第12卷第4期2005年8月工程设计学报Journa l of Eng i neer i ng D esignV o l .12N o.4A ug .2005收稿日期:2005203211.基金项目:国家航空科学基金资助项目(03C 52021);江苏省自然科学基金资助项目(BK 2004125).作者简介:鲍和云(1976-),女,安徽寿县人,博士生,从事机械传动研究,E 2m ail :siyanger @ .基于M a tlab 的两级星型齿轮传动的优化设计鲍和云,朱如鹏(南京航空航天大学机电工程学院,江苏南京210016)摘 要:建立了两级内外啮合星型齿轮传动优化设计的数学模型,分析了系统的传动方案和约束条件,以中心距最小为目标函数,确定了主要优化设计参数Λ采用了以齿数、模数为离散变量和变位系数,齿数比等为连续变量的优化设计方法Λ过多的等式约束造成最优化时可行域减少,甚至找不到可行域,严重影响了优化设计的运行结果Λ鉴于此,发展了分级优化的方法,以齿数、模数为离散变量,变位系数、齿数比等为连续变量,运用M atlab 中非线性有约束的多元函数f m incon 求解,经过优化计算,得到主要优化设计参数Λ关键词:两级星型齿轮传动;M atlab ;优化设计;分级优化中图分类号:TH 132 文献标识码:A 文章编号:10062754X (2005)0420232204Opti m iza tion design of 2-stage star gear tra i n ba sed on M a tlabBAO H e 2yun ,ZHU R u 2p eng(Co llege of M echanical and E lectrical Engineering ,N anjing U niversity of A eronauticsand A stronautics ,N anjing 210016,Ch ina )Abstract :T he op ti m izati on design m odel of 22stage star gear tran s m issi on is estab lished .T ran s m issi on m echan is m and restrain t conditi on s w ere analyzed .P rinci p al op ti m izati on design param eters are deter m ined by tak ing m in i m um cen ter distance as ob jective functi on .T heop ti m izati on design m ethod ,w h ich takes too th num ber ,m odu lu s as discrete variab les and m odificati on coefficien ts as con tinuum variab le ,is adop ted .R esu lt of op ti m izati on design is badly influenced becau se of too m any equati on restrain ts ,w h ich reduce the feasib le regi on s o r even reduce them to zero .T herefo re ,a com p lex m ode op ti m izati on m ethod is develop ed .B y tak ing too th num ber and m odu lu s as discrete variab les and m odificati on coefficien ts as con tinuum variab les ,by adop ting non linear m u ltivariab le functi on fm incon in M atlab p rogram ,m ain op ti m izati on design param eters are gained .Key words :22stage star gear train ;M atlab ;op ti m izati on design ;com p lex m ode op ti m izati on 星型(功率分流)齿轮传动广泛地应用于航空发动机的体内减速器和直升机的主减速器中Λ星型齿轮传动在结构上利用多个星轮来分担载荷,形成功率分流,具有体积小、重量轻、承载能力强等优点Λ但其设计是一项较为复杂的工作,而且以常规设计方法很难得到最优方案Λ因此,以体积最小(即各个齿轮的体积总和最小)和中心距最小(即各传动级的中心距之和最小)为目标对星型齿轮机构进行最优化设计,对缩小体积、减小重量、节约原材料以及降低成本都具有重要的现实意义Λ本文建立了两级内外啮合星型齿轮传动优化设计的数学模型;分析了系统的传动方案和约束条件;以中心距最小为目标函数,确定了主要优化设计参数;发展了以齿数、模数为离散变量,变位系数等为连续变量的优化设计方法Λ通过分级优化的方法,以M