19_20学年高中数学第1章基本初等函数Ⅱ1.3.1正弦函数的图象与性质第1课时正弦函数的图象与性质

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时 余弦函数的图象与性质1．余弦函数的图象(1)把正弦曲线向左平移π2个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数y ＝cos x 的图象叫做余弦曲线．(2)余弦曲线．除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：①描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法．②五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．【自主测试1】画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图．分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线． 解：列表：ω＞0)的周期为T ＝2πω.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期．【自主测试2－1】函数y ＝2cos x ＋1的最大值和最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．3，－1 C ．1，－1 D ．2，－1 答案：B【自主测试2－2】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数． 答案：D正弦函数与余弦函数的图象和性质的区别与联系(4)sin x ＋cos x ＝1题型一 用“五点法”作函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象 【例题1】用“五点法”画出函数y ＝2cos 2x 的简图．分析：先找出此函数图象上的五个关键点，画出其在一个周期上的函数图象，再进行扩展得到在整个定义域内的简图．解：因为y ＝2cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，所以先在区间[0，π]上按五个关键点列表如下．然后把y ＝2cos 2x 在[0，π]上的图象向左、右平移，每次平移π个单位长度，则得到y ＝2cos 2x 在R 上的简图如下．反思在用“五点法”画出函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π来确定，而不是令x ＝0，π2，π，3π2，2π.题型二 三角函数的图象变换【例题2】函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象平移得到，若使平移的距离最短，则应( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移7π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4＋π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8，故函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度得到．故选D ．答案：D反思一定要注意看清变换的顺序，即看清是以哪个函数图象作为基准． 题型三 函数的定义域问题【例题3】求函数y ＝36－x 2＋lg cos x 的定义域．分析：首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组，然后分别求解，最后求交集即可．解：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，cos x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，2k π－π2<x <2k π＋π2k ∈Z .利用数轴求解，如图所示：所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－6，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，6. 反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰，但要注意区间的开闭情况．题型四 余弦函数的最值或值域【例题4】(1)求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3的值域；(2)求函数y ＝2＋cos x2－cos x的最值；(3)求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．分析：(1)结合y ＝cos x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上先增后减即可求解；(2)利用|cos x |≤1这一性质；(3)利用配方法，结合二次函数的性质求解．解：(1)∵y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，∴y ma x ＝cos 0＝1，y min ＝cos 2π3＝－12，∴y ＝cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. (2)由y ＝2＋cos x 2－cos x ，求得cos x ＝2y －1y ＋1.∵|cos x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y －1y ＋1≤1，∴[2(y －1)]2≤(y ＋1)2.解得13≤y ≤3，∴y ma x ＝3，y min ＝13.(3)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y ma x ＝154.当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154.反思求函数的最值的方法有以下几种：(1)直接法．根据函数值域的定义，由自变量的取值范围求出函数值的取值范围． (2)利用函数的单调性．(3)利用函数的图象，转化为求函数图象上最高点和最低点的纵坐标的问题．(4)利用换元法，转化为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数问题．题型五 余弦函数图象的应用【例题5】求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心、对称轴方程、单调递减区间和最小正周期．分析：利用整体换元，设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝cos t 的相关性质．解：设t ＝2x ＋π4，则函数y ＝cos t 的图象如图所示．令t ＝k π(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π(k ∈Z )．故x ＝k ·π2－π8(k ∈Z )即为所求的对称轴方程．令t ＝k π＋π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k ·π2＋π8(k ∈Z )．故⎝ ⎛⎭⎪⎫k ·π2＋π8，0(k ∈Z )即为所求的对称中心．当t ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，2x ＋π4∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． ∵cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π4， ∴最小正周期T ＝π.反思整体换元思想是解决较复杂三角函数问题常用的一种方法，它能将问题化归为对基本三角函数的考查．〖互动探究〗若将本例中的函数改为“y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4”呢？ 解：设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝|cos t |，如图所示：解答过程同例题，可得无对称中心．令t ＝k ·π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k ·π2(k ∈Z )，∴对称轴为x ＝k ·π4－π8(k ∈Z )；令t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )， ∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8(k ∈Z )．最小正周期T ＝π2.反思(1)若三角函数式子中带绝对值号，则通常通过观察图象得到周期和单调区间． (2)正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 取绝对值后，周期缩为原来的一半，即 ①y ＝|sin x |的周期为π； ②y ＝|cos x |的周期为π.1．下列说法不正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[－1,1]B ．余弦函数当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值1，当且仅当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时取得最小值－1C ．