题解析（1）抛物线（）的准线方程是，，解得，抛物线方程为.（2）证明：设，，将代入，消去整理得，，由，两式相乘得，，注意到，异号，，直线与直线的斜率之积为，即.第20题答案（1）详见解析；（2）第20题解析（1）∵四边形是正方形，∴，∵底面，∴，∴平面，∴平面平面.（2）设，连接，由（1）知平面于，∴为与平面所的角，∵，分别为、的中点，∴，，在中，，∴，即与平面所成的角的大小为.第21题答案（1）略；（2）略；（3）.第21题解析（1）∵平面，∴是在平面上的射影，又∵，平面，∴.（2）连接，与相交与，连接，∵是平行四边形，∴是的中点，又是的中点，∴，又平面，平面，∴平面.（3）如图，取的中点，连结，，则是的中位线，∴，又平面，∴平面，同理是的中位线，∴，∴，由三垂线定理可知是二面角的平面角.又.∴，而二面角与二面角互补，故所求二面角的大小为.第22题答案(1)；(2)2；.第22题解析(1)设椭圆的焦距为，∵离心率为，∴，∴，又点是抛物线的焦点，∴，∴椭圆C的方程为.(2)∵，∴四边形OANB为平行四边形，当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，直线与椭圆于、两点，由. 由.，，∵，∴，令，则（由上式知），∴，当且仅当，即时取等号，∴当时，平行四边形OANB的面积最大值为2.此时直线的方程为.。