atlab 为工具,得到了主要优化设计参数;并进行了具体实例的设计Λ1 两级内外啮合星型齿轮传动优化设计的数学模型 图1所示是两级内外啮合星型齿轮传动装置的传动简图Ζ整个系统由第一级传动系统(太阳轮Z s ,n 个星轮Z p 1)和第二级传动系统(内齿轮Z r ,n 个星轮Z p 2)联接组成Ζ输入功率经太阳轮Z s 分流给n 个星轮Z p 1,又经n 个二级星轮Z p 2汇流到内齿轮Z r 输出Ζ图1 两级星型齿轮传动装置的传动简图F ig .1 Tw o 2stage star gear train trans m issi on相对于单级齿轮传动系统的优化设计,两级星型齿轮传动系统的优化设计较为复杂,正确地建立数学模型成为最优化设计问题的关键Ζ在本问题的研究中,其优化设计的数学模型如下Ζ1.1 设计变量由于参数较多,如果将所有可能影响设计质量的参数都列为设计变量,将使问题复杂化,而设计变量太少,则设计的自由度少,不能求得最优化结果Ζ因此,应对影响设计指标的所有参数进行分析、比较,从中选择对设计质量有显著影响且能直接控制的独立参数作为设计变量,其他参数则作常量处理Ζ两级星型齿轮的主要设计参数有模数m 1,m 2,齿数z 1,z 2,z 3,z 4Ζ为了提高齿轮的承载能力或满足中心距要求,常采用变位齿轮,因此变位系数x 1,x 2,x 3,x 4也要作为设计参数Ζ对于齿数z 1和z 2,存在z 2=z 1・u 1的关系式,所以z 1和z 2不是一组独立的变量,取其中之一z 1作为设计变量;同理,取z 3为设计变量Ζ第一级和第二级的传动比u 1和u 2存在u =u 1・u 2的关系式,所以u 1和u 2不是一组独立的变量,取其中之一u 1作为设计变量Ζ因此,对于两级星型齿轮传动,中心距最小优化设计的设计变量X 选取模数、齿数、变位系数、中心距变动系数、传动比为设计变量,则X ={m 1,m 2,z 1,z 3,x 1,x 2,x 3,x 4,∃y 1,∃y 2,u 1}T(1)1.2 目标函数选择中心距最小为目标函数Ζ对于两级星型传动系统,第一级中心距和第二级相等,单独地选择任何一级中心距作为目标函数,都不能包含整个系统的设计参数,为此,本文采用了两级中心距的平均值作为目标函数Ζ但由于两中心距之间存在函数关系,简单的累加将使设计变量的独立性遭到破坏,因此,必须在约束条件中增加两中心距相等的等式约束条件Ζa =[m 1((z 1+z 2)(2co s Β1)+x 1+x 2-∃y 1)+m 2((z 3+z 4) (2co s Β2)+x 3+x 4-∃y 2)] 2(2)式(2)中,Β1,Β2分别为第一级和第二级的螺旋角,为已知输入参数Ζ因此可得两级内外啮合星型齿轮传动系统优化设计的目标函数为m in f (X )=a (3)1.3 约束条件的建立两级内外啮合星型齿轮传动系统优化设计中,主要约束函数有:(1)齿轮传动系统的强度条件本文在齿轮强度计算中采用了我国航空工业的标准,它们是:齿面接触疲劳强度、齿根弯曲疲劳强度及齿轮胶合强度,见式(4)～(6)ΖS H m in -S H (i )≤0 (i =1,2,3,4)(4)S F m in -S F (i )≤0 (i =1,2,3,4)(5)S B m in -S B (i )≤0 (i =1,2)(6)式(4)～(6)中,S H m in 和S H 分别为给定的最小齿面接触疲劳强度安全系数及优化计算出的齿面接触疲劳强度安全系数,S F m in 和S F 分别为给定的最小齿根弯曲疲劳强度安全系数及优化计算出的齿根弯曲疲劳强度安全系数,S B m in 和S B 分别为给定的最小齿轮胶合强度安全系数及优化计算出的齿轮胶合强度安全系数Ζ(2)重合度条件重合度条件为Εa ≥112(7)(3)设计变量的边界约束在输入参界面中,由用户输入Ζ(4)星型传动的邻接条件在设计星型传动时,为保证两相邻星轮的齿顶不致相碰,相邻两星轮的中心距应大于其齿顶圆半径之和,即应满足・332・ 第4期鲍和云,等:基于M atlab 的两级星型齿轮传动的优化设计d a <2a ・sin (Π n p )(8)式(8)中,d a 为星轮的齿顶圆直径,a 为实际中心距,n p 为星轮个数Ζ当计算结果不满足邻接条件时,可减少星轮数目n p 或增加太阳轮齿数z 1Ζ(5)同心条件同心条件为m 1(z 1+z 2) (2co s Β1)×co s (Αt 1) co s (Α′t 1)- m 2(z 4-z 3) (2co s Β2)×co s (Αt 2) co s (Α′t 2) =0(6)装配条件当采用多星轮结构时,要保证几个星轮均匀地分布在太阳轮周围,而且使星轮的轮齿正确地装入两中心轮的齿间,各轮齿数与星轮个数必须满足装配条件,即2(z 