正弦函数在每个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数 D ．余弦函数在每个区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )上都是减函数 答案：D2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案：A3．(2012·重庆期末)把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到图象的解析式为( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 答案：D4．若函数y ＝a cos x ＋b 的最小值为－12，最大值为32，则a ＝__________，b ＝__________.解析：由于y ma x ＝32，y min ＝－12，且－1≤cos x ≤1，则当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，－a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝12.综上，a ＝±1，b ＝12.答案：±1 125．函数y ＝|cos x |的单调增区间为________，单调减区间为________，最小正周期为________．解析：函数y ＝|cos x |的图象，如图所示．由图可知它的最小正周期为π.又因为在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，函数的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.而函数的周期是k π(k ∈Z )，因此函数y ＝|cos x |的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) π 6．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域是__________．解析：由已知0≤cos x ≤1，得2k π－π2≤x ≤2k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)用“五点法”画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)求函数f (x )的最大值，并求出取得最大值时自变量x 的取值集合； (3)求函数f (x )的单调增区间． 解：(1)列表：(2)当2x －π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，y ma x ＝3，此时x 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (3)当2k π－π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )时，k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．。

1.3.3 已知三角函数值求角预习导航1．已知正弦值，求角对于正弦函数y ＝sin x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记作x ＝arcsin_y 11,22y x ππ⎛⎫-≤≤-≤≤⎪⎝⎭． 注意：(1)arcsin y 的含义：表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y 的那个角，即sin(arcsin y )＝y (－1≤y ≤1)．(2)当0<y ≤1时，arcsin y ∈0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦； 当y ＝0时，arcsin y ＝0； 当－1≤y <0时，arcsin y ∈,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． (3)arcsin(－y )＝－arcsin y ． 2．已知余弦值，求角对于余弦函数y ＝cos x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x 值和它对应，记作x ＝arccos_y (－1≤y ≤1,0≤x ≤π)．注意：(1)符号arccos y 的含义：①arccos y 表示一个角；②－1≤y ≤1，且0≤arccosy ≤π．③cos(arccos y )＝y ．(2)当0<y ≤1时，arccos y ∈0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭；当y ＝0时，arccos y ＝2π；当－1≤y <0时，arccos y ∈,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦． (3)arccos(－y )＝π－arccos y ．如cos x ＝23，则x ＝arccos 23，若cos x ＝－23，则x ＝arccos 23⎛⎫-⎪⎝⎭＝π－arccos 23，则x ＝arccos y 表示[0，π]内的一个角． 3．已知正切值，求角如果正切函数y ＝tan x (y ∈R )，且x ∈,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个角x ，使tan x ＝y ，记作x ＝arctan_y ,22y R x ππ⎛⎫∈-<< ⎪⎝⎭． 注意：(1)arctan y 的含义：①arctan y 表示一个角；②y ∈R ，且－2π<arctan y <2π；③tan(arctan y )＝y ．(2)当y <0时，arctan y ∈,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当y ＝0时，arctan y ＝0； 当y >0时，arctan y ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭． (3)arctan(－y )＝－arctan y ． 4．已知三角函数值求角的基本类型 剖析：提示：已知角x的一个三角函数值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可分为以下几步求解：第一步，确定角x可能是第几象限角．第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1．第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角得出(0,2π)内对应的角——如果它是第二象限角，那么可表示为－x1＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为x1＋π或－x1＋2π．第四步，如果要求出(0,2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数这一规律写出结果．。

第2课时 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)学 习 目 标核 心 素 养1．了解正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义及各参数对图象变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．(重点)2．会用“图象变换法”作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(难点)通过正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象和性质的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养.1．正弦型函数(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数． (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω＞0，x ∈R )的周期T ＝2πω，频率f ＝ω2π，初相为φ，值域为[－|A |，|A |]，|A |也称为振幅，|A |的大小反映了y ＝A sin(ωx ＋φ)的波动幅度的大小．2．A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响：(2)ω对函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的影响：(3)A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响：(4)用“变换法”作图：y ＝sin x 的图象――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．思考：由y ＝sin x 的图象，通过怎样的变换可以得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象？ [提示] 变化途径有两条：(1)y ＝sin x 相位变换,y ＝sin(x ＋φ)周期变换,y ＝sin(ωx ＋φ)振幅变换,y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x 周期变换,y ＝sin ωx 相位变换,y ＝sin(ωx ＋φ)振幅变换,y ＝A sin(ωx ＋φ)．1．函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1的最小正周期为( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π B [T ＝2π2＝π.]2．