第六讲规律探索及应用型问题4-3-20161.（因式分解类型问题、整式的混合运算）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式。
例如图1可以得到：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2. 请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式_______________________________（2）利用（1）中所得的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11, ab+bc+ac=38, 求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a, b的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到数学公式：2a2+5ab+2b2=(2a+b)·(a+2b);（4）小明同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，5张边长分别为a, b的长方形重新拼出一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为____________________.2.(方差公式)仪器箱按如图方式堆放(自下而上依次为第1层、第2层、…)，受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数a n与层数n之间满足关系式a n=n2−32n+247，1⩽n<16，n为整数。
(1)例如，当n=2时，a2=22−32×2+247=187，则a5=______，a6=______；(2)第n层比第(n+1)层多堆放多少个仪器箱；(用含n的代数式表示)(3)如果不考虑仪器箱堆放所承受的压力，请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层?并说明理由；(4)设每个仪器箱重54N(牛顿)，每个仪器箱能承受的最大压力为160N，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的。
①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层?为什么?3.【规律探索（数字的变化类型问题）】观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”。
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×______=______×25；②______×396=693×______.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2⩽a+b⩽9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a、b)，并证明。
4.【数字规律探索】老师在黑板上写出三个算式：52−32=8×2，92−72=8×4，152−32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112−52=8×12，152−72=8×22，…(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；(2)用文字写出反映上述算式的规律；(3)证明这个规律的正确性。
5.整数问题是饶有兴趣的，又发人思考的，若对整数作一些特殊的规定，就会得到一些特殊定义下的新数，并由此产生令人思考的问题.我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数称为“智慧数”.如，则16称为智慧数.请你判断：在自然数列中，从1数起，第2000个智慧数是哪个数？6. 【公式求解问题探索】(1)已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,求x+y+z的值.(2)26=52+12,53=72+22,26×53=1378,1378=372+32任意挑选另外两个类似26,53的数,使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?7.（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图3），利用上面探究所得结论，求当a=3，b=4时梯形ABCD的周长________．（3）如图4，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长_______________．8. 阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘记为a n ，记为a n ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n =b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）． （1）计算以下各对数的值：log 24=______，log 216=______，log 264=______．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ log a M+log a N=______；（a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0）（4）根据幂的运算法则：a n •a m =a n+m 以及对数的含义证明上述结论．9. 先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若，求和的值． 解：∵ ∴∴ ∴ ∴2222690m mn n n ++-+=m n 2222690m mn n n ++-+=2222690m mn n n n +++-+=22()(3)0m n n ++-=0,30,m n n +=-=3, 3.m n =-=问题(1)若△ABC 的三边长都是正整数，且满足，请问△ABC 是什么形状?(2)若，求的值． (3)已知是△ABC 的三边长，满足，求的范围．(4)已知，则．10. 旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： （1）如图1，∠DBC 与∠ECB 分别为△ABC 的两个外角，试探究∠A 与∠DBC+∠ECB 之间存在怎样的数量关系？为什么？（2）如图2，在△ABC 纸片中剪去△CED ，得到四边形ABDE ，∠1=130°，则∠2-∠C=______；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分外角∠DBC 、∠ECB ，∠P 与∠A 有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______． （4）如图4，在四边形ABCD 中，BP 、CP 分别平分外角∠EBC 、∠FCB ，∠P 与∠A 、∠D 有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）a b c 、、22661830a b a b c +--++-=224212120x y xy y +-++=y x a b c 、、2212852a b a b +=+-c 24,6130a b ab c c -=+-+=a b c ++=第六讲规律探索及应用型问题课后练习1.【2014日照】下面是按照一定规律排列的一列数……依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（）2.【2014济南】现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列，将其中的每个数换成该数在中出现的次数，可得到一个新序列．例如序列：（4，2，3，4，2），通过变换可得到新序列：（2，2，1，2，2）．若可以为任意序列，则下面的序列可以作为的是______________A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）3.【2013•日照】如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n的关系是（）A．M=mnB．M=n（m+1）C．M=mn+1D．M=m（n+1）4.【2012•盐城】已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，…，的值为（）依此类推，则a2012A．-1005B．-1006C．-1007D．-20125. 【2010•盐城】填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是（ ）A ．38B ．52C ．66D ．746. 观察下列各式：探索以上式子的规律，试写出第个等式．7. 对于任意三个数，用min ｛｝表示这三个数中最小的数．例如：min ｛-1,2,3｝=1；min ｛｝=如果min ｛｝，那么的取值范围为．8. 如图，已知每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，l 为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第行个多边形所有扇形面积之和是．(结果保留)．9. 如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，先取右下角的小正方形进行第二次操作，又可得到左上角更小的正方形，依此操作2014次，依次得到小正方形，则小正方形的面积等于．10. 杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如图所示,其中每一横行都表示(a +b )n (此处n =0,1,2,3,4,5…)的计算结果中的各项系数。
杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和。
2222223142,4243,5344,-=⨯-=⨯-=⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅n a b c 、、a b c 、、1,2,a -(1),1(1).a a a <-⎧⎨-≥-⎩2,22,42x x +-2=x π1S 2S 34S S ⋅⋅⋅2014、、S 2014S(a +b )0=1 (a +b )1=a +b(a +b )2=a 2+2ab +b 2(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3(a +b )4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4(a +b )5=a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5 …上面的构成规律聪明的你一定看懂了!(1)请直接写出(a +b )6的计算结果中a 2b 4项的系数是______； (2)利用上述规律直接写出(a+b)7=______； 杨辉三角还有另一个特征：(3)从第二行到第五行,每一行数字组成的数(如第三行为121)都是上一行的数与______的积。