1-z 2) n p =M (M 为整数)(10)式(10)中,n p 为星轮个数Ζ(7)其他约束条件除了上述约束条件外,还有变位系数选择的各种条件及齿轮不根切的条件等也要满足Ζ2 优化方法两级星型齿轮优化设计是一个含有离散设计变量和连续设计变量的混合问题Λ解决连续问题目前有较多行之有效的优化方法,相比之下,解决离散问题要困难一些,可供直接应用的离散优化方法也比较少Λ目前,比较权宜之计的做法应用得相当普遍,就是把离散变量全部看成连续变量并投入优化过程,然后把优化以后得到的变量值再圆整到最为接近的离散值上Λ这种做法相当方便,但圆整以后得到的设计方案未必是最优方案,在变量较多的情况下其偏离尤为严重Λ因此本文针对这个特定问题专门设计了一个混合优化方案来完成优化设计Λ对于齿数,首先确立齿数的选择范围,按照传动比要求、齿数互质要求等来选择齿数的可行值,然后将其分别存放在4个数组中,并且这4个数组中的数值是一一对应的,即是通过参数之间的相互关系而得出的Λ如第一级传动齿轮齿数数组的确定为 Z 11=Z m in -1; %Z m in 为最小齿数,由用户从程序界面输入fo r i =1:Z m ax%Z m ax 为最大齿数限制,由用户从程序界面输入 Z 11=Z 11+1;%齿轮1齿数 T T =round ((1+u 1)3Z 11);%T T 中间变量 Z 12=T T -Z 11;%齿轮2齿数 U ss 1=Z 12 Z 11;%U ss 1为圆整后齿数比,u 1为用户输入的实际齿数比 w h ile abs (u 1-U ss 1) u 1>2e -3%圆整后齿数比变化范围的限制精度 Z 12=Z 12-1; U ss 1=Z 12 Z 11; end if rem (Z 11,2)==0&rem (Z 12,2)==0%齿数要互质 Z 12=Z 12-1; end Z A S (i )=Z 11;%将各齿轮齿数存放在数组中 Z BS (i )=Z 12;%其中,Z A S 和中的齿数是一一对应的Λend 第二级传动齿轮齿数数组也用上述方法确定Λ模数的选取也是按照标准模数的值存放在数组中,在航空标准中,主要有22个标准的模数组成序列:[1,1.25,1.5,1.75,2,2.25,2.5,2.75,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,7,8,9,10,12,14,16]Λ对于整型变量x i 按连续变量进行最优化并求得最优解后,必须对最优解X 3的该项分量x i 3进行圆整处理Ζ圆整后构成的点称为整型点[2]Ζ若x i 3的整数部分为[x i 3],则[x i 3]和[x i 3]+1便是最接近x i 3的两个整型点Ζ若X3是n 维设计空间的最优解,则其每一个分量x i 3(i =1,2,…,n )方向上都可找到两个与x i 3最接近的整型点[x i 3]和[x i 3]+1(i =1,2,…,n ),它们共有2n 个,并在X 3周围构成了整型点群Ζ例如,对于二维设计空间,在最优解周围就有22=4个整型点,如图2上的A ,B ,C ,D ,它们是由([x 13],[x 23]),([x 13],[x 23]+1),([x 13]+1,[x 23]+1),([x 13]+1,[x 23])整型点组成Ζ求出4个整型点后,依次计算出函数值f (X A ),f (X B ),f (X C ),f (X D ),找出其绝对值最小的点m in f (X i ) (i =A ,B ,C ,D ),即是圆整后的最优解Ζ对于两级星型齿轮传动系统来说,除了要满足单级传动的要求外,还要满足整个传动系统的装配条件和邻接条件等Ζ由于这些条件都直接与齿数有关,并且包含有等式约束,这些对于整个传动系统的・432・工 程 设 计 学 报第12卷图2 二维设计空间在最优解X3周围的整型点F ig.2 Integer po ints of the2di m ensi ons design spacearound the op ti m izati on result X3数学模型有很大影响,过多的等式约束造成最优化时可行域减少,甚至找不到可行域,严重影响了优化设计的运行结果Ζ基于此,作者采用了分级优化的方法,即分两级对系统进行优化计算Ζ在第一级优化中,齿轮、模数均按连续变量设计,在约束条件中要满足各种齿轮强度条件、重合度条件、变位系数的选择条件、同心条件、装配条件和邻接条件等,然后将齿轮、模数进行参数圆整Ζ在第二级优化中,将第一级优化出的离散型的齿数、模数设为固定值,变位系数为设计变量再进行一次优化,约束条件同第一级Ζ因为同心条件要求严格,这样就不会因为对齿数、模数进行圆整近似取值而产生较大的误差了Ζ3 基于M a tlab的程序设计本文运用M atlab6.5求解多变量非线性约束最优化问题的函数fm incon求解ΛM