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，只要将y ＝sin x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向上平移π4个单位D ．向下平移π4个单位B [将y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象．]3．已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π7，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______，______，______.10π 3π7 [由函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π7的解析式知，振幅为3，最小正周期为T ＝2πω＝10π，初相为π7.]正弦型函数的图象与性质【例1】 用五点法作函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3的图象，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．[思路探究] 先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图象，左、右扩展可得图象，然后根据图象求性质．[解] ①列表：x π3 56π 43π 116π 73π x －π30 π2 π 32π 2π y35313②描点连线作出一周期的函数图象．③把此图象左、右扩展即得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3的图象．由图象可知函数的定义域为R ，值域为[1,5]，周期为T ＝2πω＝2π，频率为f ＝1T ＝12π，初相为φ＝－π3，最大值为5，最小值为1.令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得原函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π(k ∈Z )．令2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋32π，(k ∈Z )得原函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋116π(k ∈Z )．令x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )得原函数的对称轴方程为x ＝k π＋56π(k ∈Z )．1．用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，32π，2π，然后解出自变量x 的对应值，作出一周期内的图象．2．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx ＋φ代入相应不等式中，求出相应的变量x 的X 围．1．作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的图象． [解] 令X ＝2x －π4，列表如下：X 0 π2 π 3π2 2π x π8 3π8 5π8 7π8 9π8 y2－2描点连线得图象如图所示．三角函数的图象变换【例2】 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2的图象是由函数y ＝sin x 的图象通过怎样的变换得到的？[思路探究] 由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动．三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略(1)确定函数y ＝sin x 的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x ”而言.(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象上所有的点：①向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)；②向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)；③向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；④向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．其中正确的是________．③ [y ＝sin x ――――――――→向左平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6――――――――――→横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6.]求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例3】 如图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象，确定其一个函数解析式．[思路探究] 解答本题可由最高点、最低点确定A ，再由周期确定ω，然后由图象所过的点确定φ.[解] 由图象，知A ＝3，T ＝π，又图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，∴所求图象由y ＝3sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到，∴y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知或代入图象与x 轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口.“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的部分函数图象如图所示，求此函数的解析式．[解] 由图象可知A ＝2，T 2＝43－13＝1，∴T ＝2，∴T ＝2πω＝2，∴ω＝π，∴y ＝2sin(πx ＋φ)．代入⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性[探究问题]1．如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴方程？[提示] 与正弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )．2．如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心？[提示] 与正弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )成中心对称．【例4】 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)． (1)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为偶函数，求φ的值；(2)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)关于x ＝π8对称，求出φ的值及f (x )的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．[思路探究] 利用正弦函数的性质解题． [解] (1)∵f (x )为偶函数，∴φ＝k π＋π2，又φ∈(0，π)，∴φ＝π2.(2)∵f (x )＝sin(2x ＋φ)关于x ＝π8对称，∴f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即sin φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ， ∴tan φ＝1，φ＝k π＋π4(k ∈Z )．又φ∈(0，π)，∴φ＝π4，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，由2x ＋π4＝k π，得x ＝k π2－π8(k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，对称中心⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )．1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等考查．2．有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．4．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .②③ [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32. f ⎝⎛⎭⎪⎫23π＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫43π－π3＝0，故①错，②正确．令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π，k ∈Z ，故③正确．函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π的图象，故④错．](教师用书独具)1．