大学高等几何授课讲义

为 x y 0, x y 0, x 2y 1 0的仿射变换。
• 2、已知仿射变换
x/ 2x y 1
• 求点 P1(1, 0), P2 (1, 0)
y/
x
y
3
• 的像点，及直线 x y 2 0的像直线。
第一章、仿射坐标与仿射变换
复习仿射坐标 及代数表示式
• 正交变换
x'
y
•
所以：
x'
y'
a11x a21x
a12 y a13 a22 y a23
第一章、仿射坐标与仿射变换
例 已知三点 O(0,0), E(1,1), P(1, 1)求仿射变换T使顺次 变为 O1(2,3), E1(2,5), P1(3, 7).
• 练习：1、求使直线x 0, y 0, x 2y 1 0分别变
点集拓扑 代数拓扑 解析拓扑
分形几何
微分拓扑 微分流形 纤维丛
五、课程简介
• 周学时3，一个学期，学习第一章～第六章
• 主要参考书：
•梅向明、门淑惠等编《高等几何》,高等教育出版社出版， 2008年; • 朱德祥、朱维宗等编《高等几何》（第二版）,高等教育出 版社出版，2010年; •罗崇善编《高等几何》,高等教育出版社出版,1999年6月； •朱德祥、李忠映、徐学钰等编《高等几何习题解答》。
x' y'
A
x y
a b
,
直线l1
:u
u1
u2
,l2
:vΒιβλιοθήκη v1v2l1
//
l2
u
v即
u1 u2
v1 v2
u1' u2'
A
u1 u2
A
v1 v2
A
v1 v2
v1' v2'
第一章、仿射坐标与仿射变换
二、重要结论：
• 1、两相交直线经仿射变换后仍为相交直 线。
1)设 P1, P2 , P 为共线三点
P1
P2
P
称
( P1P2 P)
P1P P2 P
为共线三点 P1, P2 , P 的单比，P1, P2 叫基点
P 叫分点。
uuur uuur P1P, P2P 是有向线段 P1P, P2P 的数量
§ 1 透视仿射对应
2). 符号
3）.与定比的区别 (P1P2P)表示一个数, 是有向线段P1P与P2P的比值, 与解几中的定 比分点反号.
第三节、仿射坐标系
１、定义 笛卡尔坐标系在仿射对应下的像叫做
仿射坐标系， (x', y') 叫点 P' 的仿射坐标
记为 P' (x', y' )
２、设共线三点 P1, P2 , P3 的仿射坐标为
(x1, y1), (x2 , y2 ), (x3, y3)
则单比为
( p1, p2 , p3 )
x3 x1 x3 x2
'
a11x a21x
a12 y a13 a22 y a23
, a121
a221
a122
a222
1, a11a12
a21a22
0
• 位似变换
x'
y'
kx ky
a13 a23
,k
0
第一章、仿射坐标与仿射变换
– 相似变换
x'
y
'
ax by bx ay
d1 d2
,
1
– 压缩变换
(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞
区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l
2、共点直线仍变为共点直线 3、两平行线段之比是仿射不变量。 4、两三角形面积之比是仿射不变量 （证明见课本）
第一章、仿射坐标与仿射变换 5、两个多边形面积之比是仿射不变量 6、两封闭图形面积之比是仿射不变量 • 例、求椭圆的面积
D A CB
O
第一章、仿射坐标与仿射变换
设在笛卡尔直角坐标系下椭圆方程 为
第一章 仿射坐标与仿射变换
本章地位 本章内容
学习射影几何的基础
阐明仿射变换的概念，研 究仿射变换的不变量与不 变性质。
学习注意
认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
第一章、仿射坐标与仿射变换
透视仿射对应
一、概念
1、同一平面内两直线a到b间的透视对应，设L为平面上
另外一直线,a与 b不平行。过a上的点 A, B,CL作与L平行 的直线与b交于 A', B', C ',L
为什么？
第一章、仿射坐标与仿射变换
反之，若两个平面间的一个点对应（变换）保持同 素性、结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应 （变换）称为仿射对应（变换）
例１、平行四边形经仿射（对应）变换仍变为平行 四边形
例２、两平行线段之比经仿射对应不变
例３、仿射对应保持平形性不变
第一章、仿射坐标与仿射变换
射影变换将彻底改变我们原有的几何 空间观念！
课程概论
一、高等几何的内容
二、高等几何的方法
综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容
解析法
形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题
本课程
以解析法为主，兼用综合法
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 三、开课目的
y3 y1 y3 y2
第一章、仿射坐标与仿射变换
第一章、仿射坐标与仿射变换
仿射变换的坐标表示
• 已知仿射坐标{：o, e1, e2} 仿射变换为:T
• 变换将 ：{o, e1, e2} {o', e1' , e2' }
•且
o', e1' , e2' 在{o;e1, e2}下的坐标分别为： （a13, a23), (a11, a21), (a12, a22 )
非欧几何
经验几何
演绎化
论证几何 （欧氏几何）
（远古─元前600年） （元前600年─ 400年）
积累了丰富的 经验，但未上 升成系统理论
埃及几何跟希腊逻辑 方法相结合，以抽象 化、逻辑化为特点
几何基础 （公理几何）
解析几何
微分几何
射影几何
拓扑学
四、几何的发展历史线索
代数曲线
解析几何
(17世纪)
（坐标法）
•
：
x2 y2 a2 b2
x' x
1作变换
y
'
a b
y
变为x'
y'
a2
在仿射变换下：o o, A A' A, B B'
s椭 sAOB
s圆 sA0B'
,即 s椭 1 ab
1
ab a2
s椭
ab
22
§ 2.1 射影平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影
定义1.22 : l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊点： X=l×l' 自对应点 OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对应!