atlab6.5是具有数值计算及图形工具等强大功能的应用软件包,尤其是它的应用工具箱非常实用与方便Λ优化工具箱涉及函数的最小化或最大化问题Λ对约束优化问题,一般情况分三步求解:第一步,先编写一个目标函数文件;第二步,编写含等式约束与不等式约束的约束函数文件;第三步,编写主程序Λ在M atlab6.5软件的集成环境中运行即可得到优化结果Λ程序修改、输入参数修改均十分方便与快捷,优化结果可显示或打印Λ本文开发了一个友好的用户界面,主要供用户输入优化设计的各种参数,其中设计变量的上下限及初值均可在界面上输入Λ应用M atlab6.5优化工具箱进行优化设计问题求解,不用编写大量优化算法程序,提高了设计效率,同时优化工具箱选用较可靠的优化算法,提高了设计精度Λ4 设计举例针对某航空发动机的体内减速器两级型齿轮传动系统进行优化设计Λ已知参数传递功率为100 k W,输入转速为15000r m in,实际总传动比为10176,星轮个数为3,最小齿面接触疲劳强度安全系数为1125,最小齿根弯曲疲劳强度安全系数为115,最小齿轮胶合强度安全系数为1.2,其余的原始设计值见表1,设计变量的边界约束值及初值见表2Λ根据要求输入适当的参数,第一级优化经过27次循环计算,第二级优化经过6次循环计算,得到的优化结果见表3Λ表1 原始设计值T able1 M ain o riginal design param eters of thetrans m issi on systemz1z2z3z4m1m2u1215319812.83.382.52表2 设计变量的边界约束值及初值T able2 T he boundary value and initial value of the design variable变量z1z3x1x2x3x4m1m2u1∃y1∃y2上限235235222216162022下限1414-2-2-2-2111-2-2初值21190.30.30.40.41.51.530.50.5表3 主要优化结果T able3 T he m ain op ti m izati on results z1z2z3z4m1m2u1174817651.01.252.82通过表1与表2的对应值计算比较可以得出,优化结果相对原始设计有了很好的改善,减速器总中心距减少了,优化设计取得了显著的效果Λ5 结束语本文建立了两级内外啮合星型齿轮传动优化设计的数学模型,以中心距最小为目标函数,分析了系统的传动方案和约束条件,确定了主要优化设计变量,发展了以齿数、模数为离散变量,变位系数等为连续变量的分级优化设计方法,为多变量多约束条(下转第239页)・532・ 第4期鲍和云,等:基于M atlab的两级星型齿轮传动的优化设计用最小外接圆柱法和最大内接圆柱法进行圆柱度评定的结果分别为0.0122和0.0146,三坐标测量仪结果为0.0123和0.0146Λ4 结 论利用M atlab优化工具箱进行圆柱度评定,简单易行,还可以利用M atlab的图形功能实现可视化Λ该算法可以推广应用到其他形状误差评定中Λ笔者开发了形状误差评定的软件,用户只要输入测点的数据,选择评定方法,就可得到相应形状误差的评定结果Λ参考文献:[1]王伯平.互换性与测量技术基础[M].北京:机械工业出版社,2000.141-159WAN G Bo2p ing.Exchange N ature and M easure T echno logy Foundati on[M].Beijing:M ach inery Industry P ress,2000.141-159.[2]李惠芬,蒋向前,张 玉,等.直角坐标系下计算圆柱度误差的一种实用算法[J].仪器仪表学报,2002,23(4): 424-426.L I H ui2fen,J I AN G Y iang2qian,ZHAN G Yu,el al.A p ractical algo rithm fo r computing cylindricity erro r in the rectangular coo rdinates[J].Journal of Scientific Instrum ent,2002,23(4):424-426.[3]温秀兰,宋爱国.基于改进遗传算法评定圆柱度误差[J].计量学报,2004,25(2):115-118.W EN X iu2lan,SON G A i2guo.Cylindricity erro r evaluati on based on an i m p roved genetic algo rithm[J].A cta M etro logica Sinica,2004,25(2):115-118.[4]郑 鹏,雷文平,侯伯杰.基于修正单纯形法的圆柱度误差优化评定[J].