φ对函数y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R (其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．2．ω(ω>0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．3．A (A >0)对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0且A ≠1)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1)当原来的A 倍(横坐标不变)而得到的，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域为[－A ，A ]．最大值为A ，最小值为－A .4．由y ＝sin x 变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的方法 (1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移1．(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2 B.32 C ．1 D.12A [由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 故选A.]2．要得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将y ＝3sin 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位C [y ＝3sin 2x 的图象――――――――→向左平移π8个单位y ＝3sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8的图象，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．]3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的一条对称轴是________．(填序号) ①x ＝－π2；②x ＝0；③x ＝π6；④x ＝－π6.③ [由正弦函数对称轴可知．word x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，x ＝k π＋π6，k ∈Z ，k ＝0时，x ＝π6.]4．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，试求该函数的解析式．[解] 由图象可知A ＝2，T ＝4×(6－2)＝16，ω＝2πT ＝π8.又x ＝6时，π8×6＋φ＝0，∴φ＝－3π4，且|φ|<π. ∴所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4.。

1.3.1 正弦函数的图象与性质第二课时 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)1．正弦型函数的概念形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数． 当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈(0，＋∞))表示一个振动量时，则A 称为振幅；T ＝2πω称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f ＝1T称为频率；ωx ＋φ称为相位；x ＝0时，相位φ称为初相．一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝2πω.【自主测试1－1】函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A ．π2 B ．π C．2π D．4π答案：D【自主测试1－2】函数y ＝2 012sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6的振幅为__________，周期为__________，初相为__________．答案：2 0122π3 π62．正弦型函数的图象变换 (1)相位变换．y ＝sin x 的图象―----------------------―→向左φ＞0或向右φ＜0平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象．(2)周期变换．y ＝sin x 的图象――--------------------------------------→横坐标缩短ω>1或伸长0<ω<1到原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin_ωx 的图象． (3)振幅变换．y ＝sin x 的图象――-------------------------→纵坐标变为原来的A A >0倍横坐标不变y ＝A sin_x 的图象． (4)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可以这样得到：y ＝sin x 相位变换,y ＝sin(x ＋φ)周期变换,y ＝sin(ωx ＋φ)振幅变换,y ＝A sin(ωx ＋φ)．【自主测试2】函数y ＝sin x 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________．解析：y ＝sin x →y ＝3sin 13x →y ＝3sin 13(x －3)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1.答案：y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －11．解读图象变换常用的两种途径剖析：由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象一般有两种途径． 途径一：先作相位变换，再作周期变换．先将y ＝sin x 的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度；再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先作周期变换，再作相位变换．先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)；再将得到的图象沿x 轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x 轴平移的单位长度不同．其突破口是化归到由函数y ＝f (x )的图象经过怎样的变换得到函数y ＝f (ωx ＋φ)的图象．若按途径一，先将y ＝f (x )的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度，得函数y ＝f (x ＋φ)的图象；再将函数y ＝f (x ＋φ)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍，得y ＝f (ωx ＋φ)的图象．若按途径二，先将y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍，得函数y ＝f (ωx )的图象；再将函数y ＝f (ωx )的图象上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝f (ωx ＋φ)的图象．若将y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍(ω＞0)，得函数y＝f (ωx )的图象；再将函数y ＝f (ωx )的图象上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度，得到y ＝f [ω(x ＋φ)]的图象，即函数y ＝f (ωx ＋ωφ)的图象，而不是函数y ＝f (ωx ＋φ)的图象．知识拓展函数图象中的对称变换： ①y ＝f (x )―------------------―→图象关于y 轴对称y ＝f (－x ) ②y ＝f (x )――--------→图象关于x 轴对称y ＝－f (x )③y ＝f (x )――---------------------------→将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方原x 轴上方的图象不动y ＝|f (x )| ④y ＝f (x )――---------------------→将y 轴右边的图象作对称得到y 轴左边图象，原y 轴右边的图象不动y ＝f (|x |) 2．教材中的“思考与讨论”想一想，如何按照下列指定的顺序，将一个函数的图象变为下一个函数的图象：y ＝sin x →y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3→y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3→y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.剖析：y ＝sin xy ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3――---------------→纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3―------------→横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.