这个对应称为 a1到an 的仿射对应。
记作： nn1 L 21
第一章、仿射坐标与仿射变换
如图所示：
第一章、仿射坐标与仿射变换 如图
第一章、仿射坐标与仿射变换 二、性质
（1）保持同素性和结合性； （2）保持共线三点的单比不变； （3）保持直线的平行性不变。
注：仿射对应下，对应点的连线不一定平行。
影消线的存在导致两平面间的中心射影不是一个一一对应
§ 2.1 射影平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影
} 定义1.22 : l l'
2、平面到平面的中心射影
均不是一一对应
定义1.23 : '
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一一对应？
给平行线添加交点！
§ 2.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 2.1 射影平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
课程概论
一、高等几何的内容 什么是射影几何？
直观描述
鸟瞰下列几何学
欧氏几何
仿射几何
射影几何
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数 量(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射的结果
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
仿射几何
平行射影
透视仿射变换
有限次平行射影的结果
仿射变换
仿射几何 仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学
比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影
透视变换
有限次中心射影的结果
射影变换
射影几何
研究图形的 射影变换不变性的科学
射影不变性
比如——几条直线共点、 几个点共线等等
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想
• 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养
• 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
四、几何的发展历史线索
射影几何学是一切的几何学 ──[英] Cayley
§ 2.1 射影平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影
定义1.23 : '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像
因此 ， 1 : ' 是π'到π的中心射影
三条特殊的线： x ' 自对应直线(不变直线) u ,U u,OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ',V 'v',OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线
§ 1 透视仿射对应
二性质 1保同素性和结合性
2保单比不变 3保平行性
第一章、仿射坐标与仿射变换
•第二节、 仿射对应与仿射变换
一、概念 设同一平面内有n条直线，a1, a2,L , an 如下图
1,2 ,L ,n 是 a1到a2 , a2到a3,L , an1到an 的透视仿射对应
经过这一串对应，得到 a1到an 的透视仿射对应，
代数法 代数几何 代数曲面 代数族 域上多胞形
微分几何
(19世纪)
（分析方法）
张量分析 微分流形、黎曼流形、复流形 大范围微分几何
射影几何
(19世纪)
（综合法、爱尔 兰根纲领代数法）
仿射几何 画法几何
四、几何的发展历史线索
罗氏几何 非欧几何 （19世纪） 黎曼几何
拓扑学
（几何与代数、 分析相结合， 多样化发展）
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
§ 2.1 射影平面
理解约定1.1(1), (2)
即得a到b的一个一一映射， 称为透视仿射对应。 注：透视仿射对应与L的方向无关。若a与b相交，交 点称为自对应点。
第一章、仿射坐标与仿射变换
a
两条直线间的透视仿射对应
C B A
o A/
L
B/ C/
b
第一章、仿射坐标与仿射变换
两个平面间的透视仿射对应
A1 B1 C1
1
M
BC A
L
第一章、仿射坐标与仿射变换 2、定义
x' ax
y
'
by
, ab
0
第一章、仿射坐标与仿射变换
第四节、仿射性质
• 一、定义：图形经过任何仿射变换后都 不变的性质（量），称为图形的仿射性 质（量）
•同素性，结合性，平行性是仿射性质。 •单比是仿射不变量。
第一章、仿射坐标与仿射变换
例 证明：两平行直线经过仿射变换后仍变为平行直线
• 证明：设变换为：T:
教师授课助手 学生自修向导——
高等几何多媒体课件
课程概论
一、高等几何的内容
高等几何
数学与应用数学专业主干课程之一
前三高
数学分析 高等代数
后三高
实变函数 近世代数
高等几何
点集拓扑
综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何, 一个学期
高等几何
射影几何 几何基础 ……
本课程
主要介绍平面射 影几何知识(教材 前五章)
第一章、仿射坐标与仿射变换
平不行变四，边故形P'在O坐Px P标y变系为{平O'行; e1'四, e边2' }中形的O坐'P标x'P为y' ，且(x,y保) 持单比
y/
p/
y py o
p
py/
o/
px
x
x/ px/
第一章、仿射坐标与仿射变换
一方面 ：, OP' x'e1 y'e2 • 另一方面： op' oo' o' p' a13e1 a23e2 xe1' ye2' a13e1 a23e2 x(a11e1 a21e2 ) y(a12e1 a22e2 ) (a11x a12 y a13 )e1 (a21x a22 y a23 )e2