郑州大学学报(工学版),2004,25(2): 87-90.ZH EN G Peng,L E I W en2p ing,HOU Bo2jie.Op ti m izati on evaluati on of cylindricity erro r based on co rrecti onal si m p lex m ethod[J].Journal of Zhengzhou U niversity(Engineering Science),2004,25(2):87-90.[5]沈先钊.圆度、圆柱度和同轴度计算机测量数据最小区域法处理算法研究[J].中国机械工程,2003,14(17): 1472-1473.SH EN X ian2zhao.T he m ini m um area p rinci p le of computing m ethod’s research fo r data p rocessing of roundness cylindricity and coaxality[J].Ch ina M echanical Engineering,2003,14(17):1472-1473. [6]李郝林.DNA计算模型在圆柱度误差评定中的应用[J].计量学报,2004,25(2):107-110.L I H ao2lin.A pp licati on of DNA computing model to cylindricity erro r evaluati on[J].A cta M etro logica Sinica,2004,(2):107-110.[7]赵彦玲,吴淑红.M A TLAB与S I M UL I N K工程应用[M].北京:电子工业出版社,2001.37-59.ZHAO Yan2ling,WU Shu2hong.EngineeringA pp licati on of M A TLAB and S I M UL I N K[M].Beijing:E lectronics Industry,2001.37-59.(上接第235页)件的多级齿轮传动系统的优化设计提供了有效的方法Λ开发了良好的参数输入、输出界面,较好地实现了工程计算的可视化操作Λ通过实例计算,取得了良好的效果Λ参考文献:[1]孙元骁.圆柱齿轮减速器优化设计[M].北京:机械工业出版社,1988.SUN Yun2rao.Op ti m al D esign of Cylindrical Gear R educer[M].Beijing:M echanical Industry P ress,1998.[2]孟祥战.航空发动机星型齿轮传动系统优化设计[D].南京:南京航空航天大学机电工程学院,2004.M EN G X iang2zhan.T he Op ti m izati on D esign of the Star Gear T rains of A eronautic Engine[D].N anjing: Co llege of M echanical and E lectrical Engineering, N anjing U niversity of A eronautics and A stronautics, 2004.[3]L I X,SY MM ON S G R,COCKERHAM G.Op ti m aldesign of invo lute p rofile helical gears[J].M ech M ach T heo ry,1996,31(6):717-728.[4]孟祥战,朱如鹏.基于M atlab的幅板式高速齿轮减速器的优化设计[J].机械研究与应用,2004,17(1):57-58.M EN G X iang2zhan,ZHU R u2peng.Op ti m al design ofh igh speed w eb gear reducer based on M atlab[J].M echanical R esearch and A pp licati on,2004,17(1):57-58.[5]彭 军.M atlab软件包求解最优化模型[J].重庆工业高等专科学校学报,2000,15(2):25-26.PEN G Jun.M atlab softw are package and its app licati on in so lving op ti m izati on model[J].Journal of Chongqing Po lytechnic Co llege,2000,15(2):25-26.[6]赵先琼,杨晓红.M atlab在机械优化设计中的应用[J].岳阳师范学院学报,2000,13(1):68-70.ZHAO X ian2qi ong,YAN G X iao2hong.A pp licati on of m atlab to m echanical desing[J].Journal of Yueyang N o r m al U niversity,2000,13(1):68-70.・932・ 第4期刘国光:基于M atlab评定圆柱度误差。