题型一 作正弦型函数的图象【例题1】用五点法作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3的简图，并指出它的周期、频率、初相、最值及单调区间．分析：先画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3在一个周期内的图象，再将其分别向左、右扩展，从而得所求函数的图象．解：先由五点法作出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3在一个周期内的图象．列表：描点作图．如图所示，再将上述一个周期内的图象分别向左、向右扩展即得函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3的简图(图略)，该函数的周期T ＝2π，频率f ＝1T ＝12π，初相为－π3，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋11π6(k ∈Z )，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．反思用五点法作图象中的五个点，有三个点位于平衡位置，有一个点是最高点，有一个点是最低点，所以相邻两个点的横坐标相差14个周期．因此，找出一个点后，可依次把横坐标加上14个周期，从而得到其他点的横坐标．题型二 正弦型函数的图象变换【例题2】试用两种方法说明由函数y ＝sin x 的图象变换成函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象的全过程．分析：思路一：先变相位，再变周期，最后变振幅，即y ＝sin x →y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6→y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6→y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.思路二：先变周期，再变相位，最后变振幅，即y ＝sin x →y ＝sin 12x →y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6→y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.解：解法一：①先把正弦曲线上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象；②再把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象； ③最后把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象． 解法二：①先把正弦曲线上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin 12x 的图象；②再把函数y ＝sin 12x 的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象；③最后把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象． 反思对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，应明确A ，ω决定“形变”，φ决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A ，ω，φ影响单调性．当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定要注意针对x 的变化，函数图象向左或向右平移φ|ω|个单位长度．题型三 由函数图象求解析式【例题3】如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|<π2的图象中的一段，确定A ，ω，φ的值，并写出函数的解析式．分析：可采用起始点法、最值点法、图象变换法来确定解析式． 解：解法一：(起始点法) 由图象知，振幅A ＝3.又∵T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.由五点法作图原理知点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0为起始点，令－π6·2＋φ＝0，得φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.解法二：(最值点法) 由图象知，振幅A ＝3. 又T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.由图象知，图象的最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，将该点坐标代入y ＝3sin(2x ＋φ)，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝3， ∴π6＋φ＝2k π＋π2，即φ＝2k π＋π3，k ∈Z .不妨令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 解法三：(图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象上，可知图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度得到的，∴y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.反思通过本题我们认识到：解决同一个问题，可以有多种途径，大家在做题时，要注意发散思维．题型四 正弦型函数的综合应用【例题4】若函数f (x )＝5sin(2x ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求φ的最小正值；(3)当φ取最小正值时，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，求f (x )的最大值和最小值． 分析：f (x )对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，意味着f (x )的一条对称轴为x ＝π3，以此为切入点求出φ，再利用图象及性质求最值．解：(1)∵f (x )对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，∴x ＝π3是函数f (x )＝5sin(2x ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝± 5. (2)由f (x )＝5sin(2x ＋φ)的图象的对称轴知2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k2π＋π4－φ2(k ∈Z )． ∵直线x ＝π3是其中一条对称轴，代入得φ＝k π－π6(k ∈Z )．∴φ的最小正值为5π6.(3)由(2)，知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，∴2x ＋5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，7π6，∴f (x )ma x ＝5，f (x )min ＝－52. 反思对于函数f (x )来说，若总有f (a ＋x )＝f (a －x )，则该函数图象关于直线x ＝a 对称． 题型五 易错辨析【例题5】要得到y ＝sin 4x 的图象，只需把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度错解：D错因分析：平移方向有误．我们知道要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需把y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位长度即可，但在回答本题时，要注意平移方向的变化，故应为向左平移π12个单位长度．正解：C1．函数y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期、振幅分别为( ) A ．π，－2 B ．π，2 C ．2π，－2 D ．2π，2 答案：B2．(2012·天津期末)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋5π6答案：A3．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，则所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋3π8B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π8C ．y ＝sin 4xD ．y ＝sin x解析：将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4，即y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，就得到函数y ＝sin 4x 的图象．答案：C4．下列各点不是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象的对称中心的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 答案：D 5．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值是__________，最小值是__________．解析：∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤5π6.令μ＝x ＋π3，则－π6≤μ≤5π6.此时－12≤sin μ≤1，∴－22≤2sin μ≤2，即－22≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤ 2.∴该函数的最大值为2，最小值为－22. 答案： 2 －226．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．(1)若A ＝3，ω＝12，φ＝－π3，作出该函数在一个周期内的草图；(2)若y 表示一个振动量，其振动频率是2π，当x ＝π24时，相位是π3，求ω与φ.解：(1)由函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3列出下表：见下图)．(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝ω2π＝2π，ω·π24＋φ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝4，φ＝π6.。

1.3.1 正弦函数的图象与性质第一课时 正弦函数的图象与性质1．正弦函数的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫做正弦曲线．我们用“五点法”作出y ＝sin x ，x ∈R 的图象如下图．其中在x ∈[0,2π]的图象起关键作用的五个点分别为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．【自主测试1】y ＝－sin x 的图象的大致形状是图中的( )答案：C2．正弦函数的性质 (1)定义域：R .(2)值域：[－1,1]，当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，正弦函数取得最大值1；当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，正弦函数取得最小值－1.(3)周期性：最小正周期为2π.(4)奇偶性：奇函数，正弦曲线关于原点对称．(5)单调性：正弦函数在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上，都从－1增大到1，是增函数；在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上，都从1减小到－1，是减函数．【自主测试2】函数y ＝sin x (0＜x ≤2π)的值域是__________． 答案：[－1,1] 3．周期函数一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．今后本书所涉及到的周期，如果不加特殊说明，三角函数的周期均指最小正周期．是否所有的周期函数都有最小正周期？请举例说明．答：一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期的话，则最小正周期只有一个，并不是每一个周期函数都有最小正周期，如f (x )＝a (a 为常数)就没有最小正周期．【自主测试3】f (x )＝sin x ，x ∈R 是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数解析：由正弦函数的性质，可知f (x )的最小正周期为2π.又由f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ＝－f (x )，得f (x )是奇函数．答案：B1．探讨正弦函数图象的对称性剖析：因为y ＝sin x 为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，除了这个中心对称点之外，对于正弦函数图象，将y 轴左移或右移π个单位长度，2π个单位长度，3π个单位长度，…，即k π(k ∈Z )个单位长度，正弦函数的图象的对称中心也可以是点(π，0)，点(2π，0)，…，点(k π，0)(k ∈Z )，由此可知正弦函数的图象有无数个对称中心，且为(k π，0)(k ∈Z )，它们是图象与x 轴的交点．正弦函数的图象也具有轴对称性，对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，它们是过图象的最高点或最低点且与x 轴垂直的直线． 2．对周期函数概念的理解剖析：对于周期函数概念的理解要注意以下几个方面：①“f (x ＋T )＝f (x )”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x 的值，x ＋T 仍在定义域内且等式成立．②从等式“f (x ＋T )＝f (x )”来看，应强调是自变量x 本身加的非零常数T 才是周期．例如f (2x ＋T )＝f (x )恒成立，但T 不是f (x )的周期．③周期函数的周期不是唯一的，如果T 是函数f (x )的周期，那么kT (k ∈Z ，k ≠0)也一定是函数f (x )的周期．④周期函数的定义域不一定是R ，但一定是无限集．⑤对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期．但是并不是所有周期函数都存在最小正周期．3．教材中的“？”(1)请同学们观察下图，说明将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象怎样变换就能得到函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．剖析：函数y ＝sin x ――------------→横坐标不变，将所有点的纵坐标增加1y ＝sin x ＋1(也可以说，将函数y ＝sin x 的图象向上平移1个单位长度，便可得到函数y ＝sin x ＋1的图象)．(2)请同学们自己动手推导：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω＞0，x ∈R )的周期为T ＝2πω.剖析：设u ＝ωx ＋φ，因为y ＝sin u 的周期是2π， 所以sin(u ＋2π)＝sin u ，即sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝sin(ωx ＋φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ.这说明，当自变量由x 增加到x ＋2πω，且必须增加到x ＋2πω时，函数值重复出现．因此y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期T ＝2πω.由此可知该函数的周期仅与自变量的系数有关，公式为T ＝2πω.说明：若没有ω＞0这个条件，则周期T ＝2π|ω|.归纳总结除定义法外，求三角函数周期的方法还有以下两种．(1)公式法：对于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|.(2)观察法(图象法)：画出函数图象，观察图象可得函数周期．题型一 用“五点法”画有关正弦函数的图象【例题1】用“五点法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的图象．分析：先把x ＋π2看成一个整体，取出一个周期内的五个关键点，再求出相应的x ，然后求出y .解：得下图所示的图象，即为所求作的图象．反思在利用关键的五个点描点作图时要注意被这五个点分隔的区间上函数的变化情况，在x ＋π2＝π，2π附近，函数增加或下降得快一些，曲线“陡”一些；在x ＋π2＝π2，3π2，5π2附近，函数变化得慢一些，曲线“平缓”一些． 题型二 讨论有关正弦函数的性质【例题2】讨论y ＝－12sin x ＋12的性质．分析：讨论有关正弦函数的性质，应结合图象并从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、单调性等几方面入手．解：先用“五点法”作出y ＝－12sin x ＋12的图象，如下图．由图象去分析函数的性质，如下：(1)定义域：R . (2)值域：[0,1]．(3)最值：当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，取最小值0；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，取最大值1.(4)奇偶性：是非奇非偶函数． (5)周期性：最小正周期为2π.(6)单调性：在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是增函数； 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是减函数． 反思通过三角函数图象可以使那些原本较复杂的数量关系、抽象的概念等显得直观，以此达到化难为易的效果．题型三 正弦函数性质的简单应用 【例题3】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝1－sin x1＋sin x.分析：利用函数奇偶性的定义进行判断． 解：(1)函数的定义域为R ，关于原点对称． 又∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ，∴f (－x )＝－(－x )sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)∵函数应满足1＋sin x ≠0，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z. ∴函数的定义域不关于原点对称．∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．反思函数的定义域是判断函数奇偶性的前提，即首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．【例题4】求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x 的单调递增区间． 分析：把“π3＋2x ”整体换元，代入正弦函数y ＝sin x 的单调区间，求出x 即可．解：设t ＝π3＋2x ，则t ＝π3＋2x 是关于x 的增函数，而y ＝sin t 的单调递增区间为t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 故2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 因此函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 反思如果x 的系数是负值，可利用诱导公式先化成正值，再整体代换．〖互动探究〗若将本例中的函数改为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求其单调递增区间． 解：∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴只需求出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间． 令2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 因此函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．1．函数f (x )＝sin x2是( )A ．周期为4π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为2π的偶函数 答案：A2．下列函数的图象与下图中曲线一致的是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝12|sin x |＋12C ．y ＝|sin 2x |D ．y ＝|sin 2x |＋12答案：B3．比较大小：(1)sin 74__________cos 53；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18__________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 解析：(1)∵cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53， 又π2＜74＜π2＋53＜3π2，但y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数，∴sin 74＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53， 即sin 74＞cos 53.(2)∵－π2＜－π10＜－π18＜0，且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是增函数， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 答案：(1)＞ (2)＞4．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最大值为__________，相应的x 值为__________．解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.故当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，y 取最大值 2.答案： 2 π85．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(2)f (x )＝1－sin x ＋sin x －1. 解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，x ∈R .又f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 4＝－cos 3x 4＝f (x )，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ≥0，sin x －1≥0，得sin x ＝1，故f (x )＝0，x ∈⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .故函数f (x )＝1－sin x ＋sin x －1是非奇非偶函数．6．求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的最大值和最小值．解：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. ∵sin x ∈[－1,1]， ∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y 有最小值－9；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y 有最大值1.。

第1课时 正弦函数的图象与性质学 习 目 标核 心 素 养1．能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象．(难点)2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值．(重点)1.通过正弦函数图象和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．2．借助正弦函数图象和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养.1．正弦函数的图象(1)利用正弦线可以作出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，要想得到y ＝sin x (x ∈R )的图象，只需将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象沿x 轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图象叫做正弦曲线．(2)“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)， ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1和(2π，0)．2．正弦函数的性质 (1)函数的周期性①周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．(2)正弦函数的性质函数 y ＝sin x定义域 (－∞，＋∞) 值域 [－1,1] 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期：2π单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z )上递减 最值x ＝2k π＋π2，(k ∈Z )时，y 最大值＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y 最小值＝－1思考：观察正弦函数的图象是否具有对称性，它的对称性是怎样的？[提示] 由图(图略)可以看出，正弦函数的图象关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图象，点(π，0)，点(2π，0)…，点(k π，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图象有无数个对称中心，且为(k π，0)(k ∈Z )，即图象与x 轴的交点，正弦函数的图象还具有轴对称性，对称轴是x ＝k π＋π2，(k ∈Z )，是过图象的最高或最低点，且与x轴垂直的直线．1．函数y ＝x sin x 是( ) A ．奇函数，不是偶函数 B ．偶函数，不是奇函数 C ．奇函数，也是偶函数D ．非奇非偶函数B [f (－x )＝－x sin(－x )＝－x (－sin x )＝x sin x ＝f (x )，∴y ＝x sin x 为偶函数，不是奇函数．]2．下列图象中，符合y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )D [把y ＝sin x ，x ∈[0,2π]上的图象关于x 轴对称，即可得到y ＝－sin x ，x ∈[0,2π]上的图象，故选D.]3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2C [由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1，∴m ＝－1.]正弦函数的图象【例1】 用五点法作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点，求a 的取值X 围； (3)求函数y ＝1－2sin x 的最大值，最小值及相应的自变量的值． [解] 按五个关键点列表x－π －π20 π2 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x131－11描点连线得：(1)由图象可知图象在y ＝1上方部分y >1，在y ＝1下方部分y <1，∴当x ∈(－π，0)时，y >1，当x ∈(0，π)时，y <1.(2)如图，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1，∴a 的取值X 围是{a |1<a <3或－1<a <1}．(3)由图象可知y max ＝3，此时x ＝－π2；y min ＝－1，此时x ＝π2.1．解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x 取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y 值，作出图象．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．3．仔细观察图象，找出函数图象y ＝1与y ＝a 的交点及最大值，最小值点正确解答问题．1．用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0,2π]上的图象．[解] 取值列表如下：x 0 π2π 3π22πsin x 0 1 0 －1 012＋sin x 12 32 12 －12 12描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)正弦函数的单调性及应用(1)sin 194°和cos 160°； (2)sin 74和cos 53；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8和sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8.[思路探究] 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小． [解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°， ∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.(2)∵cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53， 又π2<74<π<π2＋53<32π， y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是减函数，∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53， 即sin 74>cos 53.(3)∵cos 3π8＝sin π8，∴0<cos 3π8<sin 3π8<1<π2.而y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8.1．求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性． 2．比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．2．比较大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. [解] (1)sin 250°＝s in(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin 70°＜sin 80°，所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－23π5＝－sin 23π5＝－sin 3π5 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π5＝－sin 2π5，sin ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin π4.因为0＜π4＜2π5＜π2，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin π4＜sin 2π5，－sin π4>－sin 2π5，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4.正弦函数的值域与最值问题1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0，π]上最小值能否为－1?[提示] 不能．因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22. 2．函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？[提示] 不是．因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b . 【例3】 求下列函数的值域． (1)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3； (2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x .[思路探究] (1)用|sin α|≤1构建关于y 的不等式，从而求得y 的取值X 围． (2)用t 代替sin x ，然后写出关于t 的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y 的取值X 围．[解] (1)∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3≤5，∴1≤y ≤5，即函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值域为[1,5]． (2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，y ＝－2t 2＋t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫t －142＋98.由二次函数y ＝－2t 2＋t ＋1的图象可知－2≤y ≤98，即函数y ＝1－2sin 2x ＋sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，98.1．换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．2．转化成同一函数，要注意不要一见sin x 就有－1≤sin x ≤1，要根据x 的X 围确定．3．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．[解] f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22， ∴当sin x ＝－22时取最小值为1－22.(教师用书独具)1．“几何法”和“五点法”画正弦函数图象的优缺点(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线作出弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为繁琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法． 2．正弦函数周期性的释疑由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.3．正弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称． (2)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． 4．正弦函数单调性的说明(1)正弦函数在定义域R 上不是单调函数，但存在单调区间．(2)求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． (3)确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．5．正弦函数最值的释疑(1)明确正弦函数的有界性，即|sin x |≤1.(2)对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．(3)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝z ，将函数转化为y ＝A sin z 的形式求最值．1．以下对于正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同 B ．关于x 轴对称C ．介于直线y ＝1和y ＝－1之间D ．与y 轴仅有一个交点B [观察y ＝sin x 图象可知A ，C ，D 项正确，且关于原点中心对称，故选B.]2．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )D [可以用特殊点来验证．当x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A ，C ；当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π2＝1，排除B.]3．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值X围是__________．[－1,0][因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.]4．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0,2π]上的简图．[解] 列表：x 0π2π3π22πsin x 010－10y＝－2sin x 0－2020 描点、连线得y＝－2sin x的